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1 Introduction
Un jeu consiste `a lancer une fl´echette sur des cibles
dont la forme est donn´e dans chaque cas par le domaine
de plan color´e, situ´e au dessus du segment repr´esentant
l’intervalle [0; 1], et dont l’aire totale est ´egale `a 1 unit´e
d’aire.
On suppose que la fl´echette atteint toujours la cible, et
on appelle xl’abscisse du point d’impact P.
Pour un intervalle Jinclus dans [0; 1], on ´etudie ci-
dessous la probabilit´e de l’´evenement {x∈J}pour
chaque cible.
1. Le lanceur gagne lorsque xappartient `a l’intervalle
[0; 0,2].
(a) Avec quelle cible le lanceur a-t-il apparem-
ment le plus de chance de gagner ?
(b) Par lecture graphique, conjecturer la valeur
exacte de la probabilit´e p2de gagner avec la
cible ·.
(c) Proposer un principe de calcul pour les prob-
abilit´es p1et p3de gagner avec les cibles ¶et
¸.
2. Le bord sup´erieur du domaine est, pour chaque
cible, la courbe d’une fonction dont on donne
l’expression :
f1:x7→ 6x(1 −x)f2:x7→ 1
f3:x7→ 3
2(x−1)2+1 2
(a) Conjecturer pour quelle cible l’´ev´enement
{0,36x60,7}est le plus probable.
(b) En utilisant le calcul int´egral, d´eterminer
pour chaque cible la probabilit´e de
l’´ev´enement {0,36x60,7}et retrou-
ver la conjecture faire au 2.(a) .
Cible ¶
1
1
0
y=f1(x)
P
x
Cible ·
1
1
0
y=f2(x)
P
x
Cible ¸
1
1
0
y=f3(x)
P
x
1

Lyc´ee Paul Doumer 2013-2014
2-7 Activit´e
Table des mati`eres
1 Introduction 1
2 Loi `a densit´e sur un intervalle 2
2.1 Exempled’introduction................................ 2
2.2 D´efinitions....................................... 3
3 Loi uniforme sur un intervalle 5
4 Loi exponentielle 8
5 Loi Normale centr´ee r´eduite N(0; 1) 9
5.1 Th´eor`eme de Moivre-Lapplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.2 Loi normale centr´ee r´eduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.3 Calculsdeprobabilit´es ................................ 10
6 Loi normale Nµ;σ212
2 Loi `a densit´e sur un intervalle
2.1 Exemple d’introduction
Un entrepˆot accueille tous les matins des camions
de livraison sur un cr´eneau de deux heures
d’ouverture, de 7h30 `a 9h30. On s’int´eresse `a
l’heure d’arriv´ee d’un camion qui se pr´esente tous
les matins `a l’entrepˆot aux heures d’ouverture. On
admet que la probabilit´e que ce camion arrive dans
un intervalle de temps donn´e [t1;t2] est ´egale `a
l’aire du domaine compris entre l’axe des abscisses,
les deux segments trac´es ci-contre, et les droites
d’´equation x=t1et x=t2parall`ele `a l’axe des
ordonn´ees.
7.588.599.5
y=−x+ 8,5y=x−8,5
0,25 u.a.
Ainsi, la probabilit´e d’arriv´ee d’un camion entre 8h00 et 9h00 est ´egale `a l’aire colori´ee en rouge
2

:P([8; 9]) = 0,25, celle qu’il arrive entre 9h et 9h30 est :
P([8; 9]) = Z9,5
9
(x−8,5) dx= 0,375
Enfin on v´erifie (et c’est indispensable) que :
P([7,5; 9,5]) = Z9,5
7,5|x−8,5|dx= 1
2.2 D´efinitions
D´efinition :
Une densit´e de probabilit´e fsur un intervalle Ide Rest une fonction positive sur I, telle
que :
Zb
a
f(t) dt= 1 si I= [a;b] ou lim
x→+∞Zx
a
f(t) dt= 1 si I= [a; +∞[
D´efinition :
Une variable al´eatoire X`a valeurs dans Isuit la loi de probabilit´e de densit´e florsque
pour tout nombres αet βde Ion a :
P(α6X6β) = Zβ
α
f(t) dt
Dans ce cas, la variable al´eatoire Xest dite continue.
Remarque :
•Les valeurs plus ou moins grandes prises par la fonction sur les diff´erents intervalles
donnent plus ou moins de poids `a la probabilit´e de cet intervalle : d’o`u le nom de densit´e
donn´e `a la fonction.
•On note plus simplement : P({X∈J}) = P(J) et P({X∈[c;d]}) = P(c6X6d).
•Pour tout r´eel c∈I,P({X=c}) = Zc
c
f(t) dt= 0.
•P(c6X6d) = P(c<X6d) = P(c6X < d) = P(c<X<d)
3

Propri´et´e :
Les propri´et´es des probabilit´es rencontr´ees dans le cas discret s’´etendent au cas continu.
Ainsi :
•P(X /∈J) = 1 −P(X∈J) (compl´ementaire).
En particulier, si I= [a; +∞[ et si c > a alors : P(X > c) = 1 −P(a<X<c).
•Si Jet Ksont deux intervalles inclus dans Ialors :
P(X∈J∪K) = P(X∈J) + P(X∈K)−P(X∈J∩K)
•Si P(X∈J)6= 0, alors : PX∈J(X∈K) = P(X∈J∩K)
P(X∈J)
4

Exemple
P(c6X6d) = Zd
c
f(x) dx
Cf
ab cd
P(X > c) = 1−P(a6X6c)=1−Zc
a
f(x) dx
Cf
a c
Exemple
fest la fonction d´efinie sur [0; 4] par la
courbe ci-contre.
1. V´erifier que l’aire sous la courbe de f
vaut 1. Que peut-on en d´eduire sur la
nature de la fonction f?
2. Xest une variable al´eatoire continue `a
valeurs dans [0; 4] dont la loi de proba-
bilit´e `a pour densit´e la fonction f.
(a) Calculer P(2 6X63).
(b) Calculer
P26X63(2,56X63,5).
1
0.2
0
D´efinition : Esp´erance math´ematiques
L’esp´erance math´ematiques d’une variable al´eatoire Xdont la densit´e de probabilit´e est
une fonction fd´efinie `a valeurs dans [a, b], est :
E (X) = Zb
a
xf (x) dx
Remarque : Cette d´efinition prolonge au cas continu la d´efinition donn´ee dans le cadre
d’une loi de probabilit´e discr`ete.
3 Loi uniforme sur un intervalle
La loi uniforme est la loi des ph´enom`enes continus uniform´ement r´epartis sur un intervalle
donn´e.
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