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Le quantificateur universel
Le symbole ∀est appel´e le quantificateur universel; une expression du type
∀a∈A(. . . )
se traduit en fran¸cais par l’une des phrases suivantes:
Pour tout ´el´ement ade A, la condition (. . . )est satisfaite.
Pour chaque ´el´ement ade A, la condition (. . . )est satisfaite.
Quel que soit l’´el´ement ade A, la condition (. . . )est satisfaite.
Tout ´el´ement ade Asatisfait la condition (. . . ).
Chaque ´el´ement ade Asatisfait la condition (. . . ).
1.4. Exemple. L’expression
(5) ∀x∈Z(x2≥0)
se traduit par: Pour tout x∈Z, la condition x2≥0est satisfaite. Autre possibilit´e : Chaque
x∈Zsatisfait la condition x2≥0. Rappelez-vous que les ´el´ements de Zsont appel´es des
entiers, donc on peut aussi traduire par :
(6) Le carr´e de tout entier est non-n´egatif.
Notons que la phrase (6) est vraie, donc la formule (5) est V.
1.5. Exemple. La formule
(7) ∀x∈Z(x2>0)
se traduit par: Pour tout x∈Z, la condition x2>0est satisfaite. Ou encore, par
(8) Le carr´e de tout entier est positif.
Puisque 0 est un entier dont le carr´e n’est pas positif, la phrase (8) est fausse, donc (7) est F.
Variantes
Remarquez la diff´erence entre les phrases suivantes :
∀x∈Aϕ:tout ´el´ement de Asatisfait la condition ϕ,
∀xϕ:tout objet de l’univers satisfait la condition ϕ.
Donc les formules ∀x∈Aϕet ∀xϕont des significations diff´erentes, et similairement, les formules
∃x∈Aϕet ∃xϕne sont pas ´equivalentes. On remarque cependant que les deux formules suivantes
disent la mˆeme chose :
∀x∈Aϕ:tout ´el´ement de Asatisfait la condition ϕ,
∀x(x∈A⇒ϕ):pour tout objet x, si x∈Aalors xsatisfait la condition ϕ.
Remarquez aussi que les deux formules suivantes disent la mˆeme chose :
∃x∈Aϕ:il existe au moins un ´el´ement de Aqui satisfait la condition ϕ,
∃x(x∈A∧ϕ):il existe au moins un objet xqui satisfait les conditions x∈Aet ϕ.
On a donc les ´equivalences suivantes :
∀x∈Aϕ≡ ∀x(x∈A⇒ϕ)
∃x∈Aϕ≡ ∃x(x∈A∧ϕ).
Notez bien que dans le cas de ∀on utilise ⇒, et dans celui de ∃on utilise ∧. Par exemple,
∀x∈N(x≥0) ≡ ∀x(x∈N⇒x≥0),∃x∈N(x≤0) ≡ ∃x(x∈N∧x≤0).