TS Spécialité mathématiques

TS Spé Maths
Mardi 7 janvier 2014
N
13
DS N° 4
Partie A
On considère l’algorithme suivant :
Variables :
a est un entier naturel
b est un entier naturel
c est un entier naturel
Initialisation :
Affecter à c la valeur 0
Demander la valeur de a
Demander la valeur de b
Traitement :
Tant que a ≥ b
Affecter à c la valeur c + 1
Affecter à a la valeur a – b
Fin de tant que
Sortie :
Afficher c
Afficher a
O
14
P
15
a = 13
a=9
a=5
a=1
b=4
b=4
b=4
b=4
c=0
c=1
c=2
c=3
Initialisation :
Traitement :
Sortie :
2. Que permet de calculer cet algorithme ?
Cet algorithme permet de calculer le reste a (final) et le quotient c de la division
Euclidienne de a (initial) par b.
Partie B
A chaque lettre de l’alphabet, on associe, grâce au tableau ci-dessous, un nombre
entier compris entre 0 et 25.
C
2
D
3
E
4
F
5
G
6
H
7
I
8
J
9
K
10
T
19
U
20
V
21
W
22
X
23
Y
24
Z
25
2. Modifier l’algorithme de la partie A pour qu’à une valeur rentrée par
l’utilisateur, il affiche la valeur p, calculée à l’aide du procédé de codage
précédent.
Ainsi l’algorithme affiche a = 1 et c = 3.
B
1
S
18
1. Coder la lettre U.
U correspond au nombre 20.
Or 9 × 20 + 5 = 185 ≡ 3 (26)
Or le nombre 3 correspond à la lettre D du tableau.
Ainsi le codage de U est D.
Variables :
1ère étape
2ème étape
3ème étape
4ème étape
R
17
On définit un procédé de codage de la façon suivante :
Etape 1
A la lettre que l’on veut coder, on associe un nombre m
correspondant dans le tableau.
Etape 2
On calcule le reste de la division euclidienne de 9m + 5 par 26 et
on le note p.
Etape 3
Au nombre p, on associe la lettre correspondante dans le tableau.
1. Faire fonctionner cet algorithme avec a = 13 et b = 4 en indiquant les valeurs
des variables à chaque étape.
A
0
Q
16
L
11
M
12
a est un entier naturel
p est un entier naturel
Demander la valeur de a
Affecter à p la valeur 9a + 5
Tant que b ≥ 26
Affecter à p la valeur p – 26
Fin de tant que
Afficher p
Partie C
1. Trouver un nombre entier x tel que 9x ≡ 1 (26).
Il suffit de faire la table de la fonction (9x – 1) :26 et de trouver une image entière.
On trouve par exemple x = 3.
2. Démontrer alors l’équivalence :
9m + 5 ≡ p (26) ⟺ m ≡ 3p – 15 (26)
9m + 5 ≡ p (26) ⟺ 3(9m + 5) ≡ 3p (26) ⟺ 27m + 15 ≡ 3p (26)
⟺ m ≡ 3p – 15 (26) car 27 ≡ 1 (26)
3. Décoder alors IBNPDE SBPA !! (On expliquera le raisonnement)
I correspond au nombre 8.
Or 3 × 8 - 15 = 9 ≡ 9 (26)
Or le nombre 9 correspond à la lettre J du tableau.
Ainsi le décodage de I est J.
On fait de même avec les autres lettres, on trouve alors comme message JOYEUX
NOEL !!