topologique -différents -fr -prend -"dans l" -représentation 12

UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP A DAKAR
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FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES
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Département de Mathématiques et Informatique
Mémoire de
Diplôme d’Etudes Approfondies
de Mathématiques Pures
Option : Géométrie Différentielle
METRIQUES D’EINSTEIN AUTO-DUALES
Présenté et soutenu le 21 Octobre 2002
par : BAGRIM Madjiyam Hervé
Devant le Jury :
Président : Hamet SEYDI Professeur (U.C.A.D.)
Membres : Christian Sina DIATTA Professeur (U.C.A.D.)
Chérif BADJI Professeur (U.C.A.D.)
Mamadou SANGHARE. Professeur (U.C.A.D.)
Année Universitaire 2001/2002
I

TABLE DES MATIERES
INTRODUCTION .......................................................................................................................... 6
CHAPITRE I : GENERALITES SUR LES VARIETES RIEMANNIENNES.............................. 8
1. VARIETES DIFFRENTIABLES ........................................................................................ 8
1.1 Variétés topologiques..................................................................................................... 8
1.2 Structures différentiables................................................................................................ 8
1.3 Définition ....................................................................................................................... 8
1.4 Applications tangentes .................................................................................................. 9
1.5 Fibrés tangents …........................................................................................................... 9
1.6 Champs de vecteurs........................................................................................................ 9
1.7 Formes multilinéaires alternées.................................................................................... 10
1.8 Formes différentielles................................................................................................... 10
1.8.1 Définition ...................................................................................................... 10
1.8.2 Différentielle extérieure ................................................................................ 11
1.8.3 Groupes de De Rham .................................................................................... 11
1.8.4 Formes volumes ............................................................................................ 11
1.9 Connexions linéaires sur une variété ........................................................................... 12
1.10 Théorème ................................................................................................................... 12
1.11 Symboles de Christoffel ............................................................................................ 12
1.11.1 Proposition .................................................................................................. 12
1.11.2 Définition .................................................................................................... 13
1.12 Image réciproque ....................................................................................................... 13
2. FIBRES VECTORIELS..................................................................................................... 13
2.1 Définition .................................................................................................................... 13
2.2 Sections ........................................................................................................................ 14
2.3 Pull-Back...................................................................................................................... 14
3. VARIETES RIEMANNIENNES....................................................................................... 14
3.1 Métrique riemannienne .............................................................................................. 14
3.1.1 Produit de Kulkarni-Nomizu......................................................................... 14
3.1.2 L’application gΛ•......................................................................................... 15
2

3.2 Définition ................................................................................................................... 15
3.3 Subermersions riemanniennes.................................................................................... 15
3.3.1 Définition ..................................................................................................... 15
3.3.2 Remarque ...................................................................................................... 15
3.3.3 Lemme........................................................................................................... 16
3.4 Connexion de Levi-Civita ......................................................................................... 16
3.5 Symboles de Christoffel d’une variété riemannienne ............................................... 17
3.6 Proposition ................................................................................................................. 17
3.7 Tenseur de courbure de Riemann .............................................................................. 17
3.8 Tenseur de Ricci ........................................................................................................ 18
3.9 Métriques d’Einstein ................................................................................................. 18
3.10 Courbure scalaire ....................................................................................................... 18
3.11 Courbure sectionnelle ................................................................................................ 18
3.12 Tenseur de courbure conforme de Weyl ................................................................... 19
3.13 Variétés conformément plates ................................................................................ 19
3.14 Variétés conformément demi-plates......................................................................... 19
3.15 Variétés localement symétriques.............................................................................. 19
3.16 Opérateur de Hodge ................................................................................................... 19
3.17 Produit scalaire des 2-formes différentielles.............................................................. 20
4. GROUPES DE LIE ET ALGEBRES DE LIE ................................................................... 20
4.1 Groupes de Lie ............................................................................................................ 20
4.2 Champs de vecteurs invariants à gauche (resp. à droite) ............................................ 21
4.3 Algèbres de Lie ........................................................................................................... 21
4.3.1 Crochet de Lie .............................................................................................. 21
4.3.2 Définition ...................................................................................................... 22
4.3.3 Algèbre de Lie d’un groupe de Lie ............................................................... 22
4.3.4 Automorphismes intérieurs ........................................................................... 22
4.3.5 Représentations adjointes.............................................................................. 22
5. CONNEXIONS LINEAIRES SUR LES FIBRES VECTORIELS ................................... 23
5.1 Définition .................................................................................................................... 23
5.2 Proposition .................................................................................................................. 23
5.3 Première classe de Chern ............................................................................................ 23
6. FIBRES PRINCIPAUX ..................................................................................................... 24
6.1 Définition .................................................................................................................... 24
3

6.2 Connexions sur les fibrés principaux .......................................................................... 24
6.3 Champs de vecteurs fondamentaux............................................................................. 25
6.4 Formes de connexion .................................................................................................. 25
6.5 Formes de courbure..................................................................................................... 25
6.6 Fibres principaux des repères linéaires ....................................................................... 25
6.7 Formes de torsion ....................................................................................................... 26
CHAPITRE II : ESPACE DE PENROSE..................................................................................... 27
INTRODUCTION ........................................................................................................................ 27
1. VARIETES ANALYTIQUES COMPLEXES................................................................... 28
1.1 Structures presques-complexes .................................................................................... 28
1.2 Intégrabilité d’une structure presque-complexe........................................................... 28
1.3 Définition ..................................................................................................................... 28
1.4 Variétés hermitiennes................................................................................................... 29
1.4.1 Métriques hermitiennes ................................................................................ 29
1.4.2 La 2-forme fondamentale.............................................................................. 29
1.4.3 Métriques kählériennes ................................................................................. 29
1.4.4 Courbure de Kahler ....................................................................................... 29
1.4.5 Forme de Ricci ............................................................................................. 30
1.4.6 Métriques de Kahler-Einstein........................................................................ 30
1.4.7 Surfaces K3 ................................................................................................... 30
2. LA CONSTRUCTION DE PENROSE.............................................................................. 30
2.1 Spineurs ....................................................................................................................... 30
2.2 Twisteurs ..................................................................................................................... 30
2.3 Définition ..................................................................................................................... 31
2.4 Remarque .................................................................................................................... 31
2.5 Proposition ................................................................................................................... 31
2.6 Théorème ..................................................................................................................... 32
2.7 Métrique de l’espace des twisteurs............................................................................... 33
3. LA CONSTRUCTION INVERSE DE PENROSE............................................................ 34
3.1 Théorème...................................................................................................................... 34
4. STRUCTURE CONFORME ............................................................................................. 37
4.1 Méthode de construction .............................................................................................. 37
4

4.2 Exemple ....................................................................................................................... 38
CHAPITRE III : METRIQUES D’EINSTEIN AUTO-DUALES SELON ALBERT VITTER 40
INTRODUCTION ........................................................................................................................ 40
THEOREME .......................................................................................................................... 41
THEOREME .......................................................................................................................... 41
THEOREME ......................................................................................................................... 41
THEOREME ......................................................................................................................... 42
1. DECOMPOSITION PAR BLOC DU TENSEUR DE COURBURE DE RIEMANN....... 42
1.1 Endomorphismes symétrique induit par le tenseur de courbure de Riemann ............. 42
1.2 Décomposition ............................................................................................................ 43
1.2.1 Image de b ..................................................................................................... 43
1.2.2 Théorème....................................................................................................... 44
1.2.3 Proposition .................................................................................................... 45
1.2.4 Définition ...................................................................................................... 47
2. L’ESPACE DES TWISTEURS ......................................................................................... 47
2.1 Définition .................................................................................................................... 47
2.2 Remarque ..................................................................................................................... 48
3. VARIETES D’EINSTEIN AUTO-DUALES .................................................................... 48
3.1 Théorème...................................................................................................................... 48
3.2 Théorème...................................................................................................................... 51
3.3 Théorème...................................................................................................................... 53
3.4 Corollaire...................................................................................................................... 55
3.5 Théorème...................................................................................................................... 56
3.6 Théorème...................................................................................................................... 59
CONCLUSION ........................................................................................................................ 61
ANNEXE ................................................................................................................................. 62
BIBLIOGRAPHIE ................................................................................................................... 64
INDEX……………...................................................................................................................66
5