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FICHE ESSENTIELLE : MOUVEMENTS DES PLANETES ET LOIS DE KEPLER
MOUVEMENT CIRCULAIRE (UNIFORME…OU
UNIFORME
PAS)
Le mouvement de A est circulaire uniforme si la trajectoire de A est un cercle et si la valeur de la vitesse est constante.
Attention ! Le vecteur vitesse n’est pas constant car sa direction varie au cours du temps (mais même norme…)
POUR UN MOUVEMENT CIRCULAIRE, SI LE VECTEUR ACCELERATION
ACCELE
EST A CHAQUE INSTANT :
RADIAL (SUIVANT UN RAYON DU CERCLE DE CENTRE O)
CENTRIPETE (DIRIGE VERS LE CENTRE O DU CERCLE)
ALORS LE MOUVEMENT EST AUSSI CIRCULAIRE UNIFORME.
(ET RECIPROQUEMENT)
Base du repère de Fresnet :
Repère de Fresnet ; ; tel que > ⟺ . > . 0
Soit MC NON UNIFORME
A Si le mouvement circulaire n’est pas uniforme,
uniforme on a : @ 0 et 8
²
(Et bien sur, si MRU, alors alors
A
A
A
0 alors 0…on
on retrouve la première formule).
MOUVEMENTS : DES PLANETES AUTOUR DU SOLEIL / DES SATELLITES AUTOUR DE LA TERRE
Mouvement des planètes autour du soleil :
Centre du SOLEIL
Centre d’une PLANETE
Système : è !
Référenciel : héliocentrique supposé Galiléen
BFA : "#/%
On applique la deuxième loi de Newton :
& "'( )
⟺"
+/% )% R
)+ )%
⟺ ,
+/% )% ²
/
⟺ ,- 0 +/% ²
h
34
4M
6
,2
4/7
6
⟺1
5²
Mouvement circulaire UNIFORME
Ne dépend que de la masse de l'astre attracteur !
On a alors :
19 :
8
<²
34 1
1; 2
5
5²
Expression de la vitesse de la planète de centre A :
²
)+
²
)+
⟺ ² 34
5
d sa masse
La vitesse de la planète ne dépend pas de
mais de celle de l’astre attracteur ett du rayon de
l'orbite.
⟺ < =2
Mouvement des satellites autour d’une planète :
Centre d’une PLANETE
B Centre d’un SATELLITE
Système : BC B!
Référenciel : planétocentrique
centrique supposé Galiléen
BFA : "#/D
S
On applique la deuxième loi de Newton :
& "'( )
⟺ "+/D )D )+ )D
⟺ ,
)D E > F
² +/DD
⟺ ,-
/0
GHI
²
+/D 34
6
J > K
²² 4/M
Mouvement circulaire UNIFORME
Ne dépend que de la masse de l'astre attracteur !
On a alors :
19 :
<²
34 8
1
1; 2
J > K
J > K
²
Expression de la vitesse de la planète de centre A :
²
)+
E > F
E
E > F
²
)+
⟺ ² E > F
,2
⟺1
⟺ < L2
34
J > K
PERIODE DE REVOLUTION D’UN ASTRE
LA PERIODE DE REVOLUTION D’UN ASTRE EST LE TEMPS QU’IL MET POUR ACCOMPLIR SA TRAJECTOIRE (UN TOUR COMPLET) AUTOUR D’UN AUTRE
ASTRE. ON LA NOTE T ET ON L’EXPRIME EN SECONDES (S).
Expression de T pour une planète qui tourne autour du Soleil :
A
∆
OP
On a donc
Q
et =-
OP
Q
=-
Soit Z [\ × =
5]
/T
/T
⟺
Q
OP
=
U/T
⟺ V 2X × =
U/
T
23M
Expression de T pour un satellite qui tourne autour de la Terre :
Z [\ × L
J > K
]
23Z
LOIS DE KEPLER
Les trajectoires des planètes du système solaire ne sont pas circulaires mais elliptiques.
Première loi de Kepler (LOI DES ORBITES) :
Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire du centre d’une planète est une ellipse dont l’un des foyers est le centre du
soleil.
(On note que "^ > "O 2, avec 2 le grand axe de l’ellipse, _` la périhélie et _[ l’aphélie)
Deuxième loi de Kepler (LOI DES AIRES) :
Les aires balayées pendant des durées égales par le segment reliant la planète ou le satellite à l’astre attracteur sont
égales.
La vitesse est plus importante lorsque le satellite est plus proche du soleil.
Troisième loi de Kepler (LOI DES PERIODES) :
!!! DANS L’APPROXIMATION DES TRAJECTOIRES CIRCULAIRES !!!
Dans le référentiel héliocentrique, le rapport entre le carré de la période de révolution Z de chaque planète et le cube
du demi grand axe 1 de l’orbite elliptique est constant :
Z²
a
1]
-
La constante b ne dépend que de la masse de l’astre attracteur.
Dans le référentiel planétocentrique, le rapport entre le carré de la période de révolution Z de chaque satellite et le
cube du demi grand axe 1 de l’orbite elliptique est constant pour une même planète:
Z²
a′
1]
-
La constante b′ ne dépend que de la masse de l’astre attracteur.
Pour UN CERCLE (et pas une ellipse), on a donc : d d
Comme V 2X × =
Alors V² 4X² ×
e
U/T
e
U/T
et
Z²
5]
g\²
23 a
M
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