Devoir 2

GBM2620 Thermodynamique statistique biomoléculaire
Devoir #2 (Automne 2016)
Distribué : le mercredi 7 septembre 2016
À remettre : le mercredi 21 septembre 2016
Nombre de problèmes qui seront corrigés : 6 problèmes sur 9
Problème 1: Expression de l’entropie d’un gaz parfait monoatomique
a) Montrer que le travail effectué sur un gaz est donné par δW = -PdV pour un processus
très lent (quasi-statique). Considérer un gaz dans un cylindre avec un piston qu’on
déplace très lentement.
b) Exprimer δQ en vous servant de la première loi de la thermodynamique et montrer que ce
n’est pas une différentielle exacte.
Rappel : Pour un gaz idéal monoatomique, U=3NkT/2
c) Montrer que la division par T de δQ permet d’obtenir une différentielle exacte et qu’il y a
donc une fonction d'état qui lui est associée. Cette fonction d’état est l’entropie.
d) Calculer le changement d’entropie associé à un processus quasi-statique qui fait passer le
gaz parfait de (T0, V0) à (Tf, Vf).
e) Est-ce que le processus qui fait passer le gaz parfait de (T0, V0) à (Tf, Vf) doit
nécessairement être quasi-statique pour que le changement d’entropie puisse être calculé
à partir de la relation trouvée ci-dessus en d ?
Problème 2 : Problème 1, Chapitre 4 de Molecular Driving Forces (MDF)
Problème 3 : Problème 6, Chapitre 4 de Molecular Driving Forces (MDF)
Problème 4 : Problème 8, Chapitre 4 de Molecular Driving Forces (MDF)
Problème 5 : Problème 14, Chapitre 4 de Molecular Driving Forces (MDF)
Problème 6 : Problème 1, Chapitre 5 de Molecular Driving Forces (MDF)
e) Est-ce que la température du système est nulle? Quelle serait la distribution de
probabilité si la température était nulle lorsque le champ est appliqué ou lorsque le champ
est nul?
Problème 7 : Problème 6, Chapitre 5 de Molecular Driving Forces (MDF)
Problème 8 : Problème 8, Chapitre 5 de Molecular Driving Forces (MDF)
Devoir #2: GBM2620 Thermodynamique statistique biomoléculaire, Automne 2016, M Buschmann & M
Lavertu
Problème 9 : Entropie du Cristal d’Einstein
Supposons un réseau cristallin de N atomes, tous discernables l’un de l’autre par leurs positions
spatiales, où chaque atome est un oscillateur harmonique quantique. Alors, l’énergie d’un atome
est
Er  (r 1 2) où r = 0, 1, 2, 3, ...
NOTE : r correspond à un niveau d’énergie, c’est un nombre quantique
L’énergie totale est E  n
  N  2 , où n est la somme de tous les quanta de  attribués
aux atomes.
On peut distribuer les n quanta d’énergie entre les N atomes. Le calcul du nombre des états est
équivalent à calculer combien il existe de façon de distribuer n balles indiscernables dans N
récipients discernables:
Considérez l’analogie suivante: N-1 balles blanches représentent les murs des récipients et n
balles noires représentent les quanta d’énergie. L’état ci-dessus est équivalent à l’arrangement
qui suit:

a) Pour un cristal d’Einstein dont les variables thermodynamiques (E, N) sont données, donnez


l’expression du nombre d’états W E, N .
n ln n n
b) En utilisant l’approximation de Stirling n! 2 n e
, pour n et N très grands,
montrez que l’entropie du cristal d’Einstein :
S  E, N  ln  E, N  

 f ( x)  ln(1 x)  x ln(11 x)
kN
N
où
x
n
 E N  1 2 .
N
Notons que x peut prendre des valeurs comprises entre 0 .
Devoir #2: GBM2620 Thermodynamique statistique biomoléculaire, Automne 2016, M Buschmann & M
Lavertu
c) Calculer l’expression de la température en utilisant dS / dE  1/ T . Recalculer l’expression de
E en fonction de T.
Indice : Utiliser la dérivation en chaîne.
d) Trouver E pour les cas limites T=0 et T=infini. Discuter ces résultats.
Devoir #2: GBM2620 Thermodynamique statistique biomoléculaire, Automne 2016, M Buschmann & M
Lavertu