Probabilités conditionnelles et Indépendance en probabilité I

Probabilités conditionnelles et Indépendance en probabilité
I - Probabilités conditionnelles
1 - Dé…nition : Soit une probabilité P dé…nie sur un univers et A; B deux événements de avec P (B) 6= 0: On
appelle probabilité de A sachant B; ou probabilité de A si B; notée PB (A) (ou P (A=B)); le nombre P P(A\B)
(B) :
PB (A) =
P (A \ B)
P (B)
2 - Propriétés :
i) PB est une probabilité.
ii) S’il y a équiprobabilité, PB (A) = card(A\B)
card(B) :
iii) P (A \ B) = P (B) PB (A) = P (A) PA (B) :
Arbre de probabilités :
Exemple : Un sac contient 25 boules : 15 blanches et 10 noires. L’expérience consiste à tirer une 1ère boule, puis une seconde
sans remise de la 1ère dans le sac. Déterminons la probabilité de :
E : les 2 boules sont blanches
F : la 1ère est noire et la 2ème est blanche
G : le tirage est bicolore.
Soit A : la 1ère boule est blanche et B : la 2ème est blanche.
P (A) =
15
25
= 53 ; PA (B) =
14
24
3
5
=
7
15
5
12 ; PA (B) = 24 = 8 :
7
7
12 = 20 . De même P
(F ) =
2
5
5
8
P (G) = P A \ B [ A \ B = P A \ B + P A \ B =
II - Probabilités totales
1 - Formule des probabilités totales :
3
5
5
12
P (E) = P (A)
PA (B) =
P (D) = P (A)
P (D) = P (A)
P (D=A) + P A
P (D=A) + P (B)
P D=A
P (D=B) + P (C)
=
+
1
4
2
5
.
5
8
P (D=C)
=
1
2
.
où fA; B; Cg est une partition de
Preuve :
.
.
.
.
.
.
.
1
Arbre de probabilités :
2 - Exemple: Un sac contient des jetons de trois couleurs : la moitié de blancs, le tiers de verts et le
sixième de jaunes. 50 % des blancs sont ronds, 30 % des verts sont ronds et 40 % des jaunes sont ronds.
Tous les autres sont carrés. On tire un jeton au hasard. Quel est la probabilité pour qu’il soit rond ?
Réponse : P (R) =
1
2
0; 5 +
1
3
0; 3 +
1
6
0; 4 =
5
12
:
III - Indépendance en probabilité :
1 - Evénements indépendants
Dé…nition :
Deux événements A et B sont indépendants pour la probabilité P si, et seulement si, P (A \ B) = P (A) P (B) :
Propriété : Soient deux événements A et B avec P (A) 6= 0 et P (B) 6= 0: Alors A et B sont indépendants pour la
probabilité P si, et seulement si, P (A) = PB (A) (ou aussi P (B) = PA (B)).
Preuve :
.
.
.
Exemple: On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes. Soient les événements :
A : la carte est rouge; B : la carte est un coeur; C : la carte est un As.
a) A et B sont-ils indépendants ? Même question pour B et C.
16
8
P (A) = 32
= 12 ; P (B) = 32
= 14 ; ensuite P (A) P (B) = 81 ; comme A \ B = B; P (A \ B) = 14 :
Donc P (A \ B) 6= P (A) P (B) ; et A et B ne sont pas indépendants.
1
4
P (B \ C) = 32
; P (C) = 32
= 81 :
1
1
1
P (B) P (C) = 4 8 = 32 = P (B \ C) : Donc B et C sont indépendants.
b) On e¤ectue 5 tirages successifs avec remise après chaque tirage. Quelle est la probabilité pour que les 5 cartes soient rouges?
5
1
cette probabilité est égale à (P (A)) = 215 = 32
.
2 - Variables aléatoires indépendantes
Dé…nition : Soient deux variables aléatoires X et Y associés à la même expérience aléatoire, avec X ( ) = fx1 ; x2 ; :::; xn g
et Y ( ) = fy1 ; y2 ; :::; ym g : On dit que X et Y sont indépendants pour la probabilité P si, et seulement si, pour tout
i 2 f1; 2; :::; ng et j 2 f1; 2; :::; mg P ((X = xi ) \ (Y = yj )) = P (X = xi ) P (Y = yj ) :
Exemple: On lance deux dés parfaitement équilibrés. Soient les variables aléatoires :
X : somme des deux nombres obtenus.
Y : produit des deux nombres obtenus.
1
2
1
P (X = 2) = 36
; P (Y = 3) = 36
= 18
; P ((X = 2) \ (Y = 3)) = P (?) = 0:
Donc P ((X = 2) \ (Y = 3)) 6= P (X = 2) P (Y = 3) ; et X et Y ne sont pas indépendants.
2