changement de base diagonalisation de matrice

CHANGEMENT DE BASE
DIAGONALISATION DE MATRICE
Application: f : x → y
E → F
Soient
⃗
u
et ⃗
vdeux vecteurs de E.
g est une application linéaire de E vers F si:
g(⃗ u+⃗ v) = g(⃗ u) + g(⃗ v)
et g(λ ⃗
u) = λ g(⃗ u)
Soit l'espace vectoriel EV1 de base
B( ⃗e1,⃗e2, ..., ⃗en)
avec n vecteurs ⃗eidans Rn
On considère l'application linéaire g qui donne de l'espace vectoriel EV1 un espace vectoriel EV2 de base B'
dans Rp.
Cette application peut être représentée par une matrice M dont les colonnes sont constituées par l'ensemble
des vecteurs
g(⃗ei)
et de dimension (p,n).
p nombre de ligne <=> dimension d'arrivée
n nombre de colonnes <=> dimension de départ
g(⃗ u) = M⋅⃗ u
La combinaison d'applications linéaires correspond au produit des matrices de ces applications:
f : Rp → Rn avec la matrice M et g : Rn → Rm avec la matrice N
h : Rp → Rm
h = g o f =>
h(⃗ u) = N M ⋅⃗ u
La réciproque d'une application correspond à l'inverse de sa matrice:
f-1 : Rn → Rp avec la matrice M-1
f−1(⃗u) = M−1⋅⃗u
Changement de base:
Dans un espace vectoriel EV de dimension n, on considère une nouvelle base Bn constituée par un ensemble
de n vecteurs dont les coordonnés sont données via l'ancienne base Ba, aucun d'entre eux n'étant
combinaison linéaire des autres.
La matrice composée de ces vecteurs en colonnes est appelée matrice de passage P.
Son déterminant est différent de zéro.
La matrice P permet d'établir les coordonnés d'un vecteur dans la nouvelle base sachant ses coordonnées
dans l'ancienne base (et inversement), d'après la relation:
2ème année
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⃗
VBn P=⃗ VBa
<=>
⃗
VBn =P−1⃗ VBa
⃗
VBn
vecteur dans la nouvelle base
⃗
VBa vecteur dans l'ancienne base
Le changement de base affecte également les matrices représentant les applications.
Une application est définie d'un ensemble particulier à un autre; si l'ensemble de départ est différent de cet
ensemble particulier, il faut traduire dans la nouvelle base de l'ensemble de départ la matrice représentant
l'application. C'est le cas lorsqu'on souhaite appliquer consécutivement plusieurs fois la même application ou
des applications différentes définies dans les mêmes ensembles de départ et d'arrivée.
Soit une application représentée par MBa dans la base Ba, MBn dans la base Bn, avec une matrice de passage
P constituée des vecteurs de la nouvelle base dont les coordonnées sont données d'après l'ancienne base:
MBn =P−1 ⋅MBa ⋅P
Valeurs propres et vecteurs propres:
On considère une matrice M.
L'ensemble de ses valeurs propres λ et vecteurs propres
⃗
u
non nuls associés sont définis par la relation:
M⋅
⃗
u= λ ⃗ u
Pour une matrice M donnée, les vecteurs propres constituent une nouvelle base. L'expression de la matrice
dans cette nouvelle base donne la matrice diagonale D remplie avec les valeurs propres de M.
Pour déterminer les valeurs propres, on utilise la relation: (M−Iλ) ⃗
u=0
<=> det(M−Iλ) = 0
I.λ étant la matrice identité dans laquelle la diagonale de 1 est remplacée par une diagonale de λ
L'ensemble des solutions de l'équation obtenue constituent les valeurs propres de M.
On établit ensuite chaque vecteur propre pour chaque valeur propre de par la relation M⋅
⃗
u= λ ⃗ u
D'après la définition des valeurs propres et des vecteurs propres, on peut établir une relation entre la matrice
M et sa matrice diagonale D, sachant qu'elle n'est autre que M dans la nouvelle base des vecteurs propres
composant la matrice de passage P.
D=P−1 ⋅M⋅P
=> PDP−1=M
On peut ainsi facilement élever une matrice à la puissance n, sachant que pour élever la matrice diagonale à
la puissance n il suffit d'élever chacun de ses éléments à la puissance n:
Mn=PDnP−1
2ème année
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