TIPE Le théor`eme des nombres premiers : approche par les

TIPE
Le th´eor`eme des nombres premiers :
approche par les fonctions holomorphes
C´eline Nadal
Pr´eliminaires
I La fonction ζde Riemann
II Le th´eor`eme des r´esidus
III Le th´eor`eme des nombres premiers
1

Pr´eliminaires
Le th´eor`eme des nombres premiers donne un ´equivalent en l’infini de π(x),
le nombre de nombres premiers inf´erieurs ou ´egaux `a x:π(x)∼x
ln x(cela
revient `a donner un ´equivalent du ni`eme nombre premier : pn∼nln n).
Il existe plusieurs d´emonstrations de ce th´eor`eme. La preuve pr´esent´ee
ici est historiquement la premi`ere, celle de Hadamard et La Vall´ee Poussin
(1896). Elle s’appuie sur l’´etude de la fonction ζde Riemann en faisant
appel `a la th´eorie des fonctions holomorphes.
1 Les fonctions πet ψ
D´efinitions :
π(x)=X
p≤x
1ψ(x)=X
n≤x
Λ(n)
avec :
Λ(n)=(ln psi n=pνν≥1
0sinon
Th´eor`eme :
lim inf
x→∞
π(x) ln x
x
=lim inf
x→∞
ψ(x)
x
lim sup
x→∞
π(x) ln x
x
=lim sup
x→∞
ψ(x)
x
Corollaire : les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes
(i)π(x)∼x
ln x
(ii)ψ(x)∼x
Cette ´equivalence permet une d´emonstration du th´eor`eme des nombres pre-
miers par l’´etude de la fonction ψdont on verra qu’ elle est directement li´ee
`a la fonction ζde Riemann.
Proposition : X
n≤x
ψ(x
n)=ln([x]!)
Les fonctions x→ln([x]!) et ψconstituent alors un µ-couple de M¨ obius.
A l’aide de la formule de Stirling, ln([x]!) =xln x−x+O(xβ),0<β<1,
on montre le deuxi`eme th´eor`eme de Tchebytchef :
ψ(x)=O(x)(1)
2

2 Formule sommatoire d’Abel
Th´eor`eme
Soit (an)une suite de complexes, soit φ: [1,∞[−→ une application C1
pour x>1; soit A(x)=Pn≤xan; alors, pour tout x≥1,
X
n≤x
anφ(n)=A(x)φ(x)−Zx
1
A(u)φ0(u)du (2)
D´em. :
A(x)φ(x)−X
n≤x
anφ(n)=X
n≤x
an[φ(x)−φ(n)]
=X
n≤x
anZx
n
φ0(u)du
=Zx
1X
n≤u
anφ0(u)du
=Zx
1
A(u)φ0(u)du
Corollaire : avec les mˆemes hypoth`eses, si de plus lim
x→∞ A(x)φ(x)=0,
alors ∞
X
n=1
anφ(n)=−Z∞
1
A(u)φ0(u)du (3)
sous r´eserve d’existence de l’un des deux membres de l’´egalit´e.
1 La fonction ZETA de Riemann
D´efinition :
ζ(s)=∞
X
n=1
n−ss=σ+it σ > 1
(la s´erie converge absolument pour σ > 1, et normalement pour σ≥1+δ,
δ > 0).
Prop.
ζ(s)=Y
p
(1 −p−s)−1
3

1.1 Les fonctions holomorphes
Soit f:Ω→,Ωouvert de .
D´efinition
on dit que fest holomorphe dans l’ouvert Ωsi
∀z0∈Ω,∃lim
z→z0
f(z)−f(z0)
z−z0
=f0(z0).
On note H(Ω)l’ensemble des fonctions holomorphes dans Ω.
Proposition
si (f,g)∈H(Ω)2, alors f+get f g sont holomorphes dans Ω.
Si g∈H(Ω1)et f∈H(Ω2), avec g(Ω1)⊂Ω2, alors f og ∈H(Ω1).
Proposition
Si fest d´eveloppable en s´erie enti`ere dans Ω, alors f∈H(Ω).
Application : ln(1 +z)est holomorphe pour |z|<1.
On admet ici que ζest holomorphe pour σ > 1. Ceci est une cons´equence
de la formule de Cauchy qui sera pr´esent´ee en II.
D´efinition (pˆole)
Soit f∈H(Ω\{a}), on dit que fa un pˆole d’ordre men asi ∃(c1, ..., cm)∈m,cm,0,
tq.
f(z)−
m
X
k=1
ck
(z−a)k
se prolonge en fonction holomorphe dans Ω.
On dit que c1est le r´esidu de fen a, on note c1=Res(f,a).
D´efinition (z´ero)
soit f∈H(Ω),a∈est appel´e z´ero de fsi f(a)=0.
4

1.2 ζet le th´eor`eme des nombres premiers
ζn’a pas de z´ero dans le 1/2 plan σ > 1, on peut donc en prendre le
logarithme (d´etermination principale) :
ln ζ(s)=−X
p
ln(1 −p−s)
On d´erive au sens des fonctions holomorphes (d´erivation complexe):
ζ0(s)
ζ(s)
=−X
p
p−sln p(1 −p−s)−1
=−X
p
p−sln p∞
X
ν=0
p−νs
=−X
p
ln p∞
X
ν=1
p−νs
=−X
n≥1,n=pν
ln p
ns=−∞
X
n=1
Λ(n)
ns
On pose
Z(s)=−ζ0(s)
ζ(s)
=∞
X
n=1
Λ(n)
ns(4)
Or, par d´efinition : ψ(x)=Pn≤xΛ(n)
ζest donc tr`es li´ee `a ψ.
1.3 Relation entre Zet ψ
On pose ψ1(x)=Rx
1ψ(u)du pour x≥1
Th´eor`eme : pour s=σ+it et σ > 1,
Z(s)=s(s+1) Z∞
1
ψ1(x)dx
xs+2(5)
D´em. : σ > 1,Z(s)=P∞
n=1
Λ(n)
ns. On applique (3) (Abel) `a :
an= Λ(n)A(x)=X
n≤x
an=ψ(x)
φ(x)=1
xs
A(x)φ(x)=ψ(x)
xs
x→∞
−→ 0
5