Moment Cinétique Moment Cinétique Moment Cinétique

TSI1 – TD16 : Moment Cinétique – Mouvement à Forces Centrales
HECKEL - 1/2
Exercice
Exercice Exercice
Exercice 1
11
1 :
: :
: Calcul de moments cinétiques
Calcul de moments cinétiquesCalcul de moments cinétiques
Calcul de moments cinétiques
Un point matériel M, de masse m, assimilé à une
perle quasi-ponctuelle, est susceptible de coulisser le
long d’un rail semi-circulaire C (centre O, rayon r)
sans pouvoir le quitter. La perle est soumise à une
force de frottement fluide
f m v
λ
= −
, avec
0
λ
>
, et
il n’y a pas de frottements solides. Le référentiel
(
)
, , ,
G x y z
O e e e
ℜ =
est supposé galiléen.
1. Montrer que le moment cinétique
O
L
du point matériel M par rapport à O a pour
expression :
2
O z
L mr e
θ
= ⋅
ɺ
2. Appliquer le théorème du moment cinétique à M
3. On considère de petits mouvements de M au voisinage du point A. Etablir
l’équation différentielle satisfaite par θ(t)
4. Quelle est la relation entre λ, r et g correspondant au régime critique ?
Exercice
Exercice Exercice
Exercice 2
22
2 :
: :
: Mouvement à force centrale
Mouvement à force centraleMouvement à force centrale
Mouvement à force centrale
Un point matériel M, de masse m, est accroché à un
ressort de raideur k et de longueur au repos l 0 , dont l’autre
extrémité est fixée en O. Le point M est susceptible de glisser
sans frottement sur le support plan horizontal xOy. Le
référentiel
(
)
, , ,
G x y z
O e e e
ℜ =
est supposé galiléen.
1. Montrer qu’il y a conservation du moment cinétique
O
L
de M par rapport à O, et
donner son expression en coordonnées polaires. En déduire la relation entre r et
θ
ɺ
à l’instant t
2. Déterminer l’énergie mécanique E m du point M, sous la forme
2
1
2
eff
m P
E mr E
= +
ɺ
,
eff
P
E
étant l’énergie potentielle effective que l’on précisera.
3. Montrer graphiquement que le mouvement de M doit vérifier la condition
1 2
r r r
≤ ≤
,
1
r
et
2
r
étant deux valeurs que l’on ne cherchera pas à calculer.
Comment s’exprime la norme
v
de la vitesse pour
1
r r
=
ou pour
2
r r
=
?
4. La vitesse
v
du point M peut-elle s’annuler au cours du mouvement ?
Exercice
ExerciceExercice
Exercice 3
33
3 :
: :
: QCM
QCMQCM
QCM (à justifier)
(à justifier) (à justifier)
(à justifier)
A) Lorsque la trajectoire d’un point soumis à une force centrale est un cercle, le
mouvement de ce point est uniforme : □ OUI □ NON
B) Lorsque la vitesse d’un point matériel M soumis à une force centrale est nulle en
un point M 0 de la trajectoire, la trajectoire du mobile est un(e) :
□ Cercle □ Ellipse □ Hyperbole □ Parabole □ Droite
C) Un satellite M décrit une ellipse dont le centre de la Terre occupe l’un des foyers
O. Lorsqu’il est à une distance r 0 = 30000km de O, un moteur auxiliaire lui
communique une vitesse
0
v
de module
1
0
6 .
v km s
−
=
. On donne
24
6.10
T
M kg
=
et
11 2 2
6.67.10 .
G Nm kg
− −
=
. La trajectoire du satellite est un :
□ Cercle □ Ellipse □ Hyperbole □ Parabole □ Droite
D) Pour un satellite de la Terre en trajectoire elliptique, le périgée P se trouve à la
distance r P du centre de la Terre et l’apogée A à une distance r A double. Les
vitesses respectives du satellite en ces points sont telles que :
□
A P
v v
=
□
1
2
A P
v v
=
□
2
A P
v v
=
E) La trajectoire de la Terre autour du soleil est quasi circulaire de rayon
6
150.10
R km
=
. La masse du soleil est : (on donne
11 2 2
6.67.10 .
G Nm kg
− −
=
)
□
21
2.10
kg
□
28
8,2.10
kg
□
30
2.10
kg
TD1
TD1TD1
TD16
66
6 :
: :
: TMC (
TMC (TMC (
TMC (Moment Cinétique
Moment CinétiqueMoment Cinétique
Moment Cinétique)
))
) –
––
– Mvt à Forces Centrales
Mvt à Forces Centrales Mvt à Forces Centrales
Mvt à Forces Centrales
e
θ
R
O
A
y
r
e
M
θ
x
e
θ
M
y
r
e
O
θ
x

TSI1 – TD16 : Moment Cinétique – Mouvement à Forces Centrales
HECKEL - 2/2
Exercice
Exercice Exercice
Exercice 4
44
4 :
: :
: Mouvement
MouvementMouvement
Mouvements
ss
s de
de de
de Satellite
SatelliteSatellite
Satellites
ss
s
La Terre possède un seul satellite naturel : La Lune. De nombreux satellites artificiels
sont par ailleurs placés en orbite autour de la Terre pour différentes applications comme les
télécommunications, la météorologie, la défense, …
Le mouvement de ces satellites artificiels est étudié dans le référentiel géocentrique
(
)
, , ,
G x y z
O e e e
ℜ =
dont l’origine est le centre de la Terre, supposée à symétrie sphérique, et
dont les axes pointent dans la direction de trois étoiles très éloignées et fixes. Dans le
référentiel géocentrique, la Terre tourne autour de son axe avec une période de révolution
86164
T s
=
et une vitesse angulaire Ω. La masse de la Terre est
24
6.10
T
M kg
=
et son
rayon environ
6400
T
R km
=
. On rappelle que
11 2 2
6.67.10 .
G Nm kg
− −
=
.
Un satellite artificiel S de masse m est en orbite circulaire de rayon r autour de la Terre.
Les frottements dus à l’atmosphère sur le satellite sont négligés.
Caractéristiques du Mouvement
Caractéristiques du MouvementCaractéristiques du Mouvement
Caractéristiques du Mouvement :
: :
:
1. Montrer qu’un satellite artificiel en orbite circulaire autour de la Terre a
nécessairement une trajectoire plane contenant le centre de la Terre.
2. Démontrer que le mouvement du satellite est uniforme et exprimer littéralement sa
vitesse v 0 d’abord en fonction de G, M T et r, puis en fonction de g 0 , R T , et r, où g 0
désigne l’intensité du champ de pesanteur à la surface de la Terre.
3. Le satellite SPOT (Satellite sPécialisé dans l’Observation de la Terre) est en orbite
circulaire à l’altitude h = 832km au dessus de la Terre. Calculer numériquement la
vitesse v 0 de SPOT sur son orbite.
4. En combien de temps T le satellite fait-il le tour de la Terre ?
5. Si il se trouve à la verticale de Paris à un instant t. Où se trouve-t-il à l’instant t+T/2 ?
Illustrer la trajectoire par un schéma avec les positions à ces deux instants.
Etude énergétique
Etude énergétiqueEtude énergétique
Etude énergétique :
: :
:
6. Exprimer l’énergie mécanique E m du satellite en fonction de G, M T , r et m. L’origine
de l’énergie potentielle gravitationnelle sera choisie nulle à l’infini.
7. Faire l’application numérique pour le satellite de 1 tonne à h = 832km.
8. Quel est l’effet des forces de frottement de l’atmosphère sur le rayon de la trajectoire
et sur la vitesse du satellite ?
9. Donner l’expression de la vitesse, de la période et des énergies dans le cas limite
d’une orbite rasante où r = R T . Est-ce réalisable ?
Lancement du satellite
Lancement du satelliteLancement du satellite
Lancement du satellite :
: :
:
10. Avant lancement, le satellite est immobile sur la Terre en un point de latitude λ.
Quelle est la vitesse du sol à la latitude λ ? Calculer sa valeur à l’équateur.
11. Exprimer l’énergie mécanique E m0 du satellite immobile au sol en fonction de G,
M T , m, R T , λ et de la période T de rotation de la Terre autour de l’axe Sud-Nord.
12. Faire l’AN de E P et de E C , pour des angles 0, π/6, π/4, π/3, et π/2. Comparer aux
valeurs des satellites en orbite déjà calculées. Que faut-il faire pour envoyer un
satellite en orbite ?
13. Pourquoi lance-t-on préférentiellement les satellites depuis les régions de basse
lattitude (Kourou en Guyane, latittude 5°N, Cap Canaveral en Floride, 28°N). Les
lance-t-on plutôt vers l’Est ou vers l’Ouest ?
Satellite géostationnaire
Satellite géostationnaireSatellite géostationnaire
Satellite géostationnaire :
: :
:
Un satellite artificiel de la Terre est géostationnaire s’il est immobile dans le
référentiel terrestre : son orbite est circulaire, dans le plan de l’équateur et il survole
constamment le même point de celui-ci.
14. Peut-on placer le satellite en orbite en dehors du plan de l’Equateur ?
15. Calculer l’altitude h géo , la vitesse v géo et l’énergie mécanique E mgéo du satellite
TELECOM, qui est géostationnaire, sur son orbite. Tous les satellites
géostationnaires doivent-ils avoir la même masse ?
Changement d’orbite
Changement d’orbite Changement d’orbite
Changement d’orbite –
––
– Ellipse de transfert
Ellipse de transfert Ellipse de transfert
Ellipse de transfert :
: :
:
On veut faire passer un satellite d’une orbite circulaire de rayon R 1 <R géo à l’orbite
circulaire géostationnaire de rayon R géo . Un moteur auxiliaire permet de modifier la
vitesse du satellite aux points P et A. Le satellite parcourt alors une demi ellipse, dite de
transfert, de périgée P et d’apogée A.
16. On généralise l’expression de l’énergie mécanique au cas elliptique :
2
T
M
GM m
E
a
= −
, avec a le demi grand axe de l’ellipse. En déduire le supplément
de vitesse qu’il faut fournir au satellite pour qu’il passe en P de l’orbite rasante
(R 1 =R T ) à l’orbite de transfert.
17. Quelle est la vitesse du satellite à l’apogée sur l’ellipse de transfert ?
En déduire la variation de vitesse qu’il faut alors fournir.
18. Calculer l’énergie totale fournie lors du transfert.
19. Calculer la durée du transfert de P à A.
20. Et si on lance le satellite depuis la Terre ? Expliquez l’opération.
P
A