Distributions et EDP Espaces vectoriels topologiques

Distributions et EDP
Espaces vectoriels topologiques
Cours Master - 2009/2010
Dr HITTA Amara
Univ. 8 Mai 1945
Guelma
Janvier 2010
Université 8 Mai 1945 - Guelma
COURS - Master
Distributions, E.d.p. & Espaces de Sobolev
Dr HITTA Amara
Maı̂tre de Conférences Habilité
Site Perso : http://www.hittamara.com
Email : [email protected]
2009-2010
Table des Matières
1 Espaces vectoriels topologiques
5
1.1
Notations et Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2
Régularisation de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3
Partition de l’unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4
Semi-normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5
Topologie déterminée par une famille de semi-normes . . . . . . . . . . . . 12
2 Espaces vectoriels localement convexes
15
2.1
Ensembles convexes, équilibrés et absorbants . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2
Jauges ou fonctionnelles de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3
Applications et formes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4
Dualité dans les E.V.T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5
Topologie limite inductive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6
Topologie des espaces de fonctions tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Distributions
31
3.1
Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2
Dérivées partielles au sens des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3
Multiplication des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4
Transformations de distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4.1
Translation d’une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4.2
Symétrie d’une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4.3
Changement d’échelle et distributions homogènes . . . . . . . . . . 47
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3.5
Topologies sur l’espace D0 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.6
Topologies sur l’espace E0 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.7
Limites de distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4 Convolutions de distributions
53
4.1
Produit tensoriel de distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2
Convolution de deux distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2.1
Motivation et définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2.2
Propriétés de la convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2.3
Solutions fondamentales de certaines équations aux dérivées partielles 60
5 Transformations de Fourier, Espaces S et S0
67
6 Espaces de Sobolev
69
6.1
L’intégration par partie et dérivations faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.2
Espace de Sobolev H 1 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Chapitre
1
Espaces vectoriels topologiques
1.1
Notations et Rappels
Étant donné un entier n ≥ 1, les éléments de Nn sont appelés multi-indices. Pour α =
(α1 , α2 , · · · , αn ) ∈ Nn le nombre |α| = α1 + · · · + αn est appelé longueur du multi-indice
α. Pour k compris entre 1 et n, on note l’opérateur de dérivation par rapport à la k-ième
variable par ∂k = ∂/∂xk et
∂ α = ∂1α1 · · · ∂nαn =
∂ |α|
.
∂xα1 1 ∂xα2 2 · · · ∂xαnn
Soit k un entier supérieur à 1. On dit que f : Ω → K est de classe C k si toutes les
dérivées partielles de f existent et sont continues jusqu’à l’ordre k. L’ordre dans lequel
sont effectuées les dérivations est indifférent d’après la théorème de Schwarz. On note
Ck (Ω) l’ensemble des fonctions de classe C k sur Ω.
On dit que f : Ω → K est de classe C ∞ si elle est de classe C k sur Ω pour chaque entier
k ≥ 1. On pose C∞ (Ω) l’ensemble des fonctions de classe C ∞ sur Ω, noté d’après Laurent
Schwatrz, par
E(Ω) = C∞ (Ω)
On a
C∞ (Ω) ⊂ · · · ⊂ Ck (Ω) ⊂ · · · ⊂ C1 (Ω) ⊂ C(Ω).
Nous rappelons que :
E(Ω) = C∞ (Ω) =
T
k≥0
Ck (Ω).
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On désignera par Lp (Ω) l’espace des fonctions de puissance p intégrable à valeurs dans K.
Muni da la norme
·Z
¸ p1
p
kf kp =
|f (x)| dx ,
Ω
l’espace L (Ω) est un espace de Banach. Si p ≥ 1, on désigne par Lp`oc (Ω) l’espace de
fonctions f ∈ Lp`oc (K), pour tout compact K de Ω.
p
1.2
Régularisation de fonctions
Définition 1.2.1 Soit f une fonction réelle définie sur un ouvert Ω ⊂ Rn . On appelle
support de f l’ensemble
supp(f ) = {x ∈ Ω : f (x) 6= 0}.
Le support de f est alors le plus petit fermé de Rn à l’extérieure duquel la fonction f est
nul.
On note par Ckc (Ω) l’ensemble des fonctions de Ck (Ω) qui sont à support compact dans Ω.
L’objectif est de construire des fonctions permettant, en particulier, de séparer deux
fermés disjoints. Ces fonctions seront utilisées dans les techniques de convolution et de
régularisation de fonctions et de distributions.
Une fonction test (ou fonction d’essai) sur Ω est, par défintion, une fonction de classe
C ∞ définie sur Ω à support compact dans Ω.
L’espace vectoriel de ces fonctions tests sur Ω, dans la notation de L. Schwartz, est
D(Ω) = C∞
c (Ω).
Cet espace, equipé d’une topologie appropriée que l’on précisera, jouera un rôle important
dans la définition des distributions sur Ω.
La fonction suivante
ρ(x) =

µ

exp

0
1
|x|2 − 1
¶
si |x| ≤ 1
si |x| > 1.
est C ∞ à support la boule fermée de centre 0 et de rayon 1 dans Rn , notée B1 (0). En
divisant ρ par l’intégrale de ρ sur Rn , on obtient une autre fonction C ∞ de support B1 (0),
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notée α, telle que
R
Rn
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α(x)dx = 1. Pour tout ε > 0, on définit
αε (x) =
1
εn
α
µ ¶
x
ε
.
On voit clairement que :
¬ αε ∈ Ccα (Rn ).
 Le support de αε est Bε (0), boule fermée de centre 0 et de rayon ε.
R
®
αε (x)dx = 1.
Rn
A l’aide de la famille (αε )ε>0 , on peut régulariser les Lp -fonctions discontinues c’est-à-dire
qu’on peut montrer qu’elles peuvent être approchées par des fonctions tests. C’est la
vocation principale du théorème qui suivra.
Définition 1.2.2 Une fonction f définie sur Ω est dite localement intégrable sur Ω si f
est intégrable (au sens de Lebesgue) sur chaque compact K ⊂ Ω.
Ainsi, f est localement intégrable sur Ω si, pour tout compact K ⊂ Ω, le produit f.χK
est intégrable sur Ω, où χK est la fonction caractéristique de K, qui est égale à 1 sur K
et 0 à l’extérieure de K.
Définition 1.2.3 Soit f ∈ L1`oc (Rn ) une fonction localement intégrable sur Rn . La fonction
Z
Z
fε (x) =
f (x − y)αε (y)dy =
f (x)αε (x − y)dy
Rn
Rn
est dite la convolution de f par αε , notée par f ∗ αε ou αε ∗ f .
Théorème 1.2.1 Soit f une fonction localement intégrable sur Rn , alors
¬
La convolution fε est une fonction C ∞ dans Rn .

Si f est à support compact K, le support de fε est contenu dans un ε-voisinage
S
de K définie par Kε = K + Bε (0) =
Bε (x).
x∈K
®
Si f est continue, alors la suite (fε )ε>0 converge uniformément vers f sur tout
compact de Rn .
¯
Si f ∈ Lp (Rn ), 1 ≤ p < +∞, alors la suite (fε )ε>0 converge vers f dans Lp (Rn ).
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Preuve :
¬
Comme l’intégrale définissant fε (x) est prise sur des compacts de Rn donc on peut
dériver sous le signe intégrale.

Si x ∈ Rn et d(x, K) > ε alors x ∈
/ Kε = K + Bε (0). Donc, pour tout y ∈ K,
x−y ∈
/ Bε (0) = suppαε donc αε (x − y) = 0. Il s’en suit que l’intégrale définissant
fε (x) vaut 0pour tout x ∈
/ suppfε , ce qui assure que le support de fε (x) est contenu
dans Kε .
®
Supposons que f est une fonction continue et fixons K 0 un compact quelconque de
Rn . Comme f est uniformément continue sur K 0 , pour tout η > 0, il existe δ > 0
tel que |f (x − y) − f (x)| < η pour tout x ∈ K 0 et |y| < δ (y est dans un voisinage
de 0 dans R). En choisissant ε < δ il vient que
Z
|f (x − y) − f (x)|αε (y)dy < η,
|fε (x) − f (x)| ≤
Rn
pour tout x ∈ K 0 , ce qui montre que fε converge uniformément vers f sur K 0 lorsque
ε tend vers 0.
¯
Supposons que f ∈ Lp (Rn ), 1 ≤ p < +∞. D’après le théorème de densité, f peut être
approchées dans Lp (Rn ) par des fonctions continues à supports compacts. D’autre
part, en utilisant l’inégalité de Minkowski dans sa forme intégrale on montre que si
f ∈ Lp (Rn ) alors fε ∈ Lp (Rn ) telle que kfε kp ≤ kf kp .
Soit η > 0 et g ∈ Cc (Rn ) telle que kf − gkp < η3 . Il s’ensuit que kfε − gε kp ≤
kf − gkp < η3 . Écrivons
kfε − f kp ≤ kfε − gε kp + kgε − gkp + kg − f kp .
Comme g est continue à support compact, alors d’après ®, la suite (gε )ε>0 converge
uniformément vers g sur Rn , donc gε → g dans Lp (Rn ). En choisissant ε assez petit,
η
on en déduit que kgε − gk < . Finalement, on obtient kfε − f k < η. u
3
Ce théorème justifie la définition suivante :
Définition 1.2.4 La famille (αε )ε>0 est dite famille régularisante des fonctions définies
sur Rn . Si ε = i−1 , la suite de fonctions
αi (x) = in α(ix), i = 1, 2, · · ·
est dite suite régularisante de fonctions.
p
Corollaire 1.2.5 Soit Ω un ouvert de Rn . L’espace C∞
c (Ω) est un dense dans L (Ω),
1 ≤ p < +∞.
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Corollaire 1.2.6 Soit K un compact de Ω. Il existe une fonction ϕ ∈ C∞
c (Ω) telle que
0 ≤ ϕ ≤ 1 et ϕ = 1 dans K.
Preuve : Sans perdre de généralité, on peut supposer que Ω est borné. Soit d la distance entre K et la frontière F r(Ω) et posons Kd/3 le d/3-voisinage de K défini comme
précédemment. Il est facile de voir que la fonction ϕ = χd/3 ∗ αd/3 vérifie ce qui est
demandé dans l’énoncé du corollaire. u
Corollaire 1.2.7 Soient K1 et K2 deux compacts disjoints de l’ouvert Ω ⊂ Rn . Il exoste,
alors, une fonction ϕ ∈ D(Ω) telle que
(
1 si x ∈ K1
ϕ(x) =
−1 si x ∈ K2
et |ϕ(x)| ≤ 1 pour tout x ∈ Ω.
Preuve : Soient U1 et U2 deux ouverts disjoints de Ω contenant respectivement K1 et
K2 . D’après le corollaire précédent, il existe ϕ1 et ϕ2 ∈ D(Ω), telles que
ϕi ≡ 1 dans Ki , ϕi ∈ D(Ui ), i ∈ {1, 2},
et 0 ≤ ϕi (x) ≤ 1, i ∈ {1, 2}. La fonction cherchée sera définie par ϕ(x) = ϕ1 (x) −
ϕ2 (x), ∀x ∈ Ω. u
Avec la même argumentation, on montre que, si K est sous-ensemble compact de Rn et si
V est un voisinage arbitraire de K, il existe une fonction ϕ ∈ C∞
c (Ω) telle que 0 ≤ ϕ ≤ 1,
ϕ vaut 1 sur un voisinage de K et supp(ϕ) ⊂ V .
Théorème 1.2.2 Soient R et r ∈ R tels que 0 < r < R. Notons par BR et BR−r deux
boules concentriques de rayons respectifs R et R − r. Il existe une fonction ϕ ∈ C∞
c (Ω)
telle que :

supp(ϕ) ⊂ BR ,

ϕ(x) = 1 sur BR−r ,
®
pour tout p ∈ Nn : |∂ p ϕ(x)| ≤ C(p, n).r−|p| ,
∀x ∈ Rn .
Preuve : Posons χ la fonction caractéristique de la boule concentrique de rayon R−(2r/3)
et définissons la fonction ϕ par
µ
¶
Z
Z
1
x−y
ϕ(x) = χ ∗ αd (x) =
αd (x − y)dy = n
α
dy
d
d
BR−(2r/3)
BR−(2r/3)
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avec d = 3r . Il est clair que supp(ϕ) ⊂ BR et ϕ = 1 sur BR−r . Pour tout 1 ≤ i ≤ n, on a
µ
¶
Z
∂α x − y
d−1
∂i ϕ(x) = n
dy,
d
∂xi
d
BR−(2r/3)
ainsi
d−1
|∂i ϕ(x)| ≤ n
d
Z
∂i α
³y ´
d
Rn
Une preuve analogue nous donne ®.
1.3
Z
−1
∂i α(t)dt ≤ C(i, n).r−1 .
dy = d
Rn
u
Partition de l’unité
L’objectif est la construction de fonctions indéfiniment différentiables et à support compact permettant d’obtenir des propriétés globales de fonctions où de distributions en
étudiant leurs propriétés locales.
Proposition 1.3.1 Soit K un compact de Rn et soit (Ui )ni=1 un recouvrement ouvert
de K. Il existe une famille de compacts (Ki )ni=1 tel que Ki ⊂ Ui pour tout i = 1, · · · , n
et
K=
n
S
Ki .
i=1
Preuve : Pour chaque x ∈ K soit rx > 1 tel que B(x, rx ) ⊂
K ⊂
S
T
Ui . Alors, on a
x∈Ui
B(x, rx ). Il existe un nombre fini x1 , · · · , xn ∈ K tel que K ⊂
n
S
j=1
x∈K
Posons

Ki = K
\

B(xj , rxj ).

[

B(xj , rxj ) .
B(xj ,rxj )⊂Ui
Il est clair que Ki est un sous-ensemble compact deK et Ki ⊂ Ui . D’autre part, soit
x ∈ K, il existe i tel que x ∈ B(xi , rxi ). Par ailleurs, il existe j0 tel que xi ∈ Uj0 et alors
n
S
B(xi0 , rxi0 ) ⊂ Uj0 . Donc x ∈ Kj0 ⊂
Ki . u
i=1
Corollaire 1.3.1 [Partition de l’unité] Soient K un compact de Rn et (Ωi )1≤i≤n un
recouvrement fini de K. Il existe des fonctions ϕi ∈ C∞
c (Ω) telles que :
k
P
ϕi = 1 sur un voisinage de K.
¬ 0 ≤ ϕi ≤ 1, 
i=1
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Preuve : On peut trouver des compacts (Ki )1≤i≤n tel que Ki ⊂ Ωi et K ⊂
n
S
i=1
Ki◦ , où
Ki◦ désigne l’intérieur de Ki . Pour tout i, posons ψi ∈ C∞
c (Ωi ) telle que 0 ≤ ψi ≤ 1 et
ψi = 1 sur K. Définissons la suite que nous cherchons de la façon suivante
ϕ = ψ1 , ϕi = ψi (1 − ψ1 ) · · · (1 − ψi−1 ), i = 2, · · · , n.
Il est facilement vérifiable que la suite de fonctions (ϕi )1≤i≤n vérifie les propriétés demandées. u
Les espaces vectoriels considérés, dans la suite, ont pour corps de base K = R ou C.
1.4
Semi-normes
Définition 1.4.1 Soit E un K-espace vectoriels. On dit qu’une application p : E → R
est une semi-norme si, pour chaque x, y ∈ E et λ ∈ K, on a :
¬ p(x + y) ≤ p(x) + p(y)
 p(λx) = |λ|p(x).
Proposition 1.4.2 Soit E un K-espace vectoriel. Si p est une semi-norme sur E alors :
¬ p(0) = 0
 p(x) ≥ 0
® |p(x) − p(y)| ≤ p(x − y).
Preuve : On a p(0) = p(0x) = 0p(x) = 0, ce qui prouve ¬. Montrons ®, pour x, y ∈ E,
la sous-additivité de p révèle que
p(x) = p(x − y + y) ≤ p(x − y) + p(y),
donc p(x) − p(y) ≤ p(x − y). Cependant, par homogéniété de p on déduit que
p(x − y) = p[−(y − x)] = p(y − x) ≥ p(y) − p(x).
Ce qui prouve que p(x − y) ≥ |p(x) − p(y)|.
u
+ Exemple 1.4.1 Toute norme sur E est une semi norme. u
Soit Ω un ouvert non vide de Rn . On note par KΩ l’ensemble des parties compactes de Ω.
+ Exemple 1.4.2 Considérons l’espace C(Ω) des fonctions continues sur Ω. Pour chaque
compact K ∈ KΩ , l’application pK : C(Ω) → R définie, pour chaque f ∈ C(Ω), par
pK (f ) = sup |f (x)|.
x∈K
est une semi-norme.
u
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+ Exemple 1.4.3 Soit k ∈ N∗ . Pour chaque K ∈ KΩ , l’application pK : Ck (Ω) → R
définie pour chaque f ∈ Ck (Ω) par
pK (f ) =
est une semi-norme.
sup
|∂ α f (x)|.
x∈K,|α|≤k
u
+ Exemple 1.4.4 Pour chaque k ∈ N∗ et chaque K ∈ KΩ , l’application pK : C∞ (Ω) →
R définie pour chaque f ∈ C∞ (Ω) par
pk,K (f ) =
est une semi-norme.
sup
|∂ α f (x)|.
x∈K,|α|≤k
u
Définition 1.4.3 On dit qu’une famille (pi )i∈I de semi-normes sur un espace vectoriel E
est séparante si, pour chaque x ∈ E non nul, il existe i ∈ I tel que pi (x) > 1.
+ Exemple 1.4.5 Les familles de semi-normes définies précédemment sur les espaces
C(Ω), Ck (Ω) et C∞ (Ω) sont séparantes. u
1.5
Topologie déterminée par une famille de seminormes
Les types de convergence rencontrés en analyse ne rentrent pas tous dans le cadre des
espaces normés, on peut citer par exemple la convergence simple sur un ensemblee infini,
la topologie de la convergence uniforme sur les parties compactes d’un ouvert ...
Soit E un espace vectoriel et (pi )i∈I une famille séparante de semi-normes sur E. Etant
donnés un élément x0 ∈ E, un sous-ensemble fini non vide In de I et un réel r > 0, on
note
Vn (x0 , r) = {y ∈ E : max pi (x0 − y) < r}.
i∈In
Définition 1.5.1 On dit qu’un sous-ensemble O de E est ouvert s’il est vide ou bien si,
pour chaque x0 ∈ O, il existe un sous-ensemble fini non vide In de I et un réel r > 0 tels
que Vn (x0 , r) ⊂ O.
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Les ensembles de la forme Vn (x0 , r) sont des ouverts et jouent un rôle analogue à celui
des boules ouvertes dans les espaces métriques.
Les sous-ensembles de E de la forme :
Vn (x0 , r) = {x ∈ E : max pi (x0 − x) ≤ r}
i∈In
sont des fermés et jouent un rôle analogue à celui des boules fermées dans les espaces
métriques.
Définition 1.5.2 On appelle topologie sur E déterminée par la famille (pi )i∈I celle dont
les ouverts sont définis précédemment.
Proposition 1.5.3 La topologie determinée par une famille séparante de semi-normes
(pi )i∈I est séparée.
Preuve : Soient x, y ∈ E tels que x 6= y. Puisque (pi )i∈I est séparante, il existe i0 ∈ I
¢
¢
¡
¡
tel que r = pi0 (x − y) > 0. Alors V{i0 } x, 2r et V{i0 } y, 2r sont deux ouverts disjoints
contenant séparément x et y. u
Définition 1.5.4 Un espace vectoriel E muni d’une topologie T est un espace vectoriel
topologique (E.v.t) si :
(Tvs 1)
(x, y) → x + y est une application continue de E × E dans E.
(Tvs 2)
(λ, x) → λx de K × E dans E
sont continues.
Il est évident que dans les deux axiomes on considère la topologie produit dans des espaces
vectoriels produits.
La structure d’espace vectoriel de E est dite compatible avec la topologie T si les axiomes
(Tvs 1) et (Tvs 2) sont vérifiés.
+ Exemple 1.5.1 L’espace normé (E, k.k) est un espace vectoriel topologique. En effet,
par définition
k(x + y) − (a + b)k ≤ kx − ak + kx − bk.
On a k(x + y) − (a + b)k ≤ ε dès que
1
1
kx − ak ≤ ε et ky − bk ≤ ε.
2
2
Ce qui prouve que (x, y) → x + y est une application continue de E × E dans E. D’autre
part, on a
ξx − λa = (ξ − λ)(x − a) + (ξ − λ)a + λ(x − a);
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• Si λ 6= 0 et a 6= 0 : kξx − λak < ε, dès que
µr
¶
µr
¶
ε ε
ε ε
|ξ − λ| < min
,
et kx − ak < min
,
3 3kak
3 3|λ|
• Si λ = 0 et a 6= 0 : kξx − λak < ε, dès que
r
µr
¶
ε ε
ε
,
et kx − ak <
|ξ| < min
3 3kak
2
• Si λ 6= 0 et a = 0 : kξx − λak < ε, dès que
r
¶
µr r
ε
ε
ε
|ξ − λ| <
et kxk < min
,
3
2
2|λ|
• Si λ = 0 et a = 0 : kξx − λak < ε, dès que
√
√
|ξ| < ε et kxk < ε. u
Théorème 1.5.1 Un espace vectoriel E muni de la topologie engendrée par une
famille séparante de semi-normes est un espace vectoriel topologique.
Preuve : Etablissons la continuité de l’addition en un point (a, b). Fixons un indice
i0 ∈ I et un réel ε > 0. Pour (x, y) ∈ E × E nous avons
pi0 [(x + y) − (a + b)] ≤ pi0 (x − a) + pi0 (y − b).
Il s’en suit que pi0 ((x + y) − (a + b)) ≤ ε dès que pi0 (ϕ(x − a)) ≤ ε/2 et pi0 (ϕ(y − b)) ≤ ε/2
d’où la continuité de l’addition au point (a, b).
Pour la multiplication externe (λ, x) → λx, établissons sa continuité en un point (α, a).
Fixons un indice i0 ∈ I et un réel ε > 0. Pour (λ, x) ∈ K × E, nous avons
pi0 [(λy) − (µa)] ≤ |λ − α|pi0 (x) + |α|pi0 (x − a).
Fixons un réel r > 0 tel que |α|r ≤ ε/2. Nous observons que pour x vérifiant pi0 (x−a) ≤ r
nous avons pi0 (x) ≤ pi0 (a) + r et donc |λ − α|pi0 (x) ≤ |λ − α|(pi0 (a) + r). Fixons alors
un réel η tel que η(pi0 (a) + r) ≤ ε/2. Pour (λ, x) ∈ K × E vérifiant |λ − α| ≤ η et
pi0 (x − a) ≤ r nous avons pi0 (λx − αa) ≤ ε, d’où la continuité de la multiplication au
point (α, a). u
On en déduit ainsi que :
¬
Les translations et les homothéties, de rapports 6= 0, sont des homéomorphismes.

L’ensemble V(a) des voisinages d’un point a ∈ E est l’image par la translation τa de
l’ensembles des voisinage V(0) de 0. La topologie d’un espace vectoriel est connue
dès que l’on connait les voisinages de 0 :
V(a) = τa (V(0)).
Chapitre
2
Espaces vectoriels localement convexes
On va montrer qu’un espace vectoriel muni d’une famille séparante de semi-normes est
un espace vectoriel topologique localement convexe.
Inversement, on montrera que tout espace vectoriel topologique localement convexe est
un espace vectoriel sur lequel on définit une famille séparante de semi-normes.
2.1
Ensembles convexes, équilibrés et absorbants
Définition 2.1.1 Soit A un sous-ensemble de E.
¬
A est convexe si, pour chaque x, y ∈ A et chaque λ ∈ [0, 1], on a λx + (1 − λ)y ∈ A.

A est équilibré si, pour chaque x ∈ A et chaque λ ∈ K : |λ| ≤ 1, on a λx ∈ A.
®
A est absorbant si, pour chaque x ∈ E et chaque λ ∈ K on a x ∈ λA.
¯
A absorbe B ⊂ E, s’il existe λ ∈ R+ tel que B ⊂ λA.
°
A est absolument convexe s’il est convexe et équilibré.
Lemme 2.1.2 Si p est une semi-norme sur un espace vectoriel E, alors l’ensemble
B1 = {x ∈ E : p(x) ≤ 1}
est convexe, équilibré et absorbant.
Preuve : Soient x, y ∈ V et λ ∈ [0, 1]. Posons z = λx + (1 − λ)y ∈ E, alors
p(z) = p(λx + (1 − λ)y) = λp(x) + (1 − λ)p(y) ≤ λ + (1 − λ) = 1.
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Donc z ∈ B1 et B1 est convexe. Supposons que µ ∈ K et |µ| ≤ 1, comme x ∈ B1 alors
p(µx) = |µ|p(x) ≤ p(x) ≤ 1 et µx ∈ B1 . Donc B1 est équilibré. Pour montrer que B1 est
absorbant, prenons x ∈ E et p(x) = k alors p(k −1 ) = 1 ≤ 1 donc k −1 x ∈ B1 . u
Plus précisément, soit λ ∈ R+ , on définie
Bλ = {x ∈ E : p(x) ≤ λ}
On vérifie facilement que l’on a
Bλ = λB0 .
2.2
Jauges ou fonctionnelles de Minkowski
Les jauges jouent un rôle important dans l’étude du lien entre les espaces vectoriels
topologiques et les espaces localement convexes.
Lorsque A est une partie absorbante d’un espace vectoriel E, alors pour chaque x ∈ E,
l’ensemble {λ > 0 : x ∈ λA} est non vide, on peut alors considérer
JA (x) = inf {λ > 0 : x ∈ λA}.
On a définit ainsi une fonction réelle JA : E → R appelée jauge ou fonctionnelle de
Minkowski de A.
Si A est convexe et absorbante alors, pour tout x, y ∈ E et chaque réel λ ∈ R+ , on a
JA (x + y) ≤ JA (x) + JA (y) et JA (λx) = λJA (x).
Si de plus A est équilibré, alors JA est une semi-norme :
Si A ⊂ E est convexe, absorbant et équilibré alors JA est une semi-norme sur E.
Preuve : Comme A est une partie absorbante de E alors JA est bien définie sur E et
JA : E → R+ . Soient x ∈ E , y ∈ E, λ > 0 et β > 0 tels que x ∈ λA et y ∈ βA. On a
·
¸
λ
β
x + y ∈ λA + βA = (λ + β)
A+
A ⊂ (λ + β)A
λ+β
λ+β
car A est convexe. D’où l’additivité JA (x + y) ≤ JA (x) + JA (y). Finalement, puisque A
est equilibré, il vient que JA (λx) = |λ|JA (x). u
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On vérifie facilement que
{x ∈ E : JA (x) < 1} ⊂ A ⊂ {x ∈ E : JA (x) ≤ 1}
Nous allons montré le théorème suivant qui donne une caractérisation des espaces localement convexes ceci justifie en même temps le nom donnés à ces espaces.
Théorème 2.2.1 Soit E un espace vectoriel topologique, alors on a les conditions
suivantes sont équivalentes :
¬
E est localement convexe;

Il existe un système fondamental de voisinages convexes de l’origine;
®
Il existe un système fondamental de voisinages convexes, équilibrés et absorbants
de l’origine.
Preuve : ¬ =⇒  : Si la topologie de E est définie par une famille de semi-normes
(pi )i∈I , alors les ensembles
Vn (ε) = {x ∈ E : pi (x) ≤ ε, i ∈ In }
où 0 < ε < 1, forment un système fondamentale de voisinages convexes de l’origine.
® =⇒ ¬ : A chaque voisinage convexe, equilibré et absorbant V on peut lui associé une
jauge JV qui est une semi-norme. La famille des jauges, ainsi, obtenue définie la topologie
de E.
 =⇒ ® : Il suffit de montrer que si V est un voisinage convexe de l’origine alors
l’ensemble
\
λV
U=
|λ|=1
est un voisinage convexe, absorbant et équilibré de l’origine. Comme (µ, x) → µx est
continue à l’origne (0, 0), il existe ε > 0 et un voisinage V 0 de l’origne dans E tel que
µx ∈ V pour tout |µ| ≤ ε et pour tout x ∈ V 0 .
Ceci est équivalent à l’existence d’un voisinage W de 0 tel que
µW ⊂ V pour tout |µ| ≤ 1.
En particulier : µW ⊂ V pour tout |µ| = 1. Ainsi, W ⊂ λV où |λ| = 1, ce qui implique
que U est un voisinage de 0 dans E. Il est clair que U est convexe comme intersection de
convexes. De plus U est absorbant. Montrons, enfin, que U est équilibré. Si x ∈ U , le
segment [0, x] est contenu dans U c’est-à-dire que λx ∈ U pourtout 0 ≤ λ ≤ 1. D’autre
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part, si x ∈ U , de la définition de U il vient que λx ∈ U pour tout |λ| = 1. Si µ 6= 0 et
|µ| ≤ 1 on obtient
µ
µx = |µ|. x ∈ U
|µ|
ce qui montre que U est équilibré.
u
+ Exemple 2.2.1 Soit Ω un ouvert de Rn et 1 ≤ p < +∞. Notons Lp`oc (Ω) l’espace des
fonctions mesurables p-localement intégrable sur Ω c’est-à-dire : pour tout compact K de
R
Ω on a |f (x)|p < +∞. On définie une semi-norme par
K
·Z
¸1/p
pK (f ) =
|f (x)|
p
< +∞
K
La famille de semi-normes (pK )K∈KΩ détermine une topologie faisant de Lp`oc (Ω) un espace
vectoriel localement convexe. u
Définition 2.2.1 On dit qu’une suite (xn )n de E converge vers un éléments x ∈ E si,
pour chaque voisinage V de 0, il existe un entier m0 tel que, pour chaque entier m > m0 ,
on a xm − x ∈ V .
Comme la topologie étant séparée, une suite convergente possède une seule limite. En
terme de semi-normes on a la définition équivalente :
Une suite (xn )n de E converge vers un éléments x ∈ E si, et seulement si, pour chaque
indice i ∈ I et chaque ε > 0 il existe un entier m0 tel que pour chaque entier m ≥ m0
on a pi (xm − x) ≤ ε.
On peut introduire dans les espaces vectoriels topologiques la notion de suite de Cauchy :
Définition 2.2.2 On dit qu’une suite (xn )n de E est une suite de Cauchy si, et seulement
si, pour chaque voisinage V de 0, il existe un entier m0 tel que, pour chaque entier
m, m0 > m0 , on a xm − xm0 ∈ V .
Ce qui se traduit en terme de semi-normes par :
Une suite (xn )n de E est une suite de Cauchy si, et seulement si, pour chaque indice
i ∈ I et chaque ε > 0, il existe un entier m0 tel que pour chaque entier m, m0 ≥ m0 on
a pi (xm − xm0 ) ≤ ε.
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On conserve les notations, précédemment évoquées. Les topologies suivantes ne peuvent
être déterminées par des normes.
+ Exemple 2.2.2 Dans l’espace C(Ω), la topologie déterminée par la famille de seminormes (pK )K∈KΩ
pK (f ) = sup |f (x)|
x∈K
est appelée la topologie de la convergence uniforme sur les parties compactes de
Ω. Une suite (fn )n de C(Ω) converge vers f si, et seulement, si pour chaque K ∈ KΩ ,
la suite (fn )n converge uniformément vers f sur K. Toute suite de Cauchy de C(Ω) est
convergente. Cette topologie ne peut être déterminée par une norme.
+ Exemple 2.2.3 Dans l’espace Ck (Ω), k ≥ 1, la topologie déterminée par la famille de
semi-normes (pK )K∈KΩ
pK (f ) =
sup
|∂ α f (x)|
x∈K,|α|≤k
est appelée la topologie de la convergence uniforme sur les parties compactes de Ω
pour f et toutes ses dérivées jusqu’à l’ordre k. Une suite (fn )n de Ck (Ω) converge vers
f si, et seulement, si pour chaque K ∈ KΩ , la suite (∂ α fn )n converge uniformément vers
∂ α f sur K. Toute suite de Cauchy de Ck (Ω) est convergente.
On va étudier rapidement les notions topologiques vues en Licence dans le cadre des
espaces vectoriels dont la topologie est déterminée par une famille séparante de seminormes.
Dans ce qui suit E et F sont deux espaces vectoriels munis respectivement par des topologies déterminées par les familles de semi-normes (pi )i∈I et (q` )`∈L .
Rappelons que V est un voisinage de a ∈ E si, et seulement si, il existe un sous-ensemble
fini non vide In de I et un réel r > 0 tel que Vn (a, r) ⊂ V.
Étant donné a ∈ E et A une partie non vide de E. On a a ∈ A si, et seulement si,
pour chaque sous-ensemble fini non vide In de I et pour chaque réel r > 0 on a
∀n ∈ N, ∀r > 0, Vn (a, r) ∩ A 6= ∅
Théorème 2.2.2 L’adhérence d’une partie convexe est convexe. L’adhérence d’un
sous-espace vectoriel est un sous-espace vectoriel.
Preuve : Notons par f l’application de E × E × R dans E qui, à chaque (x, y, λ) associe
f (x, y, λ) = λx +(1 − λ)y. Cette application f est continue. Nous observons qu’une partie
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A de E est convexe si, et seulement si, f (A × A × [0, 1]) ⊂ A. Pour chaque partie convexe
C de E nous avons
³
´
¡
¢
f C × C × [0, 1] = f C × C × [0, 1] ⊂ f (C × C × [0, 1]) ⊂ C
ce qui montre la convexité de C. On utilise une méthode analogue pour démontrer que
l’adhérence d’un sous-espace vectoriel est un sous-espace vectoriel. u
Lemme 2.2.3 Soit E un espace localement convexe et F un fermé de E. Supposons
que V est un voisinage ouvert convexe et équilibré de 0 dans F et soit x ∈ E et x ∈
/ F.
Alors, il existe un voisinage W ouvert convexe et équilibré de 0 dans E tel que x ∈
/ W et
W ∩F =V.
Preuve : Comme F est un fermé de E, il existe un voisinage V0 ouvert convexe et
équilibré de 0 dans E tel que
(x + V0 ) ∩ F = ∅ et V0 ∩ F ⊂ V
Posons W l’enveloppe convexe équilibré de V ∪ V0 . Il est facile de montrer que W est
ouvert. D’autre part, on a clairement V ⊂ W ∩ F . Si w ∈ W ∩ F , il s’écrit w = αv + βv0
avec v ∈ V et v0 ∈ V0 et |α| + |β| ≤ 1. On doit supposer β 6= 0, sinon il y aurait
rien à démontrer. La relation précédente implique que v0 ∈ V0 ∩ F ⊂ V , donc w ∈ V .
Finallement, supposons par contradiction que x ∈ W . Alors, x = y + z avec y ∈ F et
z ∈ V0 . Ainsi, y = x − z ∈ (x + V0 ) ∩ F ce qui est impossible. u
2.3
Applications et formes linéaires
Définition 2.3.1 Une application f de E dans F est continue au point a ∈ E si, et
seulement si, pour chaque ` ∈ L et chaque réel ε > 0, il existe un sous-ensemble fini non
vide In ⊂ I et un réel r > 0 tels que
max pi (x − a) < r =⇒ q` (f (x) − f (a)) < ε
i∈In
Si f est une application linéaire cette définition se reformule ainsi :
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Théorème 2.3.1 Soit f une application linéaire de E dans F . Les affirmations suivantes sont équivalentes :
¬
f est continue;

f est continue en 0;
®
∀` ∈ L, il existe In ⊂ I, fini, et c ∈ R+ tel que, pour chaque x ∈ E on a :
q` (f (x)) ≤ c max pi (x).
i∈In
Lorsque E = F et f une forme linéaire sur E, on a
Théorème 2.3.2 Soit f une forme linéaire de E. Les affirmations suivantes sont
équivalentes :
¬
f est continue;

f est continue en 0;
®
Il existe In ⊂ I, fini, et c ∈ R+ tel que, pour chaque x ∈ E on a :
|f (x)| ≤ c max pi (x).
i∈In
Ce résultat s’écrit ainsi :
µ
∀η > 0, ∃c > 0 et n ∈ N tel que f
Vn
µ ¶¶
η
c
⊂] − η, η[.
L’ensemble des formes linéaires continues sur E est un espace vectoriel noté
E 0 appelé la dual topologique de E.
Rappelons que si H est un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel, les affirmations
suivantes sont équivalentes :
1. H est le noyau d’une forme linéaire non nulle définie sur l’espace vectoriel.
2. H est un élément maximal, pour l’inclusion, parmi les sous-espaces vectoriels propres
de l’espace vectoriel.
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Corollaire 2.3.2 Si H est un hyperplan de E alors H est fermé ou dense dans E.
Théorème 2.3.3 Un hyperplan de E est fermé si, et seulement si, il est le noyau
d’une forme linéaire continue.
Preuve : Soient H un hyperplan fermé de E et f une forme linéaire non nulle dont H est
le noyau. Nous pouvons trouver un a ∈ E tel que f (a) = 1, l’ensemble a + H est alors un
fermé de E qui ne contient pas 0. Par définition, on peut trouver n ∈ N et r > 0 tel que
Vf,n (r) ∩ (a + H) = ∅. Nous allons montrer que pour chaque x ∈ Vf,n (r) on a |f (x)| < 1.
Supposons la contraire : il existe x0 ∈ Vf,n (r) tel que |f (x)| > 1. Quite à multiplier x0 par
un réel de module égal à 1 nous pouvons supposer que f (x0 ) est un réel ≥ 1. Si f (x0 ) = 1
alors x0 − a ∈ H (x0 + a ∈ H) ce qui est contradictoire avec Vf,n (r) ∩ (a + H) = ∅. Si
f (x) > 1 il existe un réel λ ∈]0, 1[ tel que f (λx0 ) = 1. Nous remarquons que λx0 Vf,n (r)
et nous sommes ramenés au cas précédent. Puisque, pour chaque x ∈ E, max pi (x) ≤ r
i∈In
entraı̂ne |f (x) ≤ 1 et pour chaque x ∈ E nous avons |f (x)| ≤ (1/r) max pi (x).
i∈In
u
Définition 2.3.3 On dit qu’une métrique d sur un espace vectoriel E est invariant par
translation si, pour chaque x, y, a ∈ E, on a d(x, y) = d(x + a, y + a).
Deux métriques d et d0 , invariantes par translation sur le même espace vectoriel E, qui
déterminent la même topologie sont uniformément équivalentes (c’est-à-dire que IE :
(E, d) → (E, d0 ) et IE : (E, d0 ) → (E, d) sont uniformément continues). Lorsque d et d0
sont deux métriques invariantes par translation topologiquement équivalentes sur E alors
(E, d) est complet si, et seulement si, (E, d0 ) est complet.
Définition 2.3.4 On dit que la topologie T d’un espace vectoriel topologique E est
métrisable s’il existe une métrique sur E, invariante par translation, qui détermine la
topologie T.
Théorème 2.3.4 La topologie sur un espace vectoriel déterminée par une suite
séparante de semi-normes est métrisable.
Preuve : Soit (pk )k une suite séparante de semi-normes sur un espace vectoriel E. Pour
x, y ∈ E définissons
+∞
X
pk (x − y)
d(x, y) =
2−k
.
1 + pk (x − y)
k=1
Il est facile de vérifier que d est une distance invariante par translation sur E qui détermine
la même topologie que la suite (pk )k .
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+ Exemple 2.3.1 Lorsque (pk )1≤k≤m est une suite finie séparante de semi-normes sur
E alors
max pk et
1≤k≤
Ã m
X
! r1
prk
,
1≤r<∞
k=1
sont des normes équivalentes qui déterminent la même topologie que la suite (pk )1≤k<m
Un espace vectoriel muni d’une topologie déterminée par une famille
séparante de semi-normes est dit espace de Fréchet lorsqu’il existe une distance invariante complète qui détermine T.
+ Exemple 2.3.2 Les espaces C(Ω), Ck (Ω) et C∞ (Ω) sont des espaces de Fréchet.
2.4
Dualité dans les E.V.T.
Soit E un espace vectoriel sur K = R ou C, le dual algébrique, noté E ∗ , est l’espace
vectoriel des formes linéaires x∗ : E → K. On note x∗ (x) =< x, x∗ > le crochet de dualité
représentant la valeur de x∗ sur x ∈ E. Pour chaque x∗ ∈ E ∗ posons
px∗ (x) = | < x, x∗ > |.
L’application px∗ : E → K est une semi-norme sur sur E et la famille (px∗ )x∗ ∈E ∗ détermine
une lopologie localement convexe sur E, notée σ(E, E ∗ ). Dans le même d’idées, nous
pouvons définir une topologie localement convexe sur E ∗ , notéeσ(E ∗ , E).
Lorsque E est un K-espace vectoriel topologique, Le dual topologique E 0 de E est le sousespace de E ∗ formé des formes linéaires continues (ou fonctionnelles) sur E. La topologie
σ(E, E 0 ) définie sur E par la famille de semi-normes (px0 )x0 ∈E 0 est dite topologie faible
sur E elle est plus fine que la topologie de E et de celle induite par σ(E, E ∗ ).
+ Exemple 2.4.1 Soit E un espace vectoriel normé, E 0 son dual topologique et f ∈ E 0 .
On peut recenser les ouverts qui doivent appartenir à la topologie σ(E, E 0 ) de la manière
suivante : si f ∈ E 0 et U ouvert de R, il faut que f −1 (U ) soit un ouvert de σ(E, E 0 ). Mais
comme les intervalles sont une base de voisinages de R, on voir que ceci revient à dire que
pour tout intervalle I et tout f ∈ E 0 , f −1 (U ) est dans σ(E, E 0 ). La topologie σ(E, E 0 ) est
la moins fine contenant tous les ensembles f −1 (I) pour tout f ∈ E 0 et tout intervalle I de
R. u
On définit, de même, la topologie faible σ(E 0 , E) sur le dual topologique E 0 de E. Il vient
qu’une suite (x0j ) converge faiblement vers 0 dans E 0 si, et seulement si, pour tout x ∈ E,
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la suite x0j (x) converge vers 0 dans K. Ainsi, la topologie faible σ(E 0 , E) coincide avec la
topologie de la convergence simple sur E 0 .
Dans E 0 on peut définir une autre importante topologie localement convexe à savoir la
topologie forte sur E 0 . Pour cela, on doit caractériser les parties bornées de E.
Définition 2.4.1 Soit E un espace vectoriel topologique. On dit que A ⊂ E est borné
si, pour chaque V ∈ V0 , il existe un réel λ > 0 tel que λA ⊂ V .
Lorsque E est un espace vectoriel localement convexe, chaque voisinage de 0 contient un
voisinage équilibré de 0. Ce qui justifie :
Définition 2.4.2 Si E est un espace vectoriel localement convexe A ⊂ E est borné si,
pour chaque V ∈ V0 , il existe un réel ε > 0 tel que λA ⊂ V pour tout |λ| ≤ 0.
Les deux définitions sont équivalente dans le cas général, puisque tout espqce vectoriel
topologique admet une base de voisinages équilibrés de 0.
En d’autres termes : B est bornée s’il est absorbée par chaque voisinage de 0 ce qui est
équivalent à : pour chaque i ∈ I on a sup pi (x) < +∞.
x∈B
+ Exemple 2.4.2 Toute partie finie et, plus généralement, toute partie compacte de E
est bornée.
+ Exemple 2.4.3 Toute partie relativement compact A d’un espace localement convexe
E est bornée. En effet, soit V ∈ V0 dans E, il existe W ∈ V0 tel que W + W ⊂ V
µW ⊂ W pour tout |µ| ≤ 1. Comme A est relativement compact, on peut trouver
ensemble fini (xj )1≤j≤p d’éléments de A tel que les ouverts (xj + W )1≤j≤p forment
recouvrement de A. Comme (xj )1≤j≤p est borné dans E, on peut trouver 0 < λ < 1
que λ{xj } ⊂ W . On a alors
λA ⊂
p
[
et
un
un
tel
λ(xj + W ) ⊂ W + W ⊂ V.
j=1
Donc A est borné.
u
Définition 2.4.3 Soit B une partie d’un espace vectoriel topologique E. L’ensemble
polaire B ◦ de B est le sous-ensemble de E 0 définie par
B ◦ = {x0 ∈ E 0 : | < x, x0 > | ≤ 1, ∀x ∈ B}.
Théorème 2.4.1 Si A est une partie bornée d’un espace vectoriel topologique E alors
son ensemble polaire A◦ ⊂ E 0 est un sous-ensemble convexe, équilibré et absorbant de
E 0.
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Preuve : Si x0 , y 0 ∈ A◦ et α, β ≥ 0 tels que α + β = 1, on a
| < x, αx0 + βy 0 > | ≤ α| < x, x0 > | + β| < y, y 0 > | ≤ 1.
Donc A◦ est convexe. Si x0 ∈ A◦ et λ ∈ K tel que |λ| ≤ 1, on a
| < x, λx0 > | = |λ|.| < x, x0 > | ≤ 1.
Ainsi, λx0 ∈ A◦ et A◦ est équilibré. Finallement, soit z 0 ∈ E 0 et considérons le voisinage
de 0 suivant V = {x ∈ E : | < x, z 0 > | ≤ 1}. Comme A est un sous-ensemble borné de
E, il existe λ > 0 tel que λA ⊂ V , donc
| < x, λz 0 > | = | < λx, z 0 > | ≤ 1, ∀x ∈ A,
ce qui montre que A◦ est un sous-ensemble absorbant dans E 0 .
u
Les résultats de ce théorème, nous conduit à définir, pour toute partie A borné d’un
espace vectoriel topologique E la semi-norme suivante sur E 0 par
pA◦ (x0 ) = inf {λ ≥ 0 : x0 ∈ λA◦ }.
Si l’on note B(E) la famille des parties bornées de E, la famille (pA◦ )A∈B(E) définie une
topologie localement convexe et séparée sur E 0 , dite topologie forte de E 0 . On peut
montré que la suite (x0j ) converge fortement vers 0 dans E 0 si, et seulement si, la suite
(x0j (x)) converge uniformément vers 0 sur chaque partie bornée de E. Ainsi, la topologie
forte sur E 0 est dite topologie de la convergence uniforme sur les parties bornées
de E.
On note par Eb0 le dual topologique E 0 muni de la topologie forte ainsi définie.
+ Exemple 2.4.4 Si E est un espace normé, son dual topologique E 0 muni de la norme
kxkE0 = sup | < x, x0 > |
kxkE ≤1
est un espace de Banach. u
2.5
Topologie limite inductive
Nous aborderons, dans la suite, la notion de topologie limite inductive d’un point de
vue qui nous permettra de définir l’espace des fonctions tests et la notion duale des
distributions.
Soit (Ei )i∈N une suite croissante d’espaces localement convexes tels que l’application identité Ei ,→ Ei+1 soit continue pour chaque i. Posons
E=
∞
[
i=1
Ei .
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Définissons sur E la topologie localement convexe la moins fine rendant les identités
Ei ,→ Ei+1 continues pour i = 1, 2, · · · ,. Elle est dite topologie limite inductive de E
définie par les sous-espaces Ei . L’espace E muni de cette topologie est dit limite inductive
des espaces (Ei )i∈N .
Pour que un convexe V soit un voisinage de 0 dans la topologie limite inductive, il faut
et il suffit que chaque intersection V ∩ Ei pour tout i = 1, 2, · · · . Ainsi, nous obtenons un
système fondamentale de voisinages de l’origine dans E en prenant toutes les enveloppes
convexes de la forme
Ã∞ !
[
V =Γ
Vi
i=1
où chaque Vi appartient au système fondamentale de voisinages convexes de chaque Ei ,
i = 1, 2, · · · .
Proposition 2.5.1 Soit E la limite inductive de (Ei )i∈N et soit F un espace localement
convexe. Une application linéaire u : E → F est continue si, et seulement si, la restriction
ui = u|Fi de u est continue de Ei dans F pour tout i ∈ N.
Preuve : Si u est continue, alors chaque restriction ui est continue puisque, par définition,
l’identité Ei ,→ E est continue. Inversement, supposons que chaque ui de Ei → F est
continue. Fixons U un voisinage convexe de 0 dans Fµ, il existe
¶ un voisinage convexe de
∞
S
Vi est un voisinage de 0 dans
0, noté Vi , dans Ei tel que ui (Vi ) ⊂ U . Alors, V = Γ
i=1
E, et on a u(V ) ⊂ U ; donc u est continue de E dans F .
u
Théorème 2.5.1 Si E est la réunion d’une suite croissante (Ei )i∈N d’espaces localement convexes tels que :
• Pour tout i, l’identité Ei ,→ Ei+1 est continue;
• La topologie induite par Ei+1 sur Ei coincide avec la topologie de Ei , pour tout i;
• Ei est un sous-espace fermé de Ei+1 , pour tout i.
Alors :
1. La topologie limite inductive de E induit sur chaque Ei sa topologie originale.
2. Un sous-ensemble A est borné dans la topologie inductive de E si, et seulement, il
existe un indice j tel que A est contenu et borné dans Ej .
Preuve :
1. Dans le but de montrer que la topologie induite par E sur Ei coincide avec la
topologie originale de Ei , il suffit de montrer que : étant donné Vi un voisinage
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convexe équilibré de 0 dans Ei , il existe un voisinage V de 0 dans E tel que Vi =
V ∩ Ei , ∀i. En appliquant le lemme, Il est facile de voir qu’il existe une suite
(Vi+k ), k = 0, 1, 2, · · · , de voisinages convexe équilibré de 0 dans Ei+k tel que
Vi+k−1 = Vi+k ∩ Ei+k−1 , k = 1, 2, · · · .
∞
S
En posant V =
Vi+k , il est aisé de voir que V est un voisinage de 0 dans E et
k=0
que Vi = V ∩ Ei .
2. Soit A un borné de E. Supposons, par contradiction, qu’il n’existe pas d’indice i tel
que A ⊂ Ei . Alors, on peut trouver une suite croissante d’indices (in ) et une suite
(xn ) d’éléments de E tel que
xn ∈ A ∩ Ein
et
xn ∈
/ Ein−1 .
D’après le lemme, il existe une suite (Vn ) de voisinages ouvert convexe et équilibré
de 0 dans Ein tel que
xn ∈
/ nVn
Posons V =
∞
S
et
Vn ∩ Ein−1 = Vn−1 .
Vn . Alors V est un voisinage de 0 dans E tel que
i
V ∩ Ein = Vn
et
xn ∈
/ nVn .
Mais, ceci contredit la supposition que A est borné dans E.
u
+ Exemple 2.5.1 (L’espaceSCc (Ω)). Soit (Ki ) une suite croissante de compacts d’un
Ω un ouvert Rn telle que Ω = i Ki . Posons E = Cc (Ω) l’espace des fonctions continues
à support compact définies sur Ω. Posons Ei = Cc (Ω, Ki ) le sous-espace de Cc (Ω) formé
des fonctions continues dont le support est inclu dans Ki . On a
Cc (Ω) =
S
Cc (Ω, Ki ).
i
Définissons sur Cc (Ω, Ki ) la topologie de la convergence uniforme sur Ki ; elle est localement convexe puisqu’elle est définie par la norme
pKi (f ) = sup |f (x)|.
x∈Ki
L’espace Cc (Ω, Ki ) muni de cette norme est un espace de Banach et l’application Cc (Ω, Ki ) ,→
Cc (Ω, Ki+1 ) est continue. L’espace Cc (Ω, Ki ) est un sous-espace fermé de Cc (Ω, Ki+1 ). Les
hypothèses de theorème précédent sont vérifiées, on définit sur Cc (Ω) la topologie limite
inductive des espaces Cc (Ω, Ki ). Comme conséquence : une suite (ϕj ) converge vers 0
dans Cc (Ω) si, et seulement si, on a :
¬ Il existe un compact K de Ω tel que supp(fj ) ⊂ K pour chaque j;
 La suite (fj ) converge uniformément vers 0 sur K.
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+ Exemple 2.5.2 (L’espace Lpc (Ω), 1 ≤ p ≤ ∞). Soit K un compact de Ω ouvert
de Rn . Désignons par Lp (K), 1 ≤ p < +∞, l’espace des fonctions Lp -intégrables à
support contenu dans K muni de sa norme naturelle. Les espaces Lp (K) sont des espaces
de Banach. Si K1 ⊂ K2 , l’application Lp (K1 ) ,→ Lp (K2 ) est continue et la topologie
induite par Lp (K2 ) sur Lp (K1 ) coincide avec la topologie de Lp (K1 ). Si (Ki ) est une suite
S
S
croissante de compacts de Ω telle que Ω = Ki . Alors Lpc (Ω) = Lp (Ki ) est muni de la
topologie limite inductive.
2.6
i
u
i
Topologie des espaces de fonctions tests
Soit Ω un ouvert fixé de Rn . Pour chaque partie compacte K ⊂ Ω on note
DK (Ω) = {ϕ ∈ E(Ω) : ∀x ∈ Ω \ K, ϕ(x) = 0}.
L’espace DK (Ω) est le sous-espace vectoriel de E(Ω) dont les éléments sont les fonctions
dont le support, contenu dans K, est une partie compacte de Ω. C’est un sous-espace
fermé de E(Ω), donc DK (Ω) est un espace de Fréchet.
On note
S
D(Ω) = C∞
DK (Ω)
c (Ω) =
K∈KΩ
le sous-espace vectoriel de E(Ω) dont les éléments sont les fonctions dont le support est
une partie compacte de Ω. Le sous-espace D(Ω) n’est pas fermé dans E(Ω).
On note TK la topologie induite par E(Ω) sur DK (Ω). C’est la topologie déterminée sur
DK (Ω) par la famille de semi-normes sur D(Ω) :
pm (ϕ) =
sup
|∂ α ϕ(x)| < +∞.
|α|≤m,x∈Ω
On va construire une topologie sur D(Ω) en distinguant une famille de parties qui sera,
en fait, une base de voisinages de 0. Pour cela, on note
V = {V ⊂ D(Ω); absolument convexe et équilibré, ∀K ∈ KΩ , V ∩ DK (Ω) ∈ TK }.
Pour chaque V ∈ V, sa jauge JV est une semi-norme sur D(Ω)
Corollaire 2.6.1 La famille de semi-normes (JV )V ∈V est séparante.
Preuve : Soit ϕ ∈ D(Ω) telle que ϕ 6= 0. Evidemment r = sup |ϕ(x)| > 0. Notons
x∈Ω
V = {f ∈ D : q0 (f ) < r}. Il est clair que V ∈ V et que JV (ϕ) ≥ 1.
u
On note par T la topologie sur D(Ω) déterminée par la famille (JV )V ∈V .
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Corollaire 2.6.2 Pour chaque V ∈ V on a V = {ϕ ∈ D(Ω) : JV (ϕ) < 1} et la famille V
est un système de voisinage de 0 pour la topologie T. Autrement dit, pour tout voisinage
U de 0 pour T il existe V ∈ V tel que V ⊂ U .
Preuve : Il est clair que V est convexe et que {ϕ ∈ D(Ω) : JV (ϕ) < 1}. Réciroquement,
soit ϕ ∈ V . Il existe une partie compacte de Ω telle que ϕ appartient à l’ouvert V ∩DK (Ω)
de DK (Ω). L’application λ ∈ R → λϕ étant continue au point λ = 1 il existe alors un
réel r > 1 tel que pour tout réel λ véerifiant 1 − r ≤ λ ≤ 1 + r on a λϕ ∈ V ∩ DK (Ω).Il
découle (1 + r)ϕ ∈ V donc JV (ϕ) < 1. La suite est clair. u
Théorème 2.6.1 Pour chaque partie compact K de Ω, la topologie TK et la topologie
induite par T sur DK (Ω) sont égaux.
Preuve : Fixons une partie compacte K de Ω. Soit U un voisinage de 0 dans DK (Ω)
muni de la topologie induite par T. D’après le corollaire précédent nous pouvons trouver
V ∈ V tel que V ∩ DK (Ω) ⊂ U . Puisque V ∩ DK (Ω) est un voisinage de 0 pour TK il
s’ensuit que U est aussi voisinage de 0 pour cette même topologie. La topologie induite
par T sur DK (Ω) est donc moins fine que la topologie TK .
Réciproquement, soit W un voisinage de 0 pour TK . Puisque la suite (pm )m détermine la
topologie TK sur DK (Ω) , il existe alors un m ≥ 0 et un réel r > 0 tel que
{ϕ ∈ DK (Ω) : pm (ϕ) < r} ⊂ W.
Il est clair que V = {ϕ ∈ D(Ω) : pm (ϕ) < r} ∈ V, il s’ensuit que W est un voisinage de 0
pour la topologie induite par T sur DK (Ω). u
Théorème 2.6.2 Une suite (ϕm )m de D(Ω) tend vers 0 quand m tend vers +∞ si, et
seulement si, il existe un compact K ⊂ Ω tel que, pour chaque m, on a ϕm ∈ DK (Ω)
et (ϕm )m tend vers 0 pour la topologie TK .
Preuve : Puisque la topologie TK est induite par T sur DK (Ω) il est clair qu’une suite
(ϕm )m de D(Ω) telle que ϕm ∈ DK (Ω) pour chaque entier m et qui tend vers 0 dans
DK (Ω) tend aussi vers 0 dans D(Ω).
Réciproquement, considérons une suite (ϕm )m de D(Ω) tendant vers 0 et supposons que
pour chaque compact K ⊂ Ω il existe un entier m tel que la restriction ϕm |Ω\K 6= 0.
Fixons (K` )` une suite exhaustive de compacts de Ω. Nous pouvons alors construire une
suite strictement coissante d’entiers (m` )` et une suite (x` )` de Ω qui vérifient, pour chaque
entier `, x` ∈ Ω \ Ki et ϕm` (xi ) 6= 0. Notons alors
V = {ϕ ∈ D(Ω) : ∀`, |ϕ(x` )| < (1/2)|ϕmi (xi )|}.
Il est clair que V est absolument convexe. Pour chaque compact K ⊂ Ω il n’y a qu’un
nombre fini de x` qui appartiennent à K, il s’ensuit que V ∩ DK (Ω) ∈ TK et donc V est
un voisinage de 0 pour T. La suite (ϕm )m convergeant vers 0 il existe un entier m` tel que
ϕm` ∈ V ce qui est contradictoire. u
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Théorème 2.6.3 Une suite (ϕm )m de DK (Ω) est Cauchy si, et seulement si, il existe
un compact K ⊂ Ω tel que, pour chaque entier m, ϕm ∈ DK (Ω) et (ϕm )m est de
Cauchy pour la topologie TK .
La preuve est identique à celle du théorème précédent.
Théorème 2.6.4 Toute suite de Cauchy de D(Ω) est convergente.
Théorème 2.6.5 Soit u une application linéaire de D(Ω) dans un espace vectoriel
E muni de la topologie déterminée par une famille séparante de semi-normes. Les
affirmations suivantes sont équivalentes :
¬
u est continue,

pour toute suite (ϕm )m → 0 dans D(Ω), la suite (u(ϕm ))m tend vers 0 dans E,
®
pour tout compact K ⊂ Ω, la restriction de u à DK (Ω) est continue.
Preuve : Les affirmations ¬ =⇒  et  =⇒ ® sont évidentes. Montrons que
® =⇒ ¬. Pour cela nous allons établir la continuité de u en 0. Soit W un voisinage
absolument convexe de 0 dans E. Il est clair que V = u−1 (W ) est une partie absolument
convexe de D(Ω). Puisque V ∩ DK (Ω) = (u|DK (Ω) )−1 (W ) nous avons V ∩ DK (Ω) ∈ TK .
Il s’ensuit que V est un voisinage de 0 dans D(Ω).
Remarque: Soit u une forme linéaire sur D(Ω). u est continue si, et seulement si,
pour chaque compact K ⊂ Ω, il existe un réel C et un entier m ≥ 0 tels que, pour
chaque ϕ ∈ DK (Ω), on a
|u(ϕ)| ≤ C
sup
|∂ α ϕ(x)|.
x∈Ω,|α|≤m
La constante C et l’entier m dépendent du compact K.
Chapitre
3
Distributions
3.1
Définitions et propriétés
Définition 3.1.1 Les formes linéaires continues sur D(Ω) sont appelées distributions
sur l’ouvert Ω. L’espace vectoriel de toutes les distributions sur Ω sera noté D0 (Ω).
L’espace D0 (Ω) est le dual topologique de l’espace fonctionnel C∞
c (Ω).
Ainsi, on a le résultat suivant :
Proposition 3.1.1 Une forme linéaire T est une distribution sur Ω si, et seulement
si, pour chaque compact K ⊂ Ω, il existe une constante C > 0 et un entier m ≥ 0 tels
que
| < T, ϕ > | ≤ C.
sup
x∈Ω,|α|≤m
|∂ α ϕ(x)|, ∀ϕ ∈ DK (Ω).
(∗)
Preuve : Soit T ∈ D0 (Ω). Pour chaque compact K ⊂ Ω, T est une forme linéaire sur
DK (Ω). Il existe, alors, V ∈ V0 de la forme
V = VKm,ε = {ϕ ∈ DK (Ω) : pm,K (ϕ) ≤ ε}
où pm,K (ϕ) =
sup
|∂ α ϕ(x)| tel que | < T, ϕ > | ≤ 1 pour tout ϕ ∈ V . D’autre part,
x∈K,|α|≤m
si ϕ ∈ DK (Ω) est tel que ϕ 6= 0, on a
ε.ϕ
∈ V.
pm,K (ϕ)
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Il s’ensuit que
| < T, ϕ > | < (1/ε).pm,K (ϕ), ∀ϕ ∈ DK (Ω) \ {0}.
En posant C = ε−1 on obtient (∗) lorsque ϕ 6= 0. Notons, enfin, qu’on a l’égalité dans
(∗) lorsque ϕ = 0. Inversement, si (∗) est satisfaite, alors pour chaque compact K ⊂ Ω,
T est une forme linéaire continue sur DK (Ω). D’après la proposition 2.5.1, on en déduit
que T est une distribution sur Ω. u
L’inégalité (∗) n’est le seul critère à démontrer pour vérifier qu’une forme linéaire sur D(Ω)
est une distribution. Une autre caractérisation s’impose en terme de suites convergentes
dans D(Ω) :
Théorème 3.1.2 On a T ∈ D0 (Ω) si, et seulement si, pour toute suite (ϕi ) convergente vers 0 dans D(Ω), la suite numérique | < T, ϕi > | converge vers 0 dans K = R
ou C.
Preuve : Supposons que T ∈ D0 (Ω) et (ϕi ) une suite convergente vers 0 dans D(Ω). Il
existe un compact K ⊂ Ω tel que
ϕi ∈ DK (Ω),
∀i
et
ϕi → 0 dans DK (Ω).
Comme T est continue dans D(Ω), d’après (∗), on a (< T, ϕi >→ 0 lorsque i → +∞.
Inversement, Supposons que ceci est vérifié. Il suffit de vérifier que T est continue sur
chaque espace DK (Ω). Supposons, par contradiction, qu’il existe Ki0 telle que T n’est
pas continue sur DKi0 (Ω). On peut trouver, alors, une suite (ϕi ) de fonctions de DKi0 (Ω)
convergente vers 0 dans DKi0 (Ω) telle que < T, ϕi > ne converge pas. Comme l’inclusion
DKi0 (Ω) ,→ DK (Ω) est continue, la suite (ϕi ) doit converger vers 0 dans DK (Ω), ainsi
(< T, ϕk >) devrait converger vers 0 ; Contradiction. u
+ Exemple 3.1.1 Soit f ∈ L1`oc (Ω). Définissons une forme linéaire Tf : C∞
c (Ω) → C
par
Z
Tf (ϕ) =
f (x)ϕ(x)dx,
Ω
∀ϕ ∈ C∞
c (Ω).
R
Comme f ∈ L1`oc (Ω) alors C = Ω |f (x)|dx < +∞. Posons supp(ϕ) = K; on vérifie
facilement que
Z
Z
|Tf (ϕ)| ≤
|f (x)||ϕ(x)|dx ≤ sup |ϕ(x)|. |f (x)|dx ≤ C(K). sup |ϕ(x)|.
Ω
x∈K
Ω
x∈K
Ainsi, Tf : C∞
c (Ω) → C est une distribution, dite régulière, d’ordre α = 0. L’application
1
j : L`oc (Ω) ,→ D0 (Ω) définie par j(f ) = Tf est injective :
L1`oc (Ω) ⊂ D0 (Ω). u
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Dans l’exemple suivant nous montrerons que j n’est pas surjective.
+ Exemple 3.1.2 Soit a ∈ Ω. On considère la forme linéaire sur D(Ω) définie par
< δa , ϕ >= ϕ(a),
∀ϕ ∈ D(Ω).
On vérifie, alors que
| < δa , ϕ > | ≤ kϕkL∞ (Ω) ,
∀ϕ ∈ D(Ω)
donc δa est une distribution d’ordre 0 dans Ω. Cette distribution est dite masse de
Dirac au point a. Mais, δa ne s’écrit pas en fonction d’une fonction de L1`oc (Ω). En
effet, supposons qu’il existe f ∈ L1`oc (Ω) telle que
Z
δa = Tf c-à-d. < δa , ϕ >=
f (x)ϕ(x)dx = ϕ(a), ∀ϕ ∈ D(Ω).
Ω
Z
Posons Ω̃ = Ω \ {a}. Alors < δa , ϕ >=
f (x)ϕ(x) = 0, ∀ϕ ∈ D(Ω̃). Donc f = 0 presque
Ω
partout dans Ω̃ et donc presque partout dans Ω. Ainsi, ϕ(a) = 0 pour tout ϕ ∈ D(Ω) ce
qui contredit la fait que < δa , ϕ >6= 0. u
La masse de Dirac au point a est un exemple de distributions, dites
singulières, qui ne proviennent pas d’une fonction appartenant à L1`oc (Ω).
+ Exemple 3.1.3 Posons Ω = R et définissons
¿
À
dϕ
dϕ
< δ , ϕ >= δ, −
= − (0), ∀ϕ ∈ D(R).
dx
dx
0
Il est clair que δ 0 est une forme linéaire continue sur D(R). Lorsque Ω = Rn , on peut
généraliser cet exemple en posant
< ∂ k δ, ϕ >= (−1)k < δ, ∂ k ϕ >= (−1)k ∂ k ϕ(0)
pour tout ϕ ∈ D(Rn ), 1 ≤ k ≤ n. Nous montrerons que ∂ k δ n’est autre que la dérivée
partielle d’ordre k de la masse de Dirac au sens des distributions. u
+ Exemple 3.1.4 La fonction x → 1/x n’est pas localement intégrable sur R, Donc
elle ne peut définir une distribution régulière sur R. Par contre, elle l’est sur R∗ donc elle
définit une distribution que l’on pourra prolonger à R. Par définition, posons
¿ µ ¶ À
Z
Z +∞
1
ϕ(x)
ϕ(x) − ϕ(−x)
vp
, ϕ = lim
dx =
dx, ∀ϕ ∈ D(R).
ε→0 |x|≥ε
x
x
x
0
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Z
+∞
Cette dernière limite est dite valeur principale de Cauchy de l’intégrale
−∞
On a alors
Z
Z ε
Z +∞
ϕ(x)
ϕ(x)
ϕ(x)
dx =
dx +
dx
x
x
x
|x|≥ε
−∞
−ε
Z −ε
Z
0
= ϕ(−ε) log ε −
ϕ (x) log |x|dx − ϕ(ε) log ε −
−∞
+∞
ϕ(x)
x
dx.
ϕ0 (x) log |x|dx.
ε
Mais, on peut écrire ϕ(x) = ϕ(0) + xψ(x) tel que ψ(0) = ϕ0 (0). En remplaçant, on trouve
Z
Z −ε
Z +∞
ϕ(x)
0
dx = −2εψ(ε) log ε −
ϕ (x) log |x|dx −
ϕ0 (x) log |x|dx.
x
|x|≥ε
−∞
ε
Passons à la limite
Z
lim
ε→0
|x|≥ε
ϕ(x)
dx = −
x
Z
+∞
ϕ0 (x) log |x|dx.
−∞
La dernière intégrale étant convergente; elle définie une forme linéaire sur D(R). D’où
¿ µ ¶ À
Z
1
vp
, ϕ = lim
ε→0
x
|x|≥ε
ϕ(x)
x
+∞
Z
dx = −
ϕ0 (x) log |x|dx.
−∞
D’autre part, puisque ϕ ∈ D(R) il existe, alors, un réel A tel que suppϕ ⊂ [−A, A]. Si
ε < A alors
¿
µ ¶ À
Z
Z A
Z A
1
ϕ(x)
ϕ(x) − ϕ(−x)
ϕ(x) − ϕ(0)
, ϕ = lim
dx =
dx = 2
dx
vp
ε→0
x
x
x
x
|x|≥ε
0
0
¯Z A
¯
¯
¯
ϕ(x)
−
ϕ(0)
D’après la formule des accroissements finis, on a ¯¯
dx¯¯ ≤ A.||ϕ0 ||∞ . Donc
x
0
¯¿
µ ¶
µ ¶ À¯
¯
¯
1
1
¯ vp
, ϕ ¯¯ ≤ 2A||ϕ0 ||∞ . Ainsi, vp
une distribution d’ordre inférieur où égal
¯
x
x
à 1. Il nous reste à montrer qu’elle n’est pas d’ordre 0. Pour cela, on utilise une partition
de l’unité, corollaire 1.3.1 page 10 :
Pour tout n ≥ 2 il existe ·
ϕn ∈ D(R)¸ telle que 0 ≤ ϕn ≤ 1, supp(ϕn ) ⊂]0, 1[
1 n−1
et ϕn = 1 sur l’intervalle
,
.
n
n
Soit ψn la fonction impaire qui coincide avec ϕn sur R+ . Si K = [−1, 1], alors ψn ∈ DK (R),
||ψn || = 1 et
¯¿
µ ¶
À¯
Z 1
¯
¯
ϕn (x)
¯ vp 1 , ψn ¯ = 2
dx ≥ 2 log (n − 1).
¯
¯
x
x
0
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Il n’existe pas de constante CK telle que
¯¿ µ ¶ À¯
¯
¯
¯ vp 1 , ϕ ¯ ≤ CK ||ϕ||∞ .
∀ϕ ∈ DK (R)
¯
¯
x
µ ¶
1
Ce qui montre que l’ordre de la distribution vp
est différent de 0.
x
u
Dans l’exemple précédent,
¶ avons fait appel à l’imparité de la fonction 1/x pour
µ nous
1
définir la distribution vp
comme limite, lorsque ε → 0, de la distribution associée à
x
χ{x:|x|>1} (x)
la fonction
. Pour une fonction non impaire une telle procédure ne fonctionne
x
pas et ce qui nous amène à introduire un terme correctif (divergent) pour pallier à ce
défaut en utilisant la méthode des parties finies.
+ Exemple 3.1.5 [Partie finie de H(x)/x] Soit ϕ ∈ D(R) telle que supp ϕ ⊂
[−A, A]. On
Z
+∞
ε
ϕ(x)
dx =
x
Z
A
ε
ϕ(x) − ϕ(0)
dx + ϕ(0) log A − ϕ(0) log ε.
x
Alors, lorsque ε → 0+ , on obtient
µZ +∞
¶ Z A
ϕ(x)
ϕ(x) − ϕ(0)
lim+
dx + ϕ(0) log ε =
dx + ϕ(0) log A.
ε→0
x
x
ε
0
D’après le théorème des accroissements finis, cette expression est majorée en valeur absolue
par 2||ϕ(1) k∞ . max{A, log A}. Donc
¿
µ
Pf
H(x)
x
¶
À
,ϕ
 +∞

Z
ϕ(x)
= lim+ 
dx + ϕ(0) log ε
ε→0
x
ε
est une distribution d’ordre inférieure égal à 1. Faisant appel une deuxième fois à la
partition de l’unité 1.3.1 page 10 et en utilisant les mêmes notations que dans l’exemple
précédent pour montrer que cette distribution est d’ordre exactment 1. u
+ Exemple 3.1.6 Soit x0 ∈ Ω alors u(ϕ) = ∂ α ϕ(x0 ), avec α ∈ Nn , est une distribution
d’orde |α|. En effet, supposons que u est d’ordre |β| < |α| et choisissons ψ ∈ D0 (Ω) telle
que ψ(0) = 1 et posons
µ
¶
x − x0
α
ϕε (x) = (x − x0 ) ψ
,
ε
avec ε > 0. Un calcul simple montre que u(ϕε ) = α! alors que
sup |∂ β ϕε | ≤ K.ε|α|−|β| → 0 si ε → 0 et |β| < |α|. u
x∈Ω
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3.2
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Dérivées partielles au sens des distributions
Considérons une fonction f de classe C 1 dans Rn et analysons l’action de ses dérivées
partielles sur les fonctions tests. Si ϕ ∈ D(Ω) alors :
¿
À
Z
Z
∂f
∂f
∂ϕ
+∞
,ϕ
=
(x)ϕ(x)dx = [f (x)ϕ(x)]−∞ −
(x)f (x)dx
∂xk
Rn ∂xk
Rn ∂xk
¿
À
Z
∂ϕ
∂ϕ
(x)f (x)dx = − f,
= −
∂xk
Rn ∂xk
Cette dernière formule a-t-elle un sens si on remplace f par une distribution ? Plus
précisément, on a :
Proposition 3.2.1 Soit Ω un ouvert de Rn et T ∈ D0 (Ω). Pour tout 1 ≤ i ≤ n, la
forme linéaire définie par
¿
À
∂ϕ
ϕ → − T,
,
ϕ ∈ D(Ω)
∂xk
est une distribution. Si T est d’ordre mK sur tout compact K, alors cette distriburion
est d’ordre 1 + mK .
Preuve : Pour tout ϕ ∈ DK (Ω), on a
¯¿
° µ
À¯
¶°
¯
¯
°
°
°
°
¯ T, ∂ϕ ¯ ≤ CK . sup °∂ α ∂ϕ ° ≤ CK . sup °∂ β ϕ° . u
¯
°
∞
∂xk ¯
∂xk °∞
|α|≤mK
|β|≤1+mK
Définition 3.2.1 Soit Ω un ouvert de Rn et T ∈ D0 (Ω). La dérivée partielle de T par
rapport à la variable xk , 1 ≤ k ≤ Ω, est la distribution ∂T /∂xk définie par la formule
¿
∂T
∂xk
À
,ϕ
¿
À
∂ϕ
= − T,
,
∂xk
∀ϕ ∈ D(Ω).
Soient α = (α1 , · · · , αn ) ∈ Nn un multi-indice et T ∈ D0 (Ω). Par récurrence, on définit la
dérivée partielle de T d’ordre α pat
h∂ α T, ϕi = (−1)|α| hT, ∂ α ϕi ,
∀ϕ ∈ D(Ω).
Si Tf est une distribution régulière définie par une fonction f localement intégrable sur Ω,
une dérivation par partie montre que la dérivée partielle d’ordre |α| de Tf coincide avec
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la dérivée partielle d’ordre |α|de f au sens des fonctions. En particulier, si Tf est une
distribution régulière associée à f ∈ L1`oc (Ω) où Ω ⊂ R, on a
Tf0 = −Tf 0 .
La dérivation des distributions verifie les proprités suivantes :
• La dérivation, au sens des distributions, est définie partout sur D0 (Ω).
• Chaque distribution sur Rn admet des dérivées partielles de tout ordre.
• Si T ∈ D0 (Ω), alors :
∂ 2T
∂xi ∂xk
=
∂ 2T
∂xk ∂xi
, 1 ≤ i, k ≤ n.
C’est une conséquence du lemme de Schwarz. Pour f ∈ L1`oc (Ω), on a :
Tf00 = Tf 00
+ Exemple 3.2.1 La fonction log |x| est localement intégrable sur Rn , elle définie une
distribution dont la dérivée est, d’après l’exemple ??,
¿ µ ¶ À
Z ∞
Z ∞
1
0
vp
,ϕ = −
log |x|.ϕ (x)dx =
(log |x|)0 .ϕ(x)dx = h(log |x|)0 , ϕi , ∀ϕ ∈ D(Rn )
x
−∞
−∞
Donc
d
dx
log |x| = vp
µ ¶
1
x
.
+ Exemple 3.2.2 Supposons que Ω = R et considérons la fonction de Heaviside sur R :
(
H(x) =
Sa dérivée au sens des distributions est
0
1 si x ≥ 0
0 si x < 0
Z
∞
0
< H (x), ϕ >= − < H, ϕ (x) >= −
ϕ0 (x) = ϕ(0) =< δ, ϕ >, ∀ϕ ∈ D(R).
0
Donc
H 0 = δ. u
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Remarque : La fonction de Heaviside est discontinue à l’origine dont le saut de discontinuité est égal à 1. On peut dire que sa dérivée au sens des distributions est égale
au saut de la discontinuité par la mesure de Dirac à l’origine.
+ Exemple 3.2.3 Posons x+ = max(x, 0), alors Tx0 + = H(x). u
00
+ Exemple 3.2.4 On a T|x|/2
= δ. u
+ Exemple 3.2.5 Soit f une fonction dérivable sur R sauf au point x0 où elle présente
−
une discontinuité de première espèce. Soit h0 = f (x+
0 ) − f (x0 ) le saut de f au point x0 .
Alors, par inétgration par parties et en tenant compte du fait que ϕ est nulle à l’infini,
on obtient
Z x0
Z +∞
0
0
0
< Tf , ϕ > = − < Tf , ϕ >= −
ϕ0 (x)dx
f (x)ϕ (x)dx −
−∞
x0
Z +∞
−
= ϕ(x0 )[f (x+
f 0 (x)ϕ(x)dx
0 ) − f (x0 )] +
−∞
= ϕ(x0 )h0 + < Tf 0 , ϕ >
= < h0 δx0 , ϕ > + < Tf 0 , ϕ > .
Ainsi, on a
Tf0 = Tf 0 + h0 δx0 .
u
Plus généralement, nous allons maintenant étendre ce résultat à une classe de distributions
régulières associées a des fonctions de classe C 1 par morceaux définies sur un intervalle
ouvert ]a, b[.
Définition 3.2.2 On dit que f définie dans un intervalle ]a, b[ est de classe C 1 par
morceaux s’il existe un nombre fini de points −∞ ≤ a = a0 < a1 < · · · < an = b < +∞
tels que, dans chacun des intervalles ]ai , ai+1 [, la dérivée f 0 existe et continue et se prolonge
par continuité dans les intervalles ]a0 , a1 ], · · · , [ai , ai+1 ], · · · , [an−1 , an [.
−
Posons hi = f (a+
i ) − f (ai ) le saut de f au point ai .
Théorème 3.2.2 Avec les notations précédentes, on a
Tf0 = Tf 0 +
n−1
P
i=1
hi δai .
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Preuve : En intégrant par parties dans chacun des intervalles [ai , ai+1 ], le théorème se
déduit aisément de l’exemple précédent. u
Nous allons, maintenant, étudier l’application linéaire ∂ : D0 (R) → D0 (R) :
L’application continue ∂ : D(R) → D(R) est injective puisque ∂ϕ = 0 implique que ϕ est
une constante, comme elle est de support compact alors ϕ = 0.
Proposition 3.2.3 L’application ∂ : D(R) → D(R) est un morphisme injective strict
+∞
R
ϕ0 (x)dx = 1,
d’image un hyperplan fermé H. Soit ϕ0 donnée de D(R) telle que
−∞
alors chaque élément ϕ ∈ D(R) admet une décomposition unique
ϕ = λϕ0 + χ,
où λ =
+∞
R
ϕ(x)dx et χ ∈ H.
−∞
Preuve : Une fonction χ ∈ D(R) est dans le sous-espace H = Im(∂) si, et seulement si,
elle vérifie la relation
Z+∞
χ(x)dx = 0
(∗)
−∞
En effet, si χ = ∂ψ pour ψ ∈ D(R), alors
Z+∞
Z+∞
χ(x)dx =
∂ψ(x)dx = ψ(x)|+∞
−∞ = 0.
−∞
−∞
Inversement, si χ satisfait (∗), alors la fonction ψ définie par
Z+∞
ψ(x) =
χ(x)dx
−∞
est un élément de D(R) du moment que ψ est une constante pour les vaelurs de x assez
large, et d’après (∗) cette constante ne peut être que 0. Donc χ = ∂ψ.
+∞
R
La forme linéaire χ →
χ(x)dx est continue sur D(R). Donc H est un hyperplan fermé
−∞
de D(R) d’équation (∗).
Soit ϕ0 une fonction fixée de D(R) telle que
+∞
R
−∞
ϕ0 (x)dx = 0. Chaque ϕ ∈ D(R) admet
une décomposition unique ϕ = λϕ0 + χ où λ ∈ R et χ ∈ H. En effet, si l’on pose
+∞
R
λ=
ϕ(x)dx, alors ϕ − λϕ0 ∈ H et si λ1 ϕ0 + χ1 = λ2 ϕ0 + χ2 , il vient que (λ1 − λ2 )ϕ0 =
−∞
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χ2 − χ1 ∈ H; ainsi λ1 = λ2 et χ1 = χ2 . Enfin, l’application χ = ∂ψ → ψ de H dans D(R)
est continue. Or, d’après la proposition 2.5.1 p. 26, il suffit de montrer que pour chaque
compact K de R l’application χ → ψ de H ∩ DK (R) dans D(R) est continue. Soit V un
voisinage de 0 dans D(R) et soit K 0 = [a, b] un compact contenant K. Alors V ∩ D(K 0 )
contient un ensemble de la forme {ψ : |∂ p ψ(x)| ≤ ε, p ≥ m}, ε > 0 et m ∈ N. Soit U un
voisinage de 0 dans H ∩ D(K) définie par
½
¾
ε
p
χ : |χ(x)| ≤
, |∂ χ(x)| ≤ ε, 0 ≤ p ≤ m − 1 .
b−a
Alors χ ∈ U implique ψ ∈ V du moment que
¯
¯ x
¯
¯Z
¯
¯
ε
¯
|ψ(x)| ≤ ¯ χ(t)dt¯¯ ≤
(b − a) = ε
¯ b−a
¯
a
et
|∂ p ψ(x)| = |∂ p−1 χ(x)| ≤ ε, pour 1 ≤ p ≤ m. u
Proposition 3.2.4 L’application ∂ : D0 (R) → D0 (R) est un morphisme surjective
stricte dont le noyau est une sous-espace de D0 (R) de dimension 1, formé par toutes
les distributions TC asociées à une constante C.
Preuve : On procède en trois étapes :
1) Soit T ∈ D0 (R) tel que ∂T = S. En utilisant la décomposition de la proposition 3.2.3
p. 39, on a
< T, ϕ >= λ < T, ϕ0 > + < T, χ >= λ < T, ϕ0 > − < S, ψ >
où χ = ∂ψ. En particulier, si S = 0, on a
Z+∞
< T, ϕ >= λ < T, φ0 >=
ϕ(x)dx;
−∞
c’est-à-dire T = Tf où f (x) =< T, ϕ0 >.
2) Montrons que ∂ est surjective. Pour un S ∈ D0 (R) donnée, choisissons une constante
k ∈ K et définissons T par
< T, ϕ >= kλ− < S, ψ >,
lorsque ϕ est une fonction arbitraire de D(R). Comme la décomposition de ϕ est
unique, T est une forme linéaire bien définie sur D(R). De plus T est contine comme
composition de fonction continues en application de la proposition 3.2.3. Enfin
< ∂T, ψ >= − < T, ∂ψ >=< S, ψ >
pour tout ψ ∈ D(R) c’est-à-dire ∂T = S. Observons, d’après 1), la distribution T
est complètement déterminée par k =< T, ϕ0 >.
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3) Pour chaque S ∈ D0 (R) on associe une distribution T ∈ D0 (R) telle que ∂T = S et
< T, ϕ0 >= 0. Posons T = I(S). L’application I : D0 (R) → D0 (R) est linéaire. Par
défintion, on a ∂I(S) = S, ∀S ∈ D0 (R) et d’après 1) on a
< I(S), ϕ >= − < S, ψ >, ∀S ∈ D0 (R) et ϕ ∈ D(R).
Ainsi, −I est la transposée de l’application linéaire continue ϕ → ψ. D’où I est
continue. u
Remarque : D’après ce qui précède on a
D0 (R) = N ⊕ L,
où N est formé par les distributions constantes et L par les distributions qui s’annulent
en ϕ0 . Si ϕ = λϕ0 + χ ∈ D(R) , et T = k + U ∈ D0 (R) où U ∈ L, alors
< T, ϕ >= kλ+ < T, χ > .
Corollaire 3.2.3 ¬ Pour tout distribution S ∈ D0 (R) et pour tout p ∈ N, il existe
une distribution T ∈ D0 (R) telle que
∂ p T = S.

Si T ∈ D0 (R) est telle que ∂ p T = 0, alors T = Tf où f est un polynôme de degrè
inférieure où égal à p − 1.
Preuve : D’après la proposition 3.2.4 p. 40, ce réultat est vrai pour p = 1. Supposons
qu’il est vrai pour p − 1 (p > 1). Il existe alors U ∈ D0 (R) tel que ∂ p−1 U = S. D’après la
proposition 3.2.4, il existe T ∈ D0 (R) tel que ∂T = U . D’où ∂ p T = ∂ p−1 U = S, d’où 1).
On procède de la même manière pour 2). u
Proposition 3.2.5 Pour tout S ∈ D0 (R), il existe T ∈ D0 (R) tel que xT = S.
Si T0 est tel que xT0 = S, l’ensembles des solutions de l’équation xT = S est {T0 +
kδ, k ∈ K}.
Preuve : Soit χ ∈ D(R) tel que χ(0) = 1. Pour tout ϕ ∈ D(R) on associe une une
fonction ϕ̂ définie par
Z 1
ϕ̂(x) =
[ϕ0 (tx) − ϕ(0)χ 0 (tx)]dt.
0
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L’application ϕ → ϕ̂ étant continue de D(R) dans lui même comme on peut le constater
ϕ(x) − ϕ(0)χ 0 (tx)
. On pose, pour ϕ ∈ D(R),
facilement. En plus, si x ∈ R∗ , on a ϕ̃(x) =
x
< T, ϕ >=< S, ϕ̃ > .
Or, ϕ → ϕ̃ est continue alors T ∈ D0 (R). Mais comme xϕ
˜ = ϕ alors on a xT = S. Soit
0
T ∈ D (R) tel que xT = 0, alors pour ϕ ∈ D(R), on a
0 =< xT, ϕ̃ >=< T, ϕ − ϕ(0)χ >=< T, ϕ > − < T, χ >< δ, ϕ > .
D’où T =< T, χ > δ. u
3.3
Multiplication des distributions
La fonction f (x) = √1x ∈ L1`oc (R) définie une distribution Tf ∈ D(R). Par contre, le
1
produit f 2 = f.f donne la fonction g(x) = |x|
qui n’est pas inétgrable au voisinage de
0, et ne définit pas une distribution sur R. Ainsi, le produit de deux distributions, n’est
pas en général une distribution. Mais, on montrera que l’on peut définir le produit d’une
fonction C ∞ par une distribution sur Rn .
Proposition 3.3.1 Soit f ∈ C ∞ (Ω) et T ∈ D0 (Ω). Alors la forme linéaire sur D(Ω)
définie par
ϕ →< T, f ϕ >, ∀ϕ ∈ D(Ω)
est une distribution sur Rn noté f T d’ordre inférieure à celui de T . Ainsi
< f T, ϕ >=< T, f ϕ >, f ∈ C ∞ (Ω), T ∈ D0 (Ω).
Preuve : < f T, ϕ > est bien définie car f ϕ ∈ D(Ω) pour ϕ ∈ D(Ω) et f ∈ C ∞ (Ω).
D’autre part, si ϕ ∈ DK (Ω) pour un certain K compact de Ω alors f ϕ ∈ DK (Ω) et l’on a
| < f T, ϕ > | = | < T, f ϕ > | ≤ CK sup ||∂ α (f ϕ)||∞ .
|α|≤mK
Mais, la formule de Liebniz, s’écrit ∂ α (f ϕ) =
P
β≤α
Cαβ ∂ β ∂ α−β ϕ et donc
sup ||∂ α (f ϕ)||∞ ≤ C(n, mK ) sup ||∂ α f k|∞ . sup ||∂ α ϕ||∞ .
|α|≤mK
|α|≤mK
|α|≤mK
Ce qui donne, en posant C˜K =≤ C(n, mK ) sup ||∂ α f k|∞ , que
|α|≤mK
| < f T, ϕ > | ≤ C˜K . sup ||∂ α ϕ||∞ , ∀ϕ ∈ DK (Ω),
|α|≤mK
ce qui signifie que f T ∈ D0 (Ω) et que ordK (f T ) ≤ ordK (T ) pour tout compact K de Ω. u
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+ Exemple 3.3.1 Soit f ∈ C ∞ (Ω) et a ∈ Ω, on a
< f δa , ϕ >=< δa , f ϕ >=< f (a)δ(a), ϕ >, ∀ϕ ∈ D(Ω).
Ainsi
f δa = f (a)δ(a).
En particulier,
xδ = 0.
+ Exemple 3.3.2 Soit f ∈ C(R) et T ∈ D0 (R), alors en appliquant une dérivation par
parties on obtient, au sens des distributions :
(f T )0 = f T 0 + f 0 T.
Proposition 3.3.2 [Formule de Leibniz] Si f ∈ C ∞ (Ω) et T ∈ D0 (Ω) alors
∂
∂xi
(f.T ) =
∂f
∂xi
.T + f.
∂T
∂xi
, ∀1 ≤ k ≤ n.
Preuve : Pour tout ϕ ∈ D(Ω), on a
¿
À
¿
À
À
¿
À
¿
∂
∂ϕ
∂f
∂ϕ
∂
(f.T ), ϕ
= − f.T,
(f ϕ) −
.ϕ
= − T, f.
= − T,
∂xi
∂x
∂xi À ∂xi
¿
Ài ¿
À ∂xi¿
∂T
∂f
∂f
∂T
=
, fϕ +
T, ϕ =
.T + f.
,ϕ . u
∂xi
∂xi
∂xi
∂xi
+ Exemple 3.3.3 Pour tout x ∈ R, on a
x.vp
µ ¶
1
x
= 1.
En effet, pour ϕ ∈ D(R) on a
¿
µ ¶ À
¿ µ ¶
À Z+∞
1
1
xϕ(x) − xϕ(−x)
x.vp
dx
,ϕ
=
vp
, xϕ =
x
x
x
0
Z+∞
Z+∞
=
(ϕ(x) − ϕ(−x))dx =
1.ϕ(x)dx
0
= < 1, ϕ >,
−∞
où 1 désigne la distribution régulière associée à la fonction constante x → 1. u
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µ ¶
1
+ Exemple 3.3.4 [Équation xT = 1]. Comme x.vp
= 1, d’après la proposix
tion 3.2.5 page 41, alors
xT = 1 ⇐⇒ ∃k ∈ K : T = vp
µ ¶
1
x
k ∈ K. u
+ kδ,
+ Exemple 3.3.5 La fonction x → 1/x2 n’est pas localement intégrable sur R, on
ne peut pas, de ce fait, lui associer une distribution régulière. Pour éliminer la partie
+∞
R ϕ(x)
pour ϕ ∈ D(R), on définit la partie finie de cette
divergente de l’intégrale
x2
0
intégrale par
+∞
¿ µ ¶ À
Z
1
ϕ(x) + ϕ(−x) − 2ϕ(0)
Pf
,
ϕ
=
dx.
x2
x2
0
On vérifie facilement que l’on a
µ
xPf
1
¶
x2
= vp
µ ¶
1
µ
2
et x Pf
x
1
¶
x2
= 1.
+ Exemple 3.3.6 considérons les fonctions suivantes :



0 si |x| ≥ 1/2
π(x) =
et


1 si |x| < 1/2
sgn(x) =
|x|
.
x
Claculons leurs dérivées au sens des distributions. On peut les exprimes en terme de la
fonction de Heaviside H, il vient que
µ
¶
µ
¶
1
1
π(x) = H x +
−H x−
et
sgn(x) = 2H(x) − 1.
2
2
Comme H 0 (x) = δ(x), au sens des distributions, il vient que
µ
¶
µ
¶
1
1
0
π (x) = δ x +
−δ x+
et sgn0 (x) = 2δ(x).
2
2
+ Exemple 3.3.7 Considérons la suite de fonctions




Yn (x) =



1
¡
n x+
0
1
2n
¢
si x >
1
2n
1
si − 2n
<x≤
1
si x ≤ − 2n
.
1
2n
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Dr HITTA Amara, Janv. 2010
Au sens des fonctions, la suite (Yn )n converge



1
Y (x) = 12


0
simplement vers la fonction
si x > 0
si x = 0
si x ≤ 0.
Chaque fonction Yn est continue, dérivable presque partout dont la dérivée admet des
1
1
et 2n
. Un calcul directe montre qu’au
discontinuité de premières espèces aux points − 2n
0
sens des distributions on a Yn = n.χ 1 1 . En effet, pour tout ϕ ∈ D)(R, on a
]− 2n , 2n [
Z 1
Z +∞
2n
0
0
< Yn , ϕ >= − < Yn , ϕ >= −
Yn (x)ϕ(x)dx − −
ϕ(x)dx = I1 + I2 .
1
− 2n
1
2n
Une intégration par parties de I1 et I2 donnera
µ ¶
Z 1
2n
1
I1 = −ϕ
+n
ϕ(x)dx
1
2n
− 2n
D’où
Z
1
2n
I=n
Z
et
I2 = ϕ
1
2n
¶
.
¿
À
n.χ]− 1 , 1 [ ϕ(x)dx = n.χ 1 1 , ϕ . u
2n 2n
]− 2n , 2n [
+∞
ϕ(x)dx =
1
− 2n
µ
−∞
Proposition 3.3.3 Dans R3 , on a
µ
∆
où r = |x| =
1
|x|
¶
= −4πδ0
p
x21 + x22 + x23 .
Preuve : Notons par n(x) = −
x
la normale extérieure à B(0, ε)c . Soit ϕ une fonction
|x|
test, on a
¿
µ ¶ À
Z
Z
1
−1
,ϕ
= −
|x| ∆ϕ(x)dx = −
|x|−1 ∆ϕ(x)dx + O(ε2 )
−∆
|x|
B(0,ε)
Z R3
Z c
=
∇(|x|−1 )∇ϕ(x)dx −
|x|−1 ∇ϕ(x).n(x)dσ(x) + O(ε2 )
c
S(0,ε)
ZB(0,ε)
Z
x
−3
−1
=
−|x| x.∇ϕ(x)dx + ε
∇ϕ(x). dσ(x) + O(ε2 )
|x|
S(0,ε)
ZB(0,ε)c
Z
=
∇(|x|−3 x)ϕ(x)dx −
|x|−3 x.n(x)ϕ(x)dσ(x) + O(ε)
c
S(0,ε)
Z
ZB(0,ε)
−2
2
ε−2 ϕ(εy)dσ(y) + O(ε)
=
|x| ϕ(x)dσ(x)dx + O(ε) = ε
S(0,ε)
= 4πϕ(0) + O(ε). D’où le résultat.
u
S(0,1)
1ère Année Master
3.4
3.4.1
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Transformations de distributions
Translation d’une distribution
Soit f : Rn → K une fonction et h ∈ Rn .
Définition 3.4.1 La translation τh f de f par h est définie par
∀x ∈ Rn .
τh f (x) = f (x − h),
Supposons que f ∈ L1`oc (Ω), la distributions régulière associée à τh f s’écrit, pour tout
ϕ ∈ D(Ω), comme :
Z
Z
Z
f (x)τ−h ϕ(x)dx =< Tf , τ−h ϕ > .
f (x)ϕ(x+h)dx =
< Tτh f , ϕ >=
f (x−h)ϕ(x)dx =
Rn
Rn
Rn
Ceci justifie la définition suivante :
Définition 3.4.2 Soit T ∈ D0 (Ω). La translation de T par h ∈ Rn est la distribution
τh T définie par
< τh T, ϕ >=< T, τ−h ϕ >
pour tout ϕ ∈ D(Ω). Soit que
τh T = T ◦ τ−h
La distribution T est dite périodique de période h si τh T = T
+ Exemple 3.4.1 Pour tout ϕ ∈ D(Ω) on a
< τh δ, ϕ >=< δ, τ−h ϕ >= τ−h ϕ(0) = ϕ(h) =< δh , ϕ > .
D’où
u
τh δ = δh .
3.4.2
Symétrie d’une distribution
Soit f ∈ L1`oc (R). Définissons fˆ par fˆ(x) = f (−x). Le graphe de fˆ est le symétrique de
celui de f par rapport à l’axe y 0 oy. Pour tout ϕ ∈ D(R), on a
Z +∞
Z +∞
< Tfˆ, ϕ >=
f (−x)ϕ(x)dx =
f (x)ϕ(−x)dx =< T, ϕ̂ > .
−∞
−∞
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On est amené à définir
< T̂ , ϕ >=< T, ϕ̂ >; ∀ϕ ∈ D(Ω).
On vérifie, facilement, que T̂ est une distribution dite symétrique de T . La distribution
T est dite paire si T̂ = T . Une ditribution T est dite impaire si T̂ = −T .
+ Exemple 3.4.2 On vérifie que δ̂ = δ, donc δ est une distribution paire. D’autre part,
la distribution δ 0 est impaire car δˆ0 = δ 0 . Par ailleurs, on vérifie que toute distribution
peut s’écrire comme la somme d’une distribution paire et d’une distribution impaire. u
3.4.3
Changement d’échelle et distributions homogènes
Soit hλ : x → λx l’homothétie de rapport (λ 6= 0), de R dans R. Son application inverse
est l’homothétie hλ −1 (x) = h 1 (x) de rapport λ1 .
λ
Définition 3.4.3 La transformée de la distribution T ∈ D(R) par l’application hλ est la
distribution T ◦ hλ définie par
< T ◦ hλ , ϕ >=
1
|λ|
< T, ϕ ◦ h 1 > .
λ
Si T ◦ hλ = T , on dit que T est invariante par hλ .
On dira que la distribution T est homogène de degré p, p entier, si
T ◦ hλ = λp T.
+ Exemple 3.4.3 La distribution |x| est homogène deµdegré
sgn(x)
¶ 1. La
µ distribution
¶
est homogène de degré 0. Par contre, les distributions vp
1
x
et Pf
de degrés respectifs −1 et −2 :
¿ µ ¶
À
¿ µ ¶
À
1
1
1
vp
◦ hλ , ϕ
=
vp
,ϕ ◦ h1
λ
x
|λ|
x
¡ x¢
Z +∞ ¡ x ¢
ϕ λ − ϕ − λ dx
=
x
λ
0
Z +∞
ϕ(x) − ϕ(−x)
dx
= λ−1
x
0
¿ µ ¶ À
1
−1
= λ
vp
,ϕ .
x
À
À
¿ µ ¶
¿ µ ¶
1
1
1
◦ hλ , ϕ
=
,ϕ ◦ h1
Pf
Pf
λ
x2
|λ|
x2
1
x2
sont homogènes
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Z
+∞
=
0
Z
ϕ
¡x¢
λ
¡ ¢
+ ϕ − λx − 2ϕ(0) dx
x2
λ
+∞
ϕ(x) + ϕ(−x) − 2ϕ(0)
dx
x
0
¿ µ ¶ À
1
−2
,ϕ .
u
= λ
Pf
x2
= λ
3.5
−2
Topologies sur l’espace D0(Ω)
Nous avons étudier les topologies faible et forte, dans le cas général, sur des espaces
vectoriels topologiques. Plus particulièrement, dans l’espace de distributions D0 (Ω), la
topologie faible est la topologie engendrée par la famille de semi-normes définies par
pϕ (T ) = | < T, ϕ > |,
ϕ ∈ D(Ω) et T ∈ D0 (Ω),
faisant de D(Ω) un espace localement convexe. La convergence pour cette topologie est
la convergence simple :
Une suite de distributions (Ti ) de D0 (Ω) converge faiblement vers 0 si, et seulement si,
pour tout ϕ ∈ D(Ω), la suite numérique (< Ti , ϕ >) converge vers 0 dans K = R ou C.
D’autre part, la topologie forte sur D0 (Ω) est la topologie localement convexe définie
par la famille de semi-normes sur les parties polaires de sous-ensembles bornés de D(Ω).
La convergence pour cette topologie est la convergence uniforme :
Une suite de distributions (Ti ) de D0 (Ω) converge fortement vers 0 si, et seulement si,
pour tout ϕ ∈ D(Ω), la suite numérique (< Ti , ϕ >) converge uniformément vers 0,
dans K = R ou C, sur les parties bornées de D(Ω) .
3.6
Topologies sur l’espace E0(Ω) des distributions à
support compact
Définition 3.6.1 On dit qu’une distribution T est nulle dans l’ouvert U ⊂ Ω ⊂ Rn si
T (ϕ) = 0 pour toute ϕ ∈ D(Ω) tel que supp(ϕ) ⊂ U .
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Considérons un ouvert U ⊂ Ω et T ∈ D0 (Ω). Toute fonction test ϕ ∈ D(U ) définit une
fonction test ϕ̃ ∈ D(Ω) par
(
ϕ(x) si x ∈ V
ϕ̃(x) =
0
si x ∈ Ω \ V .
La restriction de T à l’ouvert U , notée T |U , est définie par
< T |U , ϕ >=< T, ϕ̃ >,
∀ϕ ∈ D(U ).
Proposition 3.6.1 Soit T ∈ D0 (Ω). Il existe un plus grand ouvert U ⊂ Ω tel que la
restriction T |U soit nulle.
Preuve : Considérons (Ui )i∈I une famille d’ouverts de Ω tel que T |Ui = 0. Notons U
leurs réunion. On doit montrer que T |U = 0. Pour cela, soit ϕ ∈ D(U ). On peut trouver
un nombre fini d’ouverts U1 , · · · , Un tels que
supp(ϕ) ⊂
n
[
Ui et T |Ui = 0, ∀i = 1, · · · , n.
i=1
Soit (ρi )i=1,··· ,n une partition de l’unité associée au recouvrement de supp(ϕ) par les ouverts
n
P
ρi ϕ avec ρi ϕ ∈ D(Ui ). Donc
(Ui )i=1,··· ,n , alors ϕ =
i=1
< T, ϕ >=
n
X
i=1
< T, ρi ϕ >=
n
X
< T |Ui , ρi ϕ >= 0. u
i=1
Définition 3.6.2 Le support d’une distribution T , est le plus petit fermé tel que T soit
nulle dans son complémentaire. On le note supp(T ).
+ Exemple 3.6.1 Le support d’une distribution régulière Tf s’identifie au support de
la fonction f ∈ L1`oc (Ω) c’est-à-dire supp(Tf ) = supp(f ). u
+ Exemple 3.6.2 Le support de la distribution associée à la fonction de Heaviside est
le fermé {x ∈ R : x ≥ 0}. u
+ Exemple 3.6.3 Le support de la distribution de Dirac est {0}, dit support ponctuel. u
+ Exemple 3.6.4 Soit T ∈ D(Ω) définit par < T, ϕ >= ∂ α ϕ(a) avec ϕ ∈ D(Ω) et
α ∈ Nn . Alors supp(T ) = {a}. En effet, si ϕ ∈ D(Ω \ {a}) on a < T, ϕ >= 0, donc
supp(T ) ⊂ {a}. Pour montrer que a ∈ supp(T ) on considère un voisinage ouvert V ∈ Va
(x − a)α
de a et χ ∈ D(V ) telle que χ ≡ 1 au voisinage de a. Posons ϕ(x) =
χ(x);
α!
α
alors ϕ ∈ D(V ). En utilisant la formule de Leibniz, on trouve que ∂ ϕ(a) = 1 donc
a ∈ supp(T ). u
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Notons par E0 (Ω) le dual topologique de l’espace fonctionnel E(Ω) = C∞ (Ω) muni de sa
topologie naturelle.
Théorème 3.6.2 L’application injective
Id : D(Ω) ,→ E(Ω).
est continue.
Preuve : Considérons (Ki ) une famille exhaustive de sous-ensembles compacts de Ω.
Par définition, l’injection DKi (Ω) ,→ E(Ω) est continue. D’après la proposition 2.5.1, Il
S
s’ensuit la continuité de Id car D(Ω) = DKi (Ω). u
i
Comme conséquence à ce résultat, tout sous-ensemble borné de D(Ω) est un sous-ensemble
borné de l’espace E(Ω). De plus,
Théorème 3.6.3 L’ensemble D(Ω) est un sous-espace dense dans E(Ω).
Preuve : Soit (Ki ) une famille exhaustive de sous-ensembles compacts de Ω. Il existe
une famille de fonctions de D(Ω), notée (βi ), telle que βi ≡ 1 dans chaque voisinage de
Ki . Si ϕ ∈ D(Ω), posons ϕi = βi ϕ ∈ D(Ω). On vérifie, aussitôt, que ϕi → ϕ dans D(Ω).
u
D’autre part, on a l’injection
E0 (Ω) ,→ D0 (Ω).
Ainsi, Tout élément T ∈ E0 (Ω) définie une distribution sur Ω.
Théorème 3.6.4 T ∈ E0 (Ω) si, et seulement si, il existe une constante C > 0,
un entier m ≥ 0 et un compact K ⊂ Ω tel que :
| < T, ϕ >≤ C.
sup
|∂ α ϕ(x)|, ∀ϕ ∈ E(Ω).
|α|≤m,x∈K
Preuve : Si T ∈ E0 (Ω) il existe un voisinage de 0 dans E(Ω) de la forme
V = {ϕ ∈ E(Ω) : pm,K (ϕ) ≤ ε}
tel que
| < T, ϕ > | ≤ 1, ∀ϕ ∈ V.
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Choisissons ϕ tel que pm,K (ϕ) 6= 0. Alors, ε/pm,K (ϕ) ∈ V , il s’ensuit que
| < T, ϕ > | ≤ ε−1 .pm,K (ϕ).
D’autre part, soit ϕ ∈ E(Ω) vérifiant pm,K (ϕ) = 0, alors < T, ϕ >= 0. En effet, une
telle fonction ϕ est dans V ainsi que les fonctions λϕ, λ ∈ K. Si < T, ϕ >6= 0, alors
| < T, λϕ > | peut être choisie assez large qu’on le souhaite ; ce qui contredit la première
inégalité. Par conséquent, la première inégalité reste vraie pour tout ϕ ∈ E(Ω). Le reste
de la preuve est évident. u
Plus précisément, nous allons montrer que :
Théorème 3.6.5 Les éléments de l’espace fonctionnel E0 (Ω) sont des distributions
à supports compacts contenus dans Ω.
Preuve : Dans la preuve précédente, nous avons montré que si T ∈ E0 (Ω), il existe
ε ≥ 0, un entier m ≥ 0 et un compact K de Ω tel que pour tout ϕ ∈ E(Ω) vérifiant
pm,k (ϕ) ≤ ε alors | < T, ϕ > | ≤ 1. On a, aussi, remarqué que pour tout ϕ ∈ E(Ω)
vérifiant pm,K (ϕ) = 0 on a | < T, ϕ > | = 0. Comme tout ϕ ∈ D(Ω \ K) vérifie cette
condition, il s’ensuit que T serait nulle sur Ω \ K, donc le support de T est contenu dans
K. u
3.7
Limites de distributions
Définition 3.7.1 On dit qu’une suite {Tn } de D0 (Ω) converge vers T ∈ D0 (Ω) si
lim hTn , ϕi = hT, ϕi ∀ϕ ∈ D(Ω).
n→∞
Le résultat suivant donne quelques conditions suffisantes pour la convergence dans D0 .
Proposition 3.7.1 Les conditions suivantes sont suffisantes pour qu’on ait fn → f
dans D0 (Ω) :
¬ fn → f dans L1 (Ω).
 fn → f dans L2 (Ω).
® Si {fn } → f dans L1 (Ω), il existe g ∈ L1`oc (Ω) telle que |fi | ≤ g pour tout n.
Preuve : Supposons que fn → f dans L1 (Ω). Or, pour tout n ∈ N, on a
¯
¯Z
Z
¯
¯
¯ fn (x)ϕ)x)dx − f (x)ϕ)x)dx¯ ≤ kϕk∞ .kfn − f kL1 (Ω) , ∀ϕ ∈ D(Ω)
¯
¯
Ω
Ω
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on obtient que fn → f dans D0 (Ω) d’où ¬. Supposons que fn → f dans L2 (Ω). D’après
l’inégalité de Cauchy-Schwarz, pour tout n ∈ N, on a
¯Z
¯
Z
¯
¯
¯ fn (x)ϕ)x)dx − f (x)ϕ)x)dx¯ ≤ kϕkL2 (Ω) .kfn − f kL2 (Ω) , ∀ϕ ∈ D(Ω)
¯
¯
Ω
Ω
on obtient que fn → f dans D0 (Ω) d’où . Soit ϕ ∈ D(Ω) de support K dont la
fonction caractéristique est χK . Alors |fn (x)ϕ(x)| ≤ |g(x)|.|χK (x)|.||ϕ||∞ pour presque
tout x ∈ Ω. Comme la fonction x → |g(x)|.|χK (x)|.||ϕ||∞ est clairement dans L1 (Ω),
la conclusion découleen applicant le théorème de la convergence dominée de Lebesgue,
d’où ®. u
Proposition 3.7.2 Soit {Tn } une suite telle que Tn → T dans D0 (Ω). Alors, pour
tout multi-indice α ∈ Nn fixé, on a ∂ α Tn → ∂ α T dans D0 (Ω).
Preuve : On a h∂ α Tn , ϕi = (−1)|α| hTn , ∂ α ϕi → (−1)|α| hT, ∂ α ϕi = h∂ α T, ϕi Pour tout
ϕ ∈ D(Ω). u
+ Exemple 3.7.1 D’après la proposition 3.7.1, on peut calculer d’une manière différente
la dérivée dans D0 (R) de x → log |x| (qui est dans L1`oc (R)). En effet, soit fε la fonction
définie par
(
log |x| si |x| ≥ ε
fε (x) =
log |ε| si |x| < ε.
C’est une fonction par morceaux et coninue donc, sa dérivée dans D0 (R) est donnée par

 1 si |x| ≥ ε
fε (x) = x
 0 si |x| < ε.
Par ailleurs, on a fε (x) → f (x) et |fε (x)| ≤ |f (x)| presque partout donc d’après la
proposition 3.7.1, fε → f dans D0 (R). D’après la proposition 3.7.2, fε0 → f 0 dans D0 (R)
donc
Z
ϕ(x)
0
0
dx,
h(log |x|) , ϕi = lim+ hfε , ϕi = lim+
ε→0
ε→0
x
|x|≥ε
d’où la conclusion. u
Chapitre
4
Convolutions de distributions
4.1
Produit tensoriel de distributions
Soient m et n deux entiers naturels. Considérons Ω1 (resp. Ω2 ) un ouvert de Rn (resp.
Rm ). Il est clair que Ω1 × Ω2 est un ouvert de Rn+m . L’espace vectoriel D(Ω1 × Ω2 )
est formé par les fonctions indéfiniment différentiables à support compact en (x, y) =
(x1 , · · · , xn , y1 , · · · , ym ) ∈ Ω1 × Ω2 .
Définition 4.1.1 Le produit tensoriel, noté ϕ1 ⊗ ϕ2 , de ϕ1 ∈ D(Ω1 ) et ϕ2 ∈ D(Ω2 ), est
définie par
ϕ1 ⊗ ϕ2 (x, y) = ϕ1 (x)ϕ2 (y)
Le produit tensoriel (algébrique) est l’espace vectoriel, noté D(Ω1 ) ⊗ D(Ω2 ), formé par les
fonctions de la forme
u(x, y) =
n
P
i=1
ϕi1 (x).ϕi2 (y).
où ϕi1 ∈ D(Ω1 ) et ϕi2 ∈ D(Ω2 ).
Le théorème suivant nous aidera à définir le produit tensoriel de deux distributions.
Théorème 4.1.1 L’espace D(Ω1 ) ⊗ D(Ω2 ) est dense dans D(Ω1 × Ω2 ).
Preuve : Toute fonction (x, y) 7→ ϕ(x, y) ∈ D(Ω1 × Ω2 ) peut être approchée d’aussi
près qu’on le souhaite par suite de polynômes (x, y) 7→ Pk (x, y). Ces polynômes étant des
P p q
sommes de monômes de la forme
x y . Comme ces monômes ne sont pas à support
p,q
compact, considérons ρ et σ deux fonctions à supports compacts telles que ρ(x)σ(y) ≡
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1 sur le support de u ∈ D(Ω1 × Ω2 ). Il s’ensuit que la suite de fonctions (x, y) →
7
ρ(x)σ(y)Pk (x, y) est dans D(Ω1 ) ⊗ D(Ω2 ) ; puisque chaque fonction est une somme de
termes de la forme ϕi1 (x)ϕi2 (y). Cette suite converge vers u ∈ D(Ω1 × Ω2 ). u
Comme conséquence à ce résultat, toute distribution T ∈ D0 (Ω1 × Ω2 ) est définie par ses
valeurs sur l’espace des fonctions ϕ1 ⊗ ϕ2 où ϕ1 ∈ D(Ω1 ) et ϕ2 ∈ D(Ω2 ).
Théorème 4.1.2 Soit S ∈ D0 (Ω1 ) et T ∈ D0 (Ω2 ) deux distributions définies respectivement sur Rn et Rm .
¬ Pour tout ϕ1 ∈ D(Ω1 ) et ϕ2 ∈ D(Ω2 ), la distribution S ⊗ T , est définie par .
hS ⊗ T, ϕ1 (x)ϕ2 (y)i = hS, ϕ1 (x)i hT, ϕ2 (y)i
La distribution S ⊗ T , est dite produit tensoriel de S et T sur Rn × Rm .
 Si ϕ ∈ D(Ω1 × Ω2 ), la distribution S ⊗ T , est définie par
hS ⊗ T, ϕ(x, y)i = hSx , hTy , ϕ(x, y)ii = hTx , hSy , ϕ(x, y)ii .
+ Exemple 4.1.1 La distribution de Dirac sur R2 peut s’écrire δ(x, y) = δ(x)δ(y). u
Remarque. Le théorème  peut être interprétée comme étant une extension du
théorème de Fubini. Ainsi, si l’on considère deux fonctions S = f (x) et T = g(y)
intégrables, respectivement, sur deux ouverts Ω1 ⊂ Rn et Ω2 ⊂ Rm , alors
½Z
¾
Z
hSx , hTy , ϕ(x, y)ii =
f (x)
g(y)ϕ(x, y)dy dx
Ω1
et
Ω2
½Z
Z
hTy , hSx , ϕ(x, y)ii =
¾
g(y)
Ω2
sont égales d’après le théorème de Fubini.
f (x)ϕ(x, y)dx dy
Ω1
u
La preuve du théorème 4.1.2 s’appuie sur les lemmes suivants qui étendent, aux distributions, certains résultats sur la continuité et la différentiabilité des intégrales à un
paramètre.
Lemme 4.1.2 Soit (ϕ(x, λ))λ∈R une famille de D(Ω) à un paramètre λ. supposons que :
¬ Lorsque λ ∈ V (λ0 ), le support de ϕ(x, λ) est contenu dans un compact fixé de Ω.
∂ pϕ
 Pour tout p ∈ Nn , les dérivées partielles p (x, λ) sont continues en x et λ.
∂x
Alors hTx , ϕ(x, λ)i est une fonction continue par rapport à λ pour tout ϕ ∈ D(Ω).
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Preuve : Posons ψλ (x) = ϕ(x, λ) − ϕ(x, λ0 ). Les conditions du lemme assurent que
ψλ → 0 dans D(Ω) lorsque λ → 0. Donc, pour tout T ∈ D0 (Ω), on a hTx , ψλ i → 0
lorsque λ → λ0 , d’où la continuité suivant λ de hTx , ϕ(x, λ)i. u
Lemme 4.1.3 Soit (ϕ(x, λ))λ∈R une famille de fonctions à un paramètre de D(Ω). supposons que :
¬ Lorsque λ ∈ V (λ0 ), le support de ϕ(x, λ) est contenu dans un compact fixé de Ω.
∂
 Pour tout p ∈ N ,
∂λ
n
µ
¶
∂ pϕ
(x, λ) existent et sont continues en x et λ.
∂xp
Alors hTx , ϕ(x, λ)i est différentiable, pour tout T ∈ D(Ω), sur un voisinage de λ0 et
¿
À
∂
∂ϕ
hTx , ϕ(x, λ)i = Tx ,
(x, λ) .
∂λ
∂λ
Preuve : Posons
ϕ(x, λ + h) − ϕ(x, λ) ∂ϕ
−
(x, λ).
h
∂λ
En utilisant les conditions du lemme, on vérifie facilement que ϕh → 0 dans D(Ω), donc,
pour tout T ∈ D0 (Ω), on a
¿
À
¿
À
ϕ(x, λ + h) − ϕ(x, λ)
∂ϕ
Tx ,
→ Tx ,
(x, λ)
h
∂λ
ϕh =
lorsque λ → 0.
u
Revenons maintenant à la preuve du théorème précédent.
Preuve du théorème 4.1.2 : Soit ϕ ∈ D(Ω1 ×Ω2 ). D’après le lemme 4.1.3, h Ty , ϕ(x, y)i
est une fonction de classe C ∞ en la variable x = (x1 , x2 , · · · , xn ) et de support compact
contenu dans Ω. Alors, on peut lui appliquer Sx pour obtenir hSx , hTy , ϕ(x, y)ii. De la
même manière, on montre que hTy , hSx , , ϕ(x, y)ii est bien définie. Si ϕ(x, y) = ϕ1 (x).ϕ2 (y)
où ϕ1 ∈ D(Ω1 ) et ϕ2 ∈ D(Ω2 ), il est clair que
hSx , hTy , ϕ(x, y)ii = hTy , hSx , ϕ(x, y)ii = hS, ϕ1 i . hT, ϕ2 i .
D’après ce qui précède les deux formes linéaires coicident sur D(Ω1 ) ⊗ D(Ω2 ). Enfin,
l’application linéaire ϕ ∈ D(Ω1 × Ω2 ) → hTy , ϕ(x, y)i ∈ D(Ω1 ). est continue. Elle est ,
aussi, continue sur D(Ω1 ) ⊗ D(Ω2 ) muni de la topologie induite par D(Ω1 × Ω2 ). Ce qui
implique que hTy , hSx , ϕ(x, y)ii et hSx , hTy , ϕ(x, y)ii sont continues. u
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4.2
4.2.1
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Convolution de deux distributions
Motivation et définition
Soient f et g deux fonctions localement intégrables dont l’une au moins est à support
compact. Leurs convolution est définie par
Z
Z
(f ∗ g)(x) =
f (x − y)g(y)dy =
Rn
f (y)g(x − y)dy.
Rn
On peut interprété f ∗g comme étant une forme linéaire sur l’espace test D(Rn ), en posant
Z
(f ∗ g)(x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ D(Rn ).
hf ∗ g, ϕi =
Rn
En remplaçant f ∗ g par son expression sous le signe intégral et après changement de
variable, on obtient
hf ∗ g, ϕi = hf (x) ⊗ g(y), ϕ(x + y)i .
On peut ainsi redéfinir la notion de convolution des fonctions f et g par cette identité.
Mais, il nous reste à donner un sens au crochet de dualité < . > puisque ϕ(x + y) comme
fonction à deux variables x et y n’est pas à support compact dans Rn × Rm . Ceci sera
abordé d’une manière plus générale dans ce qui suit.
Définition 4.2.1 Considérons T, S ∈ D0 (Rn ) et supposons que l’une au moins est à
support compact. La convolution S ∗ T est une distribution sur Rn définie par
hS ∗ T, ϕi = hSx ⊗ Ty , ϕ(x + y)i ,
∀ϕ ∈ D(Rn ).
Ce produit de convolution existe dans au moins des cas suivants :
¬ L’une au moins des distributions est à support compact.
 Les deux distributions ont leur support limité à gauche.
Il s’agit, en effet, dans chacun des cas de contrôler que l’ensemble
{(x, y) ∈ R2 : x ∈ supp(S), y ∈ supp(T ) et x + y ∈ supp(ϕ)}
est borné, ce qui donnera un sens à la définition de la convolution.
La convolution est une opération associative, lorsque celle-ci est définie.
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+ Exemple 4.2.1 Algèbre de convolution D0+ (R) :
On définit
D0+ (R) = {T ∈ D0 (R) : supp(T ) ⊂ R+ }.
Montrons que T ∗ S est bien défini dans D0+ (R) c’est-à-dire que hSx , hTy , ϕ(x + y)ii a un
sens pour une fonction test ϕ ∈ D(R). Pour cela, posons F (x) = hT, ϕ(x + .)i. A x
fixé, l’application y → ϕ(x + y) est Cc∞ (R), donc F définit bien une fonction C ∞ (R). On
cherche à justifier le produit de dualité hS, F i. Soit M > 0 tel que supp(ϕ) ⊂ [−M, M ]
et O un ouvert inclus dans supp(F ). Deux cas se présentent :
¬
0
Si O ⊂ R+
∗ , alors hS, F i = 0 car S ∈ D+ (R).

Si O ⊂ R+
∗ ∩ [M, +∞[, alors hS, F i = 0. En effet, soit x > M et y ∈ supp(T )
c’est-à-dire y ≥ 0, alors x + y > M et ϕ(x + y) = 0. Par conséquent F (x) = 0.
On en déduit de ce dernier point que supp(F )∩R+ ⊂ [0, M ] c’est-à-dire que supp(F )∩R+
est compact. Et puisque S ∈ D0+ (R), alors hS, T i est bien défini, ce qui montre que l’on
peut définir le produit de convolution dans D0+ (R).
L’élément neutre de la convolution dans D0+ (R) est δ0 car δ0 ∈ D0+ (R) puisque supp(δ0 ) =
{0} ∈ R+ . u
+ Exemple 4.2.2 Le produit de convolution n’est pas associatif lorsque les distributions
sont à support non borné : (H ∗ δ 0 ) ∗ 1 = δ ∗ 1 = 1 6= H ∗ (δ 0 ∗ 1) = H ∗ 0 = 0. u
+ Exemple 4.2.3 Pour les distributions dont les supports sont tous limités à gauche
(resp. à droite), le produit de convolution est toujours associatif. u
4.2.2
¬
Propriétés de la convolution
Support d’une convolution :
Soient S, T ∈ D0 (Rn ) deux distributions dont l’une au moins est à
support compact, alors
supp(S ∗ T ) ⊂ supp(S) + supp(T )
Preuve : Posons A = supp(S) et B = supp(T ). Comme A et B sont fermés
et que l’un d’eux est compact alors A + B est fermé. Posons Ω = (A + B)c .
Considérons ϕ ∈ D(Ω), le support de ϕ(x + y) est contenu dans l’ensemble ouvert
{(x + y) ∈ Rn × Rm : x + y ∈ Ω}. D’autre part, le support de S ∗ T est A × B.
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Comme (x, y) ∈ A × B implique x + y ∈ A + B, le support de S ∗ T est d’intersection
vide avec celui de ϕ(A+B). Par conséquent hS ∗ T, ϕ(x + y)i = hSx ⊗ Ty , ϕ(x + y)i
pour tout ϕ ∈ D(Ω). u

Application bilinéaire continue :
Soient (S, T ) ∈ E0 (Rn ) × D0 (Rn ) deux distributions dont l’une au
moins est à support compact, alors (S, T ) ∈ E0 (Rn )×D0 (Rn ) → S ∗T ∈
D0 (Rn ) est une application bilinéaire continue en S et T .
Preuve : C’est une conséquence des propriétés du produit direct de distributions. u
®
Algèbre unitaire :
L’espace (E0 (Rn ), ∗) est une algèbre commutative, associative d’unité
δ :
δ ∗ T = T,
∀T ∈ E0 (Rn ).
Preuve : En effet, on a
hδ ∗ T, ϕi = hδx ⊗ Ty , ϕ(x + y)i = hTy , hδx , ϕ(x + y)ii = hTy , ϕ(y)i .
Le reste est facile à démontrer.
¯
u
Convolution par la distribution de Dirac :
Soit h ∈ Rn et notons par δh la distribution de Dirac au point h
définie par
hδh , ϕi = ϕ(h), ∀ϕ ∈ D(Rn ).
Alors, on a
τh T = δh ∗ T,
∀D0 (Rn )
où τh désigne la translation de vecteur h ∈ Rn .
Preuve : Comme δh est à support compact, δh ∗ T est définie pour tout T ∈ D0 (R).
Soit ϕ ∈ D(Rn ), on peut calculer explicitement le produit de convolution
hδh ∗ T, ϕi = hδh ⊗ T, ϕ(x + y)i = hδh ⊗ hTy , ϕ(x + y)ii
= hTy , ϕ(h + y)i = hTy , τ−h ϕ(y)i
= hτh T, ϕi . u
En particulier
δ ∗ T = T, ∀T ∈ D0 (Rn ).
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En utilisant la commutativité et l’associativité du produit de convolution, on obtient
τh (S ∗ T ) = (τh S) ∗ T = S ∗ τh T.
°
La dérivation est une convolution :
Pour T ∈ D0 (Rn ), on a
∂k T = (∂k δ) ∗ T.
En général, si D est un opérateur différentiel à cœfficients constants,
alors
DT = Dδ ∗ T,
∀T ∈ D(Rn ).
Ainsi, dériver une convolution revient à dériver simplement l’un des
termes de la convolution,
∂k (S ∗ T ) = (∂k S) ∗ T = S ∗ (∂k ).
Preuve : Soit ϕ ∈ D(Rn ) alors h∂k T, ϕi = (−1)k hT, ∂k ϕi. Or, on peut ecrire
∂k ϕ(x) = hδy , ∂k ϕ(x + y)i = (−1)k h(∂k δ)y , ϕ(x + y)i .
En remplaçant, on trouve
h∂k T, ϕi = (−1)k hT, ∂k ϕi = hTx , h(∂k δ)y , ϕ(x + y)ii
= hTx ⊗ (∂k δ)y , ϕ(x + y)i = h(∂k δ) ∗ T, ϕi .
Le reste est une conséquence de l’associativité. u
+ Exemple 4.2.4 Calculons xm δ0(n) ∗ xp δ0(q) : Pour cela, on doit d’abord expliciter
(n)
la distribution xm δ0 . Pour tout ϕ ∈ D(Rn ), on a
D
E D
E
(n)
(n)
xm δ0 , ϕ = δ0 , xm ϕ = (−1)n (xm ϕ)(n) |x=0 .
Mais
(xm ϕ)(n) =
X
Cin (xm )(i) ϕ(n−i) =
i≤n
X
C̄in xm−i ϕ(n−i) .
i≤n
(n−m)
Donc (xm ϕ)(n) |x=0 = An,m ϕ(n−m) (0) = An,m δ0
, où
(
0
si n ≤ m
An,m =
n
si n ≥ m.
C̄m
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Ce qui revient à calculer
D
E
D
E D
E
(n−m)
(q−p,ϕ)
(n−m)
(n−m+q−p)
δ0
∗ δ0
= (−1)q−p δ0
, ϕ(q−p) = δ0
,ϕ .
(n)
(q)
Finalement, xm δ0 ∗ xp δ0 = An,m Ap,q δ0n−m+q−p .
u
+ Exemple 4.2.5 On admet que pour tout T ∈ D0+ (R), il existe T −1 ∈ D0+ (R) tel que
T ∗ T −1 = δ0 . Calculons H −1 , (δ00 )−1 et (δ00 − kδ0 )−1 , k ∈ C :
¬
Soit à calculer X = H −1 . Alors H ∗ X = δ0 . En dérivant les deux termes, on obtient
H 0 ∗ X = δ00 soit que δ ∗ X = δ00 ce qui donne X = H −1 = δ00 .

Cherchons X = H −1 tel que δ00 ∗ X = δ0 . Donc (δ0 ∗ X)0 = δ0 . Une primitive de
cette expression donne X = (δ00 )−1 = H.
®
Posons X = (δ00 − kδ0 )−1 , donc (δ00 − kδ0 ) ∗ X = δ0 . En remarquant que (δ0 e−kx )0 =
(δ00 − kδ0 )e−kx , muliplions l’équation précédente par e−kx , pour obtenir
e−kx (δ00 − kδ0 ) ∗ X) = δ0 e−kx .
¡
¢ ¡
¢
Ce qui s’écrit e−kx (δ00 − kδ0 ) ∗ e−kx X = δ0 e−kx . Or, δ0 e−kx = δ0 , il vient que
¡
¢0
(δ0 e−kx )0 ∗ X = (δ0 e−kx ) ∗ X = δ0 . En prenant la primitive des deux côtés, on
obtient δ0 ∗ e−kx X = H. Donc e−kx X = H et alors X = Hekx . Ainsi,
(δ00 − kδ0 )−1 = Hekx . u
Les propriétés algébriques précédentes permettent de considérer des équations, dites de
convolution, de la forme
A∗X =B
Il est clair qu’au moins une solution X existe, quel que soit le second membre B, si et
seulement si, A est inversible au sens de la convolution, c’est-à-dire s’il existe G telle que
A ∗ G = G ∗ A = δ. Cet inverse G ≡ A−1 s’appelle la solution élémentaire.
4.2.3
Solutions fondamentales de certaines équations aux dérivées
partielles
Soit
P (x, ∂) =
X
aα (x)∂ α
|α|≤m
n
un opérateur différentiel sur R , à cœfficient aα ∈ C ∞ (Rn ). Si les coefficients aα sont
des constantes par rapport à x, on dit que l’opérateur différentiel est à cœffcients constants
et on note
P
aα ∂ α
P (∂) =
|α|≤m
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Une distribution E ∈ D0 (Ω) est dite solution élémentaire de P (∂) si elle vérifie
P (∂)E = δ0 dans D0 (Ω).
Notons que qu’une solution élémentaire, lorsqu’elle existe, n’est pas unique. Pour le voir,
il suffit de lui ajouter une solution de l’équation homogène
P (∂)T = δ0 dans D0 (Ω).
La distribution E + T est encore une solution élémentaire. Il faut imposer des conditions
pour caractériser l’une des solution et démontrer par là, l’unicité de la solution. L’éxistence
de la solution est assuré par la résultat célèbre qui suit
Théorème 4.2.1 (Malgrange-Ehrenpreis): Tout opérateur différentiel à cœfficients constants P (∂) sur Rn admet une solution élémentaire E dans D0 (R).
La notion de solution élémentaire est exploitée pour trouver les solutions de certaines
équations aux dérivées partielles de la manière suivante :
Théorème 4.2.2 Soit P (∂) un opérateur différentiel à cœfficients constants sur Rn et
E ∈ D0 (R) une solution élémentaire de P (∂). Alors, pour tout f ∈ E0 (Rn ), l’équation
P (∂)u = f
possède au moins une solution u ∈ D0 (R) de la forme
u = E ∗ f.
Preuve : Comme f est à support compact, l’expression de u a un sens. On a alors
P (∂)u = P (∂)(E ∗ f ) = (P (∂)E) ∗ f = δ0 ∗ f = f. u
+ Exemple 4.2.6 (Equation de la chaleur). L’équation de la chaleur est l’équation
aux dérivées partielles :
∂u
∂t
=
∂ 2u
∂x2
, x ∈ R, t ∈ R+ .
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Le problème de Cauchy associé consiste à trouver la solution u(x, t) de cette équation qui
vérifie la condition initiale
u(x, 0) = f (x).
La solution, au sens des distributions, est u ∈ D0x,t . Posons
∂
∂2
− 2.
∂t ∂x
D=
Vérifions que la distribution régulière associée à la fonction localement intégrable E :
R2 → R définie par
µ 2¶
1
x
E(x, t) = √ exp −
.
4t
2 πt
est une solution élémentaire. On doit alors vérifié que Dg = δ(0,0) . n effet,
¿µ
¶
À
¿
À ¿
À
∂
∂2
∂ϕ
∂2ϕ
−
(g), ϕ
= − E,
− E, 2
∂t ∂x2
∂t
∂x
µ 2¶
µ
¶
Z ∞ Z
x ∂ϕ
1
√ exp −
= − lim+
dt dx
ε→0
∂t
−∞
µ4t 2 ¶
¶
Z ∞ µt>ε
Z 2 πt
1
x ∂ 2ϕ
√ exp −
− lim+
dt dx
2
ε→0
4t
∂x
2
πt
−∞
t>ε
µ 2¶
Z ∞
x
1
√ exp −
= − lim+
ϕ(x, ε)dx
ε→0
4ε ¶
2 πε
µ
Z−∞
∞
x2
1
√ exp −
= − lim+
ϕ(sqrtεx, ε)dx
ε→0
4ε
2
πε
−∞

®
= ϕ(0, 0) = δ(0,0) , ϕ . u
Dans la cas général, notons x = (x1 , · · · , xn ) ∈ Rn et t ∈ R la variable temps. L’opérateur
de Laplace est
∆=
∂2
+ ··· +
∂x21
∂2
∂x2n
.
L’opérateur différentiel
D=
∂
∂t
−∆
est dit opérateur de la chaleur. La distribution
µ
E(x, t) =
1
√
2 πt
est une solution fondamentale de D.
¶n
µ
H(t) exp −
|x|2
4t
¶
.
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+ Exemple 4.2.7 (Equation des cordes vibrantes). C’est l’équation aux dérivées
partielles :
∂ 2u
∂t2
=
∂ 2u
∂x2
qui satisfait aux conditions initiales
u(x, 0) = f0 (x),
∂u
∂t
= f1 (x)
où f0 ∈ C 2 (R) et f1 ∈ C 1 (R). La solution élémentaire du problème de Cauchy est la
distribution régulière gt associée à la fonction localement intégrable
gt (x) =
et on a lim+ gt = 0 et lim+
t→0
t→0
1
2
(H(x + t) − H(x − t))
∂gt
= δ. La solution générale de l’équation des ondes s’écrit
∂t
u t = f0 ∗
∂gt
∂t
+ f1 ∗ gt .
En fait, la solution de l’équation des ondes est de la forme
u(x, t) = f (x + t) + g(x − t)
où f et g sont des fonctions continues. En effet, pour tout ϕ ∈ D(R),
¿ 2
À
Z
∂ u
∂2 ∞
,ϕ
=
(f (x + t) + g(x + t))ϕ(x)dx
2
∂t2
Z∂t −∞
Z
∞
00
∞
f (u)ϕ (u − t)du +
=
Z−∞
∞
g(u)ϕ00 (u + t)du
−∞
(f (x + t) + g(x − t))ϕ00 (x)dx
¿−∞2
À
∂ u
=
,ϕ . u
∂x2
=
+ Exemple 4.2.8 Soit P (∂) un opérateur différentiel à cœfficients constants. Posons
E = (P (∂)δ0 )−1 . Par définition on a (P (∂)δ0 ) ∗ E = δ0 . Par la dérivée d’un produit de
convolution P (∂)[δ0 ∗ E] = δ0 c’est-à-dire P (∂)[E] = δ0 . Ainsi,
E = (P (∂)δ0 )−1 est une solution fondamentale de P (∂)
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Supposons que P (∂) =
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P
Cα ∂ α et le polynôme correspondant s’écrit P (z) =
P
Cα z α .
α≤m
α≤m
Si z1 , · · · , zm sont les racines de P , on peut écrire, à un facteur près
P (z) = (z − z1 ) · · · (z − zm ).
Pour calculer (P (∂)δ0 )−1 , on calcul dans un premier temps P (∂)δ0 :
X
(α)
P (∂)δ0 =
Cα δ0
α≤m
(α)
où δ0
= δ00 ∗ · · · δ00 (α fois), à démontrer par récurrence. D’où
P (∂)δ0 = (δ00 − z1 ) ∗ · · · ∗ (δ00 − zm ).
On vérifie facilement que
(P (∂)δ0 ))−1 = (δ00 − zm )−1 ∗ · · · ∗ (δ00 − z1 )−1 .
Ainsi, et en utilisant l’exemple 4.2.5, on trouve :
(P (∂)δ0 ))−1 = (Hez1 x ) ∗ (Hez2 x ) ∗ · · · ∗ (Hezm x ).
On a ainsi explicité la solution élémentaire de tout opérateur différentiel à cœffcients
constants. u
+ Exemple 4.2.9 Si n ≥ 3, une solution fondamentale de l’opérateur de Laplace ∆ est
donnée par
E=−
Γ[(n − 2)/2]
4π n/2
.
1
r n−2
,
p
où r = x21 + · · · + x2n . Pour le voir, observons que E n’est pas continue à l’origine mais
qu’elle définie une distribution sur toute la partie de l’espace Rn telle que r ≥ ε. Pour
ϕ ∈ D(Rn ), on a
Z
Γ [(n − 2)/2]
(∆ϕ)(x)
h∆E, ϕi = hE, ∆ϕi = −
. lim
dx.
n/2
ε→0 r≥ε
4π
rn−2
Formule de Green :
Z
µ
Z
(u∆v − v∆u)dx =
Ω
u
∂Ω
∂v
∂n
−v
∂u
∂n
¶
dω
où ∂/∂n désigne la dérivation dans la direction de la normale extérieure à
la frontière ∂Ω de Ω.
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Dans notre cas, Ω sera le domaine compris entre les sphères de rayon R et ε, R sera choisi
tel que supp(ϕ) soit contenu dans la boule de rayon r < R. On applique maintenant la
formule de Green pour obtenir :
¶
¶
µ
µ
Z
Z
Z
Z
1
1
∆ϕ
∂
1 ∂ϕ n−1
n−1
dx
=
ϕ∆
dx
+
ϕ
ε
dσ
−
ε dσ,
n−2
n−2 ∂r
rn−2
∂r rn−2
r≥ε r
r≥ε
r=ε
r=ε r
où dσ désigne un élément de surface de la sphére unité Sn−1 . En fait, l’intégrale est prise
sur la sphère Sε de rayon r = ε dont l’aire est égaleµà εn−1¶ l’aire de la sphère unité Sn−1 .
1
1
Comme n−1 est une fonction harmonique alors ∆ n−2 = 0 sur le complémentaire de
r
r
l’origine, la première intégrale du second membre est alors nulle. D’autre part, on a
µ
¶
1
∂
= (2 − n)ε1−n
∂r rn−2
sur r = ε, la deuxième intégrale est égale à
Z
−(n − 2)
ϕ(x)dσ = (2 − n)|Sn−1 |.
r=ε
1
|Sn−1 |
Z
ϕ(rσ)dσ,
r=ε
où |Sn−1 | = 2π n/2 /Γ(n/2) est l’aire de la surface Sn−1 . Lorsque ε → 0, cette expression
tend vers
4π n/2
hδ, ϕi .
(2 − n)|Sn−1 |.ϕ(0) = −
Γ[(n − 2)/2]
Enfin, la dernière intégrale est dominée en valeur absolue par une expression de la forme
R
k.ε σ, k une constante, donc elle tend vers 0 lorsque ε → 0. Il s’ensuit que h∆E, ϕi =
hδ, ϕi c’est-à-dire ∆E = δ. u
Remarque : (Solutions fondamentales de ∆, pour n = 2 et n = 3)
¬
Si n = 3, comme Γ[1/2] =
√
π on obtient
∆
µ ¶
1
r
= −4πδ.
Donc la distribution
E=−
1
4πr
est une solution fondamentale de l’opérateur ∆.

Si n = 2, la distribution
E=
1
2π
.log r
est une solution fondamentale de l’opérateur ∆.
u
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+ Exemple 4.2.10 Soit z = x + iy ∈ C. L’opérateur de Cauchy-Riemann est défini par
∂
1
=
∂ z̄
2
µ
∂
∂
+i
∂x
∂y
¶
.
On montre que cet opérateur admet pour solution fondamentale la distribution
E=
1
πz
. u
Chapitre
5
Transformations de Fourier, Espaces S et S0
Pas assez de temps pour la frappe.
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Chapitre
6
Espaces de Sobolev
Nous présenterons, dans ce Chapitre, les propriétés essentielles des espaces de Sobolev
qui seront d’une très grande utilité dans l’étude des problèmes aux limites. Soit Ω un
ouvert de Rn de point générique x = (x1 , · · · , xn ). Sauf mention du contraire, toutes les
fonctions seront à valeurs dans R.
6.1
L’intégration par partie et dérivations faibles
Les dérivées faibles seront introduites en utilisant la dérivation par partie comme défintion.
Lemme 6.1.1 Soit Ω un ouvert de Rn , 1 ≤ i ≤ n. Pour tout ϕ ∈ C10 (Ω) on a
Z
∂ϕ
dx = 0.
Ω ∂xi
(6.1)
Preuve : En posant ϕ(x) = 0 pour tout x ∈ Rn \ Ω, on peut prendre ϕ ∈ D(Rn ). Supposons alors que suppϕ ⊂ [−M, M ]n pour un certain M ∈ R. Sans perdre de généralité,
on peut supposer que i = n. Il s’en suit que, pour (x1 , x2 , · · · , xn−1 ) ∈ Rn−1 , l’on a
Z
∂ϕ
(x1 , · · · , xn−1 )dxn = ϕ(x1 , x2 , · · · , xn−1 , M ) − ϕ(x1 , x2 , · · · , xn−1 , −M ).
R ∂xn
Z
∂ϕ
Et alors
dx = 0.
¥
Rn ∂xn
D’après (6.1) on déduit que pour f ∈ C1 (Ω), ϕ ∈ C10 (Ω) (donc f ϕ ∈ C10 (Ω)), on a
Z
Z
∂f
∂ϕ
(x)ϕ(x)dx = − f (x)
(x)ϕ(x)dx.
∂xi
Ω ∂xi
Ω
Par itération, on obtient pour f ∈ C2 (Ω), ϕ ∈ C20 (Ω), on a
Z
Z
Z 2
∂f
∂ϕ
∂ 2ϕ
∂ f
(x)ϕ(x)dx
=
−
(x)
(x)dx
=
f
(x)
(x)dx.
2
∂xi
∂x2i
Ω ∂xi
Ω
Ω ∂xi
(6.2)
(6.3)
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En prenant la somme pour 1 ≤ i ≤ n dans (6.3), on trouve
Z
Z
Z
∆f (x)ϕ(x)dx = −
Ω
gradf (x).gradϕ(x) =
f (x)∆ϕ(x)dx.
Ω
(6.4)
Ω
Dans l’intégrale du milieu le point désigne la produit scalaire dans Rn .
Nous allons utilisé les formules précédentes comme motivation pour introduire le concept
de différentiation de certaines fonctions qui ne le sont pas nécéssairement dans le sens
classique.
Définition 6.1.2 Soit f ∈ L1`oc (Ω). Une fonction v ∈ L1`oc (Ω) est dite dérivée faible de
f dans la direction xi , x = (x1 , · · · , xn ) ∈ Rn , si
Z
Z
v(x)ϕ(x)dx = −
Ω
f (x)
Ω
∂ϕ
∂xi
(x)dx.
(6.5)
est vérifiée pour toute fonction test ϕ ∈ D (Ω).
On note v = Di f . Dans le cas où f admet des dérivées faibles Di f pour i = 1, · · · , n, on
écrit Df = (Di f, · · · , Dn f ).
Il ressort de (6.2) et (6.5) que chaque f ∈ C1 (Ω) admet des dérivées faibles dans toute
direction à savoir, Di f = ∂f /∂xi . Cependant, il existe des fonctions qui admettent des
dérivées faibles mais qui n’appartiennent pas à l’espace C1 (Ω). D’autre part, il existe des
fonctions dans l’espace L1`oc (Ω) qui n’ont pas de dérivées faibles.
+ Exemple 6.1.1 Soient Ω =] − 1, 1[⊂ R et f (x) = |x|. Elle admet la dérivée faible
Df (x) =
(
1
−1 si −1 < x < 0,
car pour tout ϕ ∈ D (] − 1, 1[), on a
Z
Z 0
(−ϕ(x))dx +
−1
si 0 ≤ x < 1
Z
1
1
ϕ(x)dx = −
0
ϕ0 (x).|x|dx.
−1
+ Exemple 6.1.2 La fonction
(
f (x) =
1 si 0 ≤ x < 1
0 si −1 < x < 0,
n’admet aucune dérivée faible, si c’est la cas Df (x) devrait être 0 pour x 6= 0, et puisqu’elle
est L1`oc alors Df ≡ 0. Mais pour ϕ ∈ D(] − 1, 1[) on a
Z 1
Z 1
Z 1
0
0=
ϕ(x).0dx = −
ϕ (x).f (x)dx = −
ϕ0 (x)dx = ϕ(0).
¥
−1
−1
0
1ère Année Master
Dr HITTA Amara, Janv. 2010
+ Exemple 6.1.3 Soit Ω =]0, 2[⊂ R. Soit
(
u(x) =
et
x si 0 < x ≤ 1
1
(
v(x) =
si 1 ≤ x < 2
1 si 0 < x ≤ 1
0 si 1 < x < 2.
Montrons que u0 = v au sens faible. Pour cela, choisissons ϕ ∈ D(Ω). On devrait montrer
que
Z
Z
2
0
v(x)ϕ(x)dx.
0
Un calcul simple, nous donne
Z 2
Z
0
u(x)ϕ (x)dx =
Z
1
2
0
xϕ (x)dx +
0Z
0
2
u(x)ϕ0 (x)dx = −
Z
1
1
= −
ϕ0 (x)dx
0
comme convenu.
2
ϕ(x)dx + ϕ(1) − ϕ(1) = −
v(x)ϕ(x)dx,
0
¥
+ Exemple 6.1.4 Soit Ω =]0, 2[⊂ R. Soit
(
u(x) =
x si 0 < x ≤ 1
2
si 1 ≤ x < 2.
Montrons que u0 n’existe pas au sens faible. Pour cela, supposons qu’il existe v tel que
u0 = v. Alors pour tout ϕ ∈ D(Ω), on a
Z 2
Z 2
Z 1
Z 2
0
0
−
vϕdx =
u(x)ϕ (x)dx =
xϕ (x)dx + 2
ϕ0 (x)dx
0
0
0Z
1
1
= −
ϕ(x)dx − ϕ(1).
0
Choisissons une suite {ϕm }∞
m=1 de fonctions tests vérifiant
0 ≤ ϕm ≤ 1, ϕm (1) = 1, ϕm (x) → 0 pour tout x 6= 1
et remplaçons ϕ par ϕm et en faisant tendre m vers l’infini, on obtient
·Z 2
¸
Z 1
1 − lim ϕm (1) − lim
vϕm (x)dx −
ϕm (x)dx = 0.
m→∞
Contradiction.
m→∞
¥
0
0
1ère Année Master
Dr HITTA Amara, Janv. 2010
Les dérivées faibles d’ordre supérieures sont définies d’une manière analogue. Soit f ∈
P
L1`oc (Ω), α := (α1 , · · · , αn ), αi ≥ 0 (i = 1, · · · , n), |α| = ni=1 αi > 0, et
Dα ϕ :=
∂ |α|
∂ α1 x1 · · · ∂ αn xn
pour ϕ ∈ C|α| (Ω).
Une fonction v ∈ L1`oc (Ω) est dite la dérivée α-faible de f , ce qui s’écrit v = Dα f si
Z
Z
|α|
f (x)D α ϕ(x)dx,
v(x)ϕ(x)dx = (−1)
Ω
∀ϕ ∈ C|α| (Ω).
(6.6)
Ω
Définition 6.1.3 Soit k ∈ N, 1 ≤ p ≤ +∞, on définit l’espace de Sobolev W p,k (Ω) par
W p,k (Ω) = {f ∈ Lp (Ω) : D α f existe et D α f ∈ Lp (Ω), ∀|α| ≤ k}
On munit les espaces de Sobolev par une structure d’espaces normés dont les normes sont
définies par
1/p

X Z
|D α f (x)|p dx ,
1 ≤ p < +∞
||f ||W p,k (Ω) := 
|α|≤k
||f ||W p,∞ (Ω) :=
X
|α|≤k
Ω
sup |D α f (x)|,
p = +∞.
x∈Ω
+ Exemple 6.1.5 (Exercice) Posons Ω = {x ∈ Rn : ||x|| < 1} ⊂ Rn . Pour quelles
valeurs de α ∈ R on a
f (x) = ||x||α ∈ W p,k (Ω) ?
Lemme 6.1.4 Soit f ∈ L1loc (Ω). Supposons que v = Di f existe. Si dist(x, ∂Ω) > h alors
Di (fh (x)) = (Di f )h (x),
où fh est la convolution de f et un noyau ρ.
Preuve : Par différentiation sous l’intégrale, on obtient
µ
¶
Z
∂
x−y
1
ρ
Di (fh (x)) = n
f (y)dy
h Z ∂xi µ h ¶
−1
∂
x−y
=
ρ
f (y)dy
n
h Z ∂y
h
µi
¶
x−y
1
= n ρ
Di f (y)dy
h
h
= (Di f )h (x).
1ère Année Master
6.2
Dr HITTA Amara, Janv. 2010
Espace de Sobolev H 1(Ω)
Toute fonction f ∈ L2 (Ω) s’identifie à une distribution sur Ω, notée f , ses dérivées
1 ≤ i ≤ n, en tant que distributions sur Ω. En général,
à introdure le sous-ensemble de L2 (Ω) :
∂f
∈
/ L2 (Ω), ce qui nous conduit
∂xi
Définition 6.2.1 On appelle espace de Sobolev d’ordre 1 sur Ω, l’espace
½
H 1 (Ω) = f ∈ L2 (Ω),
∂f
∈ L2 (Ω), 1 ≤ i ≤ n
∂xi
On munit H 1 (Ω) du produit scalaire
(f, g)1,Ω
!
Z Ã
n
X
∂f ∂g
=
fg +
∂xi ∂xi
Ω
i=1
La norme correspondante sera notée
||f ||1,Ω =
A suivre ..........
p
(f, f )1,Ω
∂f
,
∂xi
¾

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