Distributions et EDP Espaces vectoriels topologiques

Distributions et EDP
Espaces vectoriels topologiques
Cours Master - 2009/2010
Dr HITTA Amara
Univ. 8 Mai 1945
Guelma
Janvier 2010

Universit´e 8 Mai 1945 - Guelma
COURS - Master
Distributions, E.d.p. & Espaces de Sobolev
DrHITTA Amara
Maˆıtre de Conf´erences Habilit´e
Site Perso :http://www.hittamara.com
Email :[email protected]
2009-2010
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Table des Mati`eres
1 Espaces vectoriels topologiques 5
1.1 Notations et Rappels .............................. 5
1.2 R´egularisation de fonctions ........................... 6
1.3 Partition de l’unit´e ............................... 10
1.4 Semi-normes ................................... 11
1.5 Topologie d´etermin´ee par une famille de semi-normes ............ 12
2 Espaces vectoriels localement convexes 15
2.1 Ensembles convexes, ´equilibr´es et absorbants ................. 15
2.2 Jauges ou fonctionnelles de Minkowski .................... 16
2.3 Applications et formes lin´eaires ........................ 20
2.4 Dualit´e dans les E.V.T. ............................. 23
2.5 Topologie limite inductive ........................... 25
2.6 Topologie des espaces de fonctions tests .................... 28
3 Distributions 31
3.1 D´efinitions et propri´et´es ............................ 31
3.2 D´eriv´ees partielles au sens des distributions .................. 36
3.3 Multiplication des distributions ........................ 42
3.4 Transformations de distributions ........................ 46
3.4.1 Translation d’une distribution ..................... 46
3.4.2 Sym´etrie d’une distribution ...................... 46
3.4.3 Changement d’´echelle et distributions homog`enes .......... 47
3

1`ere Ann´ee Master Dr HITTA Amara, Janv. 2010
3.5 Topologies sur l’espace D0(Ω) ......................... 48
3.6 Topologies sur l’espace E0(Ω) ......................... 48
3.7 Limites de distributions ............................ 51
4 Convolutions de distributions 53
4.1 Produit tensoriel de distributions ....................... 53
4.2 Convolution de deux distributions ....................... 56
4.2.1 Motivation et d´efinition ........................ 56
4.2.2 Propri´et´es de la convolution ...................... 57
4.2.3 Solutions fondamentales de certaines ´equations aux d´eriv´ees partielles 60
5 Transformations de Fourier, Espaces Set S067
6 Espaces de Sobolev 69
6.1 L’int´egration par partie et d´erivations faibles ................. 69
6.2 Espace de Sobolev H1(Ω) ........................... 73
DrHITTA Amara 4 Universit´e 8 Mai 1945. Guelma

Chapitre 1
Espaces vectoriels topologiques
1.1 Notations et Rappels
´
Etant donn´e un entier n≥1, les ´el´ements de Nnsont appel´es multi-indices. Pour α=
(α1, α2,··· , αn)∈Nnle nombre |α|=α1+··· +αnest appel´e longueur du multi-indice
α. Pour kcompris entre 1 et n, on note l’op´erateur de d´erivation par rapport `a la k-i`eme
variable par ∂k=∂/∂xket
∂α=∂α1
1···∂αn
n=∂|α|
∂xα1
1∂xα2 2···∂xαn
n
.
Soit kun entier sup´erieur `a 1. On dit que f: Ω →Kest de classe Cksi toutes les
d´eriv´ees partielles de fexistent et sont continues jusqu’`a l’ordre k. L’ordre dans lequel
sont effectu´ees les d´erivations est indiff´erent d’apr`es la th´eor`eme de Schwarz. On note
Ck(Ω) l’ensemble des fonctions de classe Cksur Ω.
On dit que f: Ω →Kest de classe C∞si elle est de classe Cksur Ω pour chaque entier
k≥1. On pose C∞(Ω) l’ensemble des fonctions de classe C∞sur Ω, not´e d’apr`es Laurent
Schwatrz, par
E(Ω) = C∞(Ω)
On a
C∞(Ω) ⊂ ··· ⊂ Ck(Ω) ⊂ ··· ⊂ C1(Ω) ⊂C(Ω).
Nous rappelons que :
E(Ω) = C∞(Ω) = T
k≥0
Ck(Ω).
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