DS n°6 28 Janvier 2017

DS 6 Maths PC
28 janvier 2017
Dans tout le problème, on note tan la fonction tangente.
Etant donnés un entier naturel n>1et une fonction fde classe C∞sur un intervalle ouvert
I, on note f(n)la dérivée n-ième de fsur I. La notation f(0) désigne f.
Partie IA
1. Quelle est la période de la fonction tan ?
2. Représenter la fonction tan sur l’intervalle −π
2,π 2.
3. Démontrer l’existence d’une suite de polynômes (Tn)n∈Ntelle que :
—T0(X) = X,
— et pour tout entier naturel n,tan(n), dérivée n-ième de la fonction tan, vérifie :
∀x∈−π
2,π 2,tan(n)(x) = Tn(tan(x)).
On explicitera une relation de récurrence vérifiée par les polynômes Tnet Tn+1.
4. Expliciter les polynômes T1,T2,T3.
5. Soit n∈N. Démontrer que les coefficients du polynôme Tnsont des entiers naturels. Quel
est le degré du polynôme Tn?
6. Justifier qu’il existe une unique suite de nombres entiers naturels (tn)n∈Ntelle que :
∀n∈N, n >1,∀x∈−π
2,π 2,tan(x) =
n
X
j=0
tj
(2j+ 1)!x2j+1+Zx
0
(x−t)2n+1
(2n+ 1)! T2n+2(tan(t))dt.
On citera précisément le théorème utilisé.
Partie IB
Soit Iun intervalle ouvert de Rtel que 0∈Iet symétrique par rapport à 0. Soit fune fonction
de la variable réelle xde classe C∞sur I. Pour tout entier naturel non nul n, on note f(n)sa
dérivée n-ième et Rnla fonction définie pour x∈Ipar :
Rn(x) = 1
(n−1)! Zx
0
f(n)(t)(x−t)n−1dt.
On suppose que fest impaire et que pour tout entier naturel nnon nul et tout
nombre réel xdans Itel que x>0,f(n)(x)>0.
7. Soit x∈I. Pour tout entier naturel non nul n, justifier l’égalité :
Rn(x) = f(n)(0)
n!xn+Rn+1(x).
8. Soit b∈Itel que b > 0.
(a) Démontrer que la suite (Rn(b))n>1est convergente.
(b) Soient x∈[0, b]et nun entier naturel non nul.
1

i. Justifier l’égalité :
Rn(x) = xn
(n−1)! Z1
0
f(n)(tx)(1 −t)n−1dt.
ii. En déduire que :
06Rn(x)6xn
(n−1)! Z1
0
f(n)(tb)(1 −t)n−1dt.
iii. Démontrer que :
Rn(x)6x
bn
Rn(b).
(c) En déduire que pour tout xdans ]−b, b[,
f(x) =
+∞
X
n=0
f(n)(0)
n!xn.
On justifiera précisément la convergence de la série.
9. La suite (tn)n∈Nayant été définie dans la question IA6, démontrer que :
∀x∈−π
2,π 2,tan(x) =
+∞
X
n=0
tn
(2n+ 1)!x2n+1.
10. Que peut-on dire du rayon de convergence de la série entière
+∞
X
n=0
tn
(2n+ 1)!z2n+1 ? Justifier
votre réponse.
On considère la suite (σ)ndéfinie par σ0= 1, et pour tout entier n>2:
n−1
X
k=0 n
k!σk= 0.(1)
11. Expliciter les valeurs de σ1,σ2et σ3.
12. Montrer que la relation (1) permet de définir de façon unique la suite (σn)n∈N
13. Expliciter un programme en python qui permet de calculer σ50.
Partie II.
Dans cette partie, on considère la série entière de la variable complexe z:
S(z) =
+∞
X
n=0
σn
n!zn.
On admet que la série entière a un rayon de convergence R > 0. On note Dson disque de
convergence.
1. Démontrer que pour tout zdans D,ezS(z) = z+S(z)(On pourra introduire un produit
de Cauchy de séries entières)
2. Soit la fonction Tdéfinie par :
T(z) = 
z(e2iz + 1)
(e2iz −1,si 0<|z|< π
0,si z= 0.
Démontrer qu’il existe un nombre réel ρ,ρ∈]0, R], tel que Tadmet un développement
en série entière sur le disque de centre 0et de rayon ρ. Exprimer les coefficients de ce
développement en série entière en fonction de (σn)n∈N.
2

3. En utilisant l’égalité (qu’on justifiera)
∀x∈]−π
2,π 2[\{0}, i tan x=2(e4ix + 1) e4ix −1) −(e2ix + 1) (e2ix −1)
déterminer pour tout entier naturel n, une expression de tnen fonction de σn.
4. Démontrer que σk= 0, pour tout entier naturel impair k>3
Problème B.
On dispose d’une pièce, qui lorsqu’elle est lancée, tombe sur « pile »avec la probabilité pet
« face »avec la probabilité q= 1 −p. On suppose que p∈]0,1[
Alice et Benoît jouent à un jeu de « pile ou face »avec cette pièce de la façon suivante : La
pièce est lancée plusieurs fois de suite jusqu’à ce que trois lancers successifs fournissent deux fois
« pile »suivis d’un face (dans ce cas Alice gagne) ou une fois face suivis de deux fois « pile »(dans
ce cas Benoît gagne)
Les jets sont supposés indépendants. Soit nun entier naturel non nul.
On note Pn(respectivement Fnl’événement : « on a obtenu pile (respectivement face) au nème
lancer »
On note An (respectivement Bn) l’événement : « le nème lancer fait gagner Alice »(respective-
ment Benoît)
On note Enl’événement :« Ni Alice, ni Benoît n’ont gagné après nlancers. »
1. Déterminer P(En),P(An),P(Bn)pour n= 1,2,3.
2. Soit n∈N∗On note vnla probabilité de l’événement : En∩Fnet wnla probabilité de
l’événement En∩Pn.
(a) Exprimer v1, v2, w1, w2en fonction de pet q
(b) Soit nun entier naturel supérieur ou égal à 3. En décomposant l’événement : En∩Fn
selon la valeur du résultat du n−1ème lancer, démontrer que :
vn=qvn−1+pqvn−2.
(c) Soit nun entier naturel >3.On considère une suite de nlancers consécutifs qui n’a
fait gagner ni Alice, ni Benoît, et qui se conclut par un « pile . » On suppose que lors
d’au moins un de ces lancers, la pièce est tombée sur « face ». On note alors kle rang
du dernier lancer pour lequel ceci a eu lieu. Justifier que k=n−1.
(d) Soit nun entier naturel >3.Démontrer que wn=pn+pvn−1.
3. (a) Quel est le sens de variations de la suite P(En)? En déduire que cette suite converge
vers `>0
(b) Déterminer P(En)en fonction de vn, vn−1et p
(c) En déduire que `= 0.(On pourra considérer la suite de terme général vn+pvn−1
pour n>2et montrer qu’elle est décroissante.
(d) En déduire que le jeu se termine presque surement (c’est-à-dire avec la probabilité 1).
4. Soit nun entier >3
(a) On considère une suite de nlancers consécutifs tels qu’Alice gagne la partie au nème
lancer. Démontrer que lors des n−1premiers lancers, la pièce n’est pas tombée sur
« face. »
(b) En déduire la probabilité P(An)qu’Alice gagne au nème lancer, puis P(Bn)
5. Exprimer en fonction de pla probabilité qu’Alice gagne la partie, et la probabilité que
Benoît gagne la partie. Quels valeurs obtient-on pour ces deux probabilités lorsque la
pièce est équilibrée ?
6. Quelle valeur donner à ppour que le jeu soit équitable, c’est-à-dire qu’Alice et Benoît
aient la même chance de gagner ?
3