Irrationalité d`une infinité de valeurs de la fonction zêta aux entiers

Digital Object Identifier (DOI) 10.1007/s002220100168
Invent. math. 146, 193–207 (2001)
Irrationalit´ e d’une infinit´ edevaleurs
de la fonction zêta aux entiers impairs
Keith Ball1,Tanguy Rivoal2
1Department of Mathematics, UCL, Gower Street, London WC1E 6BT, UK
(e-mail: [email protected])
2Laboratoire SDAD, CNRS FRE 2271, D´
epartement de Math´ ematiques, Universit´ ede
Caen, Campus II, BP 186, 14032 Caen c´ edex, France
(e-mail: [email protected])
Oblatum 5-VI-2000 & 25-V-2001
Published online: 13 August 2001 – Springer-Verlag 2001
1. Introduction
Au contraire des nombres ζ(2n)=
k≥11/k2n=(−1)n−122n−1B2nπ2n/(2n)!
(n≥1), dont la transcendance est une cons´ equence de celle de π,peude
r´ esultats sont actuellement connus sur la nature arithm´ etique des nombres
ζ(2n+1)=k≥11/k2n+1. On peut citer en particulier les r´
esultats suivants.
•En 1978, Ap´ ery [1] est parvenu à montrer l’irrationalit´ edeζ(3),maissa
d´ emonstration n’a pas pu être g´ en´ eralis´ ee aux nombres ζ(2n+1)avec
n≥2 : voir Van der Poorten [20], Cohen [6] et Reyssat [14] pour des expo-
s´ es de la m´ ethode d’Ap´ ery. D’autres d´ emonstrations ont ´ et´ e donn´ ees de-
puis par Beukers [2,4,5], Nesterenko [11], Sorokin [19] et Pr´ evost [13].
•Des mesures d’irrationalit´ edeζ(3)ont aussi ´ et´ e´ etablies par Ap´ ery [1],
Dvornicich-Viola [7], Hata [9] et Rhin-Viola [16].
•En 1979, Gutnik [8] a d´ emontr´ e que, pour tout q∈Q, au moins un des
deux nombres suivants est irrationnel
3ζ(3)+qζ(2), ζ(2)+2qlog(2).
•En 1981, Beukers [3] a indiqu´ edesr
´
esultats similaires à ceux de Gut-
nik : les deux ensembles qui suivent contiennent au moins un nombre
irrationnel
π4
ζ(3),7π4log(2) ζ(3)−15π2,7π6 3240ζ(3)−ζ(3)
ζ(3)
π2,ζ(3)2 π2−π4 360 ,ζ(3)π2−30ζ(5), ζ(3)ζ(5) π2−π6 2268 .

194 K. Ball, T. Rivoal
Dans cet article, nous d´ emontrons qu’une infinit´ e de valeurs de la fonction
ζaux entiers impairs sont lin´ eairement ind´ ependantes sur Q. De façon plus
pr´ ecise, nous prouvons le
Théorème 1 Soit a un entier impair ≥3et notons δ(a)la dimension du
Q−espace vectoriel engendr´ e par 1,ζ(3), ζ(5), . . . , ζ(a). Onaalors
δ(a)≥1
3log(a).
De plus, pour tout ε>0, il existe un entier A(ε) tel que si a >A(ε),
δ(a)≥1−ε
1+log(2)log(a).
Nous montrons ´ egalement le
Théorème 2 Il existe un entier impair j ≤169 tel que 1,ζ(3)et ζ( j)sont
lin´ eairement ind´ ependants sur Q.
Les d´ emonstrations de ces th´ eorèmes sont donn´ ees au paragraphe 3, après
celles des r´ esultats auxiliaires, ´ enonc´ es au paragraphe 2.
Les m´ ethodes de cet article s’inspirent du travail de Nikishin [12] sur
l’approximation simultan´ ee des polylogarithmes Lin(z)en des valeurs ra-
tionnelles. Ces fonctions sont d´ efinies par le d´ eveloppement en s´ erie entière,
pour z∈C,|z|<1,
Lin(z)=
+∞
k=0
zk
(k+1)n.
En particulier, Li1(z)=−log(1−z)/zdiverge au voisinage de 1, alors que
si n≥2, Lin(1)=ζ(n).Lad
´
emarche de Nikishin le conduit à introduire
des s´ eries de la forme
Nn,a,b(z)=
+∞
k=0
k(k−1)···(k−an −b+2)
(k+1)a(k+2)a···(k+n)a(k+n+1)bz−k
avec a,b,nentiers ≥1, 1 ≤b≤aet zun nombre complexe de module ≥1,
z= 1. Ces s´ eries fournissent des approximants de Pad´ e de type I des poly-
logarithmes : sp´ ecialis´ ees en z=−1, elles donnent donc des combinaisons
lin´ eaires à coefficients rationnels en les ζimpairs, les ζpairs et log(2).La
croissance en ades coefficients est n´ eanmoins trop rapide pour obtenir un
r´ esultat arithm´ etique non trivial dans ce cas.
Plus r´ ecemment, Sorokin [18] a propos´ e une m´ ethode pour ´ eliminer (en
particulier) les ζimpairs : pour cela, il r´ esout explicitement un problème
d’approximation simultan´ ee de certaines fonctions multizêtas, parvenant
ainsi à donner une nouvelle mesure de transcendance de π. Dans la direc-
tion oppos´ ee, en g´ en´ eralisant les int´ egrales de Beukers [2], Vasilyev [21]
a construit une combinaison lin´ eaire (à coefficients an,bnet cnentiers)

Irrationalit´ e d’une infinit´ e de valeurs de la fonction zêta aux entiers impairs 195
Jn(5)=anζ(5)+bnζ(3)+cntendant vers 0 quand ntend vers +∞ :la
pr´ esence de ζ(3)ne permet malheureusement pas la d´ emonstration directe
de l’irrationalit´ edeζ(5).
Reyssat [15] a utilis´ e les approximants de Pad´ esimultan´ es des puissances
de log(1−x)pour montrer, avec a/b>1 rationnel fix´ e, l’ind´ ependance
lin´ eaire sur Qd’une infinit´
e des nombres logk(a/b)(où k∈N), ce qui suffit
pour prouver la transcendance de log(a/b).
Ce dernier r´ esultat suggère que, plutôt que la recherche, à la manière
d’Ap´ ery, de l’irrationalit´ e de chacune des valeurs de la fonction ζaux
entiers impairs, il peut être fructueux de les consid´ erer tous ensemble, afin de
prouver leur ind´ ependance lin´ eaire sur Q,ouunr
´
esultat dans cette direction.
Pour parvenir à cela, deux autres id´ ees sont n´ ecessaires. La première consiste
àmodifierlas
´
erie de Nikishin de la façon suivante :
+∞
k=0
qn(k)
(k+1)a···(k+n+1)az−k
où qn(k)est un polynôme qui est une fonction paire de k+n/2+1. La parit´ e
de qnassure en effet qu’une fois la fraction rationnelle d´
ecompos´ ee en frac-
tions partielles, les polynômes correspondant aux d´ enominateurs avec une
puissance paire s’annulent pour z=1 : on obtient ainsi des combinaisons
lin´ eaires à coefficients rationnels uniquement en les ζimpairs. La deuxième
id´ ee est de param´ etrer le nombre de z´ eros entiers de qnpar un entier ret
d’ajuster celui-ci de sorte que les coefficients des combinaisons lin´ eaires
aient une croissance moins importante que pour la s´ erie de Nikishin, tout
en gardant une d´ ecroissance rapide de la combinaison elle-même.
Pour cela, nous introduisons la s´ erie
Sn,a,r(z)
=n!a−2r
+∞
k=0
k···(k−rn +1)(k+n+2)···(k+(r+1)n+1)
(k+1)a(k+2)a···(k+n+1)az−k
où n,ret asont des entiers v´ erifiant 1 ≤r<a/2, n∈N. Les conditions
sur aet rassurent que Sn,a,r(z)converge pour tout complexe zde module
≥1. Pour simplifier l’expos´ edesr
´
esultats, nous ´ ecrirons cette s´ erie sous la
forme
Sn(z)=n!a−2r
+∞
k=0
(k−rn +1)rn(k+n+2)rn
(k+1)a
n+1
z−k
où (α)kest le symbole de Pochammer :
(α)0=1et(α)k=α(α +1)···(α +k−1)si k=1,2,...

196 K. Ball, T. Rivoal
Comme nous l’a sugg´ er´ e le referee, il est aussi utile de remarquer que Sn(z)
est une fonction hyperg´ eom´ etrique g´ en´ eralis´ ee :
Sn(z)=z−rn−1n!a−2rΓ(rn +1)a+1Γ((2r+1)n+2)
Γ((r+1)n+2)a+1
×a+2Fa+1rn +1,... , rn +1,(2r+1)n+2
(r+1)n+2,... , (r+1)n+2
z−1.
Le paragraphe 2 est consacr´ eàl’
´
etude pr´ ecise de cette s´ erie : le Lemme 1
montre que la s´ erie Sn(1)fournit bien des combinaisons lin´
eaires à coeffi-
cients rationnelles en les ζimpairs lorsque nest pair. Le Lemme 2 donne
une expression int´ egrale similaire à celles de Beukers [2] et de Dvornicich-
Viola [7], §1.3, ce qui permet d’estimer facilement lim
n→+ ∞ |Sn(1)|1/n(Lem-
me 3). Nous suivons ensuite Nikishin pour la d´ emonstration des Lemmes 4
et 5, qui concernent les propri´ et´ es asymptotiques et arithm´ etiques des coeffi-
cients des combinaisons lin´ eaires. Enfin, pour montrer que les s´ eries Nn,a,b(z)
fournissent des approximations des polylogarithmes lin´ eairement ind´ epen-
dantes, Nikishin ´ evalue un d´ eterminant : nous ´ evitons cette complication en
appliquant un critère d’ind´ ependance lin´ eaire, dû à Nesterenko [12].
Remerciements. Nous remercions le referee, dont les remarques ont permis
de simplifier les d´ emonstrations des Lemmes 2 et 4. Le second auteur tient
par ailleurs à exprimer toute sa gratitude à F. Amoroso pour ses pr´ ecieux
conseils qui ont permis de grandement am´ eliorer une pr´ ec´ edente version,
ainsi qu’à M. Waldschmidt pour sa patiente relecture et son soutien constant.
2. R´ esultats auxiliaires
Dans toute la suite, on pose Dλ=1
λ!
dλ
dtλet
Rn(t)=n!a−2r(t−rn +1)rn(t+n+2)rn
(t+1)a
n+1
de sorte que
Sn(z)=
+∞
k=0
Rn(k)z−k.
Pour l∈{1,... ,a}et j∈{0,... ,n}, on note aussi
cl,j,n=Da−lRn(t)(t+j+1)a|t=− j−1∈Q,(1)
P0,n(z)=−
a
l=1
n
j=1
cl,j,n
j−1
k=0
1
(k+1)lzj−ket Pl,n(z)=
n
j=0
cl,j,nzj.(2)
Les Pl,n(z)sont donc des polynômes à coefficients rationnels.

Irrationalit´ e d’une infinit´ e de valeurs de la fonction zêta aux entiers impairs 197
Lemme 1 Ona:
Sn(1)=P0,n(1)+
a
l=2
Pl,n(1)ζ(l). (3)
De plus,
si (n+1)a+l est impair, alors Pl,n(1)=0.(4)
En particulier, si n est pair et a impair ≥3,P
l,n(1)=0pour tout l ∈
{2,... ,a}pair et Sn(1)est alors une combinaison lin´
eaire uniquement en
les ζimpairs :
Sn(1)=P0,n(1)+
(a−1)/2
l=1
P2l+1,n(1)ζ(2l+1). (5)
D´ emonstration
En d´ ecomposant Rn(t)en fractions partielles, on obtient :
Rn(t)=
a
l=1
n
j=0
cl,j,n
(t+j+1)l.
D’où si |z|>1
Sn(z)=
a
l=1
n
j=0
cl,j,n
+∞
k=0
1
zk
1
(k+j+1)l
=
a
l=1
n
j=0
cl,j,nzj+∞
k=0
1
zk
1
(k+1)l−
j−1
k=0
1
zk
1
(k+1)l
=
a
l=1
Lil(1/z)
n
j=0
cl,j,nzj−
a
l=1
n
j=1
cl,j,n
j−1
k=0
1
(k+1)lzj−k.
On a donc
Sn(z)=
a
l=1
Pl,n(z)Lil(1/z)+P0,n(z). (6)
Comme 2r<a,ledegr
´
e total de la fraction rationnelle Rn(t)est ≤−2,
donc P1,n(1)=n
j=0Rest=− j(Rn(t)) =0et
lim
z→1
|z|>1
(P1,n(z)Li1(1/z)) =0,
ce qui montre (3).