ELEMENTS de TOPOLOGIE ESPACES METRIQUES et

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ELEMENTS de TOPOLOGIE
ESPACES METRIQUES et ESPACES NORMES
Résumé des notions et résultats fondamentaux
Patrick Vollat
Professeur de mathématiques
à l’Ecole Nationale des Travaux Publics de l’Etat
ENTPE
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1 - ESPACES METRIQUES
11 - Distances, espaces métriques
On appelle distance sur un ensemble E , toute application d de ExE dans R+ telle que:
∀(x,y,z)∈E3, d(x,y)=0 ⇔ x=y ,
d(x,y) = d(y,x) ,
d(x,y) ≤ d(x,z)+d(z,y) .
(E,d) est un espace métrique (on parlera du métrique E s'il ne peut y avoir confusion sur la distance utilisée);
on a de plus: |d(x,z)-d(y,z)| ≤ |d(x,y)| ;
premier exemple: la topologie discrète : d(x,y)=0 si x=y et d(x,y) ≠1 si x=y .
Deux distances d1 et d2 sont équivalentes (ou encore topologiquement équivalentes ) si la propriété suivante est
vérifiée:
∀x∈E, ∀ε>0, ∃α>0 / ∀y∈E,
d1(x,y)<α ⇒ d2(x,y)<ε et d2(x,y)<α ⇒ d1(x,y)<ε ;
c'est la bicontinuité de Id : continuité de Id de (E,d1) dans (E,d2) et de (E,d2) dans (E,d1).
Deux distances d1 et d2 sont régulièrement équivalentes si:
∃h>0, ∃k>0 / ∀(x,y)∈ExE, h.d1(x,y) ≤ d2(x,y) ≤ k.d1(x,y) .
d1 et d2 régulièrement équivalentes ⇒ d1 et d2 topologiquement équivalentes. ←
Exercice: comparer dans R : d1(x,y)=|x-y| et d2(x,y)=|Atan(x) - Atan(y)| .
12 - Suites; boules, voisinages, ouverts et fermés; connexité; sous-espaces métriques
Une suite d'un métrique E est une application de N dans E qui à n∈N associe xn∈E ;
on la note: (xn)n∈N .
Une suite (xn)n∈N converge vers x∈E si:
∀ε>0, ∃no>0 / ∀n∈N, n>no ⇒ d(xn,x)<ε ;
lim xn = x et la limite est unique; ←
on note: n→∞
la convergence d'une suite est une propriété conservée par des distances équivalentes. ←
Une suite (xn)n∈N est une suite de Cauchy si:
∀ε>0, ∃no>0 / ∀(p,q)∈NxN, p>q>no ⇒ d(xp,xq)<ε ;
cette propriété est conservée par des distances régulièrement équivalentes ←
(Attention, la remarque précédente est fausse si l'équivalence n'est pas régulière:
contrexemple dans R : ∀n∈N, xn=n avec d1(x,y)=|x-y| et d2(x,y)=|Atan(x) - Atan(y)|) ;
une suite convergente est de Cauchy, la réciproque est fausse. ←
On appelle sous-suite ou suite extraite d'une suite (xn)n∈N , une suite (xϕ(n))n∈N telle que ϕ
soit une application strictement croissante de N dans N ;
une suite de Cauchy qui contient une sous-suite convergente est convergente. ←
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Boule ouverte de centre x∈E et de rayon r≥0 : B(x,r) = {y∈E / d(x,y)<r} ;
Boule fermée de centre x∈E et de rayon r≥0 : B'(x,r) = {y∈E / d(x,y)≤r} ;
Sphère de centre x∈E et de rayon r≥0 : S(x,r) = {y∈E / d(x,y)=r} .
Remarque: B'(x,r) ⊂ B'(y,R) ⇒
/ r ≤ R (vrai néanmoins dans un EVN)
(contrexemples: (R,d) avec d(x,y)=Inf(|x-y|,1) et les boules B'(0,2) et B'(0,3) ,
ou encore: {-2}∪[0,∞[ avec la distance usuelle et B(-2,4) et B(0,3)).
Une partie d'un métrique est bornée si elle est contenue dans une boule;
une suite (xn)n∈N est bornée si {xn / n∈N} est borné;
une suite de Cauchy (donc aussi une suite convergente) est bornée. ←
Une partie d'un métrique E est voisinage d'un point a de E si elle contient une boule ouverte de rayon non nul et
centrée en a ;
l'ensemble des voisinages d'un point a se notera: V(a) ;
l'intersection finie d'éléments de V(a) est dans V(a) . ←
Un métrique E est séparé , c'est à dire que: ←
∀(a,b)∈ExE, ∃Va∈V
V(a), ∃Vb∈V
V(b) / Va∩Vb=Ø .
Une partie O d'un métrique est un ouvert si elle est voisinage de chacun de ses points
d'où: O ouvert ⇔ ∀x∈O, ∃ r>0 / B(x,r)⊂O ; ←
une boule ouverte est ouverte.
Une partie F d'un métrique est un fermé si son complémentaire est un ouvert;
on a aussi la caractérisation essentielle suivante:
F fermé ⇔ ∀(xn)n∈N suite de F convergeant vers b, b∈F ; ←
une boule fermée est fermée.
Remarque: une boule ouverte peut être fermée et une boule fermée ouverte
(exemple: Z avec la distance usuelle; alors: B(a,r) = B'(a,E(r)) si a ∈ Z et r ∉ N et où E(r) désigne la partie
entière de r).
On appelle Topologie d'un espace métrique E , l'ensemble des ouverts de E ;
deux distances équivalentes définissent la même topologie; c'est une CNS. ←
3 PROPRIETES DUALES DES OUVERTS ET DES FERMES: ←
E et Ø sont ouverts et fermés,
toute réunion d'ouverts est ouverte / toute intersection de fermés est fermée,
toute intersection finie d'ouverts est ouverte / toute réunion finie de fermés est fermée.
A part E et Ø , il existe des ensembles à la fois ouverts et fermés
(par exemple: toute partie pour la topologie discrète);
il existe des ensembles ni ouverts ni fermés (exemple: Q dans R pour la topologie usuelle).
Une partie A d'un métrique (E,d) est un sous-espace métrique si on la munit de la distance obtenue en prenant la
restriction de d à AxA ; sa topologie est dite topologie induite sur A par celle de E ;
les boules, ouverts, fermés, voisinages, ... de (A,d) sont les intersections avec A (traces ) des boules, ouverts,
fermés, voisinages, ... de (E,d) ←
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d'où, si P ⊂ A ⊂ E : ←
P ouvert (fermé) dans A et A ouvert (fermé) dans E ⇒ P ouvert (fermé) dans E
(faux si A non ouvert (fermé); contrexemples faciles);
P ouvert (fermé) dans E ⇒ P ouvert (fermé) dans A .
Une partie C d'un métrique E est connexe si l'une des trois propriétés équivalentes suivantes est vérifiée : ←
les seuls parties à la fois ouvertes et fermées dans C sont C et Ø ,
C n'est pas réunion de deux ouverts dans C disjoints,
C n'est pas réunion de deux fermés dans C disjoints;
tout ceci est évidemment valable pour l'espace entier E lui même; les restrictions dues à la topologie induite (et
donc l'expression "dans C") disparaissent alors.
Par exemple: les seuls connexes de R (pour la topologie usuelle) sont les intervalles. ←
13 - Définitions diverses
(E,d) étant un espace métrique, A une partie de E et a un point de E ,
a est un point adhérent à A si tout voisinage de a coupe A ;
a est adhérent à A si l'une des deux propriétés équivalentes suivantes est vérifiée:
∀r>0, B(a,r)∩A ≠ Ø ,
lim xn = a . ←
∃(xn)n∈N suite de A telle que n→∞
Ne pas confondre avec une valeur d'adhérence d'une suite (xn)n∈N qui est:
soit un point d'accumulation de {xn / n∈N} ,
soit une valeur prise une infinité de fois par les xn (n∈N) ;
a est valeur d'adhérence de la suite (xn)n∈N si l'une des deux conditions équivalentes suivantes est vérifiée:
∀V∈V
V(a), {n∈N / xn∈V} est infini,
lim xn = a . ←
∃(xn)n∈N suite de A telle que n→∞
∀ε>0, ∀p∈N, ∃n∈N / n>p et d(a,xn)<ε . ←
a est un point d'accumulation de a si tout voisinage de a coupe A ailleurs qu'en a ;
a est un point d'accumulation de A si l'une des deux propriétés équivalentes suivantes est vérifiée:
∀r>0, B(a,r)∩(A/{a}) ≠ Ø (A/{a} désigne A privé de a),
lim xn = a . ←
∃(xn)n∈N suite de A/{a} telle que n→∞
a est un point isolé de A si c'est un point adhérent à A qui n'est pas point d'accumulation;
d'où: a isolé dans A ⇔ ∃r>0 / B(a,r)∩A = {a} . ←
Une partie d'un métrique est discrète si tous ses points sont isolés.
a est un point intérieur à A si A est voisinage de a ; d'où:
a intérieur à A ⇔ ∃r>0 / B(a,r)⊂A ; ←
L'adhérence de A est l'ensemble des points adhérents à A ; on la note: A ; c'est aussi:
l'intersection de tous les fermés contenant A ,
le plus petit fermé contenant A . ←
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L'intérieur de A est l'ensemble des points intérieurs à A ; on le note: A° ou A° ; c'est aussi:
la réunion de tous les ouverts contenus dans A ,
le plus grand ouvert contenu dans A . ←
Frontière de A : Fr(A) = A ∩ E/A = A /A° (C/D est le complémentaire de D dans C).
Quelques formules:
A⊂B ⇒ A ⊂ B ; A∪B = A ∪ B ; A∩B ⊂ A ∩ B ; A = A ;
°
A⊂B ⇒ A° ⊂ B° ; (A∩B)° = A°∩B° ; (A∪B)° ⊃ A°∪B° ; A° = A° ;
E/A = E/A° ; (E/A)° = E/ A
F fermé ⇔ F = F ⇔ Fr(F)⊂F ⇔ F contient ses points d'accumulation; ←
° ⇔ O∩Fr(O) = Ø . ←
O ouvert ⇔ O = O
Attention: l'adhérence d'une boule ouverte n'est pas (obligatoirement) la boule fermée, ni l'intérieur de la boule
fermée la boule ouverte (vrai néanmoins dans un EVN)
(contrexemples: R et d(x,y)=Inf(|x-y|,1) et B(0,1)).
Une partie D d'un métrique est dense dans une autre partie P si: P⊂ D ;
D est donc dense dans P si l'une des deux propriétés équivalentes suivantes est vérifiée:
tout point de P est limite d'une suite de D , ←
tout voisinage d'un point de P coupe D ;
un métrique est séparable s'il contient une partie dénombrable et dense;
Par exemple: R est séparable pour la topologie usuelle puisqu'il contient Q qui est dénombrable et dense; de plus,
dans R , (toujours pour la topologie usuelle) tout ouvert est réunion au plus dénombrable d'intervalles ouverts
disjoints.
Autre exemple: dans R , pour la topologie usuelle, tout sous-groupe additif est soit monogène, soit dense.
Toutes les notions et propriétés précédentes sont conservées par des distances équivalentes SAUF celle de suite
de Cauchy qui demande l'équivalence régulière. ←
Exercice: étudier {2-n + 5-m / (n,m) ∈NxN} pour la topologie usuelle de R .
Exemple: l'ensemble triadique de Cantor dans R , qui a la puissance du continu et est pour la topologie usuelle,
fermé, borné, non dénombrable, d'intérieur vide, sans point isolé et de mesure nulle.
14 - Limites, continuité
Soient (E,d) et (F,δ) deux espaces métriques et A une partie de E (éventuellement E);
soit f une fonction de E vers F et d'ensemble de définition D .
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Si a∈ A , f étant définie dans A sauf peut-être en a , admet en a une limite b∈F suivant A si l'une des deux
propriétés équivalentes suivantes est vérifiée:
∀ε>0, ∃α>0 / ∀x∈A/{a}, d(x,a)<α ⇒ δ(f(x),b)<ε , ←
∀ε>0, ∃α>0 / f(B(a,α)∩(A/{a}))⊂B(b,ε) ;
lim f(x)= b .
on note: x→a,x∈A
lim
x→a,x∈Af(x)= b
lim xn=a , alors: lim f(xn)=b . ←
⇔ ∀(xn)n∈N suite de A/{a} telle que n→∞
n→∞
lim f(x)= f(a) donc si l'une des trois propriétés
Si a∈A , f étant définie dans A est continue en a dans A si: x→a,x∈A
équivalentes suivantes est vérifiée:
∀ε>0, ∃α>0 / ∀x∈A, d(x,a)<α ⇒ δ(f(x),f(a))<ε , ←
∀ε>0, ∃α>0 / f(B(a,α)∩A)⊂B(f(a),ε) ,
lim xn=a , alors: lim f(xn)=f(a) . ←
∀(xn)n∈N suite de A telle que n→∞
n→∞
f définie dans A est continue dans A si elle est continue en tout point de A dans A , soit si:
∀x∈A, ∀ε>0, ∃α>0 / ∀y∈A, d(x,y)<α ⇒ δ(f(x),f(y))<ε , ←
f continue dans A
⇔ l'intersection avec A des images réciproques des ouverts de F sont des ouverts de A ,
⇔ l'intersection avec A des images réciproques des fermés de F sont des fermés de A ,
←
←
Tout ce qui précède se passe donc dans le métrique (A,d) ; ←
si A=D=E , les restrictions dues à la topologie induite (et donc les expressions "suivant A" ou "dans A")
disparaissent bien évidemment.
Si f est définie dans E, on a les équivalences suivantes: ←
f continue dans E
⇔
∀A⊂E, f( A ) ⊂ f(A) ,
∀B⊂F, f(B° )-1 ⊂ (f(B)-1)°
⇔
∀B⊂F, f(B)-1 ⊂ f( B )-1 ;
⇔
.
l'image par une application continue d'une partie connexe est connexe. ←
f définie dans A est uniformément continue sur A si:
∀ε>0, ∃α>0 / ∀(x,y)∈AxA, d(x,y)<α ⇒ δ(f(x),f(y))<ε ; ←
l'image d'une suite de Cauchy par une application uniformément continue est encore une suite de Cauchy.
Si k>0 , f définie dans A est k-lipschitzienne sur A (on dira contractante si k<1) si:
∀(x,y)∈AxA, δ(f(x),f(y)) ≤ k.d(x,y) ;
f lipschitzienne sur A est uniformément continue sur A . ←
Un homéomorphisme d'un métrique E dans un autre F est une bijection bicontinue de E dans F c'est à dire que f et
f-1 sont toutes deux continues;
attention: une bijection continue n'est pas forcément un homéomorphisme
(contrexemple: toute bijection de Z dans Q considérés comme espaces métriques munis de la distance usuelle !).
Toutes les propriétés précédentes sont conservées par des distances équivalentes SAUF celles de continuité
uniforme et d'application lipschitzienne qui demandent l'équivalence régulière.
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15 - Complétude, compacité
151 - Complétude:
Une partie P d'un espace métrique E est complète si toute suite de Cauchy de P converge dans P.
Cette propriété est conservée par des distances régulièrement équivalentes ←
(faux si les distances sont seulement équivalentes; contrexemple:
R avec d(x,y)=|Atan(x) - Atan(y)| n'est pas complet; on utilisera la suite xn=n (∀n∈n);
d n'est pas régulièrement équivalente à la distance usuelle pour la quelle R est bien entendu complet).
Si A ⊂ E :
A complet ⇒ A fermé , ←
A fermé et E complet ⇒ A complet , ←
Si f est une fonction définie sur une partie A d'un métrique (E,d) et à valeurs dans un métrique compact (F,δ) , on
dispose du critère de Cauchy pour l'existence d'une limite pour f en un point a de A suivant A :
f a une limite en a suivant A ⇔
↓
∀ε>0, ∃α>0 / ∀(x,y)∈(A/{a})x(A/{a}), d(x,a)<α et d(y,a)<α ⇒ δ(f(x),f(y))<ε .
THEOREME DU POINT FIXE: une application contractante d'un métrique complet non vide dans lui même
admet un unique point fixe (toute suite récurrente xn+1=f(xn) converge vers ce point fixe). ←
PROPRIETE DES FERMES EMBOITES: une CNS pour qu'un métrique soit complet est que toute suite
décroissante de fermés non vides, dont la suite des diamètres converge vers 0 , ait une intersection réduite à un
point. ←
UNE VERSION DU THEOREME DE BAIRE: dans un métrique complet E , l'intersection de toute famille
dénombrable d'ouverts denses dans E est non vide et dense dans E .
Remarque: on utilise par exemple ce théorème pour montrer que, pour la norme Sup sur [0,1] , l'ensemble des
fonctions continues partout et dérivables nulle part est dense dans l'espace des fonctions continues ! On utilise
aussi ce théorème pour démontrer de puissants résultats sur les espaces vectoriels normés et cités à la fin du
paragraphe 26.
152 - Compacité:
Une partie K d'un espace métrique est compacte si l'une des trois propriétés équivalentes suivantes est vérifiée: ←
propriété de Bolzano-Weierstrass (1ère version): toute partie infinie de K admet un point d'accumulation dans K ,
propriété de Bolzano-Weierstrass (2ème version): de toute suite de K on peut extraire une sous-suite convergeant
dans K ,
propriété de Borel-Lebesgue : de tout recouvrement de K par des ouverts, on peut extraire un recouvrement fini.
La propriété de compacité est conservée par des distances équivalentes. ←
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Si A ⊂ E :
A compact ⇒ A borné ;
A compact ⇒ A complet ⇒ A fermé ;
A fermé et E compact ⇒ A compact . ←
Un métrique compact est séparable; de plus, il a au plus la puissance du continu. ←
THEOREME DE HEINE: une application continue sur une partie compacte d'un métrique y est uniformément
continue et en donne une image compacte. ←
Application aux fonctions numériques: une fonction à valeurs réelles, continue sur une partie compacte K d'un
métrique, est bornée sur K et atteint ses bornes dans K . ←
Application aux homéomorphismes: une bijection continue d'un métrique compact E dans un métrique F est un
homéomorphisme (et alors F est compact). ←
UN THEOREME DU POINT FIXE: une application f d'un métrique compact non vide K dans lui même et
vérifiant:
∀(x,y)∈KxK, x ≠y ⇒ d(f(x),f(y)) < d(x,y) ,
admet un unique point fixe (toute suite récurrente xn+1=f(xn) converge vers ce point fixe).
UNE PROPRIETE DES FERMES EMBOITES: dans un métrique compact, une suite décroissante de parties
fermées non vides a une intersection non vide.
16 - Topologie produit
Soient (Ei,di)1≤i≤n n espaces métriques;
n
∀(x,y)∈E=∏Ei ,
i=1
d∞(x,y)= Max({di(xi,yi) / 1≤i≤n}) ,
p
dp(x,y)=
n
∑di(xi,yi)
p
où p∈R , p≥1 ,
i=1
d∞ et dp sont des distances régulièrement équivalentes sur E ; elles munissent E de la topologie produit .
Muni de cette topologie, un produit fini d'espaces:
- discrets, bornés, séparables, complets, compacts, connexes est du même type; c'est une CNS; ←
les produits d'ouverts (fermés) sont des ouverts (fermés). ←
Les applications projections sont uniformément continues;
←
↓
les projections d'ouverts sont des ouverts; Faux pour les fermés (contrexemples faciles);
les sections d'ouverts (fermés) sont des ouverts (fermés);
les projections d'applications continues sont continues; c'est une CNS;
les sections d'applications continues sont continues; réciproque fausse (contrexemples classiques).
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THEOREME (faible) DE TYCHONOV: une CNS pour qu'un produit dénombrable d'espaces métriques (dont
la métrique reste à définir !) soit compact est que chacun le soit.
Exercice (théorème précédent simplifié):
E est le produit des métriques compacts (Ei,di)i∈N tels que ∀(xi,yi)∈EixEi di(xi,yi)≤1 ;
∀(x,y)∈ExE, on pose:
∞
d(x,y) =
∑
di(xi,yi)
;
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i=0
montrer que (E,d) est un espace métrique compact.
2 - ESPACES VECTORIELS NORMES
21 - Normes, espaces vectoriels normés (EVN)
E sera toujours un espace vectoriel sur R ou C (corps qu'on notera K ).
On appelle norme sur un K-espace vectoriel E , toute application de E dans R+ ,
notée ||x|| et telle que:
∀(x,y)∈ExE, ∀λ∈K,
||x||=0 ⇔ x=0 ,
||λ.x|| = | λ|.||x|| ,
||x+y|| ≤ ||x||+||y|| (suivant K , |λ| désigne la valeur absolue ou le module de λ);
(E,|| ||) est un espace vectoriel normé (on notera: EVN)
(on parlera de l'EVN E s'il ne peut y avoir confusion sur la norme utilisée);
on a de plus: | ||x|| - ||y|| | ≤ ||x ± y|| ; ← ainsi, la norme est 1-lipschitzienne dans E muni de la distance associée
canoniquement à la norme : d(x,y) = ||x-y|| ;
cette distance vérifie: d(x+z,y+z)=d(x,y) et d(λ.x,λ.y)=|λ|.d(x,y) ; ←
réciproquement: toute distance sur un K-espace vectoriel et vérifiant ces deux dernières propriétés, est associée à
une norme: la norme définie par: ||x|| = d(0,x) . ←
Un normé est donc un métrique; ←
sa topologie est celle du métrique canoniquement associé ←
et:
toutes les notions du chapitre précédent restent valables.
Cette fois cependant, on a bien l'adhérence (l'intérieur) de la boule ouverte (fermée) qui est la boule fermée
(ouverte) ainsi que la formule:
B(a,r) ⊂ B(b,R) ⇒ r ≤ R .
Deux normes || ||1 et || ||2 sur un même espace vectoriel sont équivalentes si:
∃h>0, ∃k>0 / ∀x∈E, h.||x||1 ≤ ||x||2 ≤ k.||x||1 ;
les distances associées sont alors régulièrement équivalentes;
ainsi des normes équivalentes "conservent tout". ←
Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet.
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Exemples importants: ←
1)
p
||x||p =
n
∑|xi|
p
où p∈R , p≥1 ,
i=1
||x||∞ = Max({|xi| / 1≤i≤n}) sont des normes de Rn (n∈N*) .
2) ∀p≥1,
∞
lp = {x=(xn)n∈N suites de C / ∑|xn|p converge} est normé par:
n=0
p
||x||p =
∞
∑|xn|p ;
n=0
l∞ = {x=(xn)n∈N suites bornées de C} est normé par:
||x||∞ = Sup({|xn| / n∈N}) ;
tous les espaces de l'exemple 2) sont complets.
3) L'espace C des fonctions continues sur [0,1] (par exemple !) peut être normé par:
p
||f||p =
1
p
⌠
⌡|f(x)| dx si p≥1 ou par: ||f||∞ = Sup({|f(x)| / x∈[0,1]} ;
0
les normes de ce dernier exemple ne sont pas équivalentes (les comparer) et C n'est pas complet pour les normes
|| ||p alors qu'il l'est pour la norme || ||∞ .
Dans ces exemples, les "normes p" tendent vers la "norme Sup" ("norme ∞") quand p tend vers l'infini; ←
les inégalités triangulaires pour les "normes p" s'appellent les inégalités de Minkowski ;
elles proviennent des inégalités de Hölder : ←
↑
CxC
C,
∀p>1, ∀q>1, (∀(x,y)∈RnxRn), [∀x∈llp, ∀y∈llq], ∀(x,y)∈C
1 1
p + q =1 ⇒ [x.y∈ll1] et ||x.y||1 ≤ ||x||p.||x||q
(où x.y=(xi.yi)1≤i≤n) [où x.y=(xn.yn)n∈N] .
PROPRIETE DES BOULES EMBOITEES: dans un Banach, l'intersection d'une suite décroissante de boules
fermées est une boule fermée (si la suite est infinie, les suites des rayons et des centres des boules convergent vers
le rayon et le centre de la boule intersection).
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22 - Parties et sous-espaces
E étant un EVN et A et B deux parties de E , on a:
A ou B ouvert ⇒ A+B ouvert ; ←
A fermé et B compact ⇒ A+B fermé ;
A et B compacts ⇒ A+B compact ;
mais: A et B fermés ⇒
/ A+B fermé ←
(contrexemple dans R2 avec la norme euclidienne, A = {(x,y) / xy=1 et x>0} et
B = {(x,y) / xy= -1 et x>0}).
L'adhérence d'un sous-espace vectoriel est un sous-espace vectoriel; ←
l'intérieur d'un sous-espace vectoriel propre est vide.
Un hyperplan d'un EVN est soit fermé soit dense. ←
23 - EVN et la dimension
THEOREME: dans un EVN de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes. ←
THEOREME: un EVN de dimension finie est un Banach (donc il est fermé). ←
Ainsi: les sous-espaces de dimension finie d'un EVN de dimension quelconque sont complets et fermés. ←
Corollaire: un EVN de dimension infinie ne peut contenir un sous-espace de dimension finie et dense.
THEOREME DE RIESZ: une CNS pour qu'un EVN soit de dimension finie est que la boule unité fermée (donc
toutes les boules fermées) soit compacte.
Ou encore: une CNS pour qu'un EVN soit de dimension finie est qu'il soit localement compact (c'est à dire, que
tout point possède un voisinage compact).
Donc: dans un EVN de dimension infinie, les boules fermées ne sont pas compactes. ←
Corollaire: une CNS pour qu'un EVN soit de dimension finie est que les compacts coïncident avec les fermés
bornés. ←
THEOREME: un Banach de dimension infinie ne peut pas avoir une base dénombrable
(on utilise le théorème de Baire pour le prouver).
24 - Séries dans un EVN
Une série de terme général un (n∈N) d'un espace vectoriel normé E converge si la suite associée: (Sn)n∈N (avec
n
Sn=
∑up)
converge;
p=0
la série converge absolument si la série de terme général ||un|| (n∈N) converge;
si E est un Banach, on a alors un critère de Cauchy pour la convergence d'une série en écrivant que la suite (Sn)n∈N
est de Cauchy.
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THEOREME: E étant un EVN, les deux propositions suivantes sont équivalentes: ←
i) E est un Banach,
ii) toute série qui converge absolument, converge (simplement).
25 - Convexité dans un EVN réel
Une partie C d'un espace vectoriel normé réel est convexe si:
∀(x,y)∈ExE, ∀t∈[0,1], (x,y)∈C ⇒ [x,y]∈C
où [x,y] = {t.x+(1-t).y / t∈[0,1]} est le segment d'extrémités x et y .
Cette notion est indépendante de la norme.
Un convexe est connexe. ←
les seuls convexes de R sont les intervalles. ←
Les boules sont convexes et les sphères ne le sont pas;
L'adhérence, l'intérieur d'un convexe sont convexes; ←
l'intersection de convexes est un convexe; ←
L'enveloppe convexe d'une partie A d'un EVN est définie par l'une des deux propriétés équivalentes suivantes: ←
le plus petit convexe contenant A ,
l'intersection de tous les convexes contenant A .
Une fonction définie sur un EVN réel E et à valeurs réelles est convexe sur une partie C convexe de E si:
∀(x,y)∈CxC, ∀t∈[0,1], f(t.x+(1-t).y) ≤ t.f(x)+(1-t).f(y) .
Une fonction de R dans R convexe sur un intervalle I est continue à l'intérieur I° de I; elle a même des dérivées à
gauche et à droite en tout point de I° et l'ensemble des points de I où elle n'est pas dérivable est dénombrable. ←
26 - Applications (multi)linéaires et continuité
(E,|| ||E) ((Ei,|| ||i)1≤i≤n) et (F,|| ||F) étant deux (n+1) espaces vectoriels normés, une application f
n
(multi)linéaire de E (EΠ=∏Ei , muni de la topologie produit) dans F est continue si l'une des cinq propriétés
i=1
équivalentes suivantes est vérifiée: ←
1) f est continue en un (unique !) point ,
2) f est continue dans E (EΠ) ,
3) f est uniformément continue dans E (EΠ) ,
4) f est bornée sur une (un) unique (produit de) boule(s) ou sphère(s) fermée(s) ,
n
5) ∃k>0 / ∀x∈E (∀x∈EΠ) ||f(x)||F ≤ k.||x||E ( ||f(x)||F ≤ k. ∏ ||xi||i ) .
i=1
Les opérations sont continues. ←
THEOREME: les applications (multi)linéaires à partir d'un (produit d') EVN de dimension(s) finie(s) sont
continues. ←
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On appelle Lc(E,F) le K-espace vectoriel des applications linéaires continues de E dans F;
on norme canoniquement Lc(E,F) par une norme notée: ||| ||| et définie par:
||f(x)||F
|||f||| = Sup{||f(x)||F / ||x||E=1} = Sup{||f(x)||F / ||x||E≤1} = Sup{ ||x|| / x≠0} ←
E
= Inf{k>0 / ∀x∈E, ||f(x)||F≤k.||x||E} .
La construction de cette norme se généralise de façon naturelle à l'espace des applications multilinéaires.
THEOREME: F complet ⇒ (L
Lc(E,F),||| |||) complet. ←
C'est donc le cas si F est de dimension finie. ←
Lc(E,K) est le dual topologique de E ; il est noté E' ; E' est complet; ←
une CNS pour qu'un hyperplan d'un EVN soit fermé est que toute forme linéaire dont il est le noyau soit
continue. ←
THEOREME DE BANACH: un isomorphisme continu entre deux Banach est un homéomorphisme. ←
THEOREME DU GRAPHE FERME: une CNS pour qu'un morphisme entre deux Banach E et F soit continu est
que son graphe soit fermé dans l'EVN produit ExF .
Remarque: pour les preuves des deux résultats précédents, on utilise le théorème de Baire.
THEOREME: une isométrie entre deux EVN est linéaire à une constante additive près; elle est donc linéaire si
elle est nulle en 0 . ←
(f , application de l'EVN (E,|| ||E) dans l'EVN (F,|| ||F) est une isométrie si:
∀(x,y)∈ExE, ||f(x)-f(y)||F = ||x-y||E ).
THEOREME: tout espace métrique est isométrique à une partie d'un Banach.
THEOREME (faible) DE HAHN-BANACH: soient E un EVN réel et F un sous-espace de E et soit f une forme
linéaire définie et continue sur F et de norme 1 ; alors f se prolonge en une forme linéaire continue sur E et de
norme 1 .
Remarque 1: le résultat est encore vrai si E est semi-normé (par n) et si f vérifie:
∀x∈E, |f(x)|≤n(x) .
(n application de ExE dans R+ est une semi-norme sur E si:
∀(x,y)∈ExE, ∀λ∈K, n(λ.x) = | λ|.n(x) et n(x+y) ≤ n(x)+n(y) ;
n ne vérifie pas: n(x)=0 ⇒ x=0).
Remarque 2: si F n'est pas de codimension finie, la preuve utilise le théorème de Zorn (donc l'axiome du choix).
VERSION GEOMETRIQUE du théorème précédent: soient deux ouverts convexes d'un EVN réel et
d'intersection vide; alors, il existe un hyperplan fermé les séparant (c'est à dire, tel qu'ils soient de part et d'autre de
l'hyperplan)
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BIBLIOGRAPHIE
(Une bibliographie bien sûr non exhaustive !)
1 - Eléments d'analyse (t1 et t2)
de J. Dieudonné chez Gauthier-Villars
2 - Eléments de la théorie des fonctions et de l'analyse fonctionnelle
de A. Kolmogorov et S. Fomine aux Editions Mir Moscou
3 - Cours d'analyse (t2)
de G. Choquet chez Masson
4 - Cours de mathématiques spéciales (t3: topologie et éléments d'analyse)
de E. Ramis, C. Deschamps et J. Odoux chez Masson
5 - Cours de Mathématiques (t2: analyse)
de J. M. Arnaudiès et H. Fraisse chez Dunod
6 - Analyse
de R. Couty et J. Ezra chez Armand Colin (collection U)
7 - Les contrexemples en mathématiques
de B. Hauchecorne chez Ellipses
8 - Précis de mathématiques (t1: analyse)
de D. Guinin, F. Aubonnet et B. Joppin chez Bréal
9 - Exercices corrigés de mathématiques
de M. Andler, J. D. Bloch et B. Mailliard chez Ellipses (collection Marketing)
10 - Topologie, analyse; exercices avec solutions (t1)
de G. Flory chez Vuibert
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