Finance avancée

Finance avancée
February 3, 2010
1
introduction et plan
2
Quelques rappels de calcul stochastique et de
finance élémentaire
Dans cette section quelques-uns des résultats du coures de finance I sont
rappelés très brièvement sous forme d’un aide-mémoire.
2.1
Calcul stochastique
Définition 1. Un processus stochastique (Bt , t ≥ 0) mesurable dans (Ω, F, (mathcalF )t≥0 , P )
est un mouvement Brownien standard si et seulement s’il vérifie les conditions suivantes
1. B0 = 0 (propriété non-essentielle, on peut définir un mouvement
Brownien issu de tout x ∈ R.)
2. Les trajectoires t 7→ Bt sont presque sûrement continues.
3. Les accroissements du mouvement Brownien sont indépendants et stationaires , i.e. ∀0 ≤ s ≤ t, Bt − Bs est indépendant de Fs = σ(Bu , u ≤
s) et ∀0 ≤ s ≤ t : Bt − Bs ∼ Bt−s − B0 où ∼ signifie “a la même loi
que”..
On a les propriétés suivantes qui sont bien connues :
Proposition 1.
1. Si (Bt , t ≥ 0) est un mouvement Brownien, alors
Bt − B0 est une variable aléatoire gaussienne de moyenne rt et de
variance σ 2 t, r et σ étant des constantes, i.e. Bt ∼ N (rt, σ 2 t). Si
r = 0 et σ = 1 on dit que le mouvement Brownien est standard.
1
2. La structure de covariance du mouvement brownien est donnée par la
relation
E(Bt Bs ) = s ∧ t.
3. Les processus suivants sont aussi des mouvements Browniens :
- (cBt/c2 , t ≥ 0) pour tout c ∈ R
- (tB1/t , t ≥ 0) avec la convention tB1/t = 0 quand t = 0.
- (BT +s − BT , s ≥ 0) pour tout temps d’arrêt T. (Le mouvement
Brownien à la propriété de Markov forte.)
4. Les processus suivants sont des martingales
- Bt
- Bt2 − t
- pour σ fixé exp(σBt − σ 2 /2t).
Si l’on ne précise pas, la filtration Ft dans laquelle un mouvement Brownien ”vit“ est sa filtration naturelle, i.e. Ft = σ{Bs , s ≤ t}. Si (Xt , t ≥ 0)
est un processus Ft -adapté cela signifie que si je connais la trajectoire du
Brownien jusqu’au temps t alors je connais la valeur de Xt .
Si Xt est Ft adapté
R T 2et continu à gauche Xt est prévisible. Si le processus
Xt est tel que E( 0 Xs ds) < +∞ alors on peut définir l’intégrale d’Itô
Z t
Xs dBs , 0 ≤ t ≤ T.
0
Rt
L’intégrale d’Itô t 7→ 0 Xs dBs est elle même une martingale.
Si le processus Xt est adapté et continu à gauche, mais que l’on suppose
simplement que
Z
T
Xs2 ds < +∞
0
presque surement, on peut Rtoujours construire l’intégrale d’Itô (c’est plus
t
difficile !), le processus t 7→ 0 Xs dBs n’est plus nécessment une martingale
(c’est une martingale locale).
On a les propriétés suivantes :
Rt
(X)
- Mt := 0 Xs dBs est une martingale
RT
Rt
(X)
- si E( 0 Xs2 ds) < +∞ on a E((Mt )2 ) = E( 0 Xs2 ds) (formule d’isométrie
de Itô).
2
• L’intégrale d’Itô est une application linéaire de l’espace des processus L2 dans l’espace des processus Gaussiens i.e. pour a ∈ R on a
M (aX+Y ) = aM (X) + M (Y ) .
Processus d’Itô
On appelle processus d’Itô un processus (Xt , 0 ≤ t ≤ T ) tel que presque
sûrement
Z t
Z t
Ks ds +
Hs dBs
∀t ≤ T : Xt = X0
0
0
RT
où K et H sont des processus adaptés tels que 0 |Ks |ds < +∞ p.s. et
RT
2
0 |Hs | ds < +∞ ps. La décomposition ci-dessus d’un processus d’Itô est
unique.
Rt
RT
Proposition 2. Soit Mt une martingale telle que Mt = 0 Ks ds avec 0 |Ks |ds <
+∞ p.s., alors p.s.
∀t ≤ T, Mt = 0.
Formule d’Itô
Si X est un processus d’Itô
Z
Xt = X0 +
t
Z
Ks ds +
0
t
Hs dBs
0
et f une fonction deux fois continûment différentiable, on a
Z t
Z
1 t 00
0
f (Xt ) = f (X0 ) +
f (Xs )dXs +
f (Xs )d < X, X >s
2 0
0
où par définition
Z
< X, X >t =
t
Hs2 ds
0
et
Z
t
0
Z
f (Xs )dXs =
0
t
Z
0
f (Xs )Ks ds +
0
t
f 0 (Xs )Hs dBs .
0
De même si (t, x) 7→ f (t, x) est deux fois continument dérivable par
rapport à x et une fois par rapport à t on a
Z t
Z t
∂f
∂f
f (t, Xt ) =f (0, X0 ) +
(s, Xs )ds +
(s, Xs )dXs
0 ∂x
0 ∂t
Z
1 t ∂2f
+
(s, Bs )dhX, Xis
2 0 ∂x2
3
Formule d’intégration par partie
Si X et Y sont deux processus d’Itô
Z t
Z t
Xt = X0 +
Ks ds +
Hs dBs
0
et
t
Z
Yt = Y0 +
0
Ks0 ds
+
0
alors
Hs0 dBs
0
t
Z
Xt Yt = X0 Y0 +
t
Z
Z
t
Ys dXs + hX, Y it
Xs dYs +
0
0
où par définition
Z
hX, Y it =
t
Hs Hs0 ds.
0
Cas multidimensionnel
Cette formule se généralise au cas multidimensionnel comme suit : On
appelle mouvement Brownien p-dimensionnel un processus à valeur dans
Rp ; Wt = (Wt1 , . . . , Wtp ) tel que les (Wti )t≥0 sont des mouvements Browniens
standards indépendants.
On dit que X est un processus d’Itô si
Z t
p Z t
X
Xt = X0 +
Ks ds +
Hsj dWsj .
0
0
j=1
Soient (Xt1 , . . . , Xtn ) n processus d’Itô :
Z t
p Z t
X
Xti = X0i +
Ksi ds +
Hsi,j dWsj .
0
j=1
0
Alors, si f ∈ Cb1,2 on a
f (t, Xt1 , . . . , Xtn )
=f (0, X01 , . . . , X0n )
Z
+
0
n Z
X
t
∂f
(s, Xs1 , . . . , Xsn )ds
∂t
t
∂f
(s, Xs1 , . . . , Xsn )dXsi
∂xi
0
i=1
n Z
1 X t ∂2f
+
(s, Bs )dhX i , X j is
2
0 ∂xi ∂xj
+
i,j+1
où par définition dhX i , X j it =
Je ne rappel pas
Pp
i,m j,m
m=1 Ht Ht dt.
4
• Le Théorème d’Itô (existence et unicité des solutions d’EDS)
• Les EDS à valeurs vectorielles
• la propriété de Markov des solutions d’EDS
• ...
Example 3. Utilisez la formule d’Itô pour calculer E(Wt6 ).
solution : On pose Zt = Wt6 on a (par Itô)
dZt = 6Wt5 dWt 15Wt4 dt
et Z0 = 0. Sous forme intégrale
Z t
Z t
Zt − Z0 =
6Ws5 dWs +
15Ws4 ds
0
0
en passant à l’espérance l’intégrale stochastique disparait (car c’est une martingale) et
Z t
E(Zt ) =
15E(Ws4 )ds
0
on peut calculer
E(Ws4 )
3s2
=
et donc
E(Wt6 ) = 15t3 .
Example 4. Calculez la moyenne et la variance de Yt =
Rt
solution : Par Fubini :
Z t
Z t
E(Yt ) = E( Ws ds) =
E(Ws )ds = 0
0
0
Il est plus difiicile de calculer E(Yt2 ).
Z
Yt =
t
Z t Z
Ws ds =
s
dWu ds
0
0
o
on peut appliquer “Fubini stochastqiue”
Z t
Z t
Z t
=
dWs
dr =
(t − s)dWs
0
s
0
5
0
Ws ds
Par l’isométrie d’Itô on a donc E(Yt2 ) = 13 t3 .
Girsanov et théorème de représentation
On a encore besoin de deux outils mathématiques cruciaux pour les
applications en finance. Soit (Ω, A, P ) un espace probabilisé. Une autre
probabilité Q sur (Ω, A) est dite absolument continue par rapport à P si :
∀A ∈ A : P (A) = 0 ⇒ Q(A) = 0.
Ceci est équivalent à l’existence d’une variable positive ou nulle Z sur (Ω, A)
telle que
Z
∀A ∈ A : Q(A) =
Z(ω)dP (ω).
A
Z est appelé densité de Q par rapport à P et parfois noté dQ
dP .
Soit maintenant (Ω, F, (Ft )0≤t≤T , P ) un espace probabilisé filtré dont la
filtration (Ft )0≤t≤T est la filtration naturelle d’un mouvement Brownien Bt
RT
porté sur cet espace. Soit θt un processus adapté vérifiant 0 θs2 ds < ∞ p.s.
et tel que le processus
Z t
Z
1 t 2
Lt = exp −
θs dBs −
θs ds
2 0
0
est une martingale. Alors sous la probabilité P (L) de densité LT par rapport
à P , le processus
Z
t
Wt := Bt +
θs ds
0
est un mouvement Brownien standard (c’est une version du théorème de
Girsanov). Une CS pour que Lt soit bien une martingale est que
1
E(exp(
2
Z
T
θt2 dt)) < ∞;
0
Le théorème de représentation affirme que si (Mt )0≤t≤T est une martingale de carré intégrable par rapport
(Ft )0≤t≤T alors il existe
R à la filtration
T
un processus Ht adapté tel que E 0 Hs2 ds < ∞ et :
Z
∀t ∈ [0, T ], Mt = M0 +
Hs dBs , p.s.
0
6
T
Example 5. Résoudre
dXt = Xt3 dt − Xt2 dWt .
Solution : Si Xt = f (t, Wt ) alors
1
dXt = ft0 (t, Wt )dt + fx0 (t, Wt )dWt + f 00 (t, Wt = dt
2
et en substituant
dXt = f (t, Wt )3 dt − f (t, Wt )2 dWt
par unicité du développement d’Itô on a égalité des coéficients
−f (t, Wt )2 = fx0 (t, Wt )
et
1
ft0 (t, Wt ) + f 00 (t, Wt ) = f (t, Wt )3 .
2
On a donc f (t, x) =
1
c+c
et avec la condition initiale
Xt =
1
1 + Wt
qui explose en temps fini.
2.2
Rappels sur le modèle de Black-Scholes
2.2.1
Le modèle
L’incertitude sur les marchés financiers est modélisée par un espace de probabilité (Ω, F, P) muni d’une filtration F = (Ft )t≥0 où
- Ω représente tous les états du monde (i.e. toutes les trajectoires possibles des prix des actifs)
- la tribu F représente la structure d’information globale disponible sur
le marché tandis que la filtration Ft représente l’information disponible
au temps t (et qui est bien croissante puisque l’on n’oublit pas le passé).
- Une probabilité P qui donne une probabilité a priori aux évènements,
dite probabilité historiue ou objective.
7
Supposons pour l’instant que l’on a un marché composé d’un actif sans
risque St0 et d’un actif risqué St . L’actif sans risque est simplement le cash
c’est à dire la valeur d’une unité de monnaie capitalisée au jour le jour par
la banque. On note r le taux d’intérêt au jour le jour, supposé constant,
pour un placement entre t et t + dt. L’évolution de S 0 est donc
dSt0 = rSt0 dt, S00 = 1
qui se résout en St0 = ert .
Le modèle de Black-Scholes spécifie une dynamique pour l’actif risqué
qui est la suivante
dSt = St (µdt + σdBt ).
Cette équation a une solution explicite
St = S0 exp(µt −
σ2
t + σBt ).
2
Cette formule peut s’obtennir par deux méthodes : soit en appliquant la
formule d’Itô à la fonction St = f (t, Wt ) où f est la fonction C 2 qui apparait
ci-dessus pour montrer que f (t, Wt ) satisfait bien l’EDS annoncée puis à
conclure par unicité de la solution à l’EDS à coefficients Lipschitziens. La
seconde méthode consiste à appliquer la formule d’Itô à Yt = log St sur ]0, τ [
ou τ = inf{t : St = 0} et à remarquer ensuite que τ = ∞. La distribution de
St est appelée lognormale de paramètre µ et σ 2 ou que S suit un Brownien
géométrique.
exercise : Montrer que
Z
t
dSu
E
= µt
0 Su
Z t
dSu
= σ2t
Var
S
u
0
et commenter.
On parle de modèle de Black Scholes multidimensionnel avec d actifs
risqués et un Brownien multidimensionnel si la dynamique des actifs est
donnée par


n
X
σ ij dWtj 
dSti = Sti µi dt +
j=1
où W 1 , . . . , W n sont n mouvements Browniens indépendants. Le vecteur µ
dans Rd de composantes µi est le vecteur des taux de rendements des actifs
8
et la matrice σ = (σ ij ) de dimension d × n est la matrice des volatilités.
On peut aussi considérer des modèles où µ et σ sont déterministe mais
dépendent du temps µ(t) et σ(t), ou bien encore les faire dépendre du cours
du sous-jacent µ(t, s) et σ(t, s) (on parle alors de modèles de diffusion avec
volatilité locale) ou encore µ et σ peuvent des processus stochastique (et
l’on parle dans ce cas de processus d’Itô).
2.2.2
Portefeuille autofinançant et stratégies
Une stratégie est un processus Φ = (Φt )0≤t≤T = ((Ht0 , Ht )) a valeur dans
R2 adapté à la filtration naturelle du mouvement Brownien. Ht0 et Ht sont
les quantités détenues à l’instant t d’actif sans risque et d’actif risqué. La
valeur du portefeuille (i.e. de la stratégie) est donnée par
Vt (Φ) = Ht0 St0 + Ht St .
Une stratégie autofinancée est une stratégie Φ telle que
RT
RT
1. 0 |Ht0 |dt + 0 Ht2 dt < ∞ p.s.
Rt
Rt
2. Vt (Φ) = V0 (Φ) + 0 Hu0 dSu0 + 0 Hu dSu p.s. pour tout t ∈ [0, T ]
On note S̃t = e−rt St le prix actualisé de l’actif risqué. Plus généralement
on met un tilde pour désigner les processus actualisés.
Exercice: La condition d’autofinancement pour la valeur actualisée s’écrit
dṼt (Φ) = Ht dS̃t .
(1)
On suppose parfois que le taux sans risque r n’est pas constant et on
modélise
le taux par un processus prévisible (rt )t≥0 Dans ce cas on a St0 =
Rt
e 0 rs ds et le facteur d’actualisation est
βt = 1/St0 = e−
Rt
0
rs ds
i.e. on a S̃t = βt St . On suppose simplement que
sup |rt | < ∞, P − p.s.
t∈[0,T ]
9
2.2.3
Arbitrage et Probabilité risque-neutre
Définition 2. Une opportunité d’arbitrage sur [0, T ] est une stratégie autofinançante Φ dont la valeur V (Φ) vérifie
(i) V0 (Φ) = 0
(ii) VT (Φ) ≥ 0
(iii) P(VT (Φ) > 0) > 0.
Même dans des modèles très simples il est claire que si l’on ne restreint
pas l’ensemble des stratégies possibles il existe des opportunités d’arbitrages.
Par exemple si l’on considère le marché avec S 0 ≡ 0 et un actif risqué
St = Wt , que l’on pose τx =∈ {t : Wt = x} (temps d’arrêt du premier temps
d’atteinte de x) et que l’on choisit la stratégie en actif risqué Ht = 1[0,τx ] (t)
alors partant d’une richesse initiale nulle V0 = 0 la valeur de ce portefeuille
est Vt = Wt∧τx qui tends vers x > 0 pour un horizon infini.
On est donc amené à faire des hypothèses supplémentaires d’intégrabilité
sur les stratégies (on se restreint aux stratégies dites admissibles) pour garentir l’AOA. (hypothèses de type carré intégrable ou encore stratégies qui
assurent une valeur de richesse toujours bornée inférieurement).
Définition 3. Une probabilité Q est appelée probabilité risque neutre ou
probabilité martingale si Q est équivalente à P et si le prix actualisé S̃t est
une martingale sous Q.
Theorem 6. On a équivalence entre AOA et existence d’une mesure martingale.
Dans le cas du modèle de Black Scholes (où il y a bien AOA en se
restreignant aux stratégies admissibles) on peut expliciter la mesure risque
neutre.
Définition 4. Les stratégies admissibles sont celles qui font de leur valeur
actualisée des martinagles sous Q.
Remarque : Dans le modèle de Black Scholes la dynamique de la richesse
actualisée Ṽ d’un portefeuille autofinançant de stratégie H = (H 1 , H 2 , . . . , H n )
(think n = 1) est
dṼt = Ht σ S̃t dWt
une condition suffisante pour être une martingale est donc
Z T
Q
2
E
(Ht σ S̃t ) dt < ∞.
0
10
Le théorème de Girsanov permet de montrer qu’il existe une probabilité
Q équivalent à P sous laquelle le prix actualisé S̃t est une martingale, et
plus précisément
dS̃t = S̃t σdWt
t
où Wt est un MB standard sous Q. Il suffit de prendre θt = µ−r
dans le
σ
théorème de Girsanov (le changement de probabilité est donc explicite).
Ce qu’il faut retenir c’est donc que sous la probabilité risque-neutre Q on a
dS̃t /S̃t = σdWt , dSt /St = rdt + σdWt
ou encore
S̃t = S̃0 exp(σWt − σ 2 t/2), St = S0 exp(σWt + (r − σ 2 /2)t).
2.2.4
Evaluation et couverture d’options
Une option est simplement une variable h, FT -mesurable et intégrable (EQ (h) <
∞) et qui représente le payoff (ou valeur terminale
Rde l’action. Par exemple
T
pour une
h = (ST − K)+ dans le cas du call ou h = T1 0 St dt − K
+
option asiatique.
On dit qu’une option h est réplicable s’il existe une stratégie autofinacée
Φ telle que p.s. VT (Φ) = h i.e. s’il existe une stratégie autofiancée dont la
valeur à l’instant T réplique exactement le payoff de l’option.
Si tous les actifs contingents sont réplicables on dit que le marché est
complet. Le théorème suivant est connu comme le second théorème fondamental de la finance :
Theorem 7. Marché complet = unicité de la msesure martingale.
Theorem 8. Soit h ∈ Ft une option (i.e. EQ (H 2 ) < ∞.) Alors h est
replicable et la valeur du portefeuille de réplication (et donc de l’option) à
tout temps t est donné par
Vt = EQ [e−r(T −t) h|Ft ]
et en particulier
V0 = EQ (h̃).
L’existence de la stratégie de réplication est une conséquence du théorème
de représentation.
11
Ce théorème de donne pas la stratégie de replication Φ, il affirme juste
qu’elle existe. Comment trouver cette stratégie ? On applique la recette
suivante en trois étapes :
1. On trouve la mesure risque neutre Q sous laquelle S̃t est une martingale
2. Comme Ṽt = e−rt VRt on a par autofinancement que Ṽt =
t
EQ [e−rT h|Ft ] = V0 + 0 ∆u dS̃u où ∆ est une certaine stratégie inconnue.
3. On trouve le processus prévisible ∆ tel que d : tildeVt = ∆t dS̃t .
La stratégie de couverture pour la vente d’une option h est alors de détenire
une quantité ∆t d’actif risqué à chaque instant.
2.3
Approche par EDP (cas Européen)
Dans le modèle de Black Scholes:
dSt /St = µdt + σdWt .
Supposons que l’on cherche à calculer le prix d’un actif contingent h(ST )
(européen donc), et que l’on suppose que le prix est de la forme Vt = v(t, S −
t) avec v suffisemment régulière pour pouvoir appliquer la formule d’Itô. On
a
∂v
∂2v
∂v
1
∂v
dv(t, St ) =
(t, St ) + bSt (t, St ) + σ 2 St2 2 (t, St ) dt+σSt (t, St )dWt
∂t
∂x
2
∂x
∂x
mais d’autre part comme v(t, St ) est la valeur d’un portefeuille autofinançant
on a
dv(t, St ) = rv(t, St )dt + Ht (−rSt dt + dSt )
et en identifiant les termes en dt et dWt on obtient
∂v
(t, St ) = Ht
∂x
et
∂v
∂v
1
∂2v
∂v
(t, St ) + bSt (t, St ) + σ 2 St2 2 (t, St ) = rv(t, St ) +
(t, St )St (b − r)
∂t
∂x
2
∂x
∂x
on voit que v doit satisfaire
∂v
∂v
1
∂2v
(t, x) + rx (t, x) + σ 2 x2 2 (t, x) − rv(t, x) = 0
∂t
∂x
2
∂x
12
(2)
avec condition terminale
v(T, x) = h(x), x > 0.
Theorem 9. Supposons qu’il existe une solution régulière v(t, x) au problème
de Cauchy (??), alors le flux h(St ) est réplicable par un portefeuille de valeur
∂v
v(t, St ) et de couverture Ht = ∂x
(t, St ) à la date t.
2.4
Valorisation risque-neutre (Cas des options Européennes
dans le modèle de Black-Scholes)
On dit qu’une option h est européenne si h = f (ST ) (ne dépend que du prix
à l’instant T ). Dans ce cas la formule ci-dessus devient
EQ [e−r(T −t) H|Ft ] = EQ [e−r(T −t) f (ST )|Ft ]
= EQ [e−r(T −t) f (St exp(σ(WT − Wt ) − σ 2 /2(T − t))|Ft ]
Z
2
1
− z
−r(T −t)
p
=e
f (St exp(σz − σ 2 /2(T − t)))e 2(T −t) dz
2π(T − t) R
où l’on a utilisé que sous Q, Wt est un mouvement Brownien standard.
On obtient en particulier la formule suivante pour le prix F (t, St ) au
temps t du call call (f (ST ) = (ST − K)+ ), on a
F (t, x) = xN (d1 ) − Ke−r(T −t) N (d2 )
où N est la fonction de répartition de la loi normale,
d1 =
x
log( K
) + (r + σ 2 /2)(T − t)
√
σ T −t
√
et d2 = d1 − σ T − t.
En outre, pour une option européenne le processus de hedge (ou de replication) ∆t est donné par
∆t =
∂F
(t, x)|x=St .
∂x
Dans le cas du call européen cela donne Φt = N (d1 ).
13
3
Feynman-Kac
On peut aussi exprimer le prix des options comme une solution d’EDP avec
condition aux bords grace au théorème de représentation de Feynman-Kac.
Theorem 10. Supposons que la fonction F résolve l’équation suivante
∂F
∂F
1
∂2F
(t, x) + µ(t, x)
(t, x) + σ 2 (t, x) 2 (t, x) = 0,
∂t
∂x
2
∂x
0≤t≤T
avec F (T, x) = h(x). On définit (Xt , 0 ≤ t ≤ T ) la solution de l’équation
différentielle
dXt = µ(t, x)dt + σ(t, Xt )dWt ,
0≤t≤T
où W est un mouvement Brownien standard. Si
Z T
∂F
E
σ(t, Xt )
(t, Xt )dt < ∞
∂x
0
alors
F (t, x) = E[h(XT )|Xt = x].
Si on note F (t, x) le prix de l’option européenne H = f (ST ) à t quand
St = x on a donc l’équation de Black et Scholes
∂F
∂F
1
∂2F
(t, x) + rx
(t, x) + σ 2 x2 2 (t, x) = rF (t, x),
∂t
∂x
2
∂x
0≤t≤T
avec F (T, x) = f (x).
3.1
Prix de calls : premières propriétés
• Par arbitrage
(x − Ke−r(T −t) )+ ≤ C(t, x, T, K) ≤ x
• puisque d1 (t, x, y) est croissant de x, le ∆ aussi. Le prix du call est
donc une fonction convexe du sous-jacent.
• C(t, λx, λK, T ) = λC(t, x, K, T )
• Quand le call est à la monnaie forward i.e. K = xer(T −t) on a
1 √
1 √
C(t, x, K, T ) = x N
σ T −t −N − σ T −t
2
2
√
≡ 0, 4xσ T − t
14
3.2
Sensibilités et Grecques
t=0
• Delta = ∆ :=
∂C
∂x
∂2C
∂x2
• Gamma = Γ :=
• Theta = Θ :=
• Vega = V :=
• Rho = ρ :=
•
∂C
∂K
∂C
∂T
∂C
∂σ
∂C
∂r
= N (d1 ) > 0
=
=
1√
n(d1 )
xσ T
xσ
√ n(d1 )
2 T
>0
+ rKe−rT N (d2 ) > 0
√
= x T n(d1 ) > 0
= KT e−rT N (d2 ) > 0
= −e−rT N (d2 ) < 0
Calculs à faire.
En notant que Θ ==
∂C
∂t
l’EDP de Balck Scholes devient
1 2 2
σ x Γ + rx∆ − rC − T heta = 0
2
et en notant que σ 2 x2 Γ = σV/(T − t) on obtient...
4
Exemples de valorisation d’options
4.1
Lookbacks et barrières
Premier exemple d’option dépendant de toute la trajctoire (path dependent).
On note
1. S∗ (t) = min{Su , 0 ≤ u ≤ t}
2. S ∗ (t) = max{Su , 0 ≤ u ≤ t}
Définition 5. Un Lookback call donne le droit à son détenteur d’acheter
une unité d’actif au prix minimum atteint jusqu’au temps T . Le payoff est
donc
CT = ST − S∗ (T )
Définition 6. Une option à barrière est une option qui est activée ou
désactivée si le cours de l’action franchi un certain seuil (à la hausse ou
à la baisse) au cours de sa vie. Il y a deux types principaux ;
15
1. knock-ins La barrière est up and in si l’option s’active lorsque la
barrière est franchie à la hausse. La barrière est down and in si
l’option s’active lorsque la barrière est franchie à la baisse
2. knock-outs La barrière est up and out si l’option est désactivée
lorsque la barrière est franchie à la hausse. La barrière est down and
out si l’option est désactactivée lorsque la barrière est franchie à la
baisse
Example 11. un call down and in paye (ST − K)+ seulement si le prix
passe sous un niveau c avant le temps T , et 0 sinon. Le payoff est donc
CT = 1S∗ (T )≤c (ST − K)+
Solution : Comme toujours la valeur à la date 0 peut s’écrire comme
V0 = e−rT EQ [CT ]. Pour évaluer cette espérance il nous faut connaitr la
distribution jointe de ST et de S∗ (T ) sous Q. (vu en cours de calcul sto ?)
Grace au principe de réflexion on vu que que la loi jointe d’un MB Wt
et de son maximum Mt = max0≤s≤t Ws on a
2a − x
P[Mt ≥ a, Wt ≤ x] = 1 − N ( √ )
t
Par symétrie et en écivant mt = min0≤s≤t Ws
P[mt ≤ a, Wt ≥ x] = 1 − N (
−2a + x
√
).
t
ou en différentiant si a < 0 et x ≥ a
P[mT ≤ a, WT ∈ dx] = pT (0, −2a + x)dx = pT (2a, x)dx
1
où pt (x, y) = √2πt
exp(−|x − y|2 /2t).
Comme toujours sous la probabilité P le prix St est donné par
St = S0 exp(νt + σWt ).
Si ν = 0 alors comme S∗ (t) = S0 exp(σmt ) on peut déduite la loi jointe de
(ST , S∗ (T )) de celle de WT , mT .
En général ν 6= 0 ni sous P ni sous Q. Notre stratégie va donc consister
à utiliser Girsanov pour se ramener au cas ν = 0.
16
Lemma 12. Soit Yt = bt + Xt où b est une constante et Xt est un Q
mouvement Brownien. En écrivant Y∗ (t) = min{Yu , 0 ≤ u ≤ t} on a
pT (bT, x)dx
si x < a
Q[Y∗ (T ) ≤ a, YT ∈ dx] =
e2ab pT (2a + bT, x) si x ≥ a
où, comme ci-dessus pt est la fonction de transition du Brownien.
Proof. Par Girsanov ∃P equivalent to Q sous laquelle Y est un MB et
dP
1
|FT = exp(−bXT − b2 T )
dQ
2
Ne dépend que de XT ! La Q probabilité de l’évènement [Y∗ (T ) ≤ a, YT ∈ dx]
est la P probabilité de cet évènement multipliée par dQ
dP |FT évaluée à YT = x.
On a
1
1
dP
|FT = exp(bXT + b2 T ) = exp(bYT − b2 T )
dQ
2
2
et donc pour a < 0 et x ≥ a
1
Q[Y∗ (T ) ≤ a, YT ∈ dx] = P[Y∗ (T ) ≤ a, YT ∈ dx] exp(bx − b2 T )
2
1 2
= pT (2a, x) exp(bx − b T )dx
2
2ab
e pT (2a + bT, x)dx
(3)
Evidemment pour x ≤ a, {Y∗ (T =≤ a, YT ∈ dx} = {YT ∈ dx} et donc
pour x ≤ a
Q[Y∗ (T ) ≤ a, YT ∈ dx] = Q[YT ∈ dx]
= Q(bT + XT ∈ dx)
pT (bT, x)dx
ce qui fini la preuve.
Il suffit différentier (3) par rapport à a pour obtenir quand a < 0
Q[Y∗ (T ) ∈ da, YT ∈ dx] =
2e2ab
|x − 2a|pT (2a + bT, x)dxda pour x ≥ a.
T
Sous la mesure martingale Q on a St = S0 exp(σYt ) où
1
Yt = (r − σ 2 )tσ + Xt
2
17
où Xt est un Q mouvelent Brownien. On applique ce résultat avec b =
(r − 12 σ 2 )σ on peut valuer toute option qui dépend simplement de ST et de
S∗ (T ) (resp. S ∗ (T ) ). Notons CT = g(S∗ (T ), ST ) le payoff, on a
V (0, S0 ) = e−rT EQ (g(ST , S∗ (T )))
Z 0
Z ∞
−rT
g(S0 eσx , S0 eσa )Q[Y∗ (T ) ∈ da, YT ∈ dx]
=e
a=−∞
x=a
Example 13. Trouver le prix à t = 0 d’un call down and in dont le payoff
au temps T est
CT = 1S∗ (T )≤c (ST − K)+
où c ≤ K est une constante fixée.
Solution : En utilisant St = S0 exp(σYt ) on réécrit le payoff comme
CT = 1{Y∗ (T )≤ 1 log(c/S0 )} (S0 eσYT − K)+ .
σ
En écrivant b = (r − 21 σ 2 )/σ, a = σ1 log(c/S0 ) et x0 = σ1 log(K/S0 ) on obtient
Z ∞
−rT
(S0 eσx − K)Q(Y∗ (T ) ≤ a, YT ∈ dx).
V (0, S0 ) = e
x0
En utilisant l’expression pour la distribution jointe de (Y∗ (T ), YT ) obtenue
ci-dessus donne
Z ∞
−rT
(S0 eσx − K)e2ab pT (2a + bT, x)dx.
V (0, S0 ) = e
x0
On a utilisé le fait que comme c < K, x0 ≥ a. On observe que
Z ∞
Z ∞
1 −y2 /2
e−rT
Ke2ab pT (2a + bT, x)dx = e−rT Ke2ab
e
dy
√ √
2π
x0
(x0 −2a−bT )/ T
Z (2a+bT −x0 )/√T
1
2
−rT
2ab
√ e−y /2 dy
=e
Ke
2π
−∞
2r2 −1 c σ
2a + bT − x0
−rT
√
= Ke
Φ
S0
T
!
2r2 −1
log(F/K) − 12 σ 2 T
c σ
−rT
√
= Ke
Φ
S0
σ T
18
où F = erT c2 /S0 . De même
Z ∞
Z ∞
1
(x − (2a + bT ))2 − 2σxT
√
S0 e2ab pT (2a + bT, x)dx = S0 e−rT e2ab
e−rT
exp −
dx
2T
2πT
x0
x0
Z ∞
1 −y2 /2
−rT 2ab
e
dy
= S0 e
e
√ √
2π
(x0 −(2a+bT )−σT )/ T
1
× exp( σ 2 T + 2aσ + bσT )
2
= e−rT
c
S0
2r2 −1
σ
FΦ
log(F/K) + 12 σ 2 T
√
σ T
En comparant avec les formules de B&S pour un call européen on voit
que si on note C(x, t; K, T ) le prix au temps t d’un call européen de strike
K et de maturité T dont le sous-jacent vaut x au temps t on a
V (0, S0 ) =
c
S0
2r2 −1
σ
C(
c2
, 0; K, T )
S0
On peut aussi exprimer le prix d’une option barrière comme la solution
d’une EDP.
Exemple Un down and out call a le même payoff (ST − K)+ qu’un call
européen sauf si durant sa vie le cours du sous-jacent tombe sous une barrière
pré-spécifiée c auquel cas le call est “knocked-out” et vaut 0. Si on écrit
V (t, x) pour la valeur de ce call au temps t si St = x, et en supposant que
> c, V (t, x) résout l’équation de B&S pour (t, x) ∈ [0, T ] × [c, ∞) sujet aux
conditions aux frontières
V (T, ST ) = (ST − K)+
V (t, c) = 0, t ∈ [0, T ]
V (t, x)
→ 1, quand x → ∞.
x
La dernière condition de bord vient de ce que quand St → ∞ la probabilité que le prix de l’actif touche c avant T tend vers 0.
19
!
4.2
Options asiatiques
4.3
Options à choix
4.4
Options futures : formule de Black
4.5
Option puissance
4.6
Option digitale
On se place dans le cadre du modèle de Balck et Scholes. St0 = ert et St
un MB géométrique. On a donc toutes les formules habituelles pour le prix
d’une option Européenne, en particulier
Vt = F (t, St ) = EQ [e−r(T −t) f (ST )|Ft ]
Z
√
−r(T −t)
f (St exp((r − σ 2 /2)θ + σy θ))(2π)−1/2 exp(−y 2 /2)dy
=e
et on peut répliquer avec ∆t = ∂F
∂x (t, x)|x=St .
Comme on va le voir en examinant l’exemple suivant ce n’est pas tout à
fait suffisant si on s’intéresse à des payoff discontinus.
Example 14.
CT =
1, ST ≥ K
0, ST < K
Prix et hedge ?
On voit que
√
ST ≥ K ⇔ St exp((r − σ 2 /2)θ + σy θ) ≥ K
ce qui se réécrit y ≥ d où
d=
ln SKt − (r − σ 2 /2)θ
√
σ θ
et on obtient
Vt = e−rθ N (−d) = e−rθ N (d2 )
avec
ln SKt + (r − σ 2 /2)θ
√
.
σ θ
Examinons maintenant le hedge. La formule donne
d2 =
1
Φt = e−rθ St−1 √
exp(−d22 /2)
σ 2πθ
20
2
√1
(on peut soit utiliser que ∂d
∂x = xσ T −t , soit la formule générale pour une
option européenne
#
"
r(T −t) , S t,x )
−d
(T
−
t,
xe
∂v
2
T
√
.
(t, x) = EQ e−r(T −t) h(STt,x
∂x
xσ T − t
)
Or quand t % T cette quantité convereg vers 1/K fois la masse de
Dirac concentrée sur ST = K. Examinons ce que ceci signifie pour le hedge
concrètement. Loin de St = K le hedge sera pratiquement nul. Mais si St
est proche de K la quantité d’actif risqué à détenir devient subitement très
grande. Le problème est que si le prix est proche de la maturité lorsque l’on
s’approche de l’expiration cette stratégie va nous obliger à acheter et vendre
rapidement de grande quantité d’actifs car le prix va franchir la barrière
K un grand nombre de fois. Le risque posé par ces petites oscillations est
connu comme le pin risk.
4.7
Option multi-stage
Certaines options permettent au détenteur de faire certains choix ou stipulent des conditions à des dates intermédiares avant l’échéance.
Afin d’illustre le principe de l’évaluation Black & Scholes de ces options
on analyse l’example d’une forward start.
Example 15. Une option “forward start” est un contrat dont le détenteur
reçoit à la date T0 une option de maturité T1 > T0 et de strike ST0 .
Solution : On commence par supposer t ∈ [T0 , T1 . Dans ce cas onconnait
déjà ST0 et donc on a
Vt = e−rθ EQ [(ST1 − ST0 )+ |Ft ]
et en particulier à la date T0 on a
VT0 = ST0 (N (d1 ) − e−r(T1 −T0 ) N (d2 ))
avec
d1 =
(r + σ 2 /2)(T1 − T0 )
√
σ T1 − T0
√
et d2 = d1 − σ T1 − T0 . On a donc VT0 = cST0 où c = c(r, σ, T0 , T1 ) ne
dépend pas du prix de l’actif. Par réplication, le prix entre 0 et T0 est donc
cSt .
La procédure pour l’évaluation des options multistage est donc :
21
1. trouver le payoff au temps T1
2. Utiliser B&S pour le prix pour t ∈ [T0 , T1 ]
3. Appliquer la condition du contrat au temps T0
4. Utiliser B&S pour le prix pour t ∈ [0, T0 ]
On analyse deux exemples supplémentaires
Example 16. (Ratio derivative) Payoff à T1 est ST1 /ST0 . Prix ?
Solution : Pour t ∈ [T0 , T1 ] on a
Vt =
1 Q −r(T1 −t)
E [e
ST1 |Ft ]
ST0
ce qui donne
Vt = St /ST0
et en particulier VT0 = 1. Evidemment pour t ≤ T0 on a Vt = e−r(T0 −t) .
Les options compound ou composées sont plus complexes. Il s’agit d’options
sur options, des options pour lesquelles le sous-jacent lui même est une option. On a 4 types d’options composées : call on call, call on put, put on
call , put on put.
Example 17. (call on call) Pour le call on call on a deux strikes, K0 et
K1 , deux maturités T0 < T1 . Le sous-jacent est le call de maturité T1 et de
strike K1 . Valeur pour t ≤ T0 .
Solution : La valeur du call sous-jacent à l’instant T0 est donné par la
formule de B&S
C(ST0 , T0 , T1 , K1 ) = ST0 N (d1 ) − K0 e−r(T1 −T0 ) N (d2 )
où
d1 = d1 (ST0 , T1 − T0 , K1 ) =
et d2 = d1 − σ
donc
ln
ST0
K1
− (r + σ 2 /2)(T1 − T0 )
p
σ (T1 − T0 )
p
(T1 − T0 ). La valeur de l’option compound au temps T0 est
V (T0 , ST0 ) = (C(ST0 , T0 , T1 , K1 ) − K0 )+ .
On applique B&S à nouveau. Pour t < T0 on a
V (t, St ) = e−r(T0 −t) EQ [(C(ST0 , T0 , T1 , K1 ) − K0 )+ |FtS ]
22
En utilisant que
ST0 = St exp(σZ
p
T0 − t + (r − σ 2 /2)(T0 − t))
où sous Q, Z ∼ N (0, 1) on obtient une expression en terme de la fonction de
répartition d’une variable normale deux-dimensionelle.
on écrit
p
1
f (y) = S0 exp(σy T0 − t + (r − σ 2 )(T0 − t))
2
et on définit x0 implicitement par
x0 = inf{y ∈ R : C(f (y), T0 , K1 , T1 ) ≥ K0 }.
On a
ln(
p
1
S0
f (y)
) = ln(
) + σy T0 − t + (r − σ 2 )(T0 − t)
K1
K1
2
et en écrivant
dˆ1 (y) =
S0
ln K
+ σy
1
et
dˆ2 (y) =
p
(T0 − t) + rT1 − σ 2 T0 + 12 σ 2 T1
p
σ (T1 − T0 )
S0
ln K
+ σy
1
p
(T0 − t) + rT1 − 12 σ 2 T1
p
σ (T1 − T0 )
on obtient
Vt = e
−r(T0 −t)
Z
∞
x0
4.8
5
1
2
(f (y)N (dˆ1 (y))−K0 e−r(T1 −T0 ) N (dˆ2 (y))−K0 ) √ e−y /2 dy.
2π
Volatilité de l’option
Changements de numéraires
Lorsqu’il y a plusieurs actifs sous-jacents ou encore si les taux d’intérêt sont
aléatoires il existe des astuces de calcul : c’est la méthode du changement
de numéraire qui consiste à choisir de façon astucieuse l’unité de mesure.
Ex : prix en Euros, quand on actualise par le cash c’est le cash qui est le
numéraire.
De manière générale on définit un numéraire N comme un processus
adapté strictement positif. Les exemples courants dans les applications de
modèles de marchés où existent comme titres de base le cash, les zéroscoupons et des actifs risqués sont :
23
1. le cash S 0 i.e. la valeur obtenue en investissant une unité monétaire
continument au taux d’intérêt rt
Z t
0
St = exp
rs ds .
0
2. Le ZC de maturité T qui est le contrat qui verse une unité monétaire
en T son prix à la date t est noté B(t, T ). Notons que B(T, T ) = 1.
RT
Lorsque les taux d’intérêt sont déterministes on a B(t, T ) = exp(− t r(s)ds) =
St0 /ST0 . Dans le cas de taux aléatoires les ZC et le cash sont des instruments financiers distincts.
3. Un des actifs risqués S i .
Jusqu’à présent nous avons utilisé le cash comme numéraire et définit la
probabilité martingale Q0 associée. i.e. celle sous laquelle les prix actalisés
S i /S 0 sont des martingales. En marché complet nous avions alors obtenu
la règle d’évaluation risque neutre : pour tout actif contingent HT sont prix
d’arbitrage à la date 0 est donné par
HT
0
Π0 = EQ
ST0
le résultat suivant montre que la notion de mesure risque neutre est invariante par changement de numéraire.
Theorem 18. Soit N un numéraire choisi parmi les titres de base. Alors il
existe une probabilité QN équivalente à P sous laquelle les prix X des actifs
de base actualisés par ce numéraire sont des QN -martingales. Sa densité de
RAdon-Nykodim par rapport à Q0 est
dQN
NT
=
.
0
dQ
N0 ST0
En outre on a la formule de changement de numéraire pour la règle d’évaluation
risque neutre: pour tout actif contingent HT en marché complet sont prix
d’arbitrage est
QN HT
Q0 HT
Π0 = E
= N0 E
.
NT
ST0
La preuve repose sur le la formule de Bayes conditionelle que nous rappelons.
24
Lemma 19. (Formule de BAyes) Soit Q << P sur (Ω, Ft ) de densité de
Radon-Nikodym dQ/dP et notons (Zt ) la P-martingale :
dQ
Zt = E
|Ft , 0 ≤ t ≤ T
dP
Alors pour tout 0 ≤ s ≤ t ≤ T pour toute variable Xt Ft mesurable Qintégrable on a :
EQ [Xt |Fs ] = E[Zt Xt /Zs |Fs ]
Proof.
Preuve du Théorème
Lorsque l’on utilise le ZC B(t, T ) comme numéraire, la probabilité correspondante s’appelle probabilité T -forwad neutre et est notée QT (dans le
cas de taux déterministe on a QT = Q0 ). Par définition de QT on voit que
le prix forward du sous jacent S pour la date future T est
St
ST
T
S
QT
F (t, T ) =
=E
|Ft = EQ [ST |Ft ] .
B(t, T )
B(T, T )
Le processus F S (t, T ) est donc une QT martingale de valeur finale ST .
5.1
Application 1 : call européen
Considérons un call européen de maturité T et de strike K et de sous-jacent
S. En utilisant le numéraire ZC(T ) on voit que
T
C0 = B(0, T )E Q [(ST − K)+ ].
On introduit l’évènement A = {ST > K} et en utilsant B(T, T ) = 1 on a
T
C0 = B(0, T )EQ [ST 1A ] − KB(0, T )QT (A).
En utilisant le numéraire S pour calculer la première espérance on a
QT
QS ST 1A
= S0 QS (A).
B(0, T )E [ST 1A /(B(T, T )] = S0 E
ST
On en déduit
C0 = S0 QS (A) − KB(0, T )QT (A).
25
5.2
Application 2 : Option d’échange
Une option d’échange est une option qui donne le droit à son détenteur
d’échenger à la mturité T un actif risqué S 2 pour un autre noté S 1 . Le
payoff est donc (ST1 − ST2 )+ .
En utilisant le numéraire S 2 son prix d’arbitrage est
S2
S2
C0 = S02 EQ [(ST1 − ST2 )+ /ST2 ] = S02 EQ [(ST1 /ST2 − 1)+ ].
En introduisant l’évènement d’exercice A = {ST1 > ST2 } ce prix s’écrit encore
S2
2
C0 = S02 EQ [ST1 /ST2 1A ] − S02 QS (A).
En utilisant le numéraire S 1 pour calculer la première espérance il vient
S2
S1
1
S02 EQ [ST1 /ST2 1A ] = S01 EQ [ST1 /ST1 1A ] = S01 QS (A)
d’où
1
2
C0 = S01 QS (A) − S02 QS (A).
Considérons le cas
dSt1 = St1 (b1 dt + σ1 dWt1 )
dSt2 = St2 (b2 dt + σ2 dWt2 )
où W 1 et W 2 sont deux MBS indépendants (le cas correlé est laissé en
exercice). Pour calculer les deux probabilités dont nous avons besoin ci1
dessus nous allons établir la dynamique de I = S 1 /S 2 sous QS et sous
2
QS .
1
Sous QS on a que S 1 /S 1 = 1 et S 2 /S 1 sont des martingales. Or par
Itô, on a
1
1
1
dSt2 + St2 d( 1 ) + dhSt2 , 1 i
1
St
St
St
1
1
1
d(1/St1 ) = − 1 2 dSt1 + 1 3 dhSt1 i = − 1 [(b1 − σ12 )dt + σ1 dWt1 ]
(St )
(St )
St
d(St2 /St1 ) =
d’où
d(St2 /St1 ) =
St2
[(b2 − b1 + σ12 )dt − σ1 dWt1 + σ2 dWt2 ].
St1
1
Par Girsanov, la dynamique de J = S 2 /S 1 sous QS est donc
d(St2 /St1 ) =
St2
[−σ1 dŴt1 + σ2 dŴt2 ].
St1
26
1
où Ŵ1,2 sont des QS MB indépendants. Est ce qu’on peut donner la formule
? Semble qu’il y ait une indétermination Il faut que
dŴ1 = dW1 + θ1 dt
dŴ2 = dW2 + θ2 dt
où θ1 et θ2 sont choisis pour que θ1 +θ2 = b2 −b1 +σ12 . Les valeurs exactes de
θ1 et θ2 sont fixées par le fait qu’il faut aussi que S0 /S2 soit une martingale
2
sous QS .
1
Par la formule d’Itô on en déduit la dynamique de I = 1/J sous QS :
dIt = It [(σ12 + σ22 )dt − σ1 dŴt1 + σ2 dŴt2 ]
et donc
IT = I0 exp
1 2
σ T − σ1 ŴT1 + σ2 ŴT2
2
où σ 2 = σ12 + σ22 . On en déduit
1
1
QS (A) = QS (U < d1 )
√
où U = (σ1 ŴT1 −σ2 ŴT2 )/(σ T ) et d1 =
permet de conclure pour
5.3
2
ln(S01 /S02 )+ σ2 T
√
.
σ T
Un calcul symétrique
2
QS (A).
Application 3 : Option quanto
On s’intéresse à la valorisation d’option d’échange aussi appelées options
quanto. Pous simplifier on se restreint à deux marché : le marché domestique
et un marché étranger (par ex. le marché français ou les titres sont quotés
en Euros et le marché américain où les cours sont en dollars). On note X le
processus du taux de change où Xt est la valeur en Euros d’un dollar.
Chaque marché à sa règle d’arbitrage : on note Πd (HTd ) (resp. Πf (HTf )
) le prix d’arbitrage exprimé en monnaie domestique (resp. en monnaie
étrangère) d’un actif contingent de payoff exprimé en monnaie domestique
(rep. étrangère). Par exemple si rd (rf ) est le taux d’inéterêt domestique (étranger) et en notant Qd (resp Qf ) la mesure martingale domestique
(étrangère) etc..
d
Πdt (HTd ) = EQ [e − rd (T − t)HTd |Ft ]
et
d
Πft (HTf ) = EQ [e − rf (T − t)HTf |Ft ].
27
Pour éviter les arbitrages entre les deux économies il faut considérer
qu’un titre étranger converti en monnaie domestique est un titre domestique,
ceci entraı̂ne que
Πdt (XT HTf ) = Xt Πft (HTf ).
(4)
Option d’achat sur un actif étranger et stike en devise
Il s’agit de valoriser en monnaie domestique un flux de payoff (STf −K f )+
en monnaie étrangère. D’après (4) on a
C0d = Πd0 (XT (STf − K f )+ ) = Xt 0Πft ((STf − K f )+ ) = X0 C0f (S0f , K f , T ).
Option d’achat sur un actif étranger et stike en monnaie domestique
Cette option a un payoff en monnaie domestique qui s’écrit (XT STf −
K d )+ . De plus, d’après (4), le flux future XT STf a comme valeur présente en
monnaie domestique
Πdt (XT STf ) = Xt Πft (STf ) = Xt Stf .
Son prix est donc
C0 = Πd0 ((XT STf − K d )+ ) = C0d (X0 , S0f , K d , T )
Option d’achat sur devise
C’est un call de maturité T sur le taux de change X de strike K et donc
de payoff (XT − K)+ . C’est un cas particulier de l’option précédente quand
S f est un ZC B f (·, T ). Le prix est donc
C0 = C0d (X0 Bf (0, T ), K, T ).
5.4
Application 4 : Future sur devise
Deux marchés, domestique et foreign. Taux rd et rf sont constants et ZC
Bd (t, T ) et Bf (t, T ). Le taux de change suit
dXt = Xt (bdt + σdWt ).
On va retrouver dans ce cadre précis la formule donnée plus haut.
On veut trouver le prix le prix future de la devise étrangère en devise
domestique pour une date future T. Notons K le prix futur. Le payoff est
CT = XT − K.
28
Le problème est que le taux de change n’est pas directement négociable.
Plaçons nous du point de vus d’un investisseur domestique. Dans le marché
domestique ni le taux de change Xt ni le cash erf t = 1/B f (0, t) ne sont
négociables. En revanche le produit des deux St = Xt erf t peut être un actif
négociable en dollars.
Du point de vue de l’investisseur en domestique il y a donc en fait vraiment deux processus erd t et St .
Voici comment l’on réplique dans ce marché :
1. On trouve une mesure Q sous laquelle le processus actualisé (au taux
dollar) S̃t = B d (t, T )St est une martingale.
2. On considère le processus Mt = E Q [e−rd T CT |Ft ]
3. On trouve un processus adapté ∆t tel que dMt = ∆t dS̃t .
Comme St = X0 exp((b + rf )t + σWt ) est un mouvement Brownien
géométrique, on peut suivre ce programe. Le processus θ pour le changement
de proba est donné par
1
θ = (b + rf + σ 2 − r)/σ
2
et Lt = exp(−θWt − 21 θ2 t). Le processus Zt = Wt + θt est un MB sous la
nouvelle proba.
Solution : Notons K le prix futur.
Vt = E Q [e−rd (T −t) CT |Ft ]
= E Q [e−rd (T −t) (XT − K)|Ft ]
On doit choisir K de telle sore que V0 = 0. En d’autres termes
K = E Q (XT ).
En exprimant XT comme une fonction de Xt on obtient
1
XT = X0 exp(σZT − σ 2 T + (rd − Rf )T )
2
et donc
K = X0 e(rd −rf )T .
Calculons maintenant le portefeuille de hedge. Avec ce choix de prix
futur on a
Vt = E[e−r(T −t) (XT − X0 erd −rf )T |Ft ].
29
Comme XT = B f (0, T )/B d (0, T )S̃T sous Q on a
E(XT |Ft ) = e(rd −rf )(T −t) B f (0, T )/B d (0, T )E(S̃T |Ft ) = e(rd −rf )(T −t) B f (0, T )/B d (0, T )S̃t = e(rd −rf )
et donc
Vt = e−rf (T −t) Xt − erd t−rf T X0 = e−rf T (erf t − erd t X0 ).
On en déduit
Mt = e−rd t Vt = e−rf T S̃t − e−rf T X0 .
5.5
Application 5 : Formule de German-Kolhagen
Deux marchés, domestique et foreign. Taux rd et rf sont constants et ZC
Bd (t, T ) et Bf (t, T ). Le taux de change suit
dXt = Xt (bdt + σdWt ).
1. (a) En utilisant le principe de non arbitrage entre les deux marchés,
exprimer la dynamique de X et de XBf (·, T ) sous Qd
(b) en déduire que le call sur devise de payoff (XT − K)+ est un call
domestique sur l’actif XBf (·, T ) et calculer son prix.
2. (a) Soit FX (t, T ) le prix forward en t d’une unité de monnaie étrangère
délivrée en T en monnaie domestique appelée aussi prix forward
du change. Exprimer FX (t, T ) en fonction de rd , rf et X.
(b) Montrer que le prix du call sur devise de payoff (XT − K)+ est
C0 = erD T [FX (0, T )N (d1 ) − KN (d2 )]
où on explicitera d1 et d2 . Interpréter.
Correction : Notons Stf = erf t le processus de cash étranger. L’actif
XS f étant un actif domestique il doit être une martingale sous Qd une fois
actualisé par Std = erd t . Donc par Girsanov sous Qd :
d(Xt Stf ) = (Xt S − tf )(rd dt + σdŴtd )
où Ŵ d est un MB sous Qd . On en déduit immédiatement que
dXt = Xt ((rd − rf )dt + σdŴtd ).
30
Comme Bf (t, T ) = e−rf (T −t) on en déduit
d(Xt Bf (t, T )) = Xt Bf (t, T )(rd dt + σdŴtd ).
De plus comme (XT − K)+ = (XT Bf (T, T ) − K)+ on voit que le call sur
la devise est un call domestique sur le sous-jacent XBf (·, T ) et donc d’après
B&S
C0 = X0 Bf (0, T )N (d1 ) − Ke−rd T N (d2 )
√
où d1 = d1 (X0 Bf (0, T )erd T , K, 0, T, σ) et d2 = d1 − σ T .
Le prix spot en monnaie domestique de l’unité de monnaie étrangère
délivrée en T est Xt Bf (t, T ). Comme rd et rf sont constants on a
FX (t, T ) =
Bf (t, T )Xt
= e(rd −rf )(T −t) Xt .
Bd (t, T )
On remarque que X0 Bf (0, T ) = Bd (0, T )FX (0, T ) = e−rd T FX (0, T ). Le
prix du call s’écrit encore
C0 = e−rd T [FX (0, T )N (d1 ) − KN (d2 )]
avec d1 = d1 (FX (0, T ), K, 0, T, σ). Le call sur devise s’interprète comme un
call sur le prix forward du change.
5.6
Application 5 : Call géométrique
On consdère un emodèle de B&S bidimensionnel avec deux actions S 1 et S 2
dSti = Sti (rdt + σi dWti )
sous Q avec W 1 et W 2 deux MB indépendants sous Q. Soit une option de
payoff h(ST1 , ST2 ) = (ST1 ST2 − K)+ . On note STi,t,xi les solutions issues de xi
au temps t.
• En notant σ =
?
p
σ12 + σ22 que peut on dire du processus Wt =
• Exprimer ST1,t,x1 et ST2,t,x2 en fonction de W.
• EN déduire v(t, x1 , x2 ) le prix du call géométrique
v(t, x1 , x2 ) = CallBS(t, x1 x2 , K, T, 2r, σ)
avec σ à déterminer.
31
σ1 Wt1 +σ2 Wt2
σ
Solution:
W est un MB car c’est une martingale continue de variation quadratique
hW it = t.
On a
STi,t,xi = xi exp r − σi2 /2 (T − t) + σi (WTi − Wti )
d’où
ST1,t,x1 ST2,t,x2 = x1 x2 exp
2r − σ 2 /2 (T − t) + σ(WT − Wt )
On remarque donc que ST1,t,x1 ST2,t,x2 = STt,x1 x2 où S t,x est la solution de
dSs = Ss ((2rds + σdWs ), St = x.
Et on conclut.
5.7
Application 6 : Options basket
On considère un modèle de B&S multidimensionnel où le prix des actions
Si , i = 1, . . . , n sont gouvernés sous la probabilité risque-neutre Q par
dSti = Sti (rdt + σi dWti )
où W = (W 1 , . . . , W n ) est un n-MB. On considère une opryion basket de
payoff
!
n
X
h(ST ) =
ωi STi − K
= (AT − K)+ ,
i=1
+
P
où ωi est le poids de l’actif i :
ωi = 1 et AT est une moyenne pondérée.
Il n’y a pas de formule fermée, on va approximer à l’aide d’options
géométriques.
6
modèles de taux
Nous avons vu dans le cours d’introduction aux marchés financiers qu’on ne
peut pas parler d’un taux d’intérêt. Il existe en fait de multiples courbes
de taux d’intérêts (selon les pays, selon qu’il s’agisse de la courbe d’état
ou d’une courbe corporate, selon le rating de la dette, etc... L’orsque l’on
parle de la courbe des taux dans le marché financier, il s’agit en général
de la courbe de taux interbancaire, puisque c’est celle auxquels les acteurs
32
financiers peuvent placer ou emprunter et donc celle qui est pertinente dans
les raisonements par AOA.
Une courbe des taux T 7→ R(t, T ) donne une photographie à un instant t
donné du taux qu’il faut appliquer pour actualiser à toute dates future T . La
fonction t 7→ (T 7→ R(t, T )) est donc une fonction à valeur dans les fonctions
càdlàg (par exemple), et on voit qu’une modélisation stochastique des taux
d’intérêt peut conduire, en toute généralité, à modéliser des processus à
valeur dans des espaces de fonctions càdlàg.
6.1
Généralités sur les taux d’intérêts
On introduit quelques définitions et notations.
• Un zéro-coupon déchéance T (noté ZC(T )) est un titre versant 1 euro
à la date T ne donnant aucun flux avant. On note B(t, T ) son prix
à la date t < T. Positif par AOA, B(T, T ) = 1. En pratique bond du
trésor.
• Le taux d’intérêt continu moyen (rendement à échéance, yield to maturity) sur la période [t, T ] noté R(t, T ) est
B(t, T ) = exp(−(T − t)R(t, T )) i.e. R(t, T ) = −
1
log B(t, T )
T −t
• Le taux linéaire, surtout utilisé pour les maturités courtes, [t, t + δ],
noté L(t, δ) est défini par
B(t, t + δ) =
1
.
1 + δL(t, δ)
• Le taux spot (court) instantané est la limite du taux moyen quand
T →t
∂ log B(t, T ) rt = lim R(t, T ) = −
T →t
∂T
T =t
En pratique taux overnight
• La courbe des taux (structure par terme des taux) en t est la fonction
θ 7→ R(t, t + θ). On dit que la courbe est plate en t si θ 7→ R(t, t + θ)
est constante.
33
• Le taux spot forward en t pour la maturité T est
f (t, T ) = −
∂ log B(t, T )
∂T
donc rt = f (t, t) et par intégration
Z
B(t, T ) = exp −
T
f (t, s)ds .
t
f (t, s) = taux spot en s vu depuis t.
6.2
Cas déterministe
L’AOA induit certaines contraintes sur la structure par terme des taux
d’intérêts. Pour simplifier on peut commencer par supposer que les fonctions t 7→ B(t, T ), R(t, T ), rt , f (t, T ) sont déterministe (i.e. on connait dés
aujourd’hui tous les taux futures pour la maturité T. Alors par AOA
B(t, T ) = B(t, s)B(s, T ), ∀t ≤ s ≤ T.
En passant au log et en dérivant on a f (t, T ) = f (s, T ) ce qui implique
f (t, s) = rs pour tout t ≤ s (le taux spot à la date s vu depuis t est
exaxtement le taux spot à la date s en déterministe). Ceci implique
Z T
Z t
B(t, T ) = exp −
rs ds , i.e. B(t, T ) = B(0, T ) exp −
rs ds
t
0
et le taux moyen est donné par
R(t, T ) =
6.3
1
T −t
Z
T
rs ds.
t
Cas aléatoire
Dans un environement aléatoire, à la date t les taux d’intérêt et les prix de
ZC futurs R(s, T ) et B(s, T ) ne sont pas connus. On conçoit néanmoins que,
comme pour les modèles déterministes, l’AOA implique des relations entre
les prix des différents taux et ZC : c’est le but d’une modélisation aléatoire
des taux. on travaille sur (Ω, F, (Ft , t ≥ 0), P) ou la filtration est celle d’un
MB. Comme dans les modèles d’actions le processus de cash est défini par :
Z t
0
St = exp
rs ds .
0
34
C’est la valeur au temps t d’un euro investi continuement au taux spot
instantané. Les obligations ZC de maturité T sont considérés commes des
actifs risqués de prix B(t, T ) (différent du risque de crédit, juste risque de
taux).
Par principe d’AOA on suppose l’existance d’une probabilité Q sous
laquelle les prix actualisés des ZC B(t, T )/St0 , 0 ≤ t ≤ T sont des martigales,
et ce quel que soit T. Cette propriété de martingale et le fait que B(t, T ) = 1
implique que
B(t, T )/St0 = EQ [B(T, T )/ST0 |Ft ] = EQ [1/ST0 |Ft ]
soit
Q
B(t, T ) = E
Z
T
exp − −t rs ds Ft , 0 ≤ t ≤ T.
A partir de là, il y a en gros deux approches pour modéliser la courbe
des taux :
1. la première (historiquement) consiste à modéliser le taux spot rt qui
sert de variable explicxative unique.
2. la seconde consiste à modéliser directement les prix B(t, T ) ou de
manière équivalent les taux forwards f (t, T ) en respectant l’AOA.
6.4
Modèles calssiques de taux spot
On considère une dynamique pour le taux spot sous la probabilité historique
P donnée par
drt = α(t, rr )dt + γ(t, rt )dWt
où W est le MB sous P et α, γ deux fonctions réelles sur R+ × R. Pour
calculer le prix des ZC on a besoin de la dynamique de rt sous Q. Notons
(λt ) la prime de risque issue du théorème de Girsanov et qui fait de
Z
Ŵt = Wt +
t
λs ds
0
un MB sous Q. On suppose que λs = λ(s, rs ). Donc sous Q
drt = (α(t, rr ) − λ(t, rt )γ(t, rt ))dt + γ(t, rt )dŴt
Dans les modèles classiques qu’on détaille plus loin, λ est choisie pour
que la dynamique de r sous P et Q ait la même forme.
35
6.5
L’EDP des taux
Dans ce type de modèle on a B(t, T ) = B(t, rt , T ) pour une certaine fonction
réelle B. Si on suppose qu’elle est régulière C 2 on a par Itô (T est fixé)
∂B
∂B
∂B 1 2 ∂ 2 B
dB(t, rt ) =
(t, rt , T )dt + γ
+α
+ γ
(t, rt , T )dWt
2
∂t
∂r
2 ∂r
∂r
= B(t, T )(µ(t, rt , T )dt + σ(t, rt , T )dWt )
(5)
où
∂B
1
∂B 1 2 ∂ 2 B
− t, r, T )
µ(t, rt , T ) =
+α
+ γ
B(t, r, T ) ∂t
∂r
2 ∂r2
1
∂B
σ(t, r, T ) =
γ(t, r) (t, r, T )
B(t, r, T )
∂r
La dynamique 5 est décrite sous P. Par Girsanov on a
dB(t, rt ) = B(t, T )[(µ(t, rt , T ) − σ(t, rt , T )λ(t, rt ))dt + σ(t, rt , T )dŴt ]
Puisque B(t, T )/St0 est une martingale sous Q, le coefficient devant dt doit
être rt . En repprenant l’expression de µ et σ on voit que la fonction B doit
vérifier l’EDP
∂B
∂B 1
∂B
+ (α − λγ)
+ gamma2
2 − rB = 0.
∂t
∂r
2
∂r
avec condition terminale B(T, r, T ) = 1.
Différence avec le cas BS classique : présence du terme de prime de
risque λ qui ne disparait pas. Ce paramètre doit être estimé a priori, c’est
un problème de statistique, λ est estimé par callibration des prix théoriques
de ZC à ceux observés dans le marché.
Comme dans BS deux méthodes pour calculer le prix d’un ZC : soit on
utilise la repésentation probabiliste sous Q
Z
B(t, T ) = B(t, r, T ) = EQ exp − −tT rs ds , 0 ≤ t ≤ T
soit on résout l’EDP.
36
6.6
Le modèle de Vasicek
Dans ce modèle on modélise le taux spot rt sous P par
drt = a(b − rt )dt + γdWt
où a, b et σ sont des constantes positives. Le dirft est proportionel à (b − rt ),
une force de rappel mesurée par a ramène rt vers b (moyenne de long terme).
On suppose que λ la prime de risque est constante.
1. Montrer que sous Q rt a la même dynamique que sous P (on montrera que seul le paramêtre b est différent et on notera b̂ le nouveau
paramêtre.
2. On introduit le processus associé ρt = eat rt . Donner la dynamique de
ρt sous Q.
3. Donner une expressions pour ρt et en déduire une formule pour rt .
RT
4. Donner une expression pour t rs ds, et calculer sa loi.
5. Donner le prix d’un ZC de maturité T dans le modèle de Vasicek.
1) Sous Q
ˆ t
drt = a(b̂ − rt )dt + γ dW
(6)
où b̂ = b − γλ/a.
Proposition 20. La solution de (6) est donnée par
Z t
rt = b̂ + (r0 − b̂)e−at + γ
e−a(t−u) dŴu
0
Méthode de variation de la constante. On considère le processus ρt =
Par formule d’Itô
eat rt .
dρt = aeat rt dt + eat drt = eat (ab̂dt + γdŴt ).
en intégrant on obtient
ρt = eat rt = r0 + b̂(eat − 1) +
Z
t
eau γdŴu .
0
Donc sous Q rt est un processus Gaussien d emoyenne b̂ + (r0 − b̂)e−at
et de variance γ 2 (1 − e−2at )/2a. En particulier on peut avoir rt < 0. De plus
37
rt →loi N (b̂, γ 2 /2a). Pour calculer le prix d’un ZC on a besoin de la loi de
RT
t rs ds sachant Ft .
Le plus simple est d’intégrer l’EDS pour obtenir
Z T
Z T
dŴs
rs ds = −(rT − rt ) + ab̂(T − t) + γ
a
t
t
En utilisant l’expression intégrale du taux spot on obtient
Z T
e−a(T −s) dŴs
rT = b̂ + (rt − b̂)e−a(T −t) + γ
t
et en reportant on a
Z T
Z T
1 − e−a(T −t)
1 − e−a(T −s)
rs ds = b̂(T − t) + (rt − b̂)
+γ
dŴs
a
a
t
t
RT
On en déduit que t rs dssuit une loi normale de moyenne/variance
1 − e−a(T −t)
m̂(t, T ) = b̂(T − t) + (rt − b̂)
a


!2
Z T
−a(T
−s)
1−e
Γ̂2 (t, T ) = EQ  γ
dŴs Ft 
a
t
!2
Z T
−a(T −s)
1
−
e
ds
= γ2
a
t
γ2
γ2
= − 3 (1 − e−a(T −t) )2 + 2
2a
a
1 − e−a(T −t)
T −t−
a
!
.
Finalement il est aisé de voir que
"
1 − e−a(T −t)
γ2
B(t, T ) = exp −R∞ (T − t − +(R∞ − rt )
− 3 (1 − e−a(T −t) )2
a
4a
où R∞ = b̂−γ 2 /2a2 car transformée de Laplace d’une loi normale on obtient
L(s) = exp(−sµ + s2 σ 2 /2)
6.7
Le modèle CIR
(pb des valeurs négatives).
√
drt = a(b − rt )dt + γ rt dWt
38
#
Si on suppose que la prime de risque est de la forme
√
λt = λ̄ rt
on a
√
drt = â(b̂ − rt )dt + γ rt dŴt
avec â = a + γ λ̄ et b̂ = ab/(a + γb). On peut montrer existence et uncité de
la solution de cete EDS malgré le caractère non Lipschitzien. Pas de formule
explicite. Cette solution est positive et si 2âb̂ > γ 2 la solution n’atteint pas
0.
Theorem 21. Dans le modèle CIR,
B(t, T ) = Φ(T − t) exp(−A(T − t)rt )
où les fonctions A et Φ sont donnée par
A(θ) =
p
2(eρθ − 1
â2 + 2γ 2
,
ρ
=
(â + ρ)(eρθ − 1) + 2ρ
et
2âb̂
Φ(θ) = φ(θ) γ 2 , φ(θ) =
2ρe(â+ρ)θ/2
(â + ρ)(eρθ − 1) + 2ρ
L’EDP satisfaite par le prix du ZC B(t, T ) = B(t, rt , T )
∂B
∂B 1 2 ∂B
+ â(b̂ − r)
+ γ r
2 − rB = 0.
∂t
∂r
2
∂r
je ne suis pas sur du r dans le terme 12 γ 2 r ∂B
∂r 2. avec condition terminale
B(T, r, T ) = 1.
On cherche B(t, rt , T ) = Φ(T − t)e−A(T −t)r . En substituant dans l’EDP
il vient
1
−Φ0 (θ) + Φ(θ)A0 (θ)r − â(b̂ − r)Φ(θ)A(θ) + γ 2 rΦ(θ)A2 (θ) − rΦ(θ) = 0
2
ce qui conduit aux EDO par identification des coefficients de r
1
A0 (θ) + âA(θ) + γ 2 rA2 (θ) − 1 = 0
2
−Φ0 (θ) − âb̂A(θ) = 0
avec A(0) = 0 et Φ(0) = 1.
39
6.8
Le modèle HJM
Ci-dessus : une seule variable explicative = le taux court. Restrictif.
Heath Jarrow et Morton modélisent toute la courbe comme variable
explicative en dimension infinie.
Le marché : temps continu, ZC de toutes maturités. Le processus de
cash St0 . AOA ⇒ ∃Q proba sous laquelle les prix actualisés B(t, T )/St0 sont
des martingales.
On suppose que
dB(t, T )
= rt dt + σ(t, T )dŴt .
B(t, T )
où Ŵ est un MB sous Q, et σ(t, T ) est la famille des vol loc, éventuellement
aléatoires, adaptées des ZC(T). On suppose σ(T, T ) = 0 car B(T, T ) ≡ 1 et
aussi que σ est continue et dérivable par rapport à T. On note
Σ(t, T ) =
∂σ(t, T )
∂T
qui est aussi éventuellement un processus adapté.
Dans HJM, la fonction de vol détermine toute la courbe (car
donne sa loi sous la proba Q).
Theorem 22.
1. Le prix à la date future t d’un ZC(T) est
Z t
Z
1 t
2
2
B(t, T ) = Bf (0, t, T ) exp
σ(s, T ) − σ(s, t)dŴs −
|σ(s, T )| − |σ(s, t)| ds
2 0
0
où Bf (0, t, T ) = B(0, T )/B(0, t) est le prix forward d’un ZC(T) de
maturité t; lu aujourd’hui.
2. La courbe des taux à la date future t est donnée par
Z t
Z
σ(s, T ) − σ(s, t)
1 t |σ(s, T )|2 − |σ(s, t)|2
R(t, T ) = Rf (0, t, T )−
dŴs +
ds
T −t
2 0
T −t
0
où Bf (0, t, T ) = T 1−t log Bf (O, t, T ) est le taux forward moyen pour
l’échéance t et la maturité T. Ce taux est lu sur la courbe des taux
aujourd’hui (en 0.)
3. Le taux spot forward en t est donné par
Z t
Z t
σ(s, T )Σ(s, T )ds −
Σ(s, T )dŴs
f (t, T ) = f (0, T ) +
0
0
40
et en particulier
Z
t
Z
σ(s, t)Σ(s, t)ds −
rt = f (, t) +
t
Σ(s, t)dŴs
0
0
Proof. D’après la dynamique du ZC on a
Z t
Z t
1
2
rs − |σ(s, T )| ds
B(t, T ) = B(0, T ) exp
σ(s, T )dŴs +
2
0
0
On élimine rt en utilisant B(t, t) = 1 qui s’exprime par
Z t
Z t
1
2
1 = B(0, t) exp
rs − |σ(s, t)| ds
σ(s, t)dŴs +
2
0
0
et en faisant le quotient des deux précédentes on a la relation (1). Pour (2)
et (3) c’est par définition.
Remarque : On voit que
df (t, T ) = α(t, T )dt + γ(t, T )dŴt
avec α(t, T ) = σ(t, T )Σ(t, T ) et γ(t, T ) = −Σ(t, T ). Initiallement HJM on
proposé une dynamique df (t, T ) de cette forme et montré que sous AOA
il y a une contrainte entre α et γ. En effet, par intégration et en utilisant
σ(t, t) = 0 on a
Z T
Z T
σ(t, T ) =
Σ(t, s)ds = −
γ(t, s)ds
t
t
on voit alors la contrainte d’AOA de HJM
Z
α(t, T ) = gamma(t, T )
T
γ(t, s)ds
t
Donc la fonction de vol γ de f (ou celle σ de B) caractèrise tout le modèle.
Le prix des produits dérivés ne dépend que du choix de cette fonction.
L’utilisation en pratique de HJM est la suivante :
• On spécifie une fonction σ (ou γ)
• On observe la courbe des taux aujourd’hui, i.e. les prix B(O, T ) et on
)
calcul f (0, T ) = − ∂B(0,T
.
∂T
• on en déduit la dynamique sous Q des processus t 7→ B(t, T ), rt , f (t, T ).
Ceci permet de valoriser les options.
Si la fonction de vol est déterministe on voit tout de suite que rt et
f (t, T ) sont des processus Gaussiens.
41
6.9
Modèles HJM Gaussiens : Ho & Lee
On suppose γ(t, T ) = −σ. Dans ce cas σ(t, T ) = σ(T − t). La condition
d’AOA de HJM (ou le théorème) indique α(t, T ) = σ 2 (T − t). Donc
df (t, T ) = σ 2 (T − t)dt − σdW Ŵt
ou encore
f (t, T ) = f (0, T ) + σ 2 t(T − t/2) − σ Ŵ
Le taux spot
rt = f (0, t) + σ 2 t2 /2 − σ Ŵt
de dynamique
∂f (0, t)
2
drt =
+ σ t dt − σdŵt .
∂t
σ2
B(t, T ) = Bf (0, t, T ) exp σ(T − t)Ŵt − (T − t)T t
2
et avec substitution par rt pour avoir uniquement des observables
σ2
B(t, T ) = Bf (0, t, T ) exp −(T − t)(rt − f (0, t)) − (T − t)2 t
2
6.10
Quelques instruments courants
1. FRA Forward Rate Agreement. C’est l’engagement d’échanger à une
date donnée standardisée T fixée un taux fixé Ft (le taux forward du
contrat) contre un taux constaté sur un nominal donné.
2. Un swap de taux est un contrat de gré à gré par lequel les parties
s’engagent à s’échanger pendant un certain nombre d’années et pour
un nominal fixé des flux d’intérêt calculés sur la base d’un taux variable
constaté pour une partie, et sur un taux fixe dit taux swap pour l’autre.
3. Cap et floor. C’est la version ”option”. Contrat qui permet, moyennant le payement d’une prime à son détenteur d’emprunter ou de préter
à échéance à un taux garenti. On parle de floorlet ou de caplet.
Identification des échéanciers.
• Obligation à taux fixe ; coupon c et nominal N de maturité Tn . Pour
i = 1, . . . , n − 1 les flux sont (c, Ti ) et (c + N, Tn ) pour le dernier.
42
• Swaps. Si le taux constaté en Ti pour la période [Ti , Ti+1 = Ti + δ] est
L(Ti , δ))
1
B(TI , Ti + δ) =
1 + δL(TI , δ)
, les flux payés en Ti+1 sont δL(TI , δ) contre rswap . les flux sont donc
(δL(Ti , δ) − rswap , Ti+1 ).
• Option sur obligation. Maturité τ strike K. Sous jacent est une obligation de maturité T > τ de coupons (ci , Ti ), Tn = T Le prix de
l’obligation support est
Ot =
n
X
ci B(0, Ti ).
i=1
6.11
Méthode d’évaluation forward
Pour valoriser un flux XT de date T on applique la règle d’évaluation RN.
Q0 XT
Π0 (XT ) = E
ST0
On va se placer sous QT . On a donc pour le prix forward de X que
XT
T
X
QT
F (0, T ) = Π0 (XT )/B(0, T ) = E
= EQ [XT ] .
B(T, T )
Dans les marchés de taux les actifs de couverture sont les forward (et non
les spots).
Plus généralement
Xi
QTi
QT
Π0 (XTi ) = B(0, Ti )E
[Xi ] = B(0, T )E
B(Ti , T )
Pour caractériser la probabilité T − i-forward neutre on écrit que les prix
forward Bf (t, Ti , T ) = B(t, T )/B(Ti , T ) sont des QTi martingales pour tout
T . On se place dans le cadre du modèle HJM.
D’après le théorème
Z
Bf (t, Ti , T ) = Bf (0, Ti , T ) exp
0
t
1
σ(s, T ) − σ(s, Ti )dŴs −
2
43
Z
0
t
|σ(s, T )| − |σ(s, Ti )| ds
2
2
en définissant
ŴtTi
Z
t
= Ŵt −
σ(s, Ti )ds.
0
on a
Z
t
σ(s, T ) −
Bf (t, Ti , T ) = Bf (0, Ti , T ) exp
σ(s, Ti )dŴsTi
0
1
−
2
Z
t
|σ(s, T ) − σ(s, Ti )| ds
0
ceci prouve que ŴtTi est un QTi -mouvement Brownien et que sous QTi
dBf (t, Ti , T ) = Bf (t, Ti , T )(σ(s, T ) − σ(s, Ti ))dhatWtTi
6.12
Application 1 : FRA contrat forward sur un taux
Le prix forward pour la date T d’un ZC maturant en T + δ est en t
Bf (t, T, T + δ) =
B(t, T + δ)
= EQ [B(T, T + δ)|Ft ].
B(t, T )
Le taux de rendement linéaire de ce contrat est le taux forward linéaire
noté Lf (t, T, T + δ) définit par
Bf (t, T, T + δ) =
1
.
1 + δLf (t, T, T + δ)
Notons que Lf (t, T, T + δ) est l’équivalent certain du taux linéaire L(T, δ)
vu depuis t au sens où
1 QT +δ
1
QT +δ
E
[L(T, δ)|Ft ] = E
− 1 Ft
δ
B(T, T + δ)
1 QT +δ
B(t, T
= E
− 1 Ft
δ
B(t, T + δ)
1
1
=
− 1 Ft
δ Bf (t, T, T + δ)
= Lf (t, T, T + δ)
6.13
Application 2 : Taux swap
Prennons un swap d’échéancier Ti = T0 + iδ, i = 1, . . . , n
δL(Ti−1 , δ) − rswap =
1
− 1 − rswap
B(Ti−1 , Ti )
44
2
Le taux swap est calculé pour que la valeur initiale soit nulle à t = 0
n
X
Π0 (δL(Ti−1 , δ) − rswap ) = 0
i=1
Pour calculer la valeur présente du flux i on utilise la probabilité Ti -forward
neutre
1
QTi
Π0 (δL(Ti−1 , δ) − rswap ) = B(0, Ti )E
− 1 − rswap
B(Ti−1 , Ti )
B(0, Ti−1
= B(0, Ti )
− 1 − rswap
B(0, Ti )
On a donc
0=
=
n
X
i=1
n
X
B(0, Ti−1
B(0, Ti )
− 1 − rswap
B(0, Ti )
[B(0, Ti−1 ) − B(0, Ti )]rswap
i=1
n
X
B(0, Ti )
i=1
d’où
rswap =
B(0, T0 ) − B(0, Tn )
Pn
.
i=1 B(0, Ti )
Ne nécessite pas la spécification d’un modèle de taux !!
6.14
Application 3 : Call sur ZC
Considérons un call de strike K de maturité τ sur un ZC d’échéance T > τ .
Le payoff de ce call en τ est donc
X = (B(τ, T )K)+
On se place dans le cadre du HJM Gaussien. On va calculer le prix selon
deux méthodes;
Méthode 1 On utilise la probabilité τ -forward neutre, le prix est
τ
τ
Π0 = B(0, τ )EQ [(B(τ, T ) − K)+ ] = B(0, τ )EQ [(Bf (τ, τ, T ) − K)+ ]
45
7
Volatilités
8
Risque de défaut
8.1
9
FX markets (Options de change)
Options exotiques
9.1
Options asiatiques
9.2
Options américaines
La pluspart du temps , méthodes numériques. Modèles binomiaux discrets
ou solutions d’EDP
10
Extensions du modèle de Black et Scholes
On va maintenant considérer des modèles plus généreaux que le modèle
de B&S. Dans le paragraphe ?? on remplace les paramètres constants du
modèle de B&S par des processus prévisbles. Sous les bonnes conditions
d’intégrabilité on peut reproduire l’analyse de B&S et obtenir le prix d’une
option comme l’espérance actualisée du payoff sous la probabilité martingale.
En général cette espérance doit être évaluée numériquement. On fait aussi le
lien avec une équation de B&S généralisée via la représentation de FeynmanKac.
Dans le paragraphe ?? on fait l’hypothèse très naturelle que le marché
consiste en plus d’un seul actif risqué. Certaines options dépendent du cours
de plusieurs actifs sous-jacents qui n’évoluent pas, en général, indépendamment
les uns des autres. Pour cela on a besoin de savoir manipuler des EDS multidimensionelles.
Enfin, il y a de bonnes raisons de penser que le prix des actifs n’est pas
toujours bien modélisé par le Brownien log-normale. En particulier il est
parfois important de pouvoir avoir des sauts dans la valeur des actifs. C’est
l’objet du paragraphe
Prochain chapitre traite des modèles dit à vol sto.
46
11
Modélisation de la volatilité
Si le modèle de Black et Scholes présenté dans le paragraphe précédent est si
populaire c’est qu’il permet de calculer un grand nombre de prix d’options
européennes classiques. Cependant, l’hypothèse de volatilité constante n’est
pas cohérente avec les prix observés sur le marché.
Plus précisément, supposons que le taux sans risque r soit fixe et que
l’on observe les prix Ci de call européens de maturités Ti et de strike Ki , i =
1, ..., I, écrits sur le même sous-jacent S de prix spot S0 aujourd’hui. On
doit alors avoir
Ci = BS(0, S0 , Ki , Ti , σ)
pour tout i = 1, . . . , I où σ est la volatilité et BS(t, x, K, T, σ) est le prix
dans le modèle de Black et Scholes d’une option d’achat sur S à la date t de
maturité T et de strike K si St = x.
En particulier, on peut retrouver le paramètre de volatilité σ en inversant
par rapport à cette variable la formule de Black et Scholes, i.e. chercher σ
tel que
Ci = BS(0, S0 , Ki , Ti , σ).
On appelle volatilité implicite la solution σimp (Ti , Ki ) de cette équation.
Dans le modèle de Black et Scholes, la volatilité implicite ne doit évidemment
pas dépendre de i. Or, ceci n’est pas vérifié en pratique. Typiquement, on
observe que, pour une même maturité, la volatilé implicite est non constante
en fonction du strike. Elle a souvent une forme en U que l’on appelle smile.
11.1
Volatilité implicite
Dans ce cas, il est nécessaire de calibrer la volatilité, i.e. de chercher la
fonction de volatilité locale σ telle que les prix théoriques Vg des options
cotées sur le marché coı̈ncident avec les prix observés. En général, on se
base sur les prix de produits très liquides comme les calls.
Dans le modèle de B&S l’unique paramètre inobservable est la voltilité.
Le modèle peut donc être calibré à partir d’un seul prix d’option car la
47
fonction de prix de B&S est strictement croissante en la volatilité. On a
lim C BS (σ) = (St − Ke−r(T −t) )+
(7)
lim C BS (σ) = St
(8)
σ&0
σ%∞
√
∂C BS
= SN (d1 ) T − t
∂σ
√
∂ 2 C BS
log2 m
SN (d1 ) T − t
σ 2 (T − t)
=
−
∂σ 2
σ
σ 2 (T − t)
4
(9)
(10)
où m = St /(Ke−r(T −t) )p
est la moneynesss de l’option. On p
voit que σ 7→
est convexe que (0, 2| log m|/(T − t)) et concave sur ( 2| log m|/(T − t), ∞).
Ceci implique que l’équation C BS (σ) = C pour
C BS (σ)
(St − Ke−r(T −t) )+ < C < St
peut être résolue par la méthode de Newton en utilisant l’algorithme
p
σ0 = 2| log m|/(T − t)
σn+1 = σn +
C − C BS (σn )
∂C BS (σn )
(σn )
∂σ
car la série (σn ) ≥ 0 sera monotone. En pratique si C est trop proche des
BS
bornes d’arbitrage, la dérivée ∂C ∂σ(σn ) (σn ) devient trop petite et on a des
problèmes d’instabilité numérique. Dans ce cas il est préferable d’utiliser la
méthode de la bisection.
La solution I(C) de C BS (σ) = C est appelée volatilité implicite de cette
option. Le modèle de B&S implique que la volatilité implicite de toute les options sur le même sous-jacent devrait être le même (égale à la vol historique
du sous-jacent, i.e. l’écart-type des rendements annualisés) Cependant en
calculant I(C) à partir des prix de marché on constate que
• la vol implicite est toujours supérieure à la vol historique du sousjacent,
• les vol implicites de différentes options sur le même sous-jacent dépendent
de la maturité et du strike.
Plus précisément on a que
1. Pour presque tous les strike la vol décroit avec le strike (phénomène
de skew)
48
2. Pour les strikes grand on a parfois une légère remontée de la vol implicite (phénomène de smile)
3. Le skew et le smile sont plus prononcés si l’on s’approche de la maturité.
Explications :
1. Vol implicite > vlo histo : la couverture réelle est plus chère que la
couverture B&S du fait des coùts de transactions, prix de la couverture
des sources de risques supplémentaires (type risque de vol ou risque
véga)
2. Skew : B&S sous-estime la probabilité d’un krach boursier (un grand
mouvement de prix général)
3. Smile : prime de liquidité pour les options très loin de la monnaie.
La volatilité implicite est très utilisé pour le calcul des ratios de couverture des options européennes. Pour toute option, indépendanment du
modèle utilisé on peut écrire
C(t, St ) = C BS (t, St , I)
où I est la col implicite de cette option. Si cette vol implicite ne dépendait
pas de St mais seulement du stike et du temps on pourrait écrire
∂C(t, St )
∂C BS (t, St )
=
∂S
∂S
et le delta de l’option est donc égal au delta B&S ! L’absence de dépendance
de I par rapport à St a été appelé le régime sticky strike par Derman. C’est
une hypothèse peu réaliste. Il faut prendre en compte le changement de I
avec S.
∂C(t, St )
∂C BS (t, St ) ∂C BS ∂I
=
+
.
∂S
∂S
∂I ∂S
La divergence entre le delta d’une option et son delta B&S est souvent traité comme une nouvelle source de risque appelée risque véga. Il est
souvent géré en rendant le portefeuille véga-neutre. Pour un portefeuille
d?options europénnes ceci signifie que la somme des dé?rivées
opP de∂Cchaque
BS
tion par rapportà sa volatilité ? implicite doit être nulle N
|
k=1 ∂σ σ=Ik =
0. Si maintenant on suppose que les volatilité?s implicites des diffé?rents
strikes et maturité?s varient de la même faç?on avec le sous-jacent ? ∂S
∂σ ne
49
dé?pend pas de K ? le risque dû au changement de volatilité ? implicite
sera totalement couvert.
Une autre approche pour la prise en compte du deuxième terme dans
l’équation ci-dessus consiste à modifier le delta d’une option en faisant des
hypothèses appropriées sur l’évolution du smile avec le sous-jacent. Par
exemple, dans le régime sticky delta ou sticky moneyness de Derman, on
suppose que la volatilité implicite dépend du ratio K/S mais pas de ces
deux variables séparément. En posant I = I(K/S), on a alors
∂C(t, St )
∂C BS (t, St ) ∂C BS K 0
=
−
I.
∂S
∂S
∂I S 2
Comme en général la volatilité décroı̂t avec le strike (pour les options
∂C BS
prochesde la monnaie), l’hypothèse de sticky delta implique ∂C
∂S > ∂S : le
delta d’une option est supérieur à son delta Black-Scholes.
Exercice . On suppose que le profil (smile) de volatilité implicite pour
les options près de la monnaie est décroissant avec le strike, et qu’à la
∂I
= 0.002. Calculer ∂C
monnaie, ∂K
∂S pour une option Call européenne à
la monnaie dans l’hypothèse sticky delta. Les valeurs de paramètres sont
S0 = 100, σ = 0.2, T = 1, r = 0. Pour le calcul numérique on peut se servir
de l’approximation suivante, valable lorsque S0 est proche de KerT :
√ !
√ !
1
σ
T
1
σ
T
CallBS (S0 , K, T ) ∼ S0
+
− Ke−rT
−
2
5
2
5
Combien d’actions faut-il acheter ou vendre pour couvrir 100 options?
11.2
volatilité locale
Une première solution pour résoudre ce problème est de considérer des
modèles à volatilité locale. On suppose alors que σ (au lieu d’être une
constante) dépend de t et de St , i.e.
dSt /St = µt dt + σ(t, St )dWt
où µt est un processus adapté général (on va l’éliminer en passant sous la
proba risque neutre.
Hypothèse clé : il n’y a qu’une seule source d’aléatoire et c’est le Brownien
qui drive le processus du prix de l’actif risqué.
50
Le marché consiste en un processus de cash (St0 = exp(
un unique actif risqué (St )t≥0 avec
Rt
0
rs ds))t≥0 et
dSt0 = rt St0 dt, S00 = 1
dSt = µt St dt + σ(t, St )St dWt ,
où Wt est un P mouvement Brownien générant la filtration Ft (plus généralement
on peut choisir (rt )t≥0 , (µt )t≥0 , (σt )t≥0 des processus Ft -prévisibles.)
Les solutions des ces deux EDS sont de la forme
Z t
0
St = exp
rs ds
(11)
0
Z t Z t
1 2
St = S0 exp
(12)
σs dWs ,
µs − σs ds +
2
0
0
mais afin Rque ces expression
aient
R T un sens il faut supposer que presque
RT
T
sûrement 0 |rs |ds, 0 |µs |ds et 0 σs2 ds sont finis.
Avec le même argument de non-arbitrage que dans B&S classique on a
que le prix d’une option de payoff h(ST ) résout l’EDP
rC(t, S) =
∂C
∂C
1
∂2C
+ rS
+ σ(t, S)2 S 2 2 , C(T, S) = h(S).
∂t
∂S
2
∂S
Le portefeuille de réplication contient ∆(t, S) = ∂C
∂S (t, S) unités du sousjacent et Bt = C(t, S) − ∆(t, S) en cash.
Comme dans B&S le modèle à volatilité locale est complet (le seul facteur
de risque étant le sous-jacent).
On reproduit simplement les trois étapes de la réplication comme d’habitude.
La première est de trouver une mesure Q équivalent sous laquelle le prix de
l’actif actualisé (S̃t )t≥0 est une martingale.
Pour cela il suffit d’utiliser Girsanov pour trouver Q sous laquelle
Z t
W̃t = Wt +
γs ds
0
est un MBS.
dS̃t = (µt − rt )S̃t dt + σt S̃t dWt
= (µt − rt − σt γt )S̃t dt + σt S̃t dW̃t
et donc on choisit γt = (µt − rt )/σt . Pour que S̃t soit vraiment une martingale il nous fait quelques conditions d’intégrabilité supplémentaires. Afin de
51
pouvoir appliquer Girsanov il nous faut en premier lieu que
Z T
1 2
P
E exp(
γt dt) < ∞
0 2
Pour que S̃t soit bien une martingale et pas seulement une martingale
locale il nous faut ensuite une condition de type Novikov
Z T
1 2
EQ exp(
σt dt) < ∞.
0 2
Sous ces conditions S̃ est une martingale sous Q où
Z t
Z
1 t 2
dQ
(γ)
|F = Lt = exp −
γs dWs −
γ ds ;
dP t
2 0 s
0
La seconde étape de notre stratégie est de former la (Q, Ft )-martingale
Mt
Mt = EQ [(ST0 )−1 h(ST )|Ft ].
La troisième étape est de montrer qeu notre marché est complet, c’està-dire que toute actif contingent CT peut être répliqué. On commence par
invoquer le théorème de réplication de martingale pour écrire
Z t
Mt = M0 +
θu dW̃u
0
et par conséquent, pour peu que σt ne s’annule pas
Z t
Mt = M0 +
φs dS̃s
0
où (φt )t est Ft prévisible.
Au vu de ce que l’on a fait dans le cas clssique on peut deviner que le
portefeuille de réplication va consister en Φt unités d’actif risqué et Ψt =
Mt − Φt St unités d’actif sans risque.
11.3
Exemple : le modèle CEV
dSt = St (µdt + σ0 /St1−α dWt )
α = 1 est B&S et α = 0 est le modèle Gaussien.
On n’a pas dirrectement existence et unicité de la solution (coefficients
non-Lipschitz). On peut montrer qu’il y a quand même exstence et unicité
en utilisant le lien avec les processus de Bessel).
52
On se place sous la probabilité risque-neutre et on suppose que le prix
forward du sous-jacent Ft = er(T −t) St suit un modèle CEV :
dFt = σ0 Ftα dWt , 0 < α ≤ 1
Pourquoi F vérifie-t-il nécessairement cette équation ? (on a besoin
de 0 < α ≤ 1 car sinon Ft n’est pas une martingale mais juste une martingale
locale ce qui peut conduire à des violations de l aparité call-put par exemple).
Montrons pourquoi on a vraiment une martingale de carré intégrable
quand 0 < α ≤ 1. Il suffit de mq
Z T
Ft2α dt} < ∞
E{σ02
0
soit τn = inf{t : Ft ≥ n} . Clairement Ft∧τn est de carré intégarble pour
chaque 0 < α ≤ 1.
Z T
Z T ∧τn
Z T ∧τn
2
2
2
2α
2
2
2
(1 + Ft )dt ≤ σ0 E
(1 + Ft∧τn )dt
Ft dt ≤ σ0 E
E(FT ∧τn ) = σ0 E
0
0
0
et par le Lemme de Gromwall on a
Z T ∧τn
2
Ft2α dt = E(FT2 ∧τn ) ≤ σ02 T eσ0 T .
σ02 E
0
et on conclut par convergence monotone.
Dans le modèle CEV on a une approximation pour la volatilité implicite
valable pour de petites volatilités
)
(
σ0
(1 − α)(2 + α) F0 − K 2 (1 − α)2 σ02 T
imp
σ (K, T ) ≡ 1−α 1 +
+
2−2α + . . .
24
Fm
24
Fm
Fm
0
où Fm − 12 (F0 + K). Donc le premier ordre est σ imp (K, T ) ≡ F σ1−α
la vol
m
locale, mais la pente à la monnaie est deux fois plus petite (en fonction de
K).
11.4
Equation de Kolmogorov Forward et Backward
Soit Xt la solution de l’EDS
dXt = µ(t, Xt )dt + σ(t, Xt )dWt , 0 ≤ t ≤ T
On admet à partir de maintenant que la loi de XT sachant St = x > 0
admet une densité régulière P (T, y|t, x) sous Q pour t < T.
On rappelle Feynman Kac
53
Theorem 23. Supposons que F résolve l’équation
∂F
∂F
1
∂2F
(t, x) + µ(t, x)
+ σ 2 (t, x) 2 (t, x) = 0
∂t
∂x
2
∂x
F (T, x) = Φ(x)
si
RT
0
(13)
(14)
2
E[(σ(s, Xs ) ∂F
∂x (s, Xs )) ]ds < ∞ alors
F (t, x) = E[Φ(XT )|Xt = x].
L’équation de Kolmogorov Backward :
Proposition 24. Sous la même condition que pour Feynman Kac on a
∂P
(T, y|t, x) + Ap(T, y|t, x) = 0
∂t
P (T, y[t, x) → δy (x) quand t → T
où
Af (t, x) = µ(t, x)
(15)
(16)
1
∂2f
∂f
(t, x) + σ 2 (t, x) 2 (t, x)
∂x
2
∂x
L’équation (??) est appellée équation de Kolmogorov Backward. On
peut aussi prouver la proposition suivante qui donne l’équation de Kolmogorov Forward :
Proposition 25. Sous la même condition que pour Feynman Kac on a
∂P
(T, y|t, x) = A∗ p(T, y|t, x)
∂T
P (T, y[t, x) → δy (x) quand t → T
où
A∗ f (t, x) = −
1 ∂2 2
∂
(µ(T, y)f (T, y)) +
(σ (T, y)f (T, y))
∂y
2 ∂y 2
Proof. Soit g ∈ Cb∞ à support compacte. On définit
v(s, Xs ) := E[g(XT )|Fs ].
C’est une martingale. Ceci implique que ∀h : t + h < T on a
E[v(t + h, Xt+h ) − v(t, Xt )|Xt = x] = 0
54
(17)
(18)
Comme g ∈ Cb∞ et P est régulière, v est régulière. Le lemme d’Itô
implique donc que
E(v(t + h, Xt+h [Xt = x) − v(t, Xt )|Xt = x)
Z t+h
1
= E(
∂t v(s, Xs )ds + ∂x v(s, Xs )dXs + ∂xx v(s, Xs )dhXs i|Xt = x)
2
t
Z t+h
1
(∂t v(s, Xs ) + ∂xx v(s, Xs )σ 2 (s, Xs )
= E(
2
t
+ µ(s, Xs )∂x v(s, Xs ))ds + ∂x v(s, Xs )σ(s, Xs )dWs |Xt = x)
Z t+h Z
1
ds dy(∂t v(s, y) + ∂xx v(s, y)σ 2 (s, y) + µ(s, y)∂x v(s, y))P (s, y|t, x) + 0
=
2
t
où l’on a utilisé Fubini. On pose
1
L := ∂t + σ 2 (s, y)∂xx σ 2 (s, y) + µ(s, y)∂x .
2
On a donc
Z
0=
t+h
Z
ds
dyLv(s, y)P (s, y|t, x).
t
En intégrant par parties il vient (on marque P (s, y) au lieu de P (s, y|t, x))
:
Z
dy[v(s, y)P (s, y)]t+h
t
Z
t+h
−
dsv∂s P
t
Z t+h
Z
∞
+
ds[vµP ]−∞ − dyv∂y (µP )
t
Z
Z
1 t+h
2
∞
2
∞
+
ds[∂y vσ P ]−∞ − [v∂y (σ P )]−∞ + dyv∂yy (σ 2 P )
2 t
Z
Z t+h
= dy[v(s, y)P (s, y)]t+h
−
dsv∂s P
t
t
Z t+h
Z
+
ds − dyv∂y (µP )
t
Z
Z
1 t+h
+
ds + dyv∂yy (σ 2 P )
2 t
0=
v(s, y) tend vers 0 quand
R y tend vers ±∞. donc les crochets s’annulent,
de plus on remarque que dy[v(s, y)P (s, y)]t+h
= 0 et on a donc
t
Z t+h Z
1
2
0=
ds dyv(s, y) ∂s P + ∂y (µP ) − ∂yy (σ P ) .
2
t
y
55
Comme v est arbitraire, ceci n’est possible que si
1
2
∂s P (s, y) + ∂y (µ(s, y)P (s, y)) − ∂yy (σ (s, y)P (s, y)) = 0
2
sur (t, ] × (0, ∞).
exercice Donner les équations FKE et BKE pour un MB géométrique.
Solution :
∂P
2 2 ∂2 2
∂P
=
(y P ) − µ
(yP )
2
∂T
σ ∂y
∂y
et
∂P
∂P
2 2 ∂2
= − x2 2 (y 2 P ) − µx
(P )
∂t
σ
∂x
∂x
11.5
Formule de Dupire
Notre but est de trouver une fonction t, x 7→ σ(t, x) qui permette de retrouver les prix observés des options pour toute maturité et tout strike.
L’équation backward
rC(t, S) =
∂C
1
∂2C
∂C
+ rS
+ σ(t, S)2 S 2 2 , C(t, S) = h(S)
∂t
∂S
2
∂S
ne permet de faore cela car ceci conduit à l’équation
σ 2 (t, S) =
∂C
∂C
∂t − rS ∂S
2
1
2 2∂ C
2 σ(t, S) S ∂S 2
rC(t, S) −
et ∂C
∂t ne sont pas observables dans le marché.
On va utiliser une équation forward.
On va supposer maintenant que h est le payoff d’un call Européen de
maturité T et de strike K de prix C(0, x, T, K). On a
Z ∞
−rT
C(0, x, T, K) = e
(y − K)P (T, y|0, x)dy
et
∂C
∂S
K
En supposant que c’est possible, on va dériver par rapport aux deux dernières
56
variables et utiliser l’équation forward :
∂T ΠC (0, x, T, K) = −rΠC (0, x, T, K) + e
−rT
Z
∞
(y − K)+ ∂T P (T, y|0, x)dy
0
= −rΠC (0, x, T, K)
Z ∞
−rT
(y − K)+ (−∂y (µ(T, y)P (T, y|0, x))dy
+e
Z0 ∞
1
(y − K)+ ( ∂yy (σ 2 (T, y)P (T, y|0, x))dy
+ e−rT
2
0
On va maintenant supposer que µ(t, y) = yr et σ(t, y) = yη(t, y) modèles
fr MB géométrique avec
dXt
= rdt + η(t, Xt )dWt .
Xt
Par intégration par partie on obtent donc
Z ∞
∂T ΠC (0, x, T, K) = −re−rT
(y − K)+ P (T, y|0, x)dy
Z ∞0
1y≥K ryP (T, y|0, x)dy
+ e−rT
Z0 ∞
1
+ e−rT
δK (y) y 2 η 2 (T, y)P (T, y|0, x)dy
2
0
1
= −rK∂K ΠC (0, x, T, K) + η 2 (T, K)K 2 ∂KK ΠC (0, x, T, K)
2
car
∂K ΠC (0, x, T, K) = e−rT
∞
Z
1y≥K P (T, y|0, x)dy
0
∂KK ΠC (0, x, T, K) = e−rT
Z
∞
δK (y)P (T, y|0, x)dy
0
et on conclut donc ( si le prix ΠC est sufisament régulier) qu’il vérifie
l’équation de Dupire.
Theorem 26.
1
∂T ΠC (0, x, T, K) = −rK∂K ΠC (0, x, T, K)+ η 2 (T, K)K 2 ∂KK ΠC (0, x, T, K)
2
pour T, K ∈ (0, T̄ ] × R+ avec condition initiale ΠC (0, x, 0, K) = [x − K]+
en T = 0 et condition au bord ΠC (0, x, T, 0) = x pour tout T.
57
Proof. On va donner une seconde preuve de la formule de Dupire sous les
hypothèses suivantes, uniquement à l’aide de la formule de Itô:
1. St est de carré intégrable
Z
E
T
Ss2 ds
< ∞, ∀T
t
2. Pour chaque s > t le processus Ss a une densité p(s, x) continue sur
(t, ∞) × (0∞)
3. Le coeffcient de diffusion xσ(t, x) est localement Hölder, i.e. pour
chaque x > 0 et δ assez petit il existe α > 0 et une fonction c(t)
continue telle que |x − y| < δ implique
|xσ(t, x) − yσ(t, y)| ≤ c(t)|x − y|α , t > t0
see Nizar + Tankov
Remarques :
1. En résolvant cette équation on peut calculer d’un coup le prix des calls
pour tous les T et tous les K en même temps.
2. la vol loc σ doit nécessairement satisfaire la formule de Dupire :
η 2 (t, K) = 2
∂T ΠC (0, x, T, K) + rK∂KΠC (0, x, T, K)
K 2 ∂KK ΠC ()
Si on disposait des prix pour tous les couples (T, K) on pourait utiliser
cette formule pour estimer la fonction de vol loc. η. En pratique on a
que des points que l’on interpolle, mais la dérivée seconde qui intervient
dans cette formule est très sensible à la méthode d’interpolation choisie
et donc est unitilisable de cette façon. En fait on l’utilise plutôt pour
faire de la calibration.
11.6
Calibration de la nape de vol à partir d’un nombre fini
de call
En fait on va plutôt chercher une fonction nape de vol (t, x) 7→ σ(t, x) pour
laquelle les prix théorique (dans le modèle avec cette vol loc) correspondent
au prix observées.
58
En pratique on est amené a considérer une forme paramétrique particulière de σ : σa , a ∈ A ⊂ RM . Dans ce cas le problème peut ne pas avoir de
solution et on cherche à résoudre
X
min
|Πi (σa ) − Ci |2
a
i
où Πi (σa ) est le prix théorique de la ième option pour le paramêtre a et
Ci est son prix obsevé. C’est là que l’équation aux dérivées partielles qui
permet de calculer tout les prix théoriques Πi (σa ) d’un coup prend toute
son importance.
Toutefois, cette approche conduit à des résultats instables par rapport
aux données initiales et en général à des nappes de volatilités très irrégulières.
Afin de corriger ces problèmes, il est nécessaire d’imposer un terme de
pénalité dont l’objectif est de stabiliser la solution et d?en assurer une certaine régularité.
Il existe plusieurs méthodes : la méthode dite par entropie (Avalaneda
et al. 1997)
Une autre méthode est appelée régularisation de Tikhonov qui consiste à
résoudre un problème d’optimisation sous contrainte (on pénalise les nappes
qui s’éloigne trop d’une certaine constante, ou d’une nappe cible, ou dont le
gradient s’éloigne trop d’une certaine constante.
11.7
Arbre trinomial de pricing
On suppose pour simplifier rt ≡ r pour tout t. Une autre méthode pour
calculer les prix d’options dans un modèle à vol loc consiste à discrétiser les
processus et d’utiliser des arbres recombinants.
11.8
Volatilité implicite et volatilité locale
Pour toute option on peut toujours écrire
C(T, K) = C BS (T, K, I(T, K)),
où C BS (T, K, σ) est le prix de Black & Scholes pour le prix d’un call de
vol σ et I(T, K) est la vol implicite. En substituant cette expression dans
l’équation de Dupire il vient
59
∂C BS
∂T
σ 2 (T, K) = 2
K2
∂ 2 C BS
∂K 2
2
K2
1
K 2 IT
BS
BS
C
+ 2 ∂∂K∂σ
I
T
=
∂C BS ∂I
∂σ ∂T
+
+ rK
∂I
∂K
+
∂C BS
∂K
+
∂C BS ∂I
∂σ ∂K
∂I 2
∂K
∂ 2 C BS
∂σ 2
+
∂C BS ∂ 2 I
∂σ ∂K 2
∂I
∂I
+ 2 ∂T
+ 2rK ∂K
1
+ 2 KId√
T
BS
∂I
∂K
+
d1 d2
I
∂I
∂K
+
∂2I
∂K 2
BS
∂C
∂C
Pour calculer les ∂C
∂K , ∂σ , ∂T il faut procéder comme pour le calcul
BS
de ∂C∂S = N (d1 ) c’est-à-dire qu’il faut dériver dans l’espérance. (A faire ?)
Dans un premier temps supposons que la vol implicite ne dépende pas
du strike (absence de smile ou skew). Dans ce cas on voit que la vol implicite
n’en dépend pas non plus et la formule ci dessus se réduit à
σ 2 (T ) = I 2 (T ) + 2I(T )T
d’où
∂I
∂T
RT
σ 2 (s)ds
T
et la vol implicite est donc égale à la moyenne quadratique de la vol loc sur
la durée de vie de l’option. On peut partiellement généraliser ce résultat au
cas où la vol dépend du strike.
Pour continuer l’étude de notre équation, nous faisons un changement
˜ x) et on a alors
de variable x = log(S/K) + rT avec I(T, K) = I(T,
!2
!2
2 I˜
˜
˜
˜
∂
I
x
∂
I
∂
1
∂
I
˜
˜
2IT
+ I˜2 − σ 2 1 −
− σ 2 IT
= σ 2 I˜2 T 2
=0
∂T
∂x2
4
∂x
I˜ ∂x
2
0
I (T ) =
En supposant que I et ses dérivées restent finies lorsque T → ∞ on a
dans cette limite
!2
˜
x
∂
I
˜ x) = σ 2 (0, x) 1 −
I(0,
I˜ ∂x
et cette equation différentielle se résout explicitement en
Z
1
I(0, x) =
0
dy
σ(0, xy)
2
Ce résultat du à Berestycki et Busca (2002) montre donc que dans la limite
de très courte maturités la vol implicite est égale à la moyenne harmonique
60
des vol locales. Lorsque la vol locale σ(0, x) est différentiable en 0 ceci permet
˜
de montrer que ∂ I(0,0)
= 12 ∂σ(0,0)
c’est à dire que la pente à la monnaie de
∂x
∂x
la vol loc est égale pour les courtes maturités à 2 fois la pente à la monaie
de la vol implicite.
12
Volatilité stochastique
La volatilité n’est pas corrélée à 100% avec le sous-jacent. De plus, on
sait que la forme de la nape de volatilité n’est pas constante au cours du
temps. Il faut modéliser la volatilité comme un processus à part entierre.
En particulier pour les forward start, comme les modèles à vol loc ne dit rien
sur la façon dont la nape se déforme on a un fort mis-pricing et mis-hedging.
Si on met un processus pour la volatilité, on va naturellement essayer de
rester dans un cadre Markovien. On peut envisager un processus de Markov
à sauts qui saute entre deux état vol haute / vol basse. On va plutôt rester
dans le cadre des diffusions continues (ici)
dSt
= µt dt + σt dWt
St
dσt
= at dt + bt dWt0
σt
dhW, W 0 it = ρdt
(19)
(20)
Les processus a et b sont choisis pour que σ ≥ 0 (en général on veut un
aussi un retour à la moyenne pour la stationnarité).
Le marché est incomplet car on a deux aléas. Pour compléter le marché
(c’est à dire afin de pouvoir se couvrir) on introduit un autre actif liquide
(par exemple une autre option).
at = a(t, St , σt ) , bt = b(t, St , σt ).
On suppose qu’il existe Ct0 liquide coté au prix
Ct0 = C 0 (t, St , σt )
0
où la fonction déterministe C 0 est connue et satisfait ∂C
∂σ > 0, ∀t, σ, S. (i.e.
0
pour que C complète le marché il faut que son prix dépende de σ !)
On considère un portefeuille autofinançant constitué de δt actions, wt
actifs C 0 et de cash, de valeur Vt à l’instant t. On a :
61
dVt = (Vt − δt St − wt Ct0 )rdt + δt dSt + wt dCt0
∂C 0
∂C 0
0
dSt + wt
= (Vt − δt St − wt Ct )rdt + δt + wt
dσ + wt Lt Ct0
∂S
∂σ
2
2
∂
1 2 ∂
∂
∂
où Lt = ∂t
+ 12 S 2 ∂S
2 + 2 b ∂σ + Sbσρ ∂S∂σ .
On veut une stratégie autofiançante qui réplique une fonction déterministe
C qui sera le prix de l’option, c’est à dire telle que
Vt = C(t, σt , St ).
Par Itô
∂C
∂C
dSt +
dσt
∂S
∂σ
on peut identifier terme à terme les coefficients pour obtenir
dVt = Lt Cdt +
wt =
∂C
∂σ
∂C 0
∂σ
(21)
∂C 0
∂C
− wt
∂S
∂S
0
0
∂C
∂C Lt C − rC 0 + rSt ∂C
∂S
Lt C − rC + rSt
=
∂C 0
∂S
∂σ
δt =
(22)
(23)
∂σ
l’équation (??) peut se lire
Lt C − rC + rSt ∂C
∂S
∂C
∂σ
= λ(t, σ, S)
où λ est une fonction explicite en terme de la fonction connue C 0 . Par
réplication, si le payoff est h(ST ) on a
Lt C − rC + rS
∂C
∂C
−λ
=0
∂S
∂σ
C(T, σ, S) = h(S)
C’est une généralisation de l’équation de B&S. On parle de couverture en
delta-véga. On a une EDP en 3 dimensions. Pas forcément facile à résoudre.
On voudrait pouvoir faire de l’évaluation en simulant (Monte Carlo). Pour
ça il faut pouvoir dire que sous une proba risque neutre, prix des actifs =
62
espérance actualisée des payoff et flux terminaux. Comme d’habitude on
note Q la probabilité risque neutre. Sous Q on a
dCt = rCt dt + martingale
or avec Itô on a
dCt = rCt dt +
∂C
∂C
(dSt − rSt dt) +
(dσt − λt dt).
∂S
∂σ
on en conclut donc que sous Q
dSt
= rdt + σt dW̃t
St
dσt = λt dt + bt dW̃t0 .
λ qui apparaissait dans notre EDP joue donc le rôle de la dérive RN
pour σ sous Q. On a
h
i
C(t, σ, S) = EQ e−r(T −t) h(ST )|σt = σ, St = S .
Sous les conditions σt > 0 et bt > 0 le modèle se réécrit
dSt
= (r + βt σt )dt + σt dWt
St
dσt = (λt + Φt bt )dt + bt dWt0
(24)
(25)
βt prme de risque, donc Φt prime de risque de vol.
12.1
Modèle de Heston
dSt
= µdt + σt dWt
St
√
dvt = κ(θ − vt )dt + α vt dWt0
(26)
(27)
0
dhW, W it = ρdt
avec vt = σt2 .
Etant donné le skew, on observe souvent 0.7 ≤ |ρ| ≤ 1, κ très petit (le
κ tue le skew), α grand, θ doit être proche de la vol implicite de l’option la
plus longue sur laquelle on se calibre.
Dans ce modèle la vol peut atteindre 0; reste à 0 ou à des niveaux très
hauts pendant des durées longues.
63
12.2
Modèle de Stein et Stein
dSt
= µdt + σt dWt
St
dσt = κ(θ − σt )dt + αdWt0
(28)
(29)
0
dhW, W it = ρdt
Dist. de la vol converge vers une Gaussienne de moyenne θetdevarianceα2 /2κ.
Le signe de la correl entre sous-jacent et sa vol peut s’inverser. Le mod
de la distribution de la vol est à 0.
12.3
Modèle de Hull-White (87)
√
dSt
= µS dt + vt dWt
St
dvt
= µv dt + αdWt0
vt
dhW, W 0 it = ρdt
(30)
(31)
On a
1
1
E[σ(t)] = σ(0)e 2 µv t− 8 α
2t
1
2
V (σ(t)) = σ(0)2 eµv t (1 − e− 4 α t )
Mean reversion est à 0 si µv < 14 α2 , sinon σ diverge en esperance.
12.4
Modèle SABR
Ft prix du sous-jacent
dFt = σt Ftβ dWt
dσt =
0
dhW, W it = ρdt
0 ≤ β ≤ 1, α ≥ 0.
64
ασt dWt0
(32)
(33)
12.5
Modèle ARCH
√
dSt
= µdt + vt dWt
St
dvt = κ(θ − vt ) + αvt dWt0
dhW, W 0 it = ρdt
Cf NGARCH, LGARCH etc...
65
13
Risque de crédit
Le risque de crédit concerne la distrtibution des pertes financières dues à un
changement imprévu dans la qualité du crédit d’une contrepartie dans un
contrat. Va de la dégradation de la notation de crédit à l’incapacité à faire
face à ses obligations ou à la faillite.
On distingue trois gandes approches :
• Approche structurelle. On fait des hypothèses explicites sur la dynamique des actifs des entreprises, leur structure de capital et les
déteneturs de dette et de capital. Une entreprise fait défaut si ses
actifs deviennent insufisants. Dans cette situation une obligation devient une option sur les actifs.
• Approche réduite. N’explique pas le défaut mais le modélise par un
processus exogène de taux de défaut. Dans ce cadre les instruments
sensibles au crédit peuvent se calculer comme s’il n’y avait pas de
défaut en ajustant le taux sans risque par l’intensité du taux de défaut.
• L’approche information incomplète fait la synthèse. (le meilleur des
deux mondes ?)
13.1
13.1.1
Approche structurelle
Approche classique
Remonte à Black & Scoles (73 et 74). La valeur de marché d’une entreprise
est la source principale d’incertitude qui dirige le risque de crédit.
On considère une entreprise dont la valeur de marché V représente la
valeur actualisée de tous les cash-flow futures. L’entreprise se finance par des
actions et des ZC (K, T ). L’entreprise a donc une obligation contractuelle
de rembourser K à la date T . Les débiteurs sont prioritaires sur les actionnaires. Le temps de défaut est donc
T si VT < K
τ=
∞ sinon
Pour calculer la probab de défaut il faut faire des hypothèses sur la
distribution de VT sous P.
Le modèle standard est
dVt
= µdt + σdWt
Vt
66
où µ ∈ R.
Donc
P(VT < K) = N (
log L − mT
√
σ T
où L = K/V0 et m = µ − σ 2 /2.
Au temps T si VT ≥ K le détenteur de l’obligation reçoit son capital
K et l’actionnaire les VT − K restants. Sinon, le détenteur de l’obligation
prend le contrôle et reçoit VT . On a donc
B d (T, T ) = min(VT , K) = K − (K − VT )+
La valeur B d (t, T ) est donc celle d’une obligation sans risque (K, T ) et d’une
position courte sur un put (K, T ). Pour l’action (equity) on a
ET = (VT − K)+ .
Conclusion : toute la machinerie Black & Scholes est utilisable. Attention ! il faut quand même supposer que la valeur de la firme est un actif
négociable.... Dans ce cas le prix de l’action E0 est le prix B&S d’un call
E0 = C BS (σ, T, K, r, V0 ).
B d (0, T ) = Ke−rT − P BS (σ, T, K, r, V0 ).
On remarque que P BS (σ, T, K, r, V0 ). est la valeur actualisée des pertes dues
au défaut du détenteur de l’obligation.
On retrouve bien
V0 = E0 + B d (0, T )
equity et dette dépendent du leverage mais pas la valeur de la firme. Le
théorème de Modigliani & Miller (58) marche aussi en présence de défaut.
La credit spread est la diférence entre le rendement d’une obligation avec
défaut et celui de la même obligation sans défaut. Le rendement étant défini
par
B(t, T ) = e−y(t,T )(T −t)
le spread S(t, T ) est
1
S(t, T ) = −
log
T −t
B d (t, T )
B(t, T )
, T > t.
Dans le cas B&S on a
1
1 rT
S(0, T ) = − log N (d1 ) + e N (−d2 ) .
T
L
67
13.1.2
Premier temps de passage
Dans l’approche classique Vt peut s’approcher de 0 sans déclancher le défaut
ce qui est peu réaliste. Black & Cox 76. On peut supposer que la barrière
de défaut D est une valeur constante dans (0, V0 ). Dans ce cas
τ = inf{t > 0 : Vt < D}.
Les probab de défaut sont données par
p(T ) = P(MT < D) = P[min(ms + σWs ) < log(D/V0 )].
s≤t
où Mt = mins≤t Vs .
Les calculs habituels donnent
2m2
D σ
log(D/V0 ) + mT
log(D/V0 ) − mT
√
√
+
N
.
p(T ) = N
V0
σ T
σ T
Si D> K, les détenteurs d’obligations sont complètement protégés. Si
D < K on peut faire défaut de deux façons. Dans ce cas notre définition de
τ pose problème.
On peut redéfinir τ = min(τ1 , τ2 avec
τ2 = inf{t > 0 : Vt < D}.
et
τ1 =
T si VT < K
∞ sinon
Dans ce cas on voit que
p(T ) = 1 − P[MT > D, VT > K]
= 1 − P[min(mt + σWt ) > log(D/V0 ), mT + σWT > log L].
t≤T
et on en déduit
2m2
log(L) − mT
D σ
log(D2 /(KV0 )) + mT
√
√
p(T ) = N
+
N
.
V0
σ T
σ T
On a
ET = (VT − K)+ 1{MT >D}
L’action est donc un call européen down and out.
68
On a donc
E0 = C(σ, T, K, r, V0 ) − V0
D
V0
2r2 +1
σ
N (h+ ) + Ke
−rT
D
V0
2r2 −1
σ
N (h− )
avec
(r ± σ 2 /2)T + log(D2 /(KV0 ))
√
.
σ T
Barrier options value ne sont pas monotone en σ. Problèmes de calibration. Prix vanille donne une borne.
Problème S(0, T ) → 0 quand T → 0. (Vt croit à taux r et D reste
contant.) On peut régler ça en faisant croitre la dette à un taux constant
ou en supposant que le leverage est maintenu constant.
h± =
13.1.3
Barrière de défaut dépendant du temps
D(t) ≤ K par exemple
D(t) = Ke−k(T −t) .
τ = inf{t > 0 : Vt < D}.
on observe
{Vt < D(t)} = {(m − k)t + σWt < log L − kT }
ce qui nous donne
p(T ) = P[min(m − k)t + σWt ) < log L − kT ].
t≤T
On a
p(T ) = N
13.1.4
log(L) − mT
√
σ T
22 (m−k) log(L) + (m − 2k)T √
N
+ Le−kT σ
.
σ T
Excursions
D est constante. On définit
Z
F (V )t =
0
t
f (s, t)1{VS ≤D} ds
et
τL = inf{t > 0 : F (V )t > C}.
69
On introduit la fonction de poids w(s, t) = exp(−
on prend
f (s, t) = w(s, t)1{ Lt ≤ s}
Rt
s
ks ds) Exemple 1 :
où Lt = sup{s ≤ t : vS = D} Dans ce cas F (V )t est le temps pondéré
consécutif passé sous D. On oublie les excursions sous D qui ne conduisent
pas au défaut.
Exemple 2 : f (s, t) = w(s, t) le temps pondéré cumulé sous D.
Exemple 3 : f (s, t) = w(s, t)(D − Vs ) dans ce cas F (V )t wheighted
cumulative shortfall. Les aires pondérés des excursions.
On est dans le cas des options parisiennes.
13.2
Approche réduite.
Les modèles structurels impliquent que l’on ”voit” arriver le défaut. Les
investisseurs peuvent observer la distance au défaut au cours du temps. Il y
a des des évènements de ”pre-défaut”. Mathématiquement il y a une suite
de temps d’arrêt τn telle que τn → τ le temps de défaut en croissant. On
dit qie τ est prévisible.
La prévisisblité de τ est financièrement significative. Le prix théorique
des actifs sensibles au défaut doit tendre vers le valeur de recovery quand
t → τ et le spread doit tendre vers 0 quand t → T .
lim S(t, T ) = 0.
T &t
Non vérifié en pratique.
Forme réduite : Artzner & Delbaen (95), Jarrow & Turnbull (95), Duffie
& Singleton (99), Jeanblanc...
13.2.1
Intensité de défaut
Dynamique de défaut présecrite exogènement dirrectement sous la proba
risque-neutre Q (existence, unicité ?)
Nt = 1{τ ≤t} .
C’est un processus de saut qui saute de 1 au temps de défaut. Nt est une
sous-martingale. On peut utiliser le théorème de décomposition de DoobMeyer. ∃Aτ croissant (le comensateur) tel que N − Aτ est une martingale.
Le propriétés analytiques de Aτ correspondent aux propriétés probabilistes de τ. Par exemple Aτ est continue SSI τ n’est pas prévisible. C’est
ce qu’on veut.
70
Dans le modèle réduit on suppose que
Z min(t,τ )
Z t
τ
At =
λs ds =
λS 1{τ >s} ds.
0
0
où λt est un processus Ft -adapté.
Avec cette hypothèse λt est l’intensité de défaut. Pour ∆t petit et t < τ
on a que λt ∆t est la probabilité de faire défaut pendant l’intervalle de temps
[t, t + ∆t] au premier ordre.
Exemple 1
Supposons que λ est constant. Alors N est un processus de Poisson
d’intensité λ constante et arrété à son premier saut. Le temps de défaut
τ est donc distribué exponentiellement et la probabilité cumulée de défaut
sous Q est
q(T ) = 1 − e−λT .
Si on connait la densité d de τ on peut calculer λ comme
λ=
d(T )
.
1 − q(T )
Exemple 2
λ = λ(t) une fonction déterministe.
q(T ) = 1 − e−
RT
0
λ(u)du
Un exemple simple qui peut être calibré sur les données de marché est
λ(t) = hi , t ∈ [Ti ; Ti+1 ), i = 1, 2, . . . ,
Exemple 3
Si λ = λt est un processus stochastique. Dans ce cas N est appelé un
processus de Cox, ou processus de Poisson doublement stochastique. En
utilisant les probabilités conditionelles on voit que
q(T ) = 1 − EQ [e−
13.2.2
RT
0
λu du
].
Modèles affines à intensité
Duffie et Kan (96). On va supposer que λ = Λ(X) où X est un processus
des facteurs de risque et Λ une fonction.
On suppose que
dXt µ(Xt )dt + σ(Xt )dWt .
où les coefficients sont des fonctions affines des variables d’état.
71
• µ(x) = µ0 + µ1 x (on est dans Rd )
• (σ(x)σ(x)T )i,j = (σ0 )i,j +i,j σ1 )i,j .x
et on suppose également que
Λ(x) = Λ0 + Λ1 .x..
Sous ces hypothèses la probabilité de défaut est exponentiellement affine en
X0
q(T ) = 1 − exp(a(T ) − b(T ).X0 )
où a et b résolvent un système d’équations différentielles qui peuvent être
explicitement résolues dans certains cas.
Exemple d = 1, µ(x) = cµ − cx, σ 2 (x) = σ 2 En prenant Λ(x) = x on a
σ2
1
−2cT )].
b(T ) = 1c (1 − e−2ct ) et a(T ) = µ(b(T ) − T ) + 2c
2 [T − 2b(T ) + 2c (1 − e
(cf page 45 Gieseck)
Exemple 2 d = 1, µ(x) = cµ − cx, σ 2 (x) = σh2 x En prenant iΛ(x) = x
2(eγT −1)
2cµ
2γe(γ−c)T /2
on a b(T ) = (γ−c)(e
γT −1)+2γ et a(T ) = σ 2 log (γ−c)(eγT −1)+2γ . où γ =
√
c2 + 2σ 2 . (cf page 45 Gieseck)
Remarque On peut ajouter des sauts à la diffusion X.
13.2.3
Evaluation : ZC avec recovery à maturité
Payoff = (1 − R)1{τ >T } + R payé à T . On suppsoe r constant
B d (0, T ) = e−rT EQ [(1 − R)1{τ >T } + R] = e−rT + e−rT (1 − R)q(T ).
Si on a une intensité constante on obtient
B d (0, T ) = e−(r+λ)T .
13.2.4
Evaluation : ZC avec recovery au temps défaut
On considère un actif qui paye CT à T si pas de défaut et qui paye Rτ à τ
si défaut, (on suppose que le processus R est borné). On note (T, CT , R)
Exemple 1 (T, CT , 0)
C0 = EQ [e−rT CT 1{τ >T } ]
si τ et CT sont indépendants C0 = e−rT EQ (CT )(1 − q(T ). En général
C0 = e−rT EQ [CT e−
72
Rt
0
λs ds
].
à condition de suppose que CT est mesurable dans la filtration des facteurs
Xs . Si r est stochastique avec rt = g(Xt ) on a
C0 = EQ [CT e−
Rt
0
rs +λs ds
].
Exemple 2 (T, CT , R)
On se place dans le cas général r est stochastique avec rt = g(Xt ). On a
C0 = C0F + C0R où C0f est la valeur calculée ci-dessus pour (T, CT , 0).
Rt
C0R = EQ [Rτ e− 0 rs ds 1{τ ≤T } ]
Z T
Ru
=
EQ [e− 0 rs ds Ru k(u)]du
0
où k(u) est la densité conditionelle de τ à u étant donné la trajectoire de
X sur [0, TR ]. Dans le cas Cox cette densité existe et est donnée par k(u) =
u
λu exp − 0 λs ds ce qui conduit à
C0R
Z
=
T
EQ [e−
Ru
0
(rs +λs )ds
Ru λu ]du.
0
13.2.5
Recovery
• Recovery at face value Rt est une fraction R̄t ∈ [0, 1] du nominal.
• Equivalent recovery Rt est une fraction R̄t du même actof mais sans
défaut.
• Fractional recovery : une fraction R̄Rt de la valeur de l’actif juste avant
u
le défaut. (dabs ce cas C0 = EQ [e− 0 (rs +(1−R̄s )λs )ds ].)
13.2.6
Credit Spreads
On considère un ZC (T, 1, 0) dans le cadre des processus de Cox avec une
intensité continue à droite λ = Λ(X).
∂ Q − R T λs ds
E [e t
|(Xs )s≤t ]
T &t ∂T
lim S(t, T ) = − lim
T &t
= − lim EQ [−λT e−
T &t
= λt
73
RT
t
λs ds
|(Xs )s≤t ]
13.2.7
Correlation des défauts : approche par fonctions copula
Si X1 , X2 , . . . , Xn sont des variables de fonction de répartition Fi strictement
croissantes, alors en posant Ui = Fi (Xi ) on a
P (Xi ≤ xi ∀i) = P (Fi (Xi ) ≤ Fi (xi )∀i) = P (UI ≤ Fi (xi ), ∀i)
et donc la loi jointe des Xi peut être caractérisée en terme de la loi jointe du
vecteur U . On remarque que les Ui sont des variables uniformes sur [0, 1] a
priori non indépendentes.
Définition 7. Une fonction C : [0, 1]n 7→ R est une fonction copula si elle
satisfait :
• C(u1 , . . . , un ) est croissante dans chaque variable,
• C(1, . . . , ui , . . . , 1) = ui pour tout i et tout ui ∈ [0, 1].
• ∀a, b ∈ [0, 1]n avec a ≤ b (i.e. ai ≤ bi , ∀i)
2
X
i1 =1
...
2
X
(−1)i1 +...+in C(u1,i1 , . . . , un,in ) ≥ 0
in =1
où uj,1 = aj et uj,2 = bj .
Une fonction copula est juste la fonction de répartition d’un n-tuple
(U1 , . . . , Un ) dont les marginales sont uniformes sur [0, 1]. On appele parfois
la copula de survie (ou survival copula) la fonction Ĉ(u1 , . . . , un ) = P(U1 >
u1 , . . . , Un > un ).
On énnonce à présent le théorème de Sklar,
Theorem 27. Soit F une fonction de répartition n-dimensionelle de marginales
Fi . Alors il existe une copula C telle que
F (x) = C(F1 (x), . . . , Fn (x)).
La fonction copula donne des informations sur la structure de corrélation
des variables Xi indépendanment de leur lois marginales.
Quelques fonctioons copulas particulières :
Q
• La copula indépendante : C(u1 , . . . , un ) = n1 ui
• La copula Gaussienne C(u1 , . . . , un ) = NΣn (N −1 (u1 ), . . . , N −1 (un )) où
NΣn est la fonction de répartition pour la loi normale de dimension n
et de matrice de variance covariance Σ.
74
Quand n = 2 on a les bornes de Fréchet
max(u + v − 1, 0) ≤ C(u, v) ≤ min(u, v).
Si C(u, v) = min(u, v) est la fonction de répartition de (U, U ) on a
corrélation parfaite.
De même max(u + v − 1, 0) est la fonction de répartition de (U, 1 − U ),
corrélatin négative parfaite.
13.3
L’approche information incomplète
75

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