topologique -différents -fr -prend -"dans l" -représentation 12

UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP A DAKAR
**************
FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES
**************
Département de Mathématiques et Informatique
Mémoire de
Diplôme d’Etudes Approfondies
de Mathématiques Pures
Option : Géométrie Différentielle
METRIQUES D’EINSTEIN AUTO-DUALES
Présenté et soutenu le 21 Octobre 2002
par : BAGRIM Madjiyam Hervé
Devant le Jury :
Président : Hamet SEYDI
Membres : Christian Sina DIATTA
Chérif BADJI
Mamadou SANGHARE.
Professeur (U.C.A.D.)
Professeur (U.C.A.D.)
Professeur (U.C.A.D.)
Professeur (U.C.A.D.)
Année Universitaire 2001/2002
I
TABLE DES MATIERES
INTRODUCTION .......................................................................................................................... 6
CHAPITRE I : GENERALITES SUR LES VARIETES RIEMANNIENNES.............................. 8
1. VARIETES DIFFRENTIABLES ........................................................................................ 8
1.1 Variétés topologiques..................................................................................................... 8
1.2 Structures différentiables................................................................................................ 8
1.3 Définition ....................................................................................................................... 8
1.4 Applications tangentes .................................................................................................. 9
1.5 Fibrés tangents …........................................................................................................... 9
1.6 Champs de vecteurs........................................................................................................ 9
1.7 Formes multilinéaires alternées.................................................................................... 10
1.8 Formes différentielles................................................................................................... 10
1.8.1 Définition ...................................................................................................... 10
1.8.2 Différentielle extérieure ................................................................................ 11
1.8.3 Groupes de De Rham .................................................................................... 11
1.8.4 Formes volumes ............................................................................................ 11
1.9 Connexions linéaires sur une variété ........................................................................... 12
1.10 Théorème ................................................................................................................... 12
1.11 Symboles de Christoffel ............................................................................................ 12
1.11.1 Proposition .................................................................................................. 12
1.11.2 Définition .................................................................................................... 13
1.12 Image réciproque ....................................................................................................... 13
2. FIBRES VECTORIELS..................................................................................................... 13
2.1 Définition .................................................................................................................... 13
2.2 Sections ........................................................................................................................ 14
2.3 Pull-Back...................................................................................................................... 14
3. VARIETES RIEMANNIENNES....................................................................................... 14
3.1 Métrique riemannienne .............................................................................................. 14
3.1.1 Produit de Kulkarni-Nomizu......................................................................... 14
3.1.2 L’application gΛ• ......................................................................................... 15
2
3.2 Définition ................................................................................................................... 15
3.3 Subermersions riemanniennes.................................................................................... 15
3.3.1 Définition ..................................................................................................... 15
3.3.2 Remarque ...................................................................................................... 15
3.3.3 Lemme........................................................................................................... 16
3.4 Connexion de Levi-Civita ......................................................................................... 16
3.5 Symboles de Christoffel d’une variété riemannienne ............................................... 17
3.6 Proposition ................................................................................................................. 17
3.7 Tenseur de courbure de Riemann .............................................................................. 17
3.8 Tenseur de Ricci ........................................................................................................ 18
3.9 Métriques d’Einstein ................................................................................................. 18
3.10 Courbure scalaire ....................................................................................................... 18
3.11 Courbure sectionnelle ................................................................................................ 18
3.12 Tenseur de courbure conforme de Weyl ................................................................... 19
3.13 Variétés conformément plates ................................................................................ 19
3.14 Variétés conformément demi-plates......................................................................... 19
3.15 Variétés localement symétriques.............................................................................. 19
3.16 Opérateur de Hodge ................................................................................................... 19
3.17 Produit scalaire des 2-formes différentielles.............................................................. 20
4. GROUPES DE LIE ET ALGEBRES DE LIE ................................................................... 20
4.1 Groupes de Lie ............................................................................................................ 20
4.2 Champs de vecteurs invariants à gauche (resp. à droite) ............................................ 21
4.3 Algèbres de Lie ........................................................................................................... 21
4.3.1 Crochet de Lie .............................................................................................. 21
4.3.2 Définition ...................................................................................................... 22
4.3.3 Algèbre de Lie d’un groupe de Lie ............................................................... 22
4.3.4 Automorphismes intérieurs ........................................................................... 22
4.3.5 Représentations adjointes.............................................................................. 22
5. CONNEXIONS LINEAIRES SUR LES FIBRES VECTORIELS ................................... 23
5.1 Définition .................................................................................................................... 23
5.2 Proposition .................................................................................................................. 23
5.3 Première classe de Chern ............................................................................................ 23
6. FIBRES PRINCIPAUX ..................................................................................................... 24
6.1 Définition .................................................................................................................... 24
3
6.2 Connexions sur les fibrés principaux .......................................................................... 24
6.3 Champs de vecteurs fondamentaux............................................................................. 25
6.4 Formes de connexion .................................................................................................. 25
6.5 Formes de courbure..................................................................................................... 25
6.6 Fibres principaux des repères linéaires ....................................................................... 25
6.7 Formes de torsion ....................................................................................................... 26
CHAPITRE II : ESPACE DE PENROSE..................................................................................... 27
INTRODUCTION ........................................................................................................................ 27
1. VARIETES ANALYTIQUES COMPLEXES................................................................... 28
1.1 Structures presques-complexes .................................................................................... 28
1.2 Intégrabilité d’une structure presque-complexe........................................................... 28
1.3 Définition ..................................................................................................................... 28
1.4 Variétés hermitiennes................................................................................................... 29
1.4.1 Métriques hermitiennes ................................................................................ 29
1.4.2 La 2-forme fondamentale .............................................................................. 29
1.4.3 Métriques kählériennes ................................................................................. 29
1.4.4 Courbure de Kahler ....................................................................................... 29
1.4.5 Forme de Ricci ............................................................................................. 30
1.4.6 Métriques de Kahler-Einstein........................................................................ 30
1.4.7 Surfaces K3 ................................................................................................... 30
2. LA CONSTRUCTION DE PENROSE.............................................................................. 30
2.1 Spineurs ....................................................................................................................... 30
2.2 Twisteurs ..................................................................................................................... 30
2.3 Définition ..................................................................................................................... 31
2.4 Remarque .................................................................................................................... 31
2.5 Proposition ................................................................................................................... 31
2.6 Théorème ..................................................................................................................... 32
2.7 Métrique de l’espace des twisteurs............................................................................... 33
3. LA CONSTRUCTION INVERSE DE PENROSE............................................................ 34
3.1 Théorème...................................................................................................................... 34
4. STRUCTURE CONFORME ............................................................................................. 37
4.1 Méthode de construction .............................................................................................. 37
4
4.2 Exemple ....................................................................................................................... 38
CHAPITRE III : METRIQUES D’EINSTEIN AUTO-DUALES SELON ALBERT VITTER 40
INTRODUCTION ........................................................................................................................ 40
THEOREME .......................................................................................................................... 41
THEOREME .......................................................................................................................... 41
THEOREME ......................................................................................................................... 41
THEOREME ......................................................................................................................... 42
1. DECOMPOSITION PAR BLOC DU TENSEUR DE COURBURE DE RIEMANN....... 42
1.1 Endomorphismes symétrique induit par le tenseur de courbure de Riemann ............. 42
1.2 Décomposition ............................................................................................................ 43
1.2.1 Image de b ..................................................................................................... 43
1.2.2 Théorème....................................................................................................... 44
1.2.3 Proposition .................................................................................................... 45
1.2.4 Définition ...................................................................................................... 47
2. L’ESPACE DES TWISTEURS ......................................................................................... 47
2.1 Définition .................................................................................................................... 47
2.2 Remarque ..................................................................................................................... 48
3. VARIETES D’EINSTEIN AUTO-DUALES .................................................................... 48
3.1 Théorème...................................................................................................................... 48
3.2 Théorème...................................................................................................................... 51
3.3 Théorème...................................................................................................................... 53
3.4 Corollaire...................................................................................................................... 55
3.5 Théorème...................................................................................................................... 56
3.6 Théorème...................................................................................................................... 59
CONCLUSION ........................................................................................................................ 61
ANNEXE ................................................................................................................................. 62
BIBLIOGRAPHIE ................................................................................................................... 64
INDEX……………...................................................................................................................66
5
INTRODUCTION
Les métriques d’Einstein sont apparues après la formalisation géométrique des travaux d’Albert
Einstein sur la structure de l’espace-temps en relativité générale.
Si l’interprétation de la condition d’Einstein r = 0 ,comme l’équation d’un champ gravitationnel en
l’absence de matière, fut à l’origine de l’intérêt porté aux variétés d’Einstein, elles sont cependant liées
à des domaines de la Géométrie Riemannienne tels que : Les Submersions Riemanniennes, Les
Espaces Riemanniens Homogènes, Les Fonctionnelles De Riemann et Leurs Points Critiques, La
Théorie De Yang-mills, Les Groupes d’Holonomies, Les Variétés Quaternioniques et Les Variétés
Auto-Duales.
Aussi, étant donnée une variété riemannienne ( M , g )
compacte, orientée de dimension quatre,
l’opérateur de Hodge sur les 2-formes ∗ : Γ(Λ2TP∗ M ) → Γ(Λ2TP∗ M ) , pour tout point p de M , satisfait
à l’égalité ∗ 2 = id Λ2T ∗ M et donne lieu à la décomposition Λ2TP∗ M = Λ+ TP∗ M ⊕ Λ−TP∗ M de Λ2TP∗ M en
P
somme directe des sous-espaces propres suivant les valeurs propres ±1, pour tout point p de M .
Un élément φ de Λ+ TP∗ M (resp.de Λ− TP∗ M
) est dit auto-dual (resp. anti auto-dual) et ∗ φ = φ
(resp.
∗ φ = −φ ). La courbure de Riemann de ( M , g ) considérée comme champs d’endomorphismes
symétriques admet la décomposition par blocs suivante :
⎛ρ
+
⎜ Id + W
R=⎜6
⎜ 1 gΛRic
⎜
0
⎝ 2
où ρ est la courbure scalaire, Ric 0 = r −
W = W + ⊕W −
1
⎞
[ gΛRic0 ]t ⎟
2
⎟
ρ
+ ⎟
Id + W ⎟
6
⎠
1
ρg est le tenseur de courbure de Ricci de trace nulle et
4
le tenseur de courbure conforme de Weyl de ( M , g ) .La métrique g est dite
d’Einstein si Ric0 ≡ 0 et auto-duale si W − = 0 .
D’une part, les seules variétés compactes orientables de dimension quatre qui sont d’Einstein (cf. [6],
p428) sont :
- les variétés riemanniennes compactes de dimension quatre, localement isométriques au produit
de deux surfaces de courbures constantes égales,
- les variétés de dimension quatre, localement symétriques et localement irréductibles,
- les variétés de Kahler-Einstein compactes de dimension quatre et leurs quotients,
6
- la surface complexe compacte F1 = P 2 (C )# (− P 2 (C )) ;
et d’autre part, les rares variétés compactes orientées de dimension quatre qui sont connues
pour admettre des métriques auto-duales (cf. [6], p424) sont :
- les variétés compactes conformément plates,
- les variétés kählériennes compactes de Ricci-plates avec l’opposé de l’orientation standard,
- les variétés riemanniennes de dimension quatre compactes, localement irréductibles,
localement symétriques.
Quelles sont alors les variétés compactes qui sont d’Einstein Auto-Duales ?
Dans son article intitulé ‘SELF-DUAL EINSTEIN METRICS’, American Mathematical Society,
Contemporary Mathematics volume 51,1986,113-120, Albert VITTER trouve, en utilisant la théorie
des twisteurs, des résultats sur la classification des métriques d’Einstein Auto-Duales sur une variété
compacte orientée de dimension quatre. Il introduit dans cette étude, un réel λ strictement positif et
obtient ainsi, en plus des résultats de T. Friedrich et H. Kurke pour une courbure scalaire ρ
strictement positive, une équivalence entre une variété d’Einstein Auto-Duale ( M , g ) dont la courbure
scalaire ρ = −
24
λ2
et son espace des twisteurs ( Z , h) ,lorsque ( Z , h) est kählérien et la signature
complexe de h vaut (2,1) , puis lorsque ( Z , h) est de Kahler-Einstein et h indéfinie.
L’objet du mémoire consiste en une synthèse détaillée de l’article de VITTER. Afin de traiter le sujet
dans le troisième et dernier chapitre (CHAPITRE III METRIQUES D’EINSTEIN AUTO-DUALES
SELON ALBERT VITTER), nous faisons d’abord
un rappel des notions sur les variétés
riemanniennes qui nous sont nécessaires : C’est le CHAPITRE I GENERALITES SUR LES
VARIETES RIEMANNIENNES. Dans le CHAPITRE II ESPACE DE PENROSE, nous introduisons
l’espace des twisteurs, outil indispensable dans notre travail.
7
CHAPITRE I
GENERALITES SUR LES VARIETES RIEMANNIENNES
Sauf mention expresse du contraire, M (resp. ( M , g ) ) est une variété différentiable C ∞ (resp. une
variété riemannienne) séparée au sens de Hausdorff, compacte et de dimension n .
1. VARIETES DIFFERENTIABLES
1.1 VARIETES TOPOLOGIQUES
Une variété topologique M de dimension n est un espace topologique non vide, séparé (au sens de
HAUSDORFF) et à base dénombrable d’ouverts (U i ) , dont tout point possède un voisinage
homéomorphe à un ouvert de R n .
Les couples (U i , ϕ i ) formés des ouverts U i et des homéomorphismes ϕ i : U i → R n sont appelés cartes
de M .
1.2 STRUCTURES DIFFERENTIABLES
Soit M une variété topologique de dimension n .Une structure différentiable sur M est déterminée par
la donnée d’une famille A = {(U i , ϕ i )} de cartes de M ayant les propriétés suivantes :
(VD1) (U i ) est un recouvrement ouvert de M .
(VD2) Si U i ∩ U j ≠ φ , ϕ j o ϕ i−1 est difféomorphisme de ϕ i (U i ∩ U j ) sur ϕ i (U i ∩ U j ) .
(VD3) Si β ⊃ A est une famille de cartes de M ayant les propriétés (VD1) et (VD2), alors β = A .
1.3 DEFINITION
Une variété topologique M munie d’une structure différentiable est appelée variété différentiable.
8
1.4 APPLICATIONS TANGENTES
Soient
N et S , deux variétés différentiables et f : N → S une application différentiable. La
différentielle de f au point p de N est l’application linéaire :
df ( p ) : T p N → T f ( p ) S
r a df ( p )(r ) = (η −f 1( p ) o (ψ o f o ϕ −1 ) o θ p )(r )
L’application df ( p ) ainsi définie est appelée application tangente à f au point p .On note ( f p ) ∗ .
1.5 FIBRES TANGENTS
Si la variété M est de classe C k (i.e. les ϕ j o ϕ i−1 du 1.2 sont de classe C k ), alors TM = ∪ Tx M
x∈M
peut-être muni canoniquement d’une structure de variété différentiable de dimension 2n et de classe
C k −1 .
Si π : TM → M est l’application qui à tout élément X de TM associe son origine x dans M , alors le
triplet (TM , π , M ) est une variété fibré vectoriel de classe C k −1 ,d’espace total TM , de base M , de
projection π et de fibre type R n . Ce fibré est dit fibré tangent, il est noté TM . Son dual T ∗ M est dit
fibré cotangent.
1.6 CHAMPS DE VECTEURS
Un champ de vecteurs X sur M est une section du fibré tangent TM au dessus de M .
X est différentiable si, pour tout f ∈ C k (M ) , la fonction g = Xf définie sur M par :
( Xf )( x) = X x f , pour tout point x de M , est différentiable et de classe C l (l ≤ k − 1) , si M est de
classe C k .
Si ( x i ),1 ≤ i ≤ n est un système de coordonnées locales en x , alors :
n
X = ∑ξi
i =1
n
( Xf )( x) = ∑ ξ i ( x)
i =1
∂
∂x i
où ξ i sont des fonctions définies dans un voisinage de x et
∂f
∂x i
On note Ж(M), l’algèbre des champs de vecteurs différentiables sur M .
Remarque : Dans la suite, tous les champs de vecteurs considérés seront de classe C ∞ .
9
1.7 FORMES MULTILINEAIRES ALTERNEES
Pour tout point x de M , on notera Λr Tx∗ M
l’espace vectoriel des formes multilinéaires alternées de
degré r sur Tx M . La dimension de Λr Tx∗ M vaut C nr , pour r ≤ n et Λr Tx∗ M = {0} si r > n .
On a par convention Λ0Tx∗ M = R et Λ1Tx∗ M = Tx∗ M .Si f1 , f 2 ,..., f r sont r formes linéaires sur Tx M ,
on
f 1 Λ f 2 Λ...Λ f r ∈ ΛTx∗ M
définit
( f1 Λ f 2 Λ...Λ f r )( x1 , x 2 ,...x r ) =
∑ ε (σ ) f ( xσ
1
σ ∈S r
(1)
par
). f 2 ( xσ ( 2) )... f r ( xσ ( r ) ) où S r est le groupe symétrique
d’ordre r .
Etant donnés une base {e1 , e2 ,..., en } deTx M , sa base duale {e1∗ , e 2∗ ,..., e n∗ } et I = {i1 , i2 ,..., ir } un r-uplet
tel que 1 ≤ i1 ≤ i2 ≤ ... ≤ ir ≤ n , alors les formes ei∗1 Λ ei∗2 Λ ...Λ ei∗r forment une base de Λr Tx∗ M .
On pose Λr T ∗ M = ∪ Λr Tx∗ M .
x∈M
1.8 FORMES DIFFERENTIELLES
1.8.1 DEFINITION
Une forme différentielle de degré r sur M est une section ω du fibré vectoriel (Λr T * M , π , M ) telle
que π o ω = id M .
Si {e1 , e2 ,..., en } est une base de Tx M et {e1∗ , e 2∗ ,..., e n∗ } est sa base duale pour tout point x de M ,alors
pour tout r-uplet I = {i1 , i2 ,..., ir } tel que 1 ≤ i1 ≤ i2 ≤ ... ≤ ir ≤ n , ω s’écrit :
ω=
∑ω
∗
i1i2 ...ir 1
1≤i1 ≤ i2 ≤...≤ir ≤ n
e Λe2∗ Λ...Λen∗
ω est de classe C p , si chacune de ses composantes ωi i ...i est de classe C p .
12
r
On note Ω rp ( M ) (resp. Ω r (M ) ), l’ensemble des formes différentielles sur M de degré r et de classe
C p (resp. de classe C ∞ ).
10
1.8.2 DIFFERENTIELLE EXTERIEURE
Soit M une variété de classe C k , de dimension n et p un entier tel que 1 ≤ p ≤ n − 1 . Il existe un
opérateur d et un seul qui, pour tout élément r de {0,1,..., n − 1}, envoie Ω rp ( M ) dans Ω rp++11 ( M ) et
telle que les axiomes suivants soient satisfaits :
(i)
la restriction de d à Ω rp ( M ) est linéaire,
(ii) d (αΛβ ) = dαΛβ + (−1) deg α Λβ (deg α = degré α )
(iii) d o d = 0
(iv) Si f ∈ C p (M ) , alors df est la différentielle de f .
Cette opération est appelée la différentiation extérieure et dα est appelée la différentielle de α .
On a:
n
dω ( X 1 , X 2 ,..., X r +1 ) = ∑ (−1) i +1 X i (ω ( X 1 , X 2 ,..., X i −1 , X i +1 ,..., X r +1 )) +
i =1
∑ (−1)
1≤i < j ≤ r +1
i+ j
ω ([ X i , X j ], X 1 ,
X 2 ,..., X i −1 , X i +1 ,..., X j −1 , X j +1 ,..., X r +1 ) , pour tout élément ω de Ω rp ( M ) et tous champs de vecteurs
X 1 , X 2 ,..., X r +1 sur M .
1.8.3 GROUPES DE DE RHAM
Un élément α (resp β ) de Ω rp ( M ) est dit fermé ou cocyle de DE RHAM (resp. exact ou cobord de
DE RHAM), si dα = 0 (resp. s’il existe λ ∈ Ω rp−1 ( M ) tel que dλ = β ).
L’ensemble des cocyles de DE RHAM et l’ensemble des cobords de DE RHAM sont notés
respectivement F r (M ) et B r (M ) . L’espace vectoriel quotient
F r (M )
, noté H r (M ) , est appelé
r
B (M )
r ième groupe de DE RHAM ; sa dimension est appelée r ième nombre de BETTI et noté b r .
1.8.4 FORMES VOLUMES
Une forme volume sur M est une forme différentielle ω de degré n telle que ω ( x ) ≠ 0 pour tout point
x de M .
La classe d’équivalence [ω ] suivant ω est définie par :
[ω ] = {ω '∈ Ω n ( M ); ω ( x) = f ( x)ω ' ( x) et f ( x) > 0 , ∀ x ∈ M
11
}.
On appelle orientation sur M , une classe d’équivalence [ω ] de formes volumes.
M est dite orientable si elle admet une orientation [ω ] . Elle est dite orientée, si l’on choisit l’une des
deux orientations [ω ] ou [ω ] , où :
[−ω ] = {ω '∈ Ω n ( M ); ω ( x) = − f ( x)ω ' ( x) et f ( x) > 0 , ∀ x ∈ M
}
1.9 CONNEXIONS LINEAIRES SUR UNE VARIETE
Une connexion linéaire ∇
tangent (TM , π , M ) = TM
sur une variété
M est une connexion linéaire sur le fibré
.
1.10 THEORME
Le tenseur de torsion T et le tenseur de courbure R d’une connexion linéaire ∇ sont exprimées par :
T ( X , Y ) = ∇ X Y − ∇ Y X − [ X , Y ] , pour tous champs de vecteurs X et Y sur M .
R ( X , Y ) Z = [∇ X , ∇ Y ]Z − ∇ [ X ,Y ] Z , pour tous champs de vecteurs X , Y et Z sur M .
Preuve : (cf. [15], p.133).
1.11 SYMBOLES DE CHRISTOFFEL
1.11.1 PROPOSITION
Soit M munie d’une connexion linéaire ∇ et soit ( x i ), 1 ≤ i ≤ n un système de coordonnées en un
point X de M .Si X i = ∂ / ∂x i , pour 1 ≤ i ≤ n , alors les composantes Γijk de ∇ par rapport à ( x i ) sont
données par :
∇ X j X i = ∑ Γ jik X k
k
Preuve : (cf. [15], p.143).
12
1.11.2 DEFINITION
On appelle symboles de Christoffel, les composantes Γ jik de la connexion linéaire ∇ .
1.12 IMAGE RECIPROQUE
Soient N et S deux variétés différentiables, f : S → N une application différentiable et ω une forme
différentielle de degré p sur S . L’image réciproque f ∗ω de ω par f , est la forme différentielle de
degré p sur N est définie par :
( f ∗ω )( X 1 , X 2 ,..., X p ) = ω ( f ∗ X 1 , f ∗ X 2 ,..., f ∗ X p )
(f*ω)(X1, X2,..., Xp)= ω(f*X1,f* X2,...,f*Xp), pour tous X 1 , X 2 ,..., X p ∈ Ж(M).
2. FIBRES VECTORIELS
2.1 DEFINITION
Un fibré vectoriel η = ( E , π , B ) localement trivial de rang q est la donnée de :
(i) Deux espaces topologiques E et B .
(ii) Un espace vectoriel F sur K ( = R ou C ) de dimension q .
(iii) Une application π : E → B , continue et surjective, tels que :
(iv) Pour tout élément b de B , π −1 ({b}) est un espace vectoriel et π −1 ({b}) ≅ F .
(v) Pour tout élément b de B , il existe un voisinage ouvert U b et un homéomorphisme φb , tels que
le diagramme suivant soit commutatif : c’est la trivialisation locale ou T.L,
φ
b U ×F
π −1 ({b}) ⎯⎯→
⎯
b
Ub
13
Les couples (U b , φb ) intervenant dans la trivialisation locale sont appelées cartes deη . Si les φb sont
différentiables alors η = ( E , π , B) est appelé fibré vectoriel différentiable et la trivialisation locale
entraîne que π est différentiable.
2.2 SECTIONS
Soient η = ( E , π , B) un fibré vectoriel et A une partie de B. Une section de η au dessus de A est une
application continue s : A → E telle que π o s soit l’application identité de A i.e. π o s( x) = x , pour
tout élément x de A .
2.3 PULL-BACK
Considérons un fibré vectoriel η = ( E , π , B) un fibré vectoriel, un espace topologique B' et
f : B' → B , une application continue. L’image réciproque ou PULL-BACK f ∗ (η ) de η , est le fibré
vectoriel f ∗ (η ) = ( E ' , π ' , B' ) où E ' est défini par :
E ' = {( x, v) /( x, v) ∈ B '× E , π (v) = f ( x)}
3. VARIETES RIEMANNIENNES
3.1 METRIQUES RIEMANNIENNES
Une métrique riemannienne sur M est un champ de tenseurs covariants g de degré 2 vérifiant :
(i)
g ( X , X ) ≥ 0 et g ( X , X ) = 0 si et seulement si X = 0 , pour tout élément X de Ж(M).
(ii)
g ( X , Y ) = g (Y , X ) , pour tous éléments X et Y de Ж(M).
Si ( x i ), 1 ≤ i ≤ n est un système de coordonnées locales en un point x de M , alors :
g = ∑ g ij dx i dx j où g ij = g (∂ / ∂x i , ∂ / ∂x j ) .
3.1.1 PRODUIT DE KULKARNI-NOMIZU
Pour deux métriques riemanniennes g et h sur M , le produit de KULKARNI-NOMIZU gΛh de g
et h , est le 4-tenseur définie par :
14
gΛh( x, y, z , t ) = g ( x, z )h( y, t ) + g ( y, t )h( x, z ) − g ( x, t )h( y, z ) − g ( y, z )h( x, t )
pour
tous
éléments
x, y, z , t de Ж(M).
3.1.2 L’APPLICATION gΛ•
Si g est une métrique riemannienne sur M , alors l’application gΛ • est définie par le produit de
KULKARNI-NOMIZU ci-dessus.
3.2 DEFINITION
Une variété différentiable M , munie d’une métrique riemannienne g est appelée variété riemannienne.
On note ( M , g ) .
3.3 SUBMERSIONS RIEMANNIENNES
3.3.1 DEFINITION
∨
Soient ( M , g ) et ( B, g ) deux variétés riemanniennes et π : M → B une submersion différentiable.
Pour tout point x de M , tel que π ( x) = b , on note H x le sous-espace horizontal en x .L’application π
∨
⎧
⎫
(plus précisément la donnée ⎨( M , g ), ( B, g ), π ⎬ ) est une submersion riemannienne si (π x ) ∗ induit une
⎩
⎭
∨
isométrie de ( H x , g x H x ) sur (Tb B, g b ) , pour tout point x de M , tel que b = π (x) .
3.3.2 REMARQUE
Considérons deux variétés riemanniennes ( M , g ) et ( N , h) , de dimension m et n respectivement,
f : M → N , une submersion riemannienne dont le fibré normal sera noté L et le tenseur de courbure
,
de Riemann R (resp. R ) de M (resp. de N ).
Choisissons un repère orthonormé (ei ), 1 ≤ i ≤ m sur M tel que f ∗ (ek ) = 0 ,pour k = n + 1,..., m et
que (e s ) = f ∗ (e s ) , pour s = 1,..., n , soit un repère orthonormé de N . Alors si θ i (resp⎯ θ s ) est le
repère dual de (ei ) (resp. e s ), nous avons les équations de structure :
15
dθ i = ω ij Λθ i
dω ij = ω ig Λω gi +
dθ s = ω st Λθ
1
Rijglθ g Λθ l
2
t
dω st = ω su Λω ut +
1
Rstvuθ v Λθ
2
u
3.3.3 LEMME
Rstpq = ω sk Λω kt (e p , eq ) + θ k [e p , eq ]ω st (ek )
Preuve : Dans l’équation f ∗ d ω st = f ∗ω su Λ f ∗ω ut +
1
Rstvuθ v Λθ u , faisons intervenir les champs de
2
vecteurs e p et eq .
Sur L , ω st = f ∗ω st et nous avons:
ω su Λ ω ut (e p , eq ) + Rstpq
= f ∗ d ω st (e p , eq )
= e p ( f ∗ ω ij (eq )) − eq ( f ∗ ω ij (e p )) − f ∗ ω ij [e p , eq ]
= e p ( ω st (eq )) − eq ( ω st (e p )) − f ∗ ω st [e p , eq ]
= d ω st (e p , eq ) + ω st (e p , eq ) − f ∗ω st [e p , eq ]
= Rstpq + ω sg Λω gt (e p , eq ) + θ k [e p , eq ]ω st (ek ) .
3.4 CONNEXIONS DE LEVI-CIVITA
On appelle connexion de LEVI-CIVITA sur ( M , g ) ,l’unique connexion linéaire D vérifiant :
(i)
D est métrique ( Dg = 0 ) et
(ii)
D est sans torsion ( T = 0 )
Si ( x i ), 1 ≤ i ≤ n est un système de coordonnées locales en un point x de ( M , g ) alors :
n
D∂ i ∂ j = ∑ Γijk ∂ k où ∂ s = ∂ / ∂x s , s = 1,..., n .
i =1
16
3.5 SYMBOLES DE CHRISTOFFEL D’UNE VARIETE RIEMANNIENNE
Sur ( M , g ) ,on définit les symboles de CHRISTOFFEL Γijk par :
Γijk =
1
g kl (∂g il / ∂x i , ∂g il / ∂x j − ∂g ij / ∂x l ) , si
∑
2
( x i ), 1 ≤ i ≤ n
est un système de
coordonnées locales en un point x de ( M , g ) .
N.B : Relativement à ( x i ), 1 ≤ i ≤ n , g kl = g (dx k , dx l ) .
3.6 PROPOSITION
Les composantes T jki et R ijkl des tenseurs de torsion T et de courbure R d’une variété riemannienne
( M , g ) de dimension n sont :
T jki = Γ ijk − Γkji
i
R ijkl = (∂Γlji / ∂x k − ∂Γkji / ∂x i ) + ∑ Γljm Γkm
− Γkjm Γlmi
Preuve :(cf. [15], p.145)
3.7 TENSEUR DE COURBURE DE RIEMANN
Soit R le tenseur de courbure de ( M , g ) . Le tenseur de courbure de Riemann de ( M , g ) , encore noté R ,
est le tenseur covariant de degré 4 définit par :
R( X , Y , Z , T ) = g ( R( Z , T )Y , X ) , pour tous champs de vecteurs X , Y , Z et T sur ( M , g ) .
Si en coordonnées locales relativement à un point x de ( M , g ) , R ijkl (resp. g ij ) sont les composantes
du tenseur de courbure (resp. du tenseur métrique) alors les composantes Rijkl du tenseur de courbure
de Riemann sont données par :
Rijkl = ∑ g im R mjkl
m
17
3.8 TENSEUR DE RICCI
On appelle tenseur de RICCI r de ( M , g ) , la trace de l’application linéaire Z → R( X , Z )Y , r est
tenseur covariant de degré 2.
En coordonnées locales relativement à un point x de ( M , g ) , les composantes
rik du tenseur de
Ricci sont : rik = g lj Rlijk .
On définit le tenseur de Ricci de trace nulle Ric0 par : Ric0 = r −
1
ρg .
4
3.9 METRIQUES D’ EINSTEIN
La métrique g de
( M , g ) est dite d’EINSTEIN si r = λg où λ est une constante. La variété ( M , g )
est alors appelée variété d’EINSTEIN.
3.10 COURBURE SCALAIRE
Si x est un point de ( M , g ) , r son tenseur de RICCI et ( X i ), i = 1,..., n une base orthonormée de Tx M ,
alors
∑ r( X , X
i
i
) , est indépendante du choix de la base orthonormée et est appelée courbure scalaire
en x . On note ρ .
En coordonnées locales, relativement à la base {X i } , on a :
ρ = ∑ g ik rik
i ,k
3.11 COURBURE SECTIONNELLE
Sur ( M , g ) on définit la fonction K biquadratique de courbure comme suit :
K (u , v) = g ( R(v, u )u, v) , pour tout (u, v) ∈ Ж(M) × Ж(M) et K est définie dans les sections
différentiables du fibré tangent.
Si {u, v} est une base orthonormée d’un plan P , on définit alors sa courbure sectionnelle par :
K ( P) = K (u , v) .
En coordonnées locales relativement à un point x de ( M , g ) :
K (∂ i , ∂ j ) = g ( R(∂ j , ∂ i )∂ i , ∂ j ) = R jiji Où ∂ s = ∂ / ∂x s , pour s = 1,..., n
18
3.12 TENSEUR DE COURBURE CONFORME DE WEYL
Le tenseur de courbure conforme de WEYL W est définit localement sur ( M , g ) par :
Whijk = Rhijk −
1
1
( g hj rik + g ik rhj − g ij rhk − g hk rij ) +
ρ ( g hj g ik − g ij g hk ) ,
(n − 1)(n − 2)
n−2
où R, r , g et ρ sont respectivement le tenseur de courbure de RIEMANN, le tenseur de RICCI, le
tenseur métrique et la courbure scalaire de ( M , g ) .
Si n = 4 ,alors W = W + ⊕ W − où W + (resp. W − ) est la composante auto-duale (resp. anti auto-duale)
de W , définit comme suit :
{
= {R ∈ S
}
M ; ∗ R = R∗ = − R et ∀p ∈ M }
W + = R ∈ S 02 Λ2T p∗ M ; ∗ R = R∗ = R et ∀p ∈ M
W−
2
0
Λ2T p∗
3.13 VARIETES CONFORMEMENT PLATES
Une variété riemannienne ( M , g ) de dimension paire est dite conformément plate si et seulement si
son tenseur de courbure conforme de Weyl W est nul.
3.14 VARIETES CONFORMEMENT DEMI-PLATES
Une variété riemannienne ( M , g ) orientable, de dimension 4 dont la composante auto-duale W + ou
anti auto-duale W − , du tenseur de WEYL W est nulle, est appelée variété conformément demi-plate.
3.12 VARIETES LOCALEMENT SYMETRIQUES
( M , g ) est localement symétrique si ∇R = 0 , pour toute connexion linéaire ∇ .
3.16 OPERATEUR DE HODGE
Soient ( M , g ) une variété riemannienne compacte, orientée, de dimension n , ω g sa forme volume
et Γ(Λr T ∗ M ) = Ω r ( M ) , l’ensemble des formes différentielles de degré r sur M .
Pour tout entier p tel que 0 ≤ p ≤ n ,on définit l’opérateur de HODGE ∗ , comme l’isomorphisme :
19
∗ : Γ( Λ p T ∗ M ) → Γ( Λn − p T ∗ M )
ω a∗ω
Tel que αΛ(∗β ) = g (α , β )ω g , pour tous élément α et β de Γ(Λ p T ∗ M ) .
{
}
Si n = 4 , p = 2 et e1∗ , e2∗ , e3∗ , e4∗ une base orthonormée de Tx∗ M , pour tout point x de M ,
alors l’opérateur de HODGE :
∗ : Γ( Λ2T ∗ M ) → Γ( Λ2T ∗ M ) ,
est un isomorphisme tel que :
∗ 2 = id et ∗ (ei∗1 Λei∗2 ) = ε (σ ) ei∗3 Λei∗4 où σ ∈ S 4 ,1 ≤ i1 < i2 ≤ 4 et 1 ≤ i3 < i4 ≤ 4 .
Une 2-forme α sur M est dite auto-duale (resp. anti auto-duale) si ∗ α = α (resp. ∗ α = −α ).
Les deux sous-espaces propres de Λ2Tx∗ M
correspondant aux valeurs propres ± 1 de ∗ sont notés
Λ+ Tx∗ M et Λ−Tx∗ M respectivement. Ils définissent les fibrés vectoriels de rang 3 des 2-formes autoduales et anti auto-duales sur M .
On a Λ2Tx∗ M = Λ+ Tx∗ M ⊕ Λ−Tx∗ M , pour tout point x de M .
3.17 PRODUIT SCALAIRE DES 2-FORMES DIFFRENTIELLES
Soit ( M , g ) une variété riemannienne compacte orientée de dimension 4. On définit le produit scalaire
des 2-formes sur M par :
< ω , θ >= ∫ ωΛ ∗ θ
, pour tous éléments ω , θ de Λ2Tx∗ M et pour tout élément x de M .
M
Si ω = ∑ ω i1i2 ei∗1 Λei∗2 et θ = ∑ θ i1i2 ei∗1 Λei∗2 , alors < ω , θ >= ∑ ω i1i2 θ i1i2 ∫ ei∗1 Λei∗2 Λ ∗ (ei∗1 Λei∗2 ) .
M
Mais ∗ (ei∗1 Λei∗2 ) = ε (σ )(ei∗3 Λei∗4 ) et ω g = ei∗1 Λei∗2 Λei∗3 Λei∗4 donc :
< ω ,θ >= ε (σ )
∑ω
1≤ i1 <i2 ≤ 4
i1i2
θi i ∫ωg
12
M
4. GROUPES DE LIE ET ALGEBRE DE LIE
4.1 GROUPES DE LIE
Un groupe de LIE est un groupe topologique séparé (au sens de HAUSDORFF) G muni d’une
structure de variété différentiable compatible avec sa structure de groupe, c’est-à-dire telle que :
20
L’application
(i)
G×G→ G
( x, y ) a xy
est différentiable, lorsque G × G est muni de la structure de variété différentiable produit,
(ii)
l’application
G→ G
est différentiable.
x a x −1
4.2 CHAMPS DE VECTEURS INVARIANTS A GAUCHE (RESP. INVARIANTS
A DROITE)
Pour tout groupe de LIE G , si a est un élément de G , nous définissons la translation à gauche (resp. la
translation à droite) par :
La : G → G
Ra : G → G
(resp.
b a La (b) = ab
b a Ra (c) = ca
).
Un champ de vecteur X sur G est invariant à gauche (resp. invariants à droite) si :
( La ) ∗ X = X (resp. ( Ra ) ∗ X = X ), pour tout élément a de G .
4.3 ALGEBRES DE LIE
4.3.1 CROCHET DE LIE
Soient G un groupe de LIE de dimension n , X et Y deux éléments de Ж(G). Le crochet de LIE des
champs de vecteurs X et Y est le champ de vecteurs définit par :
[ X , Y ] = XY − YX .
Pour toute fonction f ∈ C ∞ (G ) , on a :
[ X , Y ] f = X (Yf ) − Y ( Xf ) .
En coordonnées locales relativement à un point u de G , si :
n
X = ∑ ξ j ∂ / ∂u j
j =1
n
et Y = ∑ ξη j ∂ / ∂x j , alors :
j =1
[ X , Y ] = ∑ (ξ k (∂η j / ∂u k ) − η k (∂ξ j / ∂u k )) , pour j = 1,..., n .
21
4.3.2 DEFINITION
Une algèbre de LIE L sur un corps K est ensemble qui est, d’une part un espace vectoriel sur K et
d’autre part, muni d’une loi de composition interne non associative, généralement notée [, ] vérifiant
les propriétés suivantes :
(i)
[ X , Y ] = −[Y , X ] (anti-commutativité) pour tous éléments X et Y de L .
(ii)
[ X , [Y , Z ]] + [Y , [ Z , X ]] + [ Z , [ X , Y ]] = 0 (identité de JACOBI), pour tous éléments X , Y et Z .
4.3.3 ALGEBRE DE LIE D’UN GROUPE DE LIE
L’ensemble L(G ) des champs de vecteurs invariants à gauche sur un groupe de LIE G , munit du
crochet de LIE [, ] est une algèbre de LIE.
L(G ) est l’algèbre de LIE du groupe de LIE G .
4.3.4 AUTOMORPHISMES INTERIEURS
Soient (G, ⋅) un groupe et a un élément de G . On considère l’application :
ϕa : G → G
x a axa −1
ϕ a est un automorphisme de (G, ⋅) , appelé automorphisme intérieur associé à a .
4.3.5 REPRESENTATIONS ADJOINTES
Soit G un groupe de LIE. Etant donné un élément a de G , l’automorphisme intérieur :
ϕa : G → G
x a axa −1
induit un automorphisme de L(G), noté ad a .
La représentation a → ad a
de G est appelée représentation adjointe de G dans l’algèbre de LIE
L(G ) .
Pour tous éléments a de G et A de L(G ) , on a :
(ad a ) A = ( Ra −1 ) ∗ A .
22
5 CONNEXIONS LINEAIRES SUR LES FIBRES VECTORIELS
5.1 DEFINITION
Soient η = ( E , π , B) un fibré vectoriel sur
M
et ε l’ensemble de ses sections. Une connexion
linéaire ou dérivation covariante sur η est une application :
∇ : Ж(M) × ε : → ε
( X , s) a ∇ X s
qui vérifie :
(i)
∇ fX + hY s = f∇ X s + h∇ Y s ,
(ii)
∇ X (s + t ) = ∇ X s + ∇ X t ,
(iii)
∇ X ( fs ) = X ( f ) s + f∇ X s ,
Pour tous X et Y ∈ Ж(M), pour tous s et t ∈ ε et pour tous f et h ∈ C ∞ ( M ) .
5.2 PROPOSITION
Soit η = ( E , π , B) un fibré vectoriel complexe, sur une variété M , muni d’une connexion ∇ . La 2forme r /(2πii ) (où r est la trace du tenseur de courbure de RIEMMAN) est fermée et définit une
classe de cohomologie sur M au sens de DE RHAM. Cette classe ne dépend pas de la connexion sur
η coïncide avec l’image de la première classe de CHERN C1 (η ) deη , dans H 2 ( M , R) .
Preuve : (cf. [26])
5.3 PREMIERE CLASSE DE CHERN
Soit η = ( E , π , B) un fibré vectoriel complexe, muni d’une connexion ∇ . La 2-forme r /(2πii ) définit
la première classe de CHERN C1 (η ) deη .
23
6. FIBRES PRINCIPAUX
6.1 DEFINITION
Soient M une variété et G un groupe de LIE. Un fibré principal sur M de groupe structural G est
la donnée d’une variété P et d’une action de G sur P , satisfaisant les conditions suivantes :
(i)
G agit librement à droite sur P :
P×G→ G
(u, a ) a ua = Ra (u )
(ii)
M est l’espace quotient de P par la relation d’équivalence induite par G , M = P / G et la
projection canonique
π : P → M est différentiable.
(iii)
P est localement trivial, c’est-à-dire, tout point x de M admet un voisinage U tel qu’il
existe un difféomorphisme :
ϕ : π −1 (U ) → U × G
Vérifiant
ϕ (u ) = (π (u ),ψ (u ))
où
ψ
est
une
application
de
π −1 (U )
dans
G
satisfaisantψ (ua) = (ψ (u ))a , pour tous éléments u de π −1 (U ) et a de G .
On note P( M , G ) .
6.2 CONNEXIONS SUR LES FIBRES PRINCIPAUX
Soient P( M , G ) un fibré principal, u un élément de P et Gu le sous-espace de Tu P formé des
vecteurs tangents à la fibre à travers u .
Une connexion Γ dans P( M , G ) est la donnée d’un sous-espace Qu de Tu P pour chaque élément u
de P , tel que :
(i)
Tu P = Gu ⊕ Qu
(ii)
Qua = ( Ra ) ∗ Qu , pour tous éléments u de P et a de G .
(iii)
Qu dépend différentiablement de u .
24
6.3 CHAMPS DE VECTEURS FONDAMENTAUX
Etant donné P( M , G ) , l’action de G sur P induit un homomorphisme σ de L(G ) dans Ж(P).
Pour chaque élément A de L(G ) , l’image A ∗ de A par σ est appelé champ de vecteurs fondamental
correspondant à A .
6.4 FORMES DE CONNEXION
Une forme de connexion sur P( M , G ) est définie par la donnée d’une 1-forme ω sur P à valeurs
dans l’algèbre de LIE L(G ) et vérifiant les conditions suivantes :
(i)
ω ( A∗) = A , pour tout élément A de L(G )
(ii)
ω ( X g ) = ad g ω ( X ) , pour tous éléments X de Ж(P) et g de G .
(iii)
ω est différentiable.
−1
6.5 FORMES DE COURBURE
La dérivée extérieure covariante Dω de la forme de connexion ω est appelée forme de courbure de
ω .On note Ω .
Si {e1 , e2 ,...er } est une base de l’algèbre de LIE L(G ) , alors les composantes Ω i , i = 1,2,..., r de Ω
sont définies par :
Ω i = dω i +
1 r i j
∑ C jk ω Λω k ,
2 i ,k =1
constantes de structure de L(G), définies par
r
i = 1,2,..., r , où les C ijk sont les
:
[e j , ek ] = ∑ C ijk ei
pour j, k = 1,..., r
i =1
6.6 FIBRES PRINCIPAUX DES REPERES LINEAIRES
Soit M une variété de dimension n. Un repère linéaire u en un point x de M est une base
{X 1 , X 2 ,..., X n } de l’espace tangent Tx M .
Soient L( M ) , l’ensemble des repères linéaires u en tous les points de M et π l’application :
25
π : L( M ) → M
u a π (u ) = x
pour tout point x de M .
Le fibré principal L( M )( M , GLn R ) est appelé fibré des repères linéaires de M .
La forme canonique de L( M )( M , GLn R ) est la 1-forme θ à valeurs dans R n définie par :
θ ( X ) = u −1 (π ( X )) , pour tout élément X de Tu ( L( M )) .
6.7 FORMES DE TORSION
Etant donné L( M )( M , GLn R ) muni d’une connexion ∇ et θ sa forme canonique.
La dérivée extérieure covariante ∇θ de θ est appelée forme de torsion. On note Θ .
Si {e1 , e2 ,..., en } est une base de R n , alors toutes les composantes Θ i , i = 1,2,..., n de Θ sont définies
par :
n
Θ i = dθ i + ∑ ω ij Λθ i , i = 1,2,..., n .
j =1
26
CHAPITRE II
ESPACE DE PENROSE
INTRODUCTION
A l’origine, le programme de Penrose (qui contient l’espace des twisteurs) consiste à réinterpréter
l’espace-temps comme un espace complexe de dimension trois.
L’introduction de l’espace de Penrose (ou espace
des twisteurs) comme outil pour étudier les
problèmes sur R 4 vient de ce qui suit : il est bien connu que pour résoudre certains problèmes
classiques de deux variables ( x, y ) ∈ R 2 , on utilise la théorie des fonctions holomorphes, en
introduisant une seule variable complexe z = x1 + ix 2 ∈ C . Il est alors naturel de vouloir introduire sur
R 4 , deux variables z1 = x1 + ix 2 et z 2 = x3 + ix 4 où ( x1 , x 2 , x3 , x 4 ) ∈ R 4 (x1 ,x2 ,x3 ,x4) ∈ R4 :
cependant pour appliquer les méthodes complexes, il est nécessaire d’avoir une troisième variable u ,
qui indique le choix de la structure complexe et dont dépendent les deux autres z1 et z 2 .
L’espace de Penrose présente l’avantage de permettre l’utilisation de trois variables indépendantes.
Les variétés conformément demi-plates sont traduites par les constructions de Penrose, en variétés
complexes de dimension trois et inversement. Rappelons que ces variétés auto-duales jouent un rôle
important dans l’approche de Penrose de la gravitation puisque pour elles uniquement l’espace de
Penrose est une variété complexe.
Dans la suite ( P, h) est l’espace des twisteurs de la variété ( M , g ) (ou M ).
27
1. VARIETES ANALYTIQUES COMPLEXES
1.1 STRUCTURES PRESQUES-COMPLEXES
Une structure presque-complexe sur une variété différentiable M , est la donnée d’un champ de
tenseurs J qui en tout point x de M , est un endomorphisme de Tx M tel que :
J 2 = −id Tx M
Une variété munie d’une structure presque-complexe est dite variété presque-complexe.
1.2 INTEGRABILITE D’UNE STRUCTURE PRESQUE-COMPLEXE
La torsion d’une structure presque-complexe J est définie comme étant le tenseur N de type (1, 2)
donné par :
N ( X , Y ) = 2([ JX , JY ] − [ X , Y ] − J [ JX , Y ] − J [ X , JY ]) , pour tous X , Y ∈ χ ( M ) .
Si ( x i ) ,1 ≤ i ≤ n est un système de coordonnées locales en un point x de M , en posant X = ∂ / ∂x j et
Y = ∂ / ∂x k dans l’équation définissant N , les composantes N ijk de N relativement à x1 , x 2 ,..., x 2 n
sont données par :
N ijk = 2∑ J hj ∂ h J ki − J kh ∂ h J ij − J hi ∂ j J kh + J hi ∂ k J hj où ∂ h = ∂ / ∂x h .
La structure presque-complexe J est intégrable si et seulement si N = 0 .
1.3 DEFINITION
Une variété complexe est une variété topologique modelée sur C n . Une variété complexe est dite
analytique si elle possède un atlas A = {(U i , ϕ i )} holomorphe, c’est–à-dire tel que les applications
ϕ j o ϕ i−1 soient holomorphes pourvu que U i ∩ U j ≠ φ .
28
1.4 VARIETES HERMITIENNES
1.4.1 METRIQUES HERMITIENNES
Une métrique hermitienne sur une variété presque-complexe M est une métrique g invariante par la
structure presque-complexe J : g ( JX , JY ) = g ( X , Y ) , pour tous X , Y ∈ χ(M).
Une métrique hermitienne définit alors un produit scalaire hermitien sur chaque espace tangent Tx M ,
pour tout point x de M .
Une variété presque-complexe (resp. une variété complexe) munie d’une métrique hermitienne est
appelée variété presque hermitienne (resp. variété hermitienne).
La forme de KHAELER ω d’une métrique hermitienne g est la 2-forme de type (1,1) associée au
tenseur métrique.
En coordonnées locales ( z i ), 1 ≤ i ≤ n relativement à un point z de M , on a :
ω=
n
∑g
tj
dz t Λdz j où g tj = g (∂ / ∂z t , ∂ / ∂z j ) .
t , j =1
1.4.2 LA 2-FORME FONDAMENTALE
La 2-forme fondamentale φ d’une variété presque hermitienne M munie d’une structure presquecomplexe J et d’une métrique g est définie par :
φ ( X , Y ) = g ( X , JY ) , φ ( JX , JY ) = g ( X , Y ) , pour tous X et Y ∈ χ(M).
1.4.3 METRIQUES KAHLERIENNES
Une métrique hermitienne est appelée métrique kählérienne si la 2-forme fondamentale φ est fermée, i.e.
dφ = 0 .
Une variété munie d’une métrique kählérienne est dite variété kählérienne.
1.4.4 COURBURE DE KAHLER
La courbure de la connexion de LEVI-CIVITA d’une métrique Kählérienne g est appelée courbure de
KAHLER. On note R .
29
La courbure de KAHLER R est une 2-forme de type (1,1) à valeurs dans le fibré des endomorphismes
anti-symétriques de TM :
R possède les propriétés suivantes :
(i)
R( X , Y ) o J = J o R( X , Y )
(ii)
R( JX , JY ) = R( X , Y ) , pour tous X , Y ∈ χ(M).
1.4.5 FORME DE RICCI
On appelle forme de RICCI, l’image R(ω ) de la forme de KAHLER ω par la courbure de KAHLER
R .En coordonnées locales, on a :
R (ω ) = −id ' d ' ' Log det( g tj ) où g tj = g (∂ / ∂z t , ∂ / ∂z j ) .
1.4.6 METRIQUES DE KAHLER-EINSTEIN
Une métrique kählérienne dont la forme de RICCI R(ω ) est proportionnelle à la forme de KAHLER
ω est dite de KAHLER-EINSTEIN.
1.4.7 SURFACES K3
Une surface k 3 est une surface complexe dont la première classe de CHERN et le premier nombre de
BETTI sont nuls.
2. LA CONSTRUCTION DE PENROSE
2.1 SPINEURS
Un spineur est une matrice colonne 2 × 1 dont les composantes sont des complexes.
2.2 TWISTEURS
On appelle twisteur, une paire constituée d’un champ de spineurs et d’un champ de spineurs conjugué
vérifiant l’équation des twisteurs suivante :
∇ A ( ABφ ...E ) = 0 .
30
2.3 DEFINITION
L’aspect le plus remarquable de l’auto-dualité est certainement son lien avec la géométrie holomorphe.
Elle permet de construire des METRIQUES d’EINSTEIN AUTO-DUALES à partir de la géométrie
d’une famille de courbes sur une variété complexe.
Bien plus, la géométrie conforme de la variété est définie, non par un objet tensoriel comme une
métrique, mais par les propriétés d’intersections infinitésimales de ces courbes.
Le point de départ de cette construction, étant donné une variété orientée compacte de dimension
quatre ( M , g ) de considérer le fibré vectoriel :
π :P→M
où P = S (Λ−T ∗ M ) est le fibré sphère unité du fibré vectoriel Λ−T ∗ M (c’est la sphère unité des 2formes anti auto-duales) de dimension trois. P est une variété fibré de dimension 6 dont les fibres sont
des 2-sphères.
En utilisant la métrique pour identifier les 2-formes et les endomorphismes anti-adjoints de T ∗ M , une
2-forme auto-duale en un point x de M , devient un endomorphisme J tel que J ∗ = − J , J ² = −id Tx M .
La connexion de LEVI-CIVITA nous permet de décomposer le fibré tangent de P de la manière
suivante :
TP = TF ⊕ π ∗TM
où TF est le fibré tangent le long des fibres. Il en résulte qu’en un point z = J x de P , nous pouvons
définir une structure complexe sur Tz P en prenant J x sur l’espace horizontal π ∗Tx M et la structure
complexe standard de la fibre. L’espace des twisteurs de la variété M est alors P = S (Λ−T ∗ M ) , munit
de la structure presque-complexe définie ci-dessus. Cette structure presque-complexe est intégrable si
et seulement si la variété M est auto-duale et alors P est une variété complexe de dimension 3.
2.4 REMARQUE
Les hypothèses et arguments de la preuve de la proposition 2.5 et du théorème 2.6 sont ceux de
CHAPITRE III ; 3.1
2.5 PROPOSITION
(i) Les fibres de π : P → M sont des courbes holomorphes dont le fibré normal est H ⊕ H , où H
est le fibré en droites holomorphes tel que C1 ( H ) = 1 .
31
(ii) P possède une involution libre anti-holomorphe τ : P → P ,qui transforme chaque fibre en ellemême.
Preuve :
(i) Les images réciproques des formes σ 1 et σ 2 sur une fibre (V− ) x s’annulent et dans un repère
géodésique en un point x de M , θ α = dλα est une (1,0)-forme pour la structure complexe standard
sur la fibre (V− ) x : il vient donc que chaque fibre (V− ) x peut-être considéré comme une courbe
holomorphe.
De même, le fibré conormal N ∗ des fibres (V− ) x est engendré par σ 1 et σ 2 , qui sont holomorphes vu
que dσ 1 et dσ 2 ne contiennent pas de termes dλ1 et dλ 2 , et le trivialisent. Mais comme σ 1 et σ 2
trivialisent aussi H ⊗ N ∗ , alors il vient que N ≅ H ⊕ H .
(ii) La structure quaternonique J : V− → V− définit une involution libre τ
sur P ( J ² = −1 est un
scalaire et donc τ ² = id ). Puisque le groupe d’holonomie de la connexion de LEVI-CIVITA sur V−
est SU (2) , la structure J est préservée et donc J ∗θ , J ∗ σ sont encore des (1,0)-formes.
Finalement τ est anti-holomorphe et préserve chaque fibre.
2.6
THEOREME
Soit ( M , g ) une variété auto-duale. Alors
(i)
g est une métrique d’EINSTEIN si et seulement si θ ∈ C
∞
(P ,K
−1/ 2
⊗ Λ 1 , 0 T ∗ M ) est
holomorphe.
(ii) Si θ est holomorphe, alors la courbure scalaire ρ de la métrique g est définie par :
ρ = θΛ dθ ∈ H o (P , K
−1
⊗ K ) = H o (P,C ) = C
Preuve :
(i)
Un repère géodésique en un point x de M définit une trivialisation de K −1/ 2 (pour λ 2 ≠ 0 ) qui
est holomorphe lelong de la fibre au-dessus de x . Relativement à cette trivialisation, nous pouvons
remplacer θ = λ 2θ 1 − λ1θ 2
par la (1,0)-forme θ ' = θ / λ22 . Ainsi dθ ' = ω (φ , R − (φ )) / λ22 et d ' 'θ ' = 0
si ω (φ , R − (φ )) (1,1) = 0 . Si la partie scalaire de R − dans dθ ' est cρφ ⊗ φ , dans d ' 'θ ' elle est nulle. Etant
32
donné que W − = 0 , la seule contribution de R − est r − ρg . Mais c’est une forme de type (1,1) sur
laquelle l’action de J est triviale donc quand (λ1 , λ 2 ) varie, d ' 'θ ' = 0 si et seulement si r − ρg = 0 .
Ainsi d ' 'θ ' = d ' ' (λ42 ) = 0 si et seulement si g est d’EINSTEIN.
(ii)
Si g est d’EINSTEIN, alors dθ ' = cρφ ⊗ φ / λ22 en x .
= cρσ '1 Λσ ' 2
d’où
θΛdθ = λ82θ ' Λdθ '
= cρλ82θ ' Λσ '1 Λσ ' 2
= cρθΛσ 1 Λσ 2
= cρ .
La constante c peut-être évaluée en considérant la 4-sphère.
2.7 METRIQUE DE L’ESPACE DES TWISTEURS
Soit U ⊂ M un sous-ensemble ouvert de M au dessus duquel le fibré tangent TM
a un repère
orthonormé orienté (ei ), 1 ≤ i ≤ 4 , avec pour dual (θ i ), 1 ≤ i ≤ 4 . Sur U nous avons, V− ≅ U × H où V−
est le fibré des spineurs anti-auto-duaux et H le corps des quaternions. Le fibré principal D− de V− est
isomorphe a U × S 3 et l’espace des twisteurs P ≅ U × S 3 / S 1 ≅ U × CP 1 .
Si ε est la coordonnée de fibre sur D− , alors la forme globale de connexion sur D− est ε dε + ε ω − ε
où :
1
2
ω − = ((ω 21 − ω 43 )i + (ω 31 + ω 42 ) j + (ω 41 − ω 42 )k ) et ω = [ω βα ] , α , β = 1,2,...,4
est la matrice de la connexion de LEVI-CIVITA.
Si on considère ε comme une section de :
S 3 → S 3 / S 1 = CP1 .
et si pour λ ∈ R +∗ , on poseψ = λ (ε dε + ε ωε ) = ψ 0 + jψ 1 , alors la restriction de⎯ψ 0 ⊗ψ 1 , à une fibre
de P , est la métrique de FUBINI-STUDY et l’annulation de ψ 1 définit les sous-espaces horizontaux
de P .
Posons θ = e1∗ + ie2∗ + je3∗ + ke4∗ où (e1∗ , e2∗ , e3∗ , e4∗ ) est une base orthonormée de Tx∗ M pour tout point
x de M et Θ = θε = Θ 0 + jΘ1 .
Alors la définition de la structure presque-complexe de P implique que les (1,0)-formes sont
engendrées par Θ 0 , Θ1 et ψ 1 ( Θ 0 et Θ1 pour la composante horizontale et ψ 1 pour la composante
verticale).
33
Nous définissons, la métrique hermitienne h de P en additionnant à la métrique de FUBINI-STUDY
lelong des fibres, l’image réciproque de la métrique g de M aux sous-espaces horizontaux.
Localement on a :
h = Θ 0 ⊗ Θ 0 + Θ 1 ⊗ Θ 1 ± ψ 1 ⊗ ψ 1 = ( Θ ⊗ Θ) 0 ± ψ 1 ⊗ ψ 1
Notons que le coefficient λ ∈ R +∗ ci-dessus interviendra au chapitre III (3.2, 3.3, 3.4 et 3.5)
N.B : Dans ce paragraphe (1, i, j , k )
est une base du corps des quaternions H . Pour tout Θ ∈ H ,
Θ = a + ib + jc + kd = Θ 0 + jΘ1 où (Θ 0 , Θ1 ) ∈ C × C
3. CONSTRUCTION INVERSE DE PENROSE
Le point de départ est une variété complexe de dimension trois, fibrée en droites projectives, à partir de
laquelle on définit la variété auto-duale, dont elle est l’espace des twisteurs.
3.1 THEOREME
Soit Q une variété complexe de dimension trois telle que :
(i) Q est fibrée en droites projectives dont le fibré normal est isomorphe à H ⊕ H .
(ii) Q possède une involution anti-holomorphe libre τ qui transforme chaque fibre en elle-même.
Alors Q est holomorphiquement équivalente à l’espace des twisteurs d’une variété auto-duale M .
Preuve :
La condition (i) définit la variété M comme la base de la fibration. Etant donné que la structure
complexe de P( M ) (espace des twisteurs de M ) est définie par la structure conforme de M , le
théorème fournira de façon naturelle une structure conforme.
Nous utiliserons la théorie des extensions de GRIFFITHS (cf. P.GRIFFITHS, The extension problem
in complex analysis II, Amer. J Math 88, 366-446 (1996)) pour produire une structure conforme
sur M , définie comme une G-structure du second ordre (cf. S.KOBAYASHI, Transformations groups
in differential geometry, Ergebnisse der Mathematik, und Ihre Grenzgebiete, 70,springer-verlag,
Berlin (1972)).
Soient Y ⊂ Q une des droites projectives de l’hypothèse et P ( R 4 ) = H ⊕ H , l’espace des twisteurs
de R 4 .
34
Choisissons un isomorphisme f : Y → Z sur la section zéro de Z . L’obstruction à l’extension de f au
premier ordre est un élément du groupe de cohomologie H 1 (Y , f ∗TZ ⊗ N ∗ ) . Cependant sur la section
zéro CP 1 ⊂ Z :(1) TZ ≅ H 2 ⊕ H ⊕ H
Et par hypothèse (2) N ≅ H ⊕ H .
Vu que H 1 (CP 1 , H k ) = 0 pour k ≥ 1 (cf.R.O WELLS, Differential analysis on complex manifolds,
graduate texts in mathematics, springer-verlag, Berlin (1979)), il suit que H 1 (Y , f ∗TZ ⊗ N ∗ ) = 0 , et
donc f peut-être étendue au premier ordre à une application f (1) dans un voisinage de Y ⊂ Q .
(3)La dérivée f ' de l’extension f (1) appartient à H 0 (Y , Hom(TQ, f ∗TZ )) .
Si π : H ⊕ H → CP 1 est la projection de H ⊕ H sur CP 1 , alors πf : Y → CP 1 est un isomorphisme et
ainsi Ker (π f )' = E ⊂ TQ Y est un sous-fibré holomorphe de rang 2, transverse à TY et donc
isomorphe au fibré normal N .
Etant donné que la différence de deux extensions est un élément de H 0 (Y , f ∗TZ ⊗ N ∗ ) , il vient de (1)
et (2) qu’il existe des extensions telles que f ' soit un isomorphisme : choisissons une telle extension.
L’obstruction à l’extension de f (1) au second ordre est un élément de H 1 (Y , f ∗TZ ⊗ S ² N ∗ ) . (cf.
P.GRIFFITHS, The extension problem in complex analysis II, Amer. J Math 88,366-446
(1996)). Mais comme ci-dessus, cette difficulté peut-être contournée et nous pouvons obtenir une
extension f (1) .
Maintenant, comme (π f )' ' s’annule dans les directions E ⊂ TQ , il existe une dérivée seconde bien
définie (π f )' '∈ H o (Y , Hom( S 2 E , ((π f )' T CP 1 )) .
La différence de deux extensions appartient à H o (Y , f ∗TZ ⊗ S 2 N ∗ ) , mais maintenant :
π : H o (Y , f ∗TZ ⊗ S 2 N ∗ ) → H o (Y , (πf ) ∗ T CP 1 ⊗ S 2 N ∗ )
est un isomorphisme vu que H o ( CP 1 , H −1 ) = 0 .Nous devons alors choisir une seconde extension telle
que (π f )' ' s’annule.
Aussi, la structure réelle τ sur Q et la structure réelle équivalente sur P( R 4 ) permettent de considérer
les groupes de cohomologies comme des espaces vectoriels réels à condition que l’isomorphisme
initial f soit compatible avec τ . Choisissons donc une extension réelle du second ordre.
Par l’invariance conforme de la construction de l’espace des twisteurs, le groupe SO(5 ,1)
des
transformations conformes de S 4 , préservant l’orientation, agit sur CP 3 comme des transformations
holomorphes préservant la structure réelleτ . Mais SO(5 ,1) (dont la dimension est 15) est la forme
35
réelle de SL(4 , C ) , donc toute transformation biholomorphe de CP 3 compatible avec τ est obtenue
par cette action.
Il reste une difficulté dans le choix de l’extension f (1) : de (1) et (2) il vient que
dim H o ( Y , f ∗TZ ⊗ N ∗ ) = 8 .
Cependant deux extensions, qui sont des isomorphismes sont liées par un isomorphisme du voisinage
du premier ordre de la section zéro f (Y ) ⊂ Z sur lui-même, et qui induit l’application identité
de f (Y ) . Aussi, le sous-groupe de SL(4 , C ) qui laisse fixe tous les points d’une droite dans CP 3 est
un groupe connexe de dimension 8.Vu que Z est un ouvert dans CP 3 dont la section zéro est une
droite, nous déduisons du paragraphe précédent que deux extensions réelles quelconques de f du
premier ordre sont équivalentes par un élément du groupe conforme agissant sur P( R 4 ) . Cet élément
laisse fixe chaque point de la droite. Les choix de l’isomorphisme initial f diffèrent par un élément de
SU (2) agissant sur la droite et finalement nous obtenons un isomorphisme holomorphe du second
ordre lelong de Y : f ( 2 ): Q → R 4 , bien définie modulo l’action de L0 ⊆ SO(5 ,1) sur P( R 4 ) ., où L0 est
le sous-groupe laissant fixe un point de S 4 (où, ce qui est équivalent, laisse stable, une droite de CP 3 ).
Enfin, considérons l’application :
R 4 → R 4 × S 2 ≅ P( R 4 ) → Q → M .
C’est un 2-repère en p ( y ) = x ∈ M , bien définit modulo L0 . Quand x varie, on obtient une structure
conforme (cf. S. KOBAYASHI, Transformations groups in differential geometry, Ergebnisse der
Mathematik, und Ihre Grenzgebiete, 70, springer-verlag, Berlin(1972)) et par construction, Q ≅ P(M ) .
Les 2-repères particuliers intervenant dans l’approche par G − structure, des structures conformes sont
les 2-repères des coordonnées géodésiques, pour toutes les métriques de la classe d’équivalence
conforme. Le repère (θ ' , σ 1' , σ 2' ) dans P(M ) est équivalent en coordonnées géodésiques au repère plat
sur P( R 4 ) d’où :
θ M' = f ( 2 )∗θ R'
4
θ M' = f ( 2 )∗σ β' , R
4
qui sont de type (1,0) relativement à la structure complexe sur Q , qui est par hypothèse intégrable,
donc d’après CHAPITRE III Théorème 3.1, Q est l’espace des twisteurs d’une structure
conformément demi-plate sur M .
36
4. STRUCTURE CONFORME
4.1
METHODE DE CONSTRUCTION (Les hypothèses sont celles du
théorème 3.1)
Si X
et Y ⊂ X
est une variété complexe
est une sous-variété complexe compacte telle
que H 1 (Y , N ) = 0 , alors Y appartient à une famille localement complète paramétrée par une variété
complexe Z . Mieux, il existe un isomorphisme naturel
TZ ≅ H o (YZ , N ) , où N désigne le fibré normal de la variété YZ .
Posons Y = π −1 ({x}) et X = Q ; alors puisque N ≅ H ⊕ H et H 1 (CP 1 , H ⊕ H ) = 0 , le résultat cidessus reste valable ; bien plus dim H o (CP 1 , H ⊕ H ) = 4 , et donc Z est une variété complexe de
dimension quatre.
Etant donné que M est connexe, nous avons l’inclusion M ⊂ Z et venons de construire une
complexification de M .En fait si YZ est une courbe de la famille, suffisamment proche de Yx ( x point
de M ), alors par la complétude locale, τ (YZ ) appartient aussi à la famille. Et donc le voisinage d’un
point de M admet une involution anti-holomorphe pour laquelle M est un point –fixe ; vu que par
hypothèse, l’image de Yx par τ est Yx ; alors M est la forme réelle de la variété complexe de toutes
les courbes de la famille générée par les fibres de π .
Considérons maintenant l’isomorphisme TZ ≅ H o (YZ , N ) et définissons :
{
}
C = e ∈ H o (YZ , N ) / e( y ) = 0 , pour y ∈ YZ .
Vu que N ≅ H ⊕ H , une section holomorphe e est donnée par une paire de formes linéaires
(aµ + b , cµ + d ) qui s’annule si et seulement si ad − b c = 0 . Alors C définie une forme quadratique
sur TZ à un multiple scalaire près, c’est-à-dire une structure conforme complexe. Au dessus du point
x de M , nous obtenons une structure produite par le théorème 3.1, il suffit de faire une vérification sur
R4 .
Une courbe invariante par τ sur R 4 est donnée par :
ω1 = µ C1 − C 2
ω 2 = µ C 2 − C1 .
Un vecteur tangent est alors donné par la section de H ⊕ H , e = ( µ C1' − C 2' , µ C 2' + C1' ) .Ainsi la
structure complexe est définie par la forme quadratique C1' C1' + C 2' C 2' ,qui est la métrique euclidienne.
37
4.2 EXEMPLE
Soit Q la variété F3 = SU (3) / T . C’est l’espace des paires (m , l ) où m est un élément de CP 2 , l est
une droite sur CP 2 et m ∈ l . Q peut aussi être considérée comme le fibré tangent projectif
holomorphe de CP 2 .
Définissons une application π : F3 → CP 2 par π (m , l ) = l ∩ m ⊥ , où nous utilisons un produit scalaire
hermitien sur C 3 pour définir l’orthogonal de dimension deux, du sous-espace de dimension 1 définit
par m . La droite projective correspondante est notée m ⊥ .
Définissons τ : F3 → F3 par τ (m , l ) = (l ⊥ , m ⊥ ) . Alors τ est anti-holomorphe, τ 2 = id et τ n’a pas de
points fixes vu que m∉m ⊥ . De plus π commute avec τ .
Même si π
n’est pas holomorphe, la fibre π −1 ({x})
est une courbe holomorphe et
π −1 ( x) = {(m , l ) / x ∈ l et m ∈ x ⊥ }.
Considérons alors toutes les droites passant par x et un point distinct sur chacune d’elles, donné par
leur intersection avec x ⊥ . Cela définit une droite projective holomorphe dans F3 , invariante par τ .
Afin de déterminer la structure complexe de CP 2 , définie par la variété complexe F3 , considérons
d’abord
{
toute
la
famille
holomorphe
de
courbes
z.
Dans
ce
cas,
prenons
}
z = ( z , w) ∈ CP 2 × CP 2∗ / z ∉ w où CP 2∗ est l’espace projectif dual des droites de CP 2 . La structure
réelle induite sur z est τ ( z , w) = ( w ⊥ , z ⊥ ) .En coordonnées homogènes, un point de z est une paire
( z , w) ∈ C 3 × C 3 et τ ( z , w) = ( w , z ) .
Maintenant si une section du fibré normal d’une courbe Yz s’annule en un point, le vecteur tangent
correspondant dans TZ , est tangent à une famille à un paramètre de courbes passant par ce point. La
condition pour les courbes qui impose que ( z , w) et ( z ' , w' ) , éléments de Z , se rencontrent, est que
l’intersection des droites w et w' appartienne à la droite passant par z et z ' , c’est-à- dire :
z0
⎛
⎜
z 0'
det⎜
⎜ w w' − w w'
2 1
⎝ 1 2
z1
⎞
⎟
z
⎟=0
'
' ⎟
w0 w1 − w1 w0 ⎠
z2
'
1
z
w2 w − w0 w2'
'
0
'
2
d’où la condition infinitésimale, en coordonnées affines est :
1
⎛
⎜
det⎜
0
⎜ w dw − w dw
2
1
⎝ 1 2
38
z1
dz1
− dw2
z2 ⎞
⎟
dz 2 ⎟ = 0
dw1 ⎟⎠
c’est-à-dire :
dz1 dw1 + dz 2 dw2 + ( z1 dz 2 − z 2 dz1 )( w1 dw2 − w2 dw1 ) = 0 .
Sur la partie réelle CP 2 de z , w = z donc la structure complexe est définie par la métrique suivante :
g = dz1 dz1 + dz 2 dz 2 + ( z1 dz 2 − z 2 dz1 )( z1 dz 2 − z 2 dz1 ) qui est conformément équivalente à la métrique
de FUBINI-STUDY.
39
CHAPITRE III
METRIQUES D’EINSTEIN AUTO-DUALES SELON
ALBERT VITTER
INTRODUCTION
Sous l’action du groupe orthogonal O(n) , le tenseur de courbure de Riemann R de la variété ( M , g ) ,
considéré comme un champ d’endomorphismes symétriques de Λ2T p∗ M , pour tout point p de M
(cf. CHAPITRE III ; 1.1) admet une décomposition R = U + Z + W en ses composantes irréductibles
W,U =
ρ
2n(n − 1)
gΛg et Z = Ric0 Λg (où Ric 0 = r −
ρ
n
g ). W est le tenseur de courbure conforme
de Weyl et Ric0 est la partie déviante de la courbure de Ricci, de telle sorte que le tenseur Z mesure
l’obstruction à la métrique d’être une métrique d’Einstein. Lorsque la dimension n de ( M , g ) vaut 4,
l’action du groupe SO(4) sur les sous-espaces irréductibles intervenant dans la décomposition du
noyau Ker b de l’application de Bianchi b , induit un raffinement W = W + ⊕ W − dont l’origine est la
décomposition de Λ2T p∗ M , pour tout point p de M , en sous-espaces propres Λ+ T p∗ M et Λ−T p∗ M
pour les valeurs propres +1 et –1 de l’opérateur de Hodge sur les 2-formes (cf. CHAPITRE I ; 3.16). Il
s’en suit que R = U + Z + W + + W − (cf. CHAPITRE III ;1.2 ; (10)).
Une variété riemannienne orientée de dimension 4 telle que l’une des composantes auto-duale W + (ou
anti auto-duale W − ) du tenseur de courbure conforme de Weyl W s’annule et est dite conformément
demi-plate et sa métrique g est dite auto-duale (ou anti auto-duale). Elle est d’Einstein si Ric 0
s’annule.
Enfin, l’importance de l’espace de Penrose tient au fait que tous les théorèmes découlent de
l’intégrabilité (cf. 3.1) de sa structure presque-complexe.
Les théorèmes de CHEEGER-GROMOLL, de NEWLADER-NIRENBERG, de AKIZUKI-NAKANO
et de H.WEYL suivants, seront utilisés pour la démonstration des théorèmes 3.5, 3.1, 3.5 et 1.2.2
respectivement.
40
THEOREME : (CHEEGER-GROMOLL)
Soit M une variété compacte dont la courbure de RICCI est positive ou nulle. Alors π 1 ( M ) contient
un sous–groupe normal fini ψ tel que π 1 ( M ) /ψ est une extension de Z q par un groupe fini et le
recouvrement universel M ' de M est isométrique à M × R q
M est compacte.
Preuve : (cf. [13], p.171).
Soient ω une fonction à valeurs complexes et L j ,1 ≤ j ≤ n des opérateurs. Considérons les égalités
suivantes :
(i)
L j ω = ∂ω / ∂z j − a kj ∂ω / ∂z k = 0 où a kj = 0 en z 1 = z 2 = ... = z n = 0 , 1 ≤ j ≤ n .
(ii)
∂a kj / ∂z m − a mp ∂a kj / ∂z p = ∂a mk / ∂z j − a jp ∂a mk / ∂z p , 1 ≤ j ≤ n , 1 ≤ k ≤ n ,1 ≤ m ≤ n ,
où
les
coefficients a kj , a mp , a jp et a mk sont des fonctions à valeurs complexes.
THEOREME : (NEWLANDER-NIRENBERG)
Si les coefficients a kj dans (i) sont de classe C 2 n , dans un voisinage de l’origine et vérifie (ii), alors il
existe n solutions ξ 1 , ξ 2 ,..., ξ n de (i) dans un voisinage de l’origine, telles que le jacobien des
ξ 1 , ξ 2 ,..., ξ n , ξ 1 , ξ 2 ,..., ξ n par rapport à z 1 , z 2 ,..., z n , z 1 , z 2 ,..., z n soit non nul, de sorte que les
équations (i) deviennent ∂ω / ∂ξ j = 0 . Chaque fonction ξ j est de classe C 2 n + β pour 0 < β < 1 . Si en
plus les coefficients a ij sont de classe C k +α , pour k ≥ 2 et 0 < α < 1 , alors chaque ξ
j
C k +α +1 .
Preuve : (cf. [28], p. 393)
THEOREME : (AKIZUKI ET NAKANO)
Si L est un fibré en droite négatif sur une variété complexe compacte V de dimension n .
Alors H p ,q (V ,θ ( L)) = 0 , pour p + q ≤ n − 1 .
Preuve : (cf. [29])
41
est de classe
THEOREME : (H.WEYL)
Soient ( F , <>) un R − espace vectoriel euclidien de dimension n et W un sous-espace vectoriel de
l’algèbre tensoriel de V , tel que l’espace des formes quadratiques O(n) − invariants sur W soit de
dimension 1. Alors W est O(n) − irréductible.
Preuve : (cf. [14], p. 81).
Dans la suite, ( M , g ) est une variété riemannienne compacte, orientée, de dimension 4. Pour tout
{
point x de M , e1∗ , e2∗ , e3∗ , e4∗
}
est une base orthonormée de l’espace cotangent Tx∗ M .
1. DECOMPOSITION PAR BLOC DU TENSEUR DE COURBURE DE
RIEMANN
1.1 CHAMPS D’ENDOMORPHISMES SYMETRIQUES INDUITS PAR LE
TENSEUR DE COURBURE DE RIEMANN
Soit p un point de ( M , g ) . Considérons l’application :
R p : Λ2T p∗ M → Λ2T p∗ M
ei∗ Λ2 e ∗j a R p (ei∗ Λe ∗j ) =
Si ω est un élément de Λ2T p∗ M , alors ω =
∑ω
1≤i1 <i2 ≤ 4
1
Rijkl ek∗ Λel∗
∑
2 k ,l
∗
i1i 2 i1
e Λei∗2 .
Définissons une application R par :
R : Λ2T p∗ M → Λ2T p∗ M
ω a R(ω ) =
R(ω ) =
1
2
∑ω
1≤i1 <i2 ≤ 4
∑ ∑ω
1≤i1 < i2 ≤ 4
k ,l
i1i2
i1i2
R p (ei∗1 Λei∗2 )
Ri1i2 kl ek∗ Λel∗
On vérifie facilement que :
(i) R est un endomorphisme de Λ2T p∗ M .
(ii) R est symétrique i.e. g ( R(ω ), σ ) = g (ω , R(σ )) , pour tous éléments ω et σ de Λ2T p∗ M .
42
1.2 DECOMPOSITION
Soit l’application:
b : S 2 Λ2T p∗ M → S 2 Λ2T p∗ M
R a b( R ) =
1
{R( x, y, z, t ) + R( y, z, x, t ) + R( z, x, y, t )}
3
pour tout ( x, y, z , t ) ∈ (T p∗ M ) 4 et tout R ∈ S 2 Λ2T p∗ M .
b est appelée application de Bianchi. Elle est GL(T p∗ M ) − invariante car elle ne fait intervenir que des
permutations. Son noyau et son image sont donc GL(T p∗ M ) − invariants.
On vérifie facilement que b est un endomorphisme idempotent de S 2 Λ2T p∗ M , d’où :
S 2 Λ2T p∗ M = Im b ⊕ Ker b (1).
1.2.1 IMAGE DE b
Nous
si T =
savons
Im b = {T = b( R) / R ∈ S 2 Λ2T p∗ M }. T = b( R )
que
1
{R( x, y, z, t ) + R( y, z, x, t ) + R( z, x, y, t )}
3
,
pour
tout
si
et
seulement
( x, y, z , t ) ∈ (T p∗ M ) 4 .Or
R( x, y, z, t ) = g ( R( z , t ) y, x) et g ( R( zΛt ) yΛx) = g ( R( z, t ) y, x) .D’où : R( x, y, z, t ) = g ( R( zΛt ) yΛx) .
En utilisant les définitions :
< α , β >= g (α , β ) = αΛ ∗ β et R (ei∗ Λe ∗j ) =
1
∑ Rijkl ek∗ Λel∗
2 k ,l
Il vient que :
R ( x, y , z , t ) = g ( R (
∑ω
1≤i < j ≤ 4
=
∗
ij i
e Λe ∗j ,
1
∑ ∑ ωij β kl
2 1≤i < j ≤ 4 1≤ k <l ≤ 4
R( x, y, z , t ) = α ek∗ Λel∗ Λei∗ Λe ∗j
Ainsi R( x, y, z, t )
∑β
1≤i < j ≤ 4
∑R
∗
kl k
ijkl
e Λel∗ )
g (ek∗ Λel∗ , ek∗ Λel∗ )
k ,l
où α ∈ R et ek∗ Λel∗ Λei∗ Λe ∗j = ∗ .
appartient à Λ4T p∗ M = R ∗ (où ∗ est considéré comme l’élément de volume) et par
suite T ∈ Λ4T p∗ M . Il en résulte que :
Im b = Λ4T p∗ M (2)
et
S 2 Λ2T p∗ M = Λ4T p∗ M ⊕ Ker b (3).
43
Notations:
b': S 2 Λ2 E → S 2 Λ2 E
•
R a b' ( R ) =
,
1
{R( x, y, z, t ) + R( y, z, x, t ) + R( z, x, y, t )}
3
pour tout ( x, y, z , t ) ∈ E 4 et tout R ∈ S 2 Λ2 E
•
( E , g ) est R − espace vectoriel euclidien de dimension n ,
•
Z = gΛS 02 E ,
•
U = gΛg , W = ( Z ⊕ U ) ⊥ ∩ Ker b' .
1.2.2 THEOREME :
Soit ( E , g ) est R − espace vectoriel euclidien de dimension n . Alors on a la décomposition suivante
en sous-espaces irréductibles :
E = Im b' ⊕ U ⊕ Z ⊕ W .
Preuve :
Le produit de Kulkarni-Nomizu par g ( gΛ•) est une application équivariante. Par exemple, pour h
dans S 2 E et x, y, z et t dans E , on a :
σ ( gΛh)( x, y, z, t ) = ( gΛh)(σ x, σ y, σ z, σ t ) , σ ∈ O(n) et comme
g (σ x, σ z ) = g ( x, z ) , ( gΛh)( x, y, z , t ) = ( g Λσ (h))( x, y, z , t ) .
Vu que Ker b' = U ⊕ Z ⊕ W est invariant, on aussi une décomposition de S 2 Λ2 E en somme directe de
quatre sous-espaces invariants.
D’après le théorème de H.WEYL, ces sous-espaces sont irréductibles. Soit (ei ) une base orthonormée
de E . Si R est dans S 2 Λ2 E , les formes quadratiques O(n) − invariants sur S 2 Λ2 E sont engendrées
par :
Q1 = ∑ ( Rijkl ) 2 , Q2 = ∑ Rijkl Rikil , Q3 = ∑ Rijkl Rkjkl , Q4 = ∑ Rijij Rkjkl , d’où le résultat.
ijkl
ijkl
ijkl
ijkl
44
1.2.3 PROPOSITION :
Soit ( M , g )
une variété riemannienne compacte, orientée de dimension quatre. Alors on a les
caractérisations suivantes des sous-espaces irréductibles de S 2 Λ2T p∗ M pour tout point p de M :
(i)
Im b = R o ∗ ,
(ii)
U = RgΛg ,
(iii)
( RZ ) ⇔ ( R o ∗ = − ∗ o R) ,
(iv)
( RW ) ⇔ ( R o ∗ = ∗ o R , trace(∗ o R) = 0) .
Preuve :
On
a,
pour
une
base
(ei∗ ) ,1 ≤ i ≤ 4
de
T p∗ M
et
pour
tout
point
p
de
M : (trace(∗ o R))∗ = ∑ < ∗ o R ei∗ Λe ∗j , ei∗ Λe ∗j >= 6b( R ) .D’autre part, Λ4T p∗ M est de dimension 1
d’où (i).L’assertion (ii) est vérifiée pour tout n .Pour établir (iii), remarquons que, si (ei∗ ) est une base
de vecteurs propres du 2-tenseur symétrique r , alors ei∗ Λe ∗j
est une base de vecteurs propres pour
gΛr ; si (λi ) sont les valeurs propres de r , on a :
( gΛr )(ei∗ Λe ∗j ) = (λi + λ j ) ei∗ Λe ∗j .
Supposons gΛr dans Z , alors trace r = 0 et par suite λ1 + λ 2 = −(λ3 + λ 4 ) ; ceci montre que, si ω
est dans Λ2T p∗ M , et R dans Z , on a :
( R o ∗)(ω ) = (∗ o R)(ω ) .
Si Λ+ T p∗ M et Λ−T p∗ M sont les sous-espaces propres de ∗ correspondant aux valeurs propres +1 et –
1, on a : Hom(Λ+ T p∗ M , Λ−T p∗ M ) = ( R ; R o ∗ = − ∗ o R) ,
dim Hom(Λ+ T p∗ M , Λ−T p∗ M ) = 9 = dim Z .
On en déduit que Z = {R ∈ S 2 Λ2T p∗ M ; R o ∗ = − ∗ o R}.
Les conditions trace (∗ o R) = 0 et trace ( R) = 0 éliminent respectivement
caractérisent W .
De la proposition ci-dessus, il découle que pour tout point p de M :
S 2 Λ2T p∗ M = Im b ⊕ RgΛg ⊕ LT p∗ M ⊕ WT p∗ M
où LT p∗ M = {R ∈ S 2 Λ2T p∗ M ; R o ∗ = − ∗ o R} et
WT p∗ M = {R ∈ S 2 Λ2T p∗ M ; R o ∗ = ∗ o R = R et trace(∗ o R) = 0} .
45
(4)
Λ4T p∗ M et U , donc
Mais
étant
donné
LT p∗ M ≅ Λ+ T p∗ M ⊗ Λ− T p∗ M (
que
cf.
[13],
p.
50)
entraîne
WT p∗ M = W + T p∗ M ⊕ W −T p∗ M , avec :
W + T p∗ M = {R ∈ S 02 Λ2T p∗ M ; ∗ o R = R o ∗ = R},
{
}
W − T p∗ M = R ∈ S 02 Λ2T p∗ M ∗ o R = − R o ∗ = R ,
Il suit que :
S 2 Λ2T p∗ M = RgΛg ⊕ R ∗ ⊕ LT p∗ M ⊕ W + T p∗ M ⊕ W −T p∗ M ⊕ Λ4T p∗ M . (5)
Enfin d’après (3), S 2 Λ2T p∗ M = Ker b ⊕ Λ4T p∗ M .On en déduit donc que :
Ker b = RgΛg ⊕ R ∗ ⊕ LT p∗ M ⊕ W + T p∗ M ⊕ W −T p∗ M (6).
Si R est le tenseur de courbure de Riemann de ( M , g ) , alors Ker b et admet une décomposition de la
forme (6).Ainsi, R ∈ Ker b implique qu’il existe a ∈ R et qu’il existe l ∈ S 02 Λ2T p∗ M tels que
R = agΛg + gΛl + W + + W − (7).
Mais d’après [13], p. 48 :
R=
ρ
2n(n − 1)
gΛg +
ρ
1
(r − g )Λg + W
n−2
n
(8),
n = dimension de T p∗ M
où ρ = courbure scalaire
r = courbure de RICCI
Donc pour n = 4 , on a :
R=
ρ
ρ
1
gΛg + (r − g )Λg + W (9) où W = W + + W − ; par suite :
24
2
4
a=
En effet ρ = tr r ∈ R et
ρ
24
et l =
ρ
1
(r − g ) .
2
4
1
ρ
1
(r − g ) = Ric 0 ∈ S 02T p∗ M car Ric0 est le tenseur de RICCI , de trace
2
2
4
nulle.Il vient donc que :
R=
ρ
1
ρ
gΛg + (r − g )Λg + W + + W − (10);
24
2
4
or gΛg = 4 Id Λ2T ∗ M et Ric 0 Λg = gΛRic 0
p
d’où R =
ρ
6
Id +
1
gΛRic 0 + W + + W − (11).
2
46
{
}
Enfin relativement à une base orthogonale ei∗1 Λei∗12 , 1 ≤ i1 < i2 ≤ 4 de Λ2T p∗ M , le tenseur de courbure
de Riemann R admet la représentation matricielle par blocs suivante :
⎛ρ
+
⎜ Id + W
6
R=⎜
⎜ 1 gΛRic
⎜
0
⎝ 2
1
⎞
[ gΛRic0 ]t ⎟
2
⎟ (12)
ρ
− ⎟
Id + W ⎟
6
⎠
1.2.4 DEFINITION
La métrique g est d’Einstein si Ric0 = 0 et auto-duale si W − . Ainsi g est une métrique d’Einstein
auto-duale si Ric0 et W − sont nuls et ( M , g ) est alors une variété d’Einstein auto-duale (ou variété
d’Einstein conformément demi-plate).
2. L’ESPACE DES TWISTEURS
2.1 DEFINITION
On sait que l’espace des twisteurs de M est P = S (Λ−T p∗ M ) .D’une part, en utilisant la métrique g ,
les éléments de P sont identifiés en un point x de M , à des endomorphismes J de Tx M tels que :
J ∗ = − J et J 2 = − Id Tx M .
P est donc identifié à l’ensemble des structures-complexes sur Tx M , compatibles avec la métrique et
l’orientation. D’autre part, étant donné φ ∈ (V− ) x , un spineur non nul, d’après la multiplication de
CLIFFORD
φ → α ⋅φ
,
(où
α ∈ Λ1Tx M ),
il
vient
que
Λ1Tx M ≅ (V+ ) x .Comme
Tx M ≅ Tx∗ M = Λ1Tx M ,on en déduit que Tx M ≅ (V+ ) x .Ainsi Tx M hérite la structure-complexe de
l’espace complexe (V+ ) x .Finalement φ ∈ (V− ) x paramétrise cette structure-complexe sur Tx M ,
compatible avec la métrique et l’orientation.
Mais étant donné que la multiplication de φ par un complexe non nul λ conduit à la même structure
complexe, alors : P(V− ) x = (V−∗ ) x / ~ paramétrise un ensemble de structures-complexes compatibles
avec la métrique et l’orientation dans M (~ est la relation d’équivalence définit par la multiplication
par un complexe non nul).
47
Remarquons également qu’une structure-complexe particulière, compatible avec la métrique et
l’orientation est :
J 0 : T x M → Tx M
t a J 0 (t ) = ti
où J 0 (t 0 + t 1 ) = (t 0 i ) + j (t 1i ) .
Les autres structures-complexes compatibles avec la métrique et l’orientation sont obtenues à partir de
J 0 par conjugaison, avec les éléments de SO(4) .Mais comme la conjugaison de J 0 par U (2) ⊂ SO(4)
produit des structures-complexes compatibles avec la métrique et l’orientation qui sont
isomorphes ,l’ensemble de toutes les structures-complexes compatibles avec la métrique et
l’orientation est SO(4) / U (2) .
De ce qui précède, P (V− ) x ≅ SO(4) . Etant donné que le sous-groupe S1 × SU (2) de spin (4) qui laisse
fixe les éléments de P(V− ) x est isomorphe à S1 × SU (2) ⊃ U (2) , alors :
P (V− ) x ≅ SO(4) / U (2) ≅ S 3 × S 3 / ( S 3 × S 1 ) ≅ S 3 / S 1 ≅ P 1 (C )
Et donc P (V− ) = ∪ P(V− ) x peut-être considéré comme l’espace des twisteurs de M .
xM
2.2 REMARQUE
Une structure presque-complexe J est intégrable si la différentielle dθ de toute 1-forme θ de type
(1,0) appartient à l’idéal engendré par les 1-formes de type (1,0) (i.e. dθ n’a pas de composantes de
type (0,2)).D’après le théorème de NEWLANDER- NIRENBERG, la condition ci-dessus implique que
la structure-complexe J est intégrable.
3. VARIETES D’EINSTEIN AUTO-DUALES
Une variété dont la structure presque-complexe est intégrable devient une variété complexe. Le
théorème suivant établit une équivalence entre une variété auto-duale et une variété complexe de
dimension trois.
3.1 THEOREME
Soit ( M , g ) une variété riemannienne orientée de dimension 4 et P (V− ) son espace de twisteurs. Alors
la structure presque-complexe de P (V− ) est intégrable si et seulement si ( M , g ) est conformément
demi-plate i.e. W − = 0 .
48
Preuve :
Considérons l’ensemble des spineurs anti auto-duaux non-nuls V−∗ et soit x un point de M .
P (V− ) = V−∗ / ~ où ~ est la multiplication par un complexe non nul, vu que la structure est invariante
par cette multiplication, la structure presque-complexe de P (V− ) se déduit de celle de V−∗ .
Définissons la structure presque-complexe de V−∗ :
En utilisant la connexion de LEVI-CIVITA, on exprime TxV−∗ comme somme directe de vecteurs
verticaux et de vecteurs horizontaux : TxV−∗ = V (TxV−∗ ) ⊕ H (TxV−∗ ) .
Par définition, les vecteurs verticaux sont tangents aux fibres P(V− ) x , donc V (TxV−∗ ) ≅ TP (V− ) x et
H (TxV−∗ ) est le pull-back π ∗Tx M .Sur V (TxV−∗ ) , on considère la structure complexe de P 1 (C )
( P (V− ) x ≅ P 1 (C )) .Sur H (TxV−∗ ) , c’est-à-dire sur π ∗Tx M , en chaque point définissant les (1,0)formes, on considère la structure sous la forme ψ ⊗ φ où ψ parcourt (V+ ) x et φ est une section non
nulle de π ∗V− .
Remarquons que dans ce qui précède, nous avons utilisé les isomorphismes Tx M ≅ Tx∗ M ≅ Λ1Tx M et
Λ1Tx M ⊂ Λ1c Tx M ≅ Hom(V+ ,V− ) = V+ ⊗ V− d’où Tx M ≅ V+ ⊗ V− .
Soient
{e } , 1 ≤ i ≤ 4
∗
i
un repère orthonormé de Tx M
et
{ψ α } , {ϕα } , 1 ≤ α ≤ 2 ,
les repères
2
correspondant pour V+ et V− .En paramétrisant localement V−∗ par : ( x , λ ) → ∑ λα ϕα , la section φ
α =1
s’écrit φ = λ1ϕ1 + λ 2ϕ 2 .La connexion de Levi-Civita sur Tx M induit des connexions sur V+ et V− .Si
ωαβ est la forme de connexion de V− , conformément au repère ci-dessus, alors l’espace des (1,0)formes sur V−∗ est engendré par :
θ α = dλα − ∑ ωαλ , α = 1,2
α
σ β = ψ β ⊗ φ , β = 1,2
Sur l’espace tangent des fibres de V−∗ , la connexion définit une projection donnée en coordonnées
locales par :
π 1 = ∑ θ α ∂ / ∂λα .
Si π 2 : V−∗ → P(V−∗ ) désigne la projection canonique, on a :
π 2π 1 = (λ 2θ1 − λ1θ 2 ) , on obtient :
49
π 2π 1 =
θ ∂
.
λ22 ∂µ
Pour λ 2 ≠ 0 , λ1 / λ 2 est une coordonnée affine sur le projectif P(V− ) . Alors l’espace des (1,0)-formes
sur
est engendré par
P(V− )
(θ / λ22 , σ 1 / λ 2 , σ 2 / λ 2 ) , soit
(θ ' , σ 1' , σ 2' )
où on a posé :
θ ' = θ / λ22 , σ 1' = σ 1 / λ2 , σ 2' = σ 2 / λ2 .
Supposons que le repère est géodésique en x ∈ M , alors :
ωαβ ( x) = 0 et θ ' = θ / λ22 = dµ en x .
La dérivée extérieure en x donne : d (σ β' ) = dµΛψ β ⊗ ϕ1 , β = 1,2
d (θ ' ) = ω (φ , R − (φ )) / λ2
où R − ∈ C ∞ ( End V ⊗ Λ2Tx∗ M ) est le tenseur de courbure de V− et ω est la forme symplectique de
V− .Ainsi d (σ β' ) , β = 1,2 ,appartiennent à l’espace des (1,0)-formes P. Cependant d (θ ' ) appartient à
P si et seulement si d (θ ' )Λσ 1' Λσ 2' = 0 .
En utilisant l’isomorphisme Λ−T ∗ M ≅ S 2V − ,on identifie la 2-forme
σ 1' Λσ 2' =
1
λ
2
2
σ 1 Λσ 2 =
et seulement si
1
λ
2
2
1
λ
2
2
φ ⊗ φ .Donc d (θ ' ) ∈ P si et seulement si
1
λ2
σ 1 Λσ 2 à φ ⊗ φ et alors
d (θ ' )Λφ ⊗ φ = 0 c’est-à-dire si
ω (φ , R − (φ ))Λφ ⊗ φ = 0 .
Les composantes du tenseur de courbure sur Λ−Tx∗ M qui participent dans l’égalité ci-dessus sont la
courbure scalaire ρ et la composante W − du tenseur de courbure conforme de WEYL W .
Pour la courbure scalaire :
ρ (φ ⊗ φ )Λφ ⊗ φ = 2 ρω (φ , φ ) = 0 .
Il reste donc W − ,qui peut-être considéré comme un élément de C ∞ ( S 4V− ) et ainsi : d (θ ' ) ∈ P
si et seulement si :
1
λ42
ω (φ , R − (φ ))Λφ ⊗ φ = 0 ,c’est-à-dire W − (φ , φ , φ , φ ) = 0 ,
puisque la contribution de la courbure scalaire ρ est nulle. Mais étant donné que :
2
φ = ∑ λα ϕα
α =1
et que λ1 , λ 2 varient, d (θ ' ) ∈ P équivaut à W − = 0 ,d’où
la
structure presque-
complexe de P(V− ) est intégrable si et seulement si W − = 0 .
Comme le résultat précédent, le théorème 3.2 établit une équivalence entre une variété complexe
(mais kählérienne cette fois) et une variété d’Einstein auto-duale avec la condition
ρ = 24 / λ . Ainsi, dans le 3.5, l’hypothèse pour l’espace des twisteurs d’être kählérien ne sera plus
nécessaire.
50
3.2 THEOREME
( P, h) est une variété kählérienne si et seulement si M est une variété d’EINSTEIN auto-duale avec
une courbure scalaire positive ρ = 24 / λ .
Preuve :
( P, h) est une variété kählérienne si et seulement si la 2-forme Ω( X , Y ) = h( JX , Y ) est fermée.
Si
Q
est
SO(4) − fibré
le
des
repères
orthonormés,
alors
nous
pouvons
considérer
P = Q × ( SO(4) / U (2)) .
SO ( 4 )
Soit f : Q → P = Q × ( SO(4) / U (2)) la submersion définie par f ( s ) = [ s, I 4 ] où s = ( s1 , ]s 2 ,..., s 4 )
SO ( 4 )
est base orthonormée.
Alors dΩ = 0 équivaut à d ( f ∗ Ω) = 0 .
Introduisons
dans
l’algèbre
de
LIE
L( SO(4)) ,
la
base
Y1' = E12 ; Y2' = E34 ; Y3' = E13 − E 24 ; Y4' = E14 + E 23 ; Y5' = E13 + E 24 ; Y6' = E14 − E 23
suivante :
où
les
Eij , i < j ≤ 4 est la base standard de L( SO(4)) .
Sur la variété Q , nous considérons les champs de vecteurs verticaux fondamentaux Yi ,1 ≤ i ≤ 6
induits par les éléments Yi ' ,1 ≤ i ≤ 6 ci-dessus.
Nous définissons quatre champs de vecteurs horizontaux X 1 , X 2 , X 3 et X 4 de la façon
suivante : π ∗ ( X j ( s )) = si , i ≤ j ≤ 4 .
Soit (a i , b i ) ,1 ≤ j ≤ 6 , 1 ≤ i ≤ 4 la base des 1-formes, alors de la construction de la structure presquecomplexe J et de la métrique h , il vient que :
f ∗ Ω = λb 5 Λb 6 − a 1 Λa 2 + a 3 Λa 4 .
Fixons maintenant un point s o = ( s1o , s 2o , s3o , s 4o ) dans Q tel que π ( s o ) = x o . En utilisant le transport
parallèle lelong des géodésiques, nous obtenons un repère orthonormé s de champs de vecteurs dans
un voisinage U
de x o tel que s o ( x o ) = s o . Cet repère donne localement une trivialisation
Q U ≅ U × SO (4) , ainsi pour tout élément u de Q U , u = (v, B) où (v, B )∈ U × SO(4) et π (u ) = v .
Si ω kl = g (∇ sk , s1 ) est la forme locale de la connexion de LEVI-CIVITA et A = (aij ) un élément de
SO(4) , alors on définit les champs de vecteurs horizontaux X i sur Q U ≅ U × SO(4) par :
51
X i ( s ) = X i ( x, A) = aij ( s j ( x) − ω kl ( s j )( x) E kl ) et π ∗ ( X i ( s )) = si , pour tout élément s de Q U .
Etant donné que ω kl ( s j )( x o ) = 0 , il vient que :
(i)
[ X i , X j ]( s o ) = R jikl ( x o ) E kl et
(ii)
[ X i , X j ]( s o ) = −aij (Yα )( s oj ) .
Le commutateur [Yα , Yβ ] de deux champs de vecteurs verticaux Yα et Yβ étant un champ
de vecteurs vertical, nous avons :
(iii)
a i [Yα , Yβ ] = 0 ,
Enfin, le commutateur [ X i , Yβ ] d’un champ de vecteurs fondamental Yβ et d’un champ de
vecteurs horizontal X i est un champ de vecteurs horizontal d’où :
b α [ X i , Yβ ] = 0.
(iv)
De même les champs de vecteurs verticaux fondamentaux ( Yi ) ,1 ≤ j ≤ 6 vérifient les relations
suivantes, induites par les ( Yi ' ) ,1 ≤ j ≤ 6 :
(v)
[ Y1 , Y2 ] = 0 ,
[ Y1 , Y3 ] = Y4 ,
[ Y1 , Y4 ] = −Y3 ,
[ Y1 , Y5 ] = −Y6 ,
[ Y1 , Y6 ] = Y5 ,
[ Y2 , Y3 ] = Y4 ,
[ Y2 , Y4 ] = −Y3 ,
[ Y2 , Y5 ] = Y6 ,
[ Y2 , Y6 ] = −Y5 ,
[ Y3 , Y4 ] = 2Y1 + 2Y2 ,
[ Y3 , Y5 ] = 0 ,
[ Y3 , Y6 ] = 0 ,
[ Y4 , Y5 ] = 0 ,
[ Y4 , Y5 ] = 0 ,
[ Y5 , Y6 ] = −2Y1 + 2Y2 ,
En tenant compte des égalités ci-dessus de (i) à (v) et des relations :
aij (Yk ) = − a ji (Yk ),
(vi)
a13 (Yk ) + a 24 (Yk ) = 0,
a14 (Yk ) = a 23 (Yk ), pour 1 ≤ k ≤ 4 .
Il vient que d ( f ∗ Ω) = 0 équivaut au système suivant d’équations des composantes du tenseur
de courbure de Riemann R en x o ∈ M :
(vii)
R1314 = R1223 ,
R1213 = − R1224 ,
R1414 − R1423 = −4 / λ ,
R1314 = R1323 ,
R1413 = − R1424 ,
R2314 − R2323 = −4 / λ ,
R2414 = R2423 ,
R2313 = − R2324 ,
R1313 + R1324 = −4 / λ ,
R3414 = R3423 ,
R3413 = − R3424 ,
R2413 + R2424 = −4 / λ .
52
Or la décomposition du tenseur de courbure de Riemann R :
⎛1
+
⎜ ρI + W
6
(viii) R = ⎜
⎜ 1 gΛRic
⎜
0
⎝2
1
⎞
[ gΛRic0 ]t ⎟
2
⎟
1
− ⎟
ρI + W ⎟
6
⎠
donc de (vii) et (viii), nous déduisons que : ρ / 6 = 4 / λ i.e. ρ = 24 / λ .Ainsi ( P, h) est une variété
kählérienne si et seulement si ρ = 24 / λ .
3.3 THEOREME
Si M est une variété d’EINSTEIN auto-duale avec une courbure scalaire positive ρ = 24 / λ , alors
( P, h) est une variété de KAHLER-EINSTEIN avec pour courbure scalaire ρ = 24 / λ .
Preuve :
Soit M une variété d’EINSTEIN auto-duale avec une courbure scalaire positive ρ = 24 / λ . Nous
introduisons sur le fibré de ses repères orthonormaux Q , une métrique en prenant l’image réciproque
de la métrique de M sur les sous-espaces horizontaux, à laquelle on additionne la métrique des fibres
définie par la condition ( y k / λ ) ,1 ≤ k ≤ 6 est orthonormée où les ( y k ) ,1 ≤ k ≤ 6 sont les champs de
vecteurs verticaux du 3.4.
Alors π : Q → M et f : Q → P (cf. 3.2) sont des submersions riemanniennes.
{
}
En un point quelconque x o de M , fixons une base orthonormée b1o , b2o , b3o , b4o , qui définit un repère
local b = {b1 , b2 , b3 , b4 } par déplacement parallèle lelong des géodésiques. Ainsi X s = bs − ω vu (bs )evu ,
sont des champs de vecteurs horizontaux, orthonormaux dans Q .
Par convention, les termes liés à Q (resp. P ) porteront le signe ∗ (resp.
). Considérons le repère
orthonormé de Q suivant :
e1∗ = X 1 ;
e2∗ = X 2 ;
e3∗ = X 3 ;
e5∗ = Y5 / λ ;
e4∗ = X 4 ;
e8∗ = Y2 / λ ; e9∗ = Y3 / λ ; e10∗ = Y4 / λ .
En appliquant CHAP I.3.3.3 aux submersions riemanniennes suivantes :
π : Q → M et f : Q → P ,
nous obtenons pour s ≤ 4 , t ≤ 4 , p ≤ 4 , q ≤ 4 :
∗
Rstpq = Rstpq
+ ∑ ω sk∗ Λω kt∗ (e ∗p , eq∗ ) + ∑ θ ∗k [e ∗p , eq∗ ]ω st∗ (ek∗ ),
53
e6∗ = Y6 / λ ;
e7∗ = Y1 / λ ;
∗
Rstpq = Rstpq
+ ∑ ω sk∗ Λω kt∗ (e ∗p , eq∗ ) + ∑ θ ∗k [e ∗p , eq∗ ]ω st∗ (ek∗ ), /* ????*/
ce qui donne :
Rstpq − Rstpq = ∑ ω sk∗ Λω kt∗ (e ∗p , eq∗ ) + ∑ θ ∗k [e ∗p , eq∗ ]ω st∗ (ek∗ ) .
Par ailleurs ,
ω ij∗ (e g∗ ) =
{
}
1
< e ∗j , [e g∗ , ei∗ ] > + < ei∗ , [e ∗j , e g∗ ] > − < e g∗ , [ei∗ , e ∗j ] > et [e s∗ , ek∗ ](b o ) = 0 , pour s ≤ 4 et k ≥ 5 .
2
Donc : ω st∗ (e5∗ ) = −
λ
ω st∗ (e6∗ ) =
6
λ
1
1
λ < Y5 , [ X 5 , X t ] >=
λ Rstuv < Y5 , euv >=
( Rst13 + Rst 24 ) .
2
2
4
( Rst14 − Rst 23 ) .
ω st∗ (ek∗ ) = ω st∗ (et∗ )
pour s, t ≤ 4 et k ≥ 5 au point b o .
mais étant donné que M est une variété d’EINSTEIN auto-duale de courbure scalaire ρ = 24 / λ ,en
utilisant les égalités du 3.2 nous obtenons pour s, t ≤ 4 :
⎧− 1/ λ pour s = 1 et t = 3
⎪⎪
ω st∗ (e5∗ ) = ω s∗5 (et∗ ) = ⎨− 1/ λ pour s = 2 et t = 4
⎪ 0
sinon
⎪⎩
;
⎧− 1/ λ pour s = 1 et t = 4
⎪⎪
ω st∗ (e6∗ ) = ω s∗6 (et∗ ) = ⎨− 1/ λ pour s = 2 et t = 3
⎪ 0
sinon
⎪⎩
;
∗
Comme θ ∗k [e ∗p , eq∗ ] = ω qk
(e ∗p ) − ω ∗pα (eq∗ ) ; il s’en suit que :
(i)
∑R
stps
6
− ∑ Rstps = δ tp .
λ
D’autre part, ω ij∗ (e ∗g )(b o ) s’annule si deux indices sont supérieurs à 4 et alors nous avons les égalités
suivantes pour s, g ≥ 4 :
(ii)
∗
R gskg = R gskg
pour k = 5 et k = 6 .
∗
Rksgk = Rksgk
pour k = 5 et k = 6 .
R5 sg 6 = R5∗sg 6
pour s ≤ 4 et g ≤ 4
R5 s 56 = R5∗s 56
pour s ≤ 4 et g ≤ 4 .
R6 s 56 = R6∗s 56
pour s ≤ 4 .
54
Les composantes de la courbure R ∗ en b o sur Q sont :
(ii) R5∗sg 5 = R6∗sg 6 =
1
λ
δ sg .
R gs∗ 5 g = R gs∗ 6 g = R5∗sg 6 = R5∗s 56 = R6∗s 56 = 0 .
Les fibres des submersions riemanniennes π : Q → M et f : Q → P étant des sous-variétés totalement
géodésiques, il suffit de considérer une seule fibre et on a alors :
(iii)
R5665 =
4
λ
.
Enfin des égalités(i) à (iv), on déduit que Rst =
4
λ
δ st pour s, t ≤ 6 , ce qui signifie que :
( P, h) est une variété de KAHLER-EINSTEIN avec pour courbure scalaire 6 ×
4
λ
=
24
λ
.
3.4 COROLLAIRE
Si ( P, h)
est une variété kählérienne, alors elle est de KAHLER-EINSTEIN avec une courbure
scalaire ρ = 24 / λ .
Preuve : Découle de 3.2 et 3.3.
Les exemples de variétés d’Einstein auto-duales dont la courbure scalaire ρ = 24 / λ sont
malheureusement rares et se réduisent à la sphère S 4 et au plan projectif complexe
P 2 (C ) . Les
théorèmes 3.5 (resp. 3.6) suivants donnent une classification de métriques d’Einstein auto-duales sur
une variété compacte à courbure scalaire ρ = 24 / λ (resp. ρ = 0 ).
Lorsque ρ < 0 , la classification est incomplète et les deux classes de variétés compactes d’Einstein
auto-duales sont les quotients de la boule B4 munis de métriques à courbure constante négative et les
quotients de la boule CB2 munis de métriques à courbure sectionnelle holomorphe constante négative
(cf. [1], p118).
55
3.5 THEOREME
Soit ( M , g )
une variété d’EINSTEIN auto-duale, orientée, compacte dont la courbure scalaire
ρ = 24 / λ . Alors M est conformément équivalente, soit à S 4 , soit à P 2 (C ) .
Preuve :
Considérons une variété d’EINSTEIN auto-duale orientée, compacte M
à courbure scalaire
ρ = 24 / λ .Alors d’après la formule :
3
1
χ± σ = 2
2
4π
3
1
nous avons : χ − σ =
2
4π 2
∫ W− +
2
M
3
2
χ− σ =
∫W
2
±
M
τ2
+
vol ( M ) ,
192π 2
τ2
vol ( M ) , mais M est auto-duale, donc W − = 0 et alors :
2
192π
τ2
2
vol ( M ) > 0 , ce qui implique σ < χ .
2
3
192π
Rappelons que σ et χ sont respectivement la signature et la caractéristique d’EULER de M .On a :
C1C 2 = 12( χ − σ ) d’après [9], p135et 1 = ∑ (−1) p h p ,0 =
C1C 2
où C i , i = 1,2 sont des nombres de
24
CHERN de l’espace des twisteurs P et h p ,0 sont les nombres de HODGE.Ainsi, 12( χ − σ ) = 24 .
On en déduit que χ = 2 + σ puis que σ < 4 .
D’après la théorie de HODGE, M étant compact, il vient que H 2 ( M , P ) = H +⊕ H − et σ = b + − b − ,
χ = 2 + b + − b − où b ± = dimension de H ± .De χ = 2 + σ , on déduit que b − = 0 et que b2 ( M ) = σ < 4
(où b2 ( M ) est le deuxième nombre de BETTI de M ).Finalement 0 ≤ b2 ( M ) < 4 ,par suite
0 ≤ b2 ( M ) ≤ 3 .
Montrons que les cas b2 ( M ) ≥ 2 ne peuvent se produire et que les seuls cas possibles sont b2 ( M ) = 1
et b2 ( M ) = 0 .
Rappelons que si V est une variété complexe, L un fibré en droites holomorphes sur V et
{s0 , s1 ,..., s n } une base de l’espace
H o (V ,θ ( L)) , alors on définit une application :
Φ L : V → P n (C )
x a Φ L ( x) = ( s 0 ( x), s1 ( x),..., s q ( x))
où q = dimension de L et L est le système linéaire des diviseurs de L .
56
Φ L est régulière partout sauf en les points-bases (c’est-à-dire le sous-espace de V sur lequel toutes les
sections s’annulent) de L .
Rappelons encore que si V est une variété complexe de dimension n = 2m , alors V est une variété
presque-complexe et TcV ' ≅ T 'V ⊕ T ' 'V , où TcV est le complexifié du fibré tangent de V , T 'V est
l’ensemble des vecteurs de type (1,0) de V et T ' 'V , l’ensemble des vecteurs de type (0,1) de V .
On définit alors le fibré en droite canonique K comme le fibré Λm (T 'V ) ∗ des formes de type (m,0).
Considérons en particulier V = P (espace des twisteurs de M ) et L = K −1 / 2 .Alors, dimension de
K −1 / 2 = 9 − 2σ ⏐ et l’application :
Φ K −1 / 2 : P → P 9− 2σ (C )
x a ( s 0 ( x), s1 ( x),..., s9− 2σ ( x))
est régulière.
Si b2 ( M ) = 3 , alors :
Φ K −1 / 2 : P → P 3 (C )
x a ( s 0 ( x), s1 ( x), s3 ( x))
est régulière.
Soit Y ⊂ P une sous-variété de P sur laquelle la jacobien de Φ K −1 / 2
s’annule, alors l’image
réciproque d’une droite générique de P 3 (C ) est une courbe elliptique C et le jacobien de Φ K −1 / 2
s’annule sur Y ∩ C ; étant donné que Φ K −1 / 2 est bijective sur Y tout entier.
Par conséquent P est un double revêtement de P 3 (C ) , ramifié sur la surface quadrique Φ K −1 / 2 (Y ) .
Puisque P est non-singulier ( P étant kählérien, le système linéaire −
1
K n’a pas de points-bases,
2
c’est-à-dire que Φ K −1 / 2 est partout régulière), la surface Φ K −1 / 2 (Y ) est aussi non-singulière et alors la
caractéristique d’EULER de P :
χ ( P) = 2 χ ( P 3 (C )) − χ (Y ) = −16 .
Cela contredit le fait que χ ( P) = 2 χ ( M ) = 10 et donc b2 ( M ) ≠ 3 .Si b2 ( M ) = 2 , alors l’application :
Φ K −1 / 2 : P → P 5 (C ) est un plongement projectif et P ≅ Φ K −1 / 2 ( P ) est une sous-variété non- singulière
de P 5 (C ) .
D’après [9], p. 145, Φ K −1 / 2 ( P) est l’intersection complète de deux quadriques. Ainsi, d’après
HIRZEBRUCH (Topological Methods In Algebraic Geometry, springer, Berlin, 1966), que la
caractéristique d’EULER de Φ K −1 / 2
est nulle et donc χ ( P) = 0 .Cela contredit le fait que
χ ( P) = 2C3 ( P) = 16 , alors b2 ( M ) ≠ 2 .Il reste donc les cas b2 ( M ) = 1 ou b2 ( M ) = 0 .
57
En particulier, prenons V = P ( P est une variété complexe de dimension 3, puisque M est une variété
d’EINSTEIN auto-duale) et L = K , le fibré en droite canonique. D’après la dualité de SERRE :
H p ( P,θ (T )) ≅ H 3− p ( P,θ ( K ⊗ T ∗ )) ≅ H 1,3− p ( P,θ ( K ))
et par suite H p ( P,θ (T )) = 0 pour p ≥ 2 , puisque H 1,3− p ( P, θ ( K )) = 0 pour 4 − p ≤ 2 , d’après le
théorème de AKIZUKI-NAKANO.
Finalement d’après le théorème de RIEMANN-ROCH,
h o (T ) − h1 (T ) = χ ( P, T )
= 15 − 7σ
= 15 − 7b2 ( M )
Si b2 ( M ) = 2 , alors h o (T ) = h1 (T ) + 8 donc h o (T ) ≥ 8 . Rappelons que h o (T ) = dim H o ( P,θ (T )) où
H o ( P,θ (T )) est l’algèbre de LIE du groupe des transformations biholomorphes de P dont la sousalgèbre des points réels agit comme des transformations conformes sur M .
Ainsi, pour b2 ( M ) = 1, G est un groupe de LIE compact et dimension de G est supérieure ou égale à
1.
Soit x un point de G en lequel il existe une 2-forme harmonique ω non-nulle (l’existence de l’espace
des 2- formes harmoniques sur M , vient de ce que b2 ( M ) = 1 = σ et soit G x le sous-groupe
d’isotropie de x ; comme G x préserve chaque forme ω , cela implique que G x ⊂ SO(4) ; mais G x
préserve également ω x , donc G x ⊂ U (2) et dimension de G x inférieure ou égale à dimension de U (2)
qui est égale à 4.
D’autre part, la dimension de G étant supérieure ou égale à 8, alors dimension de G / G x est
supérieure ou égale à 4. Comme G / G x est une orbite dans M , cela implique que la dimension de
G / G x égale à 4 et G x ≅ U (2) d’où dimension de G égale à 8.
Par ailleurs, G étant compact alors M ≅ G / G x .
Cependant χ ( M ) ≠ 0 , entraîne que rang de G = rang G de G x = 2 ; il vient que G est un groupe de
LIE connexe de rang 2, de dimension 8, donc G est un groupe quotient de SU (3) , d’où M est
recouvert par SU (3) / U (2) = P 2 (C ) .
De σ ( M ) = 1 = σ ( p 2 (C )) , on déduit que le recouvrement est trivial et M est conformément
équivalent à p 2 (C ) avec la métrique homogène standard.
Enfin, si b2 ( M ) = 0 , alors dimension de G est supérieure ou égale à 15, ce qui contredit le fait que la
dimension du groupe d’isométries d’une variété de dimension 4 soit au plus égale à 10 (les isométries
étant des transformations conformes particulières) et donc d’après un théorème d’OBATA (cf.
58
OBATA, The Conjecture on Conformal Transformations of RIEMANNIANN Manifolds,
J.Differential Geometry, 6, (1971), 247-258), M est conformément équivalente à S 4 .
3.6 THEOREME
Soit M une variété compacte d’EINSTEIN auto-duale de dimension 4. Si la courbure scalaire ρ est
nulle, alors M est soit plate, soit une surface K 3 , soit le quotient d’une surface K 3 par Z 2 ou par
Z2 × Z2 .
Preuve:
Supposons ρ = 0 , alors d’après HITCHIN (Harmonic Spinors, Adv. In Math.14, 1-55 (1974) :
χ ( M ) ≥ 0 et χ ( M ) = 0 si et seulement si, M est plate.Si b1 ( M ) ≠ 0 , alors d’après Bochner, il existe
une 1-forme harmonique parallèle non nulle et donc χ ( M ) = 0 , d’où M est plate.
Si M n’est pas plate, alors b1 ( M ) = 0 et il en est de même de tout recouvrement fini de M . Il vient du
théorème de CHEEGER-GROMOLL que π 1 ( M ) est fini.On en déduit que le recouvrement universel
M de M est compact et simplement connexe.
D’autre part, le fibré trivial Λ+ TM étant plat, donc le groupe d’holonomie est réduit de SO(4) à
SU (2) .
Or une structure kählérienne quaternionique est un réduction du groupe d’holonomie de SO(4) à
S p (1) ( S p (1) = SU (2)) .
Il s’en suit donc que M est kählérienne. Etant donné la courbure de RICCI , r de M , la forme de
RICCI R(ω ) est la forme de type (1,1) associée à r . D’après CHERN (Characteristic Classes Of
Hermitian Manifolds, Ann.of Math.,47(1946),85-121),1/(2π). R(ω ) est une première forme de CHERN
de M ; en d’autres termes si [ R(ω )] désigne la classe de cohomologie définie par R(ω ) , nous avons :
[ R (ω )] = 2π c1 ( M ) où c1 ( M ) désigne la première classe de CHERN réelle. Ainsi r = 0 , entraîne
R (ω ) = 0 , par suite, c1 ( M ) = 0 , puisque M est simplement connexe.
Finalement M est une variété kählérienne avec b1=0 et c1=0, donc M est une surface K3, qui admet
une structure kählérienne de Ricci-plate d’après les propriétés des surfaces K3.
Soit G le groupe des isométries de M et ord (G ) , l’ordre de G .
59
Alors ord (G ) doit diviser la signature et la caractéristique d’EULER de M Mais M est une surface
K 3 donc τ = −16 et χ = 24 , ord (G ) , doit diviser 8.
Considérons M = M / G . Si ord (G ) est 8, alors la signature et la caractéristique d’EULER sont
respectivement τ = −2 et χ = 3 ; or b1 = 0 implique que b2 = 1 et alors τ = − 2 = 2 > b2 ; ce qui est
impossible. Donc ord (G ) ne peut–être égal à 8.
Si ord (G ) est 1, alors M est une surface K 3 . Si ord (G ) vaut 2 ou 4, alors G = Z 2 ou Z 2 × Z 2 et
donc M est le quotient de la surface K 3
M , par Z 2 ou Z 2 × Z 2 .
60
CONCLUSION :
La classification des METRIQUES D’EINSTEIN AUTO-DUALES sur une variété ( M , g ) compacte
orientée de dimension quatre, est complète lorsque la courbure scalaire ρ :
est positive :
- ( M , g ) est conformément équivalente, soit à S 4 avec une métrique à courbure constante, soit à
P 2 (C ) avec la métrique de Fubini-Study ;
ou nulle :
- ( M , g ) est soit plate, soit une surface K 3 avec une métrique Ricci-plate, soit le quotient d’une
surface K 3 par Z 2 ou Z 2 × Z 2 .
Cependant pour que cette classification soit achevée, il faudrait l’enrichir d’une étude complète du cas
où la courbure scalaire est négative.
61
ANNEXE :
NOUVELLES
CONSTRUCTIONS
DE
METRIQUES
D’EINSTEIN AUTO-DUALES (cf. [20])
Les trois constructions suivantes sont dues à RADU PANTILIE ET JOHN.WOOD. Elles sont tirées du
site http://www.amsta.leeds.ac.uk/pure/staff/wood/exmpls.pdf. et utilisent les fonctions harmoniques.
1. PREMIERE CONSTRUCTION
1.1 THEOREME
Soit U un sous-ensemble ouvert de l’espace euclidien ( R 3 , h) . Soient u une fonction différentiable
positive et A , une 1-forme sur U .
Alors, la métrique riemannienne sur R × U donnée par :
(i)
g = uh + u −1 (dt + A) 2 , t ∈ R
est d’EINSTEIN si et seulement si u et A vérifient l’équation
(ii)
du = ∗dA ,
pour une orientation convenable sur U .
Mieux, si (ii) est vérifiée, alors g est une métrique AUTO-DUALE et de RICCI-PLATE.
Preuve : (cf. [21], [22], [23]).
REMARQUE : Notons que (ii) implique que u est une fonction harmonique. Mieux, si par exemple
U est une boule ouverte, alors étant donné une fonction harmonique u , nous pouvons trouver une 1-
forme A telle que (ii) soit vérifiée. Aussi, A définit une connexion principale sur ( R × U , U , R ) avec
pour forme de courbure, F = dA , qui est harmonique i.e dF = 0 , d ∗ F = 0 .
Inversement, étant donné une 2-forme harmonique sur, une boule ouverte U de R 3 , alors en résolvant
les équations dA = F et du = ∗F , on trouve une solution de (ii).
62
2. DEUXIEME CONSTRUCTION
2.1 THEOREME
Soit ( N n , h) une variété d’EINSTEIN de dimension n avec
N
RICCI = C N h . Soit g la métrique sur
M n +1 = R × N n , donnée par g = dt 2 + λ−2 h où :
λ : R →]0, ∞[ est une fonction différentiable.
Alors ( M n +1 , g )
est une variété d’EINSTEIN, avec M RICCI = C M g si et seulement si λ satisfait
l’équation suivante :
(iii)
1 M 2
1
C λ −
C N λ 4 + (λ ' ) 2 = 0 .
n
n −1
Bien plus, si ( N n , h) a une courbure constante (ce qui est vérifié si la dimension de N vaut 3) alors
( M n +1 , g ) a également une courbure constante.
Preuve :(cf [13])
REMARQUE : La métrique d’EINSTEIN ainsi obtenue est AUTO-DUALE si un revêtement de
( M n +1 , g ) est S 4 .
3. TROISIEME CONSTRUCTION
3.1 THEOREME
Soit U un sous-ensemble ouvert de la 3-sphère ( S 3 , h) munie de sa métrique canonique.
Soit A une 1-forme sur U . Alors la métrique riemannienne sur ]0 , ∞[ ×U , donnée par :
(iv)
g = ρ 2 h + ρ −2 ( ρdρ + A) 2 , ρ ∈]0 , ∞[
est d’EINSTEIN si et seulement si les champs d’équations de BELTRAMI, suivants sur U , sont
vérifiés :
(v)
dA + 2 * A = 0 ,
avec une orientation convenable sur U . Mieux, si (v) est vérifiée, alors g est AUTO-DUALE et
RICCI-PLATE.
Preuve : (cf. [20])
63
BIBLIOGRAPHIE
[6]
A.DERDZINSKI, Self-Dual Kahler Manifolds And EINSTEIN Manifolds Of Dimension Four,
Composition Math., 49(1983), 405-433.
[14]
A.L BESSE, Géométrie Riemannienne en dimension 4, Cedic-Fernand, Paris (1981).
[13]
A.L BESSE,EINSTEIN Manifolds, Springer-Verlag.
[28]
A.NEWLANDER AND L. NIRENBERG, Complex Analytic Coordinates In Almost Complex
Manifolds, Annals Of Mathematics, Vol. 65 N° 3, May 1957.
[1]
AL.VITTER, Self-Dual Einstein Metrics, Contemporary Mathematics, Vol. 51, 1986, MS, 113-
120.
[19]
C.GODBILLON, Géométrie Différentielle et Mécanique Analytique, Hermann.
[23]
C.LEBRUN, Complete RICCI-Flat Metrics On Cn Need Not Be Flat, Several Complex
Variables And Complex Geometry (Santa Cruz, C.A, 1989), 297-304, Proc. Symposium, Pure Math.,
52, Part 2, A.M.S, Providence, RI, 1991.
[25]
D.M.J. CALDERBANK, Self-Dual EINSTEIN Metrics And Conformal Submersions, preprint,
Edinburgh University, 2000.
[8]
F.HIRZEBRUCH, Arrangements Of Lines And Algebraic Surfaces, Arithmetic And Geometry,
(SHAFEREVICH Volume II), Birkhauser, Boston, 1983, 113-140.
[21]
G.W GIBBONS AND S.W HAWKING, Gravitionnal Multi-Instantons, Phys. Lett. B
78(1978), 430-432.
[27]
I.M SINGER AND J.A THORPE, The Curvature Of 4-Dimensional EINSTEIN Spaces, In
“Global Analysis”, Papers In Honour Of K.KODAIRA, Princeton University Press, Princeton, 355365, (1969).
[4]
J.P BOURGUIGNON, Les Variétés de Dimension 4 à signature non nulle dont la Courbure est
harmonique sont d’EINSTEIN, Inventiones Math., 63(1981) ,263-286.
[5]
J.P BOURGUIGNON, Premières Formes de CHERN des Variétés Kählériennes Compactes,
Séminaire BOURBAKI, 1977-78, no.507.
[3]
L.BERARD-BERGERY, Les Espaces Homogènes en Dimension 4, Exposé III In Géométrie
Riemannienne en Dimension 4, Cedic/Fernand Nathan, Paris.
[17]
M.BERGER ET B.GOSTIAUX, Géométrie différentielle, Variétés Courbes et Surfaces, PUF.
[2]
M.F.ATIYAH, N.J.HITCHIN and I.M SINGER, Self-Duality In Four Dimensional
Riemannian Geometry, Proc. Roy. Soc. London A, 362(1978), 425-461.
64
[11]
M-N ISHIDA, HIRZEBRUCH’S Exemples Of Surfaces Of General Type With C²1=3C2,
Lecture Notes In Mathematics 1016, Springer-Verlag, New-York.
[10]
N.J HITCHIN, Compact Four-Dimensional EINSTEIN Manifolds, J. Diff. Geom., 9(1974), 435-
441.
[9]
N.J HITCHIN, Kahlerian Twistor Spaces, Proc. London Math. Soc.(3), 43(1981), 133-150.
[26]
Première Classe de CHERN et Courbure de RICCI : Preuve de la Conjecture de CALABI,
Séminaire Palaiseau 1978, Astérisque 58, Société Math. de France (1978).
[24] Q.Y. CHENG AND Y.X.DONG, Some Notes On Harmonic Morphisms, Koxve Tongbao
(Chinese) 41(1996), 1825-1828.
[18]
R.COQUEREAUX, Espaces Fibrés et Connexions : Une introduction aux Géométries
Classiques et Quantiques de la Physique Théorique, Centre de Physique Théorique.
[20]
R.PANTILIE AND J.WOOD, New Construction Of Self-Dual EINSTEIN Metrics.
[12]
R.S KULKARNI, On The BIANCHI Identities : Math. Ann., 199(1972), 175-204.
[15]
S.KOBAYASHI AND K.NOMIZU, Foundations Of Differential Geometry, Vol. I, Interscience
Publishers.
[16]
S.KOBAYASHI
AND
K.NOMIZU,
Foundations
Of
Differential
Geometry,
Vol.
III,Interscience Publishers.
[22]
S.W HAWKING, Gravitationnal Instantons, Phys. Lett. A.60(1977), 81-83.
[7]
T.FRIEDRICH AND H.KURKE, Compact Four-Dimensional Self-Dual EINSTEIN Manifolds
With Positive Scalar Curvature, Math. Nachr., 106(1982), 271-299.
[29]
Y.AKIZUKI AND S.NAKANO, Notes On KODAIRA-SPENCER’S Proof Of Lefschetz
Theorems, Proc. Japan Acad.30 (1954) 266-272.
65
INDEX
A
Algèbre de Lie 9 ;10 ;12 ;34
Anti auto-dual 7 ;8 ;17 ;22 ;28
Application tangente 2
Atlas 14
Auto-dual 7 ;8 ;16 ;22 ;26 ;28
Automorphisme intérieur 10
C
Champs de vecteurs 3 ;4 ;9
Champs de vecteurs fondamental 12
Champs de vecteurs invariants à gauche 9 ;10
Champs de vecteurs invariants à droite 9
Classe de CHERN 11 ;15
Connexion de LEVI-CIVITA 6 ;14 ;16 ;17 ;28 ;30
Connexion linéaire 3 ;6 ;8 ;10
Construction de PENROSE 15
Construction inverse de PENROSE 18
Courbure de Kahler 14 ;15
Courbure scalaire 7 ;29 ;31 ;32 ;34
Courbure sectionnelle 7 ;32
D
Dérivation covariante 10
Deux-forme fondamentale 14 ;29
Différentielle extérieure 3
E
Espace de Penrose 13 ;22
Espace des Twisteurs 13 ;16 ;17 ;18 ;19 ;27 ;28 ;29 ;33
66
F
Fibré cotangent 2
Fibré des repères linéaires 12
Fibré principal 11
Fibré tangent 2 ;3 ;4 ;16 ;33
Fibré vectoriel 2 ;4 ;5 ;10 ;11 ;15
Forme canonique 12
Forme de connexion12 ;28
Forme de courbure 12
Forme de KAHLER 14 ;15
Forme de RICCI15 ;35
Forme de torsion12
Forme différentielle3 ;4 ;5 ;8
Forme volume3 ;8
Forme multilinéaire alternée 4
G
Groupe de DE RHAM 3
Groupe de LIE9 ;10 ;11 ;34
I
Image réciproque 5 ;17 ;31
M
Métrique auto-duale 36 ;37
Métrique d’EINSTEIN 7 ;16 ;22 ;26 ;36 ;37
Métrique d’Einstein auto-duale 15 ;32
Métrique hermitienne 14 ;17
Métrique kahlerienne 14 ;15
Métrique de KAHLER-EINSTEIN 15
Métrique riemannienne 5 ;36
67
N
Nombre de BETTI 3 ;15 ;33
O
Opérateur de HODGE 8
Orientation 3
Orientable 3
P
Produit de KULKARNI-NOMIZU 5
Produit scalaire 5
Pull-back 5
R
Repère linéaire12
Représentation adjointe 10
S
Section 4 ;5 ;7 ;10 ;17
Spineur 15 ;28 ;27
Structure conforme 19 ; 20 ; 21
Structure différentiable 1
Structure presque-complexe 13 ;14 ;16 ;22 ;27 ;28 ;29
Submersions riemanniennes 5 ;31 ;32
Surface K3 34 ;35 ;15
Symboles de CHRISTOFFEL 3 ;6
T
Tenseur de courbure 3 ;6 ;29
Tenseur de courbure de Riemann6 ;22 ;23 ;26 ;30
Tenseur de courbure de RICCI 7 ;26 ;35
Tenseur de courbure conforme deWEYL 7 ;8 ;22 ;29
Tenseur de torsion 3 ;6 ;13
68
Twisteur 15
Translation à gauche 9
V
Variété analytique complexe 13
Variété d’Einstein 7 ;31 ;34 ;36
Variété d’Einstein auto-duale 26 ;29 ;31 ;32
Variété de KAHLER-EINSTEIN 31 ;32
Variété hermitienne 14
Variété conformément demi-plate 8 ;13 ;22 ;28
Variété différentiable 1 ;2 ;5 ;9 ;13
Variété localement symétrique 8
Variété kählérienne 14 ;29 ;30 ;35
Variété orientable 3
Variété conformément plate 8
Variété presque-complexe 13 ;14 ;33
Variété riemannienne 1 ;5 ;8 ;22 ;23 ;25 ;28
Variété topologique 1 ;2 ;14
Variété auto-duale 16 ;18
69