TD2 : Compléments d`algèbre linéaire

Lycée Jules Ferry, Cannes
Année 2016-2017
Classe préparatoire TSI 2e année
Mathématiques - D. Broizat
TD2 : Compléments d’algèbre linéaire
I
Exercices guidés
Exercice 1 (Une famille infinie libre)
Pour tout k ∈ N∗ on considère la fonction fk définie sur R par fk (x) = ekx .
On souhaite montrer que la famille de fonctions (fk )k∈N∗ est une famille libre de l’espace vectoriel des
fonctions de R dans R.
Pour cela, nous allons raisonner par récurrence pour montrer que la propriété P(n) : « la famille
(f1 , f2 , . . . , fn ) est libre », est vraie pour tout n ∈ N∗ .
1. Justifier que la propriété P(1) est vraie.
2. Soit n ∈ N∗ fixé. On suppose que la propriété P(n) est vraie.
On souhaite montrer que la famille (f1 , f2 , . . . , fn+1 ) est libre, donc on cherche tous les réels
a1 , . . . , an+1 tels que :
∀x ∈ R,
a1 f1 (x) + . . . + an+1 fn+1 (x) = 0.
(a) Diviser l’égalité ci-dessus par e(n+1)x puis en faisant tendre x vers une valeur bien choisie,
montrer que an+1 = 0.
(b) Montrer ensuite que a1 = . . . = an = 0 puis conclure.
Exercice 2 (Des hyperplans)
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n.
On considère H1 , H2 , . . . , Hn des hyperplans de E.
1. À l’aide de la formule de Grassmann vue en TSI 1, montrer que dim(H1 ∩ H2 ) > n − 2.
2. À l’aide d’un raisonnement par récurrence sur k, montrer que :
∀k ∈ [ 1; n]],
dim(H1 ∩ . . . ∩ Hk ) > n − k.
Exercice 3 (Matrice d’un endomorphisme dans une base adaptée)
Soit E = R3 et B = (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de E. Soit f l’endomorphisme de E défini par :
f (e1 ) = 2e2 + 3e3
f (e2 ) = 2e1 − 5e2 − 8e3
f (e3 ) = −e1 + 4e2 + 6e3 .
1. Justifier l’existence et l’unicité de f .
2. Construire sa matrice représentative dans la base canonique.
3. On rappelle que IdE désigne l’application identité de E dans E.
(a) Sans expliciter Ker(f − IdE ), montrer que Ker(f − IdE ) est stable par f .
(b) Déterminer Ker(f − IdE ) et en donner une base.
4. (a) Sans expliciter Ker(f 2 + IdE ), montrer que Ker(f 2 + IdE ) est stable par f .
(b) Déterminer Ker(f 2 + IdE ) et en donner une base.
5. Montrer que R3 = Ker(f − IdE ) ⊕ Ker(f 2 + IdE ).
6. Déterminer la matrice représentative de f dans une base adaptée à la somme directe précédente.
Exercice 4 (Endomorphismes nilpotents)
Etant donné un K-espace vectoriel E de dimension finie n ∈ N∗ , on considère un endomorphisme
nilpotent u de E, c’est-à-dire u ∈ L(E) tel qu’il existe r ∈ N∗ avec ur = 0L(E) . On pose alors :
p = min{k ∈ N∗ , uk = 0L(E) }.
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Justifier qu’il existe x0 ∈ E tel que up−1 (x0 ) 6= 0.
Montrer que la famille (x0 , u(x0 ), · · · , up−1 (x0 )) est libre.
En déduire que p ≤ n et que un = 0L(E) .
Déterminer le rang de l’application u dans le cas où p = n.
Exercice 5 (Somme de trois sous-espaces)
Soient E un K-espace vectoriel, F , G, F 0 , G0 des sous-espaces vectoriels de E.
On suppose E = F ⊕ G, E = F 0 ⊕ G0 et F 0 ⊂ G.
1. Qu’est-ce que le sous-espace somme F + F 0 + (G ∩ G0 ) ?
2. Montrer que tout vecteur x ∈ E est dans F + F 0 + (G ∩ G0 ).
On pourra s’appuyer sur le fait que E = F + G, mais aussi E = F 0 + G0 .
3. Montrer que les trois sous-espaces F, F 0 , G ∩ G0 sont en somme directe.
Attention, vu qu’il y a plus de 2 sous-espaces, il ne suffit pas de vérifier que l’intersection est
nulle, ni même que les intersections deux à deux sont nulles. On utilisera ici la caractérisation
par la décomposition du vecteur nul.
4. Montrer finalement que F ⊕ F 0 ⊕ (G ∩ G0 ) = E.
Exercice 6 (Matrices de Pauli)
Pour M =
a
c
b
d
∈ M2 (C), on note M =
a
c
b
d
la conjuguée de M .
T
On note G l’ensemble des matrices M ∈ M2 (C) vérifiant M = M et tr(M ) = 0.
On considère d’abord M2 (C) comme un C-espace vectoriel (K = C).
1. Déterminer une base de M2 (C). Quelle est sa dimension ?
2. L’ensemble G est-il un sous-espace vectoriel de M2 (C) ?
On considère maintenant M2 (C) comme un R-espace vectoriel (K = R).
3. Déterminer une base de M2 (C). Quelle est sa dimension ?
4. Montrer que l’ensemble G est un sous-espace vectoriel de M2 (C).
5. Donner une base de G. Quelle est sa dimension ?
II
Exercices faciles
Exercice 7 (Un autre invariant deX
similitude)
Pour A ∈ Mn (K), on pose S(A) =
ai,j × aj,i .
(i,j)∈[[1,n]]2
1. Exprimer S(A) en fonction de la trace de A2 .
2. Montrer que si A et B sont semblables, alors S(A) = S(B).
Exercice 8 (Supplémentaire d’une droite)
Dans E = Rn , on pose e = (1, 0, · · · , 0), D = V ect(e) et H =
(
(x1 , · · · , xn ) ∈ Rn ,
n
X
)
xi = 0 .
i=1
Montrer que E = D ⊕ H.
III
Exercices moyens
Exercice 9 (Une famille libre de polynômes)
Soient n ∈ N, z0 , · · · , zn ∈ C deux à deux distincts.
Montrer que la famille ((X − zk )n )0≤k≤n est libre dans C[X].
On pourra procéder par récurrence sur n ∈ N et utiliser la dérivation.
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Exercice 10 (Familles libres de fonctions)
Montrer que les familles de fonctions suivantes sont libres :
1 si x ≥ a
.
0 si x < a
2) (ga )a∈R où pour tout a ∈ R, on définit ga :]0; +∞[→ R par ga (x) = xa .
Avant toute chose, rappeler la définition de xa . . .
3) (hn )n∈N où pour tout n ∈ N, on définit hn : R → R par hn (x) = sin(xn ).
Indication : on pourra dériver une combinaison linéaire nulle.
4) (sin, sin ◦ sin, sin ◦ sin ◦ sin).
Indication : on pourra effectuer un DL en 0 d’une combinaison linéaire nulle.
1) (fa )a∈R où pour tout a ∈ R, on définit fa : R → R par fa (x) =
Exercice 11
Soit E un K-espace vectoriel et A, B deux sev de E. Soit C un supplémentaire de A ∩ B dans B.
Montrer que A et C sont supplémentaires dans A + B.
Exercice 12 (Fonctions paires/impaires)
Dans l’espace vectoriel E = RR des fonctions de R dans R, montrer que l’ensemble P des fonctions
paires et l’ensemble I des fonctions impaires sont des sous-espaces supplémentaires.
Exercice 13 (Somme directe dans les polynômes)
On fixe un polynôme P ∈ K[X] de degré n ≥ 1. On note F l’ensemble des polynômes multiples de P ,
c’est-à-dire F = {Q × P, Q ∈ K[X]}.
1. Justifier que F est un sous-espace vectoriel de K[X].
2. Montrer que K[X] = F ⊕ Kn−1 [X].
On pourra utiliser une division euclidienne.
Exercice 14
Soit E un K-espace vectoriel et f ∈ L(E).
Montrer que Ker(f ) = Ker(f 2 ) si et seulement si Ker(f ) ∩ Im(f ) = {0E }.
Exercice 15 (Projecteurs qui commutent)
Soient p, q deux projecteurs d’un K-espace vectoriel E tels que p ◦ q = q ◦ p.
1. Montrer que p ◦ q est un projecteur.
2. Montrer que Ker(p ◦ q) = Ker(p) + Ker(q) et Im(p ◦ q) = Im(p) ∩ Im(q).
Exercice 16
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et f, g ∈ L(E). On suppose que
Im(f ) + Im(g) = Ker(f ) + Ker(g) = E.
Montrer que ces deux sommes sont directes.
Exercice 17 (Equation matricielle)
Soient A, B ∈ Mn (K). Résoudre l’équation X + tr(X)A = B, d’inconnue X ∈ Mn (K).
On pourra procéder par analyse-synthèse.
Exercice 18 (Supplémentaires en dimension infinie)
Dans l’espace vectoriel R[X], on considère les sous-espaces vectoriels F = {P ∈ R[X]/P (0) = 0} et
G = {P ∈ R[X]/ deg(P ) 6 0}.
Montrer que F et G sont supplémentaires dans R[X].
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IV
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Exercices difficiles
Exercice 19 (Une base polynomiale)
Pour des entiers 0 ≤ k ≤ n, on pose Pk,n = X k (1 − X)n−k .
Montrer que pour tout n ∈ N, la famille (P0,n , P1,n , · · · , Pn,n ) est une base de Rn [X].
On pourra procéder par récurrence sur n ∈ N.
Exercice 20 (Matrices symétriques/antisymétriques)
Soit un entier n ≥ 2. Dans l’espace vectoriel E = Mn (R), on considère les ensembles
S = {M ∈ E, M T = M },
A = {M ∈ E, M T = −M }
(matrices symétriques et antisymétriques).
1. Justifier que S et A sont deux sev de E et préciser leur dimension.
On cherchera une base de ces deux sous-espaces.
2. Montrer que E = S ⊕ A.
Exercice 21 (Matrices qui commutent avec les autres)
Soit n ∈ N∗ . Pour tout 1 ≤ i, j ≤ n, on note Ei,j la (i, j)e matrice élémentaire de Mn (K), c’est-à-dire
celle dont tous les coefficients sont nuls sauf celui d’indice (i, j) qui vaut 1. On considère également
A ∈ Mn (K) une matrice carrée quelconque.
1. Calculer AEi,j et Ei,j A.
2. A quelle condition ces deux matrices sont-elles égales ?
3. Déterminer l’ensemble des matrices de Mn (K) qui commutent avec toutes les matrices de Mn (K)
(autrement dit, calculer le "centre" de l’anneau Mn (K)).
Exercice 22
Soit E un espace vectoriel de dimensionP
n > 2 et B = (e1 , . . . , en ) une base de E.
n
Pour tout j ∈ {1, . . . , n}, on pose e0j = ( i=1 ei ) − ej .
1. Montrer que la famille B 0 = (e01 , . . . , e0n ) est une base de E.
2. Donner la matrice de passage de B à B 0 et celle de B 0 à B.
Exercice 23 (Somme directe de n sous-espaces vectoriels)
On se place dans l’espace vectoriel E = Rn [X] (n ∈ N∗ ), et pour tout i ∈ [ 0; n]] on note :
Fi = {P ∈ E / ∀j ∈ [ 0; n]] \ {i},
P (j) = 0}.
On admet que les Fi sont des sous-espaces vectoriels de E.
Montrer que E = F0 ⊕ F1 ⊕ . . . ⊕ Fn .
Exercice 24
Soit E un R-espace vectoriel de dimension 2n (n ∈ N∗ ). On considère f un endomorphisme de E tel
que f ◦ f = 0.
On suppose, de plus, qu’il existe des vecteurs u1 , . . . , un tels que la famille (f (u1 ), . . . , f (un )) est
libre.
1. Montrer que dim(Im(f )) > n.
2. Montrer que la famille (u1 , . . . , un ) est libre.
3. Montrer que Ker(f ) = Im(f ).
4. Montrer que E = Ker(f ) ⊕ V ect(u1 , . . . , un ).
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