A propos du lemme fondamental tordu - IMJ-PRG

A propos du lemme fondamental tordu
J.-L. Waldspurger
7 d´ecembre 2007
1 Introduction
On pr´esente une preuve de l’assertion suivante : le lemme fondamental ”tordu” r´esulte
du lemme fondamental pour les alg`ebres de Lie et d’un lemme que nous appelons lemme
fondamental non standard. Ces diff´erents lemmes seront ´enonc´es pr´ecis´ement dans la
section 3. Disons tout de suite que ce que nous appelons ici lemme fondamental ”tordu”
devrait plutˆot ˆetre appel´e lemme fondamental ”tordu” pour les unit´es des alg`ebres de
Hecke. Par ailleurs, Ngo Bao Chau a r´ecemment d´emontr´e `a la fois le lemme fondamental
pour les alg`ebres de Lie et le lemme fondamental non standard. Le bilan est que le lemme
fondamental ”tordu”, au sens o`u nous l’entendons, est vrai.
Le pr´esent article est pour l’essentiel extrait de l’article [W1]. La preuve donn´ee dans
cette r´ef´erence est presque enti`erement reproduite ici. Par contre, on passe plus rapi-
dement sur certains pr´eliminaires (fonction exponentielle, sous-groupes hypersp´eciaux,
normalisation des mesures etc...). On renvoie pour les d´etails `a [W1] ou `a des articles
plus g´en´eraux de th´eorie des groupes. De mˆeme, plusieurs propri´et´es ne sont v´erifi´ees
que si pest grand. On indique une borne pr´ecise en 2.7, mais on ne cherchera pas `a
la justifier. Dans [W1], on se pr´eoccupait non seulement du lemme fondamental, mais
aussi du transfert, ce qui conduisait `a consid´erer une situation parfaitement g´en´erale. Se
limiter au lemme fondamental simplifie sensiblement la situation : les groupes de d´epart
sont non ramifi´es et on n’a `a consid´erer que des ´el´ements ”compacts” de ces groupes,
c’est-`a-dire des ´el´ements qui engendrent des sous-groupes relativement compacts. Cela
permet parfois de simplifier les preuves, ce que l’on a tent´e de faire. On a ajout´e quelques
exemples. En particulier, dans la section 5, on consid`ere en d´etail le cas du changement
de base pour les groupes unitaires.
2 La situation
2.1 Corps locaux
Soit Fun corps local non archim´edien de caract´eristique nulle. On note oson anneau
d’entiers, Fqson corps r´esiduel, qle nombre d’´el´ements de Fqet psa caract´eristique,
||Fla valeur absolue usuelle de F. On fixe une clˆoture alg´ebrique ¯ Fde F, on note Fnr
le plus grand sous-corps de ¯ Fnon ramifi´e sur F,¯ Fqson corps r´esiduel, o¯
Fet oFnr les
anneaux d’entiers de ¯ Fet Fnr. On prolonge ||Fen une valeur absolue sur ¯ F, `a valeurs
dans Q. On note Γ, resp. Γnr, le groupe de Galois de l’extension ¯ Fsur F, resp. Fnr sur
F. Le groupe Γnr s’identifie au groupe de Galois de l’extension ¯ Fqsur Fq. Il est engendr´e
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topologiquement par l’´el´ement de Frobenius, que l’on note φ. On note Wnr ⊂Γnr le
sous-groupe form´e des puissances enti`eres de φ. Il y a une suite exacte :
1→I→Γ→Γnr →1
o`u Iest le sous-groupe d’inertie. On note Wle groupe de Weil de l’extension ¯ Fsur F.
Il y a une suite exacte :
1→I→W→Wnr →1.
On peut consid´erer Wcomme un sous-groupe de Γ, muni d’une topologie plus fine que
la topologie induite.
On utilisera des notations similaires pour des extensions Ede F, en les affectant d’un
indice E(par exemple oE, ΓEetc...)
2.2 Groupes
Soit Mun groupe agissant sur un ensemble X. Pour tout sous-ensemble X0⊂X, on
note NormM(X0) = {m∈M;m(X0)⊂X0}et ZM(X0) = {m∈M;∀x∈X0, m(x) = x}.
Si X0={x}, on pose simplement ZM(x) = ZM({x}). Quand l’ensemble Xne sera pas
pr´ecis´e, il sera entendu que X=Met que Magit par conjugaison. On note ZMle centre
de M.
Si θest un automorphisme de M, on note Mθle sous-groupe des points fixes. Si M
est ab´elien, on pose (1 −θ)(M) = {mθ(m)−1;m∈M}et M/θ =M/(1 −θ)(M).
Si Xest une vari´et´e alg´ebrique d´efinie sur un corps alg´ebriquement clos k, on note
encore Xson groupe de points sur k, c’est-`a-dire X=X(k) (on fera toutefois quelques
exceptions dans des cas ambigus). Soit Mest un groupe alg´ebrique d´efini sur k. On
note M0sa composante neutre. Supposons que Magisse alg´ebriquement sur la vari´et´e
alg´ebrique X. Pour x∈X, on pose Mx= (ZM(x))0.
2.3 Groupes r´eductifs
Soit Gun groupe r´eductif connexe d´efini sur ¯ F. On note gson alg`ebre de Lie, GSC
le revˆetement simplement connexe de son groupe d´eriv´e, GAD son groupe adjoint. Pour
g∈G, on note gad son image dans GAD. Par contre, pour g∈GSC , on note simplement
gson image dans G. Si Hest un sous-groupe de G, on note Hsc l’image r´eciproque
de Hdans GSC et Had l’image de Hdans GAD. Ces groupes d´ependent du groupe
ambiant G. Le groupe Hsc, resp. Had, n’a aucune raison d’ˆetre simplement connexe, resp.
adjoint. Pour g∈G, on note intgl’automorphisme int´erieur de Gassoci´e `a g, c’est-`a-dire
l’automorphisme x7→ gxg−1. Cet automorphisme se rel`eve en un automorphisme de GSC ,
il se descend en un automorphisme de GAD et d´efinit par d´erivation un automorphisme
de g. On note encore intgces automorphismes. On notera aussi X7→ gXg−1celui de g.
Ces automorphismes ne d´ependent que de gad et, en fait, on peut aussi les d´efinir pour
g∈GAD.
On appelle paire de Borel de Gun couple (B, T ) o`u Best un sous-groupe de Borel
de Get Tun sous-tore maximal de B. Consid´erons une telle paire. On note X∗(T), resp.
X∗(T), le groupe des cocaract`eres, resp. des caract`eres, de T, Σ ⊂X∗(T) l’ensemble des
racines de Tdans g,ˇ Σ⊂X∗(T) l’ensemble de coracines associ´e, ∆ ⊂Σ et ˇ ∆⊂ˇ Σ les
ensembles de racines et coracines simples d´efinis par B. Pour α∈Σ, on note gα⊂gla
droite radicielle correspondante. Un ´epinglage relatif `a (B, T ) est une famille (Eα)α∈∆
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o`u, pour tout α∈∆, Eαest un ´el´ement non nul de gα. On appelle paire de Borel ´epingl´ee
une famille (B, T, (Eα)α∈∆) d’objets comme ci-dessus.
Supposons Gd´efini sur F. On dit qu’une paire de Borel (B, T ) est d´efinie sur Fsi
Bet Tle sont. Si c’est le cas, Γ agit sur X∗(T) en pr´eservant Σ et ∆. On dit qu’une
paire de Borel ´epingl´ee (B, T, (Eα)α∈∆) est d´efinie sur Fsi (B, T ) l’est et si, de plus,
σ(Eα) = Eσ(α)pour tous σ∈Γ et α∈∆. L’ensemble des paires de Borel ´eping´ees
d´efinies sur Fn’est pas vide et forme une seule classe de conjugaison par GAD(F).
On utilisera des notations similaires si le corps de base Fest remplac´e par Fqet la
clˆoture alg´ebrique ¯ Fest remplac´ee par ¯ Fq.
2.4 El´ements compacts, tores non ramifi´es
Soit Mun groupe alg´ebrique d´efini sur F, de composante neutre M0r´eductive. Pour
x∈M(F), on dit que xest compact si le sous-groupe qu’il engendre est d’adh´erence
compacte dans M(F). On dit que xest topologiquement unipotent si limn→∞xpn= 1.
On note M(F)c, resp. M(F)tu, le sous-ensemble des ´el´ements compacts, resp. topologi-
quement unipotents, de M(F). Remarquons que, si M/M0est d’ordre premier `a p, tout
´el´ement de M(F)tu appartient `a M0(F). On note M(F)p0le sous-ensemble des ´el´ements
de M(F) d’ordre fini premier `a p. Si Mest ab´elien, ces sous-ensembles sont des sous-
groupes. Tout ´el´ement x∈M(F)cse d´ecompose de fa¸con unique en produit x=xtuxp0,
o`u xtu ∈M(F)tu,xp0∈M(F)p0et ces deux ´el´ements commutent entre eux. De plus, ces
deux ´el´ements appartiennent `a l’adh´erence du sous-groupe engendr´e par x.
Puisque Mest r´eunion des M(E) quand Eparcourt les extensions finies de Fconte-
nues dans ¯ F, on n’a aucun mal `a remplacer M(F) par Mdans les d´efinitions et r´esultats
ci-dessus.
Quand Mest le groupe multiplicatif Gm, on a M(F) = F×et M(F)c=o×. Le groupe
M(F)tu est le sous-groupe o×
tu des ´el´ements de o×dont la r´eduction dans Fqest ´egale `a
1. Le groupe M(F)p0=o×
p0est d’ordre q−1 et l’application de r´eduction l’identifie `a F×
q.
Soit Tun tore d´efini sur Fet non ramifi´e, c’est-`a-dire d´eploy´e sur Fnr. On a T(Fnr) =
X∗(T)⊗ZFnr,×et T(F) = T(Fnr)Γnr . Le tore Tposs`ede une structure de sch´ema en
groupes lisse sur o, pour laquelle T(oFnr ) = X∗(T)⊗Zo×
Fnr et T(o) = T(oFnr )Γnr . On a
les ´egalit´es :
T(Fnr)c=T(oFnr ), T (Fnr)tu =X∗(T)⊗Zo×
Fnr,tu, T (Fnr)p0=X∗(T)⊗Zo×
Fnr,p0,
T(F)c=T(o), T (F)tu =T(Fnr)Γnr
tu , T (F)p0=T(Fnr)Γnr p0.
Fixons une uniformisante $de Fet notons T$=X∗(T)⊗Z$Z. Les applications pro-
duits :
T(oFnr )×T$→T(Fnr), T (o)×TΓnr
$→T(F)
sont des isomorphismes.
On a Tp0=X∗(T)⊗Zo×
¯
F ,p0. Mais o×
¯
F ,p0=o×
Fnr,p0, car extraire des racines d’ordre
premier `a pne cr´ee que des extensions non ramifi´ees. Donc Tp0=T(Fnr)p0=T(oFnr )p0.
La fibre sp´eciale Tdu sch´ema en groupes est le tore sur Fqde groupe de cocaract`eres
X∗(T). L’application de r´eduction identifie T(oFnr )p0`a T(¯ Fq) et T(o)p0`a T(Fq).
2.5 Sous-groupes hypersp´eciaux
Soit Gun groupe r´eductif connexe d´efini sur F. On suppose Gnon ramifi´e, c’est-`a-dire
quasi-d´eploy´e sur Fet d´eploy´e sur une extension non ramifi´ee de F. A la suite de Bruhat
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et Tits, on introduit l’immeuble Imm(G, F ) de Gsur Fet la notion de point hypersp´ecial
de cet immeuble ([T] 1.11.2). Le groupe G(F) agit sur l’immeuble. Le fixateur d’un point
hypersp´ecial est un sous-groupe ouvert compact de G(F) que l’on appelle sous-groupe
hypersp´ecial. A un sous-groupe hypersp´ecial Kest attach´e un sch´ema en groupes lisse
GKsur o, de fibre g´en´erique G, tel que GK(o) = K. Ce sch´ema en groupes poss`ede une
alg`ebre de Lie gK. Le r´eseau k=gK(o)⊂g(F) est dit lui-aussi hypersp´ecial. Si Eest
une extension non ramifi´ee de F, on pose KE=GK(oE) et kE=gK(oE). Dans le cas o`u
E=Fnr, on pose simplement Knr =KFnr et knr =kFnr . On note GKet gKles fibres
sp´eciales de GKet gK.
Soit (B, T, (Eα)α∈∆) une paire de Borel ´epingl´ee de Gd´efinie sur F. Elle d´etermine
un sous-groupe hypersp´ecial K, caract´eris´e de la fa¸con suivante. Soit α∈∆. On peut
identifier ˇα∈X∗(T) `a un ´el´ement de t. Il existe un unique E−α∈g−αtel que le
(Eα,ˇα, E−α) forme un sl2-triplet. De Eαet E−αse d´eduisent des homomorphismes eαet
e−αdu groupe additif Gadans G(les d´eriv´es de ces homomorphismes envoient 1 sur Eα
et E−α). Alors Knr est le sous-groupe de G(Fnr) engendr´e par T(oFnr ) et les sous-groupes
eα(oFnr ) et e−α(oFnr ) pour α∈∆. On a K=Knr,Γnr .
Inversement, soit Kun sous-groupe hypersp´ecial. Soit T0un sous-tore d´eploy´e maxi-
mal de Gtel que Kfixe un point hypersp´ecial de l’appartement de Imm(G, F ) associ´e
`a T0. Soit T=ZG(T0). Compl´etons Ten une paire de Borel (B, T ) de Gd´efinie sur
F. Alors on peut choisir un ´epinglage (Eα)α∈∆relatif `a cette paire de sorte que la paire
de Borel ´epingl´ee (B, T, (Eα)α∈∆) soit d´efinie sur Fet que le sous-groupe hypersp´ecial
qu’on lui associe comme ci-dessus soit K.
Les sous-groupes hypersp´eciaux de G(F) forment une seule classe de conjugaison
par GAD(F). Soit Kun tel sous-groupe. Le normalisateur de Kdans G(F) est ´egal
`a ZG(F)K. L’image r´eciproque Ksc de Kdans GSC (F), resp. l’image Kad de Kdans
GAD(F), est un sous-groupe hypersp´ecial de GSC (F), resp. GAD(F).
2.6 L’exponentielle
Soit Gun groupe r´eductif connexe d´efini sur F. On note dim(G) sa dimension et
rang(G) la dimension d’un sous-tore maximal de G. Notons φla fonction indicatrice
d’Euler et, pour tout entier n≥1, ψ(n) le plus grand entier dtel que φ(d)≤n. On
pose :
N(G) = sup(ψ(rang(G)), dim(G)).
Notons eFl’indice de ramification de Fsur Qp. On suppose :
(1) p>N(G)eF+ 1.
Soit X∈g(F). Notons Xssa partie semi-simple et Tle plus grand tore central
dans le commutant GXsde Xs. On a Xs∈t(F). Tout ´el´ement de X∗(T) d´efinit une
forme lin´eaire sur t, `a valeurs dans ¯ F. On dit que Xest topologiquement nilpotent si et
seulement si |x∗(X)|F<1 pour tout x∗∈X∗(T). On note g(F)tn le sous-ensemble des
´el´ements topologiquement nilpotents de g(F).
On sait d´efinir l’exponentielle sur un voisinage de 0 dans g(F), `a valeurs dans un
voisinage de 1 dans G(F). Grˆace `a l’hypoth`ese (1), on peut prendre pour voisinage de 0
l’ensemble g(F)tn. L’application ainsi d´efinie, not´ee exp, prend ses valeurs dans G(F)tu et
est un hom´eomorphisme de g(F)tn sur G(F)tu. Elle poss`ede toutes les propri´et´es usuelles.
Par exemple, si X∈g(F)tn et g∈G(F), on a l’´egalit´e exp(gXg−1) = gexp(X)g−1. Si H
est un sous-groupe alg´ebrique de G, l’exponentielle se restreint `a h(F)tn en l’exponentielle
relative `a ce groupe.
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Supposons de plus Gnon ramifi´e, soient Kun sous-groupe hypersp´ecial de G(F) et
k⊂g(F) le r´eseau hypersp´ecial associ´e. Pour X∈g(F)tn, on a X∈ksi et seulement si
exp(X)∈K.
2.7 Groupes tordus
On introduit dans ce paragraphe la partie p-adique des donn´ees que nous conserverons
dans la suite de l’article. Soit Gun groupe r´eductif connexe d´efini sur F. On suppose :
(Hyp1) p>N(G)eF+ 1 ;
(Hyp2) Gest non ramifi´e.
On fixe un sous-groupe hypersp´ecial Kde G(F). Soit θun automorphisme de G
d´efini sur F. On suppose :
(Hyp3) θ(K) = K.
A la suite de Labesse, on introduit l’espace tordu ˜ G. C’est une vari´et´e alg´ebrique
d´efinie sur F, isomorphe `a Gpar un isomorphisme not´e g7→ gθ. Le groupe Gagit `a
droite et `a gauche sur ˜ G, ces actions ´etant d´efinies par g1(gθ)g2=g1gθ(g2)θ. Pour g∈G,
on note encore intgl’automorphisme δ7→ gδg−1de ˜ Get on utilise les notations de 2.2
pour cette action de Gsur ˜ G(par exemple, pour δ∈˜ G, on d´efinit son commutant
ZG(δ) dans Get la composante neutre Gδde celui-ci). On peut aussi consid´erer que
tout ´el´ement de ˜ Gagit sur G: l’´el´ement δ=gθ agit par autδ=intg◦θ. On d´efinit le
sous-ensemble ˜ K=Kθ ⊂˜ G(F). Pour tout δ∈˜ K,autδconserve K.
Fixons une paire de Borel ´epingl´ee (B, T, (Eα)α∈∆) de G, d´efinie sur F, dont Ksoit le
sous-groupe hypersp´ecial associ´e. Son image par θest encore une paire de Borel ´epingl´ee
d´efinie sur F. Il y a donc un ´el´ement de GAD(F) dont l’automorphisme int´erieur associ´e
envoie cette paire image sur la paire de d´epart. Relevons cet ´el´ement en un ´el´ement
gθ∈GSC . On pose θ∗=intgθ◦θ. C’est un automorphisme de G, d´efini sur F, qui
conserve la paire de Borel ´epingl´ee. On suppose :
(Hyp4) θ∗est d’ordre fini.
Remarquons que cette hypoth`ese est automatiquement v´erifi´ee si Gest semi-simple
puisqu’alors, tout automorphisme conservant la paire de Borel ´epingl´ee est uniquement
d´etermin´e par la permutation de ∆ qu’il induit.
On montre que l’hypoth`ese (Hyp1) entraˆıne que θ∗est d’ordre premier `a p. Il en est
de mˆeme de l’ordre de ZGSC . Cela entraˆıne que ZGSC ⊂GSC (Fnr), car ZGSC ⊂Tsc,p0=
Tsc(oFnr )p0.
Puisque θ∗conserve la paire de Borel ´epingl´ee, il conserve aussi K. Donc intgθconserve
K, ce qui implique gθ,ad ∈Kad.Ona:
(1) l’homomorphisme Knr
sc →Knr
ad est surjectif.
Fixons une uniformisante $de F. Soit Eune extension non ramifi´ee de F. Le groupe
KEest muni d’une filtration naturelle (KE(n))n∈Npar des sous-groupes distingu´es. Pour
n= 0, KE(0) = KE; pour n≥1, KE=exp($nkE). De mˆeme, les groupes Ksc,E et Kad,E
sont filtr´es. Appliquons cela `a E=Fnr. L’application (1) est compatible aux filtrations.
Il suffit de prouver que sa restriction :
(2) Knr
sc (1) →Knr ad (1)
est surjective et qu’il en est de mˆeme de l’homomorphisme :
Knr
sc /Knr sc (1) →Knr ad /Knr ad (1).
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