Probabilités conditionnelles et Indépendance en probabilité I

Probabilités conditionnelles et Indépendance en probabilité
I - Probabilités conditionnelles
1 - Dé…nition : Soit une probabilité Pdé…nie sur un univers et A; B deux événements de avec P(B)6= 0:On
appelle probabilité de Asachant B; ou probabilité de Asi B; notée PB(A)(ou P(A=B));le nombre P(A\B)
P(B):
PB(A) = P(A\B)
P(B)
2 - Propriétés :
i) PBest une probabilité.
ii) S’il y a équiprobabilité, PB(A) = card(A\B)
card(B):
iii) P(A\B) = P(B)PB(A) = P(A)PA(B):
Arbre de probabilités :
Exemple : Un sac contient 25 boules : 15 blanches et 10 noires. L’expérience consiste à tirer une 1ère boule, puis une seconde
sans remise de la 1ère dans le sac. Déterminons la probabilité de :
E: les 2 boules sont blanches
F: la 1ère est noire et la 2ème est blanche
G: le tirage est bicolore.
Soit A: la 1ère boule est blanche et B: la 2ème est blanche.
P(A) = 15
25 =3 5;PA(B) = 14 24 =7 12 ;PA(B) = 15 24 =5 8:
P(E) = P(A)PA(B) = 3
57 12 =7 20 . De même P(F) = 2 55 8=1 4.
P(G) = PA\B[A\B =PA\B+PA\B=3
55 12 +2 55 8=1 2.
II - Probabilités totales
1 - Formule des probabilités totales :
P(D) = P(A)P(D=A) + PAPD=A
P(D) = P(A)P(D=A) + P(B)P(D=B) + P(C)P(D=C)où fA; B; Cgest une partition de 
Preuve :
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1

Arbre de probabilités :
2 - Exemple: Un sac contient des jetons de trois couleurs : la moitié de blancs, le tiers de verts et le
sixième de jaunes. 50 % des blancs sont ronds, 30 % des verts sont ronds et 40 % des jaunes sont ronds.
Tous les autres sont carrés. On tire un jeton au hasard. Quel est la probabilité pour qu’il soit rond ?
Réponse : P(R) = 1
20;5 + 1 30;3 + 1 60;4 = 5 12 :
III - Indépendance en probabilité :
1 - Evénements indépendants
Dé…nition :
Deux événements Aet Bsont indépendants pour la probabilité Psi, et seulement si, P(A\B) = P(A)P(B):
Propriété : Soient deux événements Aet Bavec P(A)6= 0 et P(B)6= 0:Alors Aet Bsont indépendants pour la
probabilité Psi, et seulement si, P(A) = PB(A)(ou aussi P(B) = PA(B)).
Preuve :
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Exemple: On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes. Soient les événements :
A : la carte est rouge; B : la carte est un coeur; C : la carte est un As.
a) A et B sont-ils indépendants ? Même question pour B et C.
P(A) = 16
32 =1 2;P(B) = 8 32 =1 4;ensuite P(A)P(B) = 1 8;comme A\B=B; P (A\B) = 1 4:
Donc P(A\B)6=P(A)P(B);et Aet Bne sont pas indépendants.
P(B\C) = 1
32 ;P(C) = 4 32 =1 8:
P(B)P(C) = 1
41 8=1 32 =P(B\C):Donc Bet Csont indépendants.
b) On e¤ectue 5 tirages successifs avec remise après chaque tirage. Quelle est la probabilité pour que les 5 cartes soient rouges?
cette probabilité est égale à (P(A))5=1
25=1 32 .
2 - Variables aléatoires indépendantes
Dé…nition : Soient deux variables aléatoires Xet Yassociés à la même expérience aléatoire, avec X() = fx1; x2; :::; xng
et Y() = fy1; y2; :::; ymg:On dit que Xet Ysont indépendants pour la probabilité Psi, et seulement si, pour tout
i2 f1;2; :::; nget j2 f1;2; :::; mgP((X=xi)\(Y=yj)) = P(X=xi)P(Y=yj):
Exemple: On lance deux dés parfaitement équilibrés. Soient les variables aléatoires :
X:somme des deux nombres obtenus.
Y:produit des deux nombres obtenus.
P(X= 2) = 1
36 ;P(Y= 3) = 2 36 =1 18 ;P((X= 2) \(Y= 3)) = P(?) = 0:
Donc P((X= 2) \(Y= 3)) 6=P(X= 2) P(Y= 3) ;et Xet Yne sont pas indépendants.
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