Corr 8 - C. Holtzmann

FEUILLE
8
BCPST 2 - Lycée F1
Densité de probabilité
Exercice 5: [Indications] [Correction] – Cours – Calculer – Soit X une v.a de
fonction de répartition FX . Déterminer, en fonction de FX , la fonction de répartition de la v.a.d. Y , où
1. Y = ln X. (avec X positive.)
2. Y = eX .
Fonction de répartition
Exercice 1: [Indications] [Correction] – Cours – Soit X une variable aléatoire
discrète. On sait qu’il existe a, b ∈ N tels que la fonction de répartition de X est

b
si x < 1



2a si 1 6 x < 3
F (x) =

5a si 3 6 x < 4



10a si x > 4
1.
2.
Densité
Exercice 6: [Indications] [Correction] – Cours – Calculer –
Soit une variable aléatoire X de densité de probabilité
(
k x si x ∈ [0, 4],
f (x) =
0
sinon.
Déterminer l’unique valeur possible de (a, b).
Déterminer la loi de X.
Exercice 2: [Indications] [Correction] – Cours – On choisit au hasard 2 numéros distincts de l’ensemble {−2, −1, 0, 1, 2}.
1. Déterminer un espace probabilisé adapté à cette expérience.
Soit X le produit des deux numéros obtenus.
2. Déterminer la loi de X.
3. En déduire la fonction de répartition de X.
4. Calculer E[X].
1.
2.
3.
4.
5.
Déterminer la constante k.
Déterminer P (X − 2)(X − 6) 6 0 .
2
Déterminer la fonction de répartition
de la variable Y = (X − 2) .
Retrouver P (X − 2)(X − 6) 6 0 grâce à la fonction de répartition de X.
Déterminer la densité de Y .
[Correction] (Loi de Laplace) – Cours – Calculer –
1
Soit f : R → R la fonction définie par f : x → e−|x| .
2
1. Montrer que f est une densité de probabilité sur R.
2. Soit X une V.A.R. admettant pour densité f , déterminer sa fonction de répartition F .
3. Montrer que les moments de tous ordres existent et calculer l’espérance et la
variance de X.
Exercice 7:
Exercice 3: [Indications] [Correction] – Cours – Soient a et b deux nombres
réels et X une v.a.. On pose Y = aX + b
1. Déterminer la fonction de répartition de Y en fonction de celle de X.
2. Application : On pose a = 2, b = 3. Supposons que X suit une loi uniforme
sur {1, . . . , 4}. Déterminer le graphique de la fonction de répartition de Y .
Exercice 4: [Indications] [Correction] – Cours – Raisonner – Soient X, Y deux
v.a. indépendantes de fonction de répartition FX , FY . Déterminer en fonction de
FX et FY les fonctions de répartition des v.a.
1. min(X, Y ).
2. max(X, Y )
[Indications]
Exercice 8: [Indications] [Correction] – Cours – Calculer – Raisonner –
Soit X une V.A.R. à valeurs dans R∗+ admettant une densité f . On note F sa
fonction de répartition.
√
1. Exprimer en fonction de F les probabilités P ( X 6 x) et P (ln(X) 6 x) où
x ∈ R.
√
2. En déduire l’expression, en fonction de f , des densités g et h des V.A.R. X
et ln(X).
1
— Feuille 8: Densité de probabilité —
Exercice 9: [Indications] [Correction] (Loi de Pareto) – Cours – Calculer –
Soit α > 0 et a > 0 et f : R → R la fonction définie par
f : x 7→
1.
2.
3.
Exercice 14: [Indications] [Correction] – Cours – Calculer – Soit X une V.A.R.
suivant la loi U]−1,1[ .
1. Montrer que Y = X 2 est une variable à densité
2. Déterminer la densité de Y .
3. Déterminer l’espérance et la variance de Y .
α a α+1
1[a,+∞[ (x).
a x
Montrer que f est une densité de probabilité sur R.
Soit X une V.A.R. admettant pour densité f , déterminer sa fonction de répartition F .
Calculer, si elles existent, l’espérance et la variance de X.
Exercice 15: [Indications] [Correction] – Cours – Calculer – Soient X1 , X2 , X3
trois variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes chacune de loi uniforme sur [0; 1]. Déterminer la loi de
1. X1 + X2
2. X1 − X2
K
3. X1 + X2 + X3
KK
Exercice 10: [Indications] [Correction] – Cours – Calculer –
Soit X une V.A.R. admettant pour densité f . (On pourra supposer f continue
pour les calculs.)
1. Montrer que |X| est V.A.R. admettant pour densité :
x → (f (x) + f (−x)) 1[0,+∞[ (x).
Lois normales
Montrer que X 2 est V.A.R. admettant pour densité :
√
√
1
x → √ (f ( x) + f (− x)) 1]0,+∞[ (x).
2 x
Exercice 11: [Indications] [Correction] (Loi de Cauchy) – Cours – Calculer –
1
Soit X une V.A.R. admettant pour densité f définie sur R par f (x) =
.
π(1 + x2 )
1. Calculer P (X 2 − X < 0).
2. X admet-elle une espérance ? Une variance ?
3. Déterminer une densité g de X 2 .
2.
Exercice 12: [Indications] [Correction] – Cours – Calculer –
On considère la fonction f définie par
1
∀x ∈ R∗ .
f (x) = C 1 − e− x2
Exercice 16:
[Indications] [Correction] – Calculer – Modéliser – Soit A une
V.A.R. suivant la loi N (3, 2).
Quelle est la probabilité que l’équation x2 − Ax + 1 = 0 admette :
1. une seule racine réelle ?
2. deux racines complexes non réelles ?
3. deux racines réelles distinctes ?
Exercice 17: [Indications] [Correction] – Cours – Soit X une V.A.R. suivant
la loi N (2, 1), déterminer la loi de
1. Y = −X.
2. Y = −2X.
3. Y = X + b
K
Exercice 18:
[Indications] [Correction] – Calculer – Mobiliser – Soit X une
variable aléatoire de loi normale N (0; 1).
1. Soit Z = eX . Montrer que Z est une variable aléatoire à densité, dont on
déterminera une densité f Z . (Cette loi s’appelle la loi log-normale.)
2. Montrer que Z admet des moments de tous ordres. Les calculer.
3. En déduire l’espérance et la variance de Z.
Déterminer C de sorte que f définisse une densité de probabilités sur R.
Loi uniforme
Exercice 19: [Indications] [Correction] – Raisonner – Calculer – Modéliser –
La variable aléatoire X égale au poids d’une carotte du potager de Raimonde suit
une loi normale. Sur une récolte de 400 carottes, 250 font moins de 20 grammes et
380 font plus de 12 grammes.
1. On suppose que ces proportions pratiques sont fidèles à la théorie. Évaluer
E[X] et σ(X).
2. Évaluer le pourcentage de carottes pesant plus de 18 grammes.
3. On arrache une carotte au hasard. Sachant qu’elle pèse plus de 15 grammes,
calculer la probabilité pour qu’elle pèse moins de 18 grammes.
Exercice 13: [Indications] [Correction] – Cours – Calculer –
Soit X une V.A.R. suivant la loi U ]− π , π [ .
2 2
1. Tracer les repésentations graphiques de la densité et de la fonction de répartition X.
2. Déterminer E[X] et V [X].
3. Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire Y = tan(X) et
en déduire si c’est une variable aléatoire à densité. (On déterminera la densité
si c’est le cas.)
2
— Feuille 8: Densité de probabilité —
Exercice 20: [Indications] [Correction] – Raisonner – Calculer –
K
Soient b un nombre réel strictement positif et X une variable aléatoire suivant la
loi normale de paramètres m et σ 2 , avec m = E(X) et σ 2 = V (X).
Déterminer a pour que la probabilité de l’événement (a < X ≤ a+b) soit maximale.
Exercice 23: [Indications] [Correction] – Cours – Calculer –
Soit X une V.A.R. suivant la loi exponentielle de paramètre 1.
1. Calculer la valeur exacte de P (tan X > 0).
2. Calculer E[e−X ].
3. En utilisant l’exercice précédent, simuler une valeur au hasard de tan X.
Exercice 21:
[Indications] [Correction] – Cours – Calculer – Modéliser –
Louise achète 9 sacs de blé à Robert d’une contenance étiqueté de 80kg chacun.
(Elle s’attend donc à avoir 720kg de blé...) Robert d’étant pas toujours attentif, la
masse du blé contenu dans un sac suit en réalité une loi normale N (80; 0.25). Les
sacs sont mutuellements indépendants. Soit X la quantité de blé, en kilogrammes,
que Robert lui a effectivement vendu.
1. Établir la loi de X.
2. Calculer la probabilité pour que Louise ait acheté en réalité moins de 720 kg
de blé.
3. Dans le mois qui suit, les souris mangent en moyenne 50 kg de blé avec un
écart-type de 20kg. En supposant que cette perte due aux rongeurs suit une
loi normale, on note Y la quantité de blé qui lui restera au bout du mois,
quand elle commencera à l’utiliser pour nourrir ses poules. Établir la loi de
Y.
4. a) Déterminer a tel que Φ(a) = 0.05 (où Φ est la fonction de répartition
d’une loi normale centrée réduite.)
b) Chaque poule picore en moyenne 150 grammes de blé par jours, avec
un écart-type de 50, en suivant une loi normale. Quelle est la loi de la
quantité de blé mangée en un an par une poule ? (On suppose que le chat
a mangé les souris et que les souris sont indépendantes.)
c) Combien Louise peut-elle nourrir de poules au maximum pendant un
an (année non bissextile), avec une probabilité égale à 0.95 de ne pas
manquer de grain ?
Exercice 24: [Indications] [Correction] – Calculer – Soit X une V.A.R. suivant
la loi exponentielle de paramétre α.
Déterminer la loi de Y = ln X.
Exercice 25: [Indications] [Correction] – Calculer – Cours – Soient X, Y deux
variables aléatoires indépendantes, de même loi exponentielle de paramètre θ.
1. Montrer que X 3 est à densité, et en déterminer une densité.
2. Montrer que min(X, Y 3 ) est à densité. (On ne demande pas de la calculer.)
3. Montrer que X − Y est à densité et déterminer une densité de X − Y .
K
Exercice 26: [Indications] [Correction] – Calculer –
K
Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois exponentielles de paramètres respectifs λ et µ. Déterminer la loi de :
1. X + Y
X −Y
.
2.
2
Exercice 27: [Indications] [Correction] Loi exponentielle ; sans mémoire – Cours
–
Un sous-marin voyage en plongée, mais doit cependant refaire surface de temps
en temps pour prendre l’air et renouveler l’atmosphère. On suppose que la durée
d’une plongée en jours suit une loi exponentielle de paramètre λ. En dépouillant
tous les livres de bord, on constate que 88, 7% des plongées ont duré plus de 6
jours.
1. Donner une estimation du paramètre λ.
2. Calculer la probabilité pour qu’une plongée dépasse une semaine.
3. a) Sachant que le sous-marin évolue immergé depuis au moins une semaine,
calculer la probabilité pour que la durée dépasse 10 jours.
b) Comparez à la probabilité que l’immersion dépasse 3 jours. Que peut-on
en conclure ?
Loi exponentielle
Exercice 22: [Indications] [Correction] – Cours – Calculer – Modéliser – Soit
U une variable aléatoire de loi uniforme sur [0, 1].
1. Calculer, pour λ > 0, la fonction de répartition de la variable aléatoire
1
X = − ln U
λ
2.
et en déduire sa loi.
En déduire un algorithme permettant de simuler une variable aléatoire de loi
exponentielle.
3
— Feuille 8: Densité de probabilité —
Exercice 28: [Indications] [Correction] – Cours – Raisonner – Calculer – Robert participe à la course de moissonneuses-batteuses de Rochechouart. Il doit
parcourir 60 tours qui sont éprouvants pour les pneumatiques de son engin. Il
devra en changer exactement une fois ou deux fois selon leur degré d’usure. La
probabilité pour qu’il en change deux fois est de p = 0, 4.
À chaque passage à son stand, ses mécaniciens changent les qautre roues. Le temps
mis pour changer une roue en minutes suit une loi exponentielle de moyenne 5. On
change évidemment les 4 roues en même temps.
1. On note X le temps passé au stand pour un arrêt. Calculer la fonction de
répartition puis la densité de X.
2. En déduire la loi de probabilité de T , temps total passé au stand sur toute la
course.
3.
a
a
et B =
Montrer que pour tout b ∈ ]0, [, les espaces A = X >
2
2
a
a
− b < X 6 + b sont indépendants.
2
2
Exercice 29: [Indications] [Correction] – Mobiliser –
Chaque jour à 20 heures, Jacques attend Madeleine avec ses lilas. Le temps qu’il
doit patienter avant son arrivée suit une loi exponentielle de moyenne 5 heures. Si
elle arrive avant 22 heures, ils vont manger des frites chez Eugène par le tram 33,
sinon, il rentre seul chez lui par le tram 21. On note X la variable aléatoire égale
au nombre de tickets de tram qu’il utilise en septante jours.
(On considère qu’il n’y a pas de phénomène de lassitude et que tous les soirs sont
indépendants.)
1. Déterminer la loi de probabilité de X.
2. Calculer E[X] et V (X).
Divers
Exercice 30:
[Indications] [Correction] – Mobiliser – Raisonner – Soit
(Xn )n∈N∗ une suite de variables aléatoires indépendantes, de même loi à densité
de fonction de répartition F .
1. Déterminer la loi de X = max(X1 , . . . , Xn ).
2. Appliquer ceci à X suivant une loi exponentielle.
Exercice 31:
et α > 0 et
[Correction] – Calculer – Raisonner – Soient a > 0
f : x → α x1[0, a [ (x) + (a − x)1[ a ,a[ (x)
[Indications]
2
1.
2.
2
Calculer la constante α pour que f soit une densité de probabilité.
a
Soient X une variable aléatoire de densité f et un réel b ∈ ]0, [.
2
a
a
a
−b<X 6 +b .
Calculer les probabilités P X >
et P
2
2
2
4
— Feuille 8: Densité de probabilité —
Lycée François 1er
Bcpst 2
FE 8
Exercice 12
-
Densité de probabilité
Indications
[Correction]
Z
+∞
On pensera à se ramener à l’intégrale connue
2
e−t dt. (Valeur à rappeler.)
−∞
Exercice 21 [Correction]
4. c) Déterminer la loi de la quantité de grain T mangée par n poules en
un an. Puis se ramener à une variable suivant une loi normale centrée
réduite pour pouvoir utiliser la table de la loi normale.
Exercice 29 [Correction]
1. septante signifie 70...
On pourra commencer par considérer le nombre T de tickets utilisés un des
soirs.
5
— Feuille 8: Densité de probabilité —
Lycée François 1er
Bcpst 2
FE 8
-
Solutions
Densité de probabilité
Exercice 1
1. • lim F (x) = 0 implique
Exercice 3
x−b
x−b
) = F(
), d’où
1. Si a 6= 0, on a p(aX + b 6 x) = p(X 6
a
a
x→−∞
b=0
FaX+b (x) = F (
• lim F (x) = 1 implique
x→+∞
Si a = 0, on a p(aX + b 6 x) = p(b 6 x) d’où
1
a=
10
2.
Fb (x) = Fδb
Si X suit une loi uniforme sur {1, . . . , n}, alors


si x < 1
0
FX (x) = bxc
si 1 6 x 6 4
4


1
sinon.
2.
F est une fonction en escalier de points de discontinuités 1, 3, 4, ainsi
Supp(X) = {1, 3, 4}
avec
k
P (X = k)
1
2a
3
3a
4
5a
D’où
Exercice 2
1. Ω = {−2, −1, 0, 1, 2}2 , avec p la probabilité uniforme.
2. Étant donné que p est la probabilité uniforme, il suffit de déterminer le nombre
de cas favorables pour déterminer p(X = k). Faisons le tableau des valeurs
de X suivant les deux valeurs choisies :
−2
−1
0
1
2
−2
4
2
0
−2
−4
−1
2
1
0
−1
−2
0 1
0 −2
0 −1
0 0
0 1
0 2
FY (x) = FX (x − 2) =
k
p(X = k)
−4
2
25
−2
4
25
a)
0
9
25
2
−4
−2
0
2
4
1
2
25
Exercice
1.
2.
3.
2
4
25
bx−2c
 n
1
si x < 3
si 3 6 x 6 n + 2
sinon.
Quelle est la loi de Y ?
6
k = 18 .
R6
R4
P (2 6 X 6 6) = 2 f (x) dx = 2 kx dx = 6
Supp(Y ) = [0, 4].
Soit t ∈ [0; 4].
P (Y 6 t)
−1
2
25


0

D’où la loi de probabilité de X :
4.
x−b
)
a
4
2
25
2
= p((X − 2) 6 t)
√
√
= p(− t 6 X − 2 6 t)
√
√
= p(2 − t 6 X 6 t + 2)
Z 2+√t
=
√ f (x) dx
2− t
X est finie et totalement symétrique par-rapport à 0, autrement dit,
√
or, on note que, comme t ∈ [0, 4], on a t ∈ [0, 2] et donc
√
√
2− t>0
2+ t64
E[X] = 0
d’où
6
— Feuille 8: Densité de probabilité —
2.
Z
P (Y 6 t)
=
Soit x ∈ R.
√
2+ t
x
Z
F (x) = p(X 6 x) =
kx dx
√
2− t
−∞
2+√t
x2
= k
2 2−√t
√ √
1 =
(2 + t)2 − (2 − t)2
16
8√
=
t
16
si t < 0
FY (t) = P (Y 6 t) =
t si t ∈ [0; 4]

1
si t > 4
1
2
Z
3.
comparaison avec e
fY (t) =

0
si t > 4
e
−∞
{z
1
2
−|t|
1
dt +
2
}
Z
x
e−|t| dt
0
|t|n f (t) dt =
1
2
Z
+∞
|t|n e−|t| dt est convergente par
−∞
.
• Espérance : Pour l’espérance, la fonction t 7→ te−|t| dt est impaire, donc
E(X) = 0.
• Variance :
V (X) = E[X 2 ] − E[X]2 = E[X 2 ]. Pour E(X 2 ) : on décompose en 0 puis en
intégrales connues :
Z
1 +∞ 2 −|t|
E[X 2 ] =
t e
dt
2 −∞
Z +∞
=
t2 e−t dt
que l ’on peut prlonger de n’importe quelle manière en 0 et 4 :
si t < 0
si t ∈ [0; 4]
+∞
On montre que
−∞
−|t|/2
FY est continue et C 1 sauf éventuellement en 0 et 4. Y admet donc une densité
fY , donnée par

si t < 0

0
1
si t ∈]0; 4[
fY (t) = FY0 (t) = 4√
t


0
si t > 4
1
√
4 t
0
1 1
1
+ (−e−x + 1) = 1 − e−x
2 2
2
1 1
1
Si x < 0, F (x) = + (ex − 1) = ex en résumé,
2 2
2


1 − 1 e−x si x > 0
F (x) = 1 2

 ex
si x < 0
2


0 √


0
Z
Si x > 0, F (x) =
i.e.
5.
1 −|t|
1
e
dt =
2
2
|
0
Exercice 7
1. x 7→ e−x est une fonction intégrable sur [0; +∞[ et
Z
0
Z
+∞
1
1 −|t|
e
dt =
2
2
Z
0
+∞
e−t dt =
On reconnait le moment d’ordre 2 d’une variable aléatoire suivant une loi
exponentielle Z de paramètre 1, d’où
1
2
E[X 2 ]
= E[Z 2 ]
= V (Z) + E[Z]2 = 1 + 1 = 2
0
1 −|t|
e
dt :
−∞ 2
Par changement de variable, on se ramène à l’intégrale convergente sur
[0; +∞[.
D’où
Étude de
V (X) = 2
7
— Feuille 8: Densité de probabilité —
Exercice 8
√
1. Comme X est √
positive, F et f sont nulles sur ] − ∞; 0[. P ( X 6 x) :
Soit x 6 0. P (√X 6 x) = 0
Soit x > 0. P ( X 6 x) = P (X 6 x2 ) = F (x2 )
En conclusion, on peut dire que
√
P ( X 6 x) = F (x2 )1[0;+∞[ ∀x ∈ R
Exercice 10
1. •
Support de |X| : Il est clair que |X| > 0.
•
Densité de |X| :
?
Pour x < 0 on a
Z
x
p(|X| 6 x) = 0 =
P (ln(X) 6 x) :
Soit x ∈ R. P (ln X 6 x) = P (X 6 ex ) = F (ex )
En conclusion, on peut dire que
−∞
=0 car t60
?
Pour x > 0 :
x
P (ln X 6 x) = F (e ) ∀x ∈ R
2.
√
Soit x > 0 P ( X 6 x) = F (x2 ) =
Z
Z
x
p(|X| 6 x) = p(−x 6 X 6 x) =
x2
f (t) dt On pose u =
√
Z
t ; t = u2 ,
0
f (t) dt =
−x
Z
x
f (t) dt +
−x
f (t) dt
0
Changement de variable dans la première intégrale : t = −u.
Z 0
Z 0
Z x
f (t) dt = −
f (−u) du =
f (t) dt
−∞
dt = 2udu. On trouve
Z
√
P ( X 6 x) =
(f (x) + f (−x)) 1]0,+∞[ (t) dt
| {z }
x
2uf (u2 ) du
−x
x
0
−∞
D’où
√
X est h : t 7→ 2tf (t2 )1[0;+∞[ .
Z ex
Z
Soit x ∈ R. P (ln X 6 x) = F (ex ) =
f (t) dt =
La densité de
−∞
u = ln t ; t = eu , dt = eu du. On trouve
Z x
Z
√
eu f (eu ) du =
P ( X 6 x) =
0
Z
ex
p(|X| 6 x) =
f (t) dt On pose
2.
x
3.
x
(f (t) + f (−t)) 1[0,+∞[ (t) dt
−∞
.
•
Support de X 2 : Il est clair que X 2 > 0.
•
Densité de X 2 :
u
e f (e ) du
−∞
La densité de ln X est h : t 7→ eu f (eu ).
Exercice 9
1. fZ > 0.
Z
+∞
f (t) dt =
Z
(f (t) + f (−t)) dt =
0
0
u
x
?
Pour x < 0 on a bien
Z x
√ 1 √
2
√ f ( t) + f (− t) 1]0,+∞[ (t) dt
p(X 6 x) = 0 =
| {z }
−∞ 2 t
=0 car t60
+∞
α a α+1
dt convergente :
a t
−∞
a
Problème en +∞. On intègre.
+∞
Z +∞ α+1
Z
α
α a
α α+1 +∞ 1 α+1
α 1 1
dt = a
dt = αa
=1
a t
a
t
α t
a
a
a
Attention, l’espérance n’existe que si α > 1 et la variance n’existe que si
α > 2.
?
Pour x > 0 :
FX 2 (x)
=
=
=
=
√
√
2
p(X
6 x) = p(− x 6 X 6 x)
Z √x
f (t) dt
√
Z−0 x
Z √x
f (t) dt +
f (t) dt
√
− x√
0
Z − x
Z √x
−
f (t) dt +
f (t) dt
0
8
0
— Feuille 8: Densité de probabilité —
? Tout d’abord, un changement de variable C 1 sur [a, b] :
La fonction FX 2 est dérivable sur x ∈]0; +∞[, avec
√
√
1
1
0
√ f (− x) + √ f ( x)
FX
2 (x) =
2 x
2 x
t=
1
x
1
t
x=
D’où
La fonction FX 2 étant C 1 sur R∗ , la variable aléatoire X 2 est à densité, avec
comme densité

0
si x < 0
√
√
1
1
fX 2 (x) =
 √ f (− x) + √ f ( x) si x > 0
2 x
2 x
b
Z
1
a
u0 = − t12
u = 1t
v = 1 − e−t
2
v 0 = 2te−t
f (x)dx =
0
2.
3.
1
2
implique
Z
b
1
1 − e− x2 dx
h
=
i 1b
2
1−e−t
t
1
a
0
Z
Z
v
? Puis une Ipp :
a
Exercice 11
1
dt
t2
2
1 − 2 1 − e−t dt
t | {z }
|{z}
u0
√
√ 1
√ f ( t) + f (− t) 1]0,+∞[ (t) est bien une densité de X 2
2 t
P (X 2 − X < 0) =
1
b
Z
1
1 − e− x2 dx =
a
Comme on peut choisir n’importe quelle valeur pour fX 2 (0), on en déduit que
1.
dx = −
−−−−+−−−−−→
1
1
arctan(1) = .
π
4
0−2
a→0 ,b→+∞
1
b
Z
2
2e−t dt
Z +∞
√
2
2
e−t dt =
e−t dt = π
−
+∞
1
a
−∞
Finalement,
Pas d’espérance (et donc pas non plus de
√ variance.) √
FY (t) = 0 si t < 0 et FY (t) = P (− t 6| X |6 t) sinon. On trouve
2
√ 1]0,+∞[ (t)
g:t→
π(1 + t) t
Z
+∞
1
1 − e− x2 dx = 2
−∞
Z
+∞
√
1
1 − e− x2 dx = 2 π
0
et pour finir, f est une densité si et seulement si
Exercice 12
• Continuité de f :
1
C= √
2 π
Pour tout C ∈ R, la fonction f est prolongeable par continuité en 0. On peut donc
par exemple poser f (0) = C, de sorte que f soit continue sur R.
•
Exercice 13
1. On note f la fonction densité de X. D’après le cours, on a
(
0 si x 6∈ − π2 , π2
f (x) = 1
sinon
π
Positivité de f :
f (x) > 0 ∀x ∈ R si et seulement si C > 0.
Z +∞
f (x) dx = 1.
Intégrabilité : Voyons maintenant s’il existe C ∈ R tel que
−∞
Z +∞
1
Pour ceci, on va déterminer l’existence et la valeur de
1 − e− x2 dx
•
2.
•
L’espérance est données par le cours :
•
+ (− π2 )
=0
2
Existence du moment d’ordre 2 :
−∞
E[X] =
Par parité, il suffit d’étudier la convergence sur [0; +∞[. La fonction étant prolongeable par continuité en 0, il suffit d’étudier le problème en +∞. On souhaite se
2
ramener à e−t . Il faudrait donc faire un changement de variable t = u1 qui n’est
pas défini en 0. Pour ce faire, nous devons donc quand même passer par l’étude de
Z b
1
1 − e− x2 dx, pour a, b > 0.
π
2
La variable aléatoire a un support borné. Elle admet donc des moments de
tout ordre. On a de plus,
a
9
— Feuille 8: Densité de probabilité —
2
E[X ]
Z
π
2
x2 f (x) dx
=
−π
2
=
=
=
=
=
•
On observe que FY est continue et C 1 partout sur R, ainsi, Y est une variable
à densité, notée fY , avec, pour tout x ∈ R :
1
π
Z
π
2
fY (x) = FY0 (x) =
x2 dx
−π
2
π
1 x3 2
π 3 −π
2
1 π 3 π 3
− −
3π
2
2
2 π 3
3π 2
1 π 2
3 2
Exercice 14
1. •
Supp(Y ) = [0, 1]
•
Fonction de répartition FY de Y :
Variance :
V (X) = E[X 2 ] − E[X]2 =
•
Support de Y :
On observe que de manière évidente, Y est une variable positive. De plus,
ayant X ∈ [−1, 1], on aura X 2 ∈ [0, 1]. Ainsi,
D’après le support, on a immédiatement
(
0 si x < 0
FY (x) =
1 si x > 1
La variance de X existe donc avec
3.
1 1
π 1 + x2
1 π 2
π2
=
3 2
12
Si x ∈ [0, 1[,
Support de Y :
FY (x) = P (X 2 6 x)
=
Tout d’abord, comme X ∈ − π2 , π2 , on obtient un support infini pour Y qui
est
Supp(Y ) = R
=
On ne peut donc rien en déduire d’intéressant pour l’instant.
=
•
=
− x
√
x
Z
Fonction de répartition FY de Y :
D’où
=
P (Y 6 x)
=
P (tan X 6 x)
=
P (X 6 arctan x) car arctan est croissante.
=
FX (arctan x)
1
π
arctan x +
π
2
=
√
− x
√
√ √
1
dt car − x, x ∈] − 1, 1[
2
x


0
√
si x < 0
FY (x) =
x si x ∈ [0, 1[


1
si x > 1
Soit x ∈ R. On a
FY (x)
√
P (|X| 6 x)
Z √x
f (t) dt
√
On observe que la fonction FY est continue sur R (entier) et C 1 sauf éventuellement en 0 et 1. On en déduit que c’est une variable à densité, (notée
fY )
10
— Feuille 8: Densité de probabilité —
2.
•
D’après le résultat de la fonction de répartition, on sait que
fY (x) = FY0 (x) ∀x 6= 0, 1
De même, avec le théorème de transfert, on a
Z +∞
E[Y 2 ] = E[X 4 ] =
t4 fX (t) dt
i.e.


0

si x < 0
1
√
fY (x) =
2 x



0
−∞
1
si x ∈]0, 1[
Z
1
t4 dt
2
−1
1 5 1
1
5t
=
=
2 −1
5
=
si x > 1
On complète ensuite les x restants en prolongeant par exemple la fonction
avec
1
fY (x) = √ 1]0,1] (x)
2 x
3.
i.e.
E[Y 2 ] =
La variable Y est à support borné. Elle admet donc des moments de tout
ordre.
•
Éspérance :
•
0
1
Z
=
0
"
=
2
0
V (Y ) =
R x

si 0 6 x 6 1 (
R0 dt = x
1 − |1 − x| si 0 6 x 6 2
1
1. fX1 +X2 (x) =
dt = 2 − x si 1 6 x 6 2 =
x−1

=0
sinon

=0
sinon
2. • Densité de −X2 : u 7→ f (−u).
• Densité de X1 − X2 :
Z +∞
Z +∞
Z +∞
h(x) =
fX1 (t)f−X2 (x−t) dt =
f (t)f (−x+t) dt =
1[0;1] (t)1[0;1] (−x+t) dt
1
3
ou alors, plus simple, avec le théorème de transfert, sachant que le moment
d’ordre 1 existe :
Z +∞
E[Y ] = E[X 2 ] =
t2 fX (t) dt
−∞
=
−∞
D’où
Z
h(x) =
−∞
Z 1
=
4
45
Exercice 15
1
=
3
i.e.
E[Y ] =
1 1
9−5
4
− =
=
5 9
45
45
i.e.
t
√ dt
2 t
√
t
dt
2
#1
3
2 2
3t
Variance :
V (Y ) = E[Y 2 ] − E[Y ]2 =
−∞
1
=
1
5
Pour finir, par formule de Huygens-Koenig, on a
D’après ce que l’on vient de dire, l’espérance existe bel et bien, avec
Z +∞
E[Y ] =
tfY (t) dt
Z
Moment d’ordre 2 :
1
Z
1[0;1] (−x + t) dt =
0
1
t2 dt
2
−1
1 3 1
1
3t
=
2 −1
3
−∞
1
1[x;x+1] (t) dt
0
En conclusion,
(
h(x) =
11
1 − |x| si − 1 6 x 6 1
=0
sinon
— Feuille 8: Densité de probabilité —
3.
 2
x




2


 x2



2
fX1 +X2 +X3 (x) = −(x − 3 )2 + 3


2
4



(x − 3)2




2


=0
•
si 0 6 x 6 1
Si on prend la table de la loi normale, il faut des abscisses positives :
si 0 6 x 6 1
(
1 − |1 − x| si 0 6 x 6 2
si 1 6 x 6 2 = = 0
sinon
P (−2 < A < 2) = 1 − Φ(0, 707) − (1 − Φ(3, 535)) = Φ(3, 535) − Φ(0, 707)
si 2 6 x 6 3
Pour plus de précision, on peut faire une petite interpolation linéaire. On
rappelle que l’équation d’une droite Φ est
sinon
Exercice 16
1. On note ∆ le discriminant de l’équation :
Φ(x) =
D’où, pour a = 0, 7 et b = 0, 71,
∆ = A2 − 4
Φ(0, 707) ' Φ(0, 70)+0, 07(Φ(0, 71)−Φ(0, 7)) ' 0, 75804+0, 07∗(0, 76115−0, 75804) ' 0, 75826
Ainsi, la probabilité d’avoir deux racines réelles distinctes est
et de même
P (∆ = 0) = P (A = 2) + P (A = −2) = 0
Φ(3, 535) ' Φ(3, 53)+0, 05(Φ(3, 54)−Φ(3, 53)) ' 0, 99979+0, 05(0, 9998−0, 99979) ' 0, 99979
car A est une variable à densité.
2.
Φ(b) − Φ(a)
(x − a) + Φ(a)
b−a
D’où
Ainsi, la probabilité d’avoir deux racines complexes distinctes est
Z 2
P (∆ > 0) = P (A2 < 2) = P (−2 < A < 2) =
f (f )dt
P (∆ < 0) ' 0, 99979 − 0, 75826 ' 0.24123
•
Si on prend python et la loi normale centrée réduite :
−2
où f est la densité d’une loi normale N (3, 2)
1
−1
f (t) = √ √ e 2
2 2π
t−3
√
2
1
2
3
4
On fait appel à la calculatrice, à Python ou à la table de la loi normale centrée
réduite pour le résultat.
 −5
A−3
−1

P √
< √
< √

2
2
2
|{z}
| {z }
|{z}
'−3,535
'
,→N (0,1)
X = sc . norm ()
X . cdf ( -0.707) -X . cdf ( -3 ,535)
On obtient
P (∆ < 0) ' 0.2396
Si on fait appel à la loi normale centrée réduite, il fait réduire la variable A
de la manière suivante :
−2 − 3
A−3
2−3
√
P (−2 < A < 2) = P
< √ < √
2
2
2


=
import scipy . stats as sc
•
Directement avec python et la loi N (3, 2) :
(le plus précis)
1
2
3
4




import scipy . stats as sc
X = sc . norm (3 , np . sqrt (2) )
X . cdf (2) -X . cdf ( -2)
'−0,707
On obtient
Φ(−0, 707) − Φ(−3, 535)
P (∆ < 0) ' 0.2395
12
— Feuille 8: Densité de probabilité —
3.
•
2.
C’est l’événement complémentaire des deux autres, d’où
P (∆ > 0) ' 1 − 0.2395 ' 0.7604
Exercice
1.
2.
3.
Z admet un moment d’ordre k si et seulement si
Z +∞
Z +∞ k−1
2
1
x
√ e− 2 (ln x) dx converge
|x|k fZ (x) dx =
2π
−∞
0
17
L(X) = L(Y ).
L(−2X) = N (−2 × 2, 2 × 1)
L(X + b) = N (2 + b, 1)
Exercice 18
1. •
Méthode 1 :
xk−1 1
2
La fonction x 7→ √ e− 2 (ln x) étant continue sur ]0; +∞[, les problèmes
2π
peuvent être en 0 ou +∞. On pose alors a, b ∈ R∗+ .
Par changement de variable
Fonction de répartition de Z :
u = ln x
? Supp(Z) ⊂ [0; +∞[, d’où
∀z 6 0,
? Soit z ∈]0; +∞[.
a
b
xk−1 − 1 (ln x)2
√ e 2
dx
2π
X
= P (e 6 z)
= P (X 6 ln z)
car ln est croissante bijective sur R∗+ .
Z ln z
1 2
1
= √
e− 2 t dt
2π −∞
Z
ln b
=
Zlnlnab
=
ln a
(eu )k−1 − 1 u2 u
√
e 2 e du
2π
1 2
1
√ e− 2 u +ku du
2π
Or,
1
1
1
k2
1
− u2 + ku = − (u2 − 2k) = − (u − k)2 − k 2 = − (u − k)2 +
2
2
2
2
2
D’où, en notant FZ la fonction de répartition de Z, on a


si z 6 0
0
Z ln z
FZ (z) =
1 2
1

e− 2 t dt = Φ(ln z) sinon
√
2π −∞
•
du = eu dx
On a
P (Z 6 z) = 0
Z
P (Z 6 z)
x = eu
D’où
b
Z
a
xk−1 − 1 (ln x)2
√ e 2
dx =
2π
Densité de Z :
=
On constate que FZ est dérivable sur R∗+ et R∗− , avec

0
si z < 0
1
FZ0 (z) = 1 0
2
1
 z Φ (ln z) = √ e− 2 (ln z) si z > 0
z 2π
Z
Z
ln b
2
1
k2
1
√ e− 2 (u−k) + 2 du
2π
ln aZ
ln b
2
1
1
k2
√ e− 2 (u−k) du
e2
2π
ln a
+∞
2
1
1
√ e− 2 (u−k) du est connue et convergente vers 1 (den2π
−∞
sité d’une variable aléatoire de loi normale N (k, 1).) d’où
Or, l’intégrale
b
Z
On en déduit que Z est à densité. De plus, comme on peut choisir f (0) n’importe comment, on peut poser une densité de Z comme étant

0
si z 6 0
1
fZ (z) =
2
1
 √ e− 2 (ln z) si z > 0
z 2π
a
k2
xk−1 − 1 (ln x)2
√ e 2
dx −−−−+−−−−−→ e 2
a→0 ,b→+∞
2π
Z
+∞
−∞
2
1
k2
1
√ e− 2 (u−k) du = e 2
2π
Le moment d’ordre k existe donc pour tout k, et vaut
k
Z
+∞
E(Z ) =
Z
x fZ (x) dx =
−∞
13
k
0
+∞
k2
xk−1 − 1 (ln x)2
√ e 2
dx = e 2
2π
— Feuille 8: Densité de probabilité —
•
Méthode 2 :
Exercice 19
1. On sait que
Si on note f0 la densité de la la normale centrée réduite, par théorème de
transfert, Z admet un moment d’ordre k si et seulement si
Z +∞
Z +∞
1 2
1
|ekx |f0 (x) dx = √
ekx− 2 x dx converge
2π
−∞
−∞
p(X 6 20) '
p(X > 12) '
380
400
On sait que
X ,→ N (µ; σ 2 )
Or,
avec
e
kx− 21 x2
µ = E[X]
− 12 (x2 −2kx)
=
e
2
= e− 2 ((x−k)
1
=
e
1 2
2k
−k2 )
Z
+∞
kx
|e |f0 (x) dx = e
k2
2
−∞
Z
e
+∞
−∞
X −µ
,→ N (0; 1)
σ
Or
2
1
1
√ e− 2 (x−k) dx
2π
|
{z
}
p
densité de Tk ,→ N (k, 1)
X −µ
20 − µ
6
σ
σ
Z
250
'
= 0, 625
400
p
X −µ
12 − µ
<
σ
σ
'1−
380
= 0, 05
400
Φ(0, 32) ' 0, 625
Φ(−1, 65) ' 0, 05
Ceci nous donne un système d’équations sur µ, σ :
+∞
kx
E[Z ] =
La table de la loi normale nous donne
L’intégrale de la densité valant 1, cette intégrale converge et, par théorème de
transfert, les moments de tout ordre existent pour Z, avec (on peut enlever
simplement les valeurs absolues)
k
σ 2 = V (X)
Il s’agit donc d’évaluer les paramètres. On sait que
− 12 (x−k)2
Ainsi,
e f0 (x) dx = e
k2
2
20 − µ
' 0, 32
σ
−∞
i.e.
E[Z k ] = e
3.
250
400
On obtient
k2
2
µ ' 17
• L’espérance est le moment d’ordre k = 1 :
1
2
3.
• Comme le moment d’odre 2 existe, on sait que
V (Z) = E(Z 2 ) − E(Z)2 = e
22
2
et σ ' 8
X −µ
18 − µ
p(X > 18) = p
>
' Φ(0, 125) ' 0, 55.
σ
σ
p(15 < X < 18)
' 0, 25.
P(X>15) (X > 18) =
p(X > 15)
2.
E(Z) = e
12 − µ
' −1, 65
σ
1 2
− e 2 = e2 − e
D’où
V (Z) = e2 − e ' 4.67
14
— Feuille 8: Densité de probabilité —
De plus,
b
b
+b=m+
2
2
et donc, par décroissance de f sur [m, +∞[,
Exercice 20
(Intuitivement, on peut faire un dessin sous la cloche, mais confirmons l’idée obtenue par le calcul.)
m6x+b6m−
b
f (x + b) > f (m + ).
2
On pose f la densité de X :
1 x−m 2
1
√ e− 2 ( σ )
σ 2π
Z x
et F la fonction de répartition : F (x) =
f (t) dt
f (x) =
par symétrie de f par-rapport à x = m, on a également
b
b
f (m + ) = f (m − ) = f (a)
2
2
−∞
où F est C 1 car f est continue sur R.
et donc au final
f (x + b) > f (a) > f (x)
On pose
D’où
h : x 7→ P (x < X ≤ x + b) = F (x + b) − F (x)
h0 (x) > 0.
0
h est continuement dérivable. Si elle est maximale en un point a, on a h (a) = 0,
c’est-à-dire
0 = h0 (a) = f (a + b) − f (a)
? Si x > a = m − 2b , alors x + b > m + 2b
La raisonnement précédent s’applique dans l’autre sens et on obtient
h0 (x) 6 0
d’où
f (a + b) = f (a)
? Après résumé de tout ceci dans un tableau de variation, on obtient bien un
maximum.
Or, la fonction f étant symétrique par-rapport à l’axe x = m et injective de chaque
côté, la seule possibilité est que a + b et a soient symétriques par-rapport à m. Autrement dit, m sera le milieu de l’intervalle [a, a + b] et donc
a=m−
•
Exercice 21
1. On note Xi la quantité de blé contenue dans le sac i. Alors
b
2
X = X1 + . . . + X9
Montrons que ceci correspond bien à la valeur maximale attendue :
où les Xi sont mutuellement indépendantes, de même loi N (80; 0.25). On sait
donc que
Posons a = m − 12 , on construit de tableau de variation de h en cherchant le signe
de h0 .
X ; N (9 × 80; 9 × 0.25) = N (720; 2.25)
2.
h0 (x) > 0
⇔ f (x + b) − f (x) > 0
? Si x 6 a = m− 2b et x+b 6 m, par croissance de f sur ]−∞; m[, on a clairement
La densité de la loi normale étant symétrique par-rapport à µ = E(X) = 720,
on a
1
P (X 6 720) =
2
f (x + b) > f (x)
d’où
h0 (x) 6 0.
? Si x 6 a = m −
b
2
et x + b > m, Par croissance sur ] − ∞, m],
f (x) 6 f (a)
15
— Feuille 8: Densité de probabilité —
3.
Y = X − M , où M est la variable aléatoire correspondant à la quantité de
nourriture mangée par les souris.
On sait que
X ; N (720; 2.25),
M ; N (50; 202 ),
c)
X, Y indépendantes
On note n le nombre de poules qu’elle peut nourrir. De la même manière
que dans la question précédente, la quantité T mangée par n poules suit
une loi
T ; N (54.75n; 0.9125n)
On cherche à déterminer n de manière à avoir
On sait alors que
P (Y − T > 0) = 0.95
−M ; N (−50; 202 )
Or, Y et T suivent des loi normales indépendantes. Ainsi,
puis que
Y − T ; N (670 − 54.75n; 402, 25 + 0.9125n)
{z
} |
|
{z
}
X − M ; N (720 − 50, 2.25 + 202 ) = N (670, 402.25)
µ
i.e.
Y ; N (670, 402.25)
4.
a)
b)
Ou encore
D’après la table inversée de la loi normale centrée réduite, on constate
que
Φ(1.65) = 0.05
σ2
Y −T −µ
; N (0; 1)
σ
D’où
Y −T −µ
P (Y − T > 0) = 0.95 ⇔ P
>
σ
Y −T −µ
<
⇔ P
σ
−µ
⇔ Φ
= 0.05
σ
On note J la quantité mangée par une poule en un jour. Alors
J ; N (0.15, 0.052 )
La quantité mangée par une poule en 365 jours est la somme
A = J1 + . . . + J365
−µ
= 0.95
σ −µ
= 0.05
σ
On en déduit que
−µ
= 1.65
σ
La résolution de l’équation nous donne
où les Ji sont des copies identiques et indépendantes de J, d’où
A ; N (365 × 0.15, 365 × 0.052 ) = N (54.75; 0.9125)
n = 11
16
— Feuille 8: Densité de probabilité —
2.
Exercice 22
1. •
Fonction de répartition de X :
e−X étant positif, elle est intégrable ssi l’intégrale
Z +∞
e−x e−x dx est convergente, ce qui est le cas. On a
1
F (x) = P (X 6 x) = P (− ln U 6 x) = P (ln U > −λx) = P (U > e−λx ) =
λ
Z +∞
1[0;1] (t) dt.
E[e
−X
F (x) = P (X 6 x) =
•
(
0
1 − e−λx
si x < 0
sinon
e−x f (x) dx =
−∞
1
2
Algorithme :
· On demande à l’utilisateur le paramètre λ.
· On demande à l’ordinateur un nombre u au hasard entre 0 (strictement) et
1.
1
· On rend le nombre x = tan(− ln u).
λ
Densité de X :
La fonction de répartition est dérivable sur R∗ de dérivée
(
0
si x < 0
0
F (x) =
−λx
λe
si x > 0
Exercice 24
•
Fonction de répartition notée F de Y :
Tout d’abord, on a
On pose
(
f (t) =
2.
e−2x dx =
]=
0
3.
si e−λx > 1
=
sinon
+∞
Z
e−λx
0
1 − e−λx
+∞
0
i.e.
(
Z
0
λe−λt
Supp(Y ) = R
si t < 0
si t > 0
On ne peut donc rien dire a priori.
Soit x ∈ R.
On reconnait une loi exponentielle de paramètre λ, d’où X ; E(λ)
Algorithme :
F (x)
= P (ln X 6 x)
= P (X 6 ex )
· On demande à l’utilisateur le paramètre λ.
· On demande à l’ordinateur un nombre u au hasard entre 0 (strictement) et
1.
1
· On rend le nombre x = − ln u.
λ
=
1 − e−αe
x
La fonction F est donc C 1 sur R. C’est donc la fonction de répartition d’une variable à densité, notée ici f .
•
Exercice 23
S
P
π
π
1. P (tan X > 0) = P (X ∈
[0 + kπ; + kπ[) =
P ([0 + kπ; + kπ[).
2
2
k∈Z
k∈Z
Or, X > 0, d’où
Densité :
Comme F est C 1 , on obtient
x
P (tan X > 0) =
+∞
X
k=0
Z
π
2 +kπ
Or,
kπ
+∞ Z
X
π
P ([0 + kπ; + kπ[) =
2
k=0
π
2 +kπ
e
−t
f (x) = F 0 (x) = αex e−αe
dt
kπ
Exercice 25
1. •
π2 +kπ
π
e−t dt = −e−t kπ
= e−kπ − e− 2 +kπ , d’où
P (tan X > 0) =
+∞
X
k=0
e−kπ −
+∞
X
k=0
e
−π
2 +kπ
Fonction de répartition de X 3 :
? Supp(X 3 ) = R+ d’où
π
1
1
=
− e− 2
−π
1−e
1 − e−π
∀x 6 0
17
P (X 3 6 x) = 0
— Feuille 8: Densité de probabilité —
? Soit x > 0
3.
3
P (X 6 x) = P (X 6
√
3
Z
√
3
x) = θ
x
e
−θt
dt = − e
−θt
0
et donc
(
0
√
FX 3 (x) =
3
1 − e−θ x
3 x
√
0
=1−e
−θ
√
3
• On écrit X − Y = X + (−Y ).
? Densité de −Y : On sait (ou on pourrait redémontrer) qu’une densité de
−Y est
y 7→ fY (−y)
x
dém :
si x 6 0
si x > 0
P (−Y 6 y) = P (Y > −y) = 1 − P (Y 6 −y) = 1 − FY (−y)
•
Densité de X 3 :
La fonction de répartition est dérivable sauf peut être en 0, avec
(
0
si x < 0
0
1
FX 3 (x) = θ 2
− 3 −θx 3
e
si x > 0
3x
par dérivée, on retrouve bien le résultat annoncé.
? Densité de X + (−Y ) :
Si X et Y ind, alors X est ind de −Y . On sait donc que X + (−Y ) est
une variable aléatoire à densité, dont la densité est donnée par une intégrale
convergente :
Z +∞
h : x 7→
fX (t)fY (x − t) dt
X 3 est donc à densité. On peut attribuer à f (0) n’importe quelle valeur. Une
densité de X 3 est donc
(
0
si x 6 0
1
fX 3 (x) =
θ
−θx 3
si x > 0
2 e
−∞
3x 3
2.
• Supp(X − Y ) = R.
Effectuons le calcul :
3
On pose T = min(X, Y ).
Z
+∞
Z
+∞
fX (t)f−Y (x − t) dt =
•
Fonction de répartition de T :
fX (t)fY (t − x) dt
=
f−Y (y) = fY (−y)
0
Or, fY (t − x) = 0 si t − x 6 0, c’est-à-dire
P (T 6 x) = 0
fY (t − x) = 0 si t 6 x
? Soit x > 0
P (T 6 x)
D’où :
· Si x 6 0,
= 1 − P (T > x)
= 1 − P (X > x, Y 3 > x)
= 1 − P (X > x)P (Y 3 > x)
ind.
= 1 − (1 − FX (x))(1 − FY 3 (x))
Z
h(x)
+∞
θe−θt θe−θ(t−x) dt
=
0
et donc
Z
= θeθx
(
FT (x) =
Supp(X) ⊂ [0; +∞[
Z0 +∞
? Supp(T ) = R+ d’où
∀x 6 0
fX (t)f−Y (x − t) dt
−∞
0
si x 6 0
1 − (1 − FX (x))(1 − FY 3 (x)) si x > 0
=
θ θx
2e
+∞
θe−2θt dt
0Z
|0
=1
•
Densité de T :
La fonction de répartition est dérivable sauf peut être en 0, T est donc à
densité.
18
+∞
2θe−2θt dt
{z
}
(densité de E(2θ))
— Feuille 8: Densité de probabilité —
Z
· Si x > 0, h(x)
+∞
θe−θt θe−θ(t−x) dt
=
x
= θeθx
Z
Exercice 28
1. On note Ti le temps pour changer la roue i. Alors
+∞
−2θt
θe
dt
x
+∞
= θ2 eθx − e−2θt x
= θ2 eθx e−2θx
= θ2 e−θx
Au final, X − Y est une variable aléatoire de densité :
Ti ,→ E(1/5)
Ainsi, on observe que
X = max(T1 , . . . , T4 )
hX−Y : x 7→ θ2 e−θ|x|
AInsi,
Supp(X) = [0, +∞[
Soit donc x > 0,
Exercice 27
1. La fonction de répartition de X, durée d’une plongée est
(
0
si t < 0
FX (t) =
λt
1−e
si t > 0
4
\
FX (x) = P (X 6 x) = P
!
(Ti 6 x)
i=1
=
|{z}
4
Y
P (Ti 6 x) = (1 − e−0,2x )4
ind. desTi i=1
D’où
D’où
(
0
FX (x) = P (X 6 x) =
(1 − e−0,2x )4
0, 887 = P (X > 6) = e−6λ
et donc
si x < 0
si x > 0
λ ' 0, 02
2.
3.
Cette fonction est continue sur R et dérivable sauf éventuellement en 0. La
variable X est donc une variable à densité fX avec
(
0
si x < 0
0
∀x 6= 0, fX (x) = FX (x) =
4e−0,2x (1 − e−0,2x )3 si x > 0
C’est P (X > 7) = 1 − e−0.02×7 ' 0, 887.
e−10λ
−3λ
a) PX>7 (X > 10) = PP(X>10)
' 0, 942
(X>7) = e−7λ = e
b) On constate que le résultat est le même que dans la question précédente.
Il semblerait que la loi exponentielle oublie ce qui s’est passé avant pour
recommencer à zéro à tout instant.
et on peut prolonger cette densité n’importe comment de manière positive,
ainsi, une densité de X est
fX (x) =
19
(
0
4 −0,2x
(1
5e
− e−0,2x )3
si x < 0
si x > 0
— Feuille 8: Densité de probabilité —
2.
On note Xi le temps passé à l’arrêt numéro i et N le nombre d’arrêts effectués.
Exercice 29
1. On note T le nombre de tickets utilisés pour un seul soir. Alors
N − 1 ,→ B(p)
Alors, comme {(N = i)}i=1,2 est un système complet de l’univers de probabilités non nulles, par formule des probabilités totales, on a
Supp(T ) = {1, 2}
P (T 6 x) = P(N =1) (T 6 x)P (N = 1) + P(N =2) (T 6 x)P (N = 2)
Alors
Or, si N = 1, d’après la question précédente,
L T(N =1) = L (X)
2
p = P (T = 2) = P ("il attend au maximum 2 heures") = 1 − e 5
Or, le nombre N de soirs où Madeleine vient suit une loi binomiale
D’où
N ,→ B(70, p)
P(N =1) (T 6 x)P (N = 1) = (1 − e−0,2x )4 (1 − p)
D’autre part,
Le nombre total de billets achetés correspond à
L T(N =2) = L (X1 + X2 )
X = N + 70
Il faut donc maintenant calculer la loi de X1 + X2 qui sont deux v.a. indépendantes. Elle ont donc une densité h donnée par
Z +∞
h(x) =
fX (t)fX (x − t) dt
Z−∞
+∞
h(x) =
fX (t)fX (x − t) dt
car fX (t) = 0 si t < 0
Z0 x
h(x) =
fX (t)fX (x − t) dt
car fX (x − t) = 0 si x − t < 0
0
Z x
4 2
=
e−0,2t (1 − e−0,2t )3 e−0,2(x−t) (1 − e−0,2(x−t) )3 dt
5
0
Z x
4 2 −0,2x
e
(1 − e−0,2t )3 (1 − e−0,2(x−t) )3 dt
=
5
Z0 x
4 2 −0,2x
=
e
(1 − e−0,2(x−t) − e−0,2t + e−0,2x )3 dt
5
D’où
X − 70 ,→ B(70, p)
2.
E[X] = 70 + 70p ' 93
V (X) = 70p(1 − p) ' 16.
Exercice 30
Q
1. P (X 6 x) = P (∩ni=1 (Xi 6 x)) = P (Xi 6 x) = F n (x). Une densité de X
est donc nf n−1 (x).
Exercice 31
4
1. α = 2
a a 1
a
4b(a − b)
a
2. P X >
= et P
−b<X 6 +b =
2
2
2
a2
α2
a
a
< X 6 + b = b(a − b)
3. P (A ∩ B) = P
2
2
2
0
20
— Feuille 8: Densité de probabilité —