Les circuits linéaires

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Les circuits linéaires
! Révisé et compris
DEF
! Chapitre à retravaillé
! Chapitre incompris
Soit une tension sinusoïdale u(t)= U√2 sin (wt + ϕ)
u(t) : tension instantanée à l’instant t, exprimé en
Volts
U : valeur efficace, exprimé en volts
W :pulsation, vitesse angulaire, en rad.s-1
W= 2πf= 2π / f
ϕ= phase à l’origine
(wt + ϕ)= phase à l’instant t
Û= U√2
Soit Û= U√2 x sin (2πft + ϕ)
À u(t), on associe le vecteur de Fresnel u, en utilisant le sens de rotation inverse des aiguilles d’une
montre.
La méthode du vecteur de Fresnel à cependant un frein : c’est une
méthode graphique, donc assez imprécise, ce qui rend son emploi très
limité.
La forme polaire et cartésienne :
Forme polaire :multiplication et division
Forme cartésienne : addition et soustraction
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Exemple pour comprendre :
Exemple 1 :
Exemple 2 :
DEF
Impédance et admittance : Si le dipôle est linéaire, la tension u(t), et l’intensité i(t), sont
sinusoïdaux, d’où l’obligation d’employer les nombres complexes.
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Dipôles passifs élémentaires :
Courant et
tension
Impédance
Z
Resistor
Inductance
Capacité
En phase (ϕ = 0)
Tension en quadrature avance
sur l’intensité.
Tension en quadrature retard
sur l’intensité.
Purement inductif (partie
imaginaire positive)
Purement capacitif (partie
imaginaire négative)
Admittances
Y
Loi d’ohm
instantannée
Loi d’ohm en
complexe
Note
Purement résistif
Petits rappels mathématiques :
Dans l’écriture polaire, le module est toujours positif. Pour s’en rappeler penser au fait que l’on utilise
l’écriture polaire pour les multiplications et divisions, et qu’on ne peut pas diviser par zéro.
Pour comparer deux grandeurs, il faut que la forme trigonométrique soit identique : on compare des
sinus avec des sinus, et des cosinus avec des cosinus. Pour faire la transition de l’un vers l’autre,
sachez que :
Avec la forme cartésienne, on peut procéder à quelques petits arrangements qui feront le bonheur de
tous les mathématiciens :
Voici comment procéder pour faire une division avec la
forme polaire :
Pour faire une division en polaire, on fait le quotient des
modules, et la différence des arguments.
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Association de dipôle linéaire :
Association série
Association parallèle
En série, les impédances complexes s’ajoutent
En parallèle, les admittances complexes s’ajoutent.
Note sur le comportement des dipôles élémentaires :
Résistance
Bobine
Condensateur
T
e
n
s
i
o
n
I
n
t
e
n
s
i
t
é
Association de dipôles :
On fait une association série d’une résistance, d’une bobine,
et d’un condensateur.
Pour connaître l’impédance équivalente, on se contente d’additionner les impédances respectives aux
trois dipôles :
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Peu importe le nombre de dipôle
associé en série, le principe
réside dans l’idée d’associer les
impédances
respectives
des
dipôles, pour obtenir l’impédance
équivalente.
On converti ensuite, de façon à
passer de la forme cartésienne à
la forme polaire.
Notion de puissance :
1. Puissance instantanée en sinusoïdale :
Le raisonnement, certes instructif, n’est pas à retenir, le résultat se suffit à lui-même.
2. Puissance active :
DEF
Puissance active : Cela correspond à la valeur moyenne de la puissance instantanée.
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Or on sait qu’en sinusoïdale, la valeur moyenne est nulle :
On applique la définition ci-dessus :
L’unité de la puissance active, est le Watt.
3. La puissance réactive
S’exprime en Voltampères Réactives (VAR)
Puissance active et réactive des trois dipôles :
Resistor
Inductance
Capacité
P Formules
A
P
A
Pa
P Formules
R
P
Pr
R
4. La puissance apparente
Elle permet de dimensionner les appareils, et s’exprime en Voltampères (VA). Un transformateur
20VA, signifie, que le produit de la tension (U) par l’intensité (I) ne devra pas excéder 20VA, soit pour
une tension de 20V, il délivrera 1A, ou pour 10V, il délivrera 2A.
5. Le théorème de Boucherot
DEF
Théorème de Boucherot : Les puissances actives et réactives consommés par une association de
dipôle, sont égale à la somme des puissances actives et réactives consommés par chaque dipôle.
Exemple : Soit une association RLC série :
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I= 2A ; f= 50Hz ; R= 440 Ohms ; L= 1H ; C= 5µF. Calculer Pr, Pa, U, et ϕ.
Modèles séries et parallèle d’un dipôle passif linéaire
1. Les modèles
Tout DPL, peut être modéliser par un modèle série ou parallèle.
Série
Parallèle
Le signe de la réactance, dépend de la nature du Le signe de la suceptance dépend de la nature du
dipôle :
dipôle :
Z : impédance en ohms
R : résistance en ohms
X : réactance en ohms
Y : admittance en Siemens
G : conductance en Siemens
B : suceptance en Siemens
2. Le facteur « Q », d’un DPL
Attention à la notation du facteur Q, qui est un quotient sans unité, et toujours positif. Il caractérise
l’aspect réactif du dipôle. On peut exprimer le facteur de qualité par le modèle série ou parallèle.
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Série
Parallèle
Si le dipôle est très réactif, cela signifie que q est très grand devant 1,
donc Q² est très grand devant 10. On peut donc utiliser l’expression
simplifiée :
Remarque : L’équivalence n’est valable que pour une fréquence donnée.
3. Modèle équivalent d’une bobine réelle :
Facteur de qualité Q de la bobine :
Plus Q est grand, plus la bobine est de bonne qualité (la résistance est faible).
Expression de Xp et Rp du modèle équivalent :
4. transformation série- parallèle :
Soit un DPL, on peut lui associer indifféremment un modèle série ou un modèle parallèle.
Ces structures sont équivalentes, et on peut passer de l’une à l’autre. On cherche à exprimer Rp et Xp,
en fonction de Rs et Xs. La démonstration étant assez fastidieuse, seul le résultat final sera
présentée ici :
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Exercice d’application : Soit une bobine d’inductance L= 0.5H, avec une résistance Rs= 10ohms, les
deux dipôles sont soumis à une tension de fréquence 50Hz. Déterminer par le calculs Rp, et Lp.
a) Commençons par calculer le facteur de qualité :
b) Poursuivons, en utilisant les formules simplifier, car 15,7 est très grand devant 1 :
c) Continuons encore, en sachant que Lp = Ls, dans notre cas :
d) Concluons :
Dans la majorité des exercices proposés, on est en mesure d’utiliser les formules simplifier, car on a
fréquemment un facteur Q, qui est très grand devant la valeur 1.
4. Modèle équivalent du condensateur réel :
On admettra que les condensateurs peuvent être considérés comme parfait. Cependant le modèle
naturel du condensateur est un modèle parallèle.
Travaillant en parallèle, nous utilisons les admittances pour exprimer l’impédance équivalente. Soit :
De la même façon, on exprime le facteur de qualité Q, tel que :
REM
Le facteur de qualité dépend de la fréquence. Plus ce facteur de qualité est grand, et plus le
condensateur est de bonne qualité. En d’autres termes, plus ce facteur est grand, et plus la
résistance interne est faible, donc on se rapproche d’une certaine perfection.
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La transformation série – parallèle, ne présente que très peu d’intérêt, car technologiquement parlant,
les condensateurs sont considérés comme quasiment parfaits.
Exemple : On possède le modèle parallèle d’un condensateur, et on recherche Rs et Cs, correspondant
au modèle série.
1. On applique les formules de base :
2. On fait l’application numérique :
En sachant que Rp= 33 Kohms ; Cp= 10nF, et f=20 Khz
On constate que le facteur Q est très grand, on applique donc les formules simplifiées :
3. On conclut en représentant le modèle équivalent :
On peut conclure, en remarquant qu’en parallèle la valeur de la résistance est très grande, et en série
elle est très faible.
Les modèles des dipôles actifs linéaires :
DEF
Les DAL sont constitués de dipôles passifs linéaires, de sources de courants et de tensions. Tous
peuvent être modélisés par un Modèle Equivalent de Norton (MEN), ou un Modèle Equivalent de
Thevnin (MET).
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1. Le modèle équivalent de Thévnin :
DEF
Tout DAL peut être modélisé par un MET, constitué d’une source de tension Eo (tension à vide),
en série avec une impédance de Zo.
Exercice d’application :
En appliquant le MEN, calculer U, et I :
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1. On fait un schéma équivalent, en déconnectant la charge :
Comme illustré sur ce schéma, on voit bien que la charge est déconnectée.
Bien que cette étape puisse paraître superflus, l’ignorer pourrait être
« risqué » pour la suite de l’exercice.
2. On s’intéresse au calcul de Zo :
1. On déconnecte la charge (voir schéma précédent)
2. On redessine le schéma en passivant les générateurs
Sur le schéma ci-contre, les générateurs de tensions ont étés remplacés
par des interrupteurs fermés. Si des générateurs de courant auraient étés
présent, nous aurions remplacés ces derniers par des interrupteurs
ouverts.
3. On calcul l’impédance Zo, vu
des points A et B :
On a deux résistances en parallèles, on
applique donc la formule simplifiée de
l’association de deux résistors en
parallèles. Ne surtout pas hésiter à refaire un schéma intermédiaire pour faire apparaître l’association
(ne pas confondre « série » et « parallèle »).
1.
4. On recherche Eo, la tension à vide :
On redessine le schéma, et on précise que i=0, et on flèche Eo :
L’intensité en sortie est de 0A. On peut donc affirmer que le
courant passant dans Z1 et Z2 est le même, et que sa valeur est 0A.
Ce schéma parait peut-être aux yeux de certaines totalement
incompréhensible (…), pour éclaircir leur lanterne, redessinons un
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autre schéma très simplifié :
On sait que I=0, ce qui signifie qu’aucune charge n’est connecté en
sortie. Le courant est donc « prisonnier » du circuit. Il va sortir
du premier générateur en s’appelant i1, va passer dans la
résistance, et va aller dans la seconde, puis dans l’autre
générateur (en s’appelant toujours i1), et ainsi de suite. On voit
que le courant « tourne » dans la branche, en gardant toujours le
même nom, car il a toujours la même valeur.
Par suite, on peut en déduire Eo, tel que Eo= E2 + (Z2 x I1)
Il nous manque I1, on va donc le calculer :
Ce calcul résulte purement est simplement de la loi
d’Ohm.
Calculons, Eo :
5. On conclut
Eo = 8V
Zo = 12j
L’énoncé du problème demandait de calculer U et I, le modèle équivalent de Norton nous permet de
nous ramener à un circuit à une seule branche, nous facilitant grandement les calculs.
L’usage veut qu’on refasse un schéma :
Pour calculer U, on applique le diviseur de tension.
Pour ceux qui ne connaîtraient toujours pas ces formules, en voici un rappel :
Diviseur de tension = Tension d’entrée x ( Résistance(s) concernée(s) / Total des résistances )
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On applique ici, la méthode diviseur de tension, car on ne connaît pas le
courant i, mais nous sommes en mesure de le calculer.
Calculons, le courant i :
Ce calcul résulte simplement de la loi d’ohm, à la simple différence prés que
nous avons deux résistances (elles s’additionnent, car disposés en série).
Maintenant que nous avons obtenu la valeur du courant, nous pouvons calculer
la tension, sans passer par le diviseur de tension, mais simplement par la loi
d’Ohm.
Voyons ce que cela donne :
Le résultat est le même !
2. Le modèle équivalent de Norton
DEF
Tout DAL peut être modélisé par un MEN, constitué d’une source de courant Io (courant de
court-circuit), en parallèle avec une admittance.
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Note sur Norton : En recherchant Io, on court-circuite les sorties, ce qui se matérialise par un fil.
Sachez qu’un fil court-circuit tous les éléments parallèles à celui-ci :
3. Le théorème de superposition :
DEF
Il permet de calculer la tension, ou le courant, dans un circuit comportant une ou plusieurs
sources. Il ne s’applique que pour les circuits linéaires, et les sources commandées ne doivent
pas être passivés.
DEF
La tension, ou le courant aux bornes d’un dipôle AB comportant (n) sources autonomes, est la
somme des tensions aux bornes du dipôle, en considérant chaque source, les autres étant
éteintes.
Prenons le cas de l’amplificateur linéaire :
On cherche à exprimer Us, en fonction de U1, U2, R1, R2, R3 et R4.
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Dés que les schémas deviennent complexes, il est recommandé de faire un modèle équivalent de
Norton, ou de Thévnin, pour chaque source, et ensuite d’additionner les deux.
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4. Les sources commandés ou liées :
DEF
Une source commandée (ou liée), est une source qui dépend d’un courant ou d’une tension d’un
circuit.
Qu’en advient-il pour les théorèmes de Thévenin et Norton :
- Pour calculer Eo (avec Thévenin), et Io (avec Norton), rien ne change
- Pour calculer Zo (Thévenin) et Yo (Norton), on éteint les sources autonomes (comme on en a
l’habitude), mais on ne passive pas les sources autonomes, et on applique la méthode de résolution cidessous :
DEF
Afin de déterminer Zo, ou Yo, on branche aux bornes du dipôle A et B, une source de tension U,
délivrant un courant I. On cherche ensuite à exprimer I, en fonction de U.
Exemple :
Le générateur (∞i1), est une source commandée.
Nous cherchons à réaliser le Modèle équivalent de Norton, afin de simplifier l’étude :
Pour cela, commençons par calculer Yo :
On a I = U x Yo
On va chercher à exprimer I :
I = ∞i1 + i1 + ig
I = (U∞ / Rg ) + (U / Rg ) + (U / Zg)
I= U [ ( 1/ Zg) + (1+∞ / Rg) ]
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