Finance avancée

Finance avanc´ee
February 3, 2010
1 introduction et plan
2 Quelques rappels de calcul stochastique et de
finance ´el´ementaire
Dans cette section quelques-uns des r´esultats du coures de finance I sont
rappel´es tr`es bri`evement sous forme d’un aide-m´emoire.
2.1 Calcul stochastique
D´efinition 1. Un processus stochastique (Bt, t ≥0) mesurable dans (Ω,F,(mathcalF )t≥0, P )
est un mouvement Brownien standard si et seulement s’il v´erifie les condi-
tions suivantes
1. B0= 0 (propri´et´e non-essentielle, on peut d´efinir un mouvement
Brownien issu de tout x∈R.)
2. Les trajectoires t7→ Btsont presque sˆurement continues.
3. Les accroissements du mouvement Brownien sont ind´ependants et sta-
tionaires , i.e. ∀0≤s≤t, Bt−Bsest ind´ependant de Fs=σ(Bu, u ≤
s)et ∀0≤s≤t:Bt−Bs∼Bt−s−B0o`u ∼signifie “a la mˆeme loi
que”..
On a les propri´et´es suivantes qui sont bien connues :
Proposition 1. 1. Si (Bt, t ≥0) est un mouvement Brownien, alors
Bt−B0est une variable al´eatoire gaussienne de moyenne rt et de
variance σ2t,ret σ´etant des constantes, i.e. Bt∼N(rt, σ2t).Si
r= 0 et σ= 1 on dit que le mouvement Brownien est standard.
1

2. La structure de covariance du mouvement brownien est donn´ee par la
relation
E(BtBs) = s∧t.
3. Les processus suivants sont aussi des mouvements Browniens :
-(cBt/c2, t ≥0) pour tout c∈R
-(tB1/t, t ≥0) avec la convention tB1/t = 0 quand t= 0.
-(BT+s−BT, s ≥0) pour tout temps d’arrˆet T. (Le mouvement
Brownien `a la propri´et´e de Markov forte.)
4. Les processus suivants sont des martingales
-Bt
-B2
t−t
- pour σfix´e exp(σBt−σ2/2t).
Si l’on ne pr´ecise pas, la filtration Ftdans laquelle un mouvement Brown-
ien ”vit“ est sa filtration naturelle, i.e. Ft=σ{Bs, s ≤t}.Si (Xt, t ≥0)
est un processus Ft-adapt´e cela signifie que si je connais la trajectoire du
Brownien jusqu’au temps talors je connais la valeur de Xt.
Si Xtest Ftadapt´e et continu `a gauche Xtest pr´evisible. Si le processus
Xtest tel que E(RT
0X2
sds)<+∞alors on peut d´efinir l’int´egrale d’Itˆo
Zt
0
XsdBs,0≤t≤T.
L’int´egrale d’Itˆo t7→ Rt
0XsdBsest elle mˆeme une martingale.
Si le processus Xtest adapt´e et continu `a gauche, mais que l’on suppose
simplement que
ZT
0
X2
sds < +∞
presque surement, on peut toujours construire l’int´egrale d’Itˆo (c’est plus
difficile !), le processus t7→ Rt
0XsdBsn’est plus n´ecessment une martingale
(c’est une martingale locale).
On a les propri´et´es suivantes :
-M(X)
t:= Rt
0XsdBsest une martingale
- si E(RT
0X2
sds)<+∞on a E((M(X)
t)2) = E(Rt
0X2
sds) (formule d’isom´etrie
de Itˆo).
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•L’int´egrale d’Itˆo est une application lin´eaire de l’espace des proces-
sus L2dans l’espace des processus Gaussiens i.e. pour a∈Ron a
M(aX+Y)=aM(X)+M(Y).
Processus d’Itˆo
On appelle processus d’Itˆo un processus (Xt,0≤t≤T) tel que presque
sˆurement
∀t≤T:Xt=X0Zt
0
Ksds +Zt
0
HsdBs
o`u Ket Hsont des processus adapt´es tels que RT
0|Ks|ds < +∞p.s. et
RT
0|Hs|2ds < +∞ps. La d´ecomposition ci-dessus d’un processus d’Itˆo est
unique.
Proposition 2. Soit Mtune martingale telle que Mt=Rt
0Ksds avec RT 0|Ks|ds <
+∞p.s., alors p.s.
∀t≤T, Mt= 0.
Formule d’Itˆo
Si Xest un processus d’Itˆo
Xt=X0+Zt
0
Ksds +Zt
0
HsdBs
et fune fonction deux fois continˆument diff´erentiable, on a
f(Xt) = f(X0) + Zt
0
f0(Xs)dXs+1
2Zt
0
f00(Xs)d < X, X >s
o`u par d´efinition
< X, X >t=Zt
0
H2
sds
et Zt
0
f0(Xs)dXs=Zt
0
f0(Xs)Ksds +Zt
0
f0(Xs)HsdBs.
De mˆeme si (t, x)7→ f(t, x) est deux fois continument d´erivable par
rapport `a xet une fois par rapport `a ton a
f(t, Xt) =f(0, X0) + Zt
0
∂f
∂t (s, Xs)ds +Zt
0
∂f
∂x (s, Xs)dXs
+1
2Zt
0
∂2f
∂x2(s, Bs)dhX, Xis
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Formule d’int´egration par partie
Si Xet Ysont deux processus d’Itˆo
Xt=X0+Zt
0
Ksds +Zt
0
HsdBs
et
Yt=Y0+Zt
0
K0
sds +Zt
0
H0
sdBs
alors
XtYt=X0Y0+Zt
0
XsdYs+Zt
0
YsdXs+hX, Y it
o`u par d´efinition
hX, Y it=Zt
0
HsH0
sds.
Cas multidimensionnel
Cette formule se g´en´eralise au cas multidimensionnel comme suit : On
appelle mouvement Brownien p-dimensionnel un processus `a valeur dans
Rp;Wt= (W1
t, . . . , W p
t) tel que les (Wi
t)t≥0sont des mouvements Browniens
standards ind´ependants.
On dit que Xest un processus d’Itˆo si
Xt=X0+Zt
0
Ksds +
p
X
j=1 Zt
0
Hj
sdW j s.
Soient (X1
t, . . . , Xn t)nprocessus d’Itˆo :
Xi
t=Xi 0+Zt
0
Ki
sds +
p
X
j=1 Zt
0
Hi,j
sdW j s.
Alors, si f∈C1,2
bon a
f(t, X1
t, . . . , Xn t) =f(0, X1 0, . . . , Xn 0) + Zt
0
∂f
∂t (s, X1
s, . . . , Xn s)ds
+
n
X
i=1 Zt
0
∂f
∂xi
(s, X1
s, . . . , Xn s)dXi s
+1
2
n
X
i,j+1 Zt
0
∂2f
∂xi∂xj
(s, Bs)dhXi, Xjis
o`u par d´efinition dhXi, Xjit=Pp
m=1 Hi,m
tHj,m tdt.
Je ne rappel pas
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•Le Th´eor`eme d’Itˆo (existence et unicit´e des solutions d’EDS)
•Les EDS `a valeurs vectorielles
•la propri´et´e de Markov des solutions d’EDS
•...
Example 3. Utilisez la formule d’Itˆo pour calculer E(W6
t).
solution : On pose Zt=W6
ton a (par Itˆo)
dZt= 6W5
tdWt15W4 tdt
et Z0= 0.Sous forme int´egrale
Zt−Z0=Zt
0
6W5
sdWs+Zt
0
15W4
sds
en passant `a l’esp´erance l’int´egrale stochastique disparait (car c’est une mar-
tingale) et
E(Zt) = Zt
0
15E(W4
s)ds
on peut calculer E(W4
s) = 3s2et donc
E(W6
t) = 15t3.
Example 4. Calculez la moyenne et la variance de Yt=Rt
0Wsds
solution : Par Fubini :
E(Yt) = E(Zt
0
Wsds) = Zt
0
E(Ws)ds = 0
Il est plus difiicile de calculer E(Y2
t).
Yt=Zt
0
Wsds =Zt
0Zs o
dWuds
on peut appliquer “Fubini stochastqiue”
=Zt
0
dWsZt
s
dr =Zt
0
(t−s)dWs
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