énoncé

Spé ψ 2005-2006
Devoir n°2
TRAITEMENT DU SIGNAL
Le but de ce problème est d’étudier différentes manière de réaliser une source de tension délivrant une tension sinusoïdale de fréquence réglable, de la forme v(t) = Vcos(ωt) où V est
l’amplitude et ω la pulsation.
Partie I
OSCILLATEUR A RESISTANCE NEGATIVE
I-1) On réalise le circuit A à l’aide d’une résistance R, d’un condensateur de
capacité C initialement déchargé, d’un générateur de tension supposé idéal et de force
électromotrice constante E et d’un interrupteur K.
A l’instant t = 0, on ferme l’interrupteur.
a) Établir l’équation différentielle vérifiée par la charge q(t) du condensateur.
b) Donner la solution de cette équation.
c) Donner l’allure de la courbe représentant la charge q en fonction du
temps. Préciser la valeur atteinte par cette charge en régime permanent.
I-2) On place ensuite ce condensateur chargé en série avec une bobine
d’inductance L et de résistance r (circuit B)
a) Établir l’équation différentielle vérifiée par la tension UC(t) aux bornes
du condensateur.
b) Un oscilloscope permet de suivre l’évolution temporelle de UC et fournit la courbe ci-dessous (échelles : 1 µs.div–1 et 0,5 V.div–1)
Cette courbe est-elle en accord avec
l’équation différentielle obtenue en a ?
D’après cette courbe, déterminer :
Ÿ la pseudo-période T des oscillations ;
Ÿ la valeur de l’inductance L sachant que la
capacité C est égale à 0,1 nF et en admettant que la pseudo-période est égale à la période propre T0 de l’oscillateur ;
Ÿ la valeur maximale de la tension UC et la
valeur de la charge q qu’il avait accumulée.
I-3) On modifie le circuit B en ajoutant le dipôle D
appelé « montage à résistance négative ». On obtient le circuit C.
K
R
E
C
circuit A
circuit B
C
L, r
i
A
+
–
∞
B
R0
R1
F
D
R1
M
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circuit C
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La nouvelle courbe obtenue sur l’écran de l’oscilloscope est alors celle tracée ci-dessus
(échelles 0,5 µs.div–1 et 0,5 V.div–1)
a) Montrer que la tension UAB et l’intensité du courant i dans le circuit vérifient
UAB(t) = –R0i(t) dans un certain mode de fonctionnement de l’A.O. On supposera l’amplificateur
opérationnel idéal .
b) En notant ±VSAT les tensions de saturation de l’A.O., établir la condition que doit
vérifier |i(t)| pour que le mode de fonctionnement précédent soit vérifié.
c) Justifier alors le nom donné au dipôle D et expliquer son rôle. Pourquoi en pratique la résistance R0 est-elle variable ?
d) Comment qualifie-t-on l’oscillateur ainsi obtenu ?
e) Établir l’équation différentielle vérifiée par la tension UC(t) si R0 ≠ r. Calculer la
période T’ de la tension UC si R0 = r. Expliquer alors pourquoi l’utilisation d’un condensateur de
capacité C variable permet d’obtenir entre ses bornes une tension sinusoïdale de fréquence réglable.
Partie II
OSCILLATEUR COLPITTS A TRANSISTOR
La figure 1 représente le schéma d’un amplificateur à transistor amplifiant la tension ve variable (entrée ve, sortie vs). T1 est un transistor à effet de champ (connecté par ses trois bornes G, D
et S).
En régime variable, le transistor T1 peut être modélisé par le schéma de la figure 2:
Ÿ l’impédance entre G et S est considérée comme infinie ;
Ÿ entre les bornes D et S, la source de courant délivre un courant d’intensité proportionnelle à la différence de potentiel vgs (on note s le facteur de proportionnalité ou transconductance, généralement exprimée en milliampères par volt).
II-1) Dans ce qui suit, on ne s’intéressera qu’au fonctionnement en régime variable.
De plus, dans les domaines de fréquence envisagés, les condensateurs C1, C2 et CS peuvent
être assimilés à des courts-circuits.
On admettra que, dans ces conditions, l’amplificateur peut être représenté par le schéma très
simple de la figure 3.
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a) Montrer que l’amplificateur de la figure 3 peut aussi être représenté par le schéma
de la figure 4. Donner les expressions de Rs (résistance de sortie) et du coefficient A (amplification)
caractérisant la source de tension (attention à l’orientation).
b) On connecte un appareil de résistance d’entrée RU à la sortie de l’amplificateur
(entre les bornes M et N). Que devient le rapport vs/ve ?
II-2) Oscillateur Colpitts à transistor
On complète le montage amplificateur de la figure 4 avec deux condensateurs de capacité C
et une inductance pure L et on connecte les bornes Q et E (figure 5).
a) Montrer que le montage peut être modélisé par le schéma de la figure 6 où:
Ÿ A est le paramètre de l’amplificateur (c’est le coefficient A de la source de tension
de la figure 4)
Ÿ B(p) une fonction de transfert que l’on exprimera dans le formalisme de Laplace
1
sous la forme: B ( p) =
1 + a1 p + a2 p 2 + a3 p 3
(p désigne la variable de Laplace; a1,
a2, a3 sont des coefficients dont on donnera
l’expression en fonction de RS, L et C).
b) En déduire que, pour assurer le fonctionnement du montage en régime
sinusoïdal permanent de pulsation ω, la tension ve prenant des valeurs non nulles en l’absence de tout générateur de tension sinusoïdale extérieur (fonctionnement en oscillateur quasi-sinusoïdal), il faut imposer deux conditions:
Ÿ la fréquence doit avoir une valeur f0 (à déterminer)
Ÿ le paramètre A doit avoir une valeur particulière (à déterminer).
II-3) On admet que le montage est un oscillateur quasi-sinusoïdal de fréquence f0 (déterminée à la question précédente).
a) Comment faire pour assurer le démarrage des oscillations (réponse qualitative sur
quelques lignes) ?
b) Il y a dissipation d’énergie par effet Joule dans les différentes résistances présentes
dans le montage et pourtant on n’observe pas d’amortissement des oscillations. Qui donc fournit
cette énergie ?
c) On utilise des condensateurs dont la capacité C = 100 nF est connue à 5% près et
une inductance L = 1 mH évaluée à 2% près. Calculer la fréquence d’oscillation f0 et l’incertitude
relative ∆f0/f0 sur cette fréquence.
II-4) Quel montage simple à amplificateur opérationnel pourrait remplir la fonction amplification du bloc A de la figure 6 ? Représenter ce montage.
II-5) Pour obtenir des oscillateurs de fréquence élevée (plusieurs dizaines de mégahertz)
avec une grande précision sur la fréquence d’oscillation (moins de 1 pour 1000), on utilise encore le
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montage de la figure 5 mais l’inductance est alors remplacée par un quartz piézo-électrique. Peut-on
encore employer le montage amplificateur à amplificateur opérationnel de la question précédente ?
Justifier votre réponse.
Partie III
OSCILLATEUR A SOURCE DE COURANT NON LINEAIRE
Le fonctionnement d’un oscillateur est décrit par le dispositif représenté sur la fig.7 Le générateur de courant i = f(v) attaquant le circuit R-L-C parallèle est un générateur linéaire par morceaux
(et donc globalement non linéaire), commandé par la tension v(t). Sa caractéristique, impaire, est la
suite de segments de droite précisée sur la figure 8 ; par hypothèse, on a V0 > 0 et g2 < g1.
figure 7 Oscillateur
figure. 8 : Caractéristique du
générateur
III-1-a) En distinguant les cas |v(t)| < V0 et |v(t)| > V0, écrire les deux formes de l’équation
différentielle relative à v(t).
b) L’instant initial est défini par i(0–) = 0 et v(0–) = 0 . À quelle condition sur Rg1 le
système est-il instable ?
c) En supposant cette condition réalisée, montrer que l’apparition d’oscillations stables, c’est-à-dire d’amplitude bornée, est subordonnée à une seconde condition, portant maintenant
sur Rg2.
III-2) La figure 3 représente le schéma-bloc de la figure 1 ; elle
v(p)
i(p)
e(p) = 0
précise successivement le signal de commande e(p) = 0, le signal
NL
d’erreur v(p) et le signal de sortie i(p). Ce schéma-bloc est constitué
d’un organe non linéaire NL et d’un filtre de fonction de transfert opé–v(p)
F(p)
rationnelle F(p) qu’on précisera en fonction de R, L et C. Pour une fréω
quence propre f 0 = 0 = 100 kHz et un facteur de qualité
figure. 9 : Représentation en
2π
schéma-bloc de la fig. 7
Q = RCω0 = 5, tracer le diagramme de Bode, en amplitude et en phase,
F ( jω ) 2
de la fonction de transfert réduite h(ω ) =
(j = –1). On donne
R
L = 100 µH ; calculer R et C.
III-3-a) La détermination de la pulsation d’accrochage et de l’amplitude d’éventuelles oscillations se fera en utilisant l’approximation dite du premier harmonique, que nous allons établir progressivement. On commence par supposer que le générateur de courant est commandé par la tension
π
sinusoïdale Vsin(ωt), de pulsation ω, avec V > V0. On pose V0 = Vsin(θ0), avec 0 ≤ θ 0 ≤ . Exprimer
2
formellement, dans ces conditions, le développement en série de Fourier du courant i en sortie du
générateur de courant. Montrer que la moyenne du courant i est nulle et que le premier harmonique
de son développement en série de Fourier (appelé aussi fondamental de i(t)) est en phase avec
Vsin(ωt).
b) Décrire avec précision, mais sans effectuer les calculs, la méthode permettant de
calculer l’amplitude I1 de ce premier harmonique en fonction de g1, g2, θ0 et V. Le gain du premier
I
harmonique, défini par G = 1 , s’en déduit et l’on admettra la solution, qui définit H(θ0)
V
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g1 − g2
g − g2
sin(2θ 0 ) + 2θ 0 = g2 + 1
H (θ 0 ) .
π
π
III-4-a) L’approximation du premier harmonique suppose que tous les signaux dans le
schéma-bloc de la question 4 sont sinusoïdaux de même pulsation ω et que la fonction de transfert
i ( p ) f v ( p)
=
) est remplacée par le gain du premier harmonique du générateur de
non linéaire
v ( p)
v ( p)
courant, c’est-à-dire G(θ0). Dans ce cadre, établir l’équation différentielle linéaire portant sur la
tension v(t). En déduire la pulsation d’accrochage des oscillations et montrer que la sélectivité du
filtre conditionne la légitimité de la méthode.
b) Montrer qu’en régime d’oscillations purement sinusoïdales, θ0 est solution de
l’équation
G = G ( θ 0 ) = g2 +
2θ 0 + sin( 2θ 0 ) =
π
g
1− 2
g1
FG 1 − g IJ
H Rg g K
2
1
1
c) Déduire de l’étude de H(θ0) = 2θ0 + sin(θ0) les inégalités établies dans la question
III-1.
d) En examinant la manière dont le système, en régime d’oscillations d’équilibre, réagit à une petite perturbation d’amplitude ∆V et en utilisant le fait que H(θ0) soit croissante pour
π
0 ≤ θ 0 ≤ , montrer la stabilité de l’amplitude des oscillations lorsque les conditions de leur exis2
tence sont respectées.
III-5) Sans effectuer les calculs, et en supposant le générateur de courant autonome, décrire
et justifier une méthode «énergétique» permettant de retrouver la condition d’oscillations
d’équilibre.
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