Probabilités conditionnelles et lois binomiales ÉPREUVE N°6

ÉPREUVE N°6 (France métropolitaine remplacement 1997)
Exercice n°1 (9 points)
Les questions 1) et 2) de l'exercice sont indépendantes.
Une plaine fertile dont on souhaite la mise en valeur est située entre deux rivières RA et RB. Elle est parfois
inondée, quelques années par siècle, et au plus une fois par an. L'inondation se produit lorsque l'une ou l'autre des
rivières sort de son lit. Chaque année, quatre possibilités peuvent être envisagées :
•
•
•
•
ni RA, ni RB ne déborde ;
seulement RA déborde ;
seulement RB déborde ;
RA et RB débordent.
On considère les événements suivants :
A : "Au cours d'une année, RA déborde" ;
B : "Au cours d'une année, RB déborde" ;
I : "Au cours d'une année, la plaine est inondée" ;
on donne les probabilités : P ( A ) = 0,040 ; P ( B ) = 0,026 et PA (B) = 0,4.
1)
a) Calculer la probabilité pour qu'au cours d'une année, les rivières RA et RB débordent toutes
les deux. Vérifier que les événements RA et RB ne sont pas indépendants.
b) Calculer P ( I ) et P ( I ).
c) Calculer la probabilité pour que RB déborde sans que RA déborde.
2) On suppose que sur une période de dix ans, l'inondation est un phénomène indépendant d'une année
sur l'autre et que la probabilité pour que la plaine soit inondée une année donnée est 0,05.
Soit X la variable aléatoire qui prend comme valeurs le nombre d'années d'inondation sur cette
période de dix ans.
a) Justifier que la loi X est une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
b) Calculer la probabilité pour que la période ne comporte aucune année d'inondation.
c) Calculer la probabilité pour que la période comporte au moins une année d'inondation.
d) Calculer la probabilité pour que la période comporte au plus deux années d'inondation.
Probabilités conditionnelles et lois binomiales
1
ÉPREUVE N°6 (France métropolitaine - Réunion 2000)
Exercice n°1 (4 points)
Dans un troupeau, un berger possède des brebis de deux races A et B. La race A est représentée dans la
proportion de 40 %. Une étude sur la fécondité des races A et B a donné les résultats suivants : 2,5 % des brebis
A sont stériles et 5 % des brebis B sont stériles.
1) On choisit une brebis au hasard. Montrer que la probabilité pour qu'elle soit stérile est 0,04.
2) Le berger prélève au hasard, pour les examiner, successivement et avec remise, 12 brebis dans le
troupeau. Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de brebis stériles sur les 12.
a) Justifier que X suit la loi binomiale de paramètres n = 12 et p = 0,04.
Les résultats suivants seront donnés à l0-4 près.
b) Quelle est la probabilité pour que, sur ces 12 brebis, 3 exactement soient stériles ?
c) Quelle est la probabilité pour que, sur ces 12 brebis, aucune ne soit stérile ?
Probabilités conditionnelles et lois binomiales
2
ÉPREUVE N°6 (Antilles - Guyane 2000)
Exercice n°1 (7 points)
Dans une ferme, on produit des œufs de tailles différentes :
•
•
•
des "petits", dans la proportion de 20 % ;
des "moyens", dans la proportion de 50 % ;
des "gros", dans la proportion de 30 %.
Ils sont de deux qualités : "ordinaire" ou "supérieure". On a remarqué que :
♦ 80 % des "petits" œufs sont de qualité ordinaire ;
♦ 50 % des œufs "moyens" sont de qualité ordinaire ;
♦ 20 % des "gros" œufs sont de qualité ordinaire.
1) Recopier et compléter le tableau suivant avec les pourcentages qui conviennent :
Qualité "ordinaire"
Qualité "supérieure"
Total
"petits"
"moyens"
"gros"
Total
100 %
2) On choisit au hasard un œuf sur la chaîne de production. Déduire de ce tableau :
a ) la probabilité pour que cet œuf soit "petit" et de qualité "ordinaire".
b ) la probabilité pour que cet œuf soit de qualité "ordinaire".
c ) la probabilité pour que cet œuf soit de qualité "supérieure".
d ) la probabilité pour que cet œuf soit "gros" et de qualité "supérieure".
3) On prélève au hasard, pour les examiner, successivement et avec remise, 12 œufs sur la chaîne de
production. Soit X la variable aléatoire représentant le nombre d'œufs "gros" et de qualité
"supérieure" parmi ces 12 œufs.
a) Justifier que X suit la loi binomiale de paramètres n = 12 et p = 0,24.
b) Déterminer la probabilité pour que, parmi ces 12 œufs, 6 exactement soient "gros" et de
qualité "supérieure".
c) Déterminer la probabilité pour que, parmi ces 12 œufs, 1 au moins soit "gros" et de qualité
"supérieure".
Probabilités conditionnelles et lois binomiales
3
ÉPREUVE N°6 (Remplacement - France métropolitaine - Antilles - Guyane Réunion 2000)
Exercice n°1 (8 points)
Pour cause de pollution de l'air, le conseil municipal d'une grande ville décide d'interdire, pendant une journée, la
circulation en centre ville aux véhicules non prioritaires portant un numéro pair. On sait que :
•
•
4 % des véhicules sont prioritaires ;
7
des véhicules non prioritaires portent un numéro pair ;
16
•
la moitié des véhicules prioritaires portent un numéro impair.
1) Recopier et compléter le tableau suivant en indiquant, pour un total de 100 véhicules, le nombre de
véhicules de chaque catégorie.
Véhicule prioritaire
Véhicule non prioritaire
Numéro pair
Numéro impair
Total
Total
100
2) On considère les événements :
A : "le véhicule est prioritaire" et B : "le véhicule porte un numéro pair".
a) Calculer les probabilités suivantes : P (A), P (B), P (A ∩ B) et P (A ∪ B).
b) Quelle est la probabilité qu'un véhicule n'ait pas le droit de circuler ce jour là ?
c) Les événements A et B sont-ils indépendants ?
3) L'épreuve consiste à contrôler au hasard un véhicule en centre ville. On admet que la probabilité que
son conducteur soit en infraction pour diverses raisons est p = 0,15.
25 contrôles sont effectués au hasard de manière indépendante, un conducteur pouvant être contrôlé
plusieurs fois. On note X la variable aléatoire prenant pour valeurs le nombre d'infractions constatées
parmi les 25 contrôles effectués.
a) Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
b) Calculer la probabilité que 5 véhicules contrôlés soient en infraction.
Probabilités conditionnelles et lois binomiales
4
ÉPREUVE N°6 (Nouvelle Calédonie 2002)
Exercice n°1 (8 points)
Un concessionnaire vient de recevoir un lot de 500 voitures à vendre d'occasion.
II sait que sur ces 500 voitures, 10 présentent au moins un défaut d'allumage, 8 présentent au moins un défaut de
freinage et 5 présentent les deux défauts.
On note A l'événement : "La voiture présente un défaut d'allumage".
On note F l'événement : "La voiture présente un défaut de freinage".
Partie A
1) Traduire l'énoncé en donnant P (A), P (F) et P (A ∩ F).
2) Déterminer la probabilité qu'une voiture du lot présente au moins l'un des deux défauts.
3) Sachant qu'une voiture donnée du lot présente un défaut d'allumage, déterminer la probabilité qu'elle
présente un défaut de freinage.
Partie B
Dans cette partie, on arrondira les résultats à 10-3 près.
Le concessionnaire procède à un test : il prélève une voiture au hasard, teste si elle est défectueuse, c'est à dire si
elle présente au moins l'un des deux défauts. II répète cette expérience 10 fois, de manière indépendante. On note
X la variable aléatoire prenant pour valeurs le nombre de voitures défectueuses lors des 10 contrôles.
La probabilité qu'une voiture soit défectueuse est égale à 0,026.
1) Justifier que la loi de X est une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2) Calculer la probabilité des événements suivants :
a) aucune voiture n'est défectueuse lors de ces 10 contrôles.
b) au moins deux voitures sont défectueuses lors de ces 10 contrôles.
Probabilités conditionnelles et lois binomiales
5
ÉPREUVE N°6 (Nouvelle Calédonie 2004)
Exercice n°1 (10 points)
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A
Une fromagerie artisanale a mis au point un nouveau fromage aux herbes. Avant le lancement sur le marché, une
enquête est réalisée sur le goût et l’odeur de ce fromage. Au cours de celle-ci, chaque personne doit donner son
appréciation :
sur l’odeur, qui a deux modalités (odeur forte et odeur non forte) ;
sur le goût, qui a deux modalités (goût épicé et goût non épicé).
Les résultats obtenus sont les suivants :
60 % des personnes interrogées trouvent que le fromage a une odeur forte ;
parmi les personnes interrogées qui trouvent le fromage à odeur forte, 30 % le trouvent épicé ;
10 % des personnes interrogées ne trouvent ni l’odeur forte ni le goût épicé.
On interroge au hasard une personne ayant donné son appréciation. On note :
F l’événement : "L’appréciation est : odeur forte", F l’événement contraire de F.
E l’événement : "L’appréciation est : goût épicé", E l’événement contraire de E.
1) Montrer que P (E
donné en annexe.
F) = 0,18 puis recopier et compléter le tableau des probabilités du document
2)
a) Quelle est la probabilité que la personne interrogée réponde que :
• le fromage a un goût épicé ?
• le fromage a une odeur forte ou un goût épicé ?
b) Quelle est la probabilité qu’une personne trouvant le fromage épicé lui trouve également
une odeur forte ?
3) Les événements "Odeur forte" et "Goût épicé" sont-ils indépendants ? Justifier votre réponse.
Partie B
On suppose que cette fromagerie produit 18 % de fromages à odeur forte et au goût épicé. Un technicien teste au
hasard et avec remise 20 fromages.
On note X la variable aléatoire égale au nombre de fromages ayant une odeur forte et un goût épicé parmi les 20
fromages testés.
1) Justifier que la loi de probabilité de X est une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2) Dans cette question, les résultats seront donnés sous forme décimale et arrondis à 10-3 près.
Probabilités conditionnelles et lois binomiales
6
Quelle est la probabilité que parmi les 20 fromages :
a) il n’y ait aucun fromage à odeur forte et au goût épicé ?
b) il y ait exactement un fromage à odeur forte et au goût épicé ?
c) il y ait au moins deux fromages à odeur forte et au goût épicé ?
ANNEXE À COMPLÉTER ET À RENDRE AVEC LA COPIE
Odeur
Goût
E
F
F
Total
0,18
E
Total
Probabilités conditionnelles et lois binomiales
1
7
ÉPREUVE N°6 (France métropolitaine – Réunion 2005)
Exercice n°1 (8 points)
On dispose d'une roue parfaitement équilibrée comportant 12 secteurs de même taille, numérotés de 1 à 12. Les
secteurs 3 et 9 sont verts et les autres jaunes.
Partie A
L'épreuve consiste à faire tourner la roue. Si elle s'arrête sur un secteur vert, on tire un billet de loterie dans une
urne A. Sinon, on tire un billet de loterie dans une urne B.
Dans l'urne A, un billet sur 4 est gagnant. Dans l'urne B, un billet sur 10 est gagnant. On considère les événements :
A : "On tire le billet dans l'urne".
G : "Le billet tiré est gagnant".
1)
a) Montrer que P (A) = 1 .
6
b) Décrire cette situation à l'aide d'un arbre de probabilités en précisant les valeurs des
probabilités sur chaque branche.
2)
a) Calculer P (G ∩ A). On donnera le résultat sous forme de fraction irréductible.
b) Montrer que P (G) = 1 .
8
3) Sachant que le billet tiré est gagnant, déterminer la probabilité qu'il provienne de l'urne A. On
donnera le résultat sous forme de fraction irréductible.
Partie B
On répète 10 fois, de façon indépendante, l'épreuve décrite dans la partie A.
On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de billets gagnants obtenus en 10 épreuves.
1) Montrer que la loi de probabilité de X est binomiale de paramètres n = 10 et p = 1 .
8
2) Calculer P (X = 5) puis P (X ≥ 1). Les résultats seront donnés sous forme décimale et arrondis à 10-4
près.
Probabilités conditionnelles et lois binomiales
8
ÉPREUVE N°6 (Antilles - Guyane 2005)
Exercice n°1 (7 points)
Une usine fabrique des téléphones portables en série. Ceux-ci peuvent présenter deux défauts de fabrication : un
défaut d'antenne ou un défaut de clavier. On a constaté que :
9 % des téléphones portables présentent le défaut d'antenne ;
10 % des téléphones portables présentent le défaut de clavier ;
4 % des téléphones portables ont les deux défauts.
1) Recopier et compléter le tableau.
Nombre de
téléphones portables
présentant le défaut
d'antenne
Nombre de
téléphones portables
ne présentant pas le
défaut d'antenne
Total
Nombre de
téléphones portables
présentant le défaut
de clavier
Nombre de
téléphones portables
ne présentant pas le
défaut de clavier
Total
100
2) Un client essaye un téléphone portable. L'appareil qui lui est prêté est pris au hasard dans le stock.
Dans cette question, les résultats seront donnés sous forme décimale.
a) Calculer la probabilité p 1 que le téléphone portable présente le défaut d'antenne
uniquement.
b) Calculer la probabilité p2 que le téléphone portable ne présente aucun défaut.
3) A la fin de la chaîne de fabrication des téléphones portables, un contrôleur prélève, successivement
et avec remise, 6 téléphones portables. On admet que la probabilité qu'un téléphone portable soit
sans défaut est 0,85. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de téléphones portables sans défaut
parmi les 6.
a) Justifier que la loi de X est binomiale et préciser ses paramètres.
b) Calculer, à 10-4 près, les probabilités des événements suivants :
A : "Exactement 5 téléphones portables contrôlés sont sans défaut".
B : "Au moins deux téléphones portables contrôlés sont sans défaut".
Probabilités conditionnelles et lois binomiales
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ÉPREUVE N°6 (France métropolitaine 2006)
Exercice n°1 (8 points)
Les parties A et B sont indépendantes
Dans une classe de terminale technologique, 30 % des élèves sont des filles.
Trois filles sur cinq déclarent travailler pendant l'été.
Un garçon sur cinq déclare travailler pendant l'été.
Partie A
On choisit au hasard un élève de la classe. On considère les événements suivants :
F : "l'élève est une fille" ;
G : "l'élève est un garcon" ;
T : "l'élève travaille pendant l'été".
1) Déterminer P (F), P (G), PF (T) et PG (T).
2) Décrire la situation à l'aide d’un arbre de probabilités en indiquant les probabilités sur chacune des
branches.
3) Calculer P (F∩T).
4) Montrer que P (T) = 0,32.
5) Calculer la probabilité que l'élève soit une fille sachant que cet élève travaille pendant l’été.
Partie B
Dans le fichier des élèves de cette classe de terminale technologique, on tire au hasard, successivement avec
remise, 10 fiches d’élèves. On note X la variable aléatoire égale au nombre d'élèves, parmi les 10, qui travaillent
l’été.
Dans cette partie, les résultats numériques seront donnés sous forme décimale arrondis à 10-4 près.
1) Justifier que la loi de probabilités de X est la loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0,32.
2) Calculer la probabilité qu'aucun élève parmi les 10 ne travaille pendant l'été.
3) Calculer la probabilité qu'au moins 2 élèves parmi les 10 travaillent pendant l'été.
Probabilités conditionnelles et lois binomiales
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ÉPREUVE N°6 (Nouvelle Calédonie 2007)
Exercice n°3 (7 points)
Dans cet exercice, les résultats numériques des probabilités seront arrondis à 10-2 près.
Un centre équestre propose trois disciplines au choix : randonnée, saut d’obstacles et dressage.
Le mercredi après midi, le centre accueille un groupe de quinze cavaliers confirmés dont sept participeront à la
randonnée, trois au saut d’obstacles et cinq au dressage.
Chaque cavalier ne pratique qu’une seule discipline.
1) Le moniteur forme un groupe de trois cavaliers choisis au hasard parmi les quinze.
a) Combien de groupes est-il possible de former ?
b) Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants :
A : "les trois cavaliers pratiquent la même discipline".
B : "au moins l’un des trois cavaliers pratique le dressage".
2) Parmi les cavaliers, il y a un seul garçon. Chaque mercredi, le moniteur choisit au hasard un groupe
de trois cavaliers chargé de nettoyer les box en fin de journée.
Montrer que la probabilité que le garçon soit choisi un mercredi est égale à 0,2.
3) Le groupe de cavaliers se rend quatre fois dans ce centre équestre au mois de septembre. Soit X la
variable aléatoire égale au nombre de fois où le garçon est choisi durant le mois de septembre.
a) Montrer que la loi de X est la loi binomiale de paramètres 4 et 0,2.
b) Quelle est la probabilité que le garçon soit choisi exactement deux fois ?
Probabilités conditionnelles et lois binomiales
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