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1
Introduction
Un jeu consiste à lancer une fléchette sur des cibles
dont la forme est donné dans chaque cas par le domaine
de plan coloré, situé au dessus du segment représentant
l’intervalle [0; 1], et dont l’aire totale est égale à 1 unité
d’aire.
Cible ¶
y = f1 (x)
1
P
On suppose que la fléchette atteint toujours la cible, et
on appelle x l’abscisse du point d’impact P .
Pour un intervalle J inclus dans [0; 1], on étudie cidessous la probabilité de l’évenement {x ∈ J} pour
chaque cible.
0
1. Le lanceur gagne lorsque x appartient à l’intervalle
[0; 0, 2].
x
Cible ·
(a) Avec quelle cible le lanceur a-t-il apparemment le plus de chance de gagner ?
(b) Par lecture graphique, conjecturer la valeur
exacte de la probabilité p2 de gagner avec la
cible ·.
y = f2 (x)
1
(c) Proposer un principe de calcul pour les probabilités p1 et p3 de gagner avec les cibles ¶ et
¸.
P
0
2. Le bord supérieur du domaine est, pour chaque
cible, la courbe d’une fonction dont on donne
l’expression :
f1 : x 7→ 6x (1 − x)
f3 : x 7→
1
x
1
Cible ¸
f2 : x 7→ 1
3
1
(x − 1)2 +
2
2
y = f3 (x)
(a) Conjecturer pour quelle cible l’événement
{0, 3 6 x 6 0, 7} est le plus probable.
(b) En utilisant le calcul intégral, déterminer
pour chaque cible la probabilité de
l’événement {0, 3 6 x 6 0, 7} et retrouver la conjecture faire au 2.(a) .
1
1
P
0
x
1
Lycée Paul Doumer
2-7
2013-2014
Activité
Table des matières
1 Introduction
1
2 Loi à densité sur un intervalle
2.1 Exemple d’introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
3
3 Loi uniforme sur un intervalle
5
4 Loi exponentielle
8
Normale centrée réduite N
Théorème de Moivre-Lapplace
Loi normale centrée réduite .
Calculs de probabilités . . . .
6 Loi normale N µ; σ 2
5 Loi
5.1
5.2
5.3
2
2.1
(0; 1)
9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
12
Loi à densité sur un intervalle
Exemple d’introduction
Un entrepôt accueille tous les matins des camions
de livraison sur un créneau de deux heures
0, 25 u.a.
d’ouverture, de 7h30 à 9h30. On s’intéresse à y = −x + 8, 5
y = x − 8, 5
l’heure d’arrivée d’un camion qui se présente tous
les matins à l’entrepôt aux heures d’ouverture. On
admet que la probabilité que ce camion arrive dans
un intervalle de temps donné [t1 ; t2 ] est égale à
l’aire du domaine compris entre l’axe des abscisses,
les deux segments tracés ci-contre, et les droites
d’équation x = t1 et x = t2 parallèle à l’axe des
7.5
8
8.5
9
9.5
ordonnées.
Ainsi, la probabilité d’arrivée d’un camion entre 8h00 et 9h00 est égale à l’aire coloriée en rouge
2
: P ([8; 9]) = 0, 25, celle qu’il arrive entre 9h et 9h30 est :
Z 9,5
(x − 8, 5) dx = 0, 375
P ([8; 9]) =
9
Enfin on vérifie (et c’est indispensable) que :
Z
P ([7, 5; 9, 5]) =
9,5
|x − 8, 5| dx = 1
7,5
2.2
Définitions
Définition :
Une densité de probabilité f sur un intervalle I de R est une fonction positive sur I, telle
que :
Z b
Z x
f (t) dt = 1 si I = [a; b]
ou
lim
f (t) dt = 1 si I = [a; +∞[
x→+∞
a
a
Définition :
Une variable aléatoire X à valeurs dans I suit la loi de probabilité de densité f lorsque
pour tout nombres α et β de I on a :
Z β
f (t) dt
P (α 6 X 6 β) =
α
Dans ce cas, la variable aléatoire X est dite continue.
Remarque :
• Les valeurs plus ou moins grandes prises par la fonction sur les différents intervalles
donnent plus ou moins de poids à la probabilité de cet intervalle : d’où le nom de densité
donné à la fonction.
• On note plus simplement : P ({X ∈ J}) = P (J) et P ({X ∈ [c; d]}) = P (c 6 X 6 d).
Z c
• Pour tout réel c ∈ I, P ({X = c}) =
f (t) dt = 0.
c
• P (c 6 X 6 d) = P (c < X 6 d) = P (c 6 X < d) = P (c < X < d)
3
Propriété :
Les propriétés des probabilités rencontrées dans le cas discret s’étendent au cas continu.
Ainsi :
• P (X ∈
/ J) = 1 − P (X ∈ J) (complémentaire).
En particulier, si I = [a; +∞[ et si c > a alors : P (X > c) = 1 − P (a < X < c).
• Si J et K sont deux intervalles inclus dans I alors :
P (X ∈ J ∪ K) = P (X ∈ J) + P (X ∈ K) − P (X ∈ J ∩ K)
• Si P (X ∈ J) 6= 0, alors : PX∈J (X ∈ K) =
4
P (X ∈ J ∩ K)
P (X ∈ J)
Exemple
Z
d
Z c
P (X > c) = 1−P (a 6 X 6 c) = 1−
f (x) dx
f (x) dx
P (c 6 X 6 d) =
c
a
Cf
a
Cf
c
d
b
a
c
Exemple
f est la fonction définie sur [0; 4] par la
courbe ci-contre.
1. Vérifier que l’aire sous la courbe de f
vaut 1. Que peut-on en déduire sur la
nature de la fonction f ?
2. X est une variable aléatoire continue à
valeurs dans [0; 4] dont la loi de probabilité à pour densité la fonction f .
(a) Calculer P (2 6 X 6 3).
0.2
0
1
(b) Calculer
P26X63 (2, 5 6 X 6 3, 5).
Définition : Espérance mathématiques
L’espérance mathématiques d’une variable aléatoire X dont la densité de probabilité est
une fonction f définie à valeurs dans [a, b], est :
Z b
xf (x) dx
E (X) =
a
Remarque :
Cette définition prolonge au cas continu la définition donnée dans le cadre
d’une loi de probabilité discrète.
3
Loi uniforme sur un intervalle
La loi uniforme est la loi des phénomènes continus uniformément répartis sur un intervalle
donné.
5
Définition :
1
Une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur [a; b], avec a < b lorsque sa densité de probabilité est une fonction constante
sur [a; b].
1 u.a.
1
b−a
0
a
b
Propriété :
La densité de probabilité d’une loi uniforme sur un intervalle [a; b] est la fonction f définie
par :
∀x ∈ [a; b]
f (x) =
1
b−a
Remarque :
• Si l’on choisit au hasard un nombre dans un intervalle I = [a; b], la probabilité qu’il soit
dans un intervalle JincluI est égale au quotient de la longueur de l’intervalle J sur celle
de I.
En effet, pour tout intervalle J = [α; β] incluI,
Z
β
P (X ∈ J) =
α
β−α
longueur de J
1
dx =
=
b−a
b−a
longueur de I
• Si deux intervalles J et K on même longueur alors P (X ∈ J) = P (X ∈ K). D’où le nom
de loi uniforme.
Exemple
On choisit un nombre réel au hasard dans l’intervalle [1; 5]. La variable aléatoire X
qui donne ce nombre tiré au hasard, suit une loi uniforme sur [1; 5].
2
1
3
Ainsi, P (X = 2) = 0, P (1 6 X 6 4) = et P (X > 3) = = .
4
4
2
Propriété : Espérance mathématiques
Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l’intervalle [a; b]. Alors son
espérance mathématiques vaut :
a+b
E (X) =
2
6
Exemple
Walter a dit qu’il passerait chez Saul entre 18h et 20h30. Quelle est la probabilité
qu’il le dérange pendant son rendez-vous avec Jesse entre 19h et 19h30 ?
On note X la variable aléatoire donnant l’heure d’arrivée de Walter chez Saul. Elle
prend ses valeurs dans [18; 20, 5]. X suit une loi uniforme sur cet intervalle.
P (19 6 X 6 19, 5) =
19, 5 − 19
1
=
20, 5 − 18
5
la probabilité que Walter arrive pendant le rendez-vous est de
1
.
5
Exemple
Un feu tricolore (pour les voitures) reste 55 secondes au vert, 5 secondes à l’orange
et 60 secondes au rouge. Un piéton ne peut traverser que lorsque le feu est rouge. A
8h00, le feu passe au rouge. On s’intéresse aux piétons qui se présentent entre 8h00
et 8h05. T est la variable aléatoire qui donne, en seconde, le temps écoulé de 8h00
jusqu’à l’heure d’arrivée devant le feu d’un piéton désirant traverser. On suppose
que T suit la loi uniforme sur [0; 300].
On veut calculer la probabilité qu’un piéton attende moins de 10 secondes puis plus
de 20 secondes.
1. Faire un schéma illustrant la succession des feux.
2. Pour une attente de moins de 10 secondes, dans quel intervalle doit se situer
T ?
En déduire la probabilité que l’attente ne dépasse pas les 10 secondes ?
3. Calculer la probabilité que l’attente dure plus de 20 secondes.
7
4
Loi exponentielle
La plupart des phénomènes naturels sont soumis au processus de vieillissement. Par exemple,
la durée de vie des êtres humains : la probabilité de vivre 40 ans pour un enfant à la naissance
est de l’ordre de 0,98. La probabilité pour une personne de 50 ans de vivre encore 40 ans est
environ égale à 0,65. Il existe des phénomènes où il n’y a pas de vieillissement ou d’usure.
Dans la pratique, ils relèvent d’événements survenant accidentellement et/ou de façon brutale.
L’absence de ”mémoire” ou de vieillissement se traduit par le fait qu’un phénomène a autant
de chances de se produire sur un laps de temps donné après l’instant t qu’après l’instant h. La
probabilité qu’il survienne aujourd’hui sachant qu’on l’attend depuis un siècle est la même que
si on l’attendait depuis un jour.
Les lois exponentielles modélisent ces phénomènes dont la durée de vie n’est pas affectée par
l’âge, par exemple la durée de vie d’un noyau radioactif ou d’un composant électronique.
Définition :
Soit λ un réel strictement positif.
Une variable aléatoire à densité T suit la loi exponentielle de paramètre λ si sa densité de
probabilité est la fonction f définie sur [0; +∞[ par f (x) = λe−λx .
Remarque :
La fonction f définie sur [0; +∞[ par
f (x) = λe−λx est bien une densité de
probabilité sur [0; +∞[.
f est continue
Z et positive sur [0; +∞[,
t
λe−λx dx = 1 − e−λt .
et si t > 0,
0
Et :
Z
−λx
λe
lim
t→+∞
t
Z
+∞
dx =
0
λe−λx dx = 1
0
Propriété :
Pour tout nombres réels a et b, tels que 0 6 a 6 b :
• P (a 6 T 6 b) = e−λa − e−λb
• P (T 6 b) = 1 − e−λb
• P (T > a) = e−λa
Propriété : Durée de vie sans vieillissement
Si T est une variable aléatoire suivant une loi exponentielle, alors pour tout réels positifs
t et h :
PT >t (T > t + h) = P (T > h)
8
Remarque :
La durée de vie T sur un laps de temps h, ne dépend pas de l’âge t à partir
duquel on considère cet évènement.
Propriété : Espérance mathématiques d’une loi exponentielle
Si X suit la variable aléatoire suit la loi exponentielle de paramètre λ, elle admet pour
espérance :
1
E (X) =
λ
Loi Normale centrée réduite N (0; 1)
5
5.1
Théorème de Moivre-Lapplace
Ce théorème est fondamental en probabilités.
Il permet, lorsque le nombre d’épreuves augmente, d’approcher une loi binomiale par une des
principales lois de probabilité : la loi normale.
Théorème : Théorème de Moivre-Lapplace
Soit p ∈ ]0, 1[. On suppose que, pour tout entier naturel n non nul, la variable aléatoire
Xn suit une loi binomiale de paramètres n et p.
Xn − np
Soit Zn la variable aléatoire définie par Zn = p
.
np(1 − p)
Alors, pour tous réels a et b tels que a < b, on a :
Z
lim P (a 6 Zn 6 b) =
n→+∞
5.2
a
b
t2
1 −
√ e 2 dt
2π
Loi normale centrée réduite
Définition :
t2
Z 0
Z x
1 −
1
1
• Si f (t) = √ e 2 , alors : lim
f (t) dt = et lim
f (t) dt = .
x→−∞ x
x→+∞ 0
2
2
2π
La fonction f permet de définir une densité de probabilité sur R.
• Soit X une variable aléatoire à valeurs réelles. On dit qu’elle suit la loi normale
centrée réduite si elle admet pour densité la fonction f définie sur R par :
t2
1 −
f (t) = √ e 2
2π
• On note X ,→ N (0; 1).
9
Remarque :
1. La fonction f est à valeurs strictement positives.
2. Sa courbe représentative est symétriques par
rapport à l’axe des ordonnées.
3. L’aire du domaine situé sous la courbe et audessus de l’axe des abscisses vaut 1.
5.3
Calculs de probabilités
Casio
Ti
Syntaxe
Touche OPTN puis choisir STAT, puis
DIST, puis NORM
Menu distrib ( 2nde var ), puis
choisir normalFRep ou FracNormale
P (a < X < b)
Choisir Ncd : NormCD(a,b)
NormalFRép(a,b)
Nombre
réel
k
tel
que
P (X < c) = c
Choisir InvN : InvNormCD(a,b)
textbfFracNormalFRép(a,b)
Remarque : Certaines calculatrices ne calculent que des probabilités de la forme P (a 6 Z 6 b).
Pour calculer des probabilités de la forme P (Z 6 a) ou P (Z > b), on doit alors se ramener à
des calculs de la forme P (a 6 Z 6 b). Pour cela on utilise les symétries de la loi normale.
Si b > 0
P (Z < b) =
1
+ P (0 < Z < b)
2
0
Si b < 0
P (Z < b) =
1
− P (b < Z < 0)
2
b
10
0
b
Si a > 0
P (Z > a) =
1
− P (0 < Z < a)
2
0
Si a < 0
P (Z > a) =
a
1
+ P (a < Z < 0)
2
a
0
Théorème : Intervalle centré en 0 de probabilité donné
Si Z est une variable aléatoire qui suit la loi normale N (0; 1), alors pour tout nombre
réel α ∈ ]0; 1[, il existe un unique réel uα > 0 tel que
P (−uα 6 Z 6 uα ) = 1 − α
Remarque : Ce problème est l’inverse du problème précédent. On connait la probabilité et
l’on cherche à calculer l’intervalle correspondant.
Remarque : Valeurs remarquables :
P (−1 6 Z 6 1) ≈ 0, 683
P (−1, 96 6 Z 6 1, 96) = 0, 95
0
1
P (−2 6 Z 6 2) ≈ 0, 954
0
1.96
P (−2, 58 6 Z 6 2, 58) = 0, 99
0
2
0
11
2.58
6
Loi normale N µ; σ 2
Soient µ un réel et σ un nombre réel strictement positif.
Définition :
X −µ
Une variable aléatoire X suit la loi normale N µ; σ 2 si la variable aléatoire Z =
σ
suit la loi normale centrée réduite.
Propriété : Espérance et variance
On a, avec les notation précédentes, X = σZ + µ.
Les deux paramètres µ et σ 2 de la loi normale N µ; σ 2 s’interprètent comme l’espérance
mathématiques et la variance (écart-type au carré) de X.
E (X) = µ car E (X) = E (σZ + µ) = σE (Z) + µ = µ (car E (Z) = 0).
V (X) = σ 2 car V (X) = V (σZ + µ) = σ 2 V (Z) = σ 2 (car V (Z) = 1).
Propriété : Influence des paramètres
σ et µ
2
On admet que la loi normale N µ; σ est une loi à densité. Cette densité est la fonction
g définie sur R par
1
g(x) = √
σ 2π
1 x − µ !2
−
σ
e 2
(formule non exigible)
Toutes les courbes représentatives ont la même allure obtenue à partir de la densité de
probabilité de la loi normale N (0; 1).
L’interprétation de σ comme l’écart-type de X explique son influence sur la forme de la
représentation graphique de sa densité :
12
Remarque : Plus σ est grand, plus la courbe est large (c’est à dire que plus les valeurs sont
dispersées) et plus la valeur du sommet est petite (car l’aire sous la courbe reste égale à 1).
Propriété : Influence de µ
L’axe de symétrie de la courbe est la droite d’équation x = µ.
Propriété : Calcul de probabilités
Les calculs sont identiques que pour la loi normale centrée réduite. Les calculatrices font
ces calculs en entrant les valeurs
de µ et σ.
µ−σ−µ
X −µ
µ+σ−µ
P (µ − σ 6 X 6 µ + σ) = P
6
6
= P (−1 6 Z 6 1) ≈
σ
σ
σ
0, 68 à 10−2 près.
X −µ
µ + 2σ − µ
µ − 2σ − µ
6
6
=
P (µ − 2σ 6 X 6 µ + 2σ)
=
P
σ
σ
σ
P (−2 6 Z 6 2) ≈ 0, 954 à 10−3 près.
Exemple
68% de la distribution statistique se
retrouve répartie autour de la moyenne
µ dans un intervalle ayant un écarttype de part et d’autre de la moyenne.
13
95% de la distribution statistique se
retrouve répartie autour de la moyenne
µ dans un intervalle ayant 1, 96 écarttype de part et d’autre de la moyenne.