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2N1 - ENSEMBLES DE NOMBRES
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CONTENUS
Nature
et
nombres.
écriture
CAPACITES ATTENDUES
COURS (1/3)
COMMENTAIRES
On admettra que l'ensemble des réels est l'ensemble des
abscisses des points d'une droite.
des
Notations (V, W, [, X et Y).
Représentation des nombres Distinguer un nombre d'une de ses valeurs On travaillera sur les ordres de grandeur.
approchées.
dans une calculatrice.
Interpréter un résultat donné par une calculatrice. On donnera un ou deux exemples de limites d'utilisation d'une
Organiser un calcul à la main ou à la machine. calculatrice.
On fera quelques manipulations de nombres en écriture
scientifique.
Nombres premiers.
Décomposer un entier en produit de nombres On se limitera à des exemples (du type 56 x 67) pour lesquels
premiers.
la connaissance des tables de multiplication suffit.
Thèmes d’étude :
Calculatrices et grands nombres
Problèmes historiques sur les nombres
Caractérisation des éléments de [ et X.
I. ENSEMBLES DE NOMBRES
a. Les (nombres) entiers naturels
Ce sont les nombres entiers et positifs. Leur ensemble est noté V.
Exemples :
1 ∈ V (« 1 appartient à V)
76 912 ∈ V
0∈V
Attention : (-5) ∉ V, de même que les autres nombres négatifs.
b. Les (nombres) entiers relatifs
Ce sont tous les nombres entiers. Leur ensemble est noté W.
Exemples :
1∈W
0∈W
-1 ∈ W
29 032 ∈ W…
c. Les nombres décimaux
a
(a et n entiers). Leur ensemble est noté [.
10n
-1 802 
4 


-1,802 ∈ [ -1,802 = 103 
4 ∈ [ 4 = 100…




finissent pas après la virgule » ne sont pas des décimaux (même si la
Ce sont les nombres qui peuvent s’écrire sous la forme
15

Exemples : 1,5 ∈ [ 1,5 = 10


Attention : les nombres qui « ne
machine prétend le contraire…).
1
1
Exemple : ∉ [ (même si, d’après la machine, = 1,33333333333)
3
3
d. Les nombres rationnels
a
(a et b entiers). Leur ensemble est noté X.
b
3
-12


1,5 ∈ X 1,5 = 2
-12 ∈ X -12 = 1 …




Ce sont les nombres qui peuvent s’écrire sous la forme
Exemples :
1
∈X
3
Attention, certains sont irrationnels (π, e,
2,
3…) et n’appartiennent donc pas à X.
e. Les nombres réels
Ce sont tous les nombres que nous utilisons et que nous représentons sur un axe gradué. Leur ensemble est
noté Y.
f. Conclusion
Tous les nombres rationnels appartiennent aussi à l’ensemble des nombres réels. On dit alors que X est
inclus dans Y et on note : X ⊂ Y.
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COURS (2/3)
On peut conclure que :
V⊂W⊂[⊂X⊂Y
II. VALEUR EXACTE, VALEURS APPROCHEES
a. Arrondi et troncature
Exemples :
8,569 201 324
22
≈ 3,142 857 142 857…
7
π ≈ 3,141 592 653 589…
Valeur exacte
8,569 201 324
22
7
π
Troncature à 2 chiffres
8,56
3,14
3,14
Troncature à 3 chiffres
8,569
3,142
3,141
Arrondi à l’unité
9
3
3
Arrondi à 10-2
8,57
3,14
3,14
Arrondi à 10-3
8,569
3,143
3,142
Les troncatures et les arrondis sont des valeurs approchées des nombres.
b. Ordre de grandeur
L’ordre de grandeur d’un nombre est le nombre sous la forme a × 10n avec a entier relatif (1 < a < 10) et n
entier relatif. On l’obtient facilement à partir de l’écriture scientifique du nombre.
Exemple :
8 269 201 324
0,000 052 932
- 58 345 943
Ecriture scientifique
8,269 201 324 × 109
5,293 2 × 10-5
-5,834 594 3 × 107
Ordre de grandeur
8 × 109
5 × 10-5
-6 × 107
c. La calculatrice
La calculatrice ne manipule qe des nombres décimaux. En outre, elle ne peut afficher qu’un nombre limité de
chiffres (les « digits ») sur son écran (généralement entre 8 et 12). Quand elle ne peut pas afficher la valeur
exacte d’un nombre, elle la remplace par une valeur approchée.
Exemples :
20
= 20 ÷ 3 ≈ 3,333 333 333
3
9999 = 991 035 916 125 874 083 964 008 999 ≈ 9,910 359 161 E 26
III. NOMBRES PREMIERS
a. Diviseurs d’un nombre
Soit a et b deux nombres entiers.
On dit que b est un diviseur de a (ou alors a est divisible par b) si le quotient exact de a par b est un nombre
entier.
Exemples :
2 est un diviseur de 98
100 est un diviseur de 1 500
Remarque : tout nombre entier (distinct de 0 et 1) admet a moins 2 diviseurs : 1 et lui-même.
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COURS (3/3)
b. Nombre premier
Un nombre premier est un entier naturel strictement supérieur à 1, n'admettant que deux entiers naturels
diviseurs distincts: 1 et lui-même.
Exemples : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13…
c. Décomposition d’un nombre en produit de facteurs premiers
Théorème :
Tout entier naturel strictement supérieur à 1 est premier ou produit de nombres (facteurs) premiers.
Exemple :
35 n’est pas premier. Mais 35 = 5 × 7, les facteurs 5 et 7 étant premiers.