td2 oscillateurs

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Année 2012-2013
1. Pour le montage ci-dessus, donner les deux relations entre s et y
TD №2 : Electrocinétique
2. A quelle condition, observe-t-on des oscillations ?
Exercice n°2 : Oscillateur à relaxation
A . Enoncé
Défauts de l’AO
Défauts de l’amplificateur Opérationnel
On considère le montage amplificateur non inverseur.
On appelle impédance d’entrée le rapport le Z =
1. Identifier le rôle de chaque amplificateur opérationnel. Pour AO1 et AO2, donner la
fonction de transfert.
ve
ie
1. Si l’amplificateur opérationnel est idéal, quelle est l’impédance d’entrée ?
2. En fait, une modélisation plus réaliste de l’amplificateur opérationnel est la suivante. L’amplificateur opérationnel se comporte comme un filtre passe-bas du premier ordre :
µ0
vs =
ε
1 + j ωω0
5
−1
avec µ0 ≈ 10 et ω0 = 10 rad.s . De plus, on tient compte de la résistance d’entrée
différentielle Rde ≈ 1 MΩ. Le schéma du montage est celui de la figure de gauche.
Calculer l’impédance d’entrée du montage. Proposer une approximation.
2. Tracer la caractéristique donnant s en fonction de v2 pour AO3.
3. À l’instant t = 0, on suppose que s = +Vsat et que le condensateur est déchargé.
Déterminer l’évolution temporelle des tensions v1 et v2 tant que s = +Vsat .
4. Y-a-t-il basculement de s ? Si oui, déterminer l’instant où ce basculement a lieu.
5. Tracer en concordance de temps les évolutions temporelles de v1 , v2 et s.
6. Calculer la fréquence des signaux obtenus.
Exercice n°3 : Oscillateur du deuxième ordre à bobine réelle
3. L’exprimer en fonction de Rde , µ et B, transfert de la chaîne retour.
On admet que r < R, on étudie le montage ci-dessous.
4. Donner un ordre de grandeur de la résistance d’entrée du montage en statique pour
un amplificateur de gain 10.
Oscillateurs
Exercice n°1 : Oscillateur sinusoïdal
On admet que r < R, on étudie le montage ci-dessus à gauche.
1. A quelle condition ce montage oscille-t-il ?
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2. Cette condition étant réalisée, quand a-t-on des oscillations sinusoïdales ? Préciser
leur pulsation.
3. Montrer que même lorsque l’AO sature, il ne reste pas en saturation et peut ainsi
osciller.
Exercice n°4 : Oscillateur sinus-cosinus du troisième ordre
1. Déterminer, en fonction de R, X, em et r, la puissance moyenne Pd dissipée dans Z.
2. Déterminer de même la puissance moyenne Pg délivrée par le générateur.
3. En déduire le rendement de la liaison :
Pd
Pg
; on fera intervenir dans son expression le
module Z noté |Z| et le coefficient cos ϕ =
R
|Z|
.
4. Conclure quant à l’intérêt, pour un distributeur d’électricité, d’imposer à ses clients
de présenter un facteur de puissance proche de 1.
Soit le montage ci-dessus à droite
Exercice n°7 : Calculs de valeurs efficaces
1. Calculer la valeur efficace d’un signal carré d’amplitude E.
2. Même question pour un signal de période T , égal à E pour t ∈ [0, t1 ] et à 0 pour
t ∈ [t1 , T ] pendant T − t1 .
3. Calculer la valeur efficace d’un signal triangulaire de période T et d’amplitude maximale E.
1. À quelle(s) condition(s) sur les valeurs Ri des résistances et les valeurs Ci des capacités le système est-il un oscillateur sinusoïdal ? Quelle est alors la pulsation ?
2. Dans ce fonctionnement, quel est le déphasage entre les tensions de sortie des deux
amplificateurs opérationnels ? Justifier le nom « d’oscillateur sinus/cosinus » donné
à ce montage.
4. Quelle est la valeur efficace de e (t) = em cos2 ωt ?
Puissance
Exercice n°5 : Amélioration d’un facteur de puissance
Un moteur électrique que l’on peut modéliser par une résistance R en série avec une
impédance L, est alimenté par un courant alternatif de fréquence 50 Hz sous une tension
efficace U = 220 V ; sa puissance moyenne est P = 2 kW et l’intensité efficace est
I = 12 A.
1. Quel est le facteur de puissance de l’appareil ? En déduire la valeur de R et L.
2. Quelle capacité faut-il brancher en parallèle pour avoir cos ϕ = 1 pour l’ensemble de
l’installation. Quelle est l’intensité I 0 fournie par le réseau ?
Exercice n°6 : Intérêt du facteur de puissance
Un générateur
sinusoïdal, de pulsation ω, a une f.e.m. de la forme e(t) =
Re em e(jωt+ϕ) . Il alimente une charge Z, dont la valeur à la pulsation ω est R + jX,
par l’intermédiaire d’une ligne modélisée par la résistance r.
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B . Indications
1. Soient τi = Ri Ci , on trouve la condition τ1 = τ3 et ω =
2. Déphasage de
montage.
Exercice n°1 : Oscillateur sinousoïdal
1.
2.
jRCω
s
= 1+3jRCω−R
2 C 2 ω 2 et y
2
oscillations pour R
R1 = 2
s
y
=
π
2
√1
τ2 τ3
d’où le nom le nom « d’oscillateur sinus/cosinus » donné à ce
Exercice n°5 : Amélioration d’un facteur de puissance
R1
R1 +R2
1. cos ϕ = 0, 76 , R =
2. C =
Exercice n°2 : Oscillateur à relaxation
L
R2 +L2 ω 2
P
I2
= 13.8 Ω, L =
R tan ϕ
ω
= 38 mH.
= 110 µF.
Exercice n°6 : Intérêt du facteur de puissance
AO1 amplificateur inverseur, AO2 intégrateur.
2 (R3 +R4 )
Fréquence des signaux obtenus : f = R2R
1 R3 RC
1. Pd =
e2m
R
2 (r+R)2 +X 2
2. Pg =
e2m
r+R
2 (r+R)2 +X 2
3.
Pd
R
1
=
=
<1
r
Pg
r+R
1 + |Z| cos
ϕ
4. EDF paye Pg et le consommateur paye Pd donc EDF a intérêt à imposer cos ϕ proche
de 1.
Exercice n°7 : Valeur efficace
1. Eef f =
E
√
2
2. Eef f = E
3. Eef f =
pour un signal positif ou nul, Eef f = E pour un signal −E puis E.
q
t1
T
E
√
3
– Première méthode
On calcule l’intégrale entre t = 0 et t =
Sur cet intervalle, on a e (t) = 4E Tt
Exercice n°3 : Oscillateur du deuxième ordre à bobine réelle
1. oscillations pour
L
R
Z
0
> rC
2. oscillations sinusoïdales pour
L
R
= rC. Pulsation ω0 =
q
1
LC
1−
r
T
4
e2 (t) dt = 16E 2
T
4
Z
0
.
3
2
1
T
t
16E 2
E2
dt =
×
×
=
T
2
T
T
3
4
12
L’intégrale sur [0, T ] est égale à quatre fois cette intégrale : soit
R
Exercice n°4 : Oscillateur sinus-cosinus du troisième ordre
Z
0
Ch. Brunel
T
4
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T
e2 (t) dt =
E2
T
3
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On en conclut que la tension efficace est
s
Z
E
1 T 2
Eef f =
e (t) dt = √
T 0
3
4. Eef f = E
Ch. Brunel
q
3
8
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