Finance avancée February 3, 2010 1 introduction et plan 2 Quelques rappels de calcul stochastique et de finance élémentaire Dans cette section quelques-uns des résultats du coures de finance I sont rappelés très brièvement sous forme d’un aide-mémoire. 2.1 Calcul stochastique Définition 1. Un processus stochastique (Bt , t ≥ 0) mesurable dans (Ω, F, (mathcalF )t≥0 , P ) est un mouvement Brownien standard si et seulement s’il vérifie les conditions suivantes 1. B0 = 0 (propriété non-essentielle, on peut définir un mouvement Brownien issu de tout x ∈ R.) 2. Les trajectoires t 7→ Bt sont presque sûrement continues. 3. Les accroissements du mouvement Brownien sont indépendants et stationaires , i.e. ∀0 ≤ s ≤ t, Bt − Bs est indépendant de Fs = σ(Bu , u ≤ s) et ∀0 ≤ s ≤ t : Bt − Bs ∼ Bt−s − B0 où ∼ signifie “a la même loi que”.. On a les propriétés suivantes qui sont bien connues : Proposition 1. 1. Si (Bt , t ≥ 0) est un mouvement Brownien, alors Bt − B0 est une variable aléatoire gaussienne de moyenne rt et de variance σ 2 t, r et σ étant des constantes, i.e. Bt ∼ N (rt, σ 2 t). Si r = 0 et σ = 1 on dit que le mouvement Brownien est standard. 1 2. La structure de covariance du mouvement brownien est donnée par la relation E(Bt Bs ) = s ∧ t. 3. Les processus suivants sont aussi des mouvements Browniens : - (cBt/c2 , t ≥ 0) pour tout c ∈ R - (tB1/t , t ≥ 0) avec la convention tB1/t = 0 quand t = 0. - (BT +s − BT , s ≥ 0) pour tout temps d’arrêt T. (Le mouvement Brownien à la propriété de Markov forte.) 4. Les processus suivants sont des martingales - Bt - Bt2 − t - pour σ fixé exp(σBt − σ 2 /2t). Si l’on ne précise pas, la filtration Ft dans laquelle un mouvement Brownien ”vit“ est sa filtration naturelle, i.e. Ft = σ{Bs , s ≤ t}. Si (Xt , t ≥ 0) est un processus Ft -adapté cela signifie que si je connais la trajectoire du Brownien jusqu’au temps t alors je connais la valeur de Xt . Si Xt est Ft adapté R T 2et continu à gauche Xt est prévisible. Si le processus Xt est tel que E( 0 Xs ds) < +∞ alors on peut définir l’intégrale d’Itô Z t Xs dBs , 0 ≤ t ≤ T. 0 Rt L’intégrale d’Itô t 7→ 0 Xs dBs est elle même une martingale. Si le processus Xt est adapté et continu à gauche, mais que l’on suppose simplement que Z T Xs2 ds < +∞ 0 presque surement, on peut Rtoujours construire l’intégrale d’Itô (c’est plus t difficile !), le processus t 7→ 0 Xs dBs n’est plus nécessment une martingale (c’est une martingale locale). On a les propriétés suivantes : Rt (X) - Mt := 0 Xs dBs est une martingale RT Rt (X) - si E( 0 Xs2 ds) < +∞ on a E((Mt )2 ) = E( 0 Xs2 ds) (formule d’isométrie de Itô). 2 • L’intégrale d’Itô est une application linéaire de l’espace des processus L2 dans l’espace des processus Gaussiens i.e. pour a ∈ R on a M (aX+Y ) = aM (X) + M (Y ) . Processus d’Itô On appelle processus d’Itô un processus (Xt , 0 ≤ t ≤ T ) tel que presque sûrement Z t Z t Ks ds + Hs dBs ∀t ≤ T : Xt = X0 0 0 RT où K et H sont des processus adaptés tels que 0 |Ks |ds < +∞ p.s. et RT 2 0 |Hs | ds < +∞ ps. La décomposition ci-dessus d’un processus d’Itô est unique. Rt RT Proposition 2. Soit Mt une martingale telle que Mt = 0 Ks ds avec 0 |Ks |ds < +∞ p.s., alors p.s. ∀t ≤ T, Mt = 0. Formule d’Itô Si X est un processus d’Itô Z Xt = X0 + t Z Ks ds + 0 t Hs dBs 0 et f une fonction deux fois continûment différentiable, on a Z t Z 1 t 00 0 f (Xt ) = f (X0 ) + f (Xs )dXs + f (Xs )d < X, X >s 2 0 0 où par définition Z < X, X >t = t Hs2 ds 0 et Z t 0 Z f (Xs )dXs = 0 t Z 0 f (Xs )Ks ds + 0 t f 0 (Xs )Hs dBs . 0 De même si (t, x) 7→ f (t, x) est deux fois continument dérivable par rapport à x et une fois par rapport à t on a Z t Z t ∂f ∂f f (t, Xt ) =f (0, X0 ) + (s, Xs )ds + (s, Xs )dXs 0 ∂x 0 ∂t Z 1 t ∂2f + (s, Bs )dhX, Xis 2 0 ∂x2 3 Formule d’intégration par partie Si X et Y sont deux processus d’Itô Z t Z t Xt = X0 + Ks ds + Hs dBs 0 et t Z Yt = Y0 + 0 Ks0 ds + 0 alors Hs0 dBs 0 t Z Xt Yt = X0 Y0 + t Z Z t Ys dXs + hX, Y it Xs dYs + 0 0 où par définition Z hX, Y it = t Hs Hs0 ds. 0 Cas multidimensionnel Cette formule se généralise au cas multidimensionnel comme suit : On appelle mouvement Brownien p-dimensionnel un processus à valeur dans Rp ; Wt = (Wt1 , . . . , Wtp ) tel que les (Wti )t≥0 sont des mouvements Browniens standards indépendants. On dit que X est un processus d’Itô si Z t p Z t X Xt = X0 + Ks ds + Hsj dWsj . 0 0 j=1 Soient (Xt1 , . . . , Xtn ) n processus d’Itô : Z t p Z t X Xti = X0i + Ksi ds + Hsi,j dWsj . 0 j=1 0 Alors, si f ∈ Cb1,2 on a f (t, Xt1 , . . . , Xtn ) =f (0, X01 , . . . , X0n ) Z + 0 n Z X t ∂f (s, Xs1 , . . . , Xsn )ds ∂t t ∂f (s, Xs1 , . . . , Xsn )dXsi ∂xi 0 i=1 n Z 1 X t ∂2f + (s, Bs )dhX i , X j is 2 0 ∂xi ∂xj + i,j+1 où par définition dhX i , X j it = Je ne rappel pas Pp i,m j,m m=1 Ht Ht dt. 4 • Le Théorème d’Itô (existence et unicité des solutions d’EDS) • Les EDS à valeurs vectorielles • la propriété de Markov des solutions d’EDS • ... Example 3. Utilisez la formule d’Itô pour calculer E(Wt6 ). solution : On pose Zt = Wt6 on a (par Itô) dZt = 6Wt5 dWt 15Wt4 dt et Z0 = 0. Sous forme intégrale Z t Z t Zt − Z0 = 6Ws5 dWs + 15Ws4 ds 0 0 en passant à l’espérance l’intégrale stochastique disparait (car c’est une martingale) et Z t E(Zt ) = 15E(Ws4 )ds 0 on peut calculer E(Ws4 ) 3s2 = et donc E(Wt6 ) = 15t3 . Example 4. Calculez la moyenne et la variance de Yt = Rt solution : Par Fubini : Z t Z t E(Yt ) = E( Ws ds) = E(Ws )ds = 0 0 0 Il est plus difiicile de calculer E(Yt2 ). Z Yt = t Z t Z Ws ds = s dWu ds 0 0 o on peut appliquer “Fubini stochastqiue” Z t Z t Z t = dWs dr = (t − s)dWs 0 s 0 5 0 Ws ds Par l’isométrie d’Itô on a donc E(Yt2 ) = 13 t3 . Girsanov et théorème de représentation On a encore besoin de deux outils mathématiques cruciaux pour les applications en finance. Soit (Ω, A, P ) un espace probabilisé. Une autre probabilité Q sur (Ω, A) est dite absolument continue par rapport à P si : ∀A ∈ A : P (A) = 0 ⇒ Q(A) = 0. Ceci est équivalent à l’existence d’une variable positive ou nulle Z sur (Ω, A) telle que Z ∀A ∈ A : Q(A) = Z(ω)dP (ω). A Z est appelé densité de Q par rapport à P et parfois noté dQ dP . Soit maintenant (Ω, F, (Ft )0≤t≤T , P ) un espace probabilisé filtré dont la filtration (Ft )0≤t≤T est la filtration naturelle d’un mouvement Brownien Bt RT porté sur cet espace. Soit θt un processus adapté vérifiant 0 θs2 ds < ∞ p.s. et tel que le processus Z t Z 1 t 2 Lt = exp − θs dBs − θs ds 2 0 0 est une martingale. Alors sous la probabilité P (L) de densité LT par rapport à P , le processus Z t Wt := Bt + θs ds 0 est un mouvement Brownien standard (c’est une version du théorème de Girsanov). Une CS pour que Lt soit bien une martingale est que 1 E(exp( 2 Z T θt2 dt)) < ∞; 0 Le théorème de représentation affirme que si (Mt )0≤t≤T est une martingale de carré intégrable par rapport (Ft )0≤t≤T alors il existe R à la filtration T un processus Ht adapté tel que E 0 Hs2 ds < ∞ et : Z ∀t ∈ [0, T ], Mt = M0 + Hs dBs , p.s. 0 6 T Example 5. Résoudre dXt = Xt3 dt − Xt2 dWt . Solution : Si Xt = f (t, Wt ) alors 1 dXt = ft0 (t, Wt )dt + fx0 (t, Wt )dWt + f 00 (t, Wt = dt 2 et en substituant dXt = f (t, Wt )3 dt − f (t, Wt )2 dWt par unicité du développement d’Itô on a égalité des coéficients −f (t, Wt )2 = fx0 (t, Wt ) et 1 ft0 (t, Wt ) + f 00 (t, Wt ) = f (t, Wt )3 . 2 On a donc f (t, x) = 1 c+c et avec la condition initiale Xt = 1 1 + Wt qui explose en temps fini. 2.2 Rappels sur le modèle de Black-Scholes 2.2.1 Le modèle L’incertitude sur les marchés financiers est modélisée par un espace de probabilité (Ω, F, P) muni d’une filtration F = (Ft )t≥0 où - Ω représente tous les états du monde (i.e. toutes les trajectoires possibles des prix des actifs) - la tribu F représente la structure d’information globale disponible sur le marché tandis que la filtration Ft représente l’information disponible au temps t (et qui est bien croissante puisque l’on n’oublit pas le passé). - Une probabilité P qui donne une probabilité a priori aux évènements, dite probabilité historiue ou objective. 7 Supposons pour l’instant que l’on a un marché composé d’un actif sans risque St0 et d’un actif risqué St . L’actif sans risque est simplement le cash c’est à dire la valeur d’une unité de monnaie capitalisée au jour le jour par la banque. On note r le taux d’intérêt au jour le jour, supposé constant, pour un placement entre t et t + dt. L’évolution de S 0 est donc dSt0 = rSt0 dt, S00 = 1 qui se résout en St0 = ert . Le modèle de Black-Scholes spécifie une dynamique pour l’actif risqué qui est la suivante dSt = St (µdt + σdBt ). Cette équation a une solution explicite St = S0 exp(µt − σ2 t + σBt ). 2 Cette formule peut s’obtennir par deux méthodes : soit en appliquant la formule d’Itô à la fonction St = f (t, Wt ) où f est la fonction C 2 qui apparait ci-dessus pour montrer que f (t, Wt ) satisfait bien l’EDS annoncée puis à conclure par unicité de la solution à l’EDS à coefficients Lipschitziens. La seconde méthode consiste à appliquer la formule d’Itô à Yt = log St sur ]0, τ [ ou τ = inf{t : St = 0} et à remarquer ensuite que τ = ∞. La distribution de St est appelée lognormale de paramètre µ et σ 2 ou que S suit un Brownien géométrique. exercise : Montrer que Z t dSu E = µt 0 Su Z t dSu = σ2t Var S u 0 et commenter. On parle de modèle de Black Scholes multidimensionnel avec d actifs risqués et un Brownien multidimensionnel si la dynamique des actifs est donnée par n X σ ij dWtj dSti = Sti µi dt + j=1 où W 1 , . . . , W n sont n mouvements Browniens indépendants. Le vecteur µ dans Rd de composantes µi est le vecteur des taux de rendements des actifs 8 et la matrice σ = (σ ij ) de dimension d × n est la matrice des volatilités. On peut aussi considérer des modèles où µ et σ sont déterministe mais dépendent du temps µ(t) et σ(t), ou bien encore les faire dépendre du cours du sous-jacent µ(t, s) et σ(t, s) (on parle alors de modèles de diffusion avec volatilité locale) ou encore µ et σ peuvent des processus stochastique (et l’on parle dans ce cas de processus d’Itô). 2.2.2 Portefeuille autofinançant et stratégies Une stratégie est un processus Φ = (Φt )0≤t≤T = ((Ht0 , Ht )) a valeur dans R2 adapté à la filtration naturelle du mouvement Brownien. Ht0 et Ht sont les quantités détenues à l’instant t d’actif sans risque et d’actif risqué. La valeur du portefeuille (i.e. de la stratégie) est donnée par Vt (Φ) = Ht0 St0 + Ht St . Une stratégie autofinancée est une stratégie Φ telle que RT RT 1. 0 |Ht0 |dt + 0 Ht2 dt < ∞ p.s. Rt Rt 2. Vt (Φ) = V0 (Φ) + 0 Hu0 dSu0 + 0 Hu dSu p.s. pour tout t ∈ [0, T ] On note S̃t = e−rt St le prix actualisé de l’actif risqué. Plus généralement on met un tilde pour désigner les processus actualisés. Exercice: La condition d’autofinancement pour la valeur actualisée s’écrit dṼt (Φ) = Ht dS̃t . (1) On suppose parfois que le taux sans risque r n’est pas constant et on modélise le taux par un processus prévisible (rt )t≥0 Dans ce cas on a St0 = Rt e 0 rs ds et le facteur d’actualisation est βt = 1/St0 = e− Rt 0 rs ds i.e. on a S̃t = βt St . On suppose simplement que sup |rt | < ∞, P − p.s. t∈[0,T ] 9 2.2.3 Arbitrage et Probabilité risque-neutre Définition 2. Une opportunité d’arbitrage sur [0, T ] est une stratégie autofinançante Φ dont la valeur V (Φ) vérifie (i) V0 (Φ) = 0 (ii) VT (Φ) ≥ 0 (iii) P(VT (Φ) > 0) > 0. Même dans des modèles très simples il est claire que si l’on ne restreint pas l’ensemble des stratégies possibles il existe des opportunités d’arbitrages. Par exemple si l’on considère le marché avec S 0 ≡ 0 et un actif risqué St = Wt , que l’on pose τx =∈ {t : Wt = x} (temps d’arrêt du premier temps d’atteinte de x) et que l’on choisit la stratégie en actif risqué Ht = 1[0,τx ] (t) alors partant d’une richesse initiale nulle V0 = 0 la valeur de ce portefeuille est Vt = Wt∧τx qui tends vers x > 0 pour un horizon infini. On est donc amené à faire des hypothèses supplémentaires d’intégrabilité sur les stratégies (on se restreint aux stratégies dites admissibles) pour garentir l’AOA. (hypothèses de type carré intégrable ou encore stratégies qui assurent une valeur de richesse toujours bornée inférieurement). Définition 3. Une probabilité Q est appelée probabilité risque neutre ou probabilité martingale si Q est équivalente à P et si le prix actualisé S̃t est une martingale sous Q. Theorem 6. On a équivalence entre AOA et existence d’une mesure martingale. Dans le cas du modèle de Black Scholes (où il y a bien AOA en se restreignant aux stratégies admissibles) on peut expliciter la mesure risque neutre. Définition 4. Les stratégies admissibles sont celles qui font de leur valeur actualisée des martinagles sous Q. Remarque : Dans le modèle de Black Scholes la dynamique de la richesse actualisée Ṽ d’un portefeuille autofinançant de stratégie H = (H 1 , H 2 , . . . , H n ) (think n = 1) est dṼt = Ht σ S̃t dWt une condition suffisante pour être une martingale est donc Z T Q 2 E (Ht σ S̃t ) dt < ∞. 0 10 Le théorème de Girsanov permet de montrer qu’il existe une probabilité Q équivalent à P sous laquelle le prix actualisé S̃t est une martingale, et plus précisément dS̃t = S̃t σdWt t où Wt est un MB standard sous Q. Il suffit de prendre θt = µ−r dans le σ théorème de Girsanov (le changement de probabilité est donc explicite). Ce qu’il faut retenir c’est donc que sous la probabilité risque-neutre Q on a dS̃t /S̃t = σdWt , dSt /St = rdt + σdWt ou encore S̃t = S̃0 exp(σWt − σ 2 t/2), St = S0 exp(σWt + (r − σ 2 /2)t). 2.2.4 Evaluation et couverture d’options Une option est simplement une variable h, FT -mesurable et intégrable (EQ (h) < ∞) et qui représente le payoff (ou valeur terminale Rde l’action. Par exemple T pour une h = (ST − K)+ dans le cas du call ou h = T1 0 St dt − K + option asiatique. On dit qu’une option h est réplicable s’il existe une stratégie autofinacée Φ telle que p.s. VT (Φ) = h i.e. s’il existe une stratégie autofiancée dont la valeur à l’instant T réplique exactement le payoff de l’option. Si tous les actifs contingents sont réplicables on dit que le marché est complet. Le théorème suivant est connu comme le second théorème fondamental de la finance : Theorem 7. Marché complet = unicité de la msesure martingale. Theorem 8. Soit h ∈ Ft une option (i.e. EQ (H 2 ) < ∞.) Alors h est replicable et la valeur du portefeuille de réplication (et donc de l’option) à tout temps t est donné par Vt = EQ [e−r(T −t) h|Ft ] et en particulier V0 = EQ (h̃). L’existence de la stratégie de réplication est une conséquence du théorème de représentation. 11 Ce théorème de donne pas la stratégie de replication Φ, il affirme juste qu’elle existe. Comment trouver cette stratégie ? On applique la recette suivante en trois étapes : 1. On trouve la mesure risque neutre Q sous laquelle S̃t est une martingale 2. Comme Ṽt = e−rt VRt on a par autofinancement que Ṽt = t EQ [e−rT h|Ft ] = V0 + 0 ∆u dS̃u où ∆ est une certaine stratégie inconnue. 3. On trouve le processus prévisible ∆ tel que d : tildeVt = ∆t dS̃t . La stratégie de couverture pour la vente d’une option h est alors de détenire une quantité ∆t d’actif risqué à chaque instant. 2.3 Approche par EDP (cas Européen) Dans le modèle de Black Scholes: dSt /St = µdt + σdWt . Supposons que l’on cherche à calculer le prix d’un actif contingent h(ST ) (européen donc), et que l’on suppose que le prix est de la forme Vt = v(t, S − t) avec v suffisemment régulière pour pouvoir appliquer la formule d’Itô. On a ∂v ∂2v ∂v 1 ∂v dv(t, St ) = (t, St ) + bSt (t, St ) + σ 2 St2 2 (t, St ) dt+σSt (t, St )dWt ∂t ∂x 2 ∂x ∂x mais d’autre part comme v(t, St ) est la valeur d’un portefeuille autofinançant on a dv(t, St ) = rv(t, St )dt + Ht (−rSt dt + dSt ) et en identifiant les termes en dt et dWt on obtient ∂v (t, St ) = Ht ∂x et ∂v ∂v 1 ∂2v ∂v (t, St ) + bSt (t, St ) + σ 2 St2 2 (t, St ) = rv(t, St ) + (t, St )St (b − r) ∂t ∂x 2 ∂x ∂x on voit que v doit satisfaire ∂v ∂v 1 ∂2v (t, x) + rx (t, x) + σ 2 x2 2 (t, x) − rv(t, x) = 0 ∂t ∂x 2 ∂x 12 (2) avec condition terminale v(T, x) = h(x), x > 0. Theorem 9. Supposons qu’il existe une solution régulière v(t, x) au problème de Cauchy (??), alors le flux h(St ) est réplicable par un portefeuille de valeur ∂v v(t, St ) et de couverture Ht = ∂x (t, St ) à la date t. 2.4 Valorisation risque-neutre (Cas des options Européennes dans le modèle de Black-Scholes) On dit qu’une option h est européenne si h = f (ST ) (ne dépend que du prix à l’instant T ). Dans ce cas la formule ci-dessus devient EQ [e−r(T −t) H|Ft ] = EQ [e−r(T −t) f (ST )|Ft ] = EQ [e−r(T −t) f (St exp(σ(WT − Wt ) − σ 2 /2(T − t))|Ft ] Z 2 1 − z −r(T −t) p =e f (St exp(σz − σ 2 /2(T − t)))e 2(T −t) dz 2π(T − t) R où l’on a utilisé que sous Q, Wt est un mouvement Brownien standard. On obtient en particulier la formule suivante pour le prix F (t, St ) au temps t du call call (f (ST ) = (ST − K)+ ), on a F (t, x) = xN (d1 ) − Ke−r(T −t) N (d2 ) où N est la fonction de répartition de la loi normale, d1 = x log( K ) + (r + σ 2 /2)(T − t) √ σ T −t √ et d2 = d1 − σ T − t. En outre, pour une option européenne le processus de hedge (ou de replication) ∆t est donné par ∆t = ∂F (t, x)|x=St . ∂x Dans le cas du call européen cela donne Φt = N (d1 ). 13 3 Feynman-Kac On peut aussi exprimer le prix des options comme une solution d’EDP avec condition aux bords grace au théorème de représentation de Feynman-Kac. Theorem 10. Supposons que la fonction F résolve l’équation suivante ∂F ∂F 1 ∂2F (t, x) + µ(t, x) (t, x) + σ 2 (t, x) 2 (t, x) = 0, ∂t ∂x 2 ∂x 0≤t≤T avec F (T, x) = h(x). On définit (Xt , 0 ≤ t ≤ T ) la solution de l’équation différentielle dXt = µ(t, x)dt + σ(t, Xt )dWt , 0≤t≤T où W est un mouvement Brownien standard. Si Z T ∂F E σ(t, Xt ) (t, Xt )dt < ∞ ∂x 0 alors F (t, x) = E[h(XT )|Xt = x]. Si on note F (t, x) le prix de l’option européenne H = f (ST ) à t quand St = x on a donc l’équation de Black et Scholes ∂F ∂F 1 ∂2F (t, x) + rx (t, x) + σ 2 x2 2 (t, x) = rF (t, x), ∂t ∂x 2 ∂x 0≤t≤T avec F (T, x) = f (x). 3.1 Prix de calls : premières propriétés • Par arbitrage (x − Ke−r(T −t) )+ ≤ C(t, x, T, K) ≤ x • puisque d1 (t, x, y) est croissant de x, le ∆ aussi. Le prix du call est donc une fonction convexe du sous-jacent. • C(t, λx, λK, T ) = λC(t, x, K, T ) • Quand le call est à la monnaie forward i.e. K = xer(T −t) on a 1 √ 1 √ C(t, x, K, T ) = x N σ T −t −N − σ T −t 2 2 √ ≡ 0, 4xσ T − t 14 3.2 Sensibilités et Grecques t=0 • Delta = ∆ := ∂C ∂x ∂2C ∂x2 • Gamma = Γ := • Theta = Θ := • Vega = V := • Rho = ρ := • ∂C ∂K ∂C ∂T ∂C ∂σ ∂C ∂r = N (d1 ) > 0 = = 1√ n(d1 ) xσ T xσ √ n(d1 ) 2 T >0 + rKe−rT N (d2 ) > 0 √ = x T n(d1 ) > 0 = KT e−rT N (d2 ) > 0 = −e−rT N (d2 ) < 0 Calculs à faire. En notant que Θ == ∂C ∂t l’EDP de Balck Scholes devient 1 2 2 σ x Γ + rx∆ − rC − T heta = 0 2 et en notant que σ 2 x2 Γ = σV/(T − t) on obtient... 4 Exemples de valorisation d’options 4.1 Lookbacks et barrières Premier exemple d’option dépendant de toute la trajctoire (path dependent). On note 1. S∗ (t) = min{Su , 0 ≤ u ≤ t} 2. S ∗ (t) = max{Su , 0 ≤ u ≤ t} Définition 5. Un Lookback call donne le droit à son détenteur d’acheter une unité d’actif au prix minimum atteint jusqu’au temps T . Le payoff est donc CT = ST − S∗ (T ) Définition 6. Une option à barrière est une option qui est activée ou désactivée si le cours de l’action franchi un certain seuil (à la hausse ou à la baisse) au cours de sa vie. Il y a deux types principaux ; 15 1. knock-ins La barrière est up and in si l’option s’active lorsque la barrière est franchie à la hausse. La barrière est down and in si l’option s’active lorsque la barrière est franchie à la baisse 2. knock-outs La barrière est up and out si l’option est désactivée lorsque la barrière est franchie à la hausse. La barrière est down and out si l’option est désactactivée lorsque la barrière est franchie à la baisse Example 11. un call down and in paye (ST − K)+ seulement si le prix passe sous un niveau c avant le temps T , et 0 sinon. Le payoff est donc CT = 1S∗ (T )≤c (ST − K)+ Solution : Comme toujours la valeur à la date 0 peut s’écrire comme V0 = e−rT EQ [CT ]. Pour évaluer cette espérance il nous faut connaitr la distribution jointe de ST et de S∗ (T ) sous Q. (vu en cours de calcul sto ?) Grace au principe de réflexion on vu que que la loi jointe d’un MB Wt et de son maximum Mt = max0≤s≤t Ws on a 2a − x P[Mt ≥ a, Wt ≤ x] = 1 − N ( √ ) t Par symétrie et en écivant mt = min0≤s≤t Ws P[mt ≤ a, Wt ≥ x] = 1 − N ( −2a + x √ ). t ou en différentiant si a < 0 et x ≥ a P[mT ≤ a, WT ∈ dx] = pT (0, −2a + x)dx = pT (2a, x)dx 1 où pt (x, y) = √2πt exp(−|x − y|2 /2t). Comme toujours sous la probabilité P le prix St est donné par St = S0 exp(νt + σWt ). Si ν = 0 alors comme S∗ (t) = S0 exp(σmt ) on peut déduite la loi jointe de (ST , S∗ (T )) de celle de WT , mT . En général ν 6= 0 ni sous P ni sous Q. Notre stratégie va donc consister à utiliser Girsanov pour se ramener au cas ν = 0. 16 Lemma 12. Soit Yt = bt + Xt où b est une constante et Xt est un Q mouvement Brownien. En écrivant Y∗ (t) = min{Yu , 0 ≤ u ≤ t} on a pT (bT, x)dx si x < a Q[Y∗ (T ) ≤ a, YT ∈ dx] = e2ab pT (2a + bT, x) si x ≥ a où, comme ci-dessus pt est la fonction de transition du Brownien. Proof. Par Girsanov ∃P equivalent to Q sous laquelle Y est un MB et dP 1 |FT = exp(−bXT − b2 T ) dQ 2 Ne dépend que de XT ! La Q probabilité de l’évènement [Y∗ (T ) ≤ a, YT ∈ dx] est la P probabilité de cet évènement multipliée par dQ dP |FT évaluée à YT = x. On a 1 1 dP |FT = exp(bXT + b2 T ) = exp(bYT − b2 T ) dQ 2 2 et donc pour a < 0 et x ≥ a 1 Q[Y∗ (T ) ≤ a, YT ∈ dx] = P[Y∗ (T ) ≤ a, YT ∈ dx] exp(bx − b2 T ) 2 1 2 = pT (2a, x) exp(bx − b T )dx 2 2ab e pT (2a + bT, x)dx (3) Evidemment pour x ≤ a, {Y∗ (T =≤ a, YT ∈ dx} = {YT ∈ dx} et donc pour x ≤ a Q[Y∗ (T ) ≤ a, YT ∈ dx] = Q[YT ∈ dx] = Q(bT + XT ∈ dx) pT (bT, x)dx ce qui fini la preuve. Il suffit différentier (3) par rapport à a pour obtenir quand a < 0 Q[Y∗ (T ) ∈ da, YT ∈ dx] = 2e2ab |x − 2a|pT (2a + bT, x)dxda pour x ≥ a. T Sous la mesure martingale Q on a St = S0 exp(σYt ) où 1 Yt = (r − σ 2 )tσ + Xt 2 17 où Xt est un Q mouvelent Brownien. On applique ce résultat avec b = (r − 12 σ 2 )σ on peut valuer toute option qui dépend simplement de ST et de S∗ (T ) (resp. S ∗ (T ) ). Notons CT = g(S∗ (T ), ST ) le payoff, on a V (0, S0 ) = e−rT EQ (g(ST , S∗ (T ))) Z 0 Z ∞ −rT g(S0 eσx , S0 eσa )Q[Y∗ (T ) ∈ da, YT ∈ dx] =e a=−∞ x=a Example 13. Trouver le prix à t = 0 d’un call down and in dont le payoff au temps T est CT = 1S∗ (T )≤c (ST − K)+ où c ≤ K est une constante fixée. Solution : En utilisant St = S0 exp(σYt ) on réécrit le payoff comme CT = 1{Y∗ (T )≤ 1 log(c/S0 )} (S0 eσYT − K)+ . σ En écrivant b = (r − 21 σ 2 )/σ, a = σ1 log(c/S0 ) et x0 = σ1 log(K/S0 ) on obtient Z ∞ −rT (S0 eσx − K)Q(Y∗ (T ) ≤ a, YT ∈ dx). V (0, S0 ) = e x0 En utilisant l’expression pour la distribution jointe de (Y∗ (T ), YT ) obtenue ci-dessus donne Z ∞ −rT (S0 eσx − K)e2ab pT (2a + bT, x)dx. V (0, S0 ) = e x0 On a utilisé le fait que comme c < K, x0 ≥ a. On observe que Z ∞ Z ∞ 1 −y2 /2 e−rT Ke2ab pT (2a + bT, x)dx = e−rT Ke2ab e dy √ √ 2π x0 (x0 −2a−bT )/ T Z (2a+bT −x0 )/√T 1 2 −rT 2ab √ e−y /2 dy =e Ke 2π −∞ 2r2 −1 c σ 2a + bT − x0 −rT √ = Ke Φ S0 T ! 2r2 −1 log(F/K) − 12 σ 2 T c σ −rT √ = Ke Φ S0 σ T 18 où F = erT c2 /S0 . De même Z ∞ Z ∞ 1 (x − (2a + bT ))2 − 2σxT √ S0 e2ab pT (2a + bT, x)dx = S0 e−rT e2ab e−rT exp − dx 2T 2πT x0 x0 Z ∞ 1 −y2 /2 −rT 2ab e dy = S0 e e √ √ 2π (x0 −(2a+bT )−σT )/ T 1 × exp( σ 2 T + 2aσ + bσT ) 2 = e−rT c S0 2r2 −1 σ FΦ log(F/K) + 12 σ 2 T √ σ T En comparant avec les formules de B&S pour un call européen on voit que si on note C(x, t; K, T ) le prix au temps t d’un call européen de strike K et de maturité T dont le sous-jacent vaut x au temps t on a V (0, S0 ) = c S0 2r2 −1 σ C( c2 , 0; K, T ) S0 On peut aussi exprimer le prix d’une option barrière comme la solution d’une EDP. Exemple Un down and out call a le même payoff (ST − K)+ qu’un call européen sauf si durant sa vie le cours du sous-jacent tombe sous une barrière pré-spécifiée c auquel cas le call est “knocked-out” et vaut 0. Si on écrit V (t, x) pour la valeur de ce call au temps t si St = x, et en supposant que > c, V (t, x) résout l’équation de B&S pour (t, x) ∈ [0, T ] × [c, ∞) sujet aux conditions aux frontières V (T, ST ) = (ST − K)+ V (t, c) = 0, t ∈ [0, T ] V (t, x) → 1, quand x → ∞. x La dernière condition de bord vient de ce que quand St → ∞ la probabilité que le prix de l’actif touche c avant T tend vers 0. 19 ! 4.2 Options asiatiques 4.3 Options à choix 4.4 Options futures : formule de Black 4.5 Option puissance 4.6 Option digitale On se place dans le cadre du modèle de Balck et Scholes. St0 = ert et St un MB géométrique. On a donc toutes les formules habituelles pour le prix d’une option Européenne, en particulier Vt = F (t, St ) = EQ [e−r(T −t) f (ST )|Ft ] Z √ −r(T −t) f (St exp((r − σ 2 /2)θ + σy θ))(2π)−1/2 exp(−y 2 /2)dy =e et on peut répliquer avec ∆t = ∂F ∂x (t, x)|x=St . Comme on va le voir en examinant l’exemple suivant ce n’est pas tout à fait suffisant si on s’intéresse à des payoff discontinus. Example 14. CT = 1, ST ≥ K 0, ST < K Prix et hedge ? On voit que √ ST ≥ K ⇔ St exp((r − σ 2 /2)θ + σy θ) ≥ K ce qui se réécrit y ≥ d où d= ln SKt − (r − σ 2 /2)θ √ σ θ et on obtient Vt = e−rθ N (−d) = e−rθ N (d2 ) avec ln SKt + (r − σ 2 /2)θ √ . σ θ Examinons maintenant le hedge. La formule donne d2 = 1 Φt = e−rθ St−1 √ exp(−d22 /2) σ 2πθ 20 2 √1 (on peut soit utiliser que ∂d ∂x = xσ T −t , soit la formule générale pour une option européenne # " r(T −t) , S t,x ) −d (T − t, xe ∂v 2 T √ . (t, x) = EQ e−r(T −t) h(STt,x ∂x xσ T − t ) Or quand t % T cette quantité convereg vers 1/K fois la masse de Dirac concentrée sur ST = K. Examinons ce que ceci signifie pour le hedge concrètement. Loin de St = K le hedge sera pratiquement nul. Mais si St est proche de K la quantité d’actif risqué à détenir devient subitement très grande. Le problème est que si le prix est proche de la maturité lorsque l’on s’approche de l’expiration cette stratégie va nous obliger à acheter et vendre rapidement de grande quantité d’actifs car le prix va franchir la barrière K un grand nombre de fois. Le risque posé par ces petites oscillations est connu comme le pin risk. 4.7 Option multi-stage Certaines options permettent au détenteur de faire certains choix ou stipulent des conditions à des dates intermédiares avant l’échéance. Afin d’illustre le principe de l’évaluation Black & Scholes de ces options on analyse l’example d’une forward start. Example 15. Une option “forward start” est un contrat dont le détenteur reçoit à la date T0 une option de maturité T1 > T0 et de strike ST0 . Solution : On commence par supposer t ∈ [T0 , T1 . Dans ce cas onconnait déjà ST0 et donc on a Vt = e−rθ EQ [(ST1 − ST0 )+ |Ft ] et en particulier à la date T0 on a VT0 = ST0 (N (d1 ) − e−r(T1 −T0 ) N (d2 )) avec d1 = (r + σ 2 /2)(T1 − T0 ) √ σ T1 − T0 √ et d2 = d1 − σ T1 − T0 . On a donc VT0 = cST0 où c = c(r, σ, T0 , T1 ) ne dépend pas du prix de l’actif. Par réplication, le prix entre 0 et T0 est donc cSt . La procédure pour l’évaluation des options multistage est donc : 21 1. trouver le payoff au temps T1 2. Utiliser B&S pour le prix pour t ∈ [T0 , T1 ] 3. Appliquer la condition du contrat au temps T0 4. Utiliser B&S pour le prix pour t ∈ [0, T0 ] On analyse deux exemples supplémentaires Example 16. (Ratio derivative) Payoff à T1 est ST1 /ST0 . Prix ? Solution : Pour t ∈ [T0 , T1 ] on a Vt = 1 Q −r(T1 −t) E [e ST1 |Ft ] ST0 ce qui donne Vt = St /ST0 et en particulier VT0 = 1. Evidemment pour t ≤ T0 on a Vt = e−r(T0 −t) . Les options compound ou composées sont plus complexes. Il s’agit d’options sur options, des options pour lesquelles le sous-jacent lui même est une option. On a 4 types d’options composées : call on call, call on put, put on call , put on put. Example 17. (call on call) Pour le call on call on a deux strikes, K0 et K1 , deux maturités T0 < T1 . Le sous-jacent est le call de maturité T1 et de strike K1 . Valeur pour t ≤ T0 . Solution : La valeur du call sous-jacent à l’instant T0 est donné par la formule de B&S C(ST0 , T0 , T1 , K1 ) = ST0 N (d1 ) − K0 e−r(T1 −T0 ) N (d2 ) où d1 = d1 (ST0 , T1 − T0 , K1 ) = et d2 = d1 − σ donc ln ST0 K1 − (r + σ 2 /2)(T1 − T0 ) p σ (T1 − T0 ) p (T1 − T0 ). La valeur de l’option compound au temps T0 est V (T0 , ST0 ) = (C(ST0 , T0 , T1 , K1 ) − K0 )+ . On applique B&S à nouveau. Pour t < T0 on a V (t, St ) = e−r(T0 −t) EQ [(C(ST0 , T0 , T1 , K1 ) − K0 )+ |FtS ] 22 En utilisant que ST0 = St exp(σZ p T0 − t + (r − σ 2 /2)(T0 − t)) où sous Q, Z ∼ N (0, 1) on obtient une expression en terme de la fonction de répartition d’une variable normale deux-dimensionelle. on écrit p 1 f (y) = S0 exp(σy T0 − t + (r − σ 2 )(T0 − t)) 2 et on définit x0 implicitement par x0 = inf{y ∈ R : C(f (y), T0 , K1 , T1 ) ≥ K0 }. On a ln( p 1 S0 f (y) ) = ln( ) + σy T0 − t + (r − σ 2 )(T0 − t) K1 K1 2 et en écrivant dˆ1 (y) = S0 ln K + σy 1 et dˆ2 (y) = p (T0 − t) + rT1 − σ 2 T0 + 12 σ 2 T1 p σ (T1 − T0 ) S0 ln K + σy 1 p (T0 − t) + rT1 − 12 σ 2 T1 p σ (T1 − T0 ) on obtient Vt = e −r(T0 −t) Z ∞ x0 4.8 5 1 2 (f (y)N (dˆ1 (y))−K0 e−r(T1 −T0 ) N (dˆ2 (y))−K0 ) √ e−y /2 dy. 2π Volatilité de l’option Changements de numéraires Lorsqu’il y a plusieurs actifs sous-jacents ou encore si les taux d’intérêt sont aléatoires il existe des astuces de calcul : c’est la méthode du changement de numéraire qui consiste à choisir de façon astucieuse l’unité de mesure. Ex : prix en Euros, quand on actualise par le cash c’est le cash qui est le numéraire. De manière générale on définit un numéraire N comme un processus adapté strictement positif. Les exemples courants dans les applications de modèles de marchés où existent comme titres de base le cash, les zéroscoupons et des actifs risqués sont : 23 1. le cash S 0 i.e. la valeur obtenue en investissant une unité monétaire continument au taux d’intérêt rt Z t 0 St = exp rs ds . 0 2. Le ZC de maturité T qui est le contrat qui verse une unité monétaire en T son prix à la date t est noté B(t, T ). Notons que B(T, T ) = 1. RT Lorsque les taux d’intérêt sont déterministes on a B(t, T ) = exp(− t r(s)ds) = St0 /ST0 . Dans le cas de taux aléatoires les ZC et le cash sont des instruments financiers distincts. 3. Un des actifs risqués S i . Jusqu’à présent nous avons utilisé le cash comme numéraire et définit la probabilité martingale Q0 associée. i.e. celle sous laquelle les prix actalisés S i /S 0 sont des martingales. En marché complet nous avions alors obtenu la règle d’évaluation risque neutre : pour tout actif contingent HT sont prix d’arbitrage à la date 0 est donné par HT 0 Π0 = EQ ST0 le résultat suivant montre que la notion de mesure risque neutre est invariante par changement de numéraire. Theorem 18. Soit N un numéraire choisi parmi les titres de base. Alors il existe une probabilité QN équivalente à P sous laquelle les prix X des actifs de base actualisés par ce numéraire sont des QN -martingales. Sa densité de RAdon-Nykodim par rapport à Q0 est dQN NT = . 0 dQ N0 ST0 En outre on a la formule de changement de numéraire pour la règle d’évaluation risque neutre: pour tout actif contingent HT en marché complet sont prix d’arbitrage est QN HT Q0 HT Π0 = E = N0 E . NT ST0 La preuve repose sur le la formule de Bayes conditionelle que nous rappelons. 24 Lemma 19. (Formule de BAyes) Soit Q << P sur (Ω, Ft ) de densité de Radon-Nikodym dQ/dP et notons (Zt ) la P-martingale : dQ Zt = E |Ft , 0 ≤ t ≤ T dP Alors pour tout 0 ≤ s ≤ t ≤ T pour toute variable Xt Ft mesurable Qintégrable on a : EQ [Xt |Fs ] = E[Zt Xt /Zs |Fs ] Proof. Preuve du Théorème Lorsque l’on utilise le ZC B(t, T ) comme numéraire, la probabilité correspondante s’appelle probabilité T -forwad neutre et est notée QT (dans le cas de taux déterministe on a QT = Q0 ). Par définition de QT on voit que le prix forward du sous jacent S pour la date future T est St ST T S QT F (t, T ) = =E |Ft = EQ [ST |Ft ] . B(t, T ) B(T, T ) Le processus F S (t, T ) est donc une QT martingale de valeur finale ST . 5.1 Application 1 : call européen Considérons un call européen de maturité T et de strike K et de sous-jacent S. En utilisant le numéraire ZC(T ) on voit que T C0 = B(0, T )E Q [(ST − K)+ ]. On introduit l’évènement A = {ST > K} et en utilsant B(T, T ) = 1 on a T C0 = B(0, T )EQ [ST 1A ] − KB(0, T )QT (A). En utilisant le numéraire S pour calculer la première espérance on a QT QS ST 1A = S0 QS (A). B(0, T )E [ST 1A /(B(T, T )] = S0 E ST On en déduit C0 = S0 QS (A) − KB(0, T )QT (A). 25 5.2 Application 2 : Option d’échange Une option d’échange est une option qui donne le droit à son détenteur d’échenger à la mturité T un actif risqué S 2 pour un autre noté S 1 . Le payoff est donc (ST1 − ST2 )+ . En utilisant le numéraire S 2 son prix d’arbitrage est S2 S2 C0 = S02 EQ [(ST1 − ST2 )+ /ST2 ] = S02 EQ [(ST1 /ST2 − 1)+ ]. En introduisant l’évènement d’exercice A = {ST1 > ST2 } ce prix s’écrit encore S2 2 C0 = S02 EQ [ST1 /ST2 1A ] − S02 QS (A). En utilisant le numéraire S 1 pour calculer la première espérance il vient S2 S1 1 S02 EQ [ST1 /ST2 1A ] = S01 EQ [ST1 /ST1 1A ] = S01 QS (A) d’où 1 2 C0 = S01 QS (A) − S02 QS (A). Considérons le cas dSt1 = St1 (b1 dt + σ1 dWt1 ) dSt2 = St2 (b2 dt + σ2 dWt2 ) où W 1 et W 2 sont deux MBS indépendants (le cas correlé est laissé en exercice). Pour calculer les deux probabilités dont nous avons besoin ci1 dessus nous allons établir la dynamique de I = S 1 /S 2 sous QS et sous 2 QS . 1 Sous QS on a que S 1 /S 1 = 1 et S 2 /S 1 sont des martingales. Or par Itô, on a 1 1 1 dSt2 + St2 d( 1 ) + dhSt2 , 1 i 1 St St St 1 1 1 d(1/St1 ) = − 1 2 dSt1 + 1 3 dhSt1 i = − 1 [(b1 − σ12 )dt + σ1 dWt1 ] (St ) (St ) St d(St2 /St1 ) = d’où d(St2 /St1 ) = St2 [(b2 − b1 + σ12 )dt − σ1 dWt1 + σ2 dWt2 ]. St1 1 Par Girsanov, la dynamique de J = S 2 /S 1 sous QS est donc d(St2 /St1 ) = St2 [−σ1 dŴt1 + σ2 dŴt2 ]. St1 26 1 où Ŵ1,2 sont des QS MB indépendants. Est ce qu’on peut donner la formule ? Semble qu’il y ait une indétermination Il faut que dŴ1 = dW1 + θ1 dt dŴ2 = dW2 + θ2 dt où θ1 et θ2 sont choisis pour que θ1 +θ2 = b2 −b1 +σ12 . Les valeurs exactes de θ1 et θ2 sont fixées par le fait qu’il faut aussi que S0 /S2 soit une martingale 2 sous QS . 1 Par la formule d’Itô on en déduit la dynamique de I = 1/J sous QS : dIt = It [(σ12 + σ22 )dt − σ1 dŴt1 + σ2 dŴt2 ] et donc IT = I0 exp 1 2 σ T − σ1 ŴT1 + σ2 ŴT2 2 où σ 2 = σ12 + σ22 . On en déduit 1 1 QS (A) = QS (U < d1 ) √ où U = (σ1 ŴT1 −σ2 ŴT2 )/(σ T ) et d1 = permet de conclure pour 5.3 2 ln(S01 /S02 )+ σ2 T √ . σ T Un calcul symétrique 2 QS (A). Application 3 : Option quanto On s’intéresse à la valorisation d’option d’échange aussi appelées options quanto. Pous simplifier on se restreint à deux marché : le marché domestique et un marché étranger (par ex. le marché français ou les titres sont quotés en Euros et le marché américain où les cours sont en dollars). On note X le processus du taux de change où Xt est la valeur en Euros d’un dollar. Chaque marché à sa règle d’arbitrage : on note Πd (HTd ) (resp. Πf (HTf ) ) le prix d’arbitrage exprimé en monnaie domestique (resp. en monnaie étrangère) d’un actif contingent de payoff exprimé en monnaie domestique (rep. étrangère). Par exemple si rd (rf ) est le taux d’inéterêt domestique (étranger) et en notant Qd (resp Qf ) la mesure martingale domestique (étrangère) etc.. d Πdt (HTd ) = EQ [e − rd (T − t)HTd |Ft ] et d Πft (HTf ) = EQ [e − rf (T − t)HTf |Ft ]. 27 Pour éviter les arbitrages entre les deux économies il faut considérer qu’un titre étranger converti en monnaie domestique est un titre domestique, ceci entraı̂ne que Πdt (XT HTf ) = Xt Πft (HTf ). (4) Option d’achat sur un actif étranger et stike en devise Il s’agit de valoriser en monnaie domestique un flux de payoff (STf −K f )+ en monnaie étrangère. D’après (4) on a C0d = Πd0 (XT (STf − K f )+ ) = Xt 0Πft ((STf − K f )+ ) = X0 C0f (S0f , K f , T ). Option d’achat sur un actif étranger et stike en monnaie domestique Cette option a un payoff en monnaie domestique qui s’écrit (XT STf − K d )+ . De plus, d’après (4), le flux future XT STf a comme valeur présente en monnaie domestique Πdt (XT STf ) = Xt Πft (STf ) = Xt Stf . Son prix est donc C0 = Πd0 ((XT STf − K d )+ ) = C0d (X0 , S0f , K d , T ) Option d’achat sur devise C’est un call de maturité T sur le taux de change X de strike K et donc de payoff (XT − K)+ . C’est un cas particulier de l’option précédente quand S f est un ZC B f (·, T ). Le prix est donc C0 = C0d (X0 Bf (0, T ), K, T ). 5.4 Application 4 : Future sur devise Deux marchés, domestique et foreign. Taux rd et rf sont constants et ZC Bd (t, T ) et Bf (t, T ). Le taux de change suit dXt = Xt (bdt + σdWt ). On va retrouver dans ce cadre précis la formule donnée plus haut. On veut trouver le prix le prix future de la devise étrangère en devise domestique pour une date future T. Notons K le prix futur. Le payoff est CT = XT − K. 28 Le problème est que le taux de change n’est pas directement négociable. Plaçons nous du point de vus d’un investisseur domestique. Dans le marché domestique ni le taux de change Xt ni le cash erf t = 1/B f (0, t) ne sont négociables. En revanche le produit des deux St = Xt erf t peut être un actif négociable en dollars. Du point de vue de l’investisseur en domestique il y a donc en fait vraiment deux processus erd t et St . Voici comment l’on réplique dans ce marché : 1. On trouve une mesure Q sous laquelle le processus actualisé (au taux dollar) S̃t = B d (t, T )St est une martingale. 2. On considère le processus Mt = E Q [e−rd T CT |Ft ] 3. On trouve un processus adapté ∆t tel que dMt = ∆t dS̃t . Comme St = X0 exp((b + rf )t + σWt ) est un mouvement Brownien géométrique, on peut suivre ce programe. Le processus θ pour le changement de proba est donné par 1 θ = (b + rf + σ 2 − r)/σ 2 et Lt = exp(−θWt − 21 θ2 t). Le processus Zt = Wt + θt est un MB sous la nouvelle proba. Solution : Notons K le prix futur. Vt = E Q [e−rd (T −t) CT |Ft ] = E Q [e−rd (T −t) (XT − K)|Ft ] On doit choisir K de telle sore que V0 = 0. En d’autres termes K = E Q (XT ). En exprimant XT comme une fonction de Xt on obtient 1 XT = X0 exp(σZT − σ 2 T + (rd − Rf )T ) 2 et donc K = X0 e(rd −rf )T . Calculons maintenant le portefeuille de hedge. Avec ce choix de prix futur on a Vt = E[e−r(T −t) (XT − X0 erd −rf )T |Ft ]. 29 Comme XT = B f (0, T )/B d (0, T )S̃T sous Q on a E(XT |Ft ) = e(rd −rf )(T −t) B f (0, T )/B d (0, T )E(S̃T |Ft ) = e(rd −rf )(T −t) B f (0, T )/B d (0, T )S̃t = e(rd −rf ) et donc Vt = e−rf (T −t) Xt − erd t−rf T X0 = e−rf T (erf t − erd t X0 ). On en déduit Mt = e−rd t Vt = e−rf T S̃t − e−rf T X0 . 5.5 Application 5 : Formule de German-Kolhagen Deux marchés, domestique et foreign. Taux rd et rf sont constants et ZC Bd (t, T ) et Bf (t, T ). Le taux de change suit dXt = Xt (bdt + σdWt ). 1. (a) En utilisant le principe de non arbitrage entre les deux marchés, exprimer la dynamique de X et de XBf (·, T ) sous Qd (b) en déduire que le call sur devise de payoff (XT − K)+ est un call domestique sur l’actif XBf (·, T ) et calculer son prix. 2. (a) Soit FX (t, T ) le prix forward en t d’une unité de monnaie étrangère délivrée en T en monnaie domestique appelée aussi prix forward du change. Exprimer FX (t, T ) en fonction de rd , rf et X. (b) Montrer que le prix du call sur devise de payoff (XT − K)+ est C0 = erD T [FX (0, T )N (d1 ) − KN (d2 )] où on explicitera d1 et d2 . Interpréter. Correction : Notons Stf = erf t le processus de cash étranger. L’actif XS f étant un actif domestique il doit être une martingale sous Qd une fois actualisé par Std = erd t . Donc par Girsanov sous Qd : d(Xt Stf ) = (Xt S − tf )(rd dt + σdŴtd ) où Ŵ d est un MB sous Qd . On en déduit immédiatement que dXt = Xt ((rd − rf )dt + σdŴtd ). 30 Comme Bf (t, T ) = e−rf (T −t) on en déduit d(Xt Bf (t, T )) = Xt Bf (t, T )(rd dt + σdŴtd ). De plus comme (XT − K)+ = (XT Bf (T, T ) − K)+ on voit que le call sur la devise est un call domestique sur le sous-jacent XBf (·, T ) et donc d’après B&S C0 = X0 Bf (0, T )N (d1 ) − Ke−rd T N (d2 ) √ où d1 = d1 (X0 Bf (0, T )erd T , K, 0, T, σ) et d2 = d1 − σ T . Le prix spot en monnaie domestique de l’unité de monnaie étrangère délivrée en T est Xt Bf (t, T ). Comme rd et rf sont constants on a FX (t, T ) = Bf (t, T )Xt = e(rd −rf )(T −t) Xt . Bd (t, T ) On remarque que X0 Bf (0, T ) = Bd (0, T )FX (0, T ) = e−rd T FX (0, T ). Le prix du call s’écrit encore C0 = e−rd T [FX (0, T )N (d1 ) − KN (d2 )] avec d1 = d1 (FX (0, T ), K, 0, T, σ). Le call sur devise s’interprète comme un call sur le prix forward du change. 5.6 Application 5 : Call géométrique On consdère un emodèle de B&S bidimensionnel avec deux actions S 1 et S 2 dSti = Sti (rdt + σi dWti ) sous Q avec W 1 et W 2 deux MB indépendants sous Q. Soit une option de payoff h(ST1 , ST2 ) = (ST1 ST2 − K)+ . On note STi,t,xi les solutions issues de xi au temps t. • En notant σ = ? p σ12 + σ22 que peut on dire du processus Wt = • Exprimer ST1,t,x1 et ST2,t,x2 en fonction de W. • EN déduire v(t, x1 , x2 ) le prix du call géométrique v(t, x1 , x2 ) = CallBS(t, x1 x2 , K, T, 2r, σ) avec σ à déterminer. 31 σ1 Wt1 +σ2 Wt2 σ Solution: W est un MB car c’est une martingale continue de variation quadratique hW it = t. On a STi,t,xi = xi exp r − σi2 /2 (T − t) + σi (WTi − Wti ) d’où ST1,t,x1 ST2,t,x2 = x1 x2 exp 2r − σ 2 /2 (T − t) + σ(WT − Wt ) On remarque donc que ST1,t,x1 ST2,t,x2 = STt,x1 x2 où S t,x est la solution de dSs = Ss ((2rds + σdWs ), St = x. Et on conclut. 5.7 Application 6 : Options basket On considère un modèle de B&S multidimensionnel où le prix des actions Si , i = 1, . . . , n sont gouvernés sous la probabilité risque-neutre Q par dSti = Sti (rdt + σi dWti ) où W = (W 1 , . . . , W n ) est un n-MB. On considère une opryion basket de payoff ! n X h(ST ) = ωi STi − K = (AT − K)+ , i=1 + P où ωi est le poids de l’actif i : ωi = 1 et AT est une moyenne pondérée. Il n’y a pas de formule fermée, on va approximer à l’aide d’options géométriques. 6 modèles de taux Nous avons vu dans le cours d’introduction aux marchés financiers qu’on ne peut pas parler d’un taux d’intérêt. Il existe en fait de multiples courbes de taux d’intérêts (selon les pays, selon qu’il s’agisse de la courbe d’état ou d’une courbe corporate, selon le rating de la dette, etc... L’orsque l’on parle de la courbe des taux dans le marché financier, il s’agit en général de la courbe de taux interbancaire, puisque c’est celle auxquels les acteurs 32 financiers peuvent placer ou emprunter et donc celle qui est pertinente dans les raisonements par AOA. Une courbe des taux T 7→ R(t, T ) donne une photographie à un instant t donné du taux qu’il faut appliquer pour actualiser à toute dates future T . La fonction t 7→ (T 7→ R(t, T )) est donc une fonction à valeur dans les fonctions càdlàg (par exemple), et on voit qu’une modélisation stochastique des taux d’intérêt peut conduire, en toute généralité, à modéliser des processus à valeur dans des espaces de fonctions càdlàg. 6.1 Généralités sur les taux d’intérêts On introduit quelques définitions et notations. • Un zéro-coupon déchéance T (noté ZC(T )) est un titre versant 1 euro à la date T ne donnant aucun flux avant. On note B(t, T ) son prix à la date t < T. Positif par AOA, B(T, T ) = 1. En pratique bond du trésor. • Le taux d’intérêt continu moyen (rendement à échéance, yield to maturity) sur la période [t, T ] noté R(t, T ) est B(t, T ) = exp(−(T − t)R(t, T )) i.e. R(t, T ) = − 1 log B(t, T ) T −t • Le taux linéaire, surtout utilisé pour les maturités courtes, [t, t + δ], noté L(t, δ) est défini par B(t, t + δ) = 1 . 1 + δL(t, δ) • Le taux spot (court) instantané est la limite du taux moyen quand T →t ∂ log B(t, T ) rt = lim R(t, T ) = − T →t ∂T T =t En pratique taux overnight • La courbe des taux (structure par terme des taux) en t est la fonction θ 7→ R(t, t + θ). On dit que la courbe est plate en t si θ 7→ R(t, t + θ) est constante. 33 • Le taux spot forward en t pour la maturité T est f (t, T ) = − ∂ log B(t, T ) ∂T donc rt = f (t, t) et par intégration Z B(t, T ) = exp − T f (t, s)ds . t f (t, s) = taux spot en s vu depuis t. 6.2 Cas déterministe L’AOA induit certaines contraintes sur la structure par terme des taux d’intérêts. Pour simplifier on peut commencer par supposer que les fonctions t 7→ B(t, T ), R(t, T ), rt , f (t, T ) sont déterministe (i.e. on connait dés aujourd’hui tous les taux futures pour la maturité T. Alors par AOA B(t, T ) = B(t, s)B(s, T ), ∀t ≤ s ≤ T. En passant au log et en dérivant on a f (t, T ) = f (s, T ) ce qui implique f (t, s) = rs pour tout t ≤ s (le taux spot à la date s vu depuis t est exaxtement le taux spot à la date s en déterministe). Ceci implique Z T Z t B(t, T ) = exp − rs ds , i.e. B(t, T ) = B(0, T ) exp − rs ds t 0 et le taux moyen est donné par R(t, T ) = 6.3 1 T −t Z T rs ds. t Cas aléatoire Dans un environement aléatoire, à la date t les taux d’intérêt et les prix de ZC futurs R(s, T ) et B(s, T ) ne sont pas connus. On conçoit néanmoins que, comme pour les modèles déterministes, l’AOA implique des relations entre les prix des différents taux et ZC : c’est le but d’une modélisation aléatoire des taux. on travaille sur (Ω, F, (Ft , t ≥ 0), P) ou la filtration est celle d’un MB. Comme dans les modèles d’actions le processus de cash est défini par : Z t 0 St = exp rs ds . 0 34 C’est la valeur au temps t d’un euro investi continuement au taux spot instantané. Les obligations ZC de maturité T sont considérés commes des actifs risqués de prix B(t, T ) (différent du risque de crédit, juste risque de taux). Par principe d’AOA on suppose l’existance d’une probabilité Q sous laquelle les prix actualisés des ZC B(t, T )/St0 , 0 ≤ t ≤ T sont des martigales, et ce quel que soit T. Cette propriété de martingale et le fait que B(t, T ) = 1 implique que B(t, T )/St0 = EQ [B(T, T )/ST0 |Ft ] = EQ [1/ST0 |Ft ] soit Q B(t, T ) = E Z T exp − −t rs ds Ft , 0 ≤ t ≤ T. A partir de là, il y a en gros deux approches pour modéliser la courbe des taux : 1. la première (historiquement) consiste à modéliser le taux spot rt qui sert de variable explicxative unique. 2. la seconde consiste à modéliser directement les prix B(t, T ) ou de manière équivalent les taux forwards f (t, T ) en respectant l’AOA. 6.4 Modèles calssiques de taux spot On considère une dynamique pour le taux spot sous la probabilité historique P donnée par drt = α(t, rr )dt + γ(t, rt )dWt où W est le MB sous P et α, γ deux fonctions réelles sur R+ × R. Pour calculer le prix des ZC on a besoin de la dynamique de rt sous Q. Notons (λt ) la prime de risque issue du théorème de Girsanov et qui fait de Z Ŵt = Wt + t λs ds 0 un MB sous Q. On suppose que λs = λ(s, rs ). Donc sous Q drt = (α(t, rr ) − λ(t, rt )γ(t, rt ))dt + γ(t, rt )dŴt Dans les modèles classiques qu’on détaille plus loin, λ est choisie pour que la dynamique de r sous P et Q ait la même forme. 35 6.5 L’EDP des taux Dans ce type de modèle on a B(t, T ) = B(t, rt , T ) pour une certaine fonction réelle B. Si on suppose qu’elle est régulière C 2 on a par Itô (T est fixé) ∂B ∂B ∂B 1 2 ∂ 2 B dB(t, rt ) = (t, rt , T )dt + γ +α + γ (t, rt , T )dWt 2 ∂t ∂r 2 ∂r ∂r = B(t, T )(µ(t, rt , T )dt + σ(t, rt , T )dWt ) (5) où ∂B 1 ∂B 1 2 ∂ 2 B − t, r, T ) µ(t, rt , T ) = +α + γ B(t, r, T ) ∂t ∂r 2 ∂r2 1 ∂B σ(t, r, T ) = γ(t, r) (t, r, T ) B(t, r, T ) ∂r La dynamique 5 est décrite sous P. Par Girsanov on a dB(t, rt ) = B(t, T )[(µ(t, rt , T ) − σ(t, rt , T )λ(t, rt ))dt + σ(t, rt , T )dŴt ] Puisque B(t, T )/St0 est une martingale sous Q, le coefficient devant dt doit être rt . En repprenant l’expression de µ et σ on voit que la fonction B doit vérifier l’EDP ∂B ∂B 1 ∂B + (α − λγ) + gamma2 2 − rB = 0. ∂t ∂r 2 ∂r avec condition terminale B(T, r, T ) = 1. Différence avec le cas BS classique : présence du terme de prime de risque λ qui ne disparait pas. Ce paramètre doit être estimé a priori, c’est un problème de statistique, λ est estimé par callibration des prix théoriques de ZC à ceux observés dans le marché. Comme dans BS deux méthodes pour calculer le prix d’un ZC : soit on utilise la repésentation probabiliste sous Q Z B(t, T ) = B(t, r, T ) = EQ exp − −tT rs ds , 0 ≤ t ≤ T soit on résout l’EDP. 36 6.6 Le modèle de Vasicek Dans ce modèle on modélise le taux spot rt sous P par drt = a(b − rt )dt + γdWt où a, b et σ sont des constantes positives. Le dirft est proportionel à (b − rt ), une force de rappel mesurée par a ramène rt vers b (moyenne de long terme). On suppose que λ la prime de risque est constante. 1. Montrer que sous Q rt a la même dynamique que sous P (on montrera que seul le paramêtre b est différent et on notera b̂ le nouveau paramêtre. 2. On introduit le processus associé ρt = eat rt . Donner la dynamique de ρt sous Q. 3. Donner une expressions pour ρt et en déduire une formule pour rt . RT 4. Donner une expression pour t rs ds, et calculer sa loi. 5. Donner le prix d’un ZC de maturité T dans le modèle de Vasicek. 1) Sous Q ˆ t drt = a(b̂ − rt )dt + γ dW (6) où b̂ = b − γλ/a. Proposition 20. La solution de (6) est donnée par Z t rt = b̂ + (r0 − b̂)e−at + γ e−a(t−u) dŴu 0 Méthode de variation de la constante. On considère le processus ρt = Par formule d’Itô eat rt . dρt = aeat rt dt + eat drt = eat (ab̂dt + γdŴt ). en intégrant on obtient ρt = eat rt = r0 + b̂(eat − 1) + Z t eau γdŴu . 0 Donc sous Q rt est un processus Gaussien d emoyenne b̂ + (r0 − b̂)e−at et de variance γ 2 (1 − e−2at )/2a. En particulier on peut avoir rt < 0. De plus 37 rt →loi N (b̂, γ 2 /2a). Pour calculer le prix d’un ZC on a besoin de la loi de RT t rs ds sachant Ft . Le plus simple est d’intégrer l’EDS pour obtenir Z T Z T dŴs rs ds = −(rT − rt ) + ab̂(T − t) + γ a t t En utilisant l’expression intégrale du taux spot on obtient Z T e−a(T −s) dŴs rT = b̂ + (rt − b̂)e−a(T −t) + γ t et en reportant on a Z T Z T 1 − e−a(T −t) 1 − e−a(T −s) rs ds = b̂(T − t) + (rt − b̂) +γ dŴs a a t t RT On en déduit que t rs dssuit une loi normale de moyenne/variance 1 − e−a(T −t) m̂(t, T ) = b̂(T − t) + (rt − b̂) a !2 Z T −a(T −s) 1−e Γ̂2 (t, T ) = EQ γ dŴs Ft a t !2 Z T −a(T −s) 1 − e ds = γ2 a t γ2 γ2 = − 3 (1 − e−a(T −t) )2 + 2 2a a 1 − e−a(T −t) T −t− a ! . Finalement il est aisé de voir que " 1 − e−a(T −t) γ2 B(t, T ) = exp −R∞ (T − t − +(R∞ − rt ) − 3 (1 − e−a(T −t) )2 a 4a où R∞ = b̂−γ 2 /2a2 car transformée de Laplace d’une loi normale on obtient L(s) = exp(−sµ + s2 σ 2 /2) 6.7 Le modèle CIR (pb des valeurs négatives). √ drt = a(b − rt )dt + γ rt dWt 38 # Si on suppose que la prime de risque est de la forme √ λt = λ̄ rt on a √ drt = â(b̂ − rt )dt + γ rt dŴt avec â = a + γ λ̄ et b̂ = ab/(a + γb). On peut montrer existence et uncité de la solution de cete EDS malgré le caractère non Lipschitzien. Pas de formule explicite. Cette solution est positive et si 2âb̂ > γ 2 la solution n’atteint pas 0. Theorem 21. Dans le modèle CIR, B(t, T ) = Φ(T − t) exp(−A(T − t)rt ) où les fonctions A et Φ sont donnée par A(θ) = p 2(eρθ − 1 â2 + 2γ 2 , ρ = (â + ρ)(eρθ − 1) + 2ρ et 2âb̂ Φ(θ) = φ(θ) γ 2 , φ(θ) = 2ρe(â+ρ)θ/2 (â + ρ)(eρθ − 1) + 2ρ L’EDP satisfaite par le prix du ZC B(t, T ) = B(t, rt , T ) ∂B ∂B 1 2 ∂B + â(b̂ − r) + γ r 2 − rB = 0. ∂t ∂r 2 ∂r je ne suis pas sur du r dans le terme 12 γ 2 r ∂B ∂r 2. avec condition terminale B(T, r, T ) = 1. On cherche B(t, rt , T ) = Φ(T − t)e−A(T −t)r . En substituant dans l’EDP il vient 1 −Φ0 (θ) + Φ(θ)A0 (θ)r − â(b̂ − r)Φ(θ)A(θ) + γ 2 rΦ(θ)A2 (θ) − rΦ(θ) = 0 2 ce qui conduit aux EDO par identification des coefficients de r 1 A0 (θ) + âA(θ) + γ 2 rA2 (θ) − 1 = 0 2 −Φ0 (θ) − âb̂A(θ) = 0 avec A(0) = 0 et Φ(0) = 1. 39 6.8 Le modèle HJM Ci-dessus : une seule variable explicative = le taux court. Restrictif. Heath Jarrow et Morton modélisent toute la courbe comme variable explicative en dimension infinie. Le marché : temps continu, ZC de toutes maturités. Le processus de cash St0 . AOA ⇒ ∃Q proba sous laquelle les prix actualisés B(t, T )/St0 sont des martingales. On suppose que dB(t, T ) = rt dt + σ(t, T )dŴt . B(t, T ) où Ŵ est un MB sous Q, et σ(t, T ) est la famille des vol loc, éventuellement aléatoires, adaptées des ZC(T). On suppose σ(T, T ) = 0 car B(T, T ) ≡ 1 et aussi que σ est continue et dérivable par rapport à T. On note Σ(t, T ) = ∂σ(t, T ) ∂T qui est aussi éventuellement un processus adapté. Dans HJM, la fonction de vol détermine toute la courbe (car donne sa loi sous la proba Q). Theorem 22. 1. Le prix à la date future t d’un ZC(T) est Z t Z 1 t 2 2 B(t, T ) = Bf (0, t, T ) exp σ(s, T ) − σ(s, t)dŴs − |σ(s, T )| − |σ(s, t)| ds 2 0 0 où Bf (0, t, T ) = B(0, T )/B(0, t) est le prix forward d’un ZC(T) de maturité t; lu aujourd’hui. 2. La courbe des taux à la date future t est donnée par Z t Z σ(s, T ) − σ(s, t) 1 t |σ(s, T )|2 − |σ(s, t)|2 R(t, T ) = Rf (0, t, T )− dŴs + ds T −t 2 0 T −t 0 où Bf (0, t, T ) = T 1−t log Bf (O, t, T ) est le taux forward moyen pour l’échéance t et la maturité T. Ce taux est lu sur la courbe des taux aujourd’hui (en 0.) 3. Le taux spot forward en t est donné par Z t Z t σ(s, T )Σ(s, T )ds − Σ(s, T )dŴs f (t, T ) = f (0, T ) + 0 0 40 et en particulier Z t Z σ(s, t)Σ(s, t)ds − rt = f (, t) + t Σ(s, t)dŴs 0 0 Proof. D’après la dynamique du ZC on a Z t Z t 1 2 rs − |σ(s, T )| ds B(t, T ) = B(0, T ) exp σ(s, T )dŴs + 2 0 0 On élimine rt en utilisant B(t, t) = 1 qui s’exprime par Z t Z t 1 2 1 = B(0, t) exp rs − |σ(s, t)| ds σ(s, t)dŴs + 2 0 0 et en faisant le quotient des deux précédentes on a la relation (1). Pour (2) et (3) c’est par définition. Remarque : On voit que df (t, T ) = α(t, T )dt + γ(t, T )dŴt avec α(t, T ) = σ(t, T )Σ(t, T ) et γ(t, T ) = −Σ(t, T ). Initiallement HJM on proposé une dynamique df (t, T ) de cette forme et montré que sous AOA il y a une contrainte entre α et γ. En effet, par intégration et en utilisant σ(t, t) = 0 on a Z T Z T σ(t, T ) = Σ(t, s)ds = − γ(t, s)ds t t on voit alors la contrainte d’AOA de HJM Z α(t, T ) = gamma(t, T ) T γ(t, s)ds t Donc la fonction de vol γ de f (ou celle σ de B) caractèrise tout le modèle. Le prix des produits dérivés ne dépend que du choix de cette fonction. L’utilisation en pratique de HJM est la suivante : • On spécifie une fonction σ (ou γ) • On observe la courbe des taux aujourd’hui, i.e. les prix B(O, T ) et on ) calcul f (0, T ) = − ∂B(0,T . ∂T • on en déduit la dynamique sous Q des processus t 7→ B(t, T ), rt , f (t, T ). Ceci permet de valoriser les options. Si la fonction de vol est déterministe on voit tout de suite que rt et f (t, T ) sont des processus Gaussiens. 41 6.9 Modèles HJM Gaussiens : Ho & Lee On suppose γ(t, T ) = −σ. Dans ce cas σ(t, T ) = σ(T − t). La condition d’AOA de HJM (ou le théorème) indique α(t, T ) = σ 2 (T − t). Donc df (t, T ) = σ 2 (T − t)dt − σdW Ŵt ou encore f (t, T ) = f (0, T ) + σ 2 t(T − t/2) − σ Ŵ Le taux spot rt = f (0, t) + σ 2 t2 /2 − σ Ŵt de dynamique ∂f (0, t) 2 drt = + σ t dt − σdŵt . ∂t σ2 B(t, T ) = Bf (0, t, T ) exp σ(T − t)Ŵt − (T − t)T t 2 et avec substitution par rt pour avoir uniquement des observables σ2 B(t, T ) = Bf (0, t, T ) exp −(T − t)(rt − f (0, t)) − (T − t)2 t 2 6.10 Quelques instruments courants 1. FRA Forward Rate Agreement. C’est l’engagement d’échanger à une date donnée standardisée T fixée un taux fixé Ft (le taux forward du contrat) contre un taux constaté sur un nominal donné. 2. Un swap de taux est un contrat de gré à gré par lequel les parties s’engagent à s’échanger pendant un certain nombre d’années et pour un nominal fixé des flux d’intérêt calculés sur la base d’un taux variable constaté pour une partie, et sur un taux fixe dit taux swap pour l’autre. 3. Cap et floor. C’est la version ”option”. Contrat qui permet, moyennant le payement d’une prime à son détenteur d’emprunter ou de préter à échéance à un taux garenti. On parle de floorlet ou de caplet. Identification des échéanciers. • Obligation à taux fixe ; coupon c et nominal N de maturité Tn . Pour i = 1, . . . , n − 1 les flux sont (c, Ti ) et (c + N, Tn ) pour le dernier. 42 • Swaps. Si le taux constaté en Ti pour la période [Ti , Ti+1 = Ti + δ] est L(Ti , δ)) 1 B(TI , Ti + δ) = 1 + δL(TI , δ) , les flux payés en Ti+1 sont δL(TI , δ) contre rswap . les flux sont donc (δL(Ti , δ) − rswap , Ti+1 ). • Option sur obligation. Maturité τ strike K. Sous jacent est une obligation de maturité T > τ de coupons (ci , Ti ), Tn = T Le prix de l’obligation support est Ot = n X ci B(0, Ti ). i=1 6.11 Méthode d’évaluation forward Pour valoriser un flux XT de date T on applique la règle d’évaluation RN. Q0 XT Π0 (XT ) = E ST0 On va se placer sous QT . On a donc pour le prix forward de X que XT T X QT F (0, T ) = Π0 (XT )/B(0, T ) = E = EQ [XT ] . B(T, T ) Dans les marchés de taux les actifs de couverture sont les forward (et non les spots). Plus généralement Xi QTi QT Π0 (XTi ) = B(0, Ti )E [Xi ] = B(0, T )E B(Ti , T ) Pour caractériser la probabilité T − i-forward neutre on écrit que les prix forward Bf (t, Ti , T ) = B(t, T )/B(Ti , T ) sont des QTi martingales pour tout T . On se place dans le cadre du modèle HJM. D’après le théorème Z Bf (t, Ti , T ) = Bf (0, Ti , T ) exp 0 t 1 σ(s, T ) − σ(s, Ti )dŴs − 2 43 Z 0 t |σ(s, T )| − |σ(s, Ti )| ds 2 2 en définissant ŴtTi Z t = Ŵt − σ(s, Ti )ds. 0 on a Z t σ(s, T ) − Bf (t, Ti , T ) = Bf (0, Ti , T ) exp σ(s, Ti )dŴsTi 0 1 − 2 Z t |σ(s, T ) − σ(s, Ti )| ds 0 ceci prouve que ŴtTi est un QTi -mouvement Brownien et que sous QTi dBf (t, Ti , T ) = Bf (t, Ti , T )(σ(s, T ) − σ(s, Ti ))dhatWtTi 6.12 Application 1 : FRA contrat forward sur un taux Le prix forward pour la date T d’un ZC maturant en T + δ est en t Bf (t, T, T + δ) = B(t, T + δ) = EQ [B(T, T + δ)|Ft ]. B(t, T ) Le taux de rendement linéaire de ce contrat est le taux forward linéaire noté Lf (t, T, T + δ) définit par Bf (t, T, T + δ) = 1 . 1 + δLf (t, T, T + δ) Notons que Lf (t, T, T + δ) est l’équivalent certain du taux linéaire L(T, δ) vu depuis t au sens où 1 QT +δ 1 QT +δ E [L(T, δ)|Ft ] = E − 1 Ft δ B(T, T + δ) 1 QT +δ B(t, T = E − 1 Ft δ B(t, T + δ) 1 1 = − 1 Ft δ Bf (t, T, T + δ) = Lf (t, T, T + δ) 6.13 Application 2 : Taux swap Prennons un swap d’échéancier Ti = T0 + iδ, i = 1, . . . , n δL(Ti−1 , δ) − rswap = 1 − 1 − rswap B(Ti−1 , Ti ) 44 2 Le taux swap est calculé pour que la valeur initiale soit nulle à t = 0 n X Π0 (δL(Ti−1 , δ) − rswap ) = 0 i=1 Pour calculer la valeur présente du flux i on utilise la probabilité Ti -forward neutre 1 QTi Π0 (δL(Ti−1 , δ) − rswap ) = B(0, Ti )E − 1 − rswap B(Ti−1 , Ti ) B(0, Ti−1 = B(0, Ti ) − 1 − rswap B(0, Ti ) On a donc 0= = n X i=1 n X B(0, Ti−1 B(0, Ti ) − 1 − rswap B(0, Ti ) [B(0, Ti−1 ) − B(0, Ti )]rswap i=1 n X B(0, Ti ) i=1 d’où rswap = B(0, T0 ) − B(0, Tn ) Pn . i=1 B(0, Ti ) Ne nécessite pas la spécification d’un modèle de taux !! 6.14 Application 3 : Call sur ZC Considérons un call de strike K de maturité τ sur un ZC d’échéance T > τ . Le payoff de ce call en τ est donc X = (B(τ, T )K)+ On se place dans le cadre du HJM Gaussien. On va calculer le prix selon deux méthodes; Méthode 1 On utilise la probabilité τ -forward neutre, le prix est τ τ Π0 = B(0, τ )EQ [(B(τ, T ) − K)+ ] = B(0, τ )EQ [(Bf (τ, τ, T ) − K)+ ] 45 7 Volatilités 8 Risque de défaut 8.1 9 FX markets (Options de change) Options exotiques 9.1 Options asiatiques 9.2 Options américaines La pluspart du temps , méthodes numériques. Modèles binomiaux discrets ou solutions d’EDP 10 Extensions du modèle de Black et Scholes On va maintenant considérer des modèles plus généreaux que le modèle de B&S. Dans le paragraphe ?? on remplace les paramètres constants du modèle de B&S par des processus prévisbles. Sous les bonnes conditions d’intégrabilité on peut reproduire l’analyse de B&S et obtenir le prix d’une option comme l’espérance actualisée du payoff sous la probabilité martingale. En général cette espérance doit être évaluée numériquement. On fait aussi le lien avec une équation de B&S généralisée via la représentation de FeynmanKac. Dans le paragraphe ?? on fait l’hypothèse très naturelle que le marché consiste en plus d’un seul actif risqué. Certaines options dépendent du cours de plusieurs actifs sous-jacents qui n’évoluent pas, en général, indépendamment les uns des autres. Pour cela on a besoin de savoir manipuler des EDS multidimensionelles. Enfin, il y a de bonnes raisons de penser que le prix des actifs n’est pas toujours bien modélisé par le Brownien log-normale. En particulier il est parfois important de pouvoir avoir des sauts dans la valeur des actifs. C’est l’objet du paragraphe Prochain chapitre traite des modèles dit à vol sto. 46 11 Modélisation de la volatilité Si le modèle de Black et Scholes présenté dans le paragraphe précédent est si populaire c’est qu’il permet de calculer un grand nombre de prix d’options européennes classiques. Cependant, l’hypothèse de volatilité constante n’est pas cohérente avec les prix observés sur le marché. Plus précisément, supposons que le taux sans risque r soit fixe et que l’on observe les prix Ci de call européens de maturités Ti et de strike Ki , i = 1, ..., I, écrits sur le même sous-jacent S de prix spot S0 aujourd’hui. On doit alors avoir Ci = BS(0, S0 , Ki , Ti , σ) pour tout i = 1, . . . , I où σ est la volatilité et BS(t, x, K, T, σ) est le prix dans le modèle de Black et Scholes d’une option d’achat sur S à la date t de maturité T et de strike K si St = x. En particulier, on peut retrouver le paramètre de volatilité σ en inversant par rapport à cette variable la formule de Black et Scholes, i.e. chercher σ tel que Ci = BS(0, S0 , Ki , Ti , σ). On appelle volatilité implicite la solution σimp (Ti , Ki ) de cette équation. Dans le modèle de Black et Scholes, la volatilité implicite ne doit évidemment pas dépendre de i. Or, ceci n’est pas vérifié en pratique. Typiquement, on observe que, pour une même maturité, la volatilé implicite est non constante en fonction du strike. Elle a souvent une forme en U que l’on appelle smile. 11.1 Volatilité implicite Dans ce cas, il est nécessaire de calibrer la volatilité, i.e. de chercher la fonction de volatilité locale σ telle que les prix théoriques Vg des options cotées sur le marché coı̈ncident avec les prix observés. En général, on se base sur les prix de produits très liquides comme les calls. Dans le modèle de B&S l’unique paramètre inobservable est la voltilité. Le modèle peut donc être calibré à partir d’un seul prix d’option car la 47 fonction de prix de B&S est strictement croissante en la volatilité. On a lim C BS (σ) = (St − Ke−r(T −t) )+ (7) lim C BS (σ) = St (8) σ&0 σ%∞ √ ∂C BS = SN (d1 ) T − t ∂σ √ ∂ 2 C BS log2 m SN (d1 ) T − t σ 2 (T − t) = − ∂σ 2 σ σ 2 (T − t) 4 (9) (10) où m = St /(Ke−r(T −t) )p est la moneynesss de l’option. On p voit que σ 7→ est convexe que (0, 2| log m|/(T − t)) et concave sur ( 2| log m|/(T − t), ∞). Ceci implique que l’équation C BS (σ) = C pour C BS (σ) (St − Ke−r(T −t) )+ < C < St peut être résolue par la méthode de Newton en utilisant l’algorithme p σ0 = 2| log m|/(T − t) σn+1 = σn + C − C BS (σn ) ∂C BS (σn ) (σn ) ∂σ car la série (σn ) ≥ 0 sera monotone. En pratique si C est trop proche des BS bornes d’arbitrage, la dérivée ∂C ∂σ(σn ) (σn ) devient trop petite et on a des problèmes d’instabilité numérique. Dans ce cas il est préferable d’utiliser la méthode de la bisection. La solution I(C) de C BS (σ) = C est appelée volatilité implicite de cette option. Le modèle de B&S implique que la volatilité implicite de toute les options sur le même sous-jacent devrait être le même (égale à la vol historique du sous-jacent, i.e. l’écart-type des rendements annualisés) Cependant en calculant I(C) à partir des prix de marché on constate que • la vol implicite est toujours supérieure à la vol historique du sousjacent, • les vol implicites de différentes options sur le même sous-jacent dépendent de la maturité et du strike. Plus précisément on a que 1. Pour presque tous les strike la vol décroit avec le strike (phénomène de skew) 48 2. Pour les strikes grand on a parfois une légère remontée de la vol implicite (phénomène de smile) 3. Le skew et le smile sont plus prononcés si l’on s’approche de la maturité. Explications : 1. Vol implicite > vlo histo : la couverture réelle est plus chère que la couverture B&S du fait des coùts de transactions, prix de la couverture des sources de risques supplémentaires (type risque de vol ou risque véga) 2. Skew : B&S sous-estime la probabilité d’un krach boursier (un grand mouvement de prix général) 3. Smile : prime de liquidité pour les options très loin de la monnaie. La volatilité implicite est très utilisé pour le calcul des ratios de couverture des options européennes. Pour toute option, indépendanment du modèle utilisé on peut écrire C(t, St ) = C BS (t, St , I) où I est la col implicite de cette option. Si cette vol implicite ne dépendait pas de St mais seulement du stike et du temps on pourrait écrire ∂C(t, St ) ∂C BS (t, St ) = ∂S ∂S et le delta de l’option est donc égal au delta B&S ! L’absence de dépendance de I par rapport à St a été appelé le régime sticky strike par Derman. C’est une hypothèse peu réaliste. Il faut prendre en compte le changement de I avec S. ∂C(t, St ) ∂C BS (t, St ) ∂C BS ∂I = + . ∂S ∂S ∂I ∂S La divergence entre le delta d’une option et son delta B&S est souvent traité comme une nouvelle source de risque appelée risque véga. Il est souvent géré en rendant le portefeuille véga-neutre. Pour un portefeuille d?options europénnes ceci signifie que la somme des dé?rivées opP de∂Cchaque BS tion par rapportà sa volatilité ? implicite doit être nulle N | k=1 ∂σ σ=Ik = 0. Si maintenant on suppose que les volatilité?s implicites des diffé?rents strikes et maturité?s varient de la même faç?on avec le sous-jacent ? ∂S ∂σ ne 49 dé?pend pas de K ? le risque dû au changement de volatilité ? implicite sera totalement couvert. Une autre approche pour la prise en compte du deuxième terme dans l’équation ci-dessus consiste à modifier le delta d’une option en faisant des hypothèses appropriées sur l’évolution du smile avec le sous-jacent. Par exemple, dans le régime sticky delta ou sticky moneyness de Derman, on suppose que la volatilité implicite dépend du ratio K/S mais pas de ces deux variables séparément. En posant I = I(K/S), on a alors ∂C(t, St ) ∂C BS (t, St ) ∂C BS K 0 = − I. ∂S ∂S ∂I S 2 Comme en général la volatilité décroı̂t avec le strike (pour les options ∂C BS prochesde la monnaie), l’hypothèse de sticky delta implique ∂C ∂S > ∂S : le delta d’une option est supérieur à son delta Black-Scholes. Exercice . On suppose que le profil (smile) de volatilité implicite pour les options près de la monnaie est décroissant avec le strike, et qu’à la ∂I = 0.002. Calculer ∂C monnaie, ∂K ∂S pour une option Call européenne à la monnaie dans l’hypothèse sticky delta. Les valeurs de paramètres sont S0 = 100, σ = 0.2, T = 1, r = 0. Pour le calcul numérique on peut se servir de l’approximation suivante, valable lorsque S0 est proche de KerT : √ ! √ ! 1 σ T 1 σ T CallBS (S0 , K, T ) ∼ S0 + − Ke−rT − 2 5 2 5 Combien d’actions faut-il acheter ou vendre pour couvrir 100 options? 11.2 volatilité locale Une première solution pour résoudre ce problème est de considérer des modèles à volatilité locale. On suppose alors que σ (au lieu d’être une constante) dépend de t et de St , i.e. dSt /St = µt dt + σ(t, St )dWt où µt est un processus adapté général (on va l’éliminer en passant sous la proba risque neutre. Hypothèse clé : il n’y a qu’une seule source d’aléatoire et c’est le Brownien qui drive le processus du prix de l’actif risqué. 50 Le marché consiste en un processus de cash (St0 = exp( un unique actif risqué (St )t≥0 avec Rt 0 rs ds))t≥0 et dSt0 = rt St0 dt, S00 = 1 dSt = µt St dt + σ(t, St )St dWt , où Wt est un P mouvement Brownien générant la filtration Ft (plus généralement on peut choisir (rt )t≥0 , (µt )t≥0 , (σt )t≥0 des processus Ft -prévisibles.) Les solutions des ces deux EDS sont de la forme Z t 0 St = exp rs ds (11) 0 Z t Z t 1 2 St = S0 exp (12) σs dWs , µs − σs ds + 2 0 0 mais afin Rque ces expression aient R T un sens il faut supposer que presque RT T sûrement 0 |rs |ds, 0 |µs |ds et 0 σs2 ds sont finis. Avec le même argument de non-arbitrage que dans B&S classique on a que le prix d’une option de payoff h(ST ) résout l’EDP rC(t, S) = ∂C ∂C 1 ∂2C + rS + σ(t, S)2 S 2 2 , C(T, S) = h(S). ∂t ∂S 2 ∂S Le portefeuille de réplication contient ∆(t, S) = ∂C ∂S (t, S) unités du sousjacent et Bt = C(t, S) − ∆(t, S) en cash. Comme dans B&S le modèle à volatilité locale est complet (le seul facteur de risque étant le sous-jacent). On reproduit simplement les trois étapes de la réplication comme d’habitude. La première est de trouver une mesure Q équivalent sous laquelle le prix de l’actif actualisé (S̃t )t≥0 est une martingale. Pour cela il suffit d’utiliser Girsanov pour trouver Q sous laquelle Z t W̃t = Wt + γs ds 0 est un MBS. dS̃t = (µt − rt )S̃t dt + σt S̃t dWt = (µt − rt − σt γt )S̃t dt + σt S̃t dW̃t et donc on choisit γt = (µt − rt )/σt . Pour que S̃t soit vraiment une martingale il nous fait quelques conditions d’intégrabilité supplémentaires. Afin de 51 pouvoir appliquer Girsanov il nous faut en premier lieu que Z T 1 2 P E exp( γt dt) < ∞ 0 2 Pour que S̃t soit bien une martingale et pas seulement une martingale locale il nous faut ensuite une condition de type Novikov Z T 1 2 EQ exp( σt dt) < ∞. 0 2 Sous ces conditions S̃ est une martingale sous Q où Z t Z 1 t 2 dQ (γ) |F = Lt = exp − γs dWs − γ ds ; dP t 2 0 s 0 La seconde étape de notre stratégie est de former la (Q, Ft )-martingale Mt Mt = EQ [(ST0 )−1 h(ST )|Ft ]. La troisième étape est de montrer qeu notre marché est complet, c’està-dire que toute actif contingent CT peut être répliqué. On commence par invoquer le théorème de réplication de martingale pour écrire Z t Mt = M0 + θu dW̃u 0 et par conséquent, pour peu que σt ne s’annule pas Z t Mt = M0 + φs dS̃s 0 où (φt )t est Ft prévisible. Au vu de ce que l’on a fait dans le cas clssique on peut deviner que le portefeuille de réplication va consister en Φt unités d’actif risqué et Ψt = Mt − Φt St unités d’actif sans risque. 11.3 Exemple : le modèle CEV dSt = St (µdt + σ0 /St1−α dWt ) α = 1 est B&S et α = 0 est le modèle Gaussien. On n’a pas dirrectement existence et unicité de la solution (coefficients non-Lipschitz). On peut montrer qu’il y a quand même exstence et unicité en utilisant le lien avec les processus de Bessel). 52 On se place sous la probabilité risque-neutre et on suppose que le prix forward du sous-jacent Ft = er(T −t) St suit un modèle CEV : dFt = σ0 Ftα dWt , 0 < α ≤ 1 Pourquoi F vérifie-t-il nécessairement cette équation ? (on a besoin de 0 < α ≤ 1 car sinon Ft n’est pas une martingale mais juste une martingale locale ce qui peut conduire à des violations de l aparité call-put par exemple). Montrons pourquoi on a vraiment une martingale de carré intégrable quand 0 < α ≤ 1. Il suffit de mq Z T Ft2α dt} < ∞ E{σ02 0 soit τn = inf{t : Ft ≥ n} . Clairement Ft∧τn est de carré intégarble pour chaque 0 < α ≤ 1. Z T Z T ∧τn Z T ∧τn 2 2 2 2α 2 2 2 (1 + Ft )dt ≤ σ0 E (1 + Ft∧τn )dt Ft dt ≤ σ0 E E(FT ∧τn ) = σ0 E 0 0 0 et par le Lemme de Gromwall on a Z T ∧τn 2 Ft2α dt = E(FT2 ∧τn ) ≤ σ02 T eσ0 T . σ02 E 0 et on conclut par convergence monotone. Dans le modèle CEV on a une approximation pour la volatilité implicite valable pour de petites volatilités ) ( σ0 (1 − α)(2 + α) F0 − K 2 (1 − α)2 σ02 T imp σ (K, T ) ≡ 1−α 1 + + 2−2α + . . . 24 Fm 24 Fm Fm 0 où Fm − 12 (F0 + K). Donc le premier ordre est σ imp (K, T ) ≡ F σ1−α la vol m locale, mais la pente à la monnaie est deux fois plus petite (en fonction de K). 11.4 Equation de Kolmogorov Forward et Backward Soit Xt la solution de l’EDS dXt = µ(t, Xt )dt + σ(t, Xt )dWt , 0 ≤ t ≤ T On admet à partir de maintenant que la loi de XT sachant St = x > 0 admet une densité régulière P (T, y|t, x) sous Q pour t < T. On rappelle Feynman Kac 53 Theorem 23. Supposons que F résolve l’équation ∂F ∂F 1 ∂2F (t, x) + µ(t, x) + σ 2 (t, x) 2 (t, x) = 0 ∂t ∂x 2 ∂x F (T, x) = Φ(x) si RT 0 (13) (14) 2 E[(σ(s, Xs ) ∂F ∂x (s, Xs )) ]ds < ∞ alors F (t, x) = E[Φ(XT )|Xt = x]. L’équation de Kolmogorov Backward : Proposition 24. Sous la même condition que pour Feynman Kac on a ∂P (T, y|t, x) + Ap(T, y|t, x) = 0 ∂t P (T, y[t, x) → δy (x) quand t → T où Af (t, x) = µ(t, x) (15) (16) 1 ∂2f ∂f (t, x) + σ 2 (t, x) 2 (t, x) ∂x 2 ∂x L’équation (??) est appellée équation de Kolmogorov Backward. On peut aussi prouver la proposition suivante qui donne l’équation de Kolmogorov Forward : Proposition 25. Sous la même condition que pour Feynman Kac on a ∂P (T, y|t, x) = A∗ p(T, y|t, x) ∂T P (T, y[t, x) → δy (x) quand t → T où A∗ f (t, x) = − 1 ∂2 2 ∂ (µ(T, y)f (T, y)) + (σ (T, y)f (T, y)) ∂y 2 ∂y 2 Proof. Soit g ∈ Cb∞ à support compacte. On définit v(s, Xs ) := E[g(XT )|Fs ]. C’est une martingale. Ceci implique que ∀h : t + h < T on a E[v(t + h, Xt+h ) − v(t, Xt )|Xt = x] = 0 54 (17) (18) Comme g ∈ Cb∞ et P est régulière, v est régulière. Le lemme d’Itô implique donc que E(v(t + h, Xt+h [Xt = x) − v(t, Xt )|Xt = x) Z t+h 1 = E( ∂t v(s, Xs )ds + ∂x v(s, Xs )dXs + ∂xx v(s, Xs )dhXs i|Xt = x) 2 t Z t+h 1 (∂t v(s, Xs ) + ∂xx v(s, Xs )σ 2 (s, Xs ) = E( 2 t + µ(s, Xs )∂x v(s, Xs ))ds + ∂x v(s, Xs )σ(s, Xs )dWs |Xt = x) Z t+h Z 1 ds dy(∂t v(s, y) + ∂xx v(s, y)σ 2 (s, y) + µ(s, y)∂x v(s, y))P (s, y|t, x) + 0 = 2 t où l’on a utilisé Fubini. On pose 1 L := ∂t + σ 2 (s, y)∂xx σ 2 (s, y) + µ(s, y)∂x . 2 On a donc Z 0= t+h Z ds dyLv(s, y)P (s, y|t, x). t En intégrant par parties il vient (on marque P (s, y) au lieu de P (s, y|t, x)) : Z dy[v(s, y)P (s, y)]t+h t Z t+h − dsv∂s P t Z t+h Z ∞ + ds[vµP ]−∞ − dyv∂y (µP ) t Z Z 1 t+h 2 ∞ 2 ∞ + ds[∂y vσ P ]−∞ − [v∂y (σ P )]−∞ + dyv∂yy (σ 2 P ) 2 t Z Z t+h = dy[v(s, y)P (s, y)]t+h − dsv∂s P t t Z t+h Z + ds − dyv∂y (µP ) t Z Z 1 t+h + ds + dyv∂yy (σ 2 P ) 2 t 0= v(s, y) tend vers 0 quand R y tend vers ±∞. donc les crochets s’annulent, de plus on remarque que dy[v(s, y)P (s, y)]t+h = 0 et on a donc t Z t+h Z 1 2 0= ds dyv(s, y) ∂s P + ∂y (µP ) − ∂yy (σ P ) . 2 t y 55 Comme v est arbitraire, ceci n’est possible que si 1 2 ∂s P (s, y) + ∂y (µ(s, y)P (s, y)) − ∂yy (σ (s, y)P (s, y)) = 0 2 sur (t, ] × (0, ∞). exercice Donner les équations FKE et BKE pour un MB géométrique. Solution : ∂P 2 2 ∂2 2 ∂P = (y P ) − µ (yP ) 2 ∂T σ ∂y ∂y et ∂P ∂P 2 2 ∂2 = − x2 2 (y 2 P ) − µx (P ) ∂t σ ∂x ∂x 11.5 Formule de Dupire Notre but est de trouver une fonction t, x 7→ σ(t, x) qui permette de retrouver les prix observés des options pour toute maturité et tout strike. L’équation backward rC(t, S) = ∂C 1 ∂2C ∂C + rS + σ(t, S)2 S 2 2 , C(t, S) = h(S) ∂t ∂S 2 ∂S ne permet de faore cela car ceci conduit à l’équation σ 2 (t, S) = ∂C ∂C ∂t − rS ∂S 2 1 2 2∂ C 2 σ(t, S) S ∂S 2 rC(t, S) − et ∂C ∂t ne sont pas observables dans le marché. On va utiliser une équation forward. On va supposer maintenant que h est le payoff d’un call Européen de maturité T et de strike K de prix C(0, x, T, K). On a Z ∞ −rT C(0, x, T, K) = e (y − K)P (T, y|0, x)dy et ∂C ∂S K En supposant que c’est possible, on va dériver par rapport aux deux dernières 56 variables et utiliser l’équation forward : ∂T ΠC (0, x, T, K) = −rΠC (0, x, T, K) + e −rT Z ∞ (y − K)+ ∂T P (T, y|0, x)dy 0 = −rΠC (0, x, T, K) Z ∞ −rT (y − K)+ (−∂y (µ(T, y)P (T, y|0, x))dy +e Z0 ∞ 1 (y − K)+ ( ∂yy (σ 2 (T, y)P (T, y|0, x))dy + e−rT 2 0 On va maintenant supposer que µ(t, y) = yr et σ(t, y) = yη(t, y) modèles fr MB géométrique avec dXt = rdt + η(t, Xt )dWt . Xt Par intégration par partie on obtent donc Z ∞ ∂T ΠC (0, x, T, K) = −re−rT (y − K)+ P (T, y|0, x)dy Z ∞0 1y≥K ryP (T, y|0, x)dy + e−rT Z0 ∞ 1 + e−rT δK (y) y 2 η 2 (T, y)P (T, y|0, x)dy 2 0 1 = −rK∂K ΠC (0, x, T, K) + η 2 (T, K)K 2 ∂KK ΠC (0, x, T, K) 2 car ∂K ΠC (0, x, T, K) = e−rT ∞ Z 1y≥K P (T, y|0, x)dy 0 ∂KK ΠC (0, x, T, K) = e−rT Z ∞ δK (y)P (T, y|0, x)dy 0 et on conclut donc ( si le prix ΠC est sufisament régulier) qu’il vérifie l’équation de Dupire. Theorem 26. 1 ∂T ΠC (0, x, T, K) = −rK∂K ΠC (0, x, T, K)+ η 2 (T, K)K 2 ∂KK ΠC (0, x, T, K) 2 pour T, K ∈ (0, T̄ ] × R+ avec condition initiale ΠC (0, x, 0, K) = [x − K]+ en T = 0 et condition au bord ΠC (0, x, T, 0) = x pour tout T. 57 Proof. On va donner une seconde preuve de la formule de Dupire sous les hypothèses suivantes, uniquement à l’aide de la formule de Itô: 1. St est de carré intégrable Z E T Ss2 ds < ∞, ∀T t 2. Pour chaque s > t le processus Ss a une densité p(s, x) continue sur (t, ∞) × (0∞) 3. Le coeffcient de diffusion xσ(t, x) est localement Hölder, i.e. pour chaque x > 0 et δ assez petit il existe α > 0 et une fonction c(t) continue telle que |x − y| < δ implique |xσ(t, x) − yσ(t, y)| ≤ c(t)|x − y|α , t > t0 see Nizar + Tankov Remarques : 1. En résolvant cette équation on peut calculer d’un coup le prix des calls pour tous les T et tous les K en même temps. 2. la vol loc σ doit nécessairement satisfaire la formule de Dupire : η 2 (t, K) = 2 ∂T ΠC (0, x, T, K) + rK∂KΠC (0, x, T, K) K 2 ∂KK ΠC () Si on disposait des prix pour tous les couples (T, K) on pourait utiliser cette formule pour estimer la fonction de vol loc. η. En pratique on a que des points que l’on interpolle, mais la dérivée seconde qui intervient dans cette formule est très sensible à la méthode d’interpolation choisie et donc est unitilisable de cette façon. En fait on l’utilise plutôt pour faire de la calibration. 11.6 Calibration de la nape de vol à partir d’un nombre fini de call En fait on va plutôt chercher une fonction nape de vol (t, x) 7→ σ(t, x) pour laquelle les prix théorique (dans le modèle avec cette vol loc) correspondent au prix observées. 58 En pratique on est amené a considérer une forme paramétrique particulière de σ : σa , a ∈ A ⊂ RM . Dans ce cas le problème peut ne pas avoir de solution et on cherche à résoudre X min |Πi (σa ) − Ci |2 a i où Πi (σa ) est le prix théorique de la ième option pour le paramêtre a et Ci est son prix obsevé. C’est là que l’équation aux dérivées partielles qui permet de calculer tout les prix théoriques Πi (σa ) d’un coup prend toute son importance. Toutefois, cette approche conduit à des résultats instables par rapport aux données initiales et en général à des nappes de volatilités très irrégulières. Afin de corriger ces problèmes, il est nécessaire d’imposer un terme de pénalité dont l’objectif est de stabiliser la solution et d?en assurer une certaine régularité. Il existe plusieurs méthodes : la méthode dite par entropie (Avalaneda et al. 1997) Une autre méthode est appelée régularisation de Tikhonov qui consiste à résoudre un problème d’optimisation sous contrainte (on pénalise les nappes qui s’éloigne trop d’une certaine constante, ou d’une nappe cible, ou dont le gradient s’éloigne trop d’une certaine constante. 11.7 Arbre trinomial de pricing On suppose pour simplifier rt ≡ r pour tout t. Une autre méthode pour calculer les prix d’options dans un modèle à vol loc consiste à discrétiser les processus et d’utiliser des arbres recombinants. 11.8 Volatilité implicite et volatilité locale Pour toute option on peut toujours écrire C(T, K) = C BS (T, K, I(T, K)), où C BS (T, K, σ) est le prix de Black & Scholes pour le prix d’un call de vol σ et I(T, K) est la vol implicite. En substituant cette expression dans l’équation de Dupire il vient 59 ∂C BS ∂T σ 2 (T, K) = 2 K2 ∂ 2 C BS ∂K 2 2 K2 1 K 2 IT BS BS C + 2 ∂∂K∂σ I T = ∂C BS ∂I ∂σ ∂T + + rK ∂I ∂K + ∂C BS ∂K + ∂C BS ∂I ∂σ ∂K ∂I 2 ∂K ∂ 2 C BS ∂σ 2 + ∂C BS ∂ 2 I ∂σ ∂K 2 ∂I ∂I + 2 ∂T + 2rK ∂K 1 + 2 KId√ T BS ∂I ∂K + d1 d2 I ∂I ∂K + ∂2I ∂K 2 BS ∂C ∂C Pour calculer les ∂C ∂K , ∂σ , ∂T il faut procéder comme pour le calcul BS de ∂C∂S = N (d1 ) c’est-à-dire qu’il faut dériver dans l’espérance. (A faire ?) Dans un premier temps supposons que la vol implicite ne dépende pas du strike (absence de smile ou skew). Dans ce cas on voit que la vol implicite n’en dépend pas non plus et la formule ci dessus se réduit à σ 2 (T ) = I 2 (T ) + 2I(T )T d’où ∂I ∂T RT σ 2 (s)ds T et la vol implicite est donc égale à la moyenne quadratique de la vol loc sur la durée de vie de l’option. On peut partiellement généraliser ce résultat au cas où la vol dépend du strike. Pour continuer l’étude de notre équation, nous faisons un changement ˜ x) et on a alors de variable x = log(S/K) + rT avec I(T, K) = I(T, !2 !2 2 I˜ ˜ ˜ ˜ ∂ I x ∂ I ∂ 1 ∂ I ˜ ˜ 2IT + I˜2 − σ 2 1 − − σ 2 IT = σ 2 I˜2 T 2 =0 ∂T ∂x2 4 ∂x I˜ ∂x 2 0 I (T ) = En supposant que I et ses dérivées restent finies lorsque T → ∞ on a dans cette limite !2 ˜ x ∂ I ˜ x) = σ 2 (0, x) 1 − I(0, I˜ ∂x et cette equation différentielle se résout explicitement en Z 1 I(0, x) = 0 dy σ(0, xy) 2 Ce résultat du à Berestycki et Busca (2002) montre donc que dans la limite de très courte maturités la vol implicite est égale à la moyenne harmonique 60 des vol locales. Lorsque la vol locale σ(0, x) est différentiable en 0 ceci permet ˜ de montrer que ∂ I(0,0) = 12 ∂σ(0,0) c’est à dire que la pente à la monnaie de ∂x ∂x la vol loc est égale pour les courtes maturités à 2 fois la pente à la monaie de la vol implicite. 12 Volatilité stochastique La volatilité n’est pas corrélée à 100% avec le sous-jacent. De plus, on sait que la forme de la nape de volatilité n’est pas constante au cours du temps. Il faut modéliser la volatilité comme un processus à part entierre. En particulier pour les forward start, comme les modèles à vol loc ne dit rien sur la façon dont la nape se déforme on a un fort mis-pricing et mis-hedging. Si on met un processus pour la volatilité, on va naturellement essayer de rester dans un cadre Markovien. On peut envisager un processus de Markov à sauts qui saute entre deux état vol haute / vol basse. On va plutôt rester dans le cadre des diffusions continues (ici) dSt = µt dt + σt dWt St dσt = at dt + bt dWt0 σt dhW, W 0 it = ρdt (19) (20) Les processus a et b sont choisis pour que σ ≥ 0 (en général on veut un aussi un retour à la moyenne pour la stationnarité). Le marché est incomplet car on a deux aléas. Pour compléter le marché (c’est à dire afin de pouvoir se couvrir) on introduit un autre actif liquide (par exemple une autre option). at = a(t, St , σt ) , bt = b(t, St , σt ). On suppose qu’il existe Ct0 liquide coté au prix Ct0 = C 0 (t, St , σt ) 0 où la fonction déterministe C 0 est connue et satisfait ∂C ∂σ > 0, ∀t, σ, S. (i.e. 0 pour que C complète le marché il faut que son prix dépende de σ !) On considère un portefeuille autofinançant constitué de δt actions, wt actifs C 0 et de cash, de valeur Vt à l’instant t. On a : 61 dVt = (Vt − δt St − wt Ct0 )rdt + δt dSt + wt dCt0 ∂C 0 ∂C 0 0 dSt + wt = (Vt − δt St − wt Ct )rdt + δt + wt dσ + wt Lt Ct0 ∂S ∂σ 2 2 ∂ 1 2 ∂ ∂ ∂ où Lt = ∂t + 12 S 2 ∂S 2 + 2 b ∂σ + Sbσρ ∂S∂σ . On veut une stratégie autofiançante qui réplique une fonction déterministe C qui sera le prix de l’option, c’est à dire telle que Vt = C(t, σt , St ). Par Itô ∂C ∂C dSt + dσt ∂S ∂σ on peut identifier terme à terme les coefficients pour obtenir dVt = Lt Cdt + wt = ∂C ∂σ ∂C 0 ∂σ (21) ∂C 0 ∂C − wt ∂S ∂S 0 0 ∂C ∂C Lt C − rC 0 + rSt ∂C ∂S Lt C − rC + rSt = ∂C 0 ∂S ∂σ δt = (22) (23) ∂σ l’équation (??) peut se lire Lt C − rC + rSt ∂C ∂S ∂C ∂σ = λ(t, σ, S) où λ est une fonction explicite en terme de la fonction connue C 0 . Par réplication, si le payoff est h(ST ) on a Lt C − rC + rS ∂C ∂C −λ =0 ∂S ∂σ C(T, σ, S) = h(S) C’est une généralisation de l’équation de B&S. On parle de couverture en delta-véga. On a une EDP en 3 dimensions. Pas forcément facile à résoudre. On voudrait pouvoir faire de l’évaluation en simulant (Monte Carlo). Pour ça il faut pouvoir dire que sous une proba risque neutre, prix des actifs = 62 espérance actualisée des payoff et flux terminaux. Comme d’habitude on note Q la probabilité risque neutre. Sous Q on a dCt = rCt dt + martingale or avec Itô on a dCt = rCt dt + ∂C ∂C (dSt − rSt dt) + (dσt − λt dt). ∂S ∂σ on en conclut donc que sous Q dSt = rdt + σt dW̃t St dσt = λt dt + bt dW̃t0 . λ qui apparaissait dans notre EDP joue donc le rôle de la dérive RN pour σ sous Q. On a h i C(t, σ, S) = EQ e−r(T −t) h(ST )|σt = σ, St = S . Sous les conditions σt > 0 et bt > 0 le modèle se réécrit dSt = (r + βt σt )dt + σt dWt St dσt = (λt + Φt bt )dt + bt dWt0 (24) (25) βt prme de risque, donc Φt prime de risque de vol. 12.1 Modèle de Heston dSt = µdt + σt dWt St √ dvt = κ(θ − vt )dt + α vt dWt0 (26) (27) 0 dhW, W it = ρdt avec vt = σt2 . Etant donné le skew, on observe souvent 0.7 ≤ |ρ| ≤ 1, κ très petit (le κ tue le skew), α grand, θ doit être proche de la vol implicite de l’option la plus longue sur laquelle on se calibre. Dans ce modèle la vol peut atteindre 0; reste à 0 ou à des niveaux très hauts pendant des durées longues. 63 12.2 Modèle de Stein et Stein dSt = µdt + σt dWt St dσt = κ(θ − σt )dt + αdWt0 (28) (29) 0 dhW, W it = ρdt Dist. de la vol converge vers une Gaussienne de moyenne θetdevarianceα2 /2κ. Le signe de la correl entre sous-jacent et sa vol peut s’inverser. Le mod de la distribution de la vol est à 0. 12.3 Modèle de Hull-White (87) √ dSt = µS dt + vt dWt St dvt = µv dt + αdWt0 vt dhW, W 0 it = ρdt (30) (31) On a 1 1 E[σ(t)] = σ(0)e 2 µv t− 8 α 2t 1 2 V (σ(t)) = σ(0)2 eµv t (1 − e− 4 α t ) Mean reversion est à 0 si µv < 14 α2 , sinon σ diverge en esperance. 12.4 Modèle SABR Ft prix du sous-jacent dFt = σt Ftβ dWt dσt = 0 dhW, W it = ρdt 0 ≤ β ≤ 1, α ≥ 0. 64 ασt dWt0 (32) (33) 12.5 Modèle ARCH √ dSt = µdt + vt dWt St dvt = κ(θ − vt ) + αvt dWt0 dhW, W 0 it = ρdt Cf NGARCH, LGARCH etc... 65 13 Risque de crédit Le risque de crédit concerne la distrtibution des pertes financières dues à un changement imprévu dans la qualité du crédit d’une contrepartie dans un contrat. Va de la dégradation de la notation de crédit à l’incapacité à faire face à ses obligations ou à la faillite. On distingue trois gandes approches : • Approche structurelle. On fait des hypothèses explicites sur la dynamique des actifs des entreprises, leur structure de capital et les déteneturs de dette et de capital. Une entreprise fait défaut si ses actifs deviennent insufisants. Dans cette situation une obligation devient une option sur les actifs. • Approche réduite. N’explique pas le défaut mais le modélise par un processus exogène de taux de défaut. Dans ce cadre les instruments sensibles au crédit peuvent se calculer comme s’il n’y avait pas de défaut en ajustant le taux sans risque par l’intensité du taux de défaut. • L’approche information incomplète fait la synthèse. (le meilleur des deux mondes ?) 13.1 13.1.1 Approche structurelle Approche classique Remonte à Black & Scoles (73 et 74). La valeur de marché d’une entreprise est la source principale d’incertitude qui dirige le risque de crédit. On considère une entreprise dont la valeur de marché V représente la valeur actualisée de tous les cash-flow futures. L’entreprise se finance par des actions et des ZC (K, T ). L’entreprise a donc une obligation contractuelle de rembourser K à la date T . Les débiteurs sont prioritaires sur les actionnaires. Le temps de défaut est donc T si VT < K τ= ∞ sinon Pour calculer la probab de défaut il faut faire des hypothèses sur la distribution de VT sous P. Le modèle standard est dVt = µdt + σdWt Vt 66 où µ ∈ R. Donc P(VT < K) = N ( log L − mT √ σ T où L = K/V0 et m = µ − σ 2 /2. Au temps T si VT ≥ K le détenteur de l’obligation reçoit son capital K et l’actionnaire les VT − K restants. Sinon, le détenteur de l’obligation prend le contrôle et reçoit VT . On a donc B d (T, T ) = min(VT , K) = K − (K − VT )+ La valeur B d (t, T ) est donc celle d’une obligation sans risque (K, T ) et d’une position courte sur un put (K, T ). Pour l’action (equity) on a ET = (VT − K)+ . Conclusion : toute la machinerie Black & Scholes est utilisable. Attention ! il faut quand même supposer que la valeur de la firme est un actif négociable.... Dans ce cas le prix de l’action E0 est le prix B&S d’un call E0 = C BS (σ, T, K, r, V0 ). B d (0, T ) = Ke−rT − P BS (σ, T, K, r, V0 ). On remarque que P BS (σ, T, K, r, V0 ). est la valeur actualisée des pertes dues au défaut du détenteur de l’obligation. On retrouve bien V0 = E0 + B d (0, T ) equity et dette dépendent du leverage mais pas la valeur de la firme. Le théorème de Modigliani & Miller (58) marche aussi en présence de défaut. La credit spread est la diférence entre le rendement d’une obligation avec défaut et celui de la même obligation sans défaut. Le rendement étant défini par B(t, T ) = e−y(t,T )(T −t) le spread S(t, T ) est 1 S(t, T ) = − log T −t B d (t, T ) B(t, T ) , T > t. Dans le cas B&S on a 1 1 rT S(0, T ) = − log N (d1 ) + e N (−d2 ) . T L 67 13.1.2 Premier temps de passage Dans l’approche classique Vt peut s’approcher de 0 sans déclancher le défaut ce qui est peu réaliste. Black & Cox 76. On peut supposer que la barrière de défaut D est une valeur constante dans (0, V0 ). Dans ce cas τ = inf{t > 0 : Vt < D}. Les probab de défaut sont données par p(T ) = P(MT < D) = P[min(ms + σWs ) < log(D/V0 )]. s≤t où Mt = mins≤t Vs . Les calculs habituels donnent 2m2 D σ log(D/V0 ) + mT log(D/V0 ) − mT √ √ + N . p(T ) = N V0 σ T σ T Si D> K, les détenteurs d’obligations sont complètement protégés. Si D < K on peut faire défaut de deux façons. Dans ce cas notre définition de τ pose problème. On peut redéfinir τ = min(τ1 , τ2 avec τ2 = inf{t > 0 : Vt < D}. et τ1 = T si VT < K ∞ sinon Dans ce cas on voit que p(T ) = 1 − P[MT > D, VT > K] = 1 − P[min(mt + σWt ) > log(D/V0 ), mT + σWT > log L]. t≤T et on en déduit 2m2 log(L) − mT D σ log(D2 /(KV0 )) + mT √ √ p(T ) = N + N . V0 σ T σ T On a ET = (VT − K)+ 1{MT >D} L’action est donc un call européen down and out. 68 On a donc E0 = C(σ, T, K, r, V0 ) − V0 D V0 2r2 +1 σ N (h+ ) + Ke −rT D V0 2r2 −1 σ N (h− ) avec (r ± σ 2 /2)T + log(D2 /(KV0 )) √ . σ T Barrier options value ne sont pas monotone en σ. Problèmes de calibration. Prix vanille donne une borne. Problème S(0, T ) → 0 quand T → 0. (Vt croit à taux r et D reste contant.) On peut régler ça en faisant croitre la dette à un taux constant ou en supposant que le leverage est maintenu constant. h± = 13.1.3 Barrière de défaut dépendant du temps D(t) ≤ K par exemple D(t) = Ke−k(T −t) . τ = inf{t > 0 : Vt < D}. on observe {Vt < D(t)} = {(m − k)t + σWt < log L − kT } ce qui nous donne p(T ) = P[min(m − k)t + σWt ) < log L − kT ]. t≤T On a p(T ) = N 13.1.4 log(L) − mT √ σ T 22 (m−k) log(L) + (m − 2k)T √ N + Le−kT σ . σ T Excursions D est constante. On définit Z F (V )t = 0 t f (s, t)1{VS ≤D} ds et τL = inf{t > 0 : F (V )t > C}. 69 On introduit la fonction de poids w(s, t) = exp(− on prend f (s, t) = w(s, t)1{ Lt ≤ s} Rt s ks ds) Exemple 1 : où Lt = sup{s ≤ t : vS = D} Dans ce cas F (V )t est le temps pondéré consécutif passé sous D. On oublie les excursions sous D qui ne conduisent pas au défaut. Exemple 2 : f (s, t) = w(s, t) le temps pondéré cumulé sous D. Exemple 3 : f (s, t) = w(s, t)(D − Vs ) dans ce cas F (V )t wheighted cumulative shortfall. Les aires pondérés des excursions. On est dans le cas des options parisiennes. 13.2 Approche réduite. Les modèles structurels impliquent que l’on ”voit” arriver le défaut. Les investisseurs peuvent observer la distance au défaut au cours du temps. Il y a des des évènements de ”pre-défaut”. Mathématiquement il y a une suite de temps d’arrêt τn telle que τn → τ le temps de défaut en croissant. On dit qie τ est prévisible. La prévisisblité de τ est financièrement significative. Le prix théorique des actifs sensibles au défaut doit tendre vers le valeur de recovery quand t → τ et le spread doit tendre vers 0 quand t → T . lim S(t, T ) = 0. T &t Non vérifié en pratique. Forme réduite : Artzner & Delbaen (95), Jarrow & Turnbull (95), Duffie & Singleton (99), Jeanblanc... 13.2.1 Intensité de défaut Dynamique de défaut présecrite exogènement dirrectement sous la proba risque-neutre Q (existence, unicité ?) Nt = 1{τ ≤t} . C’est un processus de saut qui saute de 1 au temps de défaut. Nt est une sous-martingale. On peut utiliser le théorème de décomposition de DoobMeyer. ∃Aτ croissant (le comensateur) tel que N − Aτ est une martingale. Le propriétés analytiques de Aτ correspondent aux propriétés probabilistes de τ. Par exemple Aτ est continue SSI τ n’est pas prévisible. C’est ce qu’on veut. 70 Dans le modèle réduit on suppose que Z min(t,τ ) Z t τ At = λs ds = λS 1{τ >s} ds. 0 0 où λt est un processus Ft -adapté. Avec cette hypothèse λt est l’intensité de défaut. Pour ∆t petit et t < τ on a que λt ∆t est la probabilité de faire défaut pendant l’intervalle de temps [t, t + ∆t] au premier ordre. Exemple 1 Supposons que λ est constant. Alors N est un processus de Poisson d’intensité λ constante et arrété à son premier saut. Le temps de défaut τ est donc distribué exponentiellement et la probabilité cumulée de défaut sous Q est q(T ) = 1 − e−λT . Si on connait la densité d de τ on peut calculer λ comme λ= d(T ) . 1 − q(T ) Exemple 2 λ = λ(t) une fonction déterministe. q(T ) = 1 − e− RT 0 λ(u)du Un exemple simple qui peut être calibré sur les données de marché est λ(t) = hi , t ∈ [Ti ; Ti+1 ), i = 1, 2, . . . , Exemple 3 Si λ = λt est un processus stochastique. Dans ce cas N est appelé un processus de Cox, ou processus de Poisson doublement stochastique. En utilisant les probabilités conditionelles on voit que q(T ) = 1 − EQ [e− 13.2.2 RT 0 λu du ]. Modèles affines à intensité Duffie et Kan (96). On va supposer que λ = Λ(X) où X est un processus des facteurs de risque et Λ une fonction. On suppose que dXt µ(Xt )dt + σ(Xt )dWt . où les coefficients sont des fonctions affines des variables d’état. 71 • µ(x) = µ0 + µ1 x (on est dans Rd ) • (σ(x)σ(x)T )i,j = (σ0 )i,j +i,j σ1 )i,j .x et on suppose également que Λ(x) = Λ0 + Λ1 .x.. Sous ces hypothèses la probabilité de défaut est exponentiellement affine en X0 q(T ) = 1 − exp(a(T ) − b(T ).X0 ) où a et b résolvent un système d’équations différentielles qui peuvent être explicitement résolues dans certains cas. Exemple d = 1, µ(x) = cµ − cx, σ 2 (x) = σ 2 En prenant Λ(x) = x on a σ2 1 −2cT )]. b(T ) = 1c (1 − e−2ct ) et a(T ) = µ(b(T ) − T ) + 2c 2 [T − 2b(T ) + 2c (1 − e (cf page 45 Gieseck) Exemple 2 d = 1, µ(x) = cµ − cx, σ 2 (x) = σh2 x En prenant iΛ(x) = x 2(eγT −1) 2cµ 2γe(γ−c)T /2 on a b(T ) = (γ−c)(e γT −1)+2γ et a(T ) = σ 2 log (γ−c)(eγT −1)+2γ . où γ = √ c2 + 2σ 2 . (cf page 45 Gieseck) Remarque On peut ajouter des sauts à la diffusion X. 13.2.3 Evaluation : ZC avec recovery à maturité Payoff = (1 − R)1{τ >T } + R payé à T . On suppsoe r constant B d (0, T ) = e−rT EQ [(1 − R)1{τ >T } + R] = e−rT + e−rT (1 − R)q(T ). Si on a une intensité constante on obtient B d (0, T ) = e−(r+λ)T . 13.2.4 Evaluation : ZC avec recovery au temps défaut On considère un actif qui paye CT à T si pas de défaut et qui paye Rτ à τ si défaut, (on suppose que le processus R est borné). On note (T, CT , R) Exemple 1 (T, CT , 0) C0 = EQ [e−rT CT 1{τ >T } ] si τ et CT sont indépendants C0 = e−rT EQ (CT )(1 − q(T ). En général C0 = e−rT EQ [CT e− 72 Rt 0 λs ds ]. à condition de suppose que CT est mesurable dans la filtration des facteurs Xs . Si r est stochastique avec rt = g(Xt ) on a C0 = EQ [CT e− Rt 0 rs +λs ds ]. Exemple 2 (T, CT , R) On se place dans le cas général r est stochastique avec rt = g(Xt ). On a C0 = C0F + C0R où C0f est la valeur calculée ci-dessus pour (T, CT , 0). Rt C0R = EQ [Rτ e− 0 rs ds 1{τ ≤T } ] Z T Ru = EQ [e− 0 rs ds Ru k(u)]du 0 où k(u) est la densité conditionelle de τ à u étant donné la trajectoire de X sur [0, TR ]. Dans le cas Cox cette densité existe et est donnée par k(u) = u λu exp − 0 λs ds ce qui conduit à C0R Z = T EQ [e− Ru 0 (rs +λs )ds Ru λu ]du. 0 13.2.5 Recovery • Recovery at face value Rt est une fraction R̄t ∈ [0, 1] du nominal. • Equivalent recovery Rt est une fraction R̄t du même actof mais sans défaut. • Fractional recovery : une fraction R̄Rt de la valeur de l’actif juste avant u le défaut. (dabs ce cas C0 = EQ [e− 0 (rs +(1−R̄s )λs )ds ].) 13.2.6 Credit Spreads On considère un ZC (T, 1, 0) dans le cadre des processus de Cox avec une intensité continue à droite λ = Λ(X). ∂ Q − R T λs ds E [e t |(Xs )s≤t ] T &t ∂T lim S(t, T ) = − lim T &t = − lim EQ [−λT e− T &t = λt 73 RT t λs ds |(Xs )s≤t ] 13.2.7 Correlation des défauts : approche par fonctions copula Si X1 , X2 , . . . , Xn sont des variables de fonction de répartition Fi strictement croissantes, alors en posant Ui = Fi (Xi ) on a P (Xi ≤ xi ∀i) = P (Fi (Xi ) ≤ Fi (xi )∀i) = P (UI ≤ Fi (xi ), ∀i) et donc la loi jointe des Xi peut être caractérisée en terme de la loi jointe du vecteur U . On remarque que les Ui sont des variables uniformes sur [0, 1] a priori non indépendentes. Définition 7. Une fonction C : [0, 1]n 7→ R est une fonction copula si elle satisfait : • C(u1 , . . . , un ) est croissante dans chaque variable, • C(1, . . . , ui , . . . , 1) = ui pour tout i et tout ui ∈ [0, 1]. • ∀a, b ∈ [0, 1]n avec a ≤ b (i.e. ai ≤ bi , ∀i) 2 X i1 =1 ... 2 X (−1)i1 +...+in C(u1,i1 , . . . , un,in ) ≥ 0 in =1 où uj,1 = aj et uj,2 = bj . Une fonction copula est juste la fonction de répartition d’un n-tuple (U1 , . . . , Un ) dont les marginales sont uniformes sur [0, 1]. On appele parfois la copula de survie (ou survival copula) la fonction Ĉ(u1 , . . . , un ) = P(U1 > u1 , . . . , Un > un ). On énnonce à présent le théorème de Sklar, Theorem 27. Soit F une fonction de répartition n-dimensionelle de marginales Fi . Alors il existe une copula C telle que F (x) = C(F1 (x), . . . , Fn (x)). La fonction copula donne des informations sur la structure de corrélation des variables Xi indépendanment de leur lois marginales. Quelques fonctioons copulas particulières : Q • La copula indépendante : C(u1 , . . . , un ) = n1 ui • La copula Gaussienne C(u1 , . . . , un ) = NΣn (N −1 (u1 ), . . . , N −1 (un )) où NΣn est la fonction de répartition pour la loi normale de dimension n et de matrice de variance covariance Σ. 74 Quand n = 2 on a les bornes de Fréchet max(u + v − 1, 0) ≤ C(u, v) ≤ min(u, v). Si C(u, v) = min(u, v) est la fonction de répartition de (U, U ) on a corrélation parfaite. De même max(u + v − 1, 0) est la fonction de répartition de (U, 1 − U ), corrélatin négative parfaite. 13.3 L’approche information incomplète 75