Cours d`arithmétique

TERMINALE S
Mathématiques, enseignement de spécialité
DIVISIBILITÉ ET NOMBRES PREMIERS
I – Divisibilité dans Z
1 – Division euclidienne dans Z.
Soient a un nombre entier relatif et b un entier naturel non nul, il existe un unique couple
(q ; r) d’entiers relatifs tels que a = bq + r, avec 0 ≤ r < b.
démonstration :
Propriétés préliminaires, admises :
a) IR est archimédien : pour tout réel strictement positif a, et pour tout nombre réel x,
il existe un unique entier relatif k tel que ka ≤ x < (k+1)a. (Axiome d’Archimède)
b) Toute partie non vide de IN a un plus petit élément. (IN est bien ordonné)
Existence du couple (q ; r)
Soit E l’ensemble des entiers naturels n tels que a < bn
b est non nul, il résulte de l’Axiome d’Archimède que E est non vide
E est une partie non vide de IN, il a un plus petit élément p.
0 n’est pas un élément de E, donc p est donc supérieur ou égal à 1,
montrons alors que le nombre q = p -1 convient :
q est plus petit que p, ce n’est donc pas un élément de E
il en résulte que bq ≤ a
d’autre part, a < b(q+1) puisque q+1 = p est un élément de E
posons alors r = a – bq
de bq ≤ a < b(q+1) on déduit 0 ≤ a – bq < b(q+1) – bq
ce qui équivaut à 0 ≤ a – bq < b soit 0 ≤ r < b
on a donc déterminé un couple (q ; r) d’entiers relatifs tels que a = bq + r, avec 0 ≤ r < b.
Unicité du couple (q ; r)
Supposons qu’il existe un autre couple (q’ ; r’) vérifiant les mêmes conditions,
on aurait alors bq + r = bq’ + r’, ce qui équivaut à b(q – q’) = r’ – r (1)
L’égalité (1) montre que r’ – r est un multiple de b
or, de 0 ≤ r < b et 0 ≤ r < b, on déduit –b < r’ – r < b
mais le seul multiple de b strictement compris entre –b et b est 0, d’où r’ = r
on en déduit que les couples sont égaux, ce qui contredit notre hypothèse de départ.
Le couple (q ; r) d’entiers relatifs tels que a = bq + r, avec 0 ≤ r < b est donc unique.
Conséquences :
- tout entier naturel a peut s’écrire sous la forme 2k ou 2k + 1
- tout entier naturel a peut s’écrire sous la forme 3k ou 3k + 1 ou 3k + 2….
Définitions : lorsque les nombres q et r ont été déterminés, on dit qu’on a effectué la division
euclidienne de a par b. q est le quotient et r le reste.
Exemples :
45 = 6x7 + 3
2
2012 = 201x10 +2
0
8
1
1
9
2012 = 167x12 +8
2
1
1
2
6
7
2
8
2 – Divisibilité.
Soient a et b deux entiers relatifs.
On dit que b divise a si et seulement si il existe un entier relatif k tel que a = kb.
On dit alors que b est un diviseur de a ou encore que a est un multiple de b.
Exemples :
45 = 3x15, 3 et 15 sont donc des diviseurs de 45.
-12 = 2x(-6), 2 et -6 sont donc des diviseurs de -12.
Remarques :
- Pour tout entier relatif a, a et – a ont les mêmes diviseurs, on peut donc restreindre l’étude
de la divisibilité à l’ensemble des entiers naturels.
- Tout nombre a est un diviseur de 0, en effet : 0 = ax0.
- 0 ne divise aucun entier non nul.
- Pour tout entier naturel n, 1 et n sont des diviseurs de n.
Remarque : L’entier b est un diviseur de a si et seulement si le reste dans la division
euclidienne de a par b est nul.
3 – Propriétés :
a) Ensemble des diviseurs d’un entier naturel non nul n.
Tout diviseur positif d de n vérifie : 1 ≤ d ≤ n.
démonstration :
0 ne divise aucun nombre non nul, donc 1 ≤ d
si d > n, alors pour tout k strictement positif, dk > n donc d ne divise pas n
Conséquence : tout entier relatif non nul a un nombre fini de diviseurs.
b) Divisibilité et opérations :
1. Si a divise b et b divise c, alors a divise c.
2. Si a divise b, alors pour tout nombre entier m ; a divise mb.
3. Si a divise b et a divise c, alors a divise b + c.
4. Si a divise b et a divise c, alors pour tous entiers m et n, a divise mb + nc.
démonstrations :
II – Congruences
a et b sont deux entiers relatifs et n un entier naturel non nul.
1 – Définition :
On dit que a est congru à b modulo n lorsque a - b est un multiple de n.
On écrit alors a ≡ b [n].
Remarques :
si a ≡ b [n] alors b ≡ a [n], c’est pourquoi on dit souvent que a et b sont congrus modulo n.
si a ≡ b [n] et b ≡ c [n] alors a ≡ c [n]
2 – Propriétés
a) Compatibilité avec l’addition :
Si a ≡ a’ [n] et b ≡ b’ [n] alors a + b ≡ a’ + b’ [n].
b) Compatibilité avec la multiplication :
Si a ≡ a’ [n] et b ≡ b’ [n] alors ab ≡ a’b’ [n].
c) Compatibilité avec les puissances :
Si a ≡ b [n] alors pour tout entier k supérieur ou égal à 1, a k ≡ bk [n].
Exemple d’application : montrer que pour tout entier naturel k, 2008 k ≡ 1 [9]
3 – Propriété caractéristique : a et b sont deux entiers relatifs et n un entier naturel non nul,
les nombres a et b sont congrus modulo n si et seulement si a et b ont le même reste dans la
division euclidienne par n.
Remarque : comme toute propriété caractéristique, elle aurait pu servir de définition.
Plus difficile : quel est le reste dans la division par 9 de 20122013 ?
3+1 – Applications
a) Critères de divisibilité :
Les congruences permettent d’obtenir des critères de divisibilité.
Exemples : divisibilité par 9
divisibilité par 11
un nombre N écrit dans le système décimal est
le nombre qui s'écrit N = Cn...C2C1C0 dans le système
divisible par 9 si et seulement si la somme de ses
décimal est divisible par 11 si et seulement si
chiffres est divisible par 9.
(-1)nCn...(-1)2C2 - C1 + C0 ≡ 0 [11]
Prolongement : trouver un critère de divisibilité par 7 pour un nombre à 6 chiffres puis à 18 chiffres.
b) La « preuve » par neuf :
On utilise la congruence modulo 9 pour détecter une erreur de calcul.
Exemple : L’opération 23 456 789 x 487 654 321 = 11 438 804 512 635 369 est-elle juste ?
c) Les clés de contrôle :
Une « clé » est souvent ajoutée à des numéros pour détecter certaines fraudes ou erreurs de
saisie.
Exemples :
- La clé du Numéro d’INSEE d’une personne est le reste modulo
97 du nombre formé par les 13 premiers chiffres.
- Le chiffre de droite du numéro de série d'un billet de banque est une clé de contrôle (la lettre
à gauche indique le pays d'origine du billet).
III – Nombres premiers
1 – Définition :
Un entier naturel n est premier si et seulement si il a exactement 2 diviseurs positifs.
Exemples :
2 et 13 sont des nombres premiers, 2 est le seul nombre premier pair.
1 et 12 ne sont pas des nombres premiers.
2 – Propriétés :
a) Tout entier naturel supérieur ou égal à 2 admet au moins un diviseur premier.
b) Tout entier naturel n non premier supérieur ou égal à 2 admet un diviseur premier a tel que
a inférieur ou égal à
n
.
c) Il existe une infinité de nombres premiers.
démonstrations :
Conséquence pratique : test de primalité d’un entier.
Pour démontrer qu’un entier n supérieur ou égal à 2 est premier, il suffit de vérifier que n n’est
divisible par aucun nombre premier dont le carré est inférieur à n.
Théorème fondamental :
Tout entier naturel strictement supérieur à 1 se décompose en un produit de facteurs
premiers et cette décomposition est unique à l'ordre des facteurs près.
démonstration :
Conséquence : Un entier naturel d divise l'entier naturel n si et seulement si les facteurs
premiers de la décomposition en produit de facteurs premiers de d figurent dans la
décomposition de n avec des exposants au moins égaux.
démonstration :
Exemple : les diviseurs de 23x32x5 sont les nombres
on en déduit que le nombre 360 a
diviseurs.
ou plus généralement à l'aide d'un arbre :
on peut représenter ces nombres par un
treillis :