TS Spé Maths Mardi 7 janvier 2014 N 13 DS N° 4 Partie A On considère l’algorithme suivant : Variables : a est un entier naturel b est un entier naturel c est un entier naturel Initialisation : Affecter à c la valeur 0 Demander la valeur de a Demander la valeur de b Traitement : Tant que a ≥ b Affecter à c la valeur c + 1 Affecter à a la valeur a – b Fin de tant que Sortie : Afficher c Afficher a O 14 P 15 a = 13 a=9 a=5 a=1 b=4 b=4 b=4 b=4 c=0 c=1 c=2 c=3 Initialisation : Traitement : Sortie : 2. Que permet de calculer cet algorithme ? Cet algorithme permet de calculer le reste a (final) et le quotient c de la division Euclidienne de a (initial) par b. Partie B A chaque lettre de l’alphabet, on associe, grâce au tableau ci-dessous, un nombre entier compris entre 0 et 25. C 2 D 3 E 4 F 5 G 6 H 7 I 8 J 9 K 10 T 19 U 20 V 21 W 22 X 23 Y 24 Z 25 2. Modifier l’algorithme de la partie A pour qu’à une valeur rentrée par l’utilisateur, il affiche la valeur p, calculée à l’aide du procédé de codage précédent. Ainsi l’algorithme affiche a = 1 et c = 3. B 1 S 18 1. Coder la lettre U. U correspond au nombre 20. Or 9 × 20 + 5 = 185 ≡ 3 (26) Or le nombre 3 correspond à la lettre D du tableau. Ainsi le codage de U est D. Variables : 1ère étape 2ème étape 3ème étape 4ème étape R 17 On définit un procédé de codage de la façon suivante : Etape 1 A la lettre que l’on veut coder, on associe un nombre m correspondant dans le tableau. Etape 2 On calcule le reste de la division euclidienne de 9m + 5 par 26 et on le note p. Etape 3 Au nombre p, on associe la lettre correspondante dans le tableau. 1. Faire fonctionner cet algorithme avec a = 13 et b = 4 en indiquant les valeurs des variables à chaque étape. A 0 Q 16 L 11 M 12 a est un entier naturel p est un entier naturel Demander la valeur de a Affecter à p la valeur 9a + 5 Tant que b ≥ 26 Affecter à p la valeur p – 26 Fin de tant que Afficher p Partie C 1. Trouver un nombre entier x tel que 9x ≡ 1 (26). Il suffit de faire la table de la fonction (9x – 1) :26 et de trouver une image entière. On trouve par exemple x = 3. 2. Démontrer alors l’équivalence : 9m + 5 ≡ p (26) ⟺ m ≡ 3p – 15 (26) 9m + 5 ≡ p (26) ⟺ 3(9m + 5) ≡ 3p (26) ⟺ 27m + 15 ≡ 3p (26) ⟺ m ≡ 3p – 15 (26) car 27 ≡ 1 (26) 3. Décoder alors IBNPDE SBPA !! (On expliquera le raisonnement) I correspond au nombre 8. Or 3 × 8 - 15 = 9 ≡ 9 (26) Or le nombre 9 correspond à la lettre J du tableau. Ainsi le décodage de I est J. On fait de même avec les autres lettres, on trouve alors comme message JOYEUX NOEL !!