Chapitre 05 - Univers TI Nspire

Christian Vassard (IUFM Rouen)
5
Chapitre
Nous poursuivons l’investigation autour de la réciproque du théorème de Fermat : après avoir vu le
théorème de Lehmer dans le chapitre précédent, nous nous intéressons de plus près aux entiers non
premiers qui vérifient le théorème de Fermat. Leur étude apporte de nombreuses informations…
Sommaire
Chapitre 5. Pseudo-primalité ................................................................................ 103
1. Nombres pseudo-premiers de base a .................................................. 104
1.1 Que sont ces nombres ? .............................................................. 104
1.2 Recherche systématique .............................................................. 104
1.3 Vers un test de primalité ? ........................................................... 106
1.4 Les nombres de Carmichael ........................................................ 107
1.5 Test de primalité de Fermat ......................................................... 110
2. Nombres pseudo-premiers forts ............................................................ 111
2.1 Une propriété intéressante des nombres premiers .................. 111
2.2 Les nombres pseudo-premiers forts ........................................... 113
2.3 Établir la liste des nombres pseudo-premiers forts .................. 115
2.4 Vers un test de primalité ............................................................... 117
2.5 Vers un test de primalité probabiliste (dit de Miller-Rabin) ..... 119
Chapitre 5.
Pseudo-primalité

104 Mathématiques et TI-Nspire
© T³ France 2011 / Photocopie autorisée
1. Nombres pseudo-premiers de base a
1.1 Que sont ces nombres ?
On a vu précédemment que la réciproque du théorème de Fermat était fausse : mais elle n’est fausse
que pour quelques nombres composés, plutôt rares comme on l’a vu, et qu’il peut être intéressant de
mieux connaître.
Ces nombres, qui se comportent du point de vue du théorème de Fermat comme des nombres
premiers
1
, sont appelés pseudo-premiers, comme le précise la définition suivante.
Définition
Soit a un entier > 1.
Un entier n  2 est dit pseudo-premier de base a si :
n n’est pas premier ;
an–1  1 (mod n).
Remarquons que, lorsque n est un nombre pseudo-premier de base a, n et a sont alors nécessairement
premiers entre eux. Écrire en effet que an–1  1 (mod n) revient à affirmer l’existence d’un entier k tel
que an – 1 – 1 = kn, soit an – 2 × a – k × n = 1. Le théorème de Bézout permet de conclure que n et a sont
premiers entre eux.
1.2 Recherche systématique
Le tableur peut être employé pour lister directement les nombres pseudo-premiers de base 2 par
exemple, compris entre deux entiers donnés.
Les valeurs 2 et 10000
2
sont stockées dans les variables m et n, la base dans la variable a. Remarquez
bien la formule saisie dans la zone grisée de la colonne F : elle illustre une nouvelle fois l’efficacité
de void. Cette formule permet de lister les entiers entre 2 et 10 000 qui vérifient une propriété, et
seulement eux.
1
Sans en être...
2
Avec la calculatrice, entre 2 et 1000 semble plus raisonnable…

Pseudo-primalité 105
© T³ France 2011 / Photocopie autorisée
Le seq, combiné avec le when, met à void (vide) les entiers qui ne vérifient pas la propriété ; le
delvoid les supprime de la liste.
Rien n’oblige d’ailleurs à passer par le tableur. L’instruction précédente peut être directement dans
l’application Calculs, en précisant toutefois les valeurs de a, m et n :
Enfin et plus classiquement, une fonction dirait la même chose, en étant sans doute un peu plus
rapide : un tel nombre i d’une part n’est pas premier et d’autre part doit vérifier
11 mod i
ai
. Si
l’on rencontre un tel i, il suffit de le mémoriser dans la liste l.
En demandant nos recherches entre 2 et 10000, les résultats sont les suivants :
nombre pseudo-premiers de base 2, parfois appelés nombres de Poulet :
341, 561, 645, 1 105, 1 387, 1 729, 1 905, 2 047, 2 465, 2 701, 2 821, 3 277, 4 033,
4 369, 4 371, 4 681, 5 461, 6 601, 7 957, 8 321, 8 481, 8 911, 10 261, 10 585, 11 305,
12 801, 13 741, 13 747, 13 981, 14 491, 15 709, 15 841, 16 705, 18 705, 18 721,
19 951, 23 001, 23 377, 25 761, 29 341, 30 121, 30 889, 31 417, 31 609, 31 621,
33 153, 34 945, 35 333, 39 865, 41 041, 41 665, 42 799, 46 657, 49 141, 49 981,
52 633, 55 245, 57 421, 60 701, 60 787, 62 745, 63 973, 65 077, 65 281, 68 101,
72 885, 74 665, 75 361, 80 581, 83 333, 83 665, 85 489, 87 249, 88 357, 88 561,
90 751, 91 001, 93 961 ;
nombres pseudo-premiers de base 3 :
91, 121, 286, 671, 703, 949, 1 105, 1 541, 1 729, 1 891, 2 465, 2 665, 2 701, 2 821,
3 281, 3 367, 3 751, 4 961, 5 551, 6 601, 7 381, 8 401, 8 911, 10 585, 11 011, 12 403,
14 383, 15 203, 15 457, 15 841, 16 471, 16 531, 18 721, 19 345, 23 521, 24 046,
24 661, 24 727, 28 009, 29 161, 29 341, 30 857, 31 621, 31 697, 32 791, 38 503,
41 041, 44 287, 46 657, 46 999, 47 197, 49 051, 49 141, 50 881, 52 633, 53 131,
55 261, 55 969, 63 139, 63 973, 65 485, 68 887, 72 041, 74 593, 75 361, 76 627,
79 003, 82 513, 83 333, 83 665, 87 913, 88 561, 88 573, 88 831, 90 751, 93 961,
96 139, 97 567 ;

106 Mathématiques et TI-Nspire
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nombres pseudo-premiers de base 5 :
4, 124, 217, 561, 781, 1 541, 1 729, 1 891, 2 821, 4 123, 5 461, 5 611, 5 662, 5 731,
6 601, 7 449, 7 813, 8 029, 8 911, 9 881, 11 041, 11 476, 12 801, 13 021, 13 333,
13 981, 14 981, 15 751, 15 841, 16 297, 17 767, 21 361, 22 791, 23 653, 24 211,
25 327, 25 351, 29 341, 29 539, 30 673, 32 021, 35 371, 36 661, 36 991, 38 081,
40 501, 41 041, 42 127, 44 173, 44 801, 45 141, 46 657, 47 641, 48 133, 50 737,
50 997, 52 633, 53 083, 53 971, 56 033, 58 807, 59 356, 63 973, 67 921, 68 101,
68 251, 75 361, 79 381, 80 476, 88 831, 90 241, 91 636, 98 173 ;
nombres pseudo-premiers de base 7 :
6, 25, 325, 561, 703, 817, 1 105, 1 825, 2 101, 2 353, 2 465, 3 277, 4 525, 4 825,
6 697, 8 321, 10 225, 10 585, 10 621, 11 041, 11 521, 12 025, 13 665, 14 089, 16 725,
16 806, 18 721, 19 345, 20 197, 20 417, 20 425, 22 945, 25 829, 26 419, 29 234,
29 341, 29 857, 29 891, 30 025, 30 811, 33 227, 35 425, 38 081, 38 503, 39 331,
45 991, 46 657, 49 241, 49 321, 50 737, 50 881, 58 825, 59 305, 59 641, 62 745,
64 285, 64 681, 65 131, 67 798, 75 241, 75 361, 76 049, 76 627, 78 937, 79 381,
84 151, 87 673, 88 399, 88 831, 89 961, 92 929, 95 821, 97 921.
1.3 Vers un test de primalité ?
On peut montrer que les nombres pseudo-premiers de base a quelconque sont en nombre infini. Voici
par exemple le nombre d’entiers pseudo-premiers de base 2 inférieurs à la borne indiquée :
Borne
103
104
105
106
107
108
109
1010
Nombre
3
22
78
245
750
2057
5597
14884
Ils sont cependant beaucoup moins nombreux que les nombres premiers. Ainsi, il y a seulement 245
nombres pseudo-premiers de base 2 inférieurs à 1 million contre 78 494 nombres premiers…
D’où l’idée d’un test pour savoir si un entier n est premier ou non… Car finalement, dès l’instant que
2n–1  1 (mod n)
3
, on peut être sûr
soit que n est premier (c’est très probable
4
),
soit que n est pseudo-premier de base 2 (beaucoup moins probable d’après les remarques
précédentes).
C’est le cas par exemple avec l’entier 252 601 :
On peut alors se dire qu’il suffit de tester d’autres bases que 2 et penser que n a d’autant plus de
chances d’être premier qu’il se comporte comme un nombre premier pour de nombreuses bases. C’est
d’ailleurs le cas pour notre entier 252 061, qui est pseudo-premier pour toutes les bases de 2 à 100
comme on peut le voir ci-dessous :
3
Sinon, on est sûr que n est composé, comme nous l’avons vu plus haut.
4
On peut estimer cette probabilité pour un nombre inférieur à 106 à 78 494/(78 494+245)  99,7%, ce qui est très confortable !

Pseudo-primalité 107
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Sauf qu’il existe effectivement des nombres pseudo-premiers n pour toutes les bases
5
a... Pour ceux-
là, la répétition du test n’apporte aucune certitude supplémentaire…
D’ailleurs, quand on observe les listes de nombres pseudo-premiers obtenues précédemment, cela
semble être le cas pour 561, 1 105 ou 1 729... Ou 252 601 qui sait ? De tels nombres sont appelés
nombres de Carmichael, en hommage au mathématicien américain Robert Carmichael (1879-1967)
qui les a étudiés au début du XXe siècle.
1.4 Les nombres de Carmichael
Définition
Soit n un entier.
Un entier n composé est un nombre de Carmichael lorsque, pour tout entier a premier avec n,
on a an – 1  1 (mod n).
Ainsi l’examen des listes précédentes semble montrer que 561 est un nombre de Carmichael.
Prouvons-le ! Autrement dit, montrons que ce nombre entier est pseudo-premier pour toutes les bases
a telles que pgcd(561, a) = 1.
Cela semble se confirmer si l’on fait quelques autres essais, en excluant 3, 11 et 17 car 561 n’est
premier avec aucun de ces nombres :
5
Telles que pgcd(n, a) = 1...