Probabilités conditionnelles et lois binomiales ÉPREUVE N°6

Probabilités conditionnelles et lois binomiales
1
ÉPREUVE N°6 (France métropolitaine remplacement 1997)
Exercice n°1 (9 points)
Les questions 1) et 2) de l'exercice sont indépendantes.
Une plaine fertile dont on souhaite la mise en valeur est située entre deux rivières R
A
et R
B
. Elle est parfois
inondée, quelques années par siècle, et au plus une fois par an. L'inondation se produit lorsque l'une ou l'autre des
rivières sort de son lit. Chaque année, quatre possibilités peuvent être envisagées :
• ni R
A
, ni R
B
ne déborde ;
• seulement R
A
déborde ;
• seulement R
B
déborde ;
• R
A
et R
B
débordent.
On considère les événements suivants :
 A : "Au cours d'une année, R
A
déborde" ;
 B : "Au cours d'une année, R
B
déborde" ;
 I : "Au cours d'une année, la plaine est inondée" ;
 on donne les probabilités : P ( A ) = 0,040 ; P ( B ) = 0,026 et
A
P (B)
= 0,4.
1)
a) Calculer la probabilité pour qu'au cours d'une année, les rivières R
A
et R
B
débordent toutes
les deux. Vérifier que les événements R
A
et R
B
ne sont pas indépendants.
b) Calculer P ( I ) et P ( I ).
c) Calculer la probabilité pour que R
B
déborde sans que R
A
déborde.
2) On suppose que sur une période de dix ans, l'inondation est un phénomène indépendant d'une année
sur l'autre et que la probabilité pour que la plaine soit inondée une année donnée est 0,05.
Soit X la variable aléatoire qui prend comme valeurs le nombre d'années d'inondation sur cette
période de dix ans.
a) Justifier que la loi X est une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
b) Calculer la probabilité pour que la période ne comporte aucune année d'inondation.
c) Calculer la probabilité pour que la période comporte au moins une année d'inondation.
d) Calculer la probabilité pour que la période comporte au plus deux années d'inondation.

Probabilités conditionnelles et lois binomiales
2
ÉPREUVE N°6 (France métropolitaine - Réunion 2000)
Exercice n°1 (4 points)
Dans un troupeau, un berger possède des brebis de deux races A et B. La race A est représentée dans la
proportion de 40 %. Une étude sur la fécondité des races A et B a donné les résultats suivants : 2,5 % des brebis
A sont stériles et 5 % des brebis B sont stériles.
1) On choisit une brebis au hasard. Montrer que la probabilité pour qu'elle soit stérile est 0,04.
2) Le berger prélève au hasard, pour les examiner, successivement et avec remise, 12 brebis dans le
troupeau. Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de brebis stériles sur les 12.
a) Justifier que X suit la loi binomiale de paramètres n = 12 et p = 0,04.
Les résultats suivants seront donnés à l0
-4
près.
b) Quelle est la probabilité pour que, sur ces 12 brebis, 3 exactement soient stériles ?
c) Quelle est la probabilité pour que, sur ces 12 brebis, aucune ne soit stérile ?

Probabilités conditionnelles et lois binomiales
3
ÉPREUVE N°6 (Antilles - Guyane 2000)
Exercice n°1 (7 points)
Dans une ferme, on produit des œufs de tailles différentes :
• des "petits", dans la proportion de 20 % ;
• des "moyens", dans la proportion de 50 % ;
• des "gros", dans la proportion de 30 %.
Ils sont de deux qualités : "ordinaire" ou "supérieure". On a remarqué que :
♦ 80 % des "petits" œufs sont de qualité ordinaire ;
♦ 50 % des œufs "moyens" sont de qualité ordinaire ;
♦ 20 % des "gros" œufs sont de qualité ordinaire.
1) Recopier et compléter le tableau suivant avec les pourcentages qui conviennent :
Qualité "ordinaire" Qualité "supérieure"
Total
"petits"
"moyens"
"gros"
Total 100 %
2) On choisit au hasard un œuf sur la chaîne de production. Déduire de ce tableau :
a ) la probabilité pour que cet œuf soit "petit" et de qualité "ordinaire".
b ) la probabilité pour que cet œuf soit de qualité "ordinaire".
c ) la probabilité pour que cet œuf soit de qualité "supérieure".
d ) la probabilité pour que cet œuf soit "gros" et de qualité "supérieure".
3) On prélève au hasard, pour les examiner, successivement et avec remise, 12 œufs sur la chaîne de
production. Soit X la variable aléatoire représentant le nombre d'œufs "gros" et de qualité
"supérieure" parmi ces 12 œufs.
a) Justifier que X suit la loi binomiale de paramètres n = 12 et p = 0,24.
b) Déterminer la probabilité pour que, parmi ces 12 œufs, 6 exactement soient "gros" et de
qualité "supérieure".
c) Déterminer la probabilité pour que, parmi ces 12 œufs, 1 au moins soit "gros" et de qualité
"supérieure".

Probabilités conditionnelles et lois binomiales
4
ÉPREUVE N°6 (Remplacement - France métropolitaine - Antilles - Guyane -
Réunion 2000)
Exercice n°1 (8 points)
Pour cause de pollution de l'air, le conseil municipal d'une grande ville décide d'interdire, pendant une journée, la
circulation en centre ville aux véhicules non prioritaires portant un numéro pair. On sait que :
• 4 % des véhicules sont prioritaires ;
•
16
7
des véhicules non prioritaires portent un numéro pair ;
• la moitié des véhicules prioritaires portent un numéro impair.
1) Recopier et compléter le tableau suivant en indiquant, pour un total de 100 véhicules, le nombre de
véhicules de chaque catégorie.
Véhicule prioritaire Véhicule non prioritaire Total
Numéro pair
Numéro impair
Total 100
2) On considère les événements :
A : "le véhicule est prioritaire" et B : "le véhicule porte un numéro pair".
a) Calculer les probabilités suivantes : P (A), P (B), P (A ∩ B) et P (A ∪ B).
b) Quelle est la probabilité qu'un véhicule n'ait pas le droit de circuler ce jour là ?
c) Les événements A et B sont-ils indépendants ?
3) L'épreuve consiste à contrôler au hasard un véhicule en centre ville. On admet que la probabilité que
son conducteur soit en infraction pour diverses raisons est p = 0,15.
25 contrôles sont effectués au hasard de manière indépendante, un conducteur pouvant être contrôlé
plusieurs fois. On note X la variable aléatoire prenant pour valeurs le nombre d'infractions constatées
parmi les 25 contrôles effectués.
a) Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
b) Calculer la probabilité que 5 véhicules contrôlés soient en infraction.

Probabilités conditionnelles et lois binomiales
5
ÉPREUVE N°6 (Nouvelle Calédonie 2002)
Exercice n°1 (8 points)
Un concessionnaire vient de recevoir un lot de 500 voitures à vendre d'occasion.
II sait que sur ces 500 voitures, 10 présentent au moins un défaut d'allumage, 8 présentent au moins un défaut de
freinage et 5 présentent les deux défauts.
On note A l'événement : "La voiture présente un défaut d'allumage".
On note F l'événement : "La voiture présente un défaut de freinage".
Partie A
1) Traduire l'énoncé en donnant P (A), P (F) et P (A ∩ F).
2) Déterminer la probabilité qu'une voiture du lot présente au moins l'un des deux défauts.
3) Sachant qu'une voiture donnée du lot présente un défaut d'allumage, déterminer la probabilité qu'elle
présente un défaut de freinage.
Partie B
Dans cette partie, on arrondira les résultats à 10
-3
près.
Le concessionnaire procède à un test : il prélève une voiture au hasard, teste si elle est défectueuse, c'est à dire si
elle présente au moins l'un des deux défauts. II répète cette expérience 10 fois, de manière indépendante. On note
X la variable aléatoire prenant pour valeurs le nombre de voitures défectueuses lors des 10 contrôles.
La probabilité qu'une voiture soit défectueuse est égale à 0,026.
1) Justifier que la loi de X est une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2) Calculer la probabilité des événements suivants :
a) aucune voiture n'est défectueuse lors de ces 10 contrôles.
b) au moins deux voitures sont défectueuses lors de ces 10 contrôles.