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Chapitre 2: Intégration
MATH-1701: Calcul II
Nicolas Bouffard
Hiver 2016
1
Dans ce chapitre
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
Différentielles
Intégrale indéfinie et formule de base
Intégration à l’aide d’un changement de
variable
Résolution d’équations différentielles
Application de l’intégrale indéfinie
2
1. Différentielles
Question: Lorsque l'on écrit
dy
, que signifit dx et dy ?
dx
fonction
tangente
dy
Δy
Δx = dx
3
Si f est une fonction et a,b ∈, alors on définit
Δx = b − a
Δy = f (b) − f (a) = f (a + Δx) − f (a)
Et donc, on obtient le taux de variation moyen de la fonction entre a et b par:
Δy f (b) − f (a) f (a + Δx) − f (a)
=
=
Δx
b−a
Δx
On définit dx et dy de façon semblable, mais cette fois, en considérant la tangente
de f au point a, plutôt que la fonction f . Donc:
dx = Δx
dy = f '(a)dx
Donc dy est une approximation de Δy, à condition que Δx = dx soit petit.
ATTENTION : Calcul exacte versus calcul approximatif
Lorsque l'on fait du calcul exacte, ce qui est le cas dans la très grande majorité des
problèmes du cours, les valeurs décimales ne sont habituellement pas permisent. Il
est donc obligatoire de travailler en fractions ou en radical.
Lorsque l'on fait des approximations, comme c'est le cas dans cette section et dans
plusieurs problèmes d'application, il est au contraire souhaitable de travailler en
décimales.
Les valeurs décimales sont interprété en mathématiques comme étant des valeurs
approximatives.
Exemple: Calculer approximativement la valeur de 66
Comme on essaie de calculer une racine carré, on va définir f (x) = x
on doit ensuite trouver une valeur de x pour laquelle la fonction est
facile à évaluer. Plus la valeur de x choisit est proche, plus l'approximation
est bonne.
Prenons x0 = 64. Dans ce cas, f (x0 ) = 64 = 8
Ce n'est cependant pas exactement la valeur que nous cherchons. Nous cherchons
à évaluer la fonction au point x1 = 66. On a donc:
Δx = x1 − x0 = 66 − 64 = 2
dx = Δx = 2
Δy = f (x1 ) − f (x0 ) = f (x1 ) − 8
dy = f '(x0 )dx =
1
1
1
dx =
⋅ 2 = = 0,125
2⋅8
8
2 (x0 )
Comme Δx = dx est petit, alors Δy ≈ dy, ce qui nous donne: Δy = f (x1 ) − 8 ≈ dy = 0,125
On obtient donc: f (x1 ) = Δy + 8 ≈ dy + 8 = 0,125 + 8 = 8,125
On peut donc conclure que 66 ≈ 8,125
La valeur exacte étant 8,1240384, il s'agit donc d'une approximation très satisfaisante
Exemple: Calculez approximativement la valeur de e0,1
Réponse: Posons f (x) = e x avec x0 = 0 et x1 = 0,1.
On a donc:
Δx = x1 − x0 = 0,1− 0 = 0,1
dx = Δx = 0,1
Δy = f (x1 ) − f (x0 ) = f (x1 ) − 1
dy = f '(x0 )dx = e0 ⋅ 0,1 = 0,1
Comme Δx = dx est petit, on a que Δy ≈ dy. On trouve donc que
e0,1 = f (x1 ) = Δy +1 ≈ dy + 1 = 1,1
La valeur exacte étant 1,10517, il s'agit donc encore une fois
d'une bonne approximation.
Exemple: En mesurant le coté d'un carré à l'aide d'un instrument dont la précision est de
±0,2cm, nous obtenons 20cm. Calculez approximativement l'erreur absolue de la mesure
de l'aire du carré.
Rappel: L'erreur absolue est définie comme étant ΔA ou A est l'aire du carré.
Réponse: Nous avons l'aire est donnée par la formule A(x) = x 2 ,
x0 = 20, dx = ±0,2 et ΔA ≈ dA
Ce qui nous donne:
ΔA ≈ dA = A'(x0 )dx = 2x0 dx = 2(20)(±0,2) = ±8
Et donc l'erreur absolue est ΔA ≈ 8cm 2
2. Intégrale indéfinie et formule de
base
Définition: Une fonction F est appellé primitive (ou antidérivée) d'une fonction f si
F ′(x) = f (x)
Définition: Nous appelons intégrale indéfinie de la fonction f (x), noté
∫ f (x)dx toutes
expression de la forme F(x) + C où F(x) est une primitive de f (x) et C ∈. Ainsi,
∫ f (x)dx = F(x) + C, si F ′(x) = f (x)
Exemple: Calculez ∫ 3x 2 dx
Réponse: ∫ 3x 2 dx = x 3 + C, car
d 3
x = 3x 2
dx
9
Formule de base pour l'intégration:
x r+1
∫ x dx = r + 1 + C,
1
∫ x dx = ln x + C
r
si r =/ −1
∫ cos(x)dx = sin(x) +C
∫ sin(x)dx = − cos(x) + C
∫ sec (x)dx = tan(x) + C
∫ csc (x)dx = − cot(x) + C
∫ sec(x)tan(x)dx = sec(x) + C
∫ csc(x)cot(x)dx = − csc(x) + C
∫ e dx = e + C
2
2
x
x
ax
∫ a dx = ln(a) + C
1
∫ 1− x 2 dx = arcsin(x) + C
1
∫ 1+ x 2 dx = arctan(x) + C
1
∫ x x 2 − 1dx = arcsec(x) + C
x
Propriétés de l'intégrale indéfinie
∫ f (x)dx = F(x) + C et ∫ g(x)dx = G(x) + C , alors:
∫ k f (x)dx = k ∫ f (x)dx = kF(x) + C , ∀k ∈
∫ ( f (x) + g(x))dx = ∫ f (x)dx + ∫ g(x)dx = F(x) + G(x) + C
Théorème: Si
(1)
(2)
1
2
3
4
Exemple: Calculez
∫ (5sin(x) + 3e )dx
x
Réponse:
∫ (5sin(x) + 3e )dx = ∫ 5 sin(x)dx + ∫ 3e dx
= 5 ∫ sin(x)dx + 3∫ e dx
x
x
x
= −5 cos(x) + 3e x + C
Remarque: Il est souvent nécessaire de transformer l'intégrande avant de pouvoir
utiliser les formules de base.
Exemple: Calculez
Réponse:
∫ ((3x
2
∫ ((3x
2
)
+ 4x) x dx
)
+ 4x) x dx = ∫ ( (3x 2 + 4x)x1/2 ) dx = ∫ ( 3x 5/2 + 4x 3/2 )dx
= 3∫ x
5/2
dx + 4 ∫ x
3/2
x 7/2
x 5/2
dx = 3
+4
+C
7/2
5/2
6x 7/2 8x 5/2
=
+
+C
7
5
6x 3 + 4x 2 + 2x
Exemple: Calculez ∫
dx
x2
Réponse:
⎛ 6x 3 4x 2 2x ⎞
6x 3 + 4x 2 + 2x
1
dx
=
+
+
dx
=
6
x
dx
+
4
1dx
+
2
∫
∫ ⎜⎝ x 2 x 2 x 2 ⎟⎠
∫
∫
∫ x dx
x2
6x 2
=
+ 4x + 2 ln(x) + C
2
Exemple: Calculez
∫ tan (x)dx
Exemple: Calculez
1
∫ 1+ cos(x) dx
2
3. Intégration à l’aide d’un changement
de variable
Théorème: Si G est une primitive de la fonction g(x), alors
∫ g( f (x)) f ′(x)dx = G( f (x)) + C
Exemple: Calculez
∫ (3x + 1)
10
dx
Réponse: Si on pose u = 3x + 1, alors on a:
u = 3x + 1
du = 3dx
1
dx = du
3
1 10
1 u11
u11
(3x + 1)11
10
10 1
∫ (3x + 1) dx = ∫ u 3 du = 3 ∫ u du = 3 11 + C = 33 + C = 33 + C
On peut ensuite vérifier notre réponse en calculant la dérivé
14
Exemple: Calculez
∫ sin(2x + 5)dx
Réponse: En utilisant la même méthode que précédement, on pose u = 2x + 5
1
et donc on a du = 2dx ⇔ dx = du
2
En remplaçant dans l'intégrale, on obtient:
1
−1
−1
sin(2x
+
5)dx
=
sin
(u)
du
=
cos(u)
+
C
=
cos(2x + 5) + C
∫
∫
2
2
2
Exemple: Calculez ∫ xe
2 x 2 +3
dx
Réponse: On pose u = 2x 2 + 3, on a donc du = 4xdx ⇔ dx =
En remplaçant dans l'intégrale, on obtient:
1 u
1 u
1 2 x 2 +3
2 x 2 +3
u 1
x
e
dx
=
x
e
du
=
e
du
=
e
+
C
=
e
+C
∫
∫ 4x
∫4
4
4
1
du
4x
Exemple: Calculez ∫ tan(x)dx
Réponse: Ici on doit utiliser la relation tan(x) =
∫ tan(x)dx = ∫
sin(x)
ce qui nous donne:
cos(x)
sin(x)
dx
cos(x)
En posant u = cos(x), on obtient du = − sin(x)dx ⇔ dx =
−1
du
sin(x)
En remplaçant dans l'intégrale, nous obtenons:
sin(x)
sin(x) −1
−1
tan
(x)dx
=
dx
=
du
=
∫
∫ cos(x) ∫ u sin(x) ∫ u du = − ln u + C = − ln cos(x) + C
Exemple: Calculez ∫ x 3 cos(x 4 + 2)dx
Réponse: On pose u = x 4 + 2 ce qui nous donne du = 4x 3dx ⇔ dx =
1
du
4x 3
On a donc:
1
1
du
=
cos(u)du
4x 3
4∫
1
1
= sin(u) + C = sin(x 4 + 2) + C
4
4
3
4
3
∫ x cos(x + 2)dx = ∫ x cos(u)
Exemple: Calculez ∫ x 5 1+ x 2 dx
Réponse: Posons u = 1+ x 2 ⇔ x 2 = u − 1 on a donc du = 2xdx ⇔ dx =
On a donc:
1
1
1
du = ∫ x 4 udu = ∫ (u − 1)2 udu
2x
2
2
1
1
= ∫ (u 2 − 2u + 1) udu = ∫ (u 5/2 − 2u 3/2 + u1/2 )du
2
2
1 ⎛ u 7/2
u 5/2 u 3/2 ⎞
= ⎜
−2
+
+C
2⎝ 7/2
5 / 2 3 / 2 ⎟⎠
5
2
5
x
1+
x
dx
=
x
∫
∫ u
=
1
2
1
(1+ x 2 )7/2 − (1+ x 2 )5/2 + (1+ x 2 )3/2 + C
7
5
3
1
du
2x
Exemple: Calculez
ln(x)
∫ x dx
Réponse: On pose u = ln(x) ce qui nous donne du =
1
dx ⇔ xdu = dx
x
ln(x)
u
u2
(ln(x))2
∫ x dx = ∫ x xdu = ∫ udu = 2 + C = 2 + C
Exemple: Calculez
1
∫ cos2 (x) 1+ tan(x) dx
Réponse: On pose u = 1+ tan(x) donc du = sec 2 (x)dx ⇔ dx =
1
du = cos 2 (x)du
2
sec (x)
1
cos 2 (x)du
u1/2
−1/2
Donc: ∫
dx = ∫
= u du =
+ C = 2 1+ tan(x) + C
1/ 2
cos 2 (x) 1+ tan(x)
cos 2 (x) u ∫
Nouvelles formules d’intégration
∫ tan(x)dx = − ln | cos(x) | +C
∫ cot(x)dx = ln | sin(x) | +C
∫ sec(x)dx = ln | sec(x) + tan(x) | +C
∫ csc(x)dx = − ln | csc(x) + cot(x) | +C
Exercice: En utilisant des changements de variables, démontrez chacune des
formules ci dessus
e x cot(e x + 1)
Exemple: Calculez l'intégrale ∫
dx
x
Réponse: En posant u = e
x
+ 1 on obtient du =
1
2 x
e x cot(e x + 1)
dx = ∫ 2 cot(u)du = 2 ln | sin(u) | +C = 2 ln sin(e
∫
x
3e2 x
Exercice: Calculez l'intégrale ∫
dx
2x
sin(e )
2 xdu
= dx
x
e
e x dx ⇔
x
+ 1) + C
4. Résolution d’équations
différentielles
Définition: Une équation différentielle (ordinaire) est une équation dans laquelle l'inconnue
est une fonction et dans laquelle nous trouvons une ou plusieurs dérivés de cette fonction.
Définition: Une solution d'une équation différentielle est une fonction vérifiant cette équation
Exemple: L'équation y''− 3y'+ 2y = 0 est une équation différentiel. Selon la notation de
d2y
dy
Leibniz on écrira 2 − 3 + 2y = 0
dx
dx
21
Il existe plusieurs exemples (très) important d'équations différentielles. En voici quelques unes:
Équation de Newton: Il s'agit de l'une des équations les plus importantes de la physique
mécanique classique
d2 x
F =m 2
dt
Équations de Maxwell: Il s'agit d'un ensemble de 4 équations permettant de décrire la théorie
de l'électromagnétisme classique. Ces équations permettent entre autre
de relier le champs magnétiques et le champs électrique.
Équation de Schrodinger: Cette équation est à la base de la physique quantique et de la
chimie quantique.
@
i~
(r, t) = Ĥ (r, t)
@t
Équations de Navier-Stoke: Il s'agit d'un ensemble d'équations permettant de décrire la
mécanique des fluides. Elle est importante dans la modélisation
des courrants marins et en météorologie. Un prix d'un million
de dollar US est offert pour la première personne qui réussira à
résoudre ces équations (et publier la solution)
22
Exemple: Vérifions que la fonction y = e2 x est une solution de l'équation
différentielle suivante: y''− 3y'+ 2y = 0
Réponse: On a y = e2 x ,
Ce qui nous donne:
y' = 2e2 x
et
y'' = 4e2 x
y''− 3y'+ 2y = 4e2 x − 3( 2e2 x ) + 2e2 x = ( 4 − 6 + 2 ) e2 x = 0
Il s'agit donc d'une solution de l'équation.
Exercice: Vérifiez que la fonction y = 2sin(3x) est une solution de l'équation
différentielle suivante: y''+ 9y = 0
Exemple: Trouvez l'ensemble des solutions de l'équation différentielle suivante:
dy y 2
= 2
dx x
Réponse:
dy y 2
dy dx
dy
dx
= 2
⇔
=
⇔
=
∫ y2 ∫ x 2
dx x
y2 x 2
et donc l'ensemble des solutions est
−x = −y + yxC = y(−1+ xC)
−x
x
y=
=
−1+ Cx 1− Cx
Où C est une constante.
⇔
−1 −1
=
+C
y
x
Exercice: Vérifiez qu'il s'agit bien de solution de l'équation différentielle
Exemple: Trouvez l'ensemble des solutions de l'équation différentielle suivante:
( 4y
2
− 3) xdy − ( 2 − x ) ydx = 0
Réponse: On commence par séparer les variables:
( 4y
( 4y
2
2
− 3) xdy = ( 2 − x ) ydx
− 3)
y
4y
(
∫
2
dy =
− 3)
y
( 2 − x ) dx
dy = ∫
x
( 2 − x ) dx
x
3
2
4
ydy
−
dy
=
∫
∫ y ∫ x dx − ∫ dx
2y 2 − 3ln | y |= 2 ln | x | −x + C
Exemple: Si on impose que la solution doit passer par le point ( −4,e3 ) , trouvez la
valeur de C.
Réponse:
2e6 − 3ln | e3 |= 2 ln | −4 | +4 + C
2e6 − 9 = 2 ln(4) + 4 + C
C = 2e6 − 2 ln(4) − 13
5. Application de l’intégrale indéfinie
Exemple d'application à la physique
On lance une balle verticallement du haut d'un édifice de 100m de haut avec une vitesse
initiale de 25m/s (vers le haut).
(a) Trouvez une fonction d'écrivant la vitesse en fonction du temps
(b) Trouver la vitesse au temps t = 1s, t = 2s
(c) Trouvez une fonction d'écrivant la position de la balle en fonction du temps
(d) Combien de temps la balle prendra pour atteindre le sol ?
Quelques rappels avant de commencer:
(1) L'accélération est la dérivé de la vitesse par rapport au temps
(2) La vitesse est la dérivé de la position par rapport au temps
(3) Sur terre, l'accélération gravitationnelle est d'environ 9,8m/s 2
26
Réponse:
(1)
(2)
(3)
(4)
On a donc a = −9,8 =
dv
⇒ −9,8dt = dv ⇒ ∫ −9,8dt = ∫ 1dv ⇒ −9,8t = v + C
dt
⇒ v(t) = −9,8t + C
Sachant que v(0) = 25 on peut calculer la valeur de C
v(0) = 25 = −9,8(0) + C ⇒ C = 25
La fonction est donc: v(t) = −9,8t + 25
On peut maintenant calculer la vitesse quand t = 1 et t = 2
v(1) = −9,8(1) + 25 = 15,2
Donc la vitesse est 15,2m/s vers le haut
v(2) = −9,8(2) + 25 = 5, 4 Donc la vitesse est de 5,4m/s vers le haut
dx
On a: v =
= −9,8t + 25 ⇒ dx = (−9,8t + 25)dt ⇒ ∫ d x = ∫ (−9,8t + 25)dt
dt
x = −4,9t 2 + 25t + C pour trouver la constante, on utilise le point x(0) = 100
x(0) = C = 100. Donc la position en fonction du temps est donné par la fonction
x(t) = −4,9t 2 + 25t + 100
Pour trouver combien de temps il est nécessaire à la balle pour toucher le sol, on
résoult l'équation x(t) = −4,9t 2 + 25t + 100 = 0
−25 ± 625 − 4(−4,9)(100) −25 ± 2585 −25 ± 50,8
=
=
= 7, 73s
2(−4,9)
−9,8
−9,8
Exemple de problème de croisssance et décroissance exponentielles
La population d'une ville augnmente proportionnellement en tout temps à la population
présente à un taux continu de 2% par année. Si en 2011 la population était de 270 000
habitants,
(1) Trouvez une fonction d'écrivant la population de la ville en fonction du temps
(2) Trouvez quel sera la population de la ville en 2021
(3) Combien d'année sera nécessaire pour que la population de la ville atteingne 300 000 habitant ?
Réponse:
(1)
On pose d'abord une équation différentielle:
dP
= 0,02P
dt
dP
500dP
= dt ⇒ ∫
= ∫ dt ⇒ 500 ln | P |= t + C ce qui nous donne: P(t) = e0,02t+B = Ae0,02t
0,02P
P
pour trouver la constante on utilise P(0) = 270000, on a donc: A = 270000
Donc P(t) = 270000e0,02t
(2)
(3)
En 2021, on sera à t = 10. Ce qui nous donne: P(10) = 270000e0,2 ≈ 329779 habitants
Pour trouver combien d'année sera nécessaire pour avoir une population de 300000 habitants
on doit résoudre l'équation P(t) = 270000e0,02t = 300000
⇒ e0,02t =
10
⎛ 10 ⎞
⇒ 0,02t = ln ⎜ ⎟
⎝ 9⎠
9
⎛ 10 ⎞
⇒ t = 50 ln ⎜ ⎟ ≈ 5,27 années
⎝ 9⎠
Exemple:
Dans une culture de bactérie, le nombre de bactéries s'accroît à un taux proportionnel
au nombre de bactéries présentes. Si au début de l'expérience on compte 100 bactéries
et deux jours après on en compte 500, trouvez un équation donnant la nombre de
bactéries en fonction du temps
Réponse:
On pose à nouveau un équation différentielle:
dN
= KN, ici le K dénote une constante
dt
qu'on va devoir trouver.
dN
dN
= Kdt ⇒ ∫
= ∫ K dt ⇒ ln | N |= Kt + C ⇒ N(t) = eKt+C = eC eKt = eC (eK )t
N
N
Pour trouver eC , on utilise l'équation N(0) = eC e0 = eC = 100
Donc l'équation devient: N(t) = 100(eK )t
ensuite, pour trouver e K on utilise l'équation N(2) = 100(eK )2 = 500
(eK )2 = 5
⇒ eK = 5
On obtient donc l'équation suivante:
N(t) = 100( 5 )t
Exemple:
Considérons une substance radioactive de masse initiale Q0 , dont la masse après 100ans est de 80%
de Q 0 . Trouvez la demi-vie de la substance.
Rappel: La demi-vie est le temps nécessaire pour que la masse de la substance diminue de 50%.
Réponse: On commence à nouveau par poser l'équation différentielle:
On a donc:
dQ
= KQ
dt
dQ
dQ
= Kdt ⇒ ∫
= ∫ K dt ⇒ ln(Q) = Kt + C ⇒ Q(t) = eKt+C = eC (eK )t
Q
Q
Pour trouver eC on utilise l'équation Q(0) = Q0 = eC et donc: Q(t) = Q0 (eK )t
Ensuite pour trouver e K on utilise l'équation Q(100) = 0,8Q0 = Q0 (eK )100 ⇒ 0,8 = (eK )100
⇒ e K = 100 0,8 = 0,81/100
L'équation devient donc: Q(t) = Q0 (0,8)t /100
Finalement pour trouver la demi-vie, on cherche t tel que Q(t) = 0,5Q0 = Q0 (0,8)t /100
0,5 = (0,8)t /100 ⇒ ln(0,5) =
t
100 ln(0,5)
ln(0,8) ⇒ t =
≈ 310,6 années
100
ln(0,8)