ELEMENTS de TOPOLOGIE ESPACES METRIQUES et

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E L E M E N T S d e T O P O L O G I E
E S P A C E S M E T R I Q U E S e t E S P A C E S N O R M E S
Résumé des notions et résultats fondamentaux
Patrick Vollat
Professeur de mathématiques
à l’Ecole Nationale des Travaux Publics de l’Etat
ENTPE

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1 - ESPACES METRIQUES
11 - Distances, espaces métriques
On appelle distance sur un ensemble E , toute application d de ExE dans R+ telle que:
∀(x,y,z)∈E
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, d(x,y)=0 ⇔ x=y ,
d(x,y) = d(y,x) ,
d(x,y) ≤ d(x,z)+d(z,y) .
(E,d) est un espace métrique (on parlera du métrique E s'il ne peut y avoir confusion sur la distance utilisée);
on a de plus: |d(x,z)-d(y,z)| ≤ |d(x,y)| ;
premier exemple: la topologie discrète : d(x,y)=0 si x=y et d(x,y) ≠1 si x=y .
Deux distances d
1
et d
2
sont équivalentes (ou encore topologiquement équivalentes ) si la propriété suivante est
vérifiée:
∀x∈E, ∀ε>0, ∃α>0 / ∀y∈E,
d
1
(x,y)<α ⇒ d
2
(x,y)<ε et d
2
(x,y)<α ⇒ d
1
(x,y)<ε ;
c'est la bicontinuité de Id : continuité de Id de (E,d
1
) dans (E,d
2
) et de (E,d
2
) dans (E,d
1
).
Deux distances d
1
et d
2
sont régulièrement équivalentes si:
∃h>0, ∃k>0 / ∀(x,y)∈ExE, h.d
1
(x,y) ≤ d
2
(x,y) ≤ k.d
1
(x,y) .
d
1
et d
2
régulièrement équivalentes ⇒ d
1
et d
2
topologiquement équivalentes. ←
←←
←
Exercice: comparer dans R : d
1
(x,y)=|x-y| et d
2
(x,y)=|Atan(x) - Atan(y)| .
12 - Suites; boules, voisinages, ouverts et fermés; connexité; sous-espaces métriques
Une suite d'un métrique E est une application de N dans E qui à n∈N associe x
n
∈E ;
on la note: (x
n
)
n∈N
.
Une suite (x
n
)
n∈N
converge vers x∈E si:
∀ε>0, ∃n
o
>0 / ∀n∈N, n>n
o
⇒ d(x
n
,x)<ε ;
on note:
lim
n→∞
x
n
= x et la limite est unique; ←
←←
←
la convergence d'une suite est une propriété conservée par des distances équivalentes. ←
←←
←
Une suite (x
n
)
n∈N
est une suite de Cauchy si:
∀ε>0, ∃n
o
>0 / ∀(p,q)∈NxN, p>q>n
o
⇒ d(x
p
,x
q
)<ε ;
cette propriété est conservée par des distances régulièrement équivalentes ←
←←
←
(Attention, la remarque précédente est fausse si l'équivalence n'est pas régulière:
contrexemple dans R : ∀n∈N, x
n
=n avec d
1
(x,y)=|x-y| et d
2
(x,y)=|Atan(x) - Atan(y)|) ;
une suite convergente est de Cauchy, la réciproque est fausse. ←
←←
←
On appelle sous-suite ou suite extraite d'une suite (x
n
)
n∈N
, une suite (x
ϕ(n)
)
n∈N
telle que ϕ
soit une application strictement croissante de N dans N ;
une suite de Cauchy qui contient une sous-suite convergente est convergente. ←
←←
←

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Boule ouverte de centre x∈E et de rayon r≥0 : B(x,r) = {y∈E / d(x,y)<r} ;
Boule fermée de centre x∈E et de rayon r≥0 : B'(x,r) = {y∈E / d(x,y)≤r} ;
Sphère de centre x∈E et de rayon r≥0 : S(x,r) = {y∈E / d(x,y)=r} .
Remarque: B'(x,r) ⊂ B'(y,R) ⇒/ r ≤ R (vrai néanmoins dans un EVN)
(contrexemples: (R,d) avec d(x,y)=Inf(|x-y|,1) et les boules B'(0,2) et B'(0,3) ,
ou encore: {-2}∪[0,∞[ avec la distance usuelle et B(-2,4) et B(0,3)).
Une partie d'un métrique est bornée si elle est contenue dans une boule;
une suite (x
n
)
n∈N
est bornée si {x
n
/ n∈N} est borné;
une suite de Cauchy (donc aussi une suite convergente) est bornée. ←
←←
←
Une partie d'un métrique E est voisinage d'un point a de E si elle contient une boule ouverte de rayon non nul et
centrée en a ;
l'ensemble des voisinages d'un point a se notera: V
VV
V(a) ;
l'intersection finie d'éléments de V
VV
V(a) est dans V
VV
V(a) . ←
←←
←
Un métrique E est séparé , c'est à dire que: ←
←←
←
∀(a,b)∈ExE, ∃V
a
∈V
VV
V(a), ∃V
b
∈V
VV
V(b) / V
a
∩V
b
=Ø .
Une partie O d'un métrique est un ouvert si elle est voisinage de chacun de ses points
d'où: O ouvert ⇔ ∀x∈O, ∃ r>0 / B(x,r)⊂O ; ←
←←
←
une boule ouverte est ouverte.
Une partie F d'un métrique est un fermé si son complémentaire est un ouvert;
on a aussi la caractérisation essentielle suivante:
F fermé ⇔ ∀(x
n
)
n∈N
suite de F convergeant vers b, b∈F ; ←
←←
←
une boule fermée est fermée.
Remarque: une boule ouverte peut être fermée et une boule fermée ouverte
(exemple: Z avec la distance usuelle; alors: B(a,r) = B'(a,E(r)) si a ∈ Z et r ∉ N et où E(r) désigne la partie
entière de r).
On appelle Topologie d'un espace métrique E , l'ensemble des ouverts de E ;
deux distances équivalentes définissent la même topologie; c'est une CNS. ←
←←
←
3 PROPRIETES DUALES DES OUVERTS ET DES FERMES: ←
←←
←
E et Ø sont ouverts et fermés,
toute réunion d'ouverts est ouverte / toute intersection de fermés est fermée,
toute intersection finie d'ouverts est ouverte / toute réunion finie de fermés est fermée.
A part E et Ø , il existe des ensembles à la fois ouverts et fermés
(par exemple: toute partie pour la topologie discrète);
il existe des ensembles ni ouverts ni fermés (exemple: Q dans R pour la topologie usuelle).
Une partie A d'un métrique (E,d) est un sous-espace métrique si on la munit de la distance obtenue en prenant la
restriction de d à AxA ; sa topologie est dite topologie induite sur A par celle de E ;
les boules, ouverts, fermés, voisinages, ... de (A,d) sont les intersections avec A (traces ) des boules, ouverts,
fermés, voisinages, ... de (E,d) ←
←←
←

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d'où, si P ⊂ A ⊂ E : ←
←←
←
P ouvert (fermé) dans A et A ouvert (fermé) dans E ⇒ P ouvert (fermé) dans E
(faux si A non ouvert (fermé); contrexemples faciles);
P ouvert (fermé) dans E ⇒ P ouvert (fermé) dans A .
Une partie C d'un métrique E est connexe si l'une des trois propriétés équivalentes suivantes est vérifiée : ←
←←
←
les seuls parties à la fois ouvertes et fermées dans C sont C et Ø ,
C n'est pas réunion de deux ouverts dans C disjoints,
C n'est pas réunion de deux fermés dans C disjoints;
tout ceci est évidemment valable pour l'espace entier E lui même; les restrictions dues à la topologie induite (et
donc l'expression "dans C") disparaissent alors.
Par exemple: les seuls connexes de R (pour la topologie usuelle) sont les intervalles. ←
←←
←
13 - Définitions diverses
(E,d) étant un espace métrique, A une partie de E et a un point de E ,
a est un point adhérent à A si tout voisinage de a coupe A ;
a est adhérent à A si l'une des deux propriétés équivalentes suivantes est vérifiée:
∀r>0, B(a,r)∩A ≠ Ø ,
∃(x
n
)
n∈N
suite de A telle que
lim
n→∞
x
n
= a . ←
←←
←
Ne pas confondre avec une valeur d'adhérence d'une suite (x
n
)
n∈N
qui est:
soit un point d'accumulation de {x
n
/ n∈N} ,
soit une valeur prise une infinité de fois par les x
n
(n∈N) ;
a est valeur d'adhérence de la suite (x
n
)
n∈N
si l'une des deux conditions équivalentes suivantes est vérifiée:
∀V∈V
VV
V(a), {n∈N / x
n
∈V} est infini,
∃(x
n
)
n∈N
suite de A telle que
lim
n→∞
x
n
= a . ←
←←
←
∀ε>0, ∀p∈N, ∃n∈N / n>p et d(a,x
n
)<ε . ←
←←
←
a est un point d'accumulation de a si tout voisinage de a coupe A ailleurs qu'en a ;
a est un point d'accumulation de A si l'une des deux propriétés équivalentes suivantes est vérifiée:
∀r>0, B(a,r)∩(A/{a}) ≠ Ø (A/{a} désigne A privé de a),
∃(x
n
)
n∈N
suite de A/{a} telle que
lim
n→∞
x
n
= a . ←
←←
←
a est un point isolé de A si c'est un point adhérent à A qui n'est pas point d'accumulation;
d'où: a isolé dans A ⇔ ∃r>0 / B(a,r)∩A = {a} . ←
←←
←
Une partie d'un métrique est discrète si tous ses points sont isolés.
a est un point intérieur à A si A est voisinage de a ; d'où:
a intérieur à A ⇔ ∃r>0 / B(a,r)⊂A ; ←
←←
←
L'adhérence de A est l'ensemble des points adhérents à A ; on la note: A ; c'est aussi:
l'intersection de tous les fermés contenant A ,
le plus petit fermé contenant A . ←
←←
←