Opérations de base sur les fractions

Capsule 2
Opérations de base sur les fractions
Fractions
Une fraction est une division (non effectuée)
entre deux entiers relatifs
Fraction
𝟑
𝟑 ÷ 𝟒 s écrit aussi
𝟒
′
𝟏𝟐
𝟏𝟐 ÷ 𝟖 s écrit aussi
𝟖
′
𝟓 Numérateur
𝟕 Dénominateur
Fraction
Simplification (réduction) de fractions
Réduire une fraction consiste à l’écrire avec des nombres plus petits.
𝟒
Exemple 1 : Réduire
𝟔
On cherche le nombre le plus grand pouvant diviser à la fois 4 et 6.
Ce nombre est 2. On divise le numérateur et le dénominateur par 2.
𝟒 ÷𝟐
𝟐
=
𝟔 ÷𝟐
𝟑
𝟗
Exercice 1: Réduire
𝟏𝟐
𝟏𝟐
Exercice 2: Réduire
𝟏𝟖
Ou
𝟏𝟐 ÷𝟐
𝟏𝟖 ÷𝟐
=
𝟔
𝟗
et ensuite
𝟗 ÷𝟑 𝟑
=
𝟏𝟐 ÷ 𝟑 𝟒
𝟏𝟐 ÷ 𝟔 𝟐
=
𝟏𝟖 ÷ 𝟔 𝟑
𝟔 ÷𝟑
𝟗 ÷𝟑
=
𝟐
𝟑
L’addition et la soustraction de fractions
Exemple
Certaines cuisinières se plaignent de ne pas avoir de tasse à
mesurer « 3/4 tasse » pour mesurer des ingrédients. Elles ont des
contenants à mesurer de 1 tasse, 1/3 de tasse, ½ tasse ainsi que
¼ de tasse. Que pourraient-elles faire pour mesurer ¾ de tasse?
Elles pourraient remplir 3 fois le contenant qui contient ¼ tasse.
1 1 1 3
  
4 4 4 4
Les dénominateurs sont les mêmes.
L
On additionne les numérateurs !
Elles pourraient utiliser la ½ tasse ainsi que le ¼ de tasse.
1 1 3
 
2 4 4
Les dénominateurs
sont différents.
L
Il faut les rendre pareils!
L’addition et la soustraction de fractions
 Pour additionner ou soustraire des fractions, celles-ci doivent être au
même dénominateur.
Exemples a)
5
4
3
+
4
=
5+3
4
8
4
= =2
b)
9
11
−
7
11
=
9−7
11
=
2
11
Quand les termes de l'addition (ou de la soustraction) ont le même
dénominateur on ajoute (ou on soustrait) les numérateurs.
 Si les dénominateurs des termes de l'addition (ou de la soustraction)
sont différents, il faut les rendre pareils (ce dénominateur pareil est le
dénominateur commun). C’est le ppcm (plus petit commun
multiple) des dénominateurs.
Exemple
des cuisinières
1 1
+
𝟐 𝟒
=
=
Le ppcm de 2 et 4 est 4. 4 est
donc le dénominateur commun.
1×𝟐 1
+
2×𝟐 4
2
4
1
+
4
On écrit
3
=
4
1
2
au dénominateur 4.
Exemple :
1
2
+
9
3
−
1
4
On cherche le ppcm de 9, 3 et 4.
Truc : On cherche les multiples du plus grand des dénominateurs (ici : 9).
Les premiers de ces multiples : 9, 18, 27, 36, 45, 54… On choisit le plus petit de
ces multiples qui puisse se diviser par les autres dénominateurs (3 et 4).
On obtient 36. On transforme donc les 3 fractions en fractions équivalentes au
dénominateur 36.
1
9
=
=
+
2
3
−
1
4
1 × 𝟒 2 × 𝟏𝟐 1 × 𝟗
+
−
9 × 𝟒 3 × 𝟏𝟐 4 × 𝟗
4
24
+
36
36
−
9
=
36
On réduit la réponse obtenue si possible.
Ici, ce n’est pas possible de réduire la réponse.
19
36
Exemple :
1
9
1
9
−2
2
1
S’écrit − . On cherche le ppcm de 9 et 1. Ce ppcm est 9.
On transforme donc les 2 fractions en fractions équivalentes au
dénominateur 9.
𝟏
𝟗
𝟏
=
𝟗
𝟏
=
𝟗
𝟐
−
𝟏
𝟐×𝟗
−
𝟏×𝟗
𝟏𝟖
−
=
𝟗
−𝟏𝟕
𝟗
On réduit la réponse obtenue si possible.
Ici, ce n’est pas possible de réduire la réponse.
La multiplication de fractions
Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs
ensemble et on multiplie les dénominateurs ensemble.
On réduit la fraction obtenue si possible.
On n’a pas besoin de mettre les fractions au même
dénominateur avant de multiplier!
1 3 −1
Exemple
× ×
3
4
2
On n’a pas à changer les fractions en fractions équivalentes avec le
même dénominateur. On n’a qu’à multiplier en haut et en bas!
1 3 −1 1 × 3 × −1 −3
× ×
=
=
3 4
2
3×4×2
24
On réduit la fraction par la suite:
−3
24
=
−3 ÷𝟑
24 ÷𝟑
=
−1
8
ou −
1
8
La multiplication d’un entier avec une fraction
 Certaines multiplications pourraient vous embêter.
Par exemple, comment multiplie-t-on
1
4
×3 ?
 Dans ces opérations, il faut voir l’entier 3 comme une fraction.
3
En effet, 3 est la fraction .
1
 On effectue par la suite la multiplication de fractions en
multipliant ensemble les numérateurs et les dénominateurs.
1
1 𝟑 3
×𝟑= × =
4
4 𝟏 4
La division de fractions
 La division est l’opération inverse de la multiplication. Ainsi,
pour diviser des fractions, on doit plutôt multiplier la
première fraction par l’inverse de la seconde
fraction.
 Deux nombres sont des inverses si leur produit vaut 1.
Ainsi, l’inverse de 5 est 1/5.
L’inverse de 2/3 est 3/2 et vice versa.
Exemple
7 2

9 5
Pour diviser ces fractions, on doit multiplier la première
fraction par l’inverse de la deuxième. On obtiens donc:
7 𝟐 7 𝟓
÷ = ×
9 𝟓 9 𝟐
On multiplie les fractions et on réduit la fraction obtenue si
possible.
7 𝟐 7 𝟓 35
÷ = × =
9 𝟓 9 𝟐 18
La division d’une fraction et d’un entier
 On peut diviser un entier par une fraction ou diviser une
fraction par un entier.
 Il suffit de transformer l’entier en fraction comme on l’a fait
pour la multiplication d’une fraction par un entier.
Exemples
5
5 𝟑 5 𝟏
5
a)
÷𝟑= ÷ = × =
8
b)
8
𝟏
8
𝟑
24
𝟐 𝟖 𝟐 8 𝟕 56
𝟖÷ = ÷ = × =
= 28
𝟕 𝟏 𝟕 1 𝟐
2
Truc pratique pour la multiplication
Exemple
15 14 𝟐𝟏𝟎 ÷ 𝟒𝟐
5
×
=
=
22 21 𝟒𝟔𝟐 ÷ 𝟒𝟐 11
Avouons que la recherche du nombre 42 est un peu ardue. On aurait pu simplifier
d’abord par 2, ensuite par 3 et enfin par 7. Mais cela reste assez fastidieux.
Voici un truc pratique :
 Avant de multiplier, on simplifie un nombre du numérateur
avec un nombre du dénominateur.
÷7
÷2
÷3
15 𝟏𝟒 15 𝟐 𝟏𝟓 1
5 1
5
×
=
× =
× =
× =
22 𝟐𝟏 𝟐𝟐 3
11 𝟑 11 1 11
÷7
÷2
÷3
Exemple facile
÷6
325
325
𝟏𝟐 ×
=2×
= 650
𝟔
1
÷6
Exercices à effectuer sans crayon
÷7
8
8
21 × = 3 × = 24
7
1
÷7
÷7
÷8
15
15
8
× 24 =
× 𝟑 = 453 ×
8
𝟏
1
÷8
= 24
Exercice
2 4
8÷ ÷
3 5
3 5
= 8 × × = 15
2 4
Exercice
2 4
8÷ ÷
3 5
3 5
= 8 × × = 15
2 4
Distributivité de la multiplication sur
l’addition ou la soustraction
Exemple 1
𝟏𝟓 𝟐𝟎 − 𝟒 = 𝟏𝟓 × 𝟐𝟎 −𝟏𝟓 × 𝟒 = 𝟑𝟎𝟎 − 𝟔𝟎 = 𝟐𝟒𝟎
Exercice 1
𝟐𝟐 𝟑 + 𝟐𝟎 = 𝟐𝟐 × 𝟑 +𝟐𝟐 × 𝟐𝟎 = 𝟔𝟔 + 𝟒𝟒𝟎 = 𝟓𝟎𝟔
Distributivité de la multiplication sur
l’addition ou la soustraction
Exemple 1
𝟏𝟓 𝟐𝟎 − 𝟒 = 𝟏𝟓 × 𝟐𝟎 −𝟏𝟓 × 𝟒 = 𝟑𝟎𝟎 − 𝟔𝟎 = 𝟐𝟒𝟎
Exercice 1
𝟐𝟐 𝟑 + 𝟐𝟎 = 𝟐𝟐 × 𝟑 +𝟐𝟐 × 𝟐𝟎 = 𝟔𝟔 + 𝟒𝟒𝟎 = 𝟓𝟎𝟔
Exemple 2
𝟏𝟑 𝟏𝟕
𝟏𝟐
+
𝟒
𝟔
= 𝟑𝟗 + 𝟑𝟒 = 𝟕𝟑
𝟑 × 𝟏𝟑
𝟏
Exercice 2
𝟏𝟏 𝟏𝟑
𝟏𝟖
−
𝟑
𝟔
𝟐 × 𝟏𝟕
𝟏
= 𝟔𝟔 − 𝟑𝟗 = 𝟐𝟕
𝟏𝟑
𝟔 × 𝟏𝟏
𝟏
𝟑 × 𝟏𝟑
𝟏
Distributivité de la multiplication sur
l’addition ou la soustraction
Attention ! On distribue la multiplication sur l’addition ou
la soustraction, mais pas
sur la multiplication.
𝟒 𝟓 − 𝟑 = 𝟒 × 𝟓 −𝟒 × 𝟑
𝐦𝐚𝐢𝐬
𝟒 𝟓×𝟑
≠
𝟒×𝟓 ×𝟒×𝟑
𝟒 𝟓×𝟑 =𝟒×𝟓×𝟑
= 𝟐𝟎 × 𝟑
= 𝟔𝟎
Associativité de
la multiplication
𝟒×𝟓×𝟑
ou
= 𝟒 × 𝟏𝟓
= 𝟔𝟎