Usage des quantificateurs en mathématiques

Usage des quantificateurs en math´ematiques
Rappels :
(1) N={0,1,2,3,4, . . . },Z={. . . , −3,−2,−1,0,1,2,3,4, . . . }. Les ´el´ements de Nsont
appel´es les nombres naturels, ceux de Zsont les entiers.
(2) Le symbole Rd´esigne l’ensemble des nombres r´eels. Un nombre r´eel test positif s’il
satisfait t > 0; il est n´egatif si t < 0. Donc 0 n’est ni positif ni n´egatif. Si le nombre
tsatisfait t≥0, on dit qu’il est non-n´egatif. L’ensemble des nombres r´eels positifs est
not´e R+ou (0,∞).
1. Quantificateurs
Le quantificateur existentiel
Le symbole ∃est appel´e le quantificateur existentiel ; une expression du type
∃a∈A(. . . )
se traduit en fran¸cais par:
Il existe au moins un ´el´ement ade Aqui satisfait la condition (. . . ).
1.1. Exemple. L’expression
(1) ∃x∈N(xest pair)
se lit
Il existe au moins un ´el´ement xde Nqui satisfait: “xest pair”.
On peut simplifier cette phrase pour qu’elle soit plus agr´eable `a lire et plus facile `a comprendre :
(2) Il existe au moins un ´el´ement de Nqui est pair.
La phrase (2) est une bonne traduction de (1). Une des raisons qui font que (2) est agr´eable et
claire est qu’on a ´evit´e de nommer “x”. Remarquez aussi que la phrase (2) est vraie, donc (1)
est vraie.
1.2. Exemple. La traduction fran¸caise de ∃n∈N(nest pair) est encore la phrase (2).
Autrement dit, les expressions
∃x∈N(xest pair) et ∃n∈N(nest pair)
ont la mˆeme signification. Elles ont aussi la mˆeme valeur de v´erit´e: les deux sont vraies.
1.3. Exemple. L’expression
(3) ∃x∈N(x < 0)
se traduit par :
(4) Il existe au moins un ´el´ement de Nqui est inf´erieur `a 0.
La phrase (4) est ´evidemment fausse, donc (3) est fausse.
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Le quantificateur universel
Le symbole ∀est appel´e le quantificateur universel; une expression du type
∀a∈A(. . . )
se traduit en fran¸cais par l’une des phrases suivantes:
Pour tout ´el´ement ade A, la condition (. . . )est satisfaite.
Pour chaque ´el´ement ade A, la condition (. . . )est satisfaite.
Quel que soit l’´el´ement ade A, la condition (. . . )est satisfaite.
Tout ´el´ement ade Asatisfait la condition (. . . ).
Chaque ´el´ement ade Asatisfait la condition (. . . ).
1.4. Exemple. L’expression
(5) ∀x∈Z(x2≥0)
se traduit par: Pour tout x∈Z, la condition x2≥0est satisfaite. Autre possibilit´e : Chaque
x∈Zsatisfait la condition x2≥0. Rappelez-vous que les ´el´ements de Zsont appel´es des
entiers, donc on peut aussi traduire par :
(6) Le carr´e de tout entier est non-n´egatif.
Notons que la phrase (6) est vraie, donc la formule (5) est V.
1.5. Exemple. La formule
(7) ∀x∈Z(x2>0)
se traduit par: Pour tout x∈Z, la condition x2>0est satisfaite. Ou encore, par
(8) Le carr´e de tout entier est positif.
Puisque 0 est un entier dont le carr´e n’est pas positif, la phrase (8) est fausse, donc (7) est F.
Variantes
Remarquez la diff´erence entre les phrases suivantes :
∀x∈Aϕ:tout ´el´ement de Asatisfait la condition ϕ,
∀xϕ:tout objet de l’univers satisfait la condition ϕ.
Donc les formules ∀x∈Aϕet ∀xϕont des significations diff´erentes, et similairement, les formules
∃x∈Aϕet ∃xϕne sont pas ´equivalentes. On remarque cependant que les deux formules suivantes
disent la mˆeme chose :
∀x∈Aϕ:tout ´el´ement de Asatisfait la condition ϕ,
∀x(x∈A⇒ϕ):pour tout objet x, si x∈Aalors xsatisfait la condition ϕ.
Remarquez aussi que les deux formules suivantes disent la mˆeme chose :
∃x∈Aϕ:il existe au moins un ´el´ement de Aqui satisfait la condition ϕ,
∃x(x∈A∧ϕ):il existe au moins un objet xqui satisfait les conditions x∈Aet ϕ.
On a donc les ´equivalences suivantes :
∀x∈Aϕ≡ ∀x(x∈A⇒ϕ)
∃x∈Aϕ≡ ∃x(x∈A∧ϕ).
Notez bien que dans le cas de ∀on utilise ⇒, et dans celui de ∃on utilise ∧. Par exemple,
∀x∈N(x≥0) ≡ ∀x(x∈N⇒x≥0),∃x∈N(x≤0) ≡ ∃x(x∈N∧x≤0).

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N´ egation d’un quantificateur
Il n’y a que deux r`egles:
¬∀x∈Aϕ≡ ∃x∈A¬ϕet ¬∃x∈Aϕ≡ ∀x∈A¬ϕ .
Voici quelques exemples.
(1) La n´egation de la formule ∀x∈R(x2>0) est:
¬∀x∈R(x2>0) ≡ ∃x∈R¬(x2>0)
≡ ∃x∈R(x2≤0).
Pour obtenir la derni`ere formule, on a utilis´e que la n´egation de a>best a≤b.
Remarquez:
¬(a>b)≡a≤b, ¬(a < b)≡a≥b, ¬(a≥b)≡a < b, ¬(a≤b)≡a > b.
Notez que la formule ∃x∈R(x2≤0) est V, car x= 0 est un nombre r´eel et satisfait la
condition x2≤0. On conclut que la formule ∀x∈R(x2>0) est F.
(2) La n´egation de ∀x∈Z(x2>1⇒x2>2) est :
¬∀x∈Z(x2>1⇒x2>2) ≡ ∃x∈Z¬(x2>1⇒x2>2)
≡ ∃x∈Z(x2>1∧x2≤2)
≡ ∃x∈Z(1 < x2≤2),
o`u on a utilis´e l’´equivalence ¬(X⇒Y)≡(X∧ ¬Y).
Variables li´ ees et variables libres
1.6. Exemple. Dans l’expression
(9) ∃x∈N(x<y),
le quantificateur ∃s’applique `a xmais pas `a y(autrement dit, ∃affirme que xexiste mais ne
dit rien au sujet de l’existence de y). On dit alors que la variable xest li´ee par le quantificateur
∃. Puisque yn’est pas li´ee par un quantificateur, on dit que yest une variable libre.
La valeur de v´erit´e de (9) d´epend de la valeur num´erique de y(par exemple, si y= 0 alors (9)
devient ∃x∈N(x < 0), qui est F; mais avec y= 4 on obtient ∃x∈N(x < 4), qui est V). Dans
cette situation, on dit que la valeur de v´erit´e de (9) n’est pas d´efinie.
C’est parce qu’il existe une variable libre que la valeur de v´erit´e de (9) n’est pas d´efinie.
On peut traduire (9) par il existe au moins un ´el´ement xde Nqui satisfait “x<y”; si on ´evite
de nommer la variable li´ee x, on obtient une meilleure traduction:
(10) il existe au moins un ´el´ement de Nqui est inf´erieur `a y.
1.7. Exemple. Dans la formule
(11) ∀x∈N(x>y),
xest une variable li´ee et yest une variable libre. La formule est Vpour certaines valeurs
de ymais est Fpour d’autres. Ainsi, la valeur de v´erit´e de (11) n’est pas d´efinie. Voici une
traduction fran¸caise de (11) :
(12) Tout ´el´ement de Nest plus grand que y.

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Remarque. Lorsqu’on traduit une formule en fran¸cais,
•les variables libres doivent toujours ˆetre nomm´ees dans la traduction fran¸caise
•si possible, on ´evite de nommer la variable li´ee (mais ce n’est pas obligatoire, et c’est
parfois mieux de la nommer).
1.8. D´efinition. Un ´enonc´e est une formule qui n’a aucune variable libre.
Remarque. Tout ´enonc´e a une valeur de v´erit´e bien d´efinie (un ´enonc´e est soit V, soit F).
2. Formules ayant plusieurs quantificateurs
2.1. Exemple. La formule
(13) ∃x∈N∃y∈N(x>y)
est un ´enonc´e, donc a une valeur de v´erit´e bien d´efinie. Cette formule doit ˆetre interpr´et´ee de
la mani`ere suivante:
Il existe au moins un x∈Npour lequel la formule ∃y∈N(x>y)est vraie.
Cette phrase est V, car (par exemple) x= 3 est ´el´ement de Net la formule ∃y∈N(3 > y) est
vraie. Donc (13) est V. Voici une autre traduction de (13) :
Il existe au moins un x∈Net au moins un y∈Nqui satisfont x > y.
ou, si on veut une phrase moins lourde,
(14) Il existe des ´el´ements x, y de Nqui satisfont x>y.
2.2. Exemple. La formule
(15) ∀x∈Z∀y∈Z(x+y≤xy)
ne contient aucune variable libre, donc est un ´enonc´e. Celui-ci doit ˆetre interpr´et´e de la mani`ere
suivante:
Pour chaque x∈Z, la formule ∀y∈Z(x+y≤xy)est vraie.
Ou encore:
Pour chaque x∈Zet pour chaque y∈Z, la condition x+y≤xy est satisfaite.
Ou encore:
(16) Pour tout choix de deux entiers x, y, la condition x+y≤xy est satisfaite.
Ou encore, si on veut ´eviter de nommer les variables li´ees:
(17) La somme de deux entiers quelconques est inf´erieure ou ´egale `a leur produit.
Remarquons que ceci est faux. En effet, x= 1 et y=−1 sont deux entiers mais x+y= 0 est
plus grand que xy =−1. Ainsi, (15) est F.

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Ordre des quantificateurs
Si P(x, y) est une condition, alors on a les ´equivalences
∃a∈A∃b∈BP(a, b)≡ ∃b∈B∃a∈AP(a, b)
∀a∈A∀b∈BP(a, b)≡ ∀b∈B∀a∈AP(a, b).
Voici un exemple : les deux formules
∀x∈Z∀y∈Z(x+y≤xy) et ∀y∈Z∀x∈Z(x+y≤xy)
disent la mˆeme chose (les deux ont la mˆeme traduction fran¸caise (17)). Ainsi, dans les cas
ci-dessus, l’ordre des quantificateurs n’est pas important. La situation est diff´erente lorsqu’une
formule contient ∃et ∀. Les deux exemples suivants montrent que les formules:
∀x∈R∃y∈N(x<y) et ∃y∈N∀x∈R(x<y)
ne sont pas ´equivalentes.
2.3. Exemple. L’´enonc´e
(18) ∀x∈R∃y∈N(x<y)
doit ˆetre interpr´et´e de la mani`ere suivante:
(19) Chaque x∈Rsatisfait la condition ∃y∈N(x<y).
`
A son tour, la formule ∃y∈N(x<y) peut ˆetre traduite par: il existe au moins un nombre naturel
plus grand que x;ou encore par: xest inf´erieur `a au moins un nombre naturel. Donc on peut
remplacer (19) par:
Chaque x∈Rest inf´erieur `a au moins un nombre naturel.
Ou encore:
(20) Chaque nombre r´eel est inf´erieur `a au moins un nombre naturel.
La phrase (20) est une bonne traduction de (18). Notons que (20) est V, donc (18) est V.
2.4. Exemple. L’´enonc´e
(21) ∃y∈N∀x∈R(x<y)
doit ˆetre interpr´et´e de la mani`ere suivante:
Il existe au moins un y∈Npour lequel la formule ∀x∈R(x < y)est V.
La formule ∀x∈R(x<y) peut ˆetre traduite par: tout nombre r´eel est inf´erieur `a y;ou encore,
yest plus grand que tous les nombres r´eels. Ainsi, (21) se traduit:
Il existe un nombre naturel qui est plus grand que tous les nombres r´eels.
Cette phrase est F, donc (21) est F.
Conclusion : les formules (18) et (21) ont des significations diff´erentes, bien que la seule
diff´erence entre les deux soit l’ordre des quantificateurs.
2.5. Notation.
∃x,y∈A(. . . ) est une abbr´eviation de ∃x∈A∃y∈A(. . . ).
∀x,y∈A(. . . ) est une abbr´eviation de ∀x∈A∀y∈A(. . . ).