Feuilles d`exercices - IECL

Université de Lorraine
Département de Mathématiques
Analyse Complexe, L3, semestre de printemps 2016
Feuille n◦ 0
Nombres complexes
Exercice I. Écrire les nombres complexes suivants sous la forme x + iy√ avec x, y ∈ R et
3 3
2−i
1
) , 2−3i
, (3−i)
calculer leur module et leur argument: in pour n ∈ Z, (1 + i)4 , ( −1−i
2,
2
(1+i)5
.
(1−i)3
Exercice II. Esquisser les sous-ensembles suivants du plan complexe:
1. {z ∈ C : |3z − 1 − i| ≤ 2},
2. {z ∈ C : 0 ≤ =z ≤ 2π, |<z| ≤ 1},
3. {z ∈ C : =((1 − i)z) = 0}.
a b
Exercice III. Soient a, c ∈ R et b ∈ C tels que det
< 0. Montrer que l’ensemble
b̄ c
E = {z ∈ C : az z̄ + bz + b̄z̄ + c = 0} est une droite ou un cercle dans le plan complexe.
Indication: Discussion suivant les cas a = 0, a > 0, a < 0.
Exercice IV. Préciser pour quels nombres complexes z les suites suivantes convergent
n
dans C: ( zn! ), (( nz )n ), (z n−2 + z n ).
Exercice V. Soient λ et µ deux nombres complexes et T : C → C définie par T (z) =
λz + µz̄. Montrer que:
1. T est R-linéaire.
2. T est C-linéaire si et seulement si µ = 0.
3. T est bijective si et seulement si |λ| =
6 |µ|.
4. Si T1 : C → C est définie par T1 (z) = λ1 z + µ1 z̄, alors T = T1 si et seulement si
λ = λ1 et µ = µ1 .
5. |T (z)| = |z| ∀z ∈ C si et seulement si λµ = 0 et |λ + µ| = 1.
Indication: Faire le lien avec la condition T ∈ O(2, R) et utiliser la décomposition
O(2, R) = SO(2, R) ∪ (C · SO(2, R)) où C désigne l’application linéaire représentée
par la matrice
1 0
.
0 −1
Exercice VI. Montrez qu’un ouvert U de C est connexe si et seulement si il est connexe
par arcs.
Indication: Considérer les parties de U qui consistent des points z pouvant, respectivement ne pouvant pas, être connectés par arcs à un point fixé z0 .
1
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Analyse Complexe, L3, semestre de printemps 2016
Feuille n◦ 1
Dérivabilité complexe
Exercice VII. Trouvez les points de C, en lesquels les fonctions suivantes sont Cdifférentiables:
f1 (x + iy) = xy + ixy,
f2 (x + iy) = −6(cos x + i sin x) + (2 − 2i)y 3 + 15(y 2 + 2y),
f3 (x + iy) = y 2 sin x + iy,
f4 (x + iy) = sin2 (x + y) + i cos2 (x + y).
Exercice VIII. Soit f : D → C une fonction holomorphe définie sur un domaine D ⊂ C.
On écrira ici u = <e(f ), v = =m(f ).
1. Montrer que s’il existe a, b ∈ C pas tous les deux nuls tels que la fonction au + bv
soit constante sur D, alors f est constante.
2. Montrer que s’il existe une fonction différentiable h : R → R tels que u = h ◦ v,
alors f est constante.
3. Que peut-on dire sur la fonction f , si u2 + iv 2 ∈ O(D) ?
Indication: Vérifier si la fonction (u − v)2 est constante.
Exercice IX. Soient f : U → C, g : U 0 → C des fonctions R-différentiables telles que
g(U 0 ) ⊂ U et z0 ∈ U 0 , w0 = g(z0 ) . Vérifiez les identités suivantes:
1.
∂ f¯ ∂ f¯ ∂f
∂f
=
,
=
.
∂ z̄
∂z ∂ z̄
∂z
2.
∂f ◦ g
∂f
∂g
∂f
∂ḡ
∂f ◦ g
∂f
∂g
∂f
∂ḡ
(z0 ) =
(w0 ) (z0 )+ (w0 ) (z0 ),
(z0 ) =
(w0 ) (z0 )+ (w0 ) (z0 ).
∂z
∂w
∂z
∂ w̄
∂z
∂ z̄
∂w
∂ z̄
∂ w̄
∂ z̄
Exercice X. Soient f : U → C une fonction R-différentiable et z0 ∈ U tels que la limite
f (z0 + h) − f (z0 )
|
h→0
h
existe. Montrer qu’alors f ou f¯ est C-différentiable en z0 .
Exercice XI. Montrez que le déterminant de la matrice de Jacobi d’une fonction Rdifférentiable f : U → C est égal à
lim |
|
∂f 2
∂f
| − | |2 .
∂z
∂ z̄
2
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Feuille n◦ 2
Applications conformes, applications biholomorphes
Exercice XII. Soit f : C∗ → C∗ , f (z) = z −1 . Soit Γ(c, R) le cercle de centre c ∈ C et de
rayon R > 0 et δ(c) la demi-droite qui a l’origine en 0 et passe par c si c 6= 0.
1. Montrer que:
(a) f ∈ Aut(C∗ ).
(b) f (Γ(0, R)) = Γ(0, R−1 ).
(c) Si c 6= 0 et R 6= |c|, alors
f (Γ(c, R)) = Γ(
|c|2
R
c̄
,
).
2
2
− R ||c| − R2 |
(d) Si a ∈ C∗ , alors f (δ(a)) = δ(a−1 ).
(e) Si c 6= 0 et R = |c|, alors l’image par f de Γ(c, R)) \ {0} est la droite qui passe
par (2c)−1 et qui est perpendiculaire à δ((2c)−1 ).
2. Déterminer les images par f des domaines de C suivants: D ∩ H, D ∩ D(1, 1), le
triangle ouvert dont le sommets sont 1, i, 0, le carré ouvert dont les sommets sont
0, 1, 1 + i, i. Ici H := {z ∈ C | =m(z) > 0} est le demi-plan supérieur.
Indication: Utiliser le fait que l’image d’un ensemble connexe par une application
continue est connexe.
Exercice XIII. (Transformation de Joukowski.) Soit f : D \ {0} → C \ [−1, 1], f (z) =
1
(z + z −1 ). On écrit f = u + iv, r = |z|, ξ = x/r, η = y/r. On a noté par [−1, 1]
2
l’intervalle correspondant de R ⊂ C. Montrer que:
1. f est conforme.
2. u = 21 (r + r−1 )ξ, v = 12 (r − r−1 )η,
u2
v2
+
= 1,
( 12 (r + r−1 ))2 ( 12 (r − r−1 ))2
u2 v 2
− 2 = 1,
ξ2
η
pour ξη 6= 0.
3
3. Les images par f des cercles centrés en 0 sont des ellipses et que celles des rayons
de D \ {0} sont des branches d’hyperbole.
4. f est bijective.
Indication 1: Déterminer d’abord les images des 4 quadrants intersectés avec D\{0}.
Indication 2: Étendre f à C∗ \ S 1 par la même formule et montrer la surjectivité de
cette extension. Utiliser ensuite l’application z 7→ z1 sur C∗ \ S 1 pour conclure.
4
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Feuille n◦ 3
Séries entières
Exercice XIV. Pour z ∈ D soit λ(z) la somme de la série logarithmique
Montrer que exp(λ(z)) = 1 + z sur D.
Indication: calculer la dérivée complexe de
n 1
n+1
.
n (−1) n+1 z
P
exp(λ(z))
.
1+z
Exercice XV. (Série binomiale.) Pour tout nombre complexe σ et tout k ∈ N on pose
Qk
σ
j=1 (σ − j + 1)
=
k
k!
et
bσ (z) =
X σ k
k
zk .
1. Vérifier les égalités
σ
k+1
σ−k σ
σ
σ−1
=
=
.
k+1 k
k+1
k
2. Calculer le rayon de convergence de la série
P
k
σ
k
zk .
3. Montrer que bσ est holomorphe sur D et que pour tout z ∈ D
b0σ (z) = σbσ−1 (z).
4. Montrer que pour tout k ∈ N on a
σ−1
σ−1
σ
+
=
k+1
k
k+1
et en déduire les identités
(1 + z)bσ−1 (z) = bσ (z),
b0σ (z) =
pour tout z ∈ D.
5
σ
bσ (z)
z+1
5. Montrer que bσ (z) = exp(σλ(z)) et en particulier que 1 + z = exp(λ(z)) sur D.
Indication: Calculer la dérivée par rapport à z de
bσ (z)
.
exp(σλ(z))
6. Expliciter la série binomiale dans le cas particulier σ ∈ Z.
6
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Feuille n◦ 4
Fonctions holomorphes usuelles
Exercice XVI. Montrer que pour tout z, w ∈ C on a
sin2 z + cos2 z = 1,
w−z
w+z
sin
,
2
2
w+z
w−z
sin w − sin z = 2 cos
sin
.
2
2
Exercice XVII. Soient c ∈ C, z0 ∈ C\{c} et k ∈ N. Montrer que pour z ∈ D(z0 , |z0 −c|)
on a
∞ X
1
n z − z0 n−k
1
=
(
) .
k+1
k+1
k
(c − z)
(c − z0 )
c
−
z
0
n=k
cos w − cos z = −2 sin
Indication: vérifier d’abord l’identité suivante sur la série binomiale
b−k (w) =
1
, ∀w ∈ D,
(1 + w)k
ou bien calculer les dérivées d’ordre supérieur de la série géométrique.
Exercice XVIII. Développer les fonctions suivantes en série entière autour des points
indiqués et préciser les rayons de convergence:
1.
1
z3
−
iz 2
−z+i
autour de 0 et de 2,
2.
z 4 − z 3 − 8z 2 + 14z − 3
z 3 − 4z 2 + 5z − 2
autour de 0 et de i.
Indication: décomposer d’abord en fractions rationnelles simples.
Exercice XIX. La suite de Fibonacci (cn )n∈N est définie de façon
par c0 = c1 = 1
P récursive
n
et cn+1 := cn +cn−1 pour n ≥ 1. Montrer que la série entière n∈N cn z est convergente sur
un disque centré en 0 vers une fonction rationnelle f et calculer les nombres de Fibonacci
à l’aide de la décomposition en fractions rationnelles simples de la fonction f .
Indication: comparer f (z) à zf (z).
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Feuille n◦ 5
Fonctions holomorphes usuelles (suite)
Exercice XX. Soit z0 ∈ C∗ , dz0 := {λz0 | λ ∈ [0, ∞[} et Dz0 = C \ dz0 . En prenant la
définition de Log pour modèle expliciter une fonction logarithme l : Dz0 → C. Que donne
le cas particulier z0 = −1? Et z0 = 1?
Exercice XXI. Pour n ∈ N \ {0, 1} on dit que la fonction w : U → C est une fonction
racine n-ième si w(z)n = z pour tout z ∈ U .
1. Soit k ∈ Z. Montrer que s’il existe une fonction logarithme l sur un domaine D
alors la fonction
2kπi
l(z)
z 7→ exp(
) exp(
)
n
n
est une fonction racine n-ième continue sur D.
2. Montrer que s’il existe une fonction logarithme l sur un domaine D et si w est une
fonction racine n-ième continue sur D, alors il existe un entier k, 0 ≤ k < n, tel que
∀z ∈ D,
l(z)
2kπi
) exp(
).
w(z) = exp(
n
n
l(z)
Indication: considérer la fonction (
exp( n ) n
) .
w(z)
3. Montrer que si 0 ∈ U , alors il n’existe pas de fonction racine n-ième holomorphe sur
U.
Exercice XXII. Soit l ∈ O(D) une fonction logarithme sur un domaine D. Pour σ ∈ C
on appelle la fonction pσ,l : D → C, pσ,l (z) := exp(σl(z)) la fonction puissance d’exposant
σ par rapport à l. Lorsque U = C− et l = Log on écrit pσ,Log (z) = z σ . Montrer que:
1. pσ,l est holomorphe et p0σ,l = σpσ−1,l .
2. pσ,l pτ,l = pσ+τ,l , ∀σ, τ ∈ C.
3. 1σ = 1 ∀σ ∈ C.
π
4. ii = e− 2 ∈ R.
5. Si z = r exp(iφ) avec r > 0 et φ ∈] − π, π[ et si σ = s + it, avec s, t ∈ R, alors
|z σ | = |z|s exp(−φt) et en particulier |z σ | ≤ |z|s exp(π|t|).
6. Pour z ∈ D on a
∞ X
σ n
(1 + z) = bσ (z) =
z .
n
n=0
σ
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Feuille n◦ 6
Théorème et formule de Cauchy
Exercice XXIII. Calculez, pour |z| =
6 1,
Z
∂D
ζ 10
dζ.
(ζ − z)9
Exercice XXIV. Calculer
Z
Z
sin(2z) + cos(z)
exp(2z) + cos(3z) − 8
dz,
dz.
7
(z − π)
(z − 2iπ)3
∂D(0,5)
∂D(0,5)
Exercice XXV. Trouver les développements en série entière centrés en zéro des fonctions
suivantes : z 7→ exp(z + πi), z 7→ sin2 (z) et préciser les rayons de convergence.
Exercice XXVI.
1. Soient f, g ∈ O(C) sans zéros communs dans C∗ et w ∈ C∗ tel que g(w) = 0
et g n’ait pas de zéro dans D(0, |w|) \ {0}. Supposons en plus que la fonction fg
qui est définie et holomorphe sur D(0, |w|) \ {0} se prolonge holomorphiquement à
D(0, |w|). Montrer que fg admet un développement en série entière centré en zéro
ayant le rayon de convergence |w|.
2. Déterminer les rayons de convergence des développements en série entière centrés
sin z
z
en zéro des fonctions suivantes: z 7→ tan z := cos
, z 7→ tanz z , z 7→ sinz z , z 7→ exp(z)−1
.
z
3. Même question pour les fonctions z 7→ exp(z)
où w ∈ C∗ et z 7→
w−z
en plus leurs développements en série entière centrés en 0.
sin2 (z)
.
z
Déterminer
Exercice XXVII. Soient r > 0 et f : D(0, r) → C une fonction continue, holomorphe
sur D(0, r). Montrer que
Z
1
f (ζ)
f (z) =
dζ, ∀z ∈ D(0, r).
2πi ∂D(0,r) ζ − z
Exercice XXVIII. Soient n ∈ N, n > 1, ζ = exp( 2πi
) et f ∈ O(D) telle que f (ζz) = f (z)
n
pour tout z ∈ D. Montrer qu’il existe alors une fonction g ∈ O(D) telle que f (z) = g(z n )
pour tout z ∈ D.
Indication: construire la fonction g d’abord sur D \ {0} et la prolonger ensuite à D.
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Feuille n◦ 7
Propriétés des fonctions holomorphes
Exercice XXIX. Déterminer toutes les fonctions holomorphes f ∈ O(D(0, 2)) vérifiant
la relation:
1. f ( n1 ) =
1
,
2n+1
∀n ∈ N \ {0}.
2. f ( n1 ) = f (− n1 ) =
1
,
2n+1
∀n ∈ N \ {0}.
Exercice XXX. Soit f une fonction holomorphe et non constante sur un ouvert connexe
contenant un disque fermé D̄. Si |f | est constant sur le bord de D, montrer que f a au
moins un zéro dans D.
Exercice XXXI. Soient f, g deux fonctions entières telles que |f (z)| ≤ |g(z)|, ∀z ∈ C.
Montrer qu’alors f = cg pour une constante c ∈ C.
√
Exercice XXXII. Quel est le domaine de définition Df de la fonction z 7→ z 2 ? Donner
une expression plus simple de cette fonction suivant les composantes connexes de Df .
Exercice XXXIII. Le but de cet exercice est de définir la fonction arcsinus complexe.
√
1. On veut définir d’abord la fonction z 7→ 1 − z 2 . Pour ceci on se rappelle que
√
:= p 1 ,Log est C− . Soit f : C → C,
le domaine de définition de la fonction
2
f (z) = 1 − z 2 . Décrire D := f −1 (C− ).
√
2. √
Soit a ∈ [0, ∞[. Montrer que iz + 1 − z 2 6= −a, ∀z ∈ D. En déduire que iz +
1 − z 2 ∈ C− , ∀z ∈ D.
√
3. Soit g : D → C, g(z) = −iLog(iz + 1 − z 2 ). Montrer que sin(g(z)) = z, ∀z ∈ D.
4. Quelle est la relation entre la fonction g et la fonction arcsin :] − 1, 1[→ R usuelle ?
5. Est-il justifié de dire que g est la fonction arcsinus complexe ?
Exercice XXXIV. Soit D un domaine dans C avec la propriété que {z̄ | z ∈ D} = D et
soit f ∈ O(D). Montrer que f (D ∩ R) ⊂ R si et seulement si f (z̄) = f (z), ∀z ∈ D.
Exercice XXXV. Soit D un domaine dans C et soit f ∈ O(D) telle que la fonction <e(f )
admette un maximum ou un minimum local dans D. Montrer qu’alors f est constante
sur D. Même question avec =m(f ) à la place de <e(f ).
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Feuille n◦ 8
Propriétés des fonctions holomorphes (suite)
sin z
Exercice XXXVI. Soit tan(z) = cos
pour z ∈ C\( π2 +πZ). Vérifier que tan0 = tan2 +1.
z
Montrer que la fonction tan admet une fonction réciproque au voisinage de 0, qu’on
appellera arctan et calculer le développement en série entière centré en 0 de la fonction
arctan.
Exercice XXXVII. Soient U un ouvert de C, d une droite dans C et f : U → C une
fonction continue sur U et holomorphe sur U \ d. Montrer que f ∈ O(U ). R
Indication: Montrer d’abord que si ∆ est un triangle (plein) dans U , alors ∂∆ f (z)dz =
0.
Exercice XXXVIII. Utilisez le principe du maximum pour démontrer le Lemme de
Schwarz:
Si f ∈ O(D(0, R)) avec f (0) = 0 et M := supD(0,R) |f | < ∞ alors
|f (z)| ≤
M |z|
R
∀z ∈ D(0, R)
et
M
.
R
De plus s’il y a égalité dans la seconde inégalité ou dans la première pour un élément
z0 ∈ D(0, R) \ {0}, alors il existe λ ∈ C de module M/R tel que f (z) = λz ∀z ∈ D(0, R).
Exercice XXXIX. Le but de cet exercice est de décrire les automorphismes holomorphes
du disque unité.
|f 0 (0)| ≤
1. Montrer que les automorphismes holomorphes de D qui fixent 0 sont tous des rotations. Indication : Utiliser le Lemme de Schwarz.
2. Soient z, a ∈ D(0, 1). Montrer que
|z−a|
|1−āz|
< 1. Indication : Elever au carré.
z−a
3. Montrer que les applications φa,λ : D(0, 1) → D(0, 1) de la forme z 7→ λ 1−āz
, pour
|λ| = 1 et a ∈ D(0, 1) sont des automorphismes holomorphes de D(0, 1).
4. Montrer que G := {φa,λ | |λ| = 1, a ∈ D(0, 1)} est un sous-groupe du groupe
Aut(D(0, 1)) d’automorphismes holomorphes de D(0, 1).
5. Vérifier que l’action de G sur D(0, 1) est transitive.
6. Montrer que G = Aut(D(0, 1)).
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Feuille n◦ 9
Singularités isolées et séries de Laurent
Exercice XL. Précisez le type des singularités isolées des fonctions suivantes en donnant
z4
1−cos z z 2 −π 2
1
le cas échéant aussi l’ordre du pôle: (z4 +16)
, sin2 z , ez1−1 − z−2iπ
, exp( z13 ).
2,
sin z
Exercice XLI. Soit z0 une singularité non effaçable de f ∈ O(U \ {z0 }). Montrez que z0
est une singularité essentielle de exp ◦f .
1
Exercice XLII. Soit f (z) = z(z−1)
. Développez f en série de Laurent convergente dans
les couronnes suivantes: C(0; 0, 1) = D \ {0}, C(1; 0; 1), C(0; 1, ∞) = C \ D̄ et C(1; 1, ∞).
P
P∞
n
n
Exercice XLIII. Soient f (z) = ∞
n=−∞ an (z − c) , g(z) =
n=−∞ bn (z − c) deux séries
de Laurent convergentes dans une couronne C = C(c; r, R). Montrez que dans cette
couronne on a le développement
suivant en série de Laurent convergente pour la fonction
P∞
produit f (z)g(z) = n=−∞ cn (z − c)n , où les coefficients cn sont les sommes des séries
convergentes
∞
∞
X
X
an−m bm .
am bn−m =
cn =
m=−∞
m=−∞
Indication: Utiliser les formules intégrales pour les coefficients d’une série de Laurent.
P
n
Exercice XLIV. Soit f (z) := ∞
n=−∞ an z le développement en série de Laurent d’une
fonction holomorphe convergente sur une couronne circulaire centrée en 0. Montrer que
f est paire respectivement impaire si et seulement si an = 0 pour tout n impair, respectivement pour tout n pair.
P
n
Exercice XLV. Pour une série de Laurent ∞
n=−∞ an (z − c) centrée en c ∈ C on appelle
P
P−1
∞
n
n
n=0 an (z − c) sa partie régulière. Soit R
n=−∞ an (z − c) sa partie principale et
0
le rayonPde convergence de la partie régulière, r le rayon de convergence de la série
1
n
entière ∞
n=1 a−n w et r := r0 . Montrer que si r < R, alors la série de Laurent converge
localement normalement dans la couronne circulaire C(c; r, R) et ne converge en aucun
point de C \ C(c; r, R). Dans ce cas
P∞on appelle lancouronne C(c; , r, R) la couronne de
convergence de la série de Laurent n=−∞ an (z − c) . Montrer que si r ≥ R, alors la série
de Laurent ne converge sur aucun ouvert non vide de C.
Exercice XLVI. Déterminer les domaines de convergence des séries de Laurent suivantes
P
P∞
(z−1)2n P∞
(z−3)2n P∞
zn
n
n
∗
: ∞
,
,
2
n=−∞ |n|!
n=−∞ n +1
n=−∞ (n2 +1)n ,
n=−∞ a (z − c) , où a ∈ C , c ∈ C.
12
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Feuille n◦ 10
Calcul des résidus
Exercice XLVII. Calculer les intégrales:
Z
dz
,
2
∂D(0,2) sin (z) cos(z)
Z
sin(z)
dz,
4 2
∂D z (z + 2)
Z
exp(πz)
dz,
2
∂(D(0,2)∩H) 1 + z
où H désigne le demi-plan supérieur.
Exercice XLVIII. (Intégrales trigonométriques) On veut calculer une intégrale du type
Z 2π
I :=
R(cos t, sin t)dt,
0
où R(x, y) :=
P (x,y)
Q(x,y)
est une fonction rationnelle en deux variables réelles et sans pôles sur
∂D. On pose R̃(z) :=
1
R( 12 (z
iz
+ z −1 ), 2i1 (z − z −1 )). Montrer que
X
I = 2πi
Res(R̃, z).
z∈D
Calculer
Z
2π
dt
, a ∈ R \ {−1, 1}.
1 − 2a cos t + a2
0
Que peut-on dire sur cette intégrale si a = 1 ?
−iz exp(iz)
Exercice XLIX. Soient f ∈ M(C), f (z) = (1+z
2 )(4+z 2 ) , R ∈]0, 1[∪]1, 2[∪]2, ∞[, DR =
D(0, R) ∩ H et γR : [0, π] → C, γR (t) = R exp(it).
R∞
1. Montrer que l’intégrale impropre I := −∞ f (x)dx existe.
R
2. Calculer ∂DR f (z)dz en fonction de R.
R
3. Calculer la limite de γR f (z)dz lorsque R tend vers +∞.
I=
4. En déduire la valeur de I.
5. Montrer que
Z
0
∞
x sin x
I
dx
=
.
(1 + x2 )(4 + x2 )
2
13
Exercice L. (Intégrales impropres des fonctions rationnelles)
1. Soient A un ensemble fini dans
R ∞H, U un voisinage ouvert de H et f ∈ O(U \ A) telle
que limz→∞,z∈H zf (z) = 0 et −∞ f (x)dx existe. Montrer qu’alors
Z
∞
f (x)dx = 2πi
−∞
X
Res(f, z).
z∈H
Indication: Intégrer sur le bord du domaine H ∩ D(0, R).
P (z)
sans pôles sur R et telle que deg P ≤
2. Vérifier qu’une fonction rationnelle f (z) = Q(z)
deg Q − 2 remplit les hypothèses de la question précédente. Calculer
Z ∞
1
I=
dx, a, b ∈ R∗ ,
2 + a2 )(x2 + b2 )
(x
−∞
Z ∞
cos x
dx.
J=
4
−∞ 1 + x
R∞
R∞
Indication: Pour J, écrire J = <e( −∞ exp(ix)
dx) et calculer −∞ exp(ix)
dx.
1+x4
1+x4
14