Sommaire 1. Produit Scalaire sur E - Caignaert

Espaces vectoriels préhilbertiens et euclidiens 5 - 1
Sommaire
1. Produit Scalaire sur E1
1.1. Forme bilinéaire symétrique sur E. . . 1
1.2. Forme quadratique associée ....... 1
1.3. Forme quadratique définie positive . . . 2
1.4. Produit Scalaire sur E........... 2
1.5. Exemples classiques ........... 3
1.6. Inégalité de Cauchy-Schwarz ...... 4
2. Norme dérivant d’un produit scalaire 4
2.1. Norme sur E................ 4
2.2. Norme dérivant d’un produit scalaire . 4
2.3. Théorème de Pythagore ......... 5
3. Orthogonalité, Orthonormalité 5
3.1. Orthogonalité ............... 5
3.2. Orthogonal d’une partie ......... 5
3.3. Famille orthogonale, orthonormale . . . 6
3.4. Théorème et procédé de Schmidt .... 6
3.5. Projection orthogonale .......... 7
4. Espaces Vectoriels Euclidiens 9
4.1. Prod. scal. dans une base ortonormale . 9
4.2. Matrice d’une forme bilinéaire ..... 9
4.3. Endomorphisme orthogonal ....... 10
4.4. Matrice orthogonale ........... 11
5. Isométries Vectorielles 11
5.1. Symétries orthogonales .......... 11
5.2. Isométries vectorielles du plan ..... 12
5.3. Isométries vectorielles de l’espace . . . . 12
5.4. Rotations vectorielles de l’espace . . . . 14
6. Endomorphismes Symétriques 15
6.1. Endomorphismes symétriques ..... 15
6.2. Réduction dans une base orthonormale 16
6.3. Réduction en dimension 3 ........ 16
6.4. Identification d’une conique ....... 16
6.5. Petits rappels sur les coniques ...... 17
7. Compléments 19
7.1. Avec Maple ................ 19
7.2. Les mathématiciens du chapitre ..... 19
Dans tout le chapitre, Eest un espace vectoriel sur R.
1. Produit Scalaire sur E
1.1. Forme bilinéaire symétrique sur E
Définition : Soit Ψ:(E×E→R
(u,v)7→ Ψ(u,v)
On dit que Ψest bilinéaire symétrique sur E⇔
∀u∈E,Ψu:v→Ψu(v)=Ψ(u,v)est linéaire
∀v∈E,Ψv:u→Ψv(u)=Ψ(u,v)est linéaire
∀u,v∈E,Ψ(u,v)=Ψ(v,u)
Théorème : Pour montrer qu’une forme est bilinéaire symétrique, il suffit de montrer qu’elle est linéaire par
rapport à une variable, au choix, et qu’elle est symétrique.
Démonstration : On sait 
∀λ,µ∈R
∀u,u1,u2∈E
∀v∈E(Ψ(λ.u1+µ.u2,v)=λΨ(u1,v)+µΨ(u2,v)
Ψ(u,v)=Ψ(v,u)
D’où Ψ(u,λ.v1+µ.v2)=Ψ(λ.v1+µ.v2,u)=λΨ(v1,u)+µΨ(v2,u)=λΨ(u,v1)+µΨ(u,v2)en faisant jouer
la symétrie et la linéarité par rapport à chaque variable. On obtient bien la deuxième linéarité.
1.2. Forme quadratique associée à une forme bilinéaire symétrique
Définition : Une forme quadratique sur Rnest une application de Rn→Rqui se met sous la forme d’un
polynôme homogène de degré 2 des coordonnées du vecteur de Rn.
Théorème : Si Ψest une forme bilinéaire symétrique sur E, alors q:(E→R
u7→ q(u)=Ψ(u,u)est une forme
quadratique, c’est la forme quadratique associée àΨ.
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5 - 2 Espaces vectoriels préhilbertiens et euclidiens
On a : q(λ.u)=λ2q(u), ce qui prouve que qn’est pas linéaire !
Théorème : Si qune forme quadratique sur E, alors Ψ:E×E→Rdéfinie par
Ψ(u,v)=q(u+v)−q(u)−q(v)
2
est une forme bilinéaire symétrique.
On dit alors que Ψest la forme polaire de q.
Démonstration : La symétrie est évidente, on admet la bilinéarité.
q(u+v)−q(u)−q(v)
2=Ψ(u+v,u+v)−Ψ(u,u)−Ψ(v,v) 2
=(Ψ(u,u)+Ψ(u,v)+Ψ(v,u)+Ψ(v,v)) −Ψ(u,u)−Ψ(v,v)
2
=Ψ(u,v)+Ψ(v,u)
2
=Ψ(u,v)
1.3. Forme quadratique définie positive
Définition : qune forme quadratique,
on dit que qest positive ⇔ ∀u∈E,q(u)>0.
Définition : qune forme quadratique positive,
on dit que qest définie-positive ⇔ ∀u∈E,(q(u)=0⇔u=0).
On dit aussi que qest positive non-dégénérée.
Le même vocabulaire s’applique à la forme bilinéaire symétrique.
1.4. Produit Scalaire sur E
Définition : Un produit scalaire sur Eest une forme bilinéaire symétrique définie positive sur E.
Ψ(u,v)se note le plus souvent hu,vi.
Exemple : Le produit scalaire usuel du plan ou de l’espace. La forme quadratique est alors le carré scalaire.
Pour montrer que h·,·iest un produit scalaire, on montre successivement :
•la linéarité par rapport à une variable ;
•la symétrie ;
A ce niveau, on conclut que la forme est bilinéaire symétrique.
Ensuite, on montre :
•la positivité de la forme quadratique et enfin ;
•son caractère défini-positif.
A ce niveau, on conclut que la forme bilinéaire symétrique est bien un produit scalaire.
Définition : Un espace vectoriel préhilbertien est un espace vectoriel muni d’un produit scalaire.
Un espace vectoriel préhilbertien est donc un espace vectoriel réel. Il peut être de dimension finie ou
infinie.
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Espaces vectoriels préhilbertiens et euclidiens 5 - 3
Définition : Un espace vectoriel euclidien est un espace vectoriel de dimension finie muni d’un produit sca-
laire.
Un espace vectoriel euclidien est donc un espace vectoriel réel.
1.5. Exemples classiques
a/ Produit scalaire défini par une intégrale
On va montrer que sur R[X],hP,Qi=Z1
0P(t)Q(t)dtest un produit scalaire.
Il faut d’abord montrer que c’est une forme bilinéaire symétrique, c’est à dire qu’elle est linéaire par rapport à
la première variable et symétrique.
On considère des polynômes quelconques P1,P2,Qet des scalaires quelconques λ,µ.
•hλP1+µP2,Qi=λhP1,Qi+µhP2,Qipar simple linéarité de l’intégration.
•hP,Qi=hQ,Picar P(t)Q(t)=Q(t)P(t)pour tout t
Il faut ensuite montrer que la forme quadratique est positive puis définie-positive.
On considère un polynôme quelconque P.
•hP,Pi=Z1
0P2(t)dt>0 par positivité de l’intégrale. La forme est positive.
•hP,Pi=Z1
0P2(t)dt=0 implique que ∀t∈[0.1],P2(t)=0 car c’est un polynôme, donc une appli-
cation continue, qui est de plus positive et d’intégrale nulle (théorème des 3 conditions). On a donc
∀t∈[0.1],P(t)=0 et enfin, ∀t∈R,P(t)=0, c’est à dire P=0 car un polynôme qui a une infinité de
racines est nul.
La forme est donc bien définie positive.
Finalement, sur R[X],hP,Qi=Z1
0P(t)Q(t)dtest un produit scalaire.
b/ Produit scalaire sur un espace de matrices
Montrons que hA,Bi=tr tABdéfinit un produit scalaire sur Mn(R).
Il faut montrer la linéarité par rapport à la première (ou la deuxième) variable, la symétrie, puis il faut montrer
que la forme quadratique associée est positive, puis définie-positive.
•hA,λB+µCi=tr tA(λB+µC)=tr λtAB +µtAC=λtr tAB+µtr tAC
Ce qui donne : hA,λB+µCi=λhA,Bi+µhA,Cien utilisant la linéarité de la trace.
•hB,Ai=tr tBA=tr ttBA=tr tAB=hA,Bi, en utilisant le fait qu’une matrice et sa transposée
ont la même trace.
La forme est donc bilinéaire symétrique.
•tAB a pour coefficient i`
eme ligne, i` eme colonne : n
∑
j=1
ajibji, celui de tAA est : n
∑
j=1
a2
ji
d’où : hA,Ai=
n
∑
i=1
n
∑
j=1
a2
ji =
n
∑
i=1
n
∑
j=1
a2
i j >0.
La forme est bien positive.
•hA,Ai=0 donne
n
∑
i=1
n
∑
j=1
a2
i j =0 puis ∀i,j∈ {1,2, . . . ,n},ai,j=0 et enfin A=0.
La forme est définie positive.
On a bien un produit scalaire. De plus : kAk2=hA,Ai=
n
∑
i=1
n
∑
j=1
a2
i j.
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5 - 4 Espaces vectoriels préhilbertiens et euclidiens
1.6. Inégalité de Cauchy-Schwarz (ou de Schwarz)
Théorème : h·,·iun produit scalaire sur E, alors,
∀u,v∈E,|hu,vi| 6qhu,uiqhv,vi
L’égalité n’est vérifiée que si uet vsont liés.
Démonstration : On a ∀λ∈R,
hu+λ.v,u+λ.vi>0
hv,viλ2+2hu,viλ+hu,ui>0
expression du second degré en λ, qui ne change pas de signe, elle a donc un discriminant négatif,
d’où : ∆
4=hu,vi2−hv,vihu,ui60 Ce qui assure le résultat.
Remarquons que l’égalité : |hu,vi| =phu,uiphv,vine se produit que si ∆=0,
donc si hv,viλ2+2hu,viλ+hu,ui=0 pour un certain λ.
Cela revient à hu+λ.v,u+λ.vi=0 et enfin u+λ.v=0, uet vsont liés.
Exemple : On va appliquer l’inégalité de Schwarz avec le produit scalaire précédent et Q(t)=t, compte tenu
que Z1
0t2dt=1
3, on obtient Z1
0tP (t)dt2
61
3Z1
0P2(t)dtqui est un résultat valable pour tout polynôme
P.
On n’oubliera donc pas que l’inégalité de Schwarz permet de montrer de nombreuses inégalités (( étonnantes )).
2. Norme dérivant d’un produit scalaire
2.1. Norme sur E
Définition : (E→R+
u7→ kukest une norme ⇔
∀u,v∈E,ku+vk6kuk+kvk(inégalité triangulaire)
∀u∈E,∀λ∈K,kλ.uk=|λ|kuk(positive homogénéité)
kuk=0⇔u=0 (séparation)
La norme d’un vecteur uest souvent notée kuk
Même si on parle souvent de la norme d’un vecteur, il y a des infinités de normes différentes...
Exemple : E=R2,
k(x,y)k=px2+y2est la norme usuelle, mais
k(x,y)k=|x|+|y|est une autre norme, de même que
k(x,y)k=max (|x|,|y|)en est une troisième
2.2. Norme dérivant d’un produit scalaire
Théorème : Soit h·,·iun produit scalaire sur E, alors : kuk=phu,ui=pq(u)est une norme sur E.
Démonstration : kλ.uk=phλ.u,λ.ui=pλ2hu,ui=|λ|kuk
d’autre part, ku+vk2=phu+v,u+vi2=hu+v,u+vi=hu,ui+2hu,vi+hv,vi
d’où, en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz, ku+vk26kuk2+2kukkvk+kvk2=(kuk+kvk)2
ce qui donne la deuxième relation. Enfin : kuk=0⇔phu,ui=0⇔hu,ui=0⇔u=0
Tout produit scalaire induit donc une norme sur E, souvent appelée norme euclidienne.
L’inégalité de Cauchy-Schwarz se réécrit alors :
|hu,vi| 6kukkvk
Par contre, toutes les normes ne proviennent pas d’un produit scalaire... On verra des contre-exemples dans le
chapitre suivant.
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2.3. Théorème de Pythagore
Théorème : k·kune norme euclidienne et h·,·ison produit scalaire, alors ∀u,v∈E,
ku+vk2=kuk2+kvk2+2hu,vi
Corollaire : k·kune norme euclidienne et h·,·ison produit scalaire, alors
ku+vk2=kuk2+kvk2⇔hu,vi=0
La démonstration a été faite dans la démonstration du théorème précédent.
3. Orthogonalité, Orthonormalité
3.1. Orthogonalité
Définition : uet vsont orthogonaux pour h·,·i⇔hu,vi=0
Exemple : E=C0([0,2π]) ,hf,gi=Z2π
0f(t)g(t)dt, alors (f:t→sin t
g:t→cos tsont orthogonales.
En effet, c’est encore le théorème des 3 conditions qui permet de prouver qu’on a encore affaire à un produit
scalaire et Z2π
0sin tcos tdt=1
2sin2t2π
0
=0, ce qui prouve l’orthogonalité.
Le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs.
3.2. Orthogonal d’une partie
Théorème : Soit Aune partie non vide de E, préhilbertien,
A⊥={u∈E,∀v∈A,hu,vi=0}
est un sous espace vectoriel de E.
Si Ane contient qu’un seul vecteur v, on le note alors v⊥.
Démonstration : A⊥est clairement non vide. Montrons qu’il est stable par combinaison linéaire.
Soit 
u1,u2∈A⊥
λ,µ∈R
v∈A
, alors hλ.u1+µ.u2,vi=λhu1,vi+µhu2,vi=0.
Comme vest quelconque, ceci prouve que λ.u1+µ.u2∈A⊥qui est donc un sous espace vectoriel.
Exemple : Dans R[X], muni du nouveau produit scalaire (admis) hP,Qi=Z1
−1P(t)Q(t)dt, on va chercher
l’orthogonal de l’ensemble Pdes polynômes pairs, dont on admet qu’il constitue un sous-espace vectoriel.
Soit Qest un polynôme quelconque orthogonal à tous les polynômes pairs.
On considère QPet QIdéfinis par QP(t)=Q(t)+Q(−t)
2et QI(t)=Q(t)−Q(−t) 2qui sont respective-
ment pairs et impairs.
On a Q=QP+QI.
Soit Pun polynôme pair quelconque.
hP,Qi=0=Z1
−1P(t)Q(t)dt=Z1 −1P(t)QP(t)dt+Z1 −1P(t)QI(t)
| {z }
impair
dt=Z1
−1P(t)QP(t)dt
En prenant P=QP, on obtient en utilisant encore le théorème des 3 conditions QP=0 et donc Qest impair.
Comme tout polynôme impair convient, l’othogonal de l’ensemble Pdes polynômes pairs est l’ensemble des
polynômes impairs.
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