feuille 2 - IMJ-PRG

Universit´e Pierre et Marie Curie
Master de Sciences et Technologies
Mention Math´ematiques et Applications
Sp´ecialit´e Math´ematiques fondamentales, M2
Ann´ee 2014 - 2015
Introduction `a la topologie des vari´et´es alg´ebriques r´eelles
Exercices, feuille 2
Exercice 1 Soit εun nombre r´eel strictement positif, et soit (At)t∈[−ε,ε]une famille de courbes
alg´ebriques r´eelles dans RP2telle que
— la courbe A0a un unique point singulier, et cette singularit´e est un point double non d´eg´en´er´e ;
— la courbe Atpour tout t6= 0 est non singuli`ere ;
— la courbe Atest de type Ipour tout t < 0.
Montrer que le nombre de composantes connexes de RAt1est sup´erieur ou ´egal au nombre de compo-
santes connexes de RAt2, o`u −ε≤t1<0< t2≤ε.
Exercice 2 Courbes hyperboliques
Une courbe hyperbolique dans RP2est une courbe alg´ebrique non singuli`ere Adans RP2telle que
la partie r´eelle RAde Acontient un nid de profondeur d
2, o`u dest le degr´e de A. Soit Aune courbe
hyperbolique de degr´e ddans RP2.
(a) Montrer que RAn’a pas d’autre ovale que ceux constituant le nid de profondeur d
2.
(b) Soit pun point `a l’int´erieur du l’ovale le plus profond du nid, et soit Lune droite r´eelle qui
ne contient pas p. Soit π:CA→CLla restriction `a CAde la projection de centre psur CL.
Montrer que RA=π−1(RL), et en d´eduire que Aest de type I.
(c) D´eterminer le sch´ema complexe de RA.
Exercice 3 Soit dun nombre entier strictement positif, et soit Aune courbe non singuli`ere de degr´e
det de type Idans RP2.
(a) Montrer que RAposs`ede au moins d
2ovales.
(b) Supposons que RAposs`ede exactement d
2ovales. Montrer que Aest hyperbolique.
Exercice 4 Type I et perturbations Soit A0une courbe alg´ebrique dans RP2telle que les seules
singularit´es de Asont des points doubles non d´eg´en´er´es r´eels `a tangentes r´eelles (c’est `a dire, la courbe
A0est localement donn´ee en chaque point double par l’´equation x2−y2= 0). On dit que A0est de
type I si, pour toute composante irr´eductible Cde A0, l’ensemble CC\RCn’est pas connexe (ici RC
est ensemble des points r´eels de C, et CCest l’ensemble des points complexes de C).
(a) Soit Aune courbe alg´ebrique r´eelle non singuli`ere obtenue par une petite perturbation de A0.
Supposons que Aest de type I. Montrer que A0est aussi de type I, et toute semi-orientation
de Aest induite par une semi-orientation de A0.
Note : si la courbe A0est r´eductible et de type I, alors elle poss`ede plus de deux semi-
orientations. En effet, chacune des composantes irr´eductibles de A0est de type Iet poss`ede
deux semi-orientations. La courbe A0poss`ede donc 2nsemi-orientations, o`u nest le nombre
de composantes irr´eductibles de A0.
(b) Supposons que A0est de type I. Montrer qu’il existe une petite perturbation de A0qui produit
une courbe non singuli`ere de type I.
(c) Application. Soit Aune courbe non singuli`ere de degr´e impair et de type Idans RP2. Sup-
posons que la partie r´eelle RAde Aa un ovale positif ; notons Ocet ovale. Montrer que One
peut pas s’attacher `a la composante non contractile de RA.
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Exercice 5 Classifier les sch´emas complexes des quintiques non singuli`eres dans RP2.
Exercice 6 Soit Aune courbe non singuli`ere maximale de degr´e 8 dans RP2telle que le sch´ema r´eel
de Asoit de la forme h1h1i t 1hαi t 1hβii, o`u αet βsont des nombres entiers strictement positifs.
Montrer que les nombres αet βsont impairs.
Exercice 7 Soit Aune quintique non singuli`ere maximale dans RP2, et soient Oi,i= 1,2,...,6, les
ovales de RA. Pour deux points distincts quelconques pet qde RP2, notons [pq] le segment ayant p
et qpour extr´emit´es et coupant la composante non contractile de RAen un nombre pair de points
(compt´es avec multiplicit´es si la droite (pq) n’est pas transverse `a la courbe A). Pour tout nombre
entier ientre 1 et 6, choisissons un point pi`a l’int´erieur de l’ovale Oi.
(a) Soit {i, j, k}⊂{1,2,3,4,5,6}. Montrer que les segments [pipj], [pipk] et [pjpk] forment le bord
d’un disque dans RP2. Ce disque s’appelle le triangle `a sommets pi,pjet pk.
(b) On dit que les points p1,. . .,p6sont en position convexe si, pour tout choix d’indices 1 ≤i <
j < k ≤6, l’int´erieur du triangle `a sommets pi,pj,pkne contient aucun des points p1,. . .,p6.
On dit que les ovales de RAsont en position convexe, si, pour tout choix de points q1,. . .,q6
`a l’int´erieur de ces ovales (qiest `a l’int´erieur de Oi,i= 1, . . ., 6), les points q1,. . .,q6sont en
position convexe.
Montrer que les ovales de RAsont en position convexe.
Exercice 8 Montrer que le sch´ema r´eel hJt1h14ii n’est pas r´ealisable par une courbe non singuli`ere
de degr´e 7 dans RP2.
Indication : on pourra commencer par montrer que les ovales vides sont en position convexe
(la d´efinition de position convexe est compl`etement similaire `a la d´efinition donn´ee dans l’exercice
pr´ec´edent).
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