Sans titre

Chapitre 10
Mécanique des systèmes ouverts
Tous les systèmes étudiés juqu’à maintenant n’échangeaient pas de matière avec le milieu extérieur et avaient
une masse constante. Ce n’est, cependant, pas le cas de tous les systèmes en mouvement. Une fusée, par exemple,
avance grâce aux réacteurs qui éjectent des gaz. L’étude de la propulsion va faire intervenir un système dit ouvert
car il échange de la matière avec l’extérieur. C’est aussi le cas pour une lance à incendie, un système d’arrosage
rotatif, etc. . . Mais les lois de la mécanique ont été établies pour des systèmes fermés. Comment les étendre aux
systèmes ouverts ? C’est encore à Euler que l’on doit la réponse.
10.1
Surface de contrôle
Considérons le cas d’une fusée qui éjecte des gaz pour avancer. Comment définir le système étudié ? Les gaz
qui sont sortis ne nous intéressent plus. On choisit comme système d’étude, la fusée et les gaz qu’elle contient
encore. Et comme il perd de la matière, on parle de système ouvert.
Quelle molécule de gaz sera incluse et quelle molécule sera exclue ? Où mettre la limite ? On définit le système
à l’aide d’une surface de contrôle fermée. Tout ce qui est à l’intérieur fait partie du système étudié, tout ce qui
est à l’extérieur n’en fait pas partie. Il peut y avoir une part d’arbitraire dans la définition du système étudié.
La surface de contrôle peut être en mouvement ou immobile, elle peut aussi être déformable. Pour simplifier,
nous ne considérerons ici que des systèmes indéformables. Oublions donc le cas du ballon de baudruche qui se
dégonfle !
Dans le cas de la fusée, les gaz éjectés sortent. Pour un réacteur d’un avion par exemple, ou pour un tuyau
d’arrosage, il y a aussi de la matière qui entre dans le système. Dans ce dernier cas, le fluide contenu dans ce
système est continuellement remplacé.
D’une manière générale, la surface de contrôle est traversée par un flux de matière entrant et/ou sortant. Sa
masse n’est donc pas forcément constante. Commençons donc par faire un bilan de masse.
10.2
Bilan de masse
Considérons un tuyau avec de l’eau qui entre à un bout et qui ressort de l’autre comme représenté sur la
figure 10.1. La surface de contrôle est définie par les sections en Se et Ss et la surface latérale. Elle est représentée
par un trait épais.
Considérons maintenant le fluide contenu dans cette surface de contrôle à la date t. A la date t + dt, il se
sera déplacé vers la droite sur le dessin. Cette masse de fluide qui se déplace forme un système fermé. Suivre
son mouvement relève d’une description lagrangienne. En revanche, la surface de contrôle, quant à elle, reste
immobile et est ouverte. A la date t + dt, du fluide sera entré et sorti par les sections à chacune des extrémités.
Cette vision correspond à une approche dite eulérienne.
La masse du système fermé ne varie pas, alors que pendant un temps dt, la masse du système ouvert a varié.
De combien ? Considérons la section en entrée. Le volume de fluide qui entre pendant un temps dt est ue dt ⇥ Se
où ue est la vitesse relative du fluide en entrée par rapport au système que l’on suppose uniforme sur la section
96
CHAPITRE 10. MÉCANIQUE DES SYSTÈMES OUVERTS
97
Figure 10.1 – Ecoulement dans un tuyau. La surface de contrôle est en noir. La matière qui a pénétré dans
le système pendant le temps dt est à gauche en rouge. La matière qui est sortie du système pendant ce même
temps est à droite en orange.
Se . Et donc la masse de fluide qui entre pendant le temps dt est obtenue en multipliant ce volume par la masse
volumique ⇢e : dme = ⇢e Se ue dt.
e
Si l’on définit le débit massique en entrée Dm
comme étant la masse de fluide entrante par unité de temps,
e
e
= ⇢e Se ue . Dans le système international d’unités, le débit massique s’exprime en
dme = Dm
dt, avec Dm
kilogrammes par seconde. Il ne faut pas le confondre avec le débit volumique qui s’exprime en mètres cubes par
seconde.
On aurait pu trouver ce résultat à partir de la définition du vecteur courant, déjà vu en électricité. En
e
définissant je = ⇢e ue , le débit massique, à l’instar de l’intensité de courant, correspond au flux de je , Dm
= j e Se .
On a bien la même expression.
Attention, comme la surface de contrôle peut se déplacer, c’est la vitesse relative par rapport à la surface
qu’il faut prendre pour estimer le débit. On la note u.
On peut faire exactement la même chose avec la masse perdue à la sortie. Finalement, si l’on note M la
masse du système ouvert défini par la surface de contrôle, cette masse varie pendant un temps dt de
dM = me
ms = ⇢e ue Se dt
e
⇢s us Ss dt = (Dm
s
Dm
)dt,
(10.1)
où l’indice e correspond à l’entrée et l’indice s, à la sortie. Les vitesses ue et us sont des vitesses relatives par
rapport à la frontière. L’expression avec le débit massique, Dm , est plus commode.
10.3
Bilan de quantité de mouvement
Pour étudier le mouvement d’un système ouvert, il nous faut généraliser la relation fondamentale de la
dynamique qui n’est valable que pour des systèmes fermés. Pour cela, on va relier les quantités de mouvement
de ces deux systèmes pour en déduire une nouvelle loi qui découle du théorème d’Euler pour les systèmes ouverts.
CHAPITRE 10. MÉCANIQUE DES SYSTÈMES OUVERTS
10.3.1
98
Théorème d’Euler pour les systèmes ouverts
Reprenons l’étude du tuyau qui nous a servi à faire le bilan de masse pour faire, cette fois-ci, un bilan de
quantité de mouvement entre les dates t et t + dt. L’eau qui est contenue dans la surface de contrôle à la date
t s’est déplacée à la date t + dt. Le contenu de la surface de contrôle constitue donc un système ouvert. En
revanche, l’eau qui était contenue dans la surface et qui s’est déplacée, constitue, quant à elle, un système fermé
auquel on pourra appliquer la physique apprise jusqu’à maintenant.
A la date t, les systèmes ouverts et fermés sont confondus, leurs quantités de mouvement sont égales,
p~f (t) = p~o (t).
(10.2)
Mais à la date t + dt, ils di↵èrent. D’après la figure 10.1, on a
p~o (t + dt) = p~f (t + dt)
s
e
Dm
dt~vs + Dm
dt~ve .
(10.3)
On a supposé ici, que toute la matière entrante a la vitesse ~ve et toute la matière sortante, la vitesse ~vs . Il s’agit
bien des vitesses absolues par rapport au référentiel d’étude ici. En revanche, pour les débits, ce sont toujours
les vitesses relatives qu’il faut utiliser. Si la surface de contrôle est immobile, ce sont les mêmes vitesses. Pas si
elle se déplace.
En soustrayant l’équation à la date t à celle à la date t + dt, il vient,
d~
po
d~
pf
=
dt
dt
s
e
Dm
~vs + Dm
~ve .
(10.4)
La relation fondamentale de la dynamique peut être appliquée au système fermé et permet d’écrire que
X
d~
pf
=
F~ext .
dt
(10.5)
On en déduit, pour le système ouvert qui nous intéresse, que
X
d~
po
e
=
F~ext + Dm
~ve
dt
s
Dm
~vs .
(10.6)
Cette relation correspond au théorème d’Euler pour les systèmes ouverts.
po
~
En cas d’écoulement stationnaire, d~
dt = 0. On peut donc en déduire la somme des forces extérieures subies
par le système ouvert.
Voyons quelques applications classiques.
10.3.2
Tuyau rectiligne
Pour un tuyau rectiligne uniforme comme représenté sur la figure 10.1, le débit et la vitesse d’écoulement
sont identiques en entrée et sortie en cas d’´coulement stationnaire. La masse du système est donc constante et
les termes additionnels de la relation d’Euler se compensent.
En revanche, si le tuyau n’est pas rectiligne, ~ve et ~vs n’ont plus la même direction et ces termes ne se
compensent plus, même si les débits et les normes des vitesses sont identiques. Il faut une force extérieure pour
modifier la quantité de mouvement de l’eau. Un tuyau souple se redressera. La fixation d’un tuyau non rectiligne
devra donc compenser la poussée due à l’écoulement.
10.3.3
Tapis roulant
Etudions maintenant un tapis roulant représenté sur la figure 10.2. Des objets tombent sur le tapis et sont
entraı̂nés. On supposera, pour simplifier, que le flux de matière est constant, comme si c’était du sable, par
exemple.
Considérons donc, comme système ouvert, la surface de contrôle représentée sur la figure 10.2. Comme, à
chaque instant, il y a autant d’objets qui entrent dans la surface de contrôle que d’objets qui en sortent, la
masse du système ouvert étudié est donc constante. On notera donc Dm le débit massique en entrée et en sortie.
CHAPITRE 10. MÉCANIQUE DES SYSTÈMES OUVERTS
99
Figure 10.2 – Tapis roulant. La zone en pointillés représente la surface de contrôle choisie.
Les objets arrivent dans la surface de contrôle avec une vitesse verticale et ressortent avec une vitesse
horizontale. Une force a donc modifié leur quantité de mouvement. QueP
vaut-elle ?
po
~0 et donc, en notant
Comme le mouvement est stationnaire, d~
=
F~ext la somme des forces extérieures
dt
appliquées au système, on a, en appliquant la relation d’Euler,
X
~0 =
F~ext + Dm~ve Dm~vs .
(10.7)
En projetant sur l’axe horizontal, on obtient la force d’entraı̂nement du tapis :
Fh = D m v s .
(10.8)
La vitesse de sortie correspond à celle du tapis.
10.3.4
Application à la fusée
Une fusée, de masse M , avance en éjectant des gaz avec une vitesse relative ~u. Contrairement aux exemples
précédents, la surface de contrôle est en mouvement et la masse de la fusée n’est pas constante. La situation est
donc un peu plus compliquée.
Considérons le volume de la fusée comme système et commençons par faire un bilan de masse. Il n’y a pas
e
s
de gaz qui pénètre et donc Dm
= 0. La masse totale de la fusée varie et dM = Dm
dt, comme on l’a vu. On
dM
s
en déduit que Dm = dt . Cela signifie que pendant un temps dt, la fusée éjecte dM .
En choisissant le référentiel terrestre comme référentiel d’étude supposé galiléen, les gaz sont éjectés à la
vitesse absolue ~v + ~u, où ~v est la vitesse de la fusée. Enfin, on va supposer que la seule force extérieure appliquée
est le poids, M~g .
L’application du théorème d’Euler, équation (10.6), conduit à
d~
po
dM
= M~g +
(~v + ~u).
dt
dt
(10.9)
CHAPITRE 10. MÉCANIQUE DES SYSTÈMES OUVERTS
100
Comme p~o = M~v et que, dans cet exemple, la masse M varie, il faut faire attention en dérivant la quantité
de mouvement,
d~
po
d~v dM
=M
+
~v .
(10.10)
dt
dt
dt
L’équation d’Euler conduit donc à
d~v
dM
M
= M~g +
~u.
(10.11)
dt
dt
Le terme dM
u apparaı̂t donc comme un “terme de poussée”. Comme dM
u est opposé à ~v , ce nouveau
dt ~
dt < 0 et ~
terme tend bien à accroı̂tre la vitesse de la fusée. Bien évidemment, la fusée ne va décoller que si la force de
poussée est plus forte que le poids.
En supposant que la pesanteur ~g est uniforme et que ~u, la vitesse relative des gaz éjectés, est constante,
ce qui n’est pas le cas dans la réalité, on peut intégrer facilement l’équation précédente pour trouver la vitesse
finale de la fusée,

Mf
~vf = ~vi + ln
~u + ~g t.
(10.12)
Mi
Ce résultat porte le nom d’équation de Tsiolkovski.
Avec les technologies actuelles, on peut montrer que l’on ne peut pas s’a↵ranchir du champ de pesanteur de
cette façon et qu’il est nécessaire d’avoir une fusée à étage. C’est à dire que les “boosters” sont largués quand
ils sont vides afin d’alléger la fusée de masses inutiles. Un autre système prend alors le relais pour communiquer
une vitesse plus élevée à une fusée plus légère.
10.3.5
Cas d’un réacteur d’avion
Pour un avion, c’est di↵érent, car de l’air entre dans les réacteurs avant d’être rejeté avec une vitesse plus
élevée. A cela s’ajoutent les gaz issus de la combustion que l’on va négliger. Ainsi, le débit à l’entrée est le
même qu’à la sortie et la masse de l’avion est constante. On note le débit Dm et la masse de l’avion M . Comme
précédemment, on note ~u la vitesse relative des gaz à la sortie et ~v la vitesse de l’avion.
On peut alors faire l’étude dans le référentiel de l’avion, qui n’est pas galiléen, ou dans le référentiel terrestre,
qui l’est. Pour simplifier, on supposera qu’il n’y a pas de vent.
Etude dans le référentiel de l’avion
L’avion est immobile dans son propre référentiel et donc, p~o = ~0. Les gaz entrent à la vitesse
à la vitesse ~u. Il faut aussi prendre en compte les forces d’inertie. On a donc
d~
po ~ X ~
=0=
Fext + Dm ( ~v )
dt
Dm ~u
~v et ressortent
M~a.
Le dernier terme correspond à la force d’inertie d’entraı̂nement. Finalement,
X
M~a =
F~ext Dm (~v + ~u).
(10.13)
(10.14)
Le dernier terme correspond la poussée de l’avion.
Etude dans le référentiel terrestre
On peut refaire la même chose dans le référentiel terrestre, absolu. La vitesse des gaz à l’entrée est nulle s’il
n’y a pas de vent. En revanche, à la sortie, la vitesse absolue vaut ~v + ~u. Il n’y a pas de force d’inertie. On a
donc
X
d~
po
=
F~ext Dm (~v + ~u).
(10.15)
dt
Comme on a négligé la contribution des gaz de combustion,
dM
dt
= 0 et l’on retrouve l’équation (10.14).
CHAPITRE 10. MÉCANIQUE DES SYSTÈMES OUVERTS
101
Poussée et vitesse stationnaire
Attention, lors de l’application numérique, ~u et ~v sont de sens contraire. L’avion n’est propulsé que si la
vitesse relative des gaz éjectés est supérieure à la vitesse absolue de l’avion.
L’équation (10.14) est une équation di↵érentielle du premier ordre qui peut être résolue analytiquement avec
quelques approximations. Pour simplifier, on va supposer que l’avion vole horizontalement et que la force de
portée compense le poids. Il reste une force extérieure horizontale due aux frottements fluides, égale à f~v . La
projection de l’équation (10.14) sur l’axe horizontal orienté dans le sens du mouvement conduit donc à
M
dv
=
dt
fv
Dm v + Dm u.
(10.16)
La solution stationnaire, qui correspond aux temps longs, est
v=
Dm
u.
f + Dm
(10.17)
Il est peu réaliste d’étudier le régime transitoire avec l’hypothèse que l’avion a une trajectoire horizontale. Si le
coefficient de frottement est faible devant Dm , la vitesse de croisière de l’avion est limitée à u. Les gaz sortent
alors avec une vitesse absolue nulle.
10.4
Bilan de moment cinétique
Vous avez sûrement déjà observé des tourniquets d’arrosage ou des feux d’artifice qui tournent sous l’action
d’un jet de matière. Pour étudier le mouvement de rotation sur lui-même, nous allons devoir aussi étendre
le théorème du moment cinétique aux systèmes ouverts. Pour cela, nous allons suivre la même démarche que
précédemment.
10.4.1
Théorème
Comme vous pouvez l’imaginer, nous allons calculer le moment cinétique du jet cette fois-ci et plus sa
quantité de mouvement. La distance à l’axe de rotation entre donc en compte. Pour simplifier, nous allons donc
supposer que le jet de matière est très fin par rapport à la distance à l’axe. Par ailleurs, nous allons considérer
un système plus général avec de la matière entrant et sortant comme représenté sur la figure 10.3.
On va reprendre exactement la même démarche que pour la quantité de mouvement.
Le système ouvert est délimité par la surface de contrôle représentée sur la figure 10.3. A la date t, les
systèmes ouverts et fermés coı̈ncident. Leurs moments cinétiques sont donc identiques. Ce n’est plus le cas à la
date t + dt où l’on a
!
!
s
e
~ o (t + dt) = ~ f (t + dt) OS ^ Dm
dt ~vs + OE ^ Dm
dt ~ve .
(10.18)
Cette expression n’est valable que si la section à travers laquelle coule le fluide est faible par rapport à la distance
à l’axe. On suppose aussi que toute la matière entre à la même vitesse ~ve et sort à la vitesse ~vs . Autrement, il
faut calculer une intégrale.
En retranchant ~ o (t) = ~ f (t) de chaque côté et en divisant par dt, on obtient
d~ o
d~ f
=
dt
dt
!
!
s
e
OS ^ Dm
~vs + OE ^ Dm
~ve .
(10.19)
Et comme on peut appliquer le théorème du moment cinétique au système fermé, on a, finalement,
X
!
d~ o
e
~ ~
=
M
ve
Fext /O + OE ^ Dm ~
dt
!
s
OS ^ Dm
~vs .
(10.20)
Cette expression, qui n’est valable que si le point de référence O est fixe dans un référentiel galiléen, ressemble
beaucoup à l’expression trouvée avec la quantité de mouvement.
Là encore, les vitesses ~ve et ~vs sont des vitesses absolues alors que les débits en entrée et sortie sont calculés
avec les vitesses relatives par rapport à la surface de contrôle.
CHAPITRE 10. MÉCANIQUE DES SYSTÈMES OUVERTS
102
Figure 10.3 – Représentation shématique d’un système tournant avec entrée et sortie de matière.
10.4.2
Arrosage à tourniquet
Appliquons ce résultat à un système d’arrosage à tourniquet représenté figure 10.4 : l’eau arrive par le bas
suivant l’axe de rotation et ressort dans les deux bras, en A et en B.
Le système ouvert étudié est défini par la zone en bleu de la figure. Il subit une force de frottement fluide,
~ = k~
comme toute machine tournante qui se traduit par un couple de forces M
! avec !, la vitesse de rotation
du tourniquet. Le poids et la réaction du support ont un moment nul.
Comme le débit en entrée est égal au débit total en sortie, la masse contenue dans le système ouvert est
constante, ainsi que son moment d’inertie par rapport à l’axe de rotation. Si l’on note Dm le débit total qui
entre dans le tourniquet, il ressort Dm /2 dans chaque bras.
Regardons maintenant les vitesses en entrée et sortie. Si l’on note u la norme de la vitesse relative de l’eau
dans la canalisation, en supposant qu’elle est constante et uniforme, la vitesse en entrée, ve = u. En sortie, la
vitesse relative vaut ~us = u~u✓ et la vitesse absolue ~vs = (R! u)~u✓ où R est la longueur d’un bras.
L’application du théorème du moment cinétique conduit donc à
d~ o
dt
=
k~
!
=
k~
!
! Dm
OA ^
(R! u)~u✓
2
Dm R(R! u)~uz .
! Dm
OB ^
(R!
2
u)~u✓
(10.21)
(10.22)
En projetant sur l’axe vertical orienté vers le haut, on obtient une équation di↵érentielle
I !˙ =
k! + RDm (u
R!).
(10.23)
L’éjection d’eau par le tourniquet entraı̂ne un couple de force qui agit sur le système et qui est égal à RDm (u
R!).
La résolution de cette équation di↵érentielle du premier ordre est facile et donne
✓

◆
Dm Ru
k + R 2 Dm
!(t) =
1 exp
t ,
(10.24)
k + R 2 Dm
I
CHAPITRE 10. MÉCANIQUE DES SYSTÈMES OUVERTS
103
Figure 10.4 – Représentation shématique d’un tourniquet hydraulique.
en supposant que !(0) = 0.
Si Dm = 0, le tourniquet est immobile. C’est bien l’eau éjectée qui fait tourner le tourniquet. Pas besoin de
moteur.
Pour des temps longs, la vitesse de rotation tend vers une valeur constante
!=
Dm Ru
.
k + R 2 Dm
(10.25)
Même en l’absence de frottement (k = 0), la vitesse de rotation est limitée et vaut ! = u/R. Dans ce cas, la
vitesse absolue de sortie de l’eau vs = 0 ! Ce n’est pas très pratique pour arroser une pelouse. Il faut donc que
le tourniquet résiste à la force de poussée due à l’eau. C’est le rôle de la force de frottement. Si k 6= 0 la vitesse
absolue de l’eau à la sortie du tourniquet vaut
vs =
ku
.
k + R 2 Dm
(10.26)
Si le coefficient de frottement est grand, la vitesse absolue de l’eau vs ! u, ce qui se comprend bien car le
tourniquet ne tourne presque plus et ! devient petite. Ici, le seul intérêt de la rotation est de ne pas toujours
arroser au même endroit.
10.4.3
Turbine hydraulique
Le système précédent, en le raffinant un peu, peut servir à faire tourner une turbine et produire de l’électricité.
La force de poussée devient donc une force motrice qui actionne un moteur.
Mais le moteur ne tourne pas à vide. Imaginons que l’on veuille produire de l’électricté par induction. La
force électromotrice est proportionnelle à la dérivée du flux coupé et donc à la vitesse de rotation !. Cela induit
un couple de forces similaire au couple de frottements fluides du tourniquet. On peut aussi imaginer un couple
~ r le couple résistant.
résistant constant et refaire les calculs, voire les deux. Dans la suite, nous noterons M
Dans tous les cas, pour que la puissance transmise soit élevée, il faut que le débit soit élevé. Ce n’est pas le
cas avec le tourniquet précédent et il faut optimiser le dispositif.
Nous allons étudier la roue à aube de la figure 10.5 qui peut servir comme turbine ou comme pompe à eau.
Dans le premier cas, c’est le débit d’eau qui fait tourner la roue, comme pour le tourniquet, alors que dans le
deuxième cas, c’est la rotation de la roue qui fait couler l’eau par la force centrifuge. Dans les deux cas, l’eau
entre par le centre et ressort sur les côtés. On va supposer que la roue tourne autour d’un axe vertical à la
vitesse angulaire !.
Considérons ce qui se passe dans une aube représentée sur la figure 10.6. Le débit en entrée est égal au débit
en sortie. La masse et le moment d’inertie sont donc constants. S’il y a n aubes, le débit dans une aube est égal
à Dm /n. Mais quand on sommera sur toutes les aubes, il faudra multiplier par n. On peut donc ne considérer
qu’une aube avec un débit Dm , car c’est équivalent à la roue complète.
CHAPITRE 10. MÉCANIQUE DES SYSTÈMES OUVERTS
104
Figure 10.5 – Photo d’une roue à aube pour pompe à eau. (Photo extraite du sujet de physique du CAPES
2013).
On note ~ue et ~us les vitesses relatives par rapport à la roue de l’eau en entrée et en sortie. Pour obtenir les
vitesses absolues, il faut ajouter la vitesse d’entraı̂nement en entrée et en sortie, ~vee = Re !~u✓ et ~vse = Rs !~u✓
pour obtenir :
~ve = ~ue + ~vee
et
~vs = ~us + ~vse .
(10.27)
Le théorème du moment cinétique s’écrit finalement,
d~ o
dt
=
~ r + Dm (R
~ e ^ ~ve
M
=
~ r + Dm (Re ve✓
M
~ s ^ ~vs )
R
(10.28)
Rs vs✓ )~uz ,
(10.29)
où ve✓ et vs✓ sont les composantes orthoradiales des vitesses correspondantes.
En régime stationnaire, la dérivée du moment cinétique est nulle et l’on a finalement,
~ r = Dm (Rs vs✓
M
Re ve✓ )~uz .
(10.30)
La puissance correspondante s’écrit
~r ·!
M
~ = Dm (Rs vs✓
Re ve✓ )! = Dm (vse vs✓
vee ve✓ ).
(10.31)
Il s’agit de la relation d’Euler des turbo-machines qui est utilisée par les spécialistes du domaine.
~ r est le couple de forces qui s’exerce sur l’eau du système ouvert, et donc la puissance
Dans ce calcul, M
correspondante est reçue par cette eau. Si l’on traite d’une pompe à eau, c’est donc la puissance fournie par
la pompe. En revanche, si l’on étudie une turbine, on s’intéresse à la puissance fournie par l’eau. C’est donc
l’inverse qu’il faut calculer.
Figure 10.6 – Schéma de la roue à aube avec les vitesses relatives de l’eau en entrée et en sortie.
CHAPITRE 10. MÉCANIQUE DES SYSTÈMES OUVERTS
10.5
English vocabulary
systèmes ouverts
débit de masse
masse volumique
vitesse relative de sortie
poussée (force de)
fusée
équation de Tsiolkovski
régime permanent
open systems
mass flow rate
density
velocity of the exhaust in the moving frame
thrust
rocket
Tsiolkovsky Rocket Equation or rocket equation or ideal rocket equation
steady state
105