UNIVERSIT´E PARIS XI UFR SCIENTIFIQUE D`ORSAY TH`ESE

UNIVERSIT´ E PARIS XI
UFR SCIENTIFIQUE D’ORSAY
TH` ESE
present´ee
pour obtenir le grade de
DOCTEUR EN SCIENCES
DE L’UNIVERSIT´ E PARIS XI ORSAY
Specialit´e : Math´ematiques
Par
Ricardo MENARES
NOMBRES D’INTERSECTION ARITHM´ ETIQUES ET
OP´ ERATEURS DE HECKE SUR LES COURBES
MODULAIRES X0(N)
Soutenue le 8 septembre 2008 devant la comission d’examen :
M. BOST Jean-Benoˆıt Examinateur
M. CHAMBERT-LOIR Antoine Rapporteur
M. K¨ UHN Ulf Rapporteur
M. R ¨ OSSLER Damian Examinateur
M. ULLMO Emmanuel Directeur de th`ese

del dicho al hecho hay mucho trecho

Remerciements/Agradecimientos
Je commence par un grand merci `a Emmanuel Ullmo, qui a dirig´e cette th`ese. Il m’a
non seulement propos´e un tr`es beau sujet, mais il a aussi fait preuve de patience et de
disponibilit´e pour me guider dans ce domaine si complexe. Je remercie les membres du
jury : Antoine Chambert-Loir et Ulf K¨uhn d’avoir accept´e d’ˆetre rapporteurs de ma th`ese,
ainsi que Jean-Benoˆıt Bost et Damian R¨ossler pour avoir eu la gentillesse de faire partie
de ce jury.
Eduardo Friedman a ´et´e un soutien constant pendant plusieurs ´etapes de ma formation,
ainsi qu’un exemple de math´ematicien. Qu’il trouve ici ma profonde reconnaissance.
Mes remerciements vont aussi aux diff´erents math´ematiciens qui ont pris de leur temps
pour discuter avec moi ; je pense en particulier `a Karim Belabas, Rodolphe Richard et
Amaury Thuillier. L’Institut de Math´ematiques de Bordeaux m’a permis d’utiliser son
infrastructure pendant plus d’un an, `a l’´epoque o`u j’effectuais de fr´equents allers et re-
tours entre Paris et Bordeaux et o`u je commen¸cais la r´edaction de cette th`ese. J’en profite
´egalement pour remercier cette institution.
Pierre Pansu, le directeur de l’´ecole doctorale du labo, s’est ing´eni´e `a simplifier ad-
ministrativement la vie des doctorants, et il a fait un travail formidable. Quant `a Val´erie
Lavigne, la secr´etaire de l’´ecole doctorale, elle a ´et´e un soutien pr´ecieux pendant ces ann´ees.
Pour sa gentillesse, sa sympathie et son efficacit´e je tiens `a la remercier de tout coeur.
Je remercie chaleureusement les amis qui ont ´et´e `a l’origine de beaux moments, grˆace
`a la combinaison de leur amiti´e et de leur vision des math´ematiques : Jos´e Aliste, Nico-
las Billerey, Eduardo Cerpa, Fernando Cordero, Daniel Coronel, Antoine Gournay, Nicol´as
Libedinsky, Mario Ponce, Luis Rojas, Denis Trotabas. Et merci aux autres amis, qui n’ont
pas un lien direct avec le monde math´ematique, de m’avoir fait d´ecouvrir le cˆot´e drˆole de
ce pays ´etrange : Aulivier et Or´elie, Cathy, Herv´e, Jean-Marie, Katja, Senja.
Agradezco a mi familia por haber sido un soporte constante durante toda mi formaci´on
y por su tolerancia con mi elecci´on de hacer una vida entre dos continentes.
Jeanne, ma femme, est mon rayon de soleil et aussi une source de stimulation intellec-
tuelle. Je profite de cette occasion pour la remercier de tout le bonheur que l’on partage
et dont j’ignorais qu’il puisse exister.
Enfin, j’ai b´en´efici´e de 2003 `a 2007 de la bourse Master investigaci´on y doctorado du
CONICYT (agence de recherche chilienne), j’en suis tr`es reconnaissant.

Table des mati`eres
1 Introduction 1
1.1 Op´erateurs de Hecke et th´eorie d’Arakelov .................. 1
1.2 Op´erateurs de Hecke et courbes elliptiques supersinguli`eres ......... 5
2 Les courbes modulaires X0(N)7
2.1 Courbes modulaires comme surfaces de Riemann ............... 7
2.2 Courbes modulaires comme surfaces arithm´etiques .............. 10
2.2.1 Interpr´etation modulaire ........................ 10
2.2.2 Description des fibres de mauvaise r´eduction ............. 14
2.3 Op´erateurs de Hecke comme correspondances ................ 16
3 Groupe de Chow arithm´etique 23
3.1 Les op´erateurs d,dcet ddc........................... 23
3.2 Fonctions de Green L2
1............................. 24
3.2.1 Construction des fonctions de Green L2
1admissibles sur X0(N). . . 26
3.3 Groupe de Chow arithm´etique de X0(N) et th´eorie d’Arakelov ....... 34
3.4 Th´eor`eme de l’indice de Hodge ........................ 39
4 Op´erateurs de Hecke comme endomorphismes du groupe de Chow arith-
m´etique 43
4.1 Multiplicit´e des points de Hecke ........................ 46
4.2 Action des op´erateurs de Hecke sur les fonctions de Green L2
1admissibles . 48
4.3 Admissibilit´e .................................. 54
4.4 Autoadjonction ................................. 55
4.5 Alg`ebre de Hecke arithm´etique et d´ecomposition de d CHnum
R(N) en sous-
espaces propres ................................. 59
5 Nombres d’intersection 63
5.1 Dualisant relatif ................................. 63
5.2 Dualisant relatif comme ´el´ement du groupe de Chow arithm´etique ..... 65
5.3 Calcul des nombres d’intersection ....................... 66
6 Op´erateurs de Hecke et courbes elliptiques supersinguli`eres 72
6.1 S´eries d’Eisenstein de poids 2 pour Γ0(p)................... 74
6.2 D´emonstration des ´enonc´es. .......................... 75
A Multiplicit´e des points elliptiques sur X0(1) 77

1 Introduction
L’alg`ebre de Hecke joue un rˆole central dans la th´eorie des formes modulaires. Classique-
ment, on en construit des repr´esentations dans l’espace des endomorphismes d’un espace
de formes modulaires. Du point de vue g´eom´etrique, les op´erateurs de Hecke d´efinissent
des correspondances sur les courbes modulaires.
La th´eorie d’Arakelov fournit des invariants pour les courbes alg´ebriques d´efinies sur
un corps de nombres. La courbe X0(N) admet un mod`ele projectif sur Q, ce qui nous a
conduit `a ´etudier le comportement des invariants Arak´eloviens sous l’action de l’alg`ebre
de Hecke.
Cette th`ese s’inscrit dans l’´etude des correspondances de Hecke sur les courbes modu-
laires X0(N). D’une part, nous ´etudions la relation entre l’alg`ebre de Hecke et la th´eorie
d’Arakelov ; d’autre part, nous entreprenons un d´ebut d’´etude de la dynamique de l’action
des op´erateurs de Hecke sur l’ensemble des courbes elliptiques supersinguli`eres.
1.1 Op´erateurs de Hecke et th´eorie d’Arakelov
Les courbes modulaires X0(N) admettent un mod`ele projectif d´efini sur Q, que l’on
note X0(N)Q. Soit Nun entier sans facteurs carr´es. Pour un tel entier N, on note X0(N) le
mod`ele sur Zde X0(N)Qdonn´e par l’interpr´etation modulaire ´etudi´ee par Deligne et Rap-
poport ([De-Ra]). Ainsi, X0(N) peut ˆetre consid´er´e comme une surface arithm´etique et les
correspondances de Hecke comme des endomorphismes du groupe de Chow CH1(X0(N)).
Soit d CH1
GS(X0(N)) le groupe de Chow arithm´etique d´efini par Gillet et Soul´e ([Gi-So]).
Ses ´el´ements sont repr´esent´es par des diviseurs compactifi´es (D, g) o`u gest une distribution
r´eelle telle que
ddcg+δD⊗C
est une forme C∞.1
Dans ce texte X0(N) d´esigne la surface de Riemann associ´ee `a X0(N)(C). Cette surface,
`a un nombre fini de points pr`es, est un quotient du demi-plan de Poincar´e par un groupe
de congruences (cf. section 2.1). Via cette uniformisation, gpeut ˆetre consid´er´e comme
une fonction g´en´eralis´ee sur H:= {z∈Ct.q. Im(z)>0}. Soit lun nombre premier ne
divisant pas N. On pose vl=l0
0 1 et
Tlg(z) :=
l
X
j=0
g(αjz), z ∈H,(1.1)
o`u {α0, . . . , αl}est un syst`eme de repr´esentants pour l’action `a gauche de Γ0(N) sur
Γ0(N)vlΓ0(N).
Il se trouve que
1. Dans [Gi-So], gest appel´e courant de Green . Dans ce texte nous adopterons la terminologie de
[Bo], qui appelle gune fonction de Green .
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