TIPE Le théor`eme des nombres premiers : approche par les

TIPE
Le théorème des nombres premiers :
approche par les fonctions holomorphes
Céline Nadal
Préliminaires
I La fonction ζ de Riemann
II Le théorème des résidus
III Le théorème des nombres premiers
1
Préliminaires
Le théorème des nombres premiers donne un équivalent en l’infini de π(x),
le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x : π(x) ∼ lnxx (cela
revient à donner un équivalent du nième nombre premier : pn ∼ n ln n).
Il existe plusieurs démonstrations de ce théorème. La preuve présentée
ici est historiquement la première, celle de Hadamard et La Vallée Poussin
(1896). Elle s’appuie sur l’étude de la fonction ζ de Riemann en faisant
appel à la théorie des fonctions holomorphes.
1 Les fonctions π et ψ
Définitions :
π(x) =
X
ψ(x) =
1
p≤x
avec :
(
Λ(n) =
X
Λ(n)
n≤x
ln p si n = pν ν ≥ 1
0
sinon
Théorème :
lim inf
π(x) ln x
x
= lim inf
ψ(x)
x
lim sup
π(x) ln x
x
= lim sup
ψ(x)
x
x→∞
x→∞
x→∞
x→∞
Corollaire : les propriétés suivantes sont équivalentes
(i) π(x) ∼
(ii)
x
ln x
ψ(x) ∼ x
Cette équivalence permet une démonstration du théorème des nombres premiers par l’étude de la fonction ψ dont on verra qu’ elle est directement liée
à la fonction ζ de Riemann.
Proposition :
X x
ψ( ) = ln([x]!)
n
n≤x
Les fonctions x → ln([x]!) et ψ constituent alors un µ-couple de Möbius.
A l’aide de la formule de Stirling, ln([x]!) = x ln x − x + O(xβ ), 0 < β < 1,
on montre le deuxième théorème de Tchebytchef :
ψ(x) = O(x)
2
(1)
2 Formule sommatoire d’Abel
Théorème
Soit (an ) une suite de complexes, soit φ : [1, ∞[−→ ƒ une application C 1
P
pour x > 1 ; soit A(x) = n≤x an ; alors, pour tout x ≥ 1,
Z x
X
an φ(n) = A(x) φ(x) −
A(u) φ0 (u) du
(2)
1
n≤x
Dém. :
A(x) φ(x) −
X
an φ(n) =
n≤x
=
X
=
Z
=
X
an [φ(x) − φ(n)]
n≤x
x
Z
an
φ0 (u) du
n
n≤x
xX
an φ0 (u) du
1 n≤u
Z x
A(u) φ0 (u) du
1
Corollaire : avec les mêmes hypothèses, si de plus lim A(x) φ(x) = 0,
x→∞
alors
Z
∞
∞
X
an φ(n) = −
(3)
A(u) φ0 (u) du
1
n=1
sous réserve d’existence de l’un des deux membres de l’égalité.
1
La fonction ZETA de Riemann
Définition :
ζ(s) =
∞
X
s = σ + it
n−s
σ>1
n=1
(la série converge absolument pour σ > 1, et normalement pour σ ≥ 1 + δ,
δ > 0).
Prop.
Y
ζ(s) =
(1 − p−s )−1
p
3
1.1
Les fonctions holomorphes
Soit f : Ω → ƒ, Ω ouvert de ƒ.
Définition
on dit que f est holomorphe dans l’ouvert Ω si
∀z0 ∈ Ω, ∃ lim
z→z0
f (z) − f (z0 )
= f 0 (z0 ).
z − z0
On note H(Ω) l’ensemble des fonctions holomorphes dans Ω.
Proposition
si ( f, g) ∈ H(Ω)2 , alors f + g et f g sont holomorphes dans Ω.
Si g ∈ H(Ω1 ) et f ∈ H(Ω2 ), avec g(Ω1 ) ⊂ Ω2 , alors f og ∈ H(Ω1 ).
Proposition
Si f est développable en série entière dans Ω, alors f ∈ H(Ω).
Application : ln(1 + z) est holomorphe pour |z| < 1.
On admet ici que ζ est holomorphe pour σ > 1. Ceci est une conséquence
de la formule de Cauchy qui sera présentée en II.
Définition (pôle)
Soit f ∈ H(Ω\{a}), on dit que f a un pôle d’ordre m en a si ∃ (c1 , ..., cm ) ∈ ƒm , cm , 0,
tq.
m
X
ck
f (z) −
(z − a)k
k=1
se prolonge en fonction holomorphe dans Ω.
On dit que c1 est le résidu de f en a, on note c1 = Res( f, a).
Définition (zéro)
soit f ∈ H(Ω), a ∈ ƒ est appelé zéro de f si f (a) = 0.
4
1.2
ζ et le théorème des nombres premiers
ζ n’a pas de zéro dans le 1/2 plan σ > 1, on peut donc en prendre le
logarithme (détermination principale) :
X
ln ζ(s) = −
ln(1 − p−s )
p
On dérive au sens des fonctions holomorphes (dérivation complexe):
X
ζ 0 (s)
= −
p−s ln p (1 − p−s )−1
ζ(s)
p
= −
X
p−s ln p
X
∞
X
ln p
p−νs
ν=1
p
X
= −
p−νs
ν=0
p
= −
∞
X
n≥1, n=pν
∞
X
ln p
Λ(n)
= −
s
n
ns
n=1
On pose
Z(s) = −
Or, par définition : ψ(x) =
ζ est donc très liée à ψ.
1.3
P
∞
X
Λ(n)
ζ 0 (s)
=
ζ(s)
ns
n=1
n≤x
(4)
Λ(n)
Relation entre Z et ψ
Rx
On pose ψ1 (x) = 1 ψ(u) du pour x ≥ 1
Théorème : pour s = σ + it et σ > 1,
Z ∞
dx
Z(s) = s(s + 1)
ψ1 (x) s+2
x
1
P∞ Λ(n)
Dém. : σ > 1, Z(s) = n=1 ns . On applique (3) (Abel) à :
X
an = Λ(n)
A(x) =
an = ψ(x)
n≤x
φ(x) =
A(x)φ(x) =
1
xs
ψ(x) x→∞
−→ 0
xs
5
(5)
car ψ(x) = O(x). D’où
Z(s) =
∞
X
∞
an φ(n) = −
Z
= s
Z
A(u)φ0 (u) du
1
n=1
∞
1
ψ(u)
du
u s+1
Intégrons par parties :
ψ1 (x)
Z(s) = s [ s+1 ]∞
1 + s(s + 1)
x
∞
Z
1
ψ1 (u)
du
u s+2
ψ(x) = O(x) ⇒ ψ1 (x) = O(x2 )
donc
ψ1 (x) x→∞
−→ 0.
x s+1
De plus ψ1 (1) = 0 d’où (5).
Par inversion de la formule, on montrera que, pour x ≥ 1 et c > 1 :
ψ1 (x) =
1.4
1
2iπ
Z
c+i∞
c−i∞
Z(s)
x s+1 ds
s(s + 1)
Prolongement analytique de ζ
Théorème
On peut prolonger ζ de façon holomorphe au 1/2 plan σ > 0 privé de s = 1
en lequel le prolongement a un pôle simple de résidu 1.
P
1
Dém. : soit σ > 1 ; ζ(s) = ∞
n=1 n s
On applique (3) (Abel) à
an = 1
1
φ(x) =
xs
avec A(x)φ(x) =
[x]
xs
A(x) = [x]
x→∞
≤ x1−s −→ 0 car Re(1 − s) = 1 − σ < 0 :
Z ∞
∞
X
1
A(u) φ0 (u) du
=
−
s
n
1
n=1
Z ∞
[u]
= s
du
s+1
1 u
ζ(s) =
6
et comme [u] = u − {u}, pour σ > 1
s
ζ(s) =
− s
s−1
∞
Z
1
{u}
du
u s+1
1
Or | u{u}
s+1 |≤ u s+1 est intégrable sur [1, +∞[ pour σ > 0, et, u étant fixé,
s → u{u}
s+1 est holomorphe pour σ > 0.
Le prolongement de ζ est donc holomorphe pour σ > 0, s , 1 (on applique
le théorème de convergence dominée qui reste valable pour la dérivation
complexe).
1.5
Zéros de ζ
Théorème
ζ n’a pas de zéro pour σ ≥ 1.
Démonstration
Pour σ > 1, ζ(s) =
σ > 1.
P∞
1
n=1 n s
=
Q
p
(1 − p−s )−1 , donc ζ n’a pas de zéro pour
Cas σ = 1 :
(a) ∀σ > 1, | ζ(σ) |3 | ζ(σ + it) |4 | ζ(σ + 2it) | ≥ 1.
Preuve :
ln ζ(σ + it) = −
X
−(σ+it)
ln(1 − p
) =
∞
XX
ν−1 p−ν(σ+it)
p ν=1
p
ln | ζ(σ + it) | = Re(ln ζ(σ + it))
∞
XX
=
ν−1 p−νσ cos(νt ln p)
p ν=1
or 0 ≤ 2(1 + cos φ)2 = 3 + 4 cos φ + cos 2φ
donc 3 ln | ζ(σ) | +4 ln | ζ(σ + it) | + ln | ζ(σ + 2it) |≥ 0.
7
(b) Par l’absurde : supposons qu’il existe t0 tel que ζ(1 + it0 ) = 0.
Alors t0 , 0, car s = 1 est un pôle de ζ.
1
Pour σ > 1, σ → 1, ζ(σ) = O( σ−1
).
ζ(1 + it0 ) = 0 et ζ holomorphe (σ > 0, s , 1), donc pour σ → 1,
ζ(σ + it0 ) = O(σ − 1), et
ζ(σ + 2it0 ) = O(1) car ζ holomorphe. Dès lors
| ζ(σ) |3 | ζ(σ + it0 ) |4 | ζ(σ + 2it0 ) | = O(
1
. (σ − 1)4 . 1) = O(σ − 1)
(σ − 1)3
ce qui tend vers 0 pour σ → 1, et donc contredit (a).
2
Le théorème des résidus
2.1
Intégrale sur un chemin
Définitions
• γ : [α, β] −→ ƒ est un chemin si γ est continu de classe C 1 par
morceaux.
Par définition,
Z
f (z)dz =
γ
Z
α
β
f (γ(t)) γ 0 (t) dt
• γ est fermé si γ(α) = γ(β).
Proposition
si f ∈ H(Ω) et f 0 C 0 sur l’ouvert Ω, et γ chemin fermé dans Ω, alors
Z
f 0 (z)dz = 0.
γ
Application :
Z
γ
zn dz = 0
pour
n ∈ š\{−1}
0 < γ∗
8
Proposition
∗
∗
Soient γ chemin
R dζ (γ = γ[α, β]) et Ω un ouvert tq. γ ∩ Ω = ø. Alors
f (z) = γ ζ−z est développable en série entière dans Ω.
Dém.
∀z ∈ D(a, r) ⊂ Ω,
+∞
X
(z − a)n
1
=
ζ−z
(ζ − a)n+1
n=0
(ζ ∈ γ∗ et inf ζ∈γ∗ | ζ − a | > r).
La série converge normalement sur γ∗ , donc
f (z) =
+∞
X
Z
γ
n=0
+∞
X
(z − a)n
dζ
=
cn (z − a)n
(ζ − a)n+1
n=0
dζ
γ (ζ−a)n+1
où cn =
R
2.2
Indice d’un point par rapport à un chemin γ fermé
Définition (indice)
On appelle indice du point z par rapport au chemin γ fermé le complexe :
Z
dζ
1
Indγ (z) =
2iπ γ ζ − z
pour z ∈ Ω, où Ω = ƒ − γ∗ .
Théorème
Soient γ un chemin fermé et Ω = ƒ − γ∗ .
On a alors les résultats suivants :
• Indγ (z) ∈ š
• Indγ est constant sur chaque composante connexe de Ω
• Indγ est nul sur la composante connexe non bornée de Ω.
9
Dém.
(a)
R t γ0 (s)
ds).
soit φ(t) = exp( α γ(s)−z
Indγ (z) ∈ š ⇔ φ(β) = 1
φ0 (t)
γ0 (t)
φ(t)
φ(t) = γ(t)−z , donc γ(t)−z est constant sur [α, β].
φ(α) = 1 donc φ(β) =
γ(β)−z
γ(α)−z
= 1 car γ est fermé.
(b)
z −→ Indγ (z) est holomorphe donc continue sur Ω.
Si C est une composante connexe de Ω, alors Indγ (C) est un connexe de
ƒ. Or Indγ (C) ⊂ š, donc Indγ (C) = {a}.
(c)
z→∞
Indγ (z) −→ 0, donc sur la composante connexe non bornée de Ω, Indγ est
nul.
Application : calcul de l’indice d’un point par rapport à un cercle.
Soit un cercle γ de centre a ∈ ƒ et de rayon r > 0. Alors
(
1 si | z − a | < r
Indγ (z) =
0 si | z − a | > r
Dém.
Soit z ∈ ƒ tq. | z − a |< r. Indγ (z) = Indγ (a).
Indγ (a) =
1
2iπ
Z
γ
dζ
1
=
ζ−a
2iπ
2π
Z
0
i r eit
dt = 1
r eit
car γ(t) = a + r eit , pour 0 ≤ t ≤ 2π, et γ0 (t) = i r eit .
On admet le théorème de Jordan : si γ est à points simples (injectif
sur [α, β[ ), γ∗ sépare l’espace en deux composantes connexes, l’une bornée,
l’autre non. On admettra que l’on peut montrer, par déformation continue
de γ, que dans ce cas, l’indice d’un point intérieur (appartenant à la composante connexe bornée) par rapport à γ vaut toujours 1.
10
2.3
Théorème de Cauchy dans un ensemble convexe
Théorème
Soit Ω un ouvert convexe de ƒ ; f ∈ H(Ω\{p}), C 0 sur Ω ; γ chemin fermé
dans Ω ; R
Alors γ f (z)dz = 0.
2.4
Théorème des résidus
Théorème
Soient Ω un domaine (ouvert, connexe) convexe,
(a1 , ..., an ) ∈ Ωn des points distincts,
f ∈ H(Ω\{a1 , ..., an }) tq
f a un pôle en ak pour tout 1 ≤ k ≤ n.
Soit γ un chemin fermé dans Ω tel que ∀k, ak < γ∗
Alors :
Z
n
X
1
f (z)dz =
Res( f, ak ) Indγ (ak ).
2iπ γ
k=1
Dém.
On note Qk la partie principale de f en ak . f − Q1 − ... − Qn est holomorphe
sur Ω\{a1 , ..., an }, et prolongeable en une fonction holomorphe sur Ω.
Donc d’après Cauchy,
R
γ
( f − Q1 − ... − Qn )dz = 0.
pour 1 ≤ j ≤ n fixé, Q j =
j
ck
γ (z−a j )k
R
j
ck
k=1 (z−a j )k
Pm j
j
, c1 = Res( f, a j ).
dz = 0 pour k ≥ 2 car a j < γ∗ .
Par définition de l’indice, Indγ (a j ) =
R
Q j dz = Res( f, a j ) Ind j (a j ).
γ
1
2iπ
R
dz
,
γ z−a j
donc
Application : formule de Cauchy dans un ensemble convexe
Soit γ un chemin fermé, Ω un ouvert convexe tel que γ∗ ⊂ Ω, et f ∈ H(Ω) ;
pour z ∈ Ω − γ∗ :
Z
1
f (ξ)
f (z) Indγ (z) =
dξ
(6)
2iπ γ ξ − z
11
On peut alors démontrer un théorème fondamental sur les fonctions holomorphes : toute fonction holomorphe dans Ω est développable en série entière dans Ω.
3
Théorème des nombres premiers
3.1
Application du théorème des résidus
On pose
E(x) = 0 si x ≤ 1
= x − 1 si x > 1
Théorème
(a) ∀σ > 0,
1
s(s+1)
=
R∞
E(x)
x s+2
0
dx
(b) si c > 0 fixé, alors ∀x ≥ 0,
1
E(x) =
2iπ
c+i∞
Z
c−i∞
x s+1
ds
s(s + 1)
Dém.
s+1
s+1
s+1
x
(b) f (s) = s(s+1)
= x s − xs+1 ∈ H(ƒ\{−1, 0})
Res( f, 0) = x, Res( f, −1) = −1
• x ≥ 1 : c > 0, T > 1, R =
√
c2 + T 2
on applique le théorème des résidus sur Γ ∪ [c − iT, c + iT ] (voir figure
1a)
Z
Z c+iT
1
1
f (s)ds +
f (s)ds = x − 1 = E(x)
2iπ Γ
2iπ c−iT
on prend la limite T −→ ∞
or
Z
|
Γ
f (s)ds | ≤
∞
(R ∼ T )
12
2πRx1+c T →∞
−→ 0
R(R − 1)
• 0 ≤ x < 1 : On applique le théorème des résidus sur Γ1 ∪ [c − iT, c + iT ] (voir figure
1b)
1
2iπ
Z
Γ1
1
f (s)ds +
2iπ
c+iT
Z
Or
Z
|
Γ1
f (s)ds = 0 = E(x)
c−iT
f (s)ds | ≤
2πRx1+R T →∞
−→ 0
R(R − 1)
(car x < 1).
3.2
Inversion de la formule liant Z et ψ1
On a montré en 1.3, pour σ > 1 :
Z(s) = s(s + 1)
∞
Z
ψ1 (x)
1
dx
x s+2
Théorème
∀x ≥ 1, ∀c > 1,
ψ1 (x) =
1
2iπ
Z
c+i∞
c−i∞
Z(s)
x s+1 ds
s(s + 1)
Dém.
Z(s) = −
or
|
xc+1 Λ(n)
Λ(n)x s+1
|
≤
n s s(s + 1)
nc (t2 + c2 )
donc
Z
c+i∞
c−i∞
(car t −→
∞ Z
X
n=1
xc+1 Λ(n)
nc (t2 +c2 )
c+i∞
c−i∞
∞
X
ζ 0 (s)
Λ(n)
=
ζ(s)
ns
n=1
Λ(n)x s+1
ds
n s s(s + 1)
pour
s = c + it
est définie
intégrable sur ’),
Z +∞
∞
X
Λ(n)x s+1
Λ(n)
xc+1
| s
| ds ≤
dt
2
2
n s(s + 1)
nc
−∞ (t + c )
n=1
|
{z
}
| {z }
Z(c)
13
K(x)
< ∞
Par le théorème de Fubini on a
Z c+i∞
Z(s)
x s+1 ds
s(s + 1)
c−i∞
Z c+i∞ x s+1
∞
∞
X
X
(n)
x
ds = 2iπ
nΛ(n) E( )
=
nΛ(n)
s(s
+
1)
n
c−i∞
n=1
n=1
X
X
x
= 2iπ
nΛ(n) ( − 1) = 2iπ
Λ(n) (x − n).
n
n≤x
n≤x
Appliquons (2) (Abel) avec : an = Λ(n), A(x) = ψ(x), et φ(x) = x.
Z x
Z x
A(u) φ0 (u) du =
ψ(u)du = ψ1 (x)
1
d’où
1
X
Λ(n) (x − n) = ψ1 (x)
n≤x
3.3
Choix d’un contour
On a
ψ1 (x)
1
=
2
2iπ
x
Z
c+i∞
c−i∞
Z(s) x s−1
ds
s(s + 1)
On pose
A(s) =
Z(s) x s−1
s(s + 1)
avec
Z(s) = −
ζ 0 (s)
ζ(s)
On se place sur Ω = {s = σ + it | σ > 0}.
x s−1
s(s+1) est holomorphe sur Ω.
Z est holomorphe en tout point s , 1 de Ω tel que ζ(s) , 0.
En s = 1 :
1
ζ(s) a un pôle simple en s = 1 : ζ(s) = s−1
+ h(s), avec h holomorphe
pour σ > 0.
1
ζ 0 (s) a donc un pôle double en s = 1 : ζ 0 (s) = − (s−1)
+ h0 (s), avec
2
0
h holomorphe pour σ > 0.
D’où :
ζ 0 (s)
1 − (s − 1)2 h0 (s)
Z(s) = −
=
ζ(s)
(s − 1)(1 + (s − 1)h(s))
Z a donc un pôle simple en 1 et : Res(Z, 1) = 1, Res(A, 1) = 1/2.
14
Pour déterminer l’équivalent de ψ1x(x)
en l’infini, on veut appliquer le théorème
2
des résidus sur un contour C délimitant une surface S telle que :
(a) S soit contenue dans le demi plan σ > 0
(b) l’unique pôle de Z (donc de A) dans S soit le pôle s = 1
(l’équivalent recherché est 1/2, ce qui correspond à Res(A, 1)).
Un pôle de Z en s ∈ Ω tq s , 1 est un zéro de ζ. On peut donc remplacer
(b) par : ζ(s) , 0 pour s ∈ S .
ζ n’a pas de zéro pour σ ≥ 1 ; mais on ne sait pas trouver facilement un
σ0 tel que ζ n’ait pas de zéro dans tout le demi plan σ ≥ σ0 . Cependant,
on peut se contenter d’un rectangle dans la zone 0 < σ ≤ 1.
Or (s − 1)ζ(s) est holomorphe pour σ > 0, donc pour tout T > 0, ζ a un
nombre fini de zéros dans l’intervalle −T ≤ t ≤ T , 0 < β ≤ σ < 1.
Par conséquent
∀T > 0, ∃ β ∈]0, 1[, ζ(σ + it) , 0 pour
β ≤ σ < 1.
− T ≤ t ≤ T,
(7)
On peut donc choisir pour contour la réunion de deux rectangles (voir
figure 2) :
C = {s = σ + it tq β ≤ σ ≤ 1 et − T ≤ t ≤ T } U {1 ≤ σ ≤ c et − T 0 ≤ t ≤ T 0 }
où T 0 > 0 qu’on fera tendre vers l’infini, et c > 1.
3.4
Théorème des nombres premiers
Théorème
Pour x → ∞,
ψ1 (x) ∼
1 2
x
2
(8)
Dém.
A(s) =
Z(s) x s−1
s(s + 1)
Soit > 0. On applique le théorème des résidus sur C :
1
1
=
[
2 2iπ
Z
A(s)ds +
HA
Z
A(s)ds +
Z
A(s)ds +
L(T,T 0 )
AB
15
Z
A(s)ds]
GH
(a)
Lemme : ∃ c0 > 0, ∃ β > 1, ∀σ ≥ 1, ∀t, | t | ≥ 8, | Z(σ + it) | ≤ c0 (ln |t|) β
On en déduit :
Z
T 0 →∞
A(s)ds = O(T 0−2 (ln T 0 )β ) −→ 0.
AB
De même pour GH.
Or
Z
Z
T 0 →∞
A(s)ds −→
AH
c+i∞
c−i∞
Z(s) x s−1
ψ1 (x)
ds = 2iπ 2
s(s + 1)
x
En prenant la limite T 0 → ∞ dans (a),
Z
ψ1 (x) 1
1
|
|
≤
|
−
A(s)ds |
2
2π
x2
L(T,∞)
On peut alors jouer sur le paramètre T qui peut être pris aussi grand que
l’on veut.
Z 1−i∞
Z 1+i∞
T →∞
|
A(s)ds | + |
A(s)ds | = O(T −1 (ln T )β ) −→ 0
1−iT
donc : ∃ T 1 , ∀T ≥ T 1 , |
1+iT
R 1−i∞
1−iT
A(s)ds | + |
R 1+i∞
1+iT
A(s)ds | ≤ π.
T ≥ T 1 étant fixé, on peut trouver un β(T ) vérifiant (7), ce qui détermine
le contour C.
Enfin, comme on s’intéresse au comportement de ψ en l’infini, on peut imposer à x d’être suffisamment grand.
Z
∃ X, ∀x ≥ X, |
A(s)ds | ≤ π
CDEF
donc pour x ≥ X,
|
π + π
ψ1 (x) 1
− |≤
≤ .
2
2
2π
x
CQFD.
16
A partir de l’équivalent (8) de ψ1 , primitive de ψ, on en déduit l’équivalent
de ψ :
ψ(x) ∼ x
(9)
D’après les préliminaires, on a donc obtenu par (9) l’équivalent cherché :
Théorème des nombres premiers
Pour x → ∞,
π(x) ∼
17
x
ln x
(10)
t
c+iT
Γ
R
-1
c
0
σ
c-iT
(a)
t
c+iT
R
-1
0
c
Γ1
σ
c-iT
(b)
Figure 1: (a) (en haut) cas x ≥ 1 ; (b) (en bas) x < 1.
18
t
B
A
1+iTO
β+iT
β
c
1
E
β-iT
C
C
D
0
c+iTO
σ
F
1-iT
c-iTO
O
G
H
Figure 2: Contour d’application du théorème des résidus
19
Bibliographie
• Ellison W. J., Les nombres premiers, Hermann, Paris, 1975 (essentiellement les deux premiers chapitres qui exposent la preuve du théorème
des nombres premiers présentée ici).
• Rudin W., Analyse réelle et complexe, Masson, Paris, 1992 (principalement pour comprendre les bases de la théorie des fonctions holomorphes).
• Serre J.-P., Cours d’arithmétique, Presses Universitaires de France,
2nde édition, 1977 (plus particulièrement pour les méthodes analytiques).
• Tenenbaum G. et Mendès France M., Les nombres premiers, collection
”Que sais-je ?”, Presses Universitaires de France, 1997
20