A propos du lemme fondamental tordu - IMJ-PRG

A propos du lemme fondamental tordu
J.-L. Waldspurger
7 décembre 2007
1
Introduction
On présente une preuve de l’assertion suivante : le lemme fondamental ”tordu” résulte
du lemme fondamental pour les algèbres de Lie et d’un lemme que nous appelons lemme
fondamental non standard. Ces différents lemmes seront énoncés précisément dans la
section 3. Disons tout de suite que ce que nous appelons ici lemme fondamental ”tordu”
devrait plutôt être appelé lemme fondamental ”tordu” pour les unités des algèbres de
Hecke. Par ailleurs, Ngo Bao Chau a récemment démontré à la fois le lemme fondamental
pour les algèbres de Lie et le lemme fondamental non standard. Le bilan est que le lemme
fondamental ”tordu”, au sens où nous l’entendons, est vrai.
Le présent article est pour l’essentiel extrait de l’article [W1]. La preuve donnée dans
cette référence est presque entièrement reproduite ici. Par contre, on passe plus rapidement sur certains préliminaires (fonction exponentielle, sous-groupes hyperspéciaux,
normalisation des mesures etc...). On renvoie pour les détails à [W1] ou à des articles
plus généraux de théorie des groupes. De même, plusieurs propriétés ne sont vérifiées
que si p est grand. On indique une borne précise en 2.7, mais on ne cherchera pas à
la justifier. Dans [W1], on se préoccupait non seulement du lemme fondamental, mais
aussi du transfert, ce qui conduisait à considérer une situation parfaitement générale. Se
limiter au lemme fondamental simplifie sensiblement la situation : les groupes de départ
sont non ramifiés et on n’a à considérer que des éléments ”compacts” de ces groupes,
c’est-à-dire des éléments qui engendrent des sous-groupes relativement compacts. Cela
permet parfois de simplifier les preuves, ce que l’on a tenté de faire. On a ajouté quelques
exemples. En particulier, dans la section 5, on considère en détail le cas du changement
de base pour les groupes unitaires.
2
2.1
La situation
Corps locaux
Soit F un corps local non archimédien de caractéristique nulle. On note o son anneau
d’entiers, Fq son corps résiduel, q le nombre d’éléments de Fq et p sa caractéristique,
||F la valeur absolue usuelle de F . On fixe une clôture algébrique F̄ de F , on note F nr
le plus grand sous-corps de F̄ non ramifié sur F , F̄q son corps résiduel, oF̄ et oF nr les
anneaux d’entiers de F̄ et F nr . On prolonge ||F en une valeur absolue sur F̄ , à valeurs
dans Q. On note Γ, resp. Γnr , le groupe de Galois de l’extension F̄ sur F , resp. F nr sur
F . Le groupe Γnr s’identifie au groupe de Galois de l’extension F̄q sur Fq . Il est engendré
1
topologiquement par l’élément de Frobenius, que l’on note φ. On note W nr ⊂ Γnr le
sous-groupe formé des puissances entières de φ. Il y a une suite exacte :
1 → I → Γ → Γnr → 1
où I est le sous-groupe d’inertie. On note W le groupe de Weil de l’extension F̄ sur F .
Il y a une suite exacte :
1 → I → W → W nr → 1.
On peut considérer W comme un sous-groupe de Γ, muni d’une topologie plus fine que
la topologie induite.
On utilisera des notations similaires pour des extensions E de F , en les affectant d’un
indice E (par exemple oE , ΓE etc...)
2.2
Groupes
Soit M un groupe agissant sur un ensemble X. Pour tout sous-ensemble X 0 ⊂ X, on
note N ormM (X 0 ) = {m ∈ M ; m(X 0 ) ⊂ X 0 } et ZM (X 0 ) = {m ∈ M ; ∀x ∈ X 0 , m(x) = x}.
Si X 0 = {x}, on pose simplement ZM (x) = ZM ({x}). Quand l’ensemble X ne sera pas
précisé, il sera entendu que X = M et que M agit par conjugaison. On note ZM le centre
de M .
Si θ est un automorphisme de M , on note M θ le sous-groupe des points fixes. Si M
est abélien, on pose (1 − θ)(M ) = {mθ(m)−1 ; m ∈ M } et M/θ = M/(1 − θ)(M ).
Si X est une variété algébrique définie sur un corps algébriquement clos k, on note
encore X son groupe de points sur k, c’est-à-dire X = X(k) (on fera toutefois quelques
exceptions dans des cas ambigus). Soit M est un groupe algébrique défini sur k. On
note M 0 sa composante neutre. Supposons que M agisse algébriquement sur la variété
algébrique X. Pour x ∈ X, on pose Mx = (ZM (x))0 .
2.3
Groupes réductifs
Soit G un groupe réductif connexe défini sur F̄ . On note g son algèbre de Lie, GSC
le revêtement simplement connexe de son groupe dérivé, GAD son groupe adjoint. Pour
g ∈ G, on note gad son image dans GAD . Par contre, pour g ∈ GSC , on note simplement
g son image dans G. Si H est un sous-groupe de G, on note Hsc l’image réciproque
de H dans GSC et Had l’image de H dans GAD . Ces groupes dépendent du groupe
ambiant G. Le groupe Hsc , resp. Had , n’a aucune raison d’être simplement connexe, resp.
adjoint. Pour g ∈ G, on note intg l’automorphisme intérieur de G associé à g, c’est-à-dire
l’automorphisme x 7→ gxg −1 . Cet automorphisme se relève en un automorphisme de GSC ,
il se descend en un automorphisme de GAD et définit par dérivation un automorphisme
de g. On note encore intg ces automorphismes. On notera aussi X 7→ gXg −1 celui de g.
Ces automorphismes ne dépendent que de gad et, en fait, on peut aussi les définir pour
g ∈ GAD .
On appelle paire de Borel de G un couple (B, T ) où B est un sous-groupe de Borel
de G et T un sous-tore maximal de B. Considérons une telle paire. On note X∗ (T ), resp.
X ∗ (T ), le groupe des cocaractères, resp. des caractères, de T , Σ ⊂ X ∗ (T ) l’ensemble des
ˇ ⊂ Σ̌ les
racines de T dans g, Σ̌ ⊂ X∗ (T ) l’ensemble de coracines associé, ∆ ⊂ Σ et ∆
ensembles de racines et coracines simples définis par B. Pour α ∈ Σ, on note gα ⊂ g la
droite radicielle correspondante. Un épinglage relatif à (B, T ) est une famille (Eα )α∈∆
2
où, pour tout α ∈ ∆, Eα est un élément non nul de gα . On appelle paire de Borel épinglée
une famille (B, T, (Eα )α∈∆ ) d’objets comme ci-dessus.
Supposons G défini sur F . On dit qu’une paire de Borel (B, T ) est définie sur F si
B et T le sont. Si c’est le cas, Γ agit sur X ∗ (T ) en préservant Σ et ∆. On dit qu’une
paire de Borel épinglée (B, T, (Eα )α∈∆ ) est définie sur F si (B, T ) l’est et si, de plus,
σ(Eα ) = Eσ(α) pour tous σ ∈ Γ et α ∈ ∆. L’ensemble des paires de Borel épingées
définies sur F n’est pas vide et forme une seule classe de conjugaison par GAD (F ).
On utilisera des notations similaires si le corps de base F est remplacé par Fq et la
clôture algébrique F̄ est remplacée par F̄q .
2.4
Eléments compacts, tores non ramifiés
Soit M un groupe algébrique défini sur F , de composante neutre M 0 réductive. Pour
x ∈ M (F ), on dit que x est compact si le sous-groupe qu’il engendre est d’adhérence
n
compacte dans M (F ). On dit que x est topologiquement unipotent si limn→∞ xp = 1.
On note M (F )c , resp. M (F )tu , le sous-ensemble des éléments compacts, resp. topologiquement unipotents, de M (F ). Remarquons que, si M/M 0 est d’ordre premier à p, tout
élément de M (F )tu appartient à M 0 (F ). On note M (F )p0 le sous-ensemble des éléments
de M (F ) d’ordre fini premier à p. Si M est abélien, ces sous-ensembles sont des sousgroupes. Tout élément x ∈ M (F )c se décompose de façon unique en produit x = xtu xp0 ,
où xtu ∈ M (F )tu , xp0 ∈ M (F )p0 et ces deux éléments commutent entre eux. De plus, ces
deux éléments appartiennent à l’adhérence du sous-groupe engendré par x.
Puisque M est réunion des M (E) quand E parcourt les extensions finies de F contenues dans F̄ , on n’a aucun mal à remplacer M (F ) par M dans les définitions et résultats
ci-dessus.
Quand M est le groupe multiplicatif Gm , on a M (F ) = F × et M (F )c = o× . Le groupe
×
M (F )tu est le sous-groupe o×
tu des éléments de o dont la réduction dans Fq est égale à
×
1. Le groupe M (F )p0 = op0 est d’ordre q − 1 et l’application de réduction l’identifie à F×
q .
Soit T un tore défini sur F et non ramifié, c’est-à-dire déployé sur F nr . On a T (F nr ) =
nr
X∗ (T ) ⊗Z F nr,× et T (F ) = T (F nr )Γ . Le tore T possède une structure de schéma en
Γnr
groupes lisse sur o, pour laquelle T (oF nr ) = X∗ (T ) ⊗Z o×
. On a
F nr et T (o) = T (oF nr )
les égalités :
×
nr
T (F nr )c = T (oF nr ), T (F nr )tu = X∗ (T ) ⊗Z o×
F nr ,tu , T (F )p0 = X∗ (T ) ⊗Z oF nr ,p0 ,
nr
nr
T (F )c = T (o), T (F )tu = T (F nr )Γtu , T (F )p0 = T (F nr )Γp0 .
Fixons une uniformisante $ de F et notons T$ = X∗ (T ) ⊗Z $Z . Les applications produits :
nr
T (oF nr ) × T$ → T (F nr ), T (o) × T$Γ → T (F )
sont des isomorphismes.
On a Tp0 = X∗ (T ) ⊗Z o×
. Mais o×
= o×
F nr ,p0 , car extraire des racines d’ordre
F̄ ,p0
F̄ ,p0
premier à p ne crée que des extensions non ramifiées. Donc Tp0 = T (F nr )p0 = T (oF nr )p0 .
La fibre spéciale T du schéma en groupes est le tore sur Fq de groupe de cocaractères
X∗ (T ). L’application de réduction identifie T (oF nr )p0 à T(F̄q ) et T (o)p0 à T(Fq ).
2.5
Sous-groupes hyperspéciaux
Soit G un groupe réductif connexe défini sur F . On suppose G non ramifié, c’est-à-dire
quasi-déployé sur F et déployé sur une extension non ramifiée de F . A la suite de Bruhat
3
et Tits, on introduit l’immeuble Imm(G, F ) de G sur F et la notion de point hyperspécial
de cet immeuble ([T] 1.11.2). Le groupe G(F ) agit sur l’immeuble. Le fixateur d’un point
hyperspécial est un sous-groupe ouvert compact de G(F ) que l’on appelle sous-groupe
hyperspécial. A un sous-groupe hyperspécial K est attaché un schéma en groupes lisse
GK sur o, de fibre générique G, tel que GK (o) = K. Ce schéma en groupes possède une
algèbre de Lie gK . Le réseau k = gK (o) ⊂ g(F ) est dit lui-aussi hyperspécial. Si E est
une extension non ramifiée de F , on pose KE = GK (oE ) et kE = gK (oE ). Dans le cas où
E = F nr , on pose simplement K nr = KF nr et knr = kF nr . On note GK et gK les fibres
spéciales de GK et gK .
Soit (B, T, (Eα )α∈∆ ) une paire de Borel épinglée de G définie sur F . Elle détermine
un sous-groupe hyperspécial K, caractérisé de la façon suivante. Soit α ∈ ∆. On peut
identifier α̌ ∈ X∗ (T ) à un élément de t. Il existe un unique E−α ∈ g−α tel que le
(Eα , α̌, E−α ) forme un sl2 -triplet. De Eα et E−α se déduisent des homomorphismes eα et
e−α du groupe additif Ga dans G (les dérivés de ces homomorphismes envoient 1 sur Eα
et E−α ). Alors K nr est le sous-groupe de G(F nr ) engendré par T (oF nr ) et les sous-groupes
nr
eα (oF nr ) et e−α (oF nr ) pour α ∈ ∆. On a K = K nr,Γ .
Inversement, soit K un sous-groupe hyperspécial. Soit T0 un sous-tore déployé maximal de G tel que K fixe un point hyperspécial de l’appartement de Imm(G, F ) associé
à T0 . Soit T = ZG (T0 ). Complétons T en une paire de Borel (B, T ) de G définie sur
F . Alors on peut choisir un épinglage (Eα )α∈∆ relatif à cette paire de sorte que la paire
de Borel épinglée (B, T, (Eα )α∈∆ ) soit définie sur F et que le sous-groupe hyperspécial
qu’on lui associe comme ci-dessus soit K.
Les sous-groupes hyperspéciaux de G(F ) forment une seule classe de conjugaison
par GAD (F ). Soit K un tel sous-groupe. Le normalisateur de K dans G(F ) est égal
à ZG (F )K. L’image réciproque Ksc de K dans GSC (F ), resp. l’image Kad de K dans
GAD (F ), est un sous-groupe hyperspécial de GSC (F ), resp. GAD (F ).
2.6
L’exponentielle
Soit G un groupe réductif connexe défini sur F . On note dim(G) sa dimension et
rang(G) la dimension d’un sous-tore maximal de G. Notons φ la fonction indicatrice
d’Euler et, pour tout entier n ≥ 1, ψ(n) le plus grand entier d tel que φ(d) ≤ n. On
pose :
N (G) = sup(ψ(rang(G)), dim(G)).
Notons eF l’indice de ramification de F sur Qp . On suppose :
(1) p > N (G)eF + 1.
Soit X ∈ g(F ). Notons Xs sa partie semi-simple et T le plus grand tore central
dans le commutant GXs de Xs . On a Xs ∈ t(F ). Tout élément de X ∗ (T ) définit une
forme linéaire sur t, à valeurs dans F̄ . On dit que X est topologiquement nilpotent si et
seulement si |x∗ (X)|F < 1 pour tout x∗ ∈ X ∗ (T ). On note g(F )tn le sous-ensemble des
éléments topologiquement nilpotents de g(F ).
On sait définir l’exponentielle sur un voisinage de 0 dans g(F ), à valeurs dans un
voisinage de 1 dans G(F ). Grâce à l’hypothèse (1), on peut prendre pour voisinage de 0
l’ensemble g(F )tn . L’application ainsi définie, notée exp, prend ses valeurs dans G(F )tu et
est un homéomorphisme de g(F )tn sur G(F )tu . Elle possède toutes les propriétés usuelles.
Par exemple, si X ∈ g(F )tn et g ∈ G(F ), on a l’égalité exp(gXg −1 ) = gexp(X)g −1 . Si H
est un sous-groupe algébrique de G, l’exponentielle se restreint à h(F )tn en l’exponentielle
relative à ce groupe.
4
Supposons de plus G non ramifié, soient K un sous-groupe hyperspécial de G(F ) et
k ⊂ g(F ) le réseau hyperspécial associé. Pour X ∈ g(F )tn , on a X ∈ k si et seulement si
exp(X) ∈ K.
2.7
Groupes tordus
On introduit dans ce paragraphe la partie p-adique des données que nous conserverons
dans la suite de l’article. Soit G un groupe réductif connexe défini sur F . On suppose :
(Hyp1) p > N (G)eF + 1 ;
(Hyp2) G est non ramifié.
On fixe un sous-groupe hyperspécial K de G(F ). Soit θ un automorphisme de G
défini sur F . On suppose :
(Hyp3) θ(K) = K.
A la suite de Labesse, on introduit l’espace tordu G̃. C’est une variété algébrique
définie sur F , isomorphe à G par un isomorphisme noté g 7→ gθ. Le groupe G agit à
droite et à gauche sur G̃, ces actions étant définies par g1 (gθ)g2 = g1 gθ(g2 )θ. Pour g ∈ G,
on note encore intg l’automorphisme δ 7→ gδg −1 de G̃ et on utilise les notations de 2.2
pour cette action de G sur G̃ (par exemple, pour δ ∈ G̃, on définit son commutant
ZG (δ) dans G et la composante neutre Gδ de celui-ci). On peut aussi considérer que
tout élément de G̃ agit sur G : l’élément δ = gθ agit par autδ = intg ◦ θ. On définit le
sous-ensemble K̃ = Kθ ⊂ G̃(F ). Pour tout δ ∈ K̃, autδ conserve K.
Fixons une paire de Borel épinglée (B, T, (Eα )α∈∆ ) de G, définie sur F , dont K soit le
sous-groupe hyperspécial associé. Son image par θ est encore une paire de Borel épinglée
définie sur F . Il y a donc un élément de GAD (F ) dont l’automorphisme intérieur associé
envoie cette paire image sur la paire de départ. Relevons cet élément en un élément
gθ ∈ GSC . On pose θ∗ = intgθ ◦ θ. C’est un automorphisme de G, défini sur F , qui
conserve la paire de Borel épinglée. On suppose :
(Hyp4) θ∗ est d’ordre fini.
Remarquons que cette hypothèse est automatiquement vérifiée si G est semi-simple
puisqu’alors, tout automorphisme conservant la paire de Borel épinglée est uniquement
déterminé par la permutation de ∆ qu’il induit.
On montre que l’hypothèse (Hyp1) entraı̂ne que θ∗ est d’ordre premier à p. Il en est
de même de l’ordre de ZGSC . Cela entraı̂ne que ZGSC ⊂ GSC (F nr ), car ZGSC ⊂ Tsc,p0 =
Tsc (oF nr )p0 .
Puisque θ∗ conserve la paire de Borel épinglée, il conserve aussi K. Donc intgθ conserve
K, ce qui implique gθ,ad ∈ Kad . On a :
nr
nr
(1) l’homomorphisme Ksc
→ Kad
est surjectif.
Fixons une uniformisante $ de F . Soit E une extension non ramifiée de F . Le groupe
KE est muni d’une filtration naturelle (KE (n))n∈N par des sous-groupes distingués. Pour
n = 0, KE (0) = KE ; pour n ≥ 1, KE = exp($n kE ). De même, les groupes Ksc,E et Kad,E
sont filtrés. Appliquons cela à E = F nr . L’application (1) est compatible aux filtrations.
Il suffit de prouver que sa restriction :
(2)
nr
nr
Ksc
(1) → Kad
(1)
est surjective et qu’il en est de même de l’homomorphisme :
nr
nr
nr
nr
Ksc
/Ksc
(1) → Kad
/Kad
(1).
5
Ce dernier s’identifie à l’homorphisme :
GK,SC (F̄q ) → GK,AD (F̄q ),
où GK,SC et GK,AD sont les fibres spéciales des schémas en groupes associés à Ksc et
Kad . L’homomorphisme est surjectif car GK,AD est le groupe adjoint de GK,SC . Pour
prouver que (2) est surjectif, il suffit de prouver que, pour toute extension E de F , finie
et non ramifiée, l’homomorphisme analogue :
Ksc,E (1) → Kad,E (1)
est surjectif. Puisque E est une extension finie de F , les groupes en question sont complets
et il suffit de prouver que, pour tout n ≥ 1, l’homomorphisme gradué :
Ksc,E (n)/Ksc,E (n + 1) → Kad,E (n)/Kad,E (n + 1)
est surjectif. Il s’identifie à l’homomorphisme :
gK,SC (FqE ) → gK,AD (FqE ),
où FqE est le corps résiduel de E. Sous l’hypothèse (Hyp1), l’homomorphisme GK,SC →
GK,AD est surjectif et lisse et la surjectivité cherchée s’ensuit. Cela prouve (1).
nr
. Pour σ ∈ Γ, on pose z(σ) = gθ σ(gθ )−1 . Alors z est un
Il en résulte que gθ ∈ Ksc
cocycle de Γ dans ZGSC . Il est trivial sur le groupe d’inertie I et on peut aussi bien
considérer qu’il est défini sur Γnr .
Notons Θ∗ le groupe d’automorphismes de G engendré par θ∗ , introduisons le groupe
non connexe G+ = G o Θ∗ . On considère G+ comme un groupe algébrique défini sur
F , les éléments de Θ∗ étant tous dans G+ (F ). La composante Gθ∗ ⊂ G+ est un espace
tordu comme ci-dessus. Les deux espaces tordus G̃ et Gθ∗ sont isomorphes sur F nr , par
l’isomorphisme :
ψ̃ : G̃ → Gθ∗
.
gθ 7→ ggθ−1 θ∗
Ils ne sont en général pas isomorphes sur F . Pour σ ∈ Γ et δ ∈ G̃, on a la relation
ψ̃ ◦ σ(δ) = z(σ)−1 σ ◦ ψ̃(δ). Pour alléger la notation, on va oublier ψ̃. On considère
désormais G̃ comme étant égal à Gθ∗ , mais muni d’une action galoisienne tordue par le
cocycle z selon la formule précédente.
Soit ω un caractère de G(F ) (c’est-à-dire un homomorphisme continu de G(F )
dans C× ). D’après Langlands, le groupe des caractères de G(F ) est en bijection avec
H 1 (W, ZĜ ), où Ĝ est le groupe dual de G. Soit aω l’élément de H 1 (W, ZĜ ) correspondant à ω. On suppose :
(Hyp5) aω provient par inflation d’un élément de H 1 (W nr , ZĜ ).
On montre en [W1] 4.1(1) que cette condition entraı̂ne que ω est trivial sur K. En
fait, la preuve montre que ces deux conditions sont équivalentes.
2.8
Exemples
Exemple 1. On considère G = SL2 , K = SL2 (o), ω = 1. Soit α ∈ o×
F nr tel que
α2 ∈ F × . On pose θ = int−1
,
où
:
gθ
α 0
gθ =
.
0 α−1
6
Ces données vérifient les conditions requises. On a θ∗ = 1. Remarquons que, si α 6∈ F × ,
les espaces tordus G̃ et Gθ∗ ne sont pas isomorphes sur F .
Exemple 2. On considère G = GLn , K = GLn (o), θ = 1 et ω = χ ◦ det, où χ est un
caractère non ramifié de F × d’ordre divisant n.
Exemple 3. On considère G = GLn , K = GLn (o), ω = 1 et θ est défini par la formule :
−1
θ(g) = Φt g Φ−1 ,
où :

1
−1


Φ=


.
.
n+1



.


(−1)
On prend pour B le groupe triangulaire supérieur, pour T le tore diagonal et pour
épinglage l’épinglage ”évident”, c’est-à-dire celui pour lequel tout Eα est une matrice
dont tous les coefficients sont nuls sauf un seul, qui vaut 1. Alors θ = θ∗ .
2.9
Données endoscopiques
Introduisons le groupe dual Ĝ et le L-groupe L G = Ĝ o W . On munit Ĝ d’une paire
de Borel épinglée (B̂, T̂ , (Êα̂ )α̂∈∆ˆ ) conservée par l’action de Γ. Une telle paire existe par
définition de Ĝ. Il y a des isomorphismes en dualité j : X∗ (T ) → X ∗ (T̂ ) et ĵ : X∗ (T̂ ) →
X ∗ (T ), qui sont équivariants pour les actions de Γ et identifient les racines de T avec les
coracines de T̂ et vice-versa. On introduit l’automorphisme θ̂ de Ĝ qui conserve la paire
de Borel épinglée et vérifie les relations équivalentes j ◦ θ = θ̂−1 ◦ j, ĵ ◦ θ̂ = θ−1 ◦ ĵ. On
prolonge θ̂ en un automorphisme de L G qui agit par l’identité sur W . On peut introduire
les espaces tordus Ĝθ̂ ou L Gθ̂ sur lesquels Ĝ agit à droite et à gauche. Cela permet
d’utiliser les notations introduites en 2.2 et 2.7 pour l’action par conjugaison de Ĝ sur
chacun de ces espaces tordus. Par exemple, pour s ∈ Ĝ, on note Ĝsθ̂ la composante
neutre du groupe ZĜ (sθ̂) = {x ∈ Ĝ; xsθ̂(x)−1 = s}.
ˆ satisfaisant les
Une donnée endoscopique de (G, θ, ω) est un quadruplet (H, H, s, ξ)
conditions suivantes :
(1) H est un groupe réductif connexe quasi-déployé sur F ;
(2) H est une extension scindée de W par Ĥ, de sorte que l’action de W sur Ĥ qui
s’en déduit coı̈ncide avec celle qui provient de la structure sur F de H ;
(3) s ∈ Ĝ est un élément tel que l’automorphisme ints ◦ θ̂ de Ĝ soit semi-simple,
c’est-à-dire préserve une paire de Borel ;
(4) ξˆ : H → L G est un homomorphisme continu et injectif, commutant aux projections sur W ;
(5) ξˆ se restreint en un isomorphisme de Ĥ sur Ĝsθ̂ ;
(6) il existe un cocycle a : W → ZĜ , dont la classe est aω , tel que l’on ait l’égalité
ˆ ĥ) = a(ĥ)ξ(
ˆ ĥ) pour tout ĥ ∈ H, où, si w ∈ W est la projection de ĥ, on a
ints ◦ θ̂ ◦ ξ(
posé a(ĥ) = a(w).
Un isomorphisme entre deux données (H1 , H1 , s1 , ξˆ1 ) et (H2 , H2 , s2 , ξˆ2 ) est un élément
x ∈ Ĝ tel que intx ◦ ξˆ1 (H1 ) = ξˆ2 (H2 ) et xs1 θ̂(x)−1 ∈ ZĜ s2 .
ˆ est non ramifiée si elle vérifie les
On dit que la donnée endoscopique (H, H, s, ξ)
conditions supplémentaires :
7
(7) H est non ramifié sur F ;
(8) H = L H ;
(9) ξˆ est l’identité sur le groupe d’inertie I.
ˆ de (G, θ, ω) .
On fixe pour la suite de l’article une donnée endoscopique (H, H, s, ξ)
On suppose :
(Hyp6) cette donnée est non ramifiée.
On fixe une paire de Borel épinglée (BH , TH , (EH,α )α∈∆H ) de H, définie sur F , et
une paire de Borel (B̂H , T̂H ) de Ĥ, conservée par l’action de Γ. Il existe un élément
ˆ T̂H ) = T̂ θ̂,0 et intx ◦ ξ(
ˆ B̂H ) = B̂ ∩ intx ◦ ξ(
ˆ Ĥ).
x ∈ Ĝ tel que xsθ̂(x)−1 ∈ T̂ , intx ◦ ξ(
ˆ
On peut remplacer notre donnée endoscopique par la donnée (H, L H, xsθ̂(x)−1 , intx ◦ ξ).
En oubliant la donnée initiale, on est ramené au cas où sont vérifiées les hypothèses
supplémentaires :
(10) s ∈ T̂ ;
ˆ T̂H ) = T̂ θ̂,0 , ξ(
ˆ B̂H ) = B̂ ∩ Ĥ.
(11) ξ(
On suppose désormais ces hypothèses vérifiées. On peut montrer que nos résultats
ultérieurs ne dépendent pas du choix de l’élément x ci-dessus.
L’isomorphisme ξˆ de T̂H sur T̂ θ̂,0 se dualise en un isomorphisme ξ : T/θ∗ → TH . On
note encore ξ : T → TH le composé de cet isomorphisme et de la projection naturelle de
T sur T/θ∗ . Notons Ω le groupe de Weyl de G relatif à T et ΩH celui de H relatif à TH .
Ces groupes s’identifient respectivement au groupe de Weyl de Ĝ relatif à T̂ et à celui
ˆ ou de ξ, se déduit un plongement de ΩH dans
de Ĥ relatif à T̂H . De l’isomorphisme ξ,
∗
∗
Ωθ . Pour tout σ ∈ Γ, il existe un unique ω(σ) ∈ Ωθ tel que l’on ait l’égalité sur T̂H :
ˆ
ξˆ ◦ σ = ω(σ) ◦ σ ◦ ξ.
On a l’égalité équivalente sur T :
σ ◦ ξ = ξ ◦ ω(σ) ◦ σ.
L’application ω se factorise en une application définie sur Γnr . On vérifie que ξ(ZG ) ⊂ ZH .
D’après la relation précédente, la restriction de ξ à ZG est équivariante pour les actions
de Γ. Pour σ ∈ Γ, posons zH (σ) = ξ ◦ z(σ). On introduit une variété Hz : c’est la variété
algébrique sur F telle qu’il existe un isomorphisme ψz : Hz → H défini sur F̄ , de sorte
que, pour tous σ ∈ Γ et h ∈ Hz , on ait l’égalité ψz ◦ σ(h) = zH (σ)−1 σ ◦ ψz (h). En fait,
ψz est défini sur F nr . Pour alléger la notation, on oublie ψz et on considère Hz comme
étant égal à H, avec une structure sur F ”tordue” par le cocycle zH . Remarquons que
H agit sur Hz par conjugaison.
De la paire de Borel épinglée de H se déduit un sous-groupe hyperspécial KH de H(F ).
nr
On note simplement HK le schéma en groupes associé. On pose Kz = Hz (F ) ∩ KH
.
On peut interpréter Hz comme un espace tordu de la façon suivante. Rappelons que
z prend ses valeurs dans ZGSC (plus exactement, ici, dans l’image de ce groupe dans G),
donc dans ZG,p0 . Alors zH est un cocycle de Γ dans ZH,p0 , qui se factorise en un cocycle
défini sur Γnr . Poussons-le en un cocycle de Γnr dans TH,p0 . Comme on l’a dit en 2.4,
TH,p0 = TH (oF nr )p0 ' TH (F̄q ). D’après le théorème de Lang, H 1 (Γnr , TH (F̄q )) = 0. On
peut donc choisir hθ ∈ T (oF nr )p0 tel que zH (σ) = hθ σ(hθ )−1 pour tout σ ∈ Γ. Remarquons
que hθ ∈ TH,ad (o). On pose θH = int−1
hθ et on introduit l’espace tordu H̃ = HθH comme en
2.7. Alors l’application h 7→ hhθ θH identifie Hz à H̃. L’automorphisme θH conserve KH
et Kz s’identifie à K̃H , ce dernier ensemble étant défini comme en 2.7. Posons ω H = 1.
Alors les données H, θH , ω H et KH vérifient les mêmes hypothèses qu’en 2.7. La seule
8
différence, qui n’aura pas d’incidence, est que la donnée auxiliaire hθ n’appartient qu’à
nr
nr
KH
et pas à KH,sc
.
2.10
Correspondance entre classes de conjugaison
L’homomorphisme ξ −1 se quotiente en une application :
(1)
∗
TH /ΩH → T/θ∗ /Ωθ .
Soit δ un élément semi-simple de G̃. On peut conjuguer δ en un élément de la forme
∗
νθ∗ , avec ν ∈ T . Alors l’image de ν dans T/θ∗ /Ωθ est bien déterminée. De la sorte,
∗
T/θ∗ /Ωθ paramètre les classes de conjugaison par G dans l’ensemble des éléments semisimples de G̃. Soit γ un élément semi-simple de Hz . On peut conjuguer γ en un élément
µ ∈ TH . L’image de cet élément dans TH /ΩH est bien déterminée. De la sorte, TH /ΩH
paramètre les classes de conjugaison par H dans l’ensemble des éléments semi-simples de
Hz . Alors l’application (1) apparaı̂t comme une correspondance entre classes de conjugaison d’éléments semi-simples dans G̃ et dans Hz . Les structures sur F de G̃ et Hz
induisent des actions de Γ sur les ensembles de départ et d’arrivée de l’application (1).
Cette application est équivariante pour ces actions (c’est pour cela que l’on a introduit
Hz ).
On note G̃reg le sous-ensemble des δ ∈ G̃ tels que ZG (δ) soit commutatif et ZG (δ)0
soit un tore. On note Hz,G̃−reg le sous-ensemble des γ ∈ Hz qui sont semi-simples et
dont la classe de conjugaison correspond par (1) à la classe d’un élément de G̃reg . On
montre que tout tel γ est fortement régulier, c’est-à-dire que ZH (δ) est un tore. On note
D l’ensemble des couples (γ, δ) tels que γ ∈ Hz,G̃−reg (F ), δ ∈ G̃reg (F ) et les classes de
conjugaison de γ par H et de δ par G se correspondent par l’application (1).
Kottwitz et Shelstad ([KS] chapitre 4) ont défini un facteur de transfert :
∆ : D → C× .
Il n’est défini qu’à multiplication près par une constante. Le choix de K permet de le
normaliser. Soit δ un élément semi-simple de K̃. L’automorphisme autδ se réduit en un
automorphisme autδ de GK . Disons que δ est de réduction régulière si le sous-groupe
des points fixes de autδ est commutatif et si sa composante neutre est un tore. On peut
choisir ∆ de sorte que ∆(γ, δ) = 1 pour tout (γ, δ) ∈ D tel que δ soit un élément de
K̃ de réduction régulière. Si p est assez grand, il existe au moins un tel couple et cela
détermine ∆ de façon unique. Malheureusement, il n’est pas clair que la condition (Hyp1)
soit suffisante pour assurer l’existence d’un couple (γ, δ) comme ci-dessus. Dans [W1] 4.6,
on a indiqué une autre façon de normaliser, qui est une variante un peu plus sophistiquée
de celle que l’on vient de présenter, et qui est valable sous la seule hypothèse (Hyp1).
Soit (γ, δ) ∈ D. Si γ 0 ∈ Hz,G̃−reg (F ) est conjugué à γ par un élément de H, on a
l’égalité ∆(γ 0 , δ) = ∆(γ, δ). Si g ∈ G(F ), on a l’égalité ∆(γ, gδg −1 ) = ω(g)−1 ∆(γ, δ)
([KS] théorème 5.1.D).
3
3.1
Les résultats
Intégrales orbitales
On note Cc∞ (G̃(F )) l’espace des fonctions sur G̃(F ), à valeurs complexes, localement
constantes et à support compact. On munit G(F ) de la mesure de Haar pour laquelle
9
K est de mesure 1. Cette mesure sera dite canonique (elle ne dépend pas de K puisque
tous les sous-groupes hyperspéciaux sont conjugués par GAD (F )). Soit δ ∈ G̃reg (F ).
Supposons choisie une mesure de Haar sur Gδ (F ). Supposons que le caractère ω soit
trivial sur ce groupe. Pour f ∈ Cc∞ (G̃(F )), on pose :
Z
G̃,ω
−1
f (g −1 δg)ω(g) dg.
Oδ (f ) = [ZG (δ)(F ) : Gδ (F )]
Gδ (F )\G(F )
Munissons H(F ) de la mesure canonique. Soit γ ∈ Hz,G̃−reg (F ). Supposons choisie
une mesure de Haar sur Hγ (F ). Pour f ∈ Cc∞ (Hz (F )), on pose :
Z
Hz
f (h−1 γh) dh.
Oγ (f ) =
Hγ (F )\H(F )
Cette définition est un cas particulier de la précédente d’après l’interprétation que l’on
a donnée en 2.9 de l’espace Hz . On l’a explicitée parce que sa forme est plus simple que
celle du cas général.
3.2
Intégrales orbitales endoscopiques
Pour tout sous-tore maximal T de H, défini sur F , on fixe une mesure de Haar sur
T (F ). On suppose que si T et T 0 sont de tels tores et si h ∈ H est tel que inth envoie T
sur T 0 et induit un isomorphisme défini sur F entre ces deux tores, alors les mesures sur
T (F ) et T 0 (F ) se correspondent par inth . Soit γ ∈ Hz,G̃−reg (F ). Considérons un élément
δ ∈ G̃reg (F ) dont la classe de conjugaison corresponde à celle de γ. D’après [KS] lemme
4.4.C, le caractère ω est trivial sur Gδ (F ). On verra en 4.9 que la mesure que l’on a fixée
sur Hγ (F ) en détermine une sur Gδ (F ), et c’est celle que l’on utilise dans la formule
ci-dessous. Pour f ∈ Cc∞ (G̃(F )), on peut poser :
X
∆(γ, δ)OδG̃,ω (f ),
OγG̃,Hz ,ω (f ) =
δ
où l’on somme sur un ensemble de représentants des classes de conjugaison par G(F )
dans l’ensemble des δ ∈ G̃reg (F ) tels que (γ, δ) ∈ D.
Pour f ∈ Cc∞ (Hz (F )), on pose :
X
SOγHz (f ) =
OγH0z (f ),
γ0
où l’on somme sur un ensemble de représentants des classes de conjugaison par H(F )
dans l’ensemble des γ 0 ∈ Hz,G̃−reg (F ) qui sont conjugués à γ par un élément de H.
3.3
Enoncé du lemme fondamental
On note 1K̃ la fonction caractéristique de K̃ dans G̃(F ). On note 1Kz la fonction
caractéristique de Kz dans Hz (F ).
Lemme fondamental. Pour tout γ ∈ Hz,G̃−reg (F ), on a l’égalité :
SOγHz (1Kz ) = OγG̃,Hz ,ω (1K̃ ).
10
3.4
Le lemme fondamental pour les algèbres de Lie
Considérons le cas où θ = 1 et ω = 1. Alors G̃ = G et Hz = H. On peut oublier
toutes les parties ”tordues” de nos objets. Les définitions des paragraphes 2.10, 3.1
et 3.2 se descendent aux algèbres de Lie. Il y a une correspondance entre classes de
conjugaison d’éléments semi-simples dans h et classes de conjugaison d’éléments semisimples dans g. Notons greg le sous-ensemble des X ∈ g dont le commutant GX est un
tore. Notons hG−reg le sous-ensemble des éléments semi-simples de h dont la classe de
conjugaison correspond à celle d’un élément de greg . On définit un facteur de transfert
∆ sur le sous-ensemble des couples (Y, X) ∈ hG−reg (F ) × greg (F ) tels que les classes de
conjugaison de Y et de X se correspondent. Le choix de K permet de le normaliser de
G
façon unique. Pour f ∈ Cc∞ (g(F )) et X ∈ greg (F ), on définit l’intégrale orbitale OX
(f )
(modulo le choix d’une mesure de Haar sur GX (F )). Puis, pour Y ∈ hG−reg (F ), on définit
l’intégrale orbitale endoscopique OYG,H (f ) (les mesures étant fixées comme en 3.2). Pour
f ∈ Cc∞ (h(F )), on définit aussi l’intégrale orbitale stable SOYH (f ). Enfin, on note 1k
la fonction caractéristique du réseau k dans g(F ) et 1kH la fonction caractéristique du
réseau kH dans h(F ).
Lemme fondamental pour les algèbres de Lie. Pour tout Y ∈ hG−reg (F ), on a
l’égalité :
SOYH (1kH ) = OYG,H (1k ).
3.5
Le lemme fondamental non standard
Considérons deux groupes connexes semi-simples et simplement connexes G1 et G2 ,
définis et quasi-déployés sur F . Pour i = 1, 2, on fixe un tore maximal Ti de Gi , faisant
partie d’une paire de Borel définie sur F . On affecte d’un indice i les notations introduites
dans les paragraphes précédents. Par exemple, on note Ωi le groupe de Weyl de Gi relatif
à Ti . Pour tout Z-module A, on pose AQ = A ⊗Z Q. Considérons un isomorphisme
j∗ : X∗ (T1 )Q → X∗ (T2 )Q . Notons j ∗ : X ∗ (T2 )Q → X ∗ (T1 )Q son transposé. On suppose
que ces isomorphismes sont équivariants pour les actions de Γ. On suppose qu’il existe
des bijections jΣ̌ : Σ̌1 → Σ̌2 , jΣ : Σ2 → Σ1 et des fonctions b̌ : Σ̌1 → Q>0 et b : Σ2 → Q>0
de sorte que :
- jΣ s’identifie à l’inverse de jΣ̌ via les bijections naturelles de Σi sur Σ̌i pour i = 1, 2 ;
- pour tout α̌ ∈ Σ̌1 , on a l’égalité j∗ (α̌) = b̌(α̌)jΣ̌ (α̌) ;
- pour tout α ∈ Σ2 , on a l’égalité j ∗ (α) = b(α)jΣ (α).
A ces conditions, on dit que le triplet (G1 , G2 , j∗ ) est endoscopique non standard.
On montre que pour α̌1 ∈ Σ̌1 et α2 ∈ Σ2 tel que α̌2 = jΣ̌ (α̌1 ), on a nécessairement
b̌(α̌1 ) = b(α2 ). On montre que l’application qui, à la symétrie élémentaire relative à une
coracine α̌1 ∈ Σ̌1 , associe la symétrie élémentaire relative à jΣ̌ (α̌1 ), se prolonge en un
isomorphisme jΩ de Ω1 sur Ω2 .
On dit que le triplet endoscopique non standard est non ramifié si :
- p > N (Gi )eF + 1 pour i = 1, 2 ;
- G1 et G2 sont non ramifiés ;
- b et b̌ prennent leurs valeurs dans l’ensemble des éléments de Q>0 de valuation
p-adique nulle.
11
Exemple. Prenons pour G1 le groupe symplectique Sp2n et pour G2 le groupe spinoriel Spin2n+1 déployé. On peut identifier X∗ (T1 ) à Zn , l’ensemble Σ1 étant l’ensemble
des formes linéaires :
(a1 , ..., an ) 7→ ±ak ± al
pour k, l = 1, ..., n, k 6= l, ou
(a1 , ..., an ) 7→ ±2ak
pour k = 1, ..., n. On peut identifier X∗ (T2 ) au sous-Z-module des (a1 , ..., an ) ∈ Zn tels
que a1 + ... + an est pair. L’ensemble Σ2 est l’ensemble des formes linéaires :
(a1 , ..., an ) 7→ ±ak ± al
pour k, l = 1, ..., n, k 6= l, ou
(a1 , ..., an ) 7→ ±ak
pour k = 1, ..., n. Les espaces X∗ (T1 )Q et X∗ (T2 )Q s’identifient tous deux à Qn . On note
j∗ : X∗ (T1 )Q → X∗ (T2 )Q l’isomorphisme issu de ces identifications. Alors (G1 , G2 , j∗ ) est
un triplet endoscopique non standard, qui est non ramifié pourvu que p soit assez grand.
Considérons un triplet endoscopique non standard (G1 , G2 , j∗ ), non ramifié. De l’homomorphisme j∗ se déduit une bijection :
t1 /Ω1 ' t2 /Ω2 ,
qui est équivariante pour les actions de Γ. On peut alors, comme dans le cas endoscopique ordinaire, définir une correspondance entre classes de conjugaison d’éléments
semi-simples dans g1 et g2 . Pour i = 1, 2, soit Xi ∈ gi,reg (F ). Supposons que les classes de
conjugaison de X1 et de X2 se correspondent. Alors toute mesure de Haar sur G1,X1 (F )
en détermine une sur G2,X2 (F ) et on suppose dans ce qui suit que les mesures se correspondent ainsi. Fixons des sous-groupes hyperspéciaux Ki de Gi (F ), pour i = 1, 2.
Lemme fondamental non standard. Pour tout couple (X1 , X2 ) ∈ g1,reg (F )×g2,reg (F )
formé d’éléments dont les classes de conjugaison se correspondent, on a l’égalité :
G1
G2
SOX
(1k1 ) = SOX
(1k2 ).
1
2
Remarque Il serait tentant de formuler un énoncé analogue pour les groupes au lieu
des algèbres de Lie. Il serait faux, ainsi que le montre un calcul élémentaire dans le cas
de l’exemple ci-dessus, pour n = 1.
3.6
Notre résultat
Théorème. Supposons vérifiés le lemme fondamental pour les algèbres de Lie de 3.4
ainsi que le lemme fondamental non standard de 3.5. Alors le lemme fondamental de 3.3
est vérifié.
12
3.7
Conséquence
Théorème. Le lemme fondamental de 3.3 est vérifié.
En effet, Ngo Bao Chau a prouvé les assertions 3.4 et 3.5 ([N]).
4
Les preuves
La situation est celle décrite au chapitre 1.
4.1
Eléments d’ordre fini premier à p
Pour tout groupe algébrique M défini sur F , dont la composante neutre est réductive,
on a défini en 2.4 les notions d’éléments compacts, topologiquement unipotents ou d’ordre
fini premier à p de M (F ). On a Hz (F ) ⊂ Hz (F nr ) = H(F nr ). Un élément de Hz (F ) est dit
compact, resp. d’ordre fini premier à p, s’il l’est dans H(F nr ). De même, introduisons le
groupe G+ de 2.7. On a G̃(F ) ⊂ G̃(F nr ) = G(F nr )θ∗ ⊂ G+ (F nr ). Un élément η ∈ G̃(F )
est dit compact, resp. d’ordre fini premier à p, s’il l’est dans G+ (F nr ). Remarquons que
ces notions dépendent du choix de l’élément gθ de 2.7. On utilise les notations Hz (F )c ,
G̃(F )c etc... comme en 2.4. La décomposition d’un élément compact γ ∈ Hz (F )c s’écrit
γ = γtu γp0 , où γtu ∈ H(F )tu et γp0 ∈ Hz (F )p0 . En pratique, on l’écrira γ = exp(Y ), où
= γp0 et Y est l’élément de h (F )tn tel que exp(Y ) = γtu . De même, la décomposition
d’un élément δ ∈ G̃(F )c s’écrit δ = exp(X)η, où η = δp0 ∈ G̃(F )p0 et X est l’élément de
gη (F )tn tel que exp(X) = δtu ∈ G(F )tu .
Lemme. Soit η ∈ G̃(F )p0 ∩ K̃. Alors :
(i) le groupe Gη est non ramifié et Gη (F ) ∩ K est un sous-groupe hyperspécial de
Gη (F ) ;
(ii) l’ensemble des g ∈ G tels que intg (η) ∈ K nr θ∗ est égal à K nr Gη et l’ensemble des
g ∈ G(F ) tels que intg (η) ∈ K̃ est égal à KGη (F ).
Preuve. Montrons d’abord que :
(1) il existe k ∈ K nr et ν ∈ T (oF nr )p0 tels que intk (δ) = νθ∗ .
∗
nr
Introduisons le groupe G+
sur GK
K = GK o Θ . L’application de réduction de K
nr ∗
+
nr
se prolonge en une application du sous-ensemble K θ de G (F ) sur la composante
GK θ∗ de G+
K . Notons η l’image de η par cette application. C’est un élément d’ordre
fini premier à p dans G+
K . On peut donc trouver k ∈ GK et ν ∈ T de sorte que
intk (η) = νθ∗ . Relevons k en un élément k ∈ K nr et ν en un élément ν ∈ T (oF nr )p0 .
Posons η 0 = intk−1 (νθ∗ ). C’est un élément de K nr θ∗ d’ordre fini premier à p. Il a même
réduction que η. Alors (1) résulte de l’assertion suivante :
(2) soient x et y deux éléments de K nr θ∗ d’ordre fini premier à p. Supposons que leurs
réductions x et y dans GK θ∗ sont égales. Alors il existe k ∈ K nr tel que x = intk (y).
Fixons une extension finie et non ramifiée E de F telle que x et y appartiennent
à KE θ∗ et utilisons les définitions posées dans la preuve de 2.7(1). Pour n ≥ 1, le
quotient KE (n)/KE (n + 1) s’identifie à kE , l’action auty de y sur le premier ensemble
s’identifiant à l’action auty de y sur le second. Parce que y est d’ordre fini premier à
p, et parce que deux racines distinctes de l’unité d’ordre premier à p dans F̄ ont des
13
réductions distinctes dans F̄q , un raisonnement familier (essentiellement le lemme de
Hensel) permet de décomposer kE en somme directe de deux sous-réseaux k0 et k1 , qui
sont le noyau et l’image de auty − 1. On a k0 = kE ∩ gy (E). Les images de k0 et k1 dans
kE sont respectivement le noyau et l’image de auty − 1. L’hypothèse de (2) signifie que
xy −1 appartient à KE (1). Soit n ≥ 1. Supposons qu’il existe kn ∈ KE (1) et Yn ∈ k0 tels
que kn xkn−1 y −1 exp(−$Yn ) ∈ KE (n). Ecrivons cet élément sous la forme exp($n Z), avec
Z ∈ kE . Des propriétés ci-dessus résulte que l’on peut trouver Z0 ∈ k0 et Z 0 ∈ kE de sorte
que Z = (auty − 1)(Z 0 ) + Z0 . Posons kn+1 = exp($n Z 0 )kn et Yn+1 = $n−1 Z0 + Yn . On
−1 −1
vérifie que kn+1 xkn+1
y exp(−$Yn+1 ) appartient à KE (n + 1). En passant à la limite, on
obtient des éléments k ∈ KE et Y ∈ k0 de sorte que kxk −1 = exp($Y )y. Mais Y ∈ gy (E).
L’égalité précédente est la décomposition de l’élément compact kxk −1 en produit d’un
élément topologiquement unipotent et d’un élément d’ordre fini premier à p. Puisque
kxk −1 est lui-même d’ordre fini premier à p, l’unicité de la décomposition entraı̂ne que
Y = 0 et kxk −1 = y. Cela prouve (2) et (1).
Soient k et ν vérifiant (1). Fixons une extension finie non ramifiée E de F telle que
∗
k ∈ KE , ν ∈ T (oE ) et G soit déployé sur E. La paire (B ∩ Gνθ∗ , T θ ,0 ) est une paire de
Borel de Gνθ∗ , définie sur E. On n’a aucun mal à construire un épinglage (Eα0 0 )α0 ∈∆0 relatif
0
à cette paire, que l’on complète comme en 2.5 par un épinglage ”opposé” (E−α
0 )α0 ∈∆0 , de
0
sorte que tous ces éléments appartiennent à kE . Soit KE le sous-groupe hyperspécial de
∗
Gνθ∗ (E) associé à la paire de Borel épinglée. Il est engendré par T θ ,0 (oE ) et les groupes
0
0
exp(oE E±α
∈ ∆0 . Tous ces groupes sont inclus dans KE ∩ Gνθ∗ (E). Donc
0 ) pour α
0
KE ⊂ KE ∩Gνθ∗ (E). Puisque KE0 est un sous-groupe compact maximal de Gνθ∗ (E), cette
inclusion est une égalité et KE ∩ Gνθ∗ (E) est un sous-groupe hyperspécial de Gνθ∗ (E).
Cette propriété se conserve par conjugaison par k. Donc KE ∩ Gη (E) est un sous-groupe
hyperspécial de Gη (E). Mais ce groupe est défini sur F . Les points hyperspéciaux de
l’immeuble Imm(Gη , F ) sont les points hyperspéciaux de Imm(Gη , E) qui sont fixes par
l’action du groupe de Galois Gal(E/F ). Il en résulte que K ∩Gη (F ) est encore un groupe
hyperspécial de Gη (F ). Enfin, le groupe Gη est déployé sur E : il est isomorphe à Gνθ∗
∗
qui contient le tore T θ ,0 , lequel est déployé sur E. Sous l’hypothèse (Hyp1), un groupe
déployé sur une extension non ramifiée et qui possède un sous-groupe hyperspécial est
forcément non ramifié. Cela prouve le (i) de l’énoncé.
Passons au (ii). On veut montrer que l’ensemble des g ∈ G tels que intg (η) ∈ K nr θ∗
est égal à K nr Gη . Cette propriété est invariante par conjugaison de η par un élément
de K nr . Grâce à (1), on peut donc remplacer η par νθ∗ dans l’assertion ci-dessus. Soit
g ∈ G, posons η 0 = intg (νθ∗ ), supposons η 0 ∈ K nr θ∗ . On peut appliquer (1) à η 0 : il
existe k ∈ K nr et ν 0 ∈ T (oF nr )p0 tels que intk (η 0 ) = ν 0 θ∗ . Quitte à remplacer g par kg, on
peut supposer η 0 = ν 0 θ∗ . Alors intg envoie Gν 0 θ∗ sur Gνθ∗ . Les deux groupes possèdent
∗
une paire de Borel définie sur F nr dont le tore maximal est T θ ,0 . Quitte à multiplier
g à droite par un élément de Gνθ∗ , on peut supposer que intg conserve ce tore. Alors
intg conserve aussi son commutant T et définit un élément ω ∈ Ω. Un élément de Ω qui
∗
∗
∗
∗
conserve T θ ,0 appartient à Ωθ . On sait que Ωθ est le groupe de Weyl de Gθ ,0 et que tout
∗
élément de ce groupe peut se représenter par un élément de K nr ∩ Gθ ,0 (F nr ). On peut
∗
donc écrire g = kt, avec t ∈ T et k ∈ K nr ∩ Gθ ,0 (F nr ). On a intk−1 (ν 0 θ∗ ) = k −1 ν 0 kθ∗ ,
∗
car k ∈ Gθ ,0 , et k −1 ν 0 k est encore un élément de T (oF nr )p0 . Quitte à remplacer ν 0 par
cet élément et g par k −1 g, on peut donc supposer g ∈ T . Fixons une extension finie
E de F telle que g ∈ T (E) et une uniformisante $E de cette extension. Décomposons
g en produit g = ttu tp0 t$E , avec ttu ∈ T (oE )tu , tp0 ∈ T (oE )p0 et t$E ∈ T$E , cf. 2.4.
L’égalité intg (νθ∗ ) = ν 0 θ∗ et le fait que ν et ν 0 appartiennent à T (oF nr )p0 entraı̂nent que
14
inttp0 (νθ∗ ) = ν 0 θ∗ , tandis que ttu et t$E commutent à νθ∗ . Cela entraı̂ne que ttu et t$E
∗
∗
∗
commutent à θ∗ . Le groupe T$θ E est égal à X∗ (T )θ ⊗Z $EZ , donc est inclus dans T θ ,0 (E).
∗
∗
Parce que l’ordre de θ∗ est premier à p, on vérifie aussi que T (oE )θtu = T θ ,0 (oE )tu . On a
∗
donc ttu t$E ∈ T θ ,0 ⊂ Gνθ∗ . De plus, tp0 ∈ Tp0 = T (oF nr )p0 ⊂ K nr . Alors g ∈ K nr Gνθ∗ , ce
qui achève de prouver la première assertion de (ii).
D’après (i), Gη (F ) ∩ K est un sous-groupe hyperspécial de Gη (F ). Notons-le Kη et
notons Gη,K le schéma en groupes associé. Soit g ∈ G(F ) tel que intg (η) ∈ K̃. Ainsi que
l’on vient de le prouver, on peut écrire g = kx, avec x ∈ Gη et k ∈ K nr . Nécessairement,
x ∈ Gη (F nr ). Pour σ ∈ Γnr , l’hypothèse g ∈ G(F ) entraı̂ne que σ(k)−1 k = σ(x)x−1 . Cette
expression définit un cocycle de Γnr dans Gη (F nr ) ∩ K nr = Kηnr . Ce groupe possède une
filtration dont les quotients sont, soit Gη,K (F̄q ), soit gη,K (F̄q ). Si le groupe était complet,
il résulterait du théorème de Lang que H 1 (Γnr , Kηnr ) = 0. Le groupe n’est pas complet,
mais on peut contourner cette difficulté comme en 2.7(1) et prouver la nullité de ce H 1 .
On peut donc choisir k0 ∈ Kηnr tel que σ(x)x−1 = σ(k0 )k0−1 pour tout σ ∈ Γnr . Posons
x0 = xk0−1 x et k 0 = kk0 . Alors x0 ∈ Gη (F ), k 0 ∈ K et g = k 0 x0 . Cela prouve la seconde
assertion de (ii).
4.2
Classes de conjugaison coupant K̃
Soit η un élément semi-simple de G̃(F ). A la suite de Labesse, on introduit le groupe
∗
algébrique non connexe Iη = ZGθ Gη . C’est un sous-groupe de ZG (η), défini sur F . D’après
∗
∗
∗
∗
(Hyp1), l’ordre de ZGθ /ZGθ ,0 est premier à p. Puisque ZGθ ,0 est divisible, on a ZGθ =
∗
θ∗ ,0
θ∗
ZG,p
. Puisque ZGθ ,0 ⊂ Gη , on a :
0 ZG
θ∗
(1) Iη = ZG,p
0 Gη .
θ∗
nr
θ∗
Remarquons que ZG,p
, puisque ZG,p
0 ⊂ K
0 ⊂ Tp0 = T (oF nr )p0 . On a :
(2) si η ∈ G̃reg (F ), alors Iη = ZG (η).
Il suffit de prouver que ZG (η) ⊂ ZG Gη . Cette assertion étant géométrique, on peut
∗
conjuguer η en un élément de T θ∗ . Puisque η ∈ G̃reg , Gη est le tore T θ ,0 et ZG (η) est
∗
∗
∗
∗
inclus dans son commutant T , donc est égal à T θ . Il reste à prouver que T θ = ZGθ T θ ,0 .
θ∗
Cela résulte du fait que Tad
est connexe, cf. [KS] 1.1.
Rappelons que l’on note φ l’élément de Frobenius de Γnr . Posons :
∗
θ
Z = {z ∈ K nr ; φ(z)−1 z ∈ ZG,p
0 }.
C’est un groupe. Pour z ∈ Z, l’automorphisme intz de G, resp. de G̃, est défini sur
F . Il conserve K, resp. K̃. Le groupe Z contient K comme sous-groupe distingué. Soit
η ∈ K̃ ∩ G̃(F )p0 . On fixe un ensemble de représentants Zη de l’ensemble de doubles classes
K\Z/(Z ∩ Iη ).
Soit δ ∈ G̃(F )reg ∩ G̃(F )c . On écrit δ = exp(X)η, avec η = δp0 et X ∈ gη (F )tn .
Supposons η ∈ K̃. Appelons classe de conjugaison stable de δ l’intersection de G̃(F )
avec la classe de conjugaison de δ par G. De même, appelons classe de conjugaison
stable de X l’intersection de gη (F ) avec la classe de conjugaison de X par Gη . Fixons
un ensemble de représentants EX des classes de conjugaison par Gη (F ) dans la classe de
conjugaison stable de X. Posons :
Xδ = {intz (exp(X 0 )η); z ∈ Zη , X 0 ∈ EX }.
Lemme. Sous ces hypothèses, les propriétés suivantes sont vérifiées :
15
(i) Xδ est inclus dans la classe de conjugaison stable de δ ;
(ii) soit C une classe de conjugaison par G(F ) contenue dans la classe de conjugaison
stable de δ. Supposons que C coupe K̃. Alors l’intersection C ∩ Xδ a pour nombre
d’éléments :
|Zη |[ZG (δ)(F ) : Gδ (F )]−1 .
Preuve. Le (i) résulte immédiatement des propriétés des automorphismes intz pour
z ∈ Z.
Soit C comme en (ii). Montrons d’abord que :
(3) C coupe Xδ .
On peut fixer δ1 ∈ C ∩ K̃, que l’on décompose en δ1 = exp(X1 )η1 . On peut aussi fixer
g ∈ G tel que intg (δ) = δ1 . Cela implique intg (η) = η1 ∈ K̃. Appliquons le lemme 4.1 (ii)
pour écrire g = kx1 avec k ∈ K nr et x1 ∈ Gη . Considérons l’application h 7→ φ(h)−1 h de
K nr dans lui-même. Comme dans la preuve du lemme 4.1, une adaptation du théorème
de Lang montre qu’elle se quotiente en une bijection :
nr
K\K nr → Kφ−f
in ,
nr
nr
où Kφ−f
pour lesquels il existe un entier n ≥ 1
in est le sous-ensemble des h ∈ K
de sorte que φn−1 (h)...φ(h)h = 1. Un résultat analogue vaut si l’on remplace K par le
nr
nr
groupe Kη . On note Kη,φ−f
in le sous-ensemble analogue à Kφ−f in . Soit σ ∈ Γ. Puisque δ
et δ1 appartiennent à G̃(F ), on a σ(g)−1 g ∈ ZG (δ). D’après (2), ZG (δ) = Iδ ⊂ Iη . Donc
θ∗
σ(g)−1 g ∈ Iη , puis σ(k)−1 k ∈ Iη . Ecrivons φ(k)−1 k = ζu, avec ζ ∈ ZG,p
0 et u ∈ Gη .
nr
On a φ(k)−1 k ∈ Kφ−f
et
cet
ensemble
est
invariant
par
multiplication
par
ZG,p0 . Donc
in
nr
nr
nr
u ∈ Kφ−f in ∩ Gη = Kη,φ−f in . On peut fixer v ∈ Kη de sorte que u = φ(v)−1 v. Alors
kv −1 appartient à Z et on peut fixer h ∈ K, z ∈ Zη et y ∈ Iη de sorte que kv −1 = hzy.
Alors g = hzx2 , où x2 = yvx1 ∈ Iη . Posons δ2 = intx2 (δ). On a δ2 = int−1
hz (δ1 ). Puisque
inthz est défini sur F , δ2 appartient à G̃(F )c . Puisque x2 ∈ Iη , on a δ2,p0 = η. Ecrivons
δ2 = exp(X2 )η. On a X2 = intx2 (X) et, d’après (1), on peut dans cette égalité remplacer
x2 par un élément de Gη . Donc X2 appartient à la classe de conjugaison stable de X
et on peut fixer X 0 ∈ EX et x0 ∈ Gη (F ) de sorte que X2 = intx0 (X 0 ). Posons δ3 =
intz (exp(X 0 )η). C’est un élément de Xδ . On a δ1 = inthzx0 z−1 (δ3 ). Puisque intz est défini
sur F , hzx0 z −1 appartient à G(F ). Donc δ3 ∈ C, ce qui prouve (3).
Soient z ∈ Zη et X 0 ∈ EX . Posons δ 0 = intz (exp(X 0 )η) et notons c(δ 0 ) le nombre
d’éléments de Xδ qui sont conjugués à δ 0 par un élément de G(F ). Pour achever la
démonstration, il suffit de prouver que :
(4) c(δ 0 ) = |Zη |[ZG (δ)(F ) : Gδ (F )]−1 .
Soit g ∈ G(F ), supposons intg (δ 0 ) ∈ Xδ , écrivons intg (δ 0 ) = intz0 (exp(X0 )η), avec
z0 ∈ Zη et X0 ∈ EX . Les éléments η 0 = intz (η) et η0 = intz0 (η) appartiennent à K̃∩G̃(F )p0
et on a intg (η 0 ) = η0 . D’après le lemme 4.1(ii), g appartient à KGη0 (F ). Puisque intz−1
envoie Gη0 (F ) sur Gη (F ), on peut écrire gz = kzy, avec k ∈ K et y ∈ Gη (F ). Les éléments
X 0 et X0 sont stablement conjugués à X, on peut donc fixer deux éléments x0 et x0 de
Gη tels que X 0 = intx0 (X), X0 = intx0 (X). On a alors intkzyx0 (δ) = intz0 x0 (δ), donc
(kzyx0 )−1 z0 x0 ∈ ZG (δ) ⊂ Iη . Alors (kz)−1 z0 appartient à Iη ∩ Z, donc z0 ∈ Kz(Iη ∩ Z).
Par définition de Zη , cela force l’égalité z0 = z. Posons k 0 = z −1 kz. C’est encore un
élément de K et la relation (kz)−1 z0 ∈ Iη se simplifie en k 0 ∈ Iη . L’élément k 0 y appartient
à Iη (F ) et on voit que l’on a intk0 y (X 0 ) = X0 . Cela prouve que tous les éléments de Xδ
qui sont conjugués à δ 0 par un élément de G(F ) sont de la forme intz (exp(X0 )η), où
16
X0 ∈ XX est conjugué à X 0 par un élément de Iη (F ). Inversement, il est immédiat que
tout élément de cette forme est conjugué à δ 0 par un élément de G(F ). Donc c(δ 0 ) est
le nombre d’éléments X0 de la forme ci-dessus, autrement dit le nombre de classes de
conjugaison par Gη (F ) dans la classe de conjugaison de X 0 par Iη (F ). Ce nombre est
égal au nombre d’éléments de l’ensemble de doubles classes :
Gη (F )\Iη (F )/ZG (δ 0 )(F ).
Parce que Gη \Iη est abélien, ce nombre est égal à :
[Iη (F ) : Gη (F )][ZG (δ 0 )(F ) : (ZG (δ 0 )(F ) ∩ Gη (F ))]−1 .
Le groupe ZG (δ 0 ) ∩ Gη est égal à ZGη (X), qui est connexe et égal à Gδ0 . D’autre part, les
éléments δ et δ 0 étant réguliers et conjugués par G, leurs commutants sont isomorphes
sur F . On obtient alors :
(5) c(δ 0 ) = [Iη (F ) : Gη (F )][ZG (δ)(F ) : Gδ (F )]−1 .
Considérons l’application :
θ∗
Z →
ZG,p
0
(6)
−1
k 7→ φ(k) k.
∗
θ
nr
Puisque ZG,p
0 ⊂ Kφ−f in , elle est surjective. Elle se quotiente en une application injective
définie sur K\Z. En la composant avec la surjection :
∗
θ
nr
ZG,p
)/Gη (F nr ),
0 → Iη (F
on obtient une surjection :
K\Z → Iη (F nr )/Gη (F nr ),
qui se quotiente ensuite en une surjection :
(7)
K\Z/(Z ∩ Gη ) → Iη (F nr )/Gη (F nr ).
Montrons que celle-ci est aussi injective. Soient k, h ∈ Z, supposons que φ(k)−1 k et
φ(h)−1 h aient même image dans Iη (F nr )/Gη (F nr ). Soit u ∈ Gη (F nr ) tel que φ(k)−1 k =
nr
nr
nr
θ∗
) ⊂ Kη,φ−f
φ(h)−1 hu. On a u ∈ ZG,p
0 ∩ Gη (F
in . On peut trouver v ∈ Kη tel que
φ(v)−1 v = u. On a v ∈ Z ∩ Gη . Les éléments k et hv ont même image par l’application
(6), donc ont même image dans K\Z. Alors k et h ont même image dans l’espace de
départ de (7), ce qui prouve l’injectivité de cette application.
Le groupe Iη (F nr )/Gη (F nr ) est abélien et est muni d’un automorphisme φ. D’après
la construction de la bijection (7), celle-ci se quotiente en une bijection de Zη sur l’espace des coinvariants (Iη (F nr )/Gη (F nr ))/φ . Pour tout groupe abélien A muni d’un automorphisme ϕ, les groupes d’invariants Aϕ et de coinvariants A/ϕ ont même nombre
d’éléments. De l’injection de Iη (F ) dans Iη (F nr ) se déduit une injection de Iη (F )/Gη (F )
dans (Iη (F nr )/Gη (F nr ))φ . D’après (1), la suite :
1 → Kηnr → K nr ∩ Iη → Iη (F nr )/Gη (F nr ) → 1
est exacte. Comme on l’a dit dans la preuve du lemme 4.1, on a H 1 (Γnr , Kηnr ) = 0. La
nr
suite de cohomologie associée à la suite exacte ci-dessus montre que (K nr ∩ Iη )Γ = K ∩
nr
Iη (F ) s’envoie surjectivement sur (Iη (F nr )/Gη (F nr ))Γ = (Iη (F nr )/Gη (F nr ))φ . A fortiori, l’injection de Iη (F )/Gη (F ) dans (Iη (F nr )/Gη (F nr ))φ est surjective. Cela démontre
les égalités :
|Zη | = |(Iη (F nr )/Gη (F nr ))/φ | = [Iη (F ) : Gη (F )].
Jointes à (5), elles conduisent à l’égalité (4), ce qui achève la démonstration. 17
4.3
Eléments d’ordre fini premier à p dans Hz (F )
Pour γ et γ 0 deux éléments semi-simples de Hz (F ), on dit que γ et γ 0 sont stablement
conjugués s’il existe h ∈ H tel que inth (γ) = γ 0 et, pour tout σ ∈ Γ, σ(h)−1 h appartient
à Hγ . Pour un tel élément h, inth se restreint en un torseur intérieur de Hγ sur Hγ 0 . Pour
les éléments de Hz,G̃−reg (F ), la conjugaison stable se confond avec la conjugaison par H.
Lemme. Soit ∈ Hz (F )p0 .
(i) Il existe 0 ∈ Hz (F )p0 qui est stablement conjugué à et tel que H0 est quasidéployé.
(ii) Soient 0 vérifiant les conditions de (i) et γ un élément de Hz,G̃−reg (F ) ∩ Hz (F )c
tel que γp0 = . Alors il existe un élément γ 0 ∈ Hz,G̃−reg (F ) ∩ Hz (F )c qui est stablement
conjugué à γ et tel que γp0 0 = 0 .
(iii) Supposons ∈ Kz . Alors H est non ramifié et KH ∩ H (F ) est un sous-groupe
hyperspécial de H (F ).
(iv) Supposons H quasi-déployé. Alors est stablement conjugué à un élément de
Kz si et seulement si H est non ramifié.
Preuve. Le (i) résulte de [K1] lemme 3.3. Evidemment, ce lemme est énoncé pour un
groupe tel que H et non pour un espace tordu comme Hz mais on vérifie que la torsion
par le cocycle zH n’influe pas sur la démonstration.
Le (ii) résulte de [K1] corollaire 2.2.
Le (iii) est le (i) du lemme 4.1 appliqué à Hz au lieu de G̃, ce qui est loisible d’après
ce que l’on a dit en 2.9.
La partie ”seulement si” du (iv) résulte de (iii). Inversement, supposons H non
ramifié. Soit T [∗ un sous-tore maximal de H , défini sur F et déployé sur F nr . Les deux
tores T [∗ et TH sont maximaux dans H et déployés sur F nr . Il existe donc h ∈ H(F nr )
tel que inth (T [∗ ) = TH . Puisque les deux tores sont définis sur F , on a φ(h)h−1 ∈
nr
N ormH (TH ). On sait que N ormH (TH ) ∩ KH
s’envoie surjectivement sur ΩH . En fait,
on montre, par exemple en utilisant des sections de Springer, qu’il existe un sous-groupe
nr
fini de N ormH (TH ) ∩ KH
, invariant par Γnr , qui s’envoie surjectivement sur ΩH . Un
nr
tel sous-groupe est contenu dans KH,φ−f
in (cf. la preuve du lemme précédent pour la
nr
tel que
définition et les propriétés de cet ensemble). On peut donc trouver k ∈ KH
−1
−1
φ(k)k ∈ N ormH (TH ) et que cet élément ait même image que φ(h)h dans ΩH . Posons
T 0 = intk−1 (TH ). C’est un sous-tore maximal de H déployé sur F nr . Puisque φ(k)k −1 ∈
N ormH (TH ), T 0 est défini sur F . On a intk−1 h (T [∗ ) = T 0 et on vérifie que φ(k −1 h)−1 k −1 h
appartient à T [∗ . Posons 0 = intk−1 h (). Les conditions précédentes entraı̂nent que 0 ∈
nr
Hz (F )p0 et 0 est stablement conjugué à . On a inth () ∈ TH,p0 = TH (oF nr )p0 ⊂ KH
. Donc
0
nr
0
0
aussi = intk−1 ◦ inth () ∈ KH . Puisque ∈ Hz (F ), on a en fait ∈ Kz . L’élément 0
vérifie donc les conditions requises, ce qui prouve (iv). 4.4
Correspondance entre classes de conjugaison, compacité,
éléments d’ordre fini premier à p
Lemme. Soient γ, resp. δ, un élément semi-simple de Hz (F ), resp. G̃(F ). Supposons
que les classes de conjugaison de γ et δ se correspondent, cf. 2.10. Alors γ est compact,
resp. d’ordre fini premier à p, si et seulement si δ l’est.
18
Preuve. Dire que les classes de conjugaison de γ et δ se correspondent signifie qu’il
existe h ∈ H, g ∈ G et ν ∈ T de sorte que intg (δ) = νθ∗ et inth−1 ◦ ξ(ν) = γ. Fixons
de tels éléments. Supposons δ compact ou δ d’ordre fini premier à p. Ces propriétés se
conservent par conjugaison. Donc νθ∗ est compact ou d’ordre fini premier à p. Soit N
l’ordre de θ∗ . Alors (νθ∗ )N est compact ou d’ordre fini premier à p, donc aussi ξ(νθ∗ )N .
Mais on a l’égalité :
(νθ∗ )N = ν N (θ∗ (ν)ν −1 )...((θ∗ )N −1 (ν)ν −1 ).
Pour tout i ≥ 1,
(θ∗ )i (ν)ν −1 =
Y
(θ∗ )j (ν)(θ∗ )j−1 (ν −1 ).
j=1,...,i
Un tel élément est annulé par ξ. Donc ξ(νθ∗ )N = ξ(ν)N . Puisque N est premier à p grâce
à l’hypothèse (Hyp1), ξ(ν) est compact ou d’ordre fini premier à p. Par conjugaison, il
en est de même de γ.
Inversement, supposons γ compact ou d’ordre fini premier à p. Posons µ = inth (γ).
C’est un élément de TH qui est compact ou d’ordre fini premier à p. Donc µ ∈ TH (oF̄ ) ou
µ ∈ TH (oF nr )p0 . De l’homomorphisme ξ se déduit un homomorphisme surjectif de X∗ (T )
sur X∗ (TH ) (pour la suite du raisonnement, il suffirait que son image soit de conoyau fini
d’ordre premier à p). On n’a aucun mal à en déduire que les homomorphismes :
ξ : T (oF̄ ) → TH (oF̄ ) et ξ : T (oF nr )p0 → TH (oF nr )p0
sont surjectifs. On peut donc choisir ν 0 ∈ T (oF̄ ) ou ν 0 ∈ T (oF nr )p0 tel que ξ(ν 0 ) = µ. Il
est clair que ν 0 θ∗ est compact ou d’ordre fini premier à p. On a ξ(ν 0 ) = ξ(ν), donc il
existe t ∈ T tel que ν = tθ∗ (t)−1 ν 0 . Alors νθ∗ = intt (ν 0 θ∗ ) et νθ∗ est lui-aussi compact
ou d’ordre fini premier à p. Comme au début de la preuve, δ a les mêmes propriétés. 4.5
Diagrammes
On appelle diagramme modérément ramifié un heptuplet D = (, T [ , T , T \ , h, g, η)
vérifiant les conditions suivantes. Le terme est un élément de Hz (F )p0 . Le terme η est
un élément de K̃ ∩ G̃(F )p0 . Les termes T [ , resp. T , T \ , sont des sous-tores maximaux
et définis sur F de H , resp. G, Gη , et T est le commutant de T \ dans G. Le terme h,
resp. g, est un élément de HSC , resp. GSC . On suppose que inth (T [ ) = TH , intg (T ) = T
et que l’homomorphisme composé :
inth−1 ◦ ξ ◦ intg : T → T [
est défini sur F . On suppose que intg (η) appartient à T θ∗ et, si l’on note νD θ∗ cet élément,
on a l’égalité inth−1 ◦ ξ(νD ) = .
On dit que le diagramme D ci-dessus est fortement non ramifié s’il vérifie de plus les
nr
nr
conditions suivantes : ∈ Kz ∩ Hz (F )p0 , h ∈ KH,sc
, g ∈ Ksc
.
On utilisera une terminologie naturelle, par exemple on dira qu’un diagramme D
comme ci-dessus joint à η, que est la source de D et η son extrémité. Il est clair que,
s’il existe un diagramme modérement ramifié joignant à η, les classes de conjugaison
de ces deux éléments se correspondent.
19
Lemme. (i) Soit γ ∈ Hz,G̃−reg (F ) ∩ Hz (F )c . Supposons qu’il existe δ ∈ K̃ ∩ G̃reg (F )
dont la classe de conjugaison corresponde à celle de γ. Posons = γp0 . Alors il existe un
diagramme modérément ramifié de source .
(ii) Soit ∈ Kz ∩ Hz (F )p0 . Alors il existe un diagramme fortement non ramifié de
source .
Preuve. Fixons δ vérifiant l’hypothèse de (i). Comme on l’a dit dans la preuve du
lemme précédent, dire que les classes de conjugaison de γ et δ se correspondent signifie
qu’il existe h0 ∈ H, g 0 ∈ G et ν 0 ∈ T de sorte que intg0 (δ) = ν 0 θ∗ et inth0 −1 ◦ ξ(ν 0 ) = γ.
On peut remplacer h0 par un élément h ∈ HSC qui a même image que h0 dans HAD .
Ecrivons g 0 = zg, où z ∈ ZG et g ∈ GSC . Posons ν = zθ∗ (z)−1 ν 0 . Alors intg (δ) =
νθ∗ et ξ(ν) = ξ(ν 0 ), donc encore inth−1 ◦ ξ(ν) = γ. Posons T \ = Gδ et notons T le
commutant de T \ dans G. On a intg (T \ ) = Gνθ∗ et intg (T ) est le commutant de ce
∗
groupe. Or, celui-ci contient T θ ,0 , donc son commutant est contenu dans T . Par égalité
∗
des dimensions, cela entraı̂ne intg (T \ ) = T θ ,0 et intg (T ) = T . Posons T [ = Hγ . On a de
même inth (T [ ) = TH . Soit σ ∈ Γ. Parce que T et T sont définis sur F , gσ(g −1 ) normalise
T . Donc cet élément définit un élément ωD (σ) ∈ Ω. Pour la même
raison, cet élément
θ∗ ,0
θ∗ ,0
θ∗
conserve T , donc appartient à Ω . Introduisons le groupe GSC : c’est, au choix, le
∗
revêtement simplement connexe du groupe dérivé de Gθ ,0 ou la composante neutre du
θ∗
sous-groupe des points fixes par θ∗ dans GSC . On sait que
son
groupe
de
Weyl
est
Ω
.
θ∗ ,0
−1
∗
On peut donc écrire σ(g)g = tn, avec t ∈ Tsc et n ∈ GSC . L’égalité intg (δ) = νθ et le
fait que δ ∈ G̃(F ) entraı̂nent que :
σ(ν)θ∗ = z(σ)−1 intσ(g)g−1 (νθ∗ ),
d’où :
σ(ν) = z(σ)−1 tnνn−1 θ∗ (t)−1 = z(σ)−1 tθ∗ (t)−1 ωD (σ)−1 (ν).
De même, l’élément hσ(h)−1 normalise TH . Il définit un élément ωD,H (σ) ∈ ΩH . En
posant µ = inth (γ), on a l’égalité :
σ(µ) = zH (σ)−1 ωD,H (σ)−1 (µ).
∗
On a dit en 2.9 que ΩH s’identifiait à un sous-groupe de Ωθ . De plus, il existe un élément
∗
ω(σ) ∈ Ωθ de sorte que σ◦ξ = ξ◦ω(σ)◦σ. Posons ω0 (σ) = ωD,H (σ)ω(σ)ωD (σ)−1 . Puisque
ξ(ν) = µ, les égalités précédentes entraı̂nent :
ξ ◦ ω0 (σ)(ν) = ξ(ν).
∗
Comme ci-dessus, on peut représenter ω0 (σ) par un élément n0 ∈ GθSC,0 . Il existe alors
∗
∗
t0 ∈ T de sorte que intn0 (ν) = t−1
0 θ (t0 )ν. Donc t0 n0 commute à νθ . On a déjà dit que
∗
θ∗
le commutant de νθ était inclus dans T (il est en fait égal à T ). Donc ω0 (σ) = 1.
Considérons l’application :
(1)
inth−1 ◦ ξ ◦ intg : T → T [ .
On calcule :
σ ◦ inth−1 ◦ ξ ◦ intg = inth−1 ◦ ξ ◦ ω0 (σ) ◦ intg ◦ σ.
L’égalité ω0 (σ) = 1 entraı̂ne que l’application (1) est équivariante pour les actions de Γ.
Posons η = δp0 . Rappelons que cet élément appartient à l’adhérence du groupe engendré
20
dans G+ par δ. Donc η ∈ K̃. En reprenant les arguments de la preuve du lemme 4.4, on
vérifie que intg (η) ∈ T θ∗ et, si l’on note νD θ∗ cet élément, on a inth−1 ◦ ξ(νD ) = . Alors :
D = (, T [ , T , T \ , h, g, η)
est un diagramme modérément ramifié de source , ce qui prouve (i).
Soit ∈ Kz ∩ Hz (F )p0 . Le groupe KH ∩ H (F ) est un sous-groupe hyperspécial de
H (F ) (lemme 4.3(iii)). Fixons un sous-tore de H défini sur F et maximal tel que
KH ∩ H (F ) fixe un point hyperspécial de l’appartement de Imm(H , F ) associé à ce
tore. Notons T [ le commutant de ce tore dans H . C’est un sous-tore maximal de H ,
défini sur F et déployé sur F nr . En appliquant la relation (1) de 4.1 où on remplace G̃ par
nr
Hz , on voit qu’il existe h0 ∈ KH
et µ ∈ TH (oF nr ) tels que inth0 () = µ. Les deux tores
[
nr
inth0 (T ) et TH sont des tores maximaux de Hµ , déployés sur F nr , et KH
∩ Hµ (F nr ) fixe
un point hyperspécial dans chacun des appartements de Imm(Hµ , F nr ) associés à ces
nr
tores. Il en résulte que ces tores sont conjugués par un élément de KH
∩ Hµ (F nr ). Quitte
à multiplier h0 à gauche par cet élément, on peut supposer inth0 (T [ ) = TH . Le groupe
nr
nr
KH,sc
s’envoie surjectivement sur KH,ad
et on peut aussi bien remplacer h0 par un élément
nr
nr
h ∈ KH,sc qui a même image que h0 dans KH,ad
. On a noté φ l’élément de Frobenius
nr
de Γ , on le relève en un élément φ de Γ. Comme plus haut, on a les égalités φ ◦ ξ =
ξ ◦ ω(φ) ◦ φ et inthφ(h)−1 ◦ ξ = ξ ◦ ωD,H (φ). Posons ωD (φ) = ωD,H (φ)ω(φ). L’application
∗
∗
nr
Ksc
∩N ormGθ∗ ,0 (Tscθ ,0 ) → Ωθ est surjective. Par le même argument utilisé dans la preuve
SC
∗
θ ,0
nr
∩ GK,SC
du lemme 4.3(iv), on voit qu’il existe g ∈ Ksc
tel que gφ(g −1 ) appartienne à
∗
∗
N ormGθ∗ ,0 (Tscθ ,0 ) et ait ωD (φ) pour image dans Ωθ . Posons T = intg−1 (T ). La définition
SC
de g entraı̂ne :
- T est défini sur F et invariant par θ∗ ;
- l’application :
(2)
inth−1 ◦ ξ ◦ intg : T → T [
est définie sur F et se quotiente en un isomorphisme défini sur F de T,/θ∗ sur T [ .
Comme on l’a dit dans la preuve du lemme 4.4, ξ envoie T (oF nr )p0 sur TH (oF nr )p0 . Soit
ν ∈ T (oF nr )p0 tel que ξ(ν) = µ. Posons ρ = intg−1 (ν). C’est un élément de T (oF nr )p0 . Un
calcul analogue à l’un de ceux faits dans la preuve de (i) montre qu’il existe t ∈ T tel que
φ(ρ) = z(φ)tθ∗ (t)−1 ρ. Comme dans la preuve du lemme 4.1(ii), on peut remplacer t par
un élément de T (oF nr )p0 . Or H 1 (Γnr , T (oF nr )p0 ) = 0, puisque T (oF nr )p0 ' T (F̄q ). On
peut fixer t1 ∈ T (oF nr )p0 tel que t = t1 φ(t1 )−1 . Posons η = t1 ρθ∗ t−1
1 . C’est un élément
de G(F nr )θ∗ et on voit qu’il vérifie la relation φ(η) = z(φ)η. Donc η ∈ G̃(F ). Puisque ν,
g et t1 appartiennent à K nr , η appartient à K̃. Comme ν, c’est un élément d’ordre fini
∗
premier à p. En posant T \ = T ,θ ,0 , on vérifie que (, T [ , T T \ , h, g, η) est un diagramme
non ramifié. 4.6
Construction d’une nouvelle donnée endoscopique
Soit D = (, T [ , T T \ , h, g, η) un diagramme modérément ramifié. On pose ν = νD et
Ḡ = Gη . D’après le lemme 4.1(i), Ḡ est quasi-déployé sur F . On fixe une paire de Borel
(B̄, T̄ ) définie sur F de Ḡ. Le couple (intg−1 (B) ∩ Ḡ, T \ ) est aussi une paire de Borel de
Ḡ. On fixe g0 ∈ ḠSC tel que intg0 envoie la première paire sur la seconde.
On suppose que H est quasi-déployé sur F . On fixe une paire de Borel (B [∗ , T [∗ )
définie sur F de H et un élément h0 ∈ H,SC tel que inth0 envoie cette paire sur
(inth−1 (BH ) ∩ H , T [ ).
21
∗
On va identifier T̄ à T θ ,0 et T [∗ à T/θ∗ . Ces identifications ne sont pas équivariantes
pour les actions de Γ et on va distinguer les différentes actions dans la notation. Pour
∗
σ ∈ Γ, on note simplement σ l’action naturelle de σ sur T θ ,0 ou T/θ∗ , on note σT̄
∗
l’action sur T θ ,0 transportée de l’action naturelle sur T̄ et on note σT [∗ l’action sur T/θ∗
transportée de l’action naturelle sur T [∗ . On note de la même façon les actions duales
∗
sur T̂/θ̂ ou T̂ θ̂,0 . On identifie T̄ à T θ ,0 par l’application intgg0 . Cette application identifie
∗
le groupe de Weyl de Ḡ relatif à T̄ à un sous-groupe de Ωθ . Par abus de notation, c’est
∗
ce dernier que nous notons ΩḠ . Pour σ ∈ Γ, on a l’égalité d’actions sur T θ ,0 :
(1)
σT̄ = ωḠ (σ)ωD (σ) ◦ σ,
où ωḠ (σ) est l’image dans ΩḠ de gg0 σ(g0 )−1 g −1 et, comme dans la preuve du lemme 4.5,
∗
ωD (σ) est l’image dans Ωθ de gσ(g)−1 . On identifie T [ à T/θ∗ par ξ −1 ◦ inthh0 . Cette
application identifie le groupe de Weyl de H relatif à T [ à un sous-groupe de ΩH , lui∗
même sous-groupe de Ωθ . C’est ce sous-groupe que l’on note ΩH . Pour σ ∈ Γ, on a
l’égalité d’actions sur T/θ∗ :
σT [∗ = ωH (σ)ωD,H (σ)ω(σ) ◦ σ,
(2)
−1
−1
où ωH (σ) est l’image dans ΩH de hh0 σ(h−1
0 )h , ωD,H (σ) est l’image dans ΩH de hσ(h )
∗
et ω(σ) ∈ Ωθ est l’élément tel que σTH ◦ ξ = ξ ◦ ω(σ) ◦ σ, σTH étant l’action naturelle
sur TH .
Les formules (1) et (2) permettent d’étendre chacune des actions galoisiennes à T ,
∗
ou à tout tore déduit naturellement de T (T θ ,0 , T̂ etc...). Par le même calcul que l’on a
fait dans la preuve du lemme 4.5, le fait que inth−1 ◦ ξ ◦ intg : T → T [ soit défini sur F
équivaut à l’égalité :
ωD,H (σ)ω(σ) = ωD (σ).
La comparaison des formules (1) et (2) conduit à l’égalité :
(3)
σT [ = ωH (σ)ωḠ (σ)−1 σT̄ .
ˆ o W . Fixons une paire de Borel (B̄
ˆ , T̄ˆ) de Ḡ
ˆ
Introduisons le L-groupe L Ḡ = Ḡ
∗
conservée par l’action de W . De l’identification de T̄ à T θ ,0 résulte une identification
ˆ = Z (s )0 . On munira plus
de T̄ˆ à T̂/θ̂ . Notons s] l’image de s dans T̂/θ̂ et Ĥ] = Ḡ
ˆ ]
s]
Ḡ
loin ce groupe d’une action de Γ. Pour l’instant, contentons-nous d’introduire le groupe
réductif connexe H] sur F̄ dont Ĥ] est le groupe dual. On fixe une paire de Borel épinglée
∗
(B] , T] , (Eα] )α] ∈Σ] ) de H] . Le tore T] s’identifie à T̄ ' T θ ,0 .
On va décrire les ensembles de racines et coracines de différents groupes. Posons
pour simplifier X∗ = X∗ (T ) et X ∗ = X ∗ (T ). Rappelons que l’on dispose de l’ensemble
de racines Σ ⊂ X ∗ et de l’ensemble de coracines Σ̌ ⊂ X∗ . Le groupe Θ∗ agit sur ces
ensembles. Pour α ∈ Σ, on note nα le nombre d’éléments de l’orbite de α pour cette
action et N α la somme des éléments de cette orbite. On définit de même nα̌ et N α̌ pour
α̌ ∈ Σ̌. Posons :
Y ∗ = X ∗ /(X ∗ ∩ (1 − θ∗ )(XQ∗ )), Y∗ = X∗ /(X∗ ∩ (1 − θ∗ )(X∗,Q )),
et notons p∗ : X ∗ → Y ∗ et p∗ : X∗ → Y∗ les applications naturelles. Remarquons que
∗
∗
Y ∗ est le dual de X∗θ tandis que Y∗ est le dual de X ∗,θ . D’après [KS] 1.3, on distingue
trois types de racines. Pour α ∈ Σ, on dit que α est de type 1 si 2p∗ (α) et 21 p∗ (α)
22
n’appartiennent pas à p∗ (Σ) ; on dit que α est de type 2 si 2p∗ (α) ∈ p∗ (Σ) ; on dit
que α est de type 3 si 21 p∗ (α) ∈ p∗ (Σ). On montre que ces deux dernières conditions
sont exclusives l’une de l’autre. Si α est de type 2, alors nα est pair. L’application
α 7→ α + (θ∗ )nα /2 (α) est une surjection de l’ensemble des racines de type 2 sur celui des
racines de type 3, dont toutes les fibres ont deux éléments. On dit qu’un élément α̌ ∈ Σ̌
est de type 1, 2 ou 3 si la racine α associée est de ce type. Posons :
Σres = p∗ (Σ) ⊂ Y ∗ ,
∗
Σ̌res = {N α̌; α̌ ∈ Σ̌, α̌ de type 1 ou 3} ∪ {2N α̌; α̌ ∈ Σ̌, α̌ de type 2} ⊂ X∗θ ,
∗
Σres = {N α; α ∈ Σ, α de type 1 ou 3} ∪ {2N α; α ∈ Σ, α de type 2} ⊂ X ∗,θ ,
Σ̌res = p∗ (Σ̌) ⊂ Y∗ .
∗
∗
D’après [KS] 1.3, Σres est l’ensemble des racines de Gθ ,0 relatif à T θ ,0 et Σ̌res est l’ensemble de coracines associé. De même Σ̌res est l’ensemble des racines de Ĝθ̂,0 relatif à
T̂ θ̂,0 et Σres est l’ensemble de coracines associé.
Remarquons que H et H] s’obtiennent par composition de deux opérations analogues, mais qui ne sont pas prises dans le même ordre. En effet, pour définir H , on
commence par prendre le commutant de sθ̂ dans Ĝ, ce qui nous fournit Ĥ, puis on prend
le commutant de dans H. Pour définir H] , on commence par prendre le commutant de
ˆ , ce qui nous
η dans G, ce qui nous fournit Ḡ, puis on prend le commutant de s] dans Ḡ
fournit Ĥ] . En appliquant la recette de [KS] 1.3, on peut décrire les ensembles de racines
et coracines de H relatifs à T [∗ et ceux de H] relatifs à T] . On note ces ensembles ΣH ,
Σ̌H , Σ] et Σ̌] . Alors :
ΣH = {N α; α ∈ Σ, α de type 1, N α̌(s) = 1, N α(ν) = 1}∪
{2N α; α ∈ Σ, α de type 2, N α̌(s) = 1, N α(ν) = ±1}∪
{N α; α ∈ Σ, α de type 3, N α̌(s) = −1, N α(ν) = 1};

si α̌ est de type 1,
 (1, 1),
(1, ±1), si α̌ est de type 2, };
Σ̌H = {p∗ (α̌); α̌ ∈ Σ̌, (N α̌(s), N α(ν)) =

(−1, 1), si α̌ est de type 3

si α est de type 1,
 (1, 1),
∗
(±1, 1), si α est de type 2, };
Σ] = {p (α); α ∈ Σ, (N α̌(s), N α(ν)) =

(1, −1), si α est de type 3
Σ̌] = {N α̌; α̌ ∈ Σ̌, α̌ de type 1, N α̌(s) = 1, N α(ν) = 1}∪
{2N α̌; α̌ ∈ Σ̌, α̌ de type 2, N α̌(s) = ±1, N α(ν) = 1}∪
{N α̌; α̌ ∈ Σ̌, α̌ de type 3, N α̌(s) = 1, N α(ν) = −1}.
∗
∗
θ
De l’application naturelle de X∗θ dans Y∗ se déduit un isomorphisme de X∗,Q
sur Y∗,Q .
∗,θ∗
∗
∗
On note j∗ son inverse. On note j : YQ → XQ l’isomorphisme transposé de j∗ . On
voit alors que les ensembles de racines ci-dessus vérifient une partie des hypothèses de
3.5, c’est-à-dire qu’il existe des bijections jΣ̌ : Σ̌H → Σ̌] et jΣ : Σ] → ΣH et des
fonctions b̌ : Σ̌H → Q>0 et b : Σ] → Q>0 vérifiant les conditions de ce paragraphe. Pour
p∗ (α) ∈ Σ] , avec α de type 1, on a simplement jΣ (p∗ (α)) = N α et b(p∗ (α)) = nα . Pour
les racines de type 2 ou 3, la définition est plus subtile, cf. [W1] 3.3. Comme on l’a dit
23
en 3.5, cela a pour conséquence que le groupe de Weyl ΩH s’identifie au groupe de Weyl
Ω] de H] . Ce groupe est donc contenu dans ΩH ∩ ΩḠ . Soit σ ∈ Γ. Montrons que :
(4) σT [∗ conserve Σ] .
Notons ΣḠ ⊂ Σres l’ensemble des racines de Ḡ. Remarquons que Σ] est égal au
sous-ensemble des éléments de ΣḠ qui sont proportionnels à un élément de (j ∗ )−1 (ΣH ).
L’action σT [∗ conserve ΣH par définition, donc aussi le sous-ensemble des éléments de YQ∗
qui sont proportionnels à un élément de (j ∗ )−1 (ΣH ). Il suffit de prouver qu’elle conserve
aussi ΣḠ . Mais cet ensemble est conservé par σT̄ par définition de cette dernière action,
et est aussi conservé par ΩḠ . Alors l’égalité (3) entraı̂ne la propriété requise.
Le sous-groupe de Borel B détermine des sous-ensembles positifs dans Σ, Σres etc...,
en particulier dans ΣH et Σ] . Par construction, ces derniers sont aussi les sous-ensembles
positifs déterminés par B [∗ , resp. B] . L’action σT [∗ conserve le sous-ensemble positif de
ΣH , donc aussi celui de Σ] . Cela permet de munir H] de l’unique action galoisienne qui
conserve la paire de Borel épinglée que l’on a fixée et dont l’action induite sur T] est
σ 7→ σT [∗ . Ainsi, H] devient un groupe réductif défini et quasi-déployé sur F .
ˆ . On note s̄ l’image de s dans T̄ˆ et
Notons T̄ˆad l’image de T̄ˆ ' T̂/θ̂ dans Ḡ
AD
]
ad
ˆ
ˆ
ˆ
0
H̄ = Ḡ
=Z
(s̄) . On introduit le groupe réductif connexe H̄ sur F̄ dont H̄ est le
AD,s̄
ˆ
Ḡ
AD
groupe dual. Il y a une suite d’homomorphismes :
ˆ → Ĥ
ˆ
Ĥ] → H̄
],AD = H̄AD ,
et dualement une suite d’homomorphismes :
H̄SC = H],SC → H̄ → H] .
A cause de l’égalité (3), l’action σ 7→ σT [∗ conserve ZḠˆ . Il en résulte que l’action galoiˆ et, dualement, l’action galoisienne sur H
sienne sur Ĥ] se descend en une action sur H̄
]
se relève en une action sur H̄. Ainsi, H̄ est un groupe réductif connexe défini et quasidéployé sur F . On note (BH̄ , TH̄ ) la paire de Borel de H̄ image réciproque de celle de H]
que l’on a fixée. Soit σ ∈ Γ. Montrons que l’on a l’égalité dans T̄ˆad :
(5) σT [∗ (s̄) = s̄.
L’action galoisienne étant continue, on peut supposer que σ appartient au sous-groupe
W de Γ. Il y a une surjection de T̂ sur T̄ˆad et s̄ est l’image de s par cette surjection.
∗
Relevons l’élément ω(σ) ∈ Ωθ en un élément n ∈ N ormĜθ̂,0 (T̂ θ̂,0 ). On a l’égalité ω(σ) ◦
ˆ
σ(s) = intn ◦ σ(s), d’où ω(σ) ◦ σ(s)θ̂ = intn ◦ σ(sθ̂). Posons ξ(σ)
= (x, σ), où x ∈ Ĝ.
Alors x normalise T̂ et, d’après les définitions de 2.9, son image dans Ω est égale à ω(σ).
Il existe donc t ∈ T̂ tel que n = tx. Alors intn ◦ σ(sθ̂) = tθ̂(t)−1 intx ◦ σ(sθ̂). Ce dernier
élément est égal à tθ̂(t)−1 a(σ)−1 sθ̂ d’après 2.9(6). D’où la relation :
ω(σ) ◦ σ(s) ∈ sZĜ (1 − θ̂)(T̂ ).
L’élément s est fixé par tout élément de ΩH . On en déduit la relation :
ωD,H (σ)ω(σ) ◦ σ(s) ∈ sZĜ (1 − θ̂)(T̂ ).
On vérifie que ZĜ (1 − θ̂)(T̂ ) s’envoie sur l’élément neutre de T̄ˆad . On obtient :
ωD,H (σ)ω(σ) ◦ σ(s̄) = s̄.
24
Enfin, l’élément s̄ est fixe par Ω] par définition de Ĥ] , donc par ωH (σ). Alors l’égalité
(2) entraı̂ne (5).
Pour tout σ ∈ W , fixons un élément y(σ) ∈ N ormḠˆ AD (T̄ˆad ) dont l’image dans ΩḠ
ˆ et les éléments
soit ωH (σ)ωḠ (σ)−1 . Notons H̄ le sous-groupe de L ḠAD engendré par H̄
(y(σ), σ) pour σ ∈ W . Notons ξˆ¯ l’injection naturelle de H̄ dans L ḠAD . Les égalités (3)
¯ˆ est une donnée endoscopique de Ḡ
et (5) entraı̂nent facilement que (H̄, H̄, s̄, ξ)
(il
SC
s’agit d’endoscopie ordinaire ; si l’on veut utiliser les définitions de 2.9, ḠSC est muni de
l’automorphisme et du caractère triviaux).
Dans le cas où le diagramme de départ est fortement non ramifié, il est clair que
toutes les applications galoisiennes que l’on a introduites se factorisent en des actions de
ˆ¯ est une donnée endoscopique non ramifiée de Ḡ .
Γnr et on voit que (H̄, H̄, s̄, ξ)
SC
4.7
Une donnée endoscopique non standard
On conserve les hypothèses du paragraphe précédent. On a introduit dans ce paragraphe des isomorphismes j∗ et j ∗ , que l’on peut considérer comme des applications :
j∗ : X∗ (T [∗ )Q → X∗ (T] )Q , j ∗ : X ∗ (T] )Q → X ∗ (T [∗ )Q .
Elles sont équivariantes pour les actions de Γ : on a défini l’action sur T] pour qu’il en
soit ainsi. Introduisons les revêtements simplement connexes H,SC et H̄SC des groupes
dérivés de H et H̄. On peut décomposer :
(1)
0
X∗ (T [∗ )Q = X∗ (Tsc[∗ )Q ⊕ X∗ (ZH
) ,
Q
0
X∗ (T] )Q = X∗ (TH̄,sc )Q ⊕ X∗ (ZH̄
)Q ⊕ X∗ (ZḠ0 )Q .
(2)
Les correspondances que l’on a établie entre les ensembles de racines et coracines de H
et H] entraı̂nent que j∗ envoie le premier facteur de (1) sur le premier facteur de (2) et
le second facteur de (1) sur la somme des deux derniers de (2). Alors (H,SC , H̄SC , j∗ )
a toutes les propriétés requises pour être un triplet endoscopique non standard. Si le
diagramme D est fortement non ramifié, ce triplet est non ramifié.
De j∗ se déduit un isomorphisme :
(3)
[∗
t[∗
sc ⊕ zH = t → t] = tH̄,sc ⊕ zH̄ ⊕ zḠ ,
qui possède des propriétés similaires à celles de j∗ .
4.8
Un triangle de correspondances
On conserve les hypothèses de 4.6. Soit γ un élément compact de Hz,G̃−reg (F ) tel
que γp0 = . Ecrivons γ = exp(Y ), avec Y ∈ h (F )tn . Décomposons Y en Ysc + YZ , où
Ysc ∈ h,SC (F )tn et YZ ∈ zH (F )tn . Notons ȲZ + XZ l’image de YZ par l’isomorphisme
4.7(3), avec ȲZ ∈ zH̄ (F )tn et XZ ∈ zḠ (F )tn . L’élément Ysc est régulier dans h,SC (F ).
Par la correspondance endoscopique non standard, sa classe de conjugaison correspond à
celle d’un élément de h̄SC (F )tn . Fixons un tel élément Ȳsc . Posons Ȳ = Ȳsc + ȲZ . C’est un
élément régulier de h̄(F ). Puisque ḠSC est quasi-déployé, tout tel élément se transfère,
par la correspondance endoscopique entre H̄ et ḠSC , en un élément de ḡSC (F ). Fixons
un tel élément Xsc . Il appartient à ḡsc (F )tn . Posons X = Xsc + XZ et δ = exp(X)η. Alors
δ est un élément semi-simple et compact de G̃(F ) et :
25
(1) la classe de conjugaison de δ correspond à celle de γ.
∗
Dans le paragraphe 4.6, on a identifié T [∗ à T/θ∗ et T] et T̄ à T θ ,0 . Les deux membres
de l’égalité (3) de 4.7 s’identifient à t̄, l’identification n’étant pas cette fois équivariante
pour les actions de Γ. Soit Ysc∗ ∈ t[∗
sc un élément conjugué à Ysc par un élément de H,SC . Il
s’identifie par l’égalité (3) de 4.7 à un élément Ȳsc∗ ∈ tH̄,sc . L’élément Ȳsc∗ + ȲZ s’identifie à
∗
un élément Xsc
∈ t̄sc . Dire que les classes de conjugaison de Ysc et de Ȳsc se correspondent
signifie que Ȳsc est conjugué à Ȳsc∗ par un élément de H̄SC . Donc Ȳ est conjugué à Ȳsc∗ + ȲZ
par un élément de H̄. Dire que les classes de conjugaison de Ȳ et de Xsc se correspondent
∗
par un élément de ḠSC . Donc X est conjugué
signifie donc que Xsc est conjugué à Xsc
∗
à Xsc + XZ par un élément de Ḡ. L’élément γ est conjugué à exp(Ysc∗ + YZ ) par un
élément de H ⊂ H. L’élément δ est conjugué à exp(Xsc + XZ )η par un élément de
Ḡ ⊂ G. D’après les définitions de ces éléments et de nos identifications, on a l’égalité :
∗
int−1
hh0 ◦ ξ ◦ intgg0 (exp(Xsc + XZ )η) = exp(Ysc + YZ ).
Cela démontre (4).
ˆ¯ est une donnée endoscopique de Ḡ , on peut introduire un
Puisque (H̄, H̄, s̄, ξ)
SC
¯ défini sur un sous-ensemble adéquat de h̄(F )×ḡSC (F ) (cf. 3.4 ; dans
facteur de transfert ∆
ce paragraphe, on n’a considéré que des données non ramifiées, mais la définition vaut
en général). Dans le cas où D est fortement non ramifié, on le normalise en choisissant
pour sous-groupe hyperspécial de ḠSC (F ) l’image réciproque K̄sc dans ce groupe du
sous-groupe K̄ = K ∩ Ḡ(F ), qui est un sous-groupe hyperspécial de Ḡ(F ) d’après le
lemme 4.1(i).
Théorème. Il existe c ∈ C× tel que, pour tout γ comme ci-dessus, on ait l’égalité
¯ Ȳ , Xsc ). Dans le cas où D est fortement non ramifié, cet élément c est égal
∆(γ, δ) = c∆(
à 1.
C’est le résultat principal de [W1]. Cf. cette référence, pages 76 à 230, pour la
démonstration.
4.9
Normalisation des mesures
Pour tout groupe réductif connexe M défini sur F , il y a une bijection naturelle entre
mesures de Haar sur M (F ) et sur m(F ) : on demande que les mesures se correspondent
par l’exponentielle au voisinage des éléments neutres. Fixons des mesures de Haar sur
0
M (F ) et ZM
(F ). Elles déterminent des mesures de Haar sur m(F ) et zM (F ). En vertu de
l’égalité m(F ) = mSC (F ) ⊕ zM (F ), on récupère une mesure de Haar sur mSC (F ), puis sur
MSC (F ). Si T est un sous-tore maximal de M défini sur F et si l’on munit T (F ) d’une
mesure de Haar, on en déduit par le même procédé une mesure de Haar sur Tsc (F ).
Soient γ ∈ Hz,G̃−reg (F ) et δ ∈ G̃reg (F ) deux éléments dont les classes de conjugaison
se correspondent. Notons T [ = Hγ et T \ = Gδ . Comme dans la preuve du lemme 4.5, on
peut choisir h ∈ H et g ∈ G de sorte que inth−1 ◦ ξ ◦ intg définisse un homomorphisme
défini sur F de T \ sur T [ . C’est une isogénie, dont on déduit un isomorphisme de t\ (F )
sur t[ (F ). On a fixé en 3.2 une mesure de Haar sur T [ (F ). Elle se descend en une mesure
sur t[ (F ), que l’on transporte en une mesure sur t\ (F ) et on relève celle-ci en une mesure
sur T \ (F ). Cette dernière ne dépend pas des choix de h et g.
Remarque. Indiquons une façon possible de normaliser les mesures sur les tores. Soit
T un tore défini sur F . Même si T n’est pas déployé sur F nr , il possède une structure
26
naturelle de schéma en groupes lisse sur o. La fibre spéciale T n’est pas connexe. Notons
T (o)0 le sous-groupe des t ∈ T (o) dont la réduction appartient à T0 (Fq ). C’est un sousgroupe ouvert compact de T (F ). On normalise la mesure sur T (F ) en imposant que
T (o)0 ait pour mesure 1. On vérifie que cette normalisation est compatible aux procédés
de transfert de mesures décrits ci-dessus.
Soient D et comme en 4.6. On fixe des mesures de Haar sur H (F ), H̄(F ), Ḡ(F ),
et ZḠ (F ). Chaque fois que l’un de ces groupes est non ramifié (ce qui est toujours
le cas pour Ḡ et ZḠ ), on choisit la mesure canonique pour laquelle un sous-groupe
hyperspécial est de mesure 1. Les différents isomorphismes établis dans les paragraphes
précédents et les recettes ci-dessus munissent d’une mesure de Haar tous les groupes
qui interviendront dans la suite. Il y a parfois plusieurs façons de les définir, mais qui
donnent le même résultat. De plus, ces mesures sont les mesures canoniques quand les
groupes sont non ramifiés.
0
ZH̄
(F )
4.10
Descente d’intégrales orbitales endoscopiques
Notre but est d’établir l’égalité énoncée en 3.3. Si γ ∈ Hz,G̃−reg (F ) n’est pas compact,
sa classe de conjugaison ne coupe pas Kz et SOγHz (1Kz ) = 0. En utilisant le lemme
4.4, on voit de même que OγG̃,Hz ,ω (1K̃ ) = 0. On peut donc se limiter aux éléments de
Hz,G̃−reg (F ) ∩ Hz (F )c .
Soit γ un tel élément, que l’on écrit γ = exp(Y ). L’égalité à démontrer ne dépend que
de la classe de conjugaison stable de γ. En utilisant le lemme 4.3(ii), on peut supposer
H quasi-déployé sur F . Dans le cas où H est non ramifié, on peut supposer ∈ Kz
d’après le lemme 4.3(iv).
Supposons qu’il n’existe pas de diagramme modérément ramifié de source . D’après
le lemme 4.5(i), il n’existe aucun élément de K̃ ∩ G̃reg (F ) dont la classe de conjugaison
corresponde à celle de γ. Alors OγG̃,Hz ,ω (1K̃ ) = 0. Supposons qu’il existe un élément
γ 0 ∈ Kz stablement conjugué à γ. Posons 0 = γp0 0 . Alors 0 ∈ Kz (car 0 appartient à
l’adhérence du groupe engendré par γ 0 ) et est stablement conjugué à . Alors H est non
ramifié d’après le lemme 4.3(iv), donc ∈ Kz d’après l’hypothèse que l’on a faite cidessus. Le lemme 4.5(ii) contredit notre hypothèse sur l’inexistence d’un diagramme de
source . Il n’existe donc aucun élément γ 0 comme ci-dessus, ce qui entraı̂ne SOγHz (1Kz ) =
0. L’égalité de 3.3 est vérifiée.
On est ramené au cas où il existe un diagramme modérément ramifié de source . On
fixe un tel diagramme D. Si H est non ramifié, on le suppose fortement non ramifié. On
effectue les constructions des paragraphes 4.6 à 4.8.
Lemme. Sous ces hypothèses, les propriétés suivantes sont vérifiées.
(i) Si H n’est pas non ramifié, OγG̃,Hz ,ω (1K̃ ) = 0.
(ii) Si H est non ramifié, on a l’égalité :
OγG̃,Hz ,ω (1K̃ ) = OȲḠSC ,H̄ (1k̄sc ).
Preuve. Posons δ = exp(X)η. D’après 4.8(1), la classe de conjugaison de δ correspond
à celle de γ. L’intégrale orbitale endoscopique que l’on doit calculer est une somme
sur les classes de conjugaison de δ par G(F ) contenues dans sa classe de conjugaison
stable. Evidemment, les classes de conjugaison qui ne coupent pas K̃ ne contribuent
27
pas. En utilisant le lemme 4.2, on peut remplacer la sommation par une somme sur les
éléments de Xδ , à condition de diviser le tout par |Zη |[ZG (δ)(F ) : Gδ (F )]−1 . Remarquons
que ce dernier indice va compenser le facteur de normalisation que l’on a introduit
dans la définition des intégrales orbitales, cf. 3.1. Pour z ∈ Zη et X 0 ∈ EX , posons
δ(z, X 0 ) = intz (exp(X 0 )η). On obtient :
X
I(z),
(1)
OγG̃,Hz ,ω (1K̃ ) = |Zη |−1
z∈Zη
où :
I(z) =
X
0
Z
1K̃ (g −1 δ(z, X 0 )g)ω(g) dg.
∆(γ, δ(z, X ))
Gδ(z,X 0 ) (F )\G(F )
X 0 ∈EX
Soit z ∈ Z. Rappelons que zad ∈ GAD (F ), que les automorphismes intz de G, resp. G̃,
sont définis sur F et que le second préserve K̃. La définition des facteurs de transfert
montre que la fonction sur D :
(γ 0 , δ 0 ) 7→ ∆(γ 0 , intz (δ 0 ))
est encore un facteur de transfert, donc est proportionnel à ∆. Puisque intz préserve K̃,
ce nouveau facteur vérifie la même condition de normalisation que ∆ donc lui est égal.
En particulier ∆(γ, δ(z, X 0 )) = ∆(γ, exp(X 0 )η). Le groupe GAD (F ) agit trivialement sur
Hom(G(F ), C× ). Donc ω◦intz = ω. En changeant g en intz (g) dans l’intégrale ci-dessus,
on voit que I(z) ne dépend pas de z. Le nombre de ces intégrales compense le facteur
|Zη |−1 figurant dans (1) et on obtient simplement :
Z
X
G̃,Hz ,ω
0
1K̃ (g −1 exp(X 0 )ηg)ω(g) dg.
∆(γ, exp(X )η)
Oγ
(1K̃ ) =
Gexp(X 0 )η (F )\G(F )
X 0 ∈EX
Soit X 0 ∈ EX . On vérifie que, pour toute fonction f ∈ Cc∞ (Gexp(X 0 )η (F )\G(F )), à support
dans Gexp(X 0 )η (F )\Gη (F )K, on a l’égalité :
Z
Z
Z
f (gk) dk dg =
f (gk) dk dg.
f (g) dg =
Gexp(X 0 )η (F )\G(F )
ḠX 0 \Ḡ(F )×K
Gexp(X 0 )η (F )\Gη (F )×K
La fonction g 7→ 1K̃ (g −1 exp(X 0 )ηg)ω(g) vérifie la condition requise d’après le lemme
4.1(ii). Elle est invariante à droite par K (on a dit en 2.7 que ω était trivial sur K). De
plus, pour g ∈ Ḡ(F ), on a l’égalité :
1K̃ (g −1 exp(X 0 )ηg) = 1k̄ (g −1 X 0 g).
Cela conduit à l’égalité :
OγG̃,Hz ,ω (1K̃ )
=
X
0
Z
∆(γ, exp(X )η)
1k̄ (g −1 X 0 g)ω(g) dg.
ḠX 0 (F )\Ḡ(F )
X 0 ∈EX
0
0
L’ensemble de représentants EX est nécessairement de la forme EX = {Xsc
+ XZ ; Xsc
∈
EXsc }, où EXsc est un ensemble de représentants des classes de conjugaison par Ḡ(F ) dans
0
la classe de conjugaison stable de Xsc . Soit Xsc
un élément de cet ensemble. Fixons un
28
0
0 (F )\Ḡ(F )/ḠSC (F ). On vérifie
ensemble AXsc
de représentants des doubles classes ḠXsc
∞
que, pour toute fonction f ∈ Cc (ḠX 0 (F )\Ḡ(F )), on a l’égalité :
Z
X Z
f (g) dg =
f (ag) dg.
ḠX 0 (F )\Ḡ(F )
a∈AX 0
sc
ḠSC,a−1 X 0
sc a
(F )\ḠSC (F )
0
On applique cela à la fonction f définie par f (g) = 1k̄ (g −1 (Xsc
+ XZ )g)ω(g). Soient
0
a ∈ AXsc
et g ∈ ḠSC (F ). Tout caractère est trivial sur ḠSC (F ), donc ω(ag) = ω(a).
L’élément XZ appartient à zḠ (F )tn . Mais ZḠ0 est un tore non ramifié. Il possède un
unique sous-groupe hyperspécial, qui est son plus grand sous-groupe compact. Ce sousgroupe contient tous les éléments topologiquement unipotents. De même, tout élément
topologiquement nilpotent de zḠ (F ) appartient à l’unique réseau hyperspécial de cette
0
0
algèbre, et celui-ci est contenu dans k̄. Donc 1k̄ (g −1 a−1 (Xsc
+XZ )ag) = 1k̄sc (g −1 a−1 Xsc
ag).
On obtient :
X
0
+ XZ )η)
∆(γ, exp(Xsc
OγG̃,Hz ,ω (1K̃ ) =
0 ∈E
Xsc
Xsc
X
Z
0
1k̄sc (g −1 a−1 Xsc
ag) dg.
ω(a)
ḠSC,a−1 X 0
a∈AX 0
sc a
sc
(F )\ḠSC (F )
D’après [KS] théorème 5.1.D, on a l’égalité :
0
0
∆(γ, exp(Xsc
+ XZ )η)ω(a) = ∆(γ, exp(a−1 Xsc
a + XZ )η).
Dans le théorème 4.8, Xsc était un élément quelconque de ḡ(F ) dont la classe de conjugai0
a. Le facteur
son correspondait à celle de Ȳ . On peut aussi bien le remplacer par a−1 Xsc
−1
0
¯ Ȳ , a Xsc a). On obtient :
∆ ci-dessus est donc égal à c∆(
Z
X
X
0
G̃,Hz ,ω
−1
0
¯ Ȳ , a Xsc a)
1k̄sc (g −1 a−1 Xsc
ag) dg.
Oγ
(1K̃ ) = c
∆(
ḠSC,a−1 X 0
0 ∈E
Xsc
Xsc a∈AX 0
sc a
sc
(F )\ḠSC (F )
Mais l’ensemble :
0
0 }
{a−1 Xsc
a; X 0 ∈ EXsc , a ∈ AXsc
est un ensemble de représentants des classes de conjugaison par GSC (F ) dans la classe
de conjugaison stable de Xsc . Alors :
OγG̃,Hz ,ω (1K̃ ) = cOȲḠSC ,H̄ (1k̄sc ),
par définition de ce dernier terme.
Si H est non ramifié, le diagramme D est fortement non ramifié et c = 1 d’après
le théorème 4.8. Cela démontre le (ii) de l’énoncé. Supposons que H n’est pas non
ramifié. Alors le tore T [∗ n’est pas déployé sur F nr . En vertu de l’isomorphisme (3) de
4.8 et puisque ZḠ0 est, lui, déployé sur F nr , le tore TH̄ ne l’est pas. Donc la donnée
ˆ¯ de Ḡ n’est pas non ramifiée. Une adaptation aux algèbres
endoscopique (H̄, H̄, s̄, ξ)
SC
de Lie de la proposition 7.5 de [K2] montre que OȲḠSC ,H̄ (1k̄sc ) = 0. Cela démontre le (i)
de l’énoncé. 29
4.11
Preuve du théorème 3.6
L’élément γ est comme dans le paragraphe précédent. On a :
(1) si H n’est pas non ramifié, SOγHz (1Kz ) = 0 ;
H
(2) si H est non ramifié, SOγHz (1Kz ) = SOYsc,SC (1k,sc ),
où on a noté k,sc le réseau hyperspécial kH ∩h,SC (F ) de h,SC (F ). Ces assertions sont celles
du lemme précédent, appliqué au cas où G̃ = Hz . Jointes à ce lemme, elles conduisent
tout de suite à l’égalité :
(3)
SOγHz (1Kz ) = OγG̃,Hz ,ω (1K̃ )
dans le cas où H n’est pas non ramifié. Supposons H non ramifié. D’après 4.8(3),
H̄ est lui-aussi non ramifié. Introduisons un réseau hyperspécial kH̄ de h̄(F ) et posons
kH̄,sc = kH̄ ∩ h̄SC (F ).Le lemme fondamental pour les algèbres de Lie entraı̂ne l’égalité :
OȲḠSC ,H̄ (1k̄sc ) = SOȲH̄ (1k̄H̄ ).
Un calcul analogue à celui fait dans la preuve du lemme 4.10 montre que :
SOȲH̄ (1k̄H̄ ) = SOȲH̄scSC (1k̄H̄,sc ).
Le lemme fondamental non standard entraı̂ne l’égalité :
H
SOȲH̄scSC (1k̄H̄,sc ) = SOYsc,SC (1k ).
En utilisant ces égalités, celle du (ii) du lemme 4.10 et l’égalité (2) ci-dessus, on obtient
de nouveau l’égalité (3), ce qui achève la démonstration.
5
5.1
L’exemple du changement de base pour un groupe
unitaire non ramifié
La situation
Soit E l’extension quadratique non ramifiée de F et n un entier strictement positif.
On note τ l’élément non trivial du groupe de Galois de E/F . On note Un le groupe
unitaire quasi-déployé relatif à cette extension. Pour distinguer les différentes actions
galoisiennes, on les affecte de l’indice du groupe sur lequel porte l’action. On note de
la même façon les actions sur les groupes duaux. Ainsi, on note σ 7→ σUn l’action de Γ
sur Un ou sur le groupe dual Ûn . On fait une exception pour le groupe GLn : on note
simplement σ 7→ σ l’action naturelle sur GLn . Dans l’exemple 3 de 2.8, on a introduit
un automorphisme de GLn , alors noté θ, et que nous noterons maintenant θn . Alors le
groupe Un peut se décrire ainsi : Un (F̄ ) = GLn (F̄ ) et, pour σ ∈ Γ et g ∈ GLn (F̄ ), on
a σUn (g) = θn ◦ σ(g). Du groupe Un se déduit un groupe sur E puis, par restriction des
scalaires, un groupe G sur F . La façon la plus naturelle de le décrire est la suivante :
- G(F̄ ) = Un (F̄ ) × Un (F̄ ) ;
- pour σ ∈ Γ et (g 0 , g 00 ) ∈ G(F̄ ), on a σG (g 0 , g 00 ) = (σUn (g 0 ), σUn (g 00 )) si σ ∈ ΓE et
σG (g 0 , g 00 ) = (σUn (g 00 ), σUn (g 0 )) si σ 6∈ ΓE .
Le groupe G est muni d’un automorphisme θ défini par θ(g 0 , g 00 ) = (g 00 , g 0 ). Il est plus
commode et plus habituel de transformer cette description en la suivante, qui est celle
que nous utiliserons (on passe de l’une à l’autre en remplaçant g 00 par θn (g 00 )) :
30
- G(F̄ ) = GLn (F̄ ) × GLn (F̄ ) ;
- pour σ ∈ Γ et (g 0 , g 00 ) ∈ G(F̄ ), on a σG (g 0 , g 00 ) = (σ(g 0 ), σ(g 00 )) si σ ∈ ΓE et
σG (g 0 , g 00 ) = (σ(g 00 ), σ(g 0 )) si σ 6∈ ΓE .
Alors G est muni d’un automorphisme θ défini par θ(g 0 , g 00 ) = (θn (g 00 ), θn (g 0 )). L’application :
GLn (E) → G(F )
g
7→ (g, τ (g))
est un isomorphisme qui identifie les automorphismes τ de GLn (E) et θ de G(F ). On pose
ω = 1. On prend pour sous-groupe hyperspécial K de G(F ) l’image par l’isomorphisme
ci-dessus du sous-groupe GLn (oE ) de GLn (E). On prend pour paire de Borel épinglée le
produit des deux paires dans GLn décrites dans l’exemple 3 de 2.8. Alors θ∗ = θ.
On a Ûn = GLn (C). Notons θ̂n l’automorphisme de GLn (C) défini par la même
formule que θn . Pour σ ∈ Γ et x ∈ GLn (C), on a σUn (x) = x si σ ∈ ΓE et σUn (x) = θ̂n (x) si
σ 6∈ ΓE . On a Ĝ = GLn (C)×GLn (C). Pour σ ∈ Γ et (x0 , x00 ) ∈ Ĝ, on a σ(x0 , x00 ) = (x0 , x00 )
si σ ∈ ΓE et σ(x0 , x00 ) = (x00 , x0 ) si σ 6∈ ΓE . On a θ̂(x0 , x00 ) = (θ̂n (x00 ), θ̂n (x0 )).
Les données endoscopiques les plus intéressantes sont les elliptiques. Rappelons qu’avec
ˆ est dite elliptique si ξ(Z
ˆ Γ,0 ) ⊂
les notations de 2.9, une donnée endoscopique (H, H, s, ξ)
Ĥ
ZĜ . A équivalence près, les données endoscopiques elliptiques de (G, θ, ω) sont les suivantes. Soient n+ , n− ∈ N tels que n+ + n− = n. On pose H = Un+ × Un− , H = L H,
s = (s0 , 1) ∈ GLn (C) × GLn (C), où :


1


.




.




1
0
,
s =


−1




.




.
−1
avec n+ termes 1 et n− termes −1. Pour (x+ , x− ) ∈ GLn+ (C) × GLn− (C) = Ĥ, on pose :
ˆ + , x− ) =
ξ(x
x+ 0
0 x−
θ̂n− (x− )
0
,
.
0
θ̂n+ (x+ )
ˆ
Pour w ∈ I, ξ(w)
= w. Pour un élément φ ∈ W ayant pour image dans W nr l’élément
ˆ
de Frobenius, ξ(φ)
= (w, θ̂n (w)s0 , φ) ∈ L G, où w est la matrice de permutation qui
échange les décompositions n = n− + n+ et n = n+ + n− . Autrement dit, la matrice
w = (wi,j )i,j=1,...n est définie par wi,j = 1 si i = 1, ..., n+ et j = i+n− ou si i = n+ +1, ..., n
et j = i − n+ , et wi,j = 0 sinon.
5.2
Description des éléments semi-simples de G(F )
Fixons un espace vectoriel V sur E de dimension n, muni d’une base (ei )i=1,...,n . Alors
GLn (E) s’identifie de la façon usuelle avec le groupe des automorphismes E-linéaires
de V . Notons G̃(F ) l’ensemble des formes sesquilinéaires non dégénérées sur V (pour
préciser le sens du mot sesquilinéaire, indiquons que Q(e0 v 0 , e00 v 00 ) = τ (e0 )e00 Q(v 0 , v 00 )
31
pour Q ∈ G̃(F ), e0 , e00 ∈ E et v 0 , v 00 ∈ V ). Le groupe G(F ) = GLn (E) agit à gauche et à
droite sur G̃(F ) par :
g1 Qg2 (v 0 , v 00 ) = Q(g1−1 (v 0 ), g2 (v 00 ))
pour g1 , g2 ∈ GLn (E), Q ∈ G̃(F ) et v 0 , v 00 ∈ V . Notons Qθ l’élément de G̃(F ) défini par :
Qθ (ei , ej ) = (−1)j δi,n+1−j
où δi,j est le symbole de Kronecker. Alors G̃(F ) s’identifie avec l’ensemble tordu introduit
en 2.7, c’est-à-dire avec G(F )θ, par l’application :
G(F )θ = GLn (E)θ → G̃(F )
gθ
7→ Qgθ ,
où Qgθ (v 0 , v 00 ) = gQθ (v 0 , v 00 ) = Qθ (g −1 (v 0 ), v 00 ).
Il y a deux procédés élémentaires pour construire des formes sesquilinéaires sur un
espace vectoriel sur E. Dans le premier, on considère une extension finie Kλ de E, un
élément λ ∈ Kλ qui engendre Kλ sur E et un automorphisme τλ de K qui conserve E et
dont la restriction à E soit égale à τ . On suppose que λτλ (λ) = 1. On considère un espace
vectoriel Vλ sur Kλ , de dimension finie et une forme sesquilinéaire qλ non dégénérée sur Vλ .
Sesquilinéaire signifie que qλ (k 0 v 0 , k 00 v 00 ) = τλ (k 0 )k 00 qλ (v 0 , v 00 ) pour k 0 , k 00 ∈ Kλ et v 0 , v 00 ∈
Vλ . On suppose que qλ vérifie la condition de symétrie qλ (v 00 , v 0 ) = λτλ (qλ (v 0 , v 00 )). On peut
considérer Vλ comme un espace vectoriel sur E, dont on note Nλ la dimension. On munit
Vλ de la forme Qλ sesquilinéaire sur E définie par Qλ (v 0 , v 00 ) = traceKλ /E (qλ (v 0 , v 00 )).
Dans le second procédé, on considère une extension finie Kλ de E et un élément λ ∈ Kλ
qui engendre Kλ sur E. On suppose qu’il n’existe pas d’automorphisme τλ de Kλ se
restreignant à E en l’automorphisme τ et tel que λτλ (λ) = 1. On considère un espace
vectoriel Wλ sur Kλ de dimension finie, et son dual Wλ∗ . On pose Vλ = Wλ ⊕ Wλ∗ , que
l’on munit de la structure d’espace vectoriel sur E telle que e(w ⊕ w∗ ) = ew ⊕ τ (e)w∗
pour e ∈ E, w ∈ Wλ et w∗ ∈ Wλ∗ . On note Nλ la dimension de Vλ sur E. On munit Vλ
de la forme Qλ sesquilinéaire sur E définie par :
Qλ (w1 ⊕ w1∗ , w2 ⊕ w2∗ ) = traceKλ /E (w1∗ (w2 )) + τ ◦ traceKλ /E (λ−1 w2∗ (w1 )).
Considérons deux couples (λ, Kλ ) et (λ0 , Kλ0 ) de l’une ou l’autre des deux situations
ci-dessus. On dit que ces couples sont équivalents si l’une des deux conditions suivantes
est vérifiée :
- il existe un isomorphisme de Kλ sur Kλ0 se restreignant en l’identité de E et envoyant
λ sur λ0 ;
- il existe un isomorphisme de Kλ sur Kλ0 se restreignant en l’automorphisme τ de
E et envoyant λ sur λ0 −1 .
Il est commode de fixer une fois pour toutes un plongement de E dans F̄ et des
plongements des corps Kλ dans F̄ qui prolongent celui de E. On peut ainsi considérer
les λ comme des éléments de F̄ × .
Considérons maintenant les données suivantes :
- un ensemble fini Λ, union disjointe de deux sous-ensembles Λe et Λd ;
- pour λ ∈ Λe , des objets λ, Kλ , τλ , Vλ , qλ comme dans le premier procédé ci-dessus ;
comme on le voit, on note de la même façon l’objet principal λ et l’élément de l’ensemble
de paramètres, on pense que cela n’induit pas de confusion ;
- pour λ ∈ Λd , des objets λ, Kλ , Wλ comme dans le deuxième procédé.
32
0
0
On suppose que, pour deux éléments
P distincts λ, λ ∈ Λ, les couples (λ, Kλ ) et (λ , Kλ0 )
ne sont pas équivalents. On suppose λ∈Λ Nλ = n. On peut alors fixer un isomorphisme
E-linéaire de ⊕λ∈Λ Vλ sur V . La forme sesquilinéaire ⊕λ∈Λ Qλ s’identifie à une forme sesquilinéaire sur E, c’est-à-dire à un élément de G̃(F ), que l’on note QΛ . Un peu d’algèbre
linéaire élémentaire montre que cet élément est semi-simple. Inversement, pour tout
élément semi-simple de G̃(F ), on peut construire des données comme ci-dessus de sorte
que l’élément en question soit conjugué à QΛ par un élément de G(F ). Ces données sont
essentiellement uniques : les seules modifications que l’on peut faire sont de remplacer les
objets par des objets isomorphes ou, de façon plus subtile, remplacer un couple (λ, Kλ )
par un couple équivalent au sens défini ci-dessus. On peut décrire de même les intersections avec G̃(F ) des classes de conjugaison par G(F̄ ). Il suffit d’oublier les formes
sesquilinéaires qλ : deux éléments semi-simples paramétrés par des données Λ et Λ0 sont
conjugués par un élément de G(F̄ ) si et seulement s’il existe une bijection λ 7→ λ0 de Λ
sur Λ0 de sorte que, pour tout λ ∈ Λ, les couples (λ, Kλ ) et (λ0 , Kλ0 ) soient équivalents
et Nλ = Nλ0 .
Considérons des données comme ci-dessus et l’élément semi-simple δ = QΛ ∈ G̃(F )
qui leur est associé. Le commutant ZG (δ) est connexe. Son groupe de points sur F est
le produit des groupes linéaires GLKλ (Wλ ) pour λ ∈ Λd et des groupes U (qλ ) pour
λ ∈ Λe , où U (qλ ) est le groupe des automorphismes Kλ -linéaires de Vλ qui conservent la
forme qλ . Pour λ ∈ Λe , notons Kλ0 le sous-corps des points fixes par τλ dans Kλ . C’est
une extension de F disjointe de E et Kλ est le composé des deux extensions E et Kλ0
de F . Grâce au théorème Hilbert 90, on peut fixer αλ ∈ Kλ tel que λ = αλ τλ (αλ )−1 .
Alors la forme αλ−1 qλ est une forme hermitienne sur Vλ relative à l’extension Kλ /Kλ0 . Le
groupe U (qλ ) est un groupe unitaire : il est égal au groupe U (αλ−1 qλ ). Puisque ZG (δ)
est connexe, on a Gδ = Iδ = ZG (δ). L’élément δ est compact, resp. d’ordre fini premier
à p, si et seulement si, pour tout λ ∈ Λ, λ appartient à o×
, resp. λ est d’ordre fini
F̄
premier à p. L’élément δ est conjugué à un élément de K̃ par un élément de G(F ) si
et seulement s’il est compact et, de plus, pour tout λ ∈ Λe , l’espace Vλ possède un
sous-oE -réseau autodual pour la forme Qλ (ce n’est pas la même chose que de demander
que Vλ possède un sous-oKλ -réseau autodual pour la forme qλ ). L’élément δ appartient
à G̃reg (F ) si et seulement si dimKλ (Vλ ) = 1 pour tout λ ∈ Λe et dimKλ (Wλ ) = 1 pour
tout λ ∈ Λd . Supposons δ ∈ G̃reg (F ). Soit λ ∈ Λe . On peut supposer Vλ = Kλ . Toute
forme sesquilinéaire sur Kλ vérifiant la condition de symétrie requise est de la forme
q(v 0 , v 00 ) = ατλ (v 0 )v 00 , où α est un élément de Kλ tel que ατλ (α)−1 = λ. Ces éléments α
×
forment un espace principal homogène sous l’action par multiplication de Kλ0 . La classe
d’isomorphie de q est déterminée par l’orbite αN ormKλ /Kλ0 (Kλ× ). Il y a donc deux classes
d’isomorphie. En particulier, à qλ est associé un élément de Kλ que l’on note αλ et la
classe de qλ est déterminée par la classe αλ N ormKλ /Kλ0 (Kλ× ).
5.3
Description des éléments semi-simples d’un groupe unitaire
Considérons un espace vectoriel Vι sur E de dimension finie nι , muni d’une forme
hermitienne Qι non dégénérée. On suppose qu’il existe un sous-oE -réseau de Vι qui est
autodual pour la forme Qι . On fixe un tel sous-réseau Lι . Notons Uι le groupe unitaire
de (Vι , Qι ). Il est quasi-déployé. Le sous-groupe Kι des éléments de Uι (F ) qui conservent
Lι est un sous-groupe hyperspécial.
Il y a deux procédés pour construire des éléments semi-simples d’un groupe unitaire.
Dans le premier, on considère une extension finie Kλ de E, un élément λ ∈ Kλ qui
33
engendre Kλ sur E et un automorphisme τλ de K qui conserve E et dont la restriction à
E soit égale à τ . On suppose que λτλ (λ) = 1. On considère un espace vectoriel Vλ sur Kλ ,
de dimension finie et une forme hermitienne qλ non dégénérée sur Vλ . On peut considérer
Vλ comme un espace vectoriel sur E, dont on note Nι,λ la dimension. On munit Vλ de
la forme Qλ hermitienne sur E définie par Qλ (v 0 , v 00 ) = traceKλ /E (qλ (v 0 , v 00 )). L’élément
semi-simple du groupe unitaire de (Vλ , Qλ ) est l’application hλ : v 7→ λv. Dans le second
procédé, on considère une extension finie Kλ de E et un élément λ ∈ Kλ qui engendre
Kλ sur E. On suppose qu’il n’existe pas d’automorphisme τλ de Kλ se restreignant à
E en l’automorphisme τ et tel que λτλ (λ) = 1. On considère un espace vectoriel Wλ
sur Kλ de dimension finie, et son dual Wλ∗ . On pose Vλ = Wλ ⊕ Wλ∗ , que l’on munit de
la structure d’espace vectoriel sur E telle que e(w ⊕ w∗ ) = ew ⊕ τ (e)w∗ pour e ∈ E,
w ∈ Wλ et w∗ ∈ Wλ∗ . On note Nι,λ la dimension de Vλ sur E. On munit Vλ de la forme
Qλ hermitienne sur E définie par :
Qλ (w1 ⊕ w1∗ , w2 ⊕ w2∗ ) = traceKλ /E (w1∗ (w2 )) + τ ◦ traceKλ /E (w2∗ (w1 )).
L’élément semi-simple du groupe unitaire de (Vλ , Qλ ) est l’application hλ : w ⊕ w∗ 7→
λw ⊕ λ−1 w∗ .
Considérons maintenant les données suivantes :
- un ensemble fini Λι , union disjointe de deux sous-ensembles Λeι et Λdι ;
- pour λ ∈ Λeι , des objets λ, Kλ , τλ , Vλ , qλ comme dans le premier procédé ci-dessus ;
- pour λ ∈ Λdι , des objets λ, Kλ , Wλ comme dans le deuxième procédé.
On suppose que, pour deux éléments distincts
λ, λ0 ∈ Λι , les couples (λ, Kλ ) et
P
(λ0 , Kλ0 ) ne sont pas équivalents. On suppose λ∈Λι Nι,λ = nι . On suppose qu’il existe
un isomorphisme E-linéaire de ⊕λ∈Λι Vλ sur Vι qui identifie les formes hermitiennes
⊕λ∈Λι Qλ et Qι . Alors cet isomorphisme identifie l’élément ⊕λ∈Λι hλ du groupe unitaire
de la première forme avec un élément hΛι ∈ Uι (F ). C’est un élément semi-simple. Tout
élément semi-simple de Uι (F ) est conjugué par un élément de Uι (F ) ‘a un élément de
cette forme et les données Λι sont déterminées par l’élément semi-simple de façon essentiellement unique. Comme dans le paragraphe précédent, on peut lire sur les ensembles
de paramètres la conjugaison stable (il suffit d’oublier les formes qλ pour λ ∈ Λeι ), le
fait que hΛι soit régulier, ou compact, ou d’ordre fini premier à p, ou conjugué à un
élément de Kι par un élément de Uι (F ). Soit h = hΛι un élément comme ci-dessus. Le
commutant de h dans Uι est connexe. Son groupe de points sur F est le produit des
groupes GLKλ (Wλ ) pour λ ∈ Λdι et des groupes unitaires de (Vλ , qλ ) pour λ ∈ Λeι . On
retrouve de façon élémentaire le fait que h est stablement conjugué à un élément dont
le commutant est quasi-déployé : il suffit de remplacer les formes qλ par des formes de
même dimension dont les groupes unitaires sont quasi-déployés. On a aussi une propriété
plus forte que le lemme 4.3(iv) (et qui n’est pas toujours vraie dans le cas général) : si
h est d’ordre fini premier à p, il est stablement conjugué à un élément de Kι . Il suffit
de remplacer les formes qλ par des formes de même dimension et admettant un réseau
autodual. L’hypothèse sur h assure que Kλ /E est non ramifiée, donc Qλ admet elle-aussi
un réseau autodual.
5.4
Correspondance entre classes de conjugaison
ˆ de (G, θ, ω) associée à une décomposition
On considère la donnée endoscopique (H, H, s, ξ)
n = n+ + n− , cf. 5.1. On a H = Un+ × Un− . En remplaçant l’indice ι du paragraphe
précédent par + ou −, on peut identifier H au produit des groupes unitaires de deux
34
espaces hermitiens (V+ , Q+ ) et (V− , Q− ). Soient γ = (γ+ , γ− ) un élément semi-simple de
H(F ) et δ un élément semi-simple de G̃(F ). Les éléments γ+ , γ− et δ sont paramétrés
par des données notées Λγ+ , Λγ− et Λδ . Quitte à changer ces données par des données
équivalentes, on peut supposer que, si λ et λ0 sont deux éléments de la réunion de ces
trois ensembles, les couples (λ, Kλ ) et (λ0 , Kλ0 ) ou bien sont égaux, ou bien ne sont pas
équivalents. Tout élément par exemple de Λδ est une famille de données λ, Kλ etc...
et on a identifié dans la notation cette famille avec l’unique terme λ ∈ F̄ × . On peut
ainsi considérer Λδ comme un sous-ensemble de F̄ × , en se rappelant qu’à chaque élément
est affecté des données supplémentaires. Alors les classes de conjugaison de γ et δ se
correspondent si et seulement si les conditions suivantes sont vérifiées :
- Λδ = {(−1)n+1 λ; λ ∈ Λγ+ ∪ Λγ− } ;
- pour tout λ ∈ Λδ , Nλ = N+,(−1)n+1 λ + N−,(−1)n+1 λ .
Les signes (−1)n+1 perturbateurs sont inévitablement dus à la présence de signes dans
la définition de l’automorphisme θn . Remarquons que ces conditions sont vérifiées et si
λ appartient à Λeγ± , resp. Λdγ± , on a nécessairement (−1)n+1 λ ∈ Λeδ , resp. (−1)n+1 λ ∈ Λdδ .
Supposons que ces conditions soient vérifiées et que de plus δ appartienne à G̃reg (F ),
autrement dit (γ, δ) ∈ D. Dans ce cas, Λδ est union disjointe de Λδ,+ et Λδ,− , où Λδ,± =
{(−1)n+1 λ; λ ∈ Λγ± }. On pose Λeδ,± = Λeδ ∩ Λδ,± et Λdδ,± = Λdδ ∩ Λδ,± . Notons Pγ± le
sous-ensemble de F̄ × dont les éléments sont :
- les conjugués distincts σ(λ) pour σ ∈ ΓE et λ ∈ Λeγ± ;
- les conjugués distincts σ(λ) pour σ ∈ ΓE et σ(λ)−1 pour σ ∈ Γ \ ΓE , pour λ ∈ Λdγ± .
On peut aussi dire que Pγ± est l’ensemble des valeurs propres de γ± vu comme un
automorphisme E-linéaire de V± . Notons Pγ,δ,1 l’ensemble des couples (x, y) tels que
x ∈ Pγ− , y ∈ Pγ+ ∪ Pγ− et x 6= y. Notons Pγ,δ,2 l’ensemble des couples (x, y) tels que
x ∈ Pγ− et y ∈ Pγ+ . Pour i = 1, 2, posons :
Y
Pγ,δ,i =
(x − y).
(x,y)∈Pγ,δ,i
C’est un élément de E × . Notons valE la valuation habituelle de E (elle vaut 1 sur une
uniformisante). On peut expliciter le facteur de transfert sous la forme :
Y
Y
(1)
∆(γ, δ) = (
(−1)valE ◦N ormKλ /E (λ) )(
(−1)valE ◦N ormKλ /E (αλ ) )
λ∈Λeδ,−
λ∈Λdδ,−
×(−1)valE (Pγ,δ,1 ) q −valE (Pγ,δ,2 ) .
Remarque. Pour λ ∈ Λeδ , l’extension Kλ0 de F est disjointe de E, donc le degré
résiduel de l’extension Kλ /E est impair. Il en résulte que valE ◦ N ormKλ /E (αλ ) change
effectivement de parité quand δ varie dans sa classe de conjugaison par G(F̄ ).
Dans le cas où n+ = n et n− = 0, on a simplement ∆(γ, δ) = 1. Dans le cas où n+ = 0
et n− = n, on vérifie que ∆(γ, δ) = χ(δ), où χ est la fonction sur G̃(F ) définie de la
façon suivante. Revenons à la définition G̃(F ) = GLn (E)θ. Alors χ(gθ) = (−1)valE ◦det(g) .
Plus généralement, si l’on remplace la donnée endoscopique associée à la décomposition
n = n+ + n− par celle associée à la décomposition n = n− + n+ , le facteur de transfert
est simplement multiplié par χ.
35
5.5
Description des groupes Ḡ, H̄ et H
Considérons la situation qui intervient dans la preuve du théorème 3.6. La donnée
ˆ de (G, θ, ω) est associée à une décomposition n = n+ + n− . On
endoscopique (H, H, s, ξ)
considère un couple (γ, δ) ∈ D. On suppose γ et δ compacts et on les écrit γ = exp(Y ),
δ = exp(X)η. On suppose η ∈ K̃. Les éléments γ, Y et se décomposent en γ = (γ+ , γ− ),
Y = (Y+ , Y− ), = (+ , − ).
La classe de conjugaison par G(F ) de l’élément η est paramétrée par des données
que l’on note Λη . Pour simplifier, on suppose que Λη est réduit à un unique élément, qui
appartient à Λeη (le cas où l’élément appartient à Λdη est plus simple, il n’apparaı̂t que des
groupes linéaires ; le cas général est produit, en un sens évident, de ces cas particuliers).
On note λη cet unique élément. C’est une famille d’objets que l’on note λη , Kη , τη ,
Vη , qη . Elle est en fait uniquement déterminée par le premier élément λη ∈ oF̄ ,p0 : Kη
est l’extension non ramifiée de E engendrée par λη , τη est l’unique automorphisme de ce
corps qui se restreint à E en l’automorphisme τ et envoie λη sur λ−1
η , Vη est de dimension
n/[Kη : E] sur Kη et qη est l’unique (à isomorphisme près) forme sesquilinéaire vérifiant
la condition de symétrie requise et possédant un réseau autodual.
Seules comptent pour nous les classes de conjugaison stable de ± et leurs paramétrages
se déduisent de celui de η. Pour éliminer les (−1)n+1 perturbateurs, on va supposer n
impair. Alors la classe de conjugaison stable de ± est paramétrée par l’unique donnée
λ = λη , K = Kη , τ = τη , V± , elle-aussi entièrement déterminée par λη . Remarquons
que dimKη (V± ) = n± /[Kη : E].
Fixons αη ∈ Kη tel que λη = αη τη (αη )−1 . Le commutant Ḡ = Gη est le groupe
unitaire de (Vη , αη−1 qη ). L’élément X appartenant à son algèbre de Lie, sa classe de
conjugaison par Ḡ(F ) est paramétrée comme en 5.3. Il convient d’adapter le paramétrage
et la notation aux algèbres de Lie. Ainsi, on va noter X l’ensemble de paramètres, qui
se décompose en X e t X d . Un élément x ∈ X e est une famille d’objets x, Kx τx , Vx , qx .
Le premier objet x est un élément de F̄ . Le second Kx est l’extension de Kη engendrée
par x. Le troisième τx est l’unique automorphisme de Kx dont la restriction à Kη est
l’automorphisme τη et qui envoie x sur −x. On note Kx0 le sous-corps des points fixes
dans Kx par l’automorphisme τx . Puisque X est régulier, on peut supposer Vx = Kx .
Alors qx est une forme hermitienne sur Kx , relativement à l’extension Kx /Kx0 . On pose
Qx (v 0 , v 00 ) = traceKx /Kη (qx (v 0 , v 00 )). Un élément x ∈ X d est une famille x, Kx , Wx . Les
deux premiers termes sont comme ci-dessus et Wx est un espace vectoriel de dimension
finie sur Kx . On pose Vx = Wx ⊕ Wx∗ , que l’on munit de la structure d’espace vectoriel
sur Kη définie en 5.3, puis d’une forme. hermitienne Qx comme dans ce paragraphe. On
fixe un isomorphisme de Vη sur ⊕x∈X Vx qui identifie les formes hermitiennes αη−1 qη et
⊕x∈X Qx . Modulo cet isomorphisme, X est l’élément de EndKη (Vη ) qui agit par v 7→ xv
sur Vx pour x ∈ X e et par (w ⊕ w∗ ) 7→ (xw ⊕ −xw∗ ) sur Vx pour x ∈ X d .
L’espace Vη est égal à V . Selon notre identification de G̃(F ) à un ensemble de formes
sesquilinéaires sur V , l’élément η se confond avec la forme Qη définie par Qη (v 0 , v 00 ) =
traceKη /E (qη (v 0 , v 00 )). L’élément δ = exp(X)η se confond avec la forme Qδ définie par
Qδ (v 0 , v 00 ) = Qη (exp(−X)(v 0 ), v 00 ). On en déduit l’ensemble Λδ qui paramétre la classe de
conjugaison par G(F ) de δ. Il y a une bijection x 7→ λx de X → Λδ de sorte que :
- λx = exp(2x)λη ;
- pour x ∈ X e , Kλx = Kx , τλx = τx , Vλx = Vx , qλx = αη exp(x)qx ;
- pour x ∈ X d , Kλx = Kx et Wλx = Wx .
L’élément Y± appartient à l’algèbre de Lie du groupe unitaire de V± . Sa classe de
36
conjugaison stable est paramétrée par un ensemble Y± = Y±e t Y±d . Un élément y ∈ Y±e
est une famille d’objets y Ky , τy , Vy . Un élément y ∈ Y±d est une famille d’objets y,
Ky , Wy . On en déduit l’ensemble Λγ± qui paramètre la classe de conjugaison stable de
γ± = exp(Y± )± . Il y a une bijection y 7→ λy de Y± sur Λγ± de sorte que :
- λy = exp(y)λη ;
- pour y ∈ Y± , Kλy = Ky , τλy = τy , Vλy = Vy ;
- pour y ∈ Y± , Kλy = Ky et Wλy = Wy .
Puisque δ ∈ G̃reg (F ), le fait que les classes de conjugaison de γ et δ se correspondent
signifie que Λδ = Λγ+ t Λγ− , du moins si l’on considère ces ensembles comme des sousensembles de F̄ × . Modulo les bijections ci-dessus, il y a donc une décomposition X =
X+ t X− et des bijections x 7→ yx de X± sur Y± de sorte que :
(1) yx = 2x ;
- pour x ∈ X±e = X e ∩ X± , Kyx = Kx , τyx = τx , Vyx = Vx ;
- pour x ∈ X±d = X d ∩ X± , Kyx = Kx et Wyx = Wx .
ˆ¯ de Ḡ . En fait, le passage au
On a défini une donnée endoscopique (H̄, H̄, s̄, ξ)
SC
groupe simplement connexe ḠSC n’est imposé dans le cas général que par la présence
ˆ¯ comme une
du caractère ω. Il est ici trivial et on peut aussi bien définir (H̄, H̄, s̄, ξ)
donnée endoscopique de Ḡ. On peut aussi considérer Ḡ comme un groupe unitaire sur
Kη0 (le corps fixé par τη ), auquel cas son L-groupe devient simplement le produit semidirect GLn̄ (C) o WKη0 , où n̄ = n/[Kη : E]. Il est plus ou moins évident que s̄ est
l’élément diagonal de GLn̄ (C) qui a n̄+ valeurs propres 1 et n̄− valeurs propres −1, où
n̄± = n± /[Kη : E]. Alors H̄ est le produit de deux groupes unitaires quasi-déployés sur
Kη0 de rangs respectifs n̄+ et n̄− . On constate que H̄ est isomorphe à H . Introduisons
l’élément Ȳ = (Ȳ+ , Ȳ− ) ∈ h̄(F ) de 4.8. Puisque cet élément correspond à la fois à Y par
la correspondance endoscopique non standard entre H et H̄ (on oublie ici les passages
inutiles aux groupes simplement connexes) et à X par la correspondance endoscopique
ordinaire entre H̄ et Ḡ, on voit que Ȳ± est paramétré par l’ensemble X± , en oubliant
les formes hermitiennes puisque seule compte la classe de conjugaison stable de Ȳ . En
identifiant les groupes H et H̄, la relation (1) montre que Y s’identifie à 2Ȳ . Le lemme
fondamental non standard que l’on a utilisé dans la preuve du théorème dit que :
SOYH (1k ) = SOYH/2
(1k ).
C’est trivial puisque p 6= 2.
Remarque. On peut montrer plus généralement que le lemme fondamental non
standard ne sert à rien dans toute situation de ”changement de base”, car les deux
groupes H̄ et H sont isomorphes. Mais, comme le montre notre exemple, même dans
ce cas, la correspondance endoscopique non standard entre h (F ) et h̄(F ) n’est pas celle
qui provient de l’isomorphisme entre les deux groupes : c’en est un multiple. Cela est
évidemment lié au fait que, dans le cas général, il n’y a de lemme fondamental non
standard que pour les algèbres de Lie et non pas pour les groupes.
En utilisant la formule (1) de 5.4 et la formule analogue de [W2] proposition X.8, on
vérifie aisément l’égalité des facteurs de transfert énoncée au théorème 4.8.
Bibliographie
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Memoirs AMS
[W2] ———————— : Intégrales orbitales nilpotentes et endoscopie pour les groupes
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38

A propos du lemme fondamental tordu - IMJ-PRG

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