L`Obstruction d`Euler Locale d`une Application

L’Obstruction d’Euler Locale d’une Application
Nivaldo de G´oes Grulha J´unior ∗
05/07/2006
Introduction
L’obstruction d’Euler locale a ´et´e d´efinie par MacPherson [M] comme l’un des ingr´edients de sa
preuve de la conjecture de Deligne et Grothendieck concernant l’existence et l’unicit´e des classes
caract´eristiques des vari´et´es alg´ebriques complexes singuli`eres. Elle a ´et´e ensuite d´efinie par la
th´eorie d’obstruction par J.-P. Brasselet et M.H. Schwartz [BS] pour montrer que les classes de
Schwartz d’un vari´et´e singuli`ere co¨ıncident avec les classes de MacPherson. Par la suite, Gonzalez-
Sprinberg et Verdier [GS] ont montr´e une formule pour l’obstruction d’Euler locale en fonction des
classes de Chern de fibr´es vectoriels sur le transform´e de Nash de la vari´et´e alg´ebrique. Pour des
singularit´es g´en´eriques, l’obstruction d’Euler s’exprime en termes d’invariants polaires, d’apr`es un
r´esultat de Lˆe et Teissier [LT].
Dans [BLS] J.-P. Brasselet, Lˆe D. T. et J. Seade donnent une formule du type de Lefschetz donc
plus topologique, pour l’obstruction d’Euler locale, alors que la formule de [LT] est une formule
compl´etement alg´ebrique. La formule prouv´ee revient `a dire que l’obstruction d’Euler locale, comme
fonction constructible, satisfait la condition d’Euler (en th´eorie bivariante) en ce qui concerne les
formes lin´eaires g´en´eriques. L’article [BMPS] est une suite naturelle de [BLS] o`u le but est de
comprendre ce qui empˆeche l’obstruction d’Euler locale de satisfaire la condition d’Euler en ce qui
concerne les fonctions holomorphes singuli`eres `a l’origine. Le d´efaut est appel´e obstruction d’Euler
locale de f.
J.-P. Brasselet, J. Seade et T. Suwa ont donn´e une d´efinition pour l’obstruction d’Euler locale
associ´ee `a un k-rep`ere sur une vari´et´e analytique [BSS]. Dans le mˆeme esprit, notre objectif dans ce
travail est de pr´esenter une g´en´eralisation possible pour [BMPS]. On donne une formule (Th´eor`eme
5) pour repr´esenter l’obstruction d’Euler d’une application holomorphe f: (V, 0) →(Ck,0), o`u
(V, 0) est un germe de vari´et´e analytique complexe, ´equidimensionnel de dimention n≥k.
∗recherche soutenue par la CAPES (Coordena¸c˜ao de Aperfei¸coamento de Pessoal de N´ıvel Superior) num´ero
1198/05-0 et la FAPESP (Funda¸c˜ao de Amparo `a Pesquisa do Estado de S˜ao Paulo) num´ero 03/13929-6.
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1 Modification de Nash
Soit (V, 0) ⊂(M, 0) un germe de vari´et´e analytique complexe, ´equidimensionnel de dimension com-
plexe net (M, 0) un germe de vari´et´e complexe lisse de dimension complexe m. La Grassmanienne
des n-plans de Cmest not´ee G(n, m). Consid´erons le fibr´e en Grassmaniennes des n-plans (com-
plexes) de T M, not´e G. La fibre Gxau dessus de x∈Mest l’ensemble des n-plans de TxM, elle
est isomorphe `a G(n, m). Un ´el´ement de Gest not´e (x, P ) o`u x∈Met P∈Gx. Sur la partie lisse
de V, on peut d´efinir l’application de Gauss φ:Vreg →Gde la fa¸con suivante :
φ(x) = (x, TxVreg ).
G
Vreg //
φ==
z
z
z
z
z
z
z
z
M
D´efinition 1 La modification de Nash e Vest d´efinie comme l’adh´erence de l’image de φdans G.
Elle est munie d’une projection analytique naturelle ν:e V→V.
Le fibr´e tautologique Tsur Gest d´efini de la mani`ere suivante: La fibre Tpde T, au dessus d’un
point p= (x, P )∈Gest l’ensemble des vecteurs vdu n-plan P.
Tp={v∈TxM:v∈P, x =ν(x, P )}
On d´efinit le fibr´e e Tde base e Vcomme la restriction de Tsur e V, on a donc le diagramme :
e
T →T
↓ ↓
e
V →G
ν↓ ↓ ν
V →M
Un ´el´ement de Ts’´ecrit : (x, P, v) o`u P∈Gxet v∈P.
2 L’Obstruction d’Euler Locale
Notons {Vα}une stratification de Whitney de Mcompatible avec V. On suppose aussi que l’origine
{0}est une strate. Notons SV l’union des fibr´es tangents `a toutes les strates, SV =∪T Vα, que
l’on peut regarder comme un sous-ensemble du fibr´e tangent T M|V.
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D´efinition 2 Soit vune section de T M au dessus d’une partie Ade M, on dit que le champ vest
stratifi´e si pour x∈Vα∩Aon a v(x)∈TxVα, o`u Vαest la strate contenant x.
Soit B(a) la boule dans Mcentr´ee en aet de rayon (on a localement identifi´e M`a Cm).
D´efinition 3 On dit que le champ de vecteurs vest radial en asi vest un champ stratifi´e et si il
existe 0>0tel que le champ vest sortant de B(a), pour 0<  ≤0.
Lemme 1 ([BS], Proposition 9.1) Un champ de vecteurs stratifi´e vnon nul d´efini sur un sous-
ensemble A⊂Vadmet un rel`evement canonique ˜vcomme section non nulle de e Tau dessus de
ν−1(A).
Dans notre cas, pour un point ˜xde ˜ Vtel que x=ν(˜x), on d´efinit ˜v(˜x)∈e Tpar ˜v(˜x)=(x, P, v),
o`u P=Tx(Vreg ) si x∈Vreg, sinon on a P= limxi→xTxi(Vreg )o`u xiest une suite de points de
Vreg tendant vers x,v(x)∈Tx(Vα) o`u Vαest la strate qui contient xmais par la condition (a) de
Whitney Tx(Vα)⊂P, donc v∈P.
On a donc le diagramme suivant :
e
Tν∗//
T M|V
e
V
˜v
OO
ν//V
v
OO
Si ˜xest un point de e Vtel que ν(˜x) = x, alors v(x)∈Tx(Vα)⊂TxM. On pose ν∗(˜v(˜x)) = (x, v(x))
Th´eor`eme 1 (Bertini-Sard voir [V]) Si {Vα}est une stratification de Whitney de V, pour 
suffisamment petit (et positif) la sph`ere ∂B(0) est transverse aux strates Vα.
Dans toute la suite, nous noterons B=B(0).
La d´efinition suivante est due `a J.-P. Brasselet et M.H. Schwartz ([BS], Proposition 10.1). La
d´efinition originale est due `a R. MacPherson [M].
D´efinition 4 Soit vun champ de vecteurs radial sur V∩∂Bet ˜vle rel`evement de vsur l’ensemble
ν−1(V∩∂B). Le champ ˜vd´efinit un cocycle d’obstruction Obs(˜v), mesurant l’obstruction pour
´etendre ˜vcomme section non-nulle de e Tau dessus de ν−1(V∩B):
Obs(˜v)∈Z2n(ν−1(V∩B), ν−1(V∩∂B)).
3

L’obstruction d’Euler locale EuV(0) est l’ ´evaluation du cocycle Obs(˜v)sur la classe fondamentale
[ν−1(V∩B), ν−1(V∩∂B)], autrement dit :
EuV(0) := hObs(˜v),[ν−1(V∩B), ν−1(V∩∂B)]i.
Le calcul de l’obstruction d’Euler Locale par la d´efinition originale n’est pas facile, Lˆe et Teissier [LT]
on montr´e une formule exprimant EuV(0) en fonction des multiplicit´es polaires, laquelle permet
d’effectuer le calcul pour des exemples concrets.
Th´eor`eme 2 (Formule de Lˆe-Teissier)
EuV(0) = X(−1)k−1md−k−1(V)
o`u mi(V)est la multiplicit´e de la i-vari´et´e polaire en 0.
Remarque 1 Comme propri´et´es importantes de l’obstruction d’Euler locale on a les r´esultats suiv-
ants :
•L’obstruction d’Euler locale en un point lisse est ´egale `a 1.
•L’obstruction d’Euler locale en un point d’une courbe est la multiplicit´e du point sur la courbe
[GS].
•Un autre r´esultat tr`es important sur l’obstruction d’Euler locale, montr´e d’abord par J.-P.
Brasselet et M.H. Schwartz [BS], puis par plusieurs auteurs, est que l’obstruction d’Euler
locale est constante le long de chaque strate d’une stratification de Whitney.
3 R´esultats ant´erieurs
La formule principale prouv´ee en [BLS] est une formule de type Lefschetz, pour l’obstruction
d’Euler locale. Elle s’av`ere ˆetre ´equivalente `a dire que l’obstruction locale d’Euler, comme fonction
constructible, satisfait la condition locale d’Euler (en th´eorie bivariante) en ce qui concerne les
formes lin´eaires g´en´eriques. Dans [BMPS] le but est de comprendre ce qui empˆeche l’obstruction
locale d’Euler de satisfaire la condition locale d’Euler en ce qui concerne les fonctions qui sont
singuli`eres `a l’origine. Ceci est mesur´e par un invariant (ou ”d´efaut”) de telles fonctions dont nous
rappelons la d´efinition ci-dessous.
Th´eor`eme 3 ( [BLS]Th´eor`eme 3.1) Soit (V, 0) ⊂(M, 0) un germe de vari´et´e analytique com-
plexe comme ci-dessus et {Vα}une stratification de Whitney de V. Soit l:U→Cun forme lin´eaire
g´en´erique, o`u Uest un voisinage ouvert de 0dans M. On a :
EuV(0) = Xχ(Vα∩B∩l−1(t0)).EuV(Vα)
o`u est suffisamment petit, t0∈C\{0}est situ´e pr`es de l’origine et EuV(Vα)est l’obstruction
d’Euler de Ven n’importe quel point de la strate Vα.
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Exemple 1 Considerons la fonction f(x, y, t) = y2−x3−t2x2et notons V=f−1(0). Consid´erons
la stratification d´efinie par {V0={0}, V1={axe des t}, V2=Vreg}. C’est une stratification de
Whitney de V. Consid´erons la forme l(x, y, t) = t. La formule pr´ec´edante dit que
EuV(0) = χ(V0∩B∩l−1(t0)).EuV(V0)+χ(V1∩B∩l−1(t0)).EuV(V1)+χ(V2∩B∩l−1(t0)).EuV(V2)
Mais, V0∩B∩l−1(t0) = ∅donc on a χ(V0∩B∩l−1(t0)) = 0.
D’autre part V1∩B∩l−1(t0) = {(0,0, t0)}donc on a χ(V1∩B∩l−1(t0)) = 1.
Enfin V2∩B∩l−1(t0) = {(x, y, t)/y2−x3−t2
0x2= 0}\{(0,0, t0)}.
Avec l’aide du th´eor`eme 2 de [GLM] on peut calculer χ(V2∩B∩l−1(t0)) = −1
Avec l’aide du th´eor`eme 2et de l’observation 1on a EuV(V1)=2et EuV(V2) = EuV(Vreg )=1.
Donc on a
EuV(0) = 0.EuV(0) + 1.2+(−1).1 = 1.
3.1 Construction du champ ∇Vf(z)
Soit (V, 0) ⊂(M, 0) un germe de vari´et´e analytique complexe, ´equidimensionnel de dimension
complexe net (M, 0) un germe de vari´et´e complexe lisse de dimension complexe m. Notons {Vα}
une stratification de Whitney de Mcompatible avec V. On suppose aussi que l’origine {0}est une
strate (o`u {Vα}d´ecrit l’ensemble des strates de Vtelles que 0 ∈Vα).
Soit maintenant f:V→C, fonction holomorphe avec singularit´e isol´ee `a l’origine et restriction
de ˜ f:U→C, o`u Uest un sous-ensemble ouvert de Mcontenant V. En suivant la construction
de [BMPS], on peut associer `a fun champ stratifi´e not´e ∇Vf(z), o`u bar d´esigne la conjugaison
complexe. Noton ∇˜ f(z) le champ de vecteurs gradient de ˜ fsur un point z∈U, defini par
∇˜ f(z)=(∂˜
f
∂x1, ..., ∂˜
f
∂xn), o`u bar d´esigne la conjugaison complexe. Le noyau ker(d˜
fz) est transverse
`a Tz(Vα(z)) par tout z∈V\{0}. Pour tout z∈V\{0}, on a donc :
Angleh∇ ˜ f(z), Tz(Vα(z))i< π/2,
donc la projection de ∇˜ f(z) sur Tz(Vα(z)), not´ee ζα(z), n’est pas nulle.
Soit Vβune strate telle que Vα⊂Vβ, et soit π:Uα→Vαune voisinage tubulaire de Vαdans U. En
suivant la construction de M.H. Schwartz [Sc2], on peut voir que que la condition (a) de Whitney
implique que par tout point z∈Vβ∩Uα, l’angle entre ζβet l’extention parall`ele de ζ(π(z)) est
petit. Cette propri´et´e implique que ces deux champs de vecteurs sont homotopes sur le bord de
Uα. On peut donc coller les champs ζαpour obtenir un champ stratifi´e sur V, not´e ∇Vf(z). Ce
champ est homotope `a ∇˜ f(z)|Vet on a∇Vf(z)6= 0 pour tout z∈V\{0}.
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