TERMINALE S Mathématiques, enseignement de spécialité
DIVISIBILITÉ ET NOMBRES PREMIERS
I – Divisibilité dans Z
1 – Division euclidienne dans Z.
Soient a un nombre entier relatif et b un entier naturel non nul, il existe un unique couple
(q ; r) d’entiers relatifs tels que a = bq + r, avec 0 ≤ r < b.
démonstration :
Propriétés préliminaires, admises :
a) IR est archimédien : pour tout réel strictement positif a, et pour tout nombre réel x,
il existe un unique entier relatif k tel que ka ≤ x < (k+1)a. (Axiome d’Archimède)
b) Toute partie non vide de IN a un plus petit élément. (IN est bien ordonné)
Existence du couple (q ; r)
Soit E l’ensemble des entiers naturels n tels que a < bn
b est non nul, il résulte de l’Axiome d’Archimède que E est non vide
E est une partie non vide de IN, il a un plus petit élément p.
0 n’est pas un élément de E, donc p est donc supérieur ou égal à 1,
montrons alors que le nombre q = p -1 convient :
q est plus petit que p, ce n’est donc pas un élément de E
il en résulte que bq ≤ a
d’autre part, a < b(q+1) puisque q+1 = p est un élément de E
posons alors r = a – bq
de bq ≤ a < b(q+1) on déduit 0 ≤ a – bq < b(q+1) – bq
ce qui équivaut à 0 ≤ a – bq < b soit 0 ≤ r < b
on a donc déterminé un couple (q ; r) d’entiers relatifs tels que a = bq + r, avec 0 ≤ r < b.
Unicité du couple (q ; r)
Supposons qu’il existe un autre couple (q’ ; r’) vérifiant les mêmes conditions,
on aurait alors bq + r = bq’ + r’, ce qui équivaut à b(q – q’) = r’ – r (1)
L’égalité (1) montre que r’ – r est un multiple de b
or, de 0 ≤ r < b et 0 ≤ r < b, on déduit –b < r’ – r < b
mais le seul multiple de b strictement compris entre –b et b est 0, d’où r’ = r
on en déduit que les couples sont égaux, ce qui contredit notre hypothèse de départ.
Le couple (q ; r) d’entiers relatifs tels que a = bq + r, avec 0 ≤ r < b est donc unique.