Feuilles d`exercices - IECL

Université de Lorraine Département de Mathématiques
Analyse Complexe, L3, semestre de printemps 2016
Feuille n◦0
Nombres complexes
Exercice I. Écrire les nombres complexes suivants sous la forme x+iy avec x, y ∈Ret
calculer leur module et leur argument: inpour n∈Z,(1 + i)4,(−1−i√3
2)3,2−i 2−3i,1 (3−i)2,
(1+i)5
(1−i)3.
Exercice II. Esquisser les sous-ensembles suivants du plan complexe:
1. {z∈C:|3z−1−i| ≤ 2},
2. {z∈C: 0 ≤ =z≤2π, |<z| ≤ 1},
3. {z∈C:=((1 −i)z) = 0}.
Exercice III. Soient a, c ∈Ret b∈Ctels que det a b
¯
b c <0. Montrer que l’ensemble
E={z∈C:az¯z+bz +¯ b¯z+c= 0}est une droite ou un cercle dans le plan complexe.
Indication: Discussion suivant les cas a= 0,a > 0,a < 0.
Exercice IV. Préciser pour quels nombres complexes zles suites suivantes convergent
dans C:(zn
n!),(( z n)n),(zn−2+zn).
Exercice V. Soient λet µdeux nombres complexes et T:C→Cdéfinie par T(z) =
λz +µ¯z. Montrer que:
1. Test R-linéaire.
2. Test C-linéaire si et seulement si µ= 0.
3. Test bijective si et seulement si |λ| 6=|µ|.
4. Si T1:C→Cest définie par T1(z) = λ1z+µ1¯z, alors T=T1si et seulement si
λ=λ1et µ=µ1.
5. |T(z)|=|z| ∀z∈Csi et seulement si λµ = 0 et |λ+µ|= 1.
Indication: Faire le lien avec la condition T∈O(2,R)et utiliser la décomposition
O(2,R) = SO(2,R)∪(C·SO(2,R)) où Cdésigne l’application linéaire représentée
par la matrice
1 0
0−1.
Exercice VI. Montrez qu’un ouvert Ude Cest connexe si et seulement si il est connexe
par arcs.
Indication: Considérer les parties de Uqui consistent des points zpouvant, respective-
ment ne pouvant pas, être connectés par arcs à un point fixé z0.
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Analyse Complexe, L3, semestre de printemps 2016
Feuille n◦1
Dérivabilité complexe
Exercice VII. Trouvez les points de C, en lesquels les fonctions suivantes sont C-
différentiables:
f1(x+iy) = xy +ixy,
f2(x+iy) = −6(cos x+isin x) + (2 −2i)y3+ 15(y2+ 2y),
f3(x+iy) = y2sin x+iy,
f4(x+iy) = sin2(x+y) + icos2(x+y).
Exercice VIII. Soit f:D→Cune fonction holomorphe définie sur un domaine D⊂C.
On écrira ici u=<e(f),v==m(f).
1. Montrer que s’il existe a, b ∈Cpas tous les deux nuls tels que la fonction au +bv
soit constante sur D, alors fest constante.
2. Montrer que s’il existe une fonction différentiable h:R→Rtels que u=h◦v,
alors fest constante.
3. Que peut-on dire sur la fonction f, si u2+iv2∈ O(D)?
Indication: Vérifier si la fonction (u−v)2est constante.
Exercice IX. Soient f:U→C,g:U0→Cdes fonctions R-différentiables telles que
g(U0)⊂Uet z0∈U0,w0=g(z0). Vérifiez les identités suivantes:
1.
∂f
∂¯z=∂¯
f
∂z ,∂¯
f
∂¯z=∂f ∂z .
2.
∂f ◦g
∂z (z0) = ∂f ∂w (w0)∂g ∂z (z0)+ ∂f ∂¯w(w0)∂¯g ∂z (z0),∂f ◦g ∂¯z(z0) = ∂f ∂w (w0)∂g ∂¯z(z0)+ ∂f ∂¯w(w0)∂¯g ∂¯z(z0).
Exercice X. Soient f:U→Cune fonction R-différentiable et z0∈Utels que la limite
lim
h→0|f(z0+h)−f(z0)
h|
existe. Montrer qu’alors fou ¯ fest C-différentiable en z0.
Exercice XI. Montrez que le déterminant de la matrice de Jacobi d’une fonction R-
différentiable f:U→Cest égal à
|∂f
∂z |2− |∂f ∂¯z|2.
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Analyse Complexe, L3, semestre de printemps 2016
Feuille n◦2
Applications conformes, applications biholomorphes
Exercice XII. Soit f:C∗→C∗,f(z) = z−1. Soit Γ(c, R)le cercle de centre c∈Cet de
rayon R > 0et δ(c)la demi-droite qui a l’origine en 0et passe par csi c6= 0.
1. Montrer que:
(a) f∈Aut(C∗).
(b) f(Γ(0, R)) = Γ(0, R−1).
(c) Si c6= 0 et R6=|c|, alors
f(Γ(c, R)) = Γ( ¯c
|c|2−R2,R ||c|2−R2|).
(d) Si a∈C∗, alors f(δ(a)) = δ(a−1).
(e) Si c6= 0 et R=|c|, alors l’image par fde Γ(c, R)) \{0}est la droite qui passe
par (2c)−1et qui est perpendiculaire à δ((2c)−1).
2. Déterminer les images par fdes domaines de Csuivants: D∩H,D∩D(1,1), le
triangle ouvert dont le sommets sont 1, i, 0, le carré ouvert dont les sommets sont
0,1,1 + i, i. Ici H:= {z∈C| =m(z)>0}est le demi-plan supérieur.
Indication: Utiliser le fait que l’image d’un ensemble connexe par une application
continue est connexe.
Exercice XIII. (Transformation de Joukowski.) Soit f:D\ {0} → C\[−1,1],f(z) =
1
2(z+z−1). On écrit f=u+iv,r=|z|,ξ=x/r,η=y/r. On a noté par [−1,1]
l’intervalle correspondant de R⊂C. Montrer que:
1. fest conforme.
2. u=1
2(r+r−1)ξ,v=1 2(r−r−1)η,
u2
(1
2(r+r−1))2+v2
(1
2(r−r−1))2= 1,
u2
ξ2−v2 η2= 1,
pour ξη 6= 0.
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3. Les images par fdes cercles centrés en 0sont des ellipses et que celles des rayons
de D\ {0}sont des branches d’hyperbole.
4. fest bijective.
Indication 1: Déterminer d’abord les images des 4 quadrants intersectés avec D\{0}.
Indication 2: Étendre fàC∗\S1par la même formule et montrer la surjectivité de
cette extension. Utiliser ensuite l’application z7→ 1
zsur C∗\S1pour conclure.
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Analyse Complexe, L3, semestre de printemps 2016
Feuille n◦3
Séries entières
Exercice XIV. Pour z∈Dsoit λ(z)la somme de la série logarithmique Pn(−1)n1
n+1 zn+1.
Montrer que exp(λ(z)) = 1 + zsur D.
Indication: calculer la dérivée complexe de
exp(λ(z))
1 + z.
Exercice XV. (Série binomiale.) Pour tout nombre complexe σet tout k∈Non pose
σ
k=Qk
j=1(σ−j+ 1)
k!
et
bσ(z) = X
kσ
kzk.
1. Vérifier les égalités
σ
k+ 1=σ−k k+ 1 σ k=σ k+ 1σ−1 k.
2. Calculer le rayon de convergence de la série Pkσ
kzk.
3. Montrer que bσest holomorphe sur Det que pour tout z∈D
b0
σ(z) = σbσ−1(z).
4. Montrer que pour tout k∈Non a
σ−1
k+ 1+σ−1 k=σ k+ 1
et en déduire les identités
(1 + z)bσ−1(z) = bσ(z),
b0
σ(z) = σ
z+ 1bσ(z)
pour tout z∈D.
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