1 Probabilités-variable aléatoire 2 Suites

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1 Probabilit´es-variable al´eatoire
1. ´ev´enements ind´ependants
A et B sont ind´ependants si p(A∩B) = p(A)p(B) ou pA(B) = p(B) (la r´ealisation de ”B” ne
d´epend de ”A”)
2. Probabilit´e de A∪B
p(A∪B) = p(A) + p(B)−p(A∩B) (rappel : A∪Bse lit Aou Bet A∩Bse lit Aet B)
3. Probabilit´es conditionnelles
p(A∩B) = p(A)×pA(B)
On a aussi p(A∩B) = p(B)×pB(A)
4. Calcul de pA(B)
pA(B) = p(A∩B)
p(A)
5. Formule des probabilit´es totales
p(B) = p(A∩B) + p(A∩B)
ou bien par exemple p(A∪B)=p(B)−p(A∩B) si p(B) est donn´ee.
6. Loi binomiale
Identifier l’´epreuve de Bernouilli que l’on r´ep`ete et les deux issues possibles, v´erifier qu’il y a
ind´ependance, donner les param`etres de la loi binomiale...
R´edaction type (`a faire avant tout calcul de probabilit´e) :
On r´ep`ete ....fois successivement l’´epreuve de Bernouilli ..........ayant les issues possibles S et S
avec p(S) =.....
Ces exp´eriences al´eatoires sont ind´ependantes.
La variable al´eatoire Xdonnant le nombre de succ`es Sparmi les n´epreuves suit une loi
binomiale de param`etres net p=p(S) not´ee B(n;p).
p(X=k) = n
p×pk×(1 −p)n−k
E(X) = np et V(X) = np(1 −p) (rappel : l’´ecart type σ=pV(X))
7. Esp´erance-variance
Si le tableau ci-dessous donne la loi de probabilit´e de la variable al´eatoire Xprenant les valeurs
x1,x2.....
Valeurs de xide X x1x2...... xn
p(X=xi)p1p2...... pn
V´erifier que la somme des probabilit´es p1+p2+...... +pn= 1
E(X) = p1x1+p2x2+−−−−−−+pnxnet V(X) = p2
1x1+p2 2x2+...... +p2 mxn−E(X)2
(rappel : l’´ecart type σ=pV(X))
2 Suites
1. Forme explicite : On peut calculer unsans calculer les termes pr´ec´edents quelque soit la
valeur de ndonc unest sous forme explicite.
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2. Relation de r´ecurrence : On ne peut pas calculer un+1 sans calculer le terme pr´ec´edent
donc unest d´efinie par r´ecurrence.
3. Variations d’une suite
Etudier le signe de un+1 −un.
Si un+1 −un>0 alors la suite (un) est strictement croissante.
Si un+1 −un<0 alors la suite (un) est strictement d´ecroissante.
4. Suites arithm´etiques
un+1 =un+ro`u rest la raison de la suite.
un=u0+nr
et pour tous entiers net p,un=up+ (n−p)r
si le premier terme de la suite est u1par exemple, on a alors un=u1+ (n−1)r
S=nombre de termes×premier terme + dernier terme
2
quand on calcule u0+u1+.... +u10 par exemple, il y a 10 + 1 = 11 termes.....
5. Suites g´eom´etriques
un+1 =un×qo`u qest la raison de la suite.
un=u0×qnet pour tous entiers net p,un=up×qn−p
si le premier terme de la suite est u1par exemple, on a alors un=u1×qn−1
S=premier terme 1−qnombre de termes
1−q
La limite d’une suite g´eom´etrique quand n−→ +∞est 0 si sa raison qest telle que −1< q < 1
6. Suites major´ees-minor´ees-born´ees
(un) est major´ee par Msi pour tout entier un≤M
(un) est minor´ee par msi pour tout entier un≥m
(un) est born´ee si pour tout entier unest `a la fois minor´ee et major´ee.
3 Fonctions
1. Th´eor`eme de la valeur interm´ediaire
R´edaction type : (dans le cas d’une fonction strictement croissante pour l’´equation f(x) = 0)
fest continue et strictement croissante sur [a;b].
f(a)<0 et f(b)>0
donc d’apr`es le th´eor`eme de la valeur interm´ediaire, l’´equation f(x) = 0 admet une solution
unique αavec α∈[a;b]
Pour arrondir aux dixi`emes par exemple, il faut encadrer αaux centi`emes.
2. Convexit´e
Graphiquement, fest convexe si les tangentes sont en-dessous de la courbe. Pour montrer
qu’une fonction est convexe (respectivement concave), il faut ´etudier les variations de f0(x).
Pour ´etudier les variations de f0(x), il faut ´etudier le signe de f00(x)
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Si f00(x)>0, f0est strictement croissante et fest convexe.
Si f00(x)<0, f0est strictement d´ecroissante et fest concave.
Si f00(x) s’annule et change de signe en x=a, la courbe admet un point d’inflexion au point
de coordonn´ees (a;f(a))
4 Fonction ln
1. La fonction ln est d´efinie sur ]0; +∞[ et lnu est d´efinie pour u(x)>0
2. ln1 = 0 et ln(e) = 1 avec e≈2,71
3. Signe de ln
lnx > 0 pour x > 1
4. D´erivation
(lnx)0=1
x
5. Primitives
Si x > 0F(x) = lnx est une primitive de f(x) = 1
x
6. R`egles de calcul
Si a,bsont des r´eels strictement positifs :
lna +lnb =ln(ab)lna −lnb =ln(a
b)ln(1 a) = −lna ln(an) = nlna et 1 2lna =
ln(√a)
En particulier : 2 = ln(e2), 3 = ln(e3)......
5 Exponentielle
1. La fonction exp est d´efinie sur Ret ex>0
exp est la r´eciproque de ln :ln(ex) = xet si x > 0, elnx =x.
2. Signe de ex
ex>0 et donc eu(x)>0
3. D´erivation
(ex)0=exet (eu)0=u0eu
(e−x)0=−e−x
4. Primitives
F(x) = exest une primitive de f(x) = exsur R.
G(x) = eu(x)est une primitive de g(x) = u0(x)eu(x)
5. R`egles de calcul
Si a,bsont des r´eels :
ea×eb=e(a+b)ea
eb=e(a−b)e−a=1 eae0= 1 et
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6 Primitives-int´egrales
1. Si fest continue sur un intervalle I,fadmet des primitives sur I
Fprimitive de fsur Isi F!‘(x) = f(x)
2. signe de f(x)donne les variations de Fpuisque F0(x) = f(x).
3. R´edaction type pour le calcul d’une aire :
fest continue et positive sur [a;b] (avec a < b) donc l’aire A du domaine limit´e par la courbe,
l’axe des abscisses et les droites d’´equations x=aet x=b
est ´egale `a A=Rb
af(x)dx =F(b)−F(a) unit´es d’aires (en vert sur le graphique).
4. Valeur moyenne
La valeur moyenne de fsur [a;b] est 1
b−aRb
af(x)dx
7 Loi `a densit´e sur un intervalle
1. Pour justifier qu’une fonction fcorrespond bien `a une loi `a densit´e sur un intervalle [a;b], il
faut donc v´erifier que :
a) fcontinue sur [a;b].
b) f(x)≥0 pour tout r´eel xde [a;b]
c) R1
0f(x)dx = 1
2. p(X=a)=0 p(X≤a) = p(X < a)p(X≥a)=1−p(X < a)
3. Pour tous r´eels αet βde I(α < β), on a :
p(α < X < β) = Rβ
αf(x)dx p(a≤X≤b) = p(x≤b)−p(x<a)
4. E(X) = Rb
axf(x)dx
5. La loi uniforme sur [a;b] est la loi ayant pour densit´e la fonction constante fd´efinie par
f(x) = 1
b−a
p(X≤α) = α−a
b−aet E(x) = a+b 2
6. Un variable al´eatoire Xsuit la loi normale centr´ee r´eduite, not´ee N(0; 1) si sa densit´e de
probabilit´e est la fonction fd´efinie sur Rpar f(x) = 1
√2πe−x2
2
7. Loi normale N(µ;σ2)
Dire qu’une variable al´eatoire Xsuit une loi normale d’esp´erance µet d’´ecart type σ2not´ee
N(µ;σ2) signifie que la variable al´eatoire T=X−µ
σsuit la loi normale centr´ee r´eduite
N(0; 1).
p(µ−2σ≤X≤µ+ 2σ)≈0,95 et p(X≤µ) = p(X≥µ) = 0,5
8. Intervalle de fluctuation
Soit Xune variable al´eatoire suivant la loi binomiale B(n;p) (p∈]0; 1[)
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L’intervalle IF="p−1,96pp(1 −p)
√n;p+ 1,96pp(1 −p) √n#est l’intervalle de fluctuation asymp-
totique au seuil de 95% de la variable al´eatoire F=X
n
Il faut n≥30, np ≥5 et n(1 −p)≥5
9. Estimation d’une proportion `a partir d’un ´echantillon
Si on note donc fla fr´equence observ´ee d’un caract`ere dans un ´echantillon de taille nalors
l’intervalle IE="f−1,96pf(1 −f)
√n;f+ 1,96pf(1 −f) √n#
est l’intervalle de confiance de la proportion de ce caract`ere dans la population totale au niveau
de confiance 95%
Il faut aussi n≥30, nf ≥5 et n(1 −f)≥5
On peut aussi utiliser IEf−1
√n;f+1 √nqui est une approximation de l’intervalle satisfai-
sante.
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