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1.1 Les fonctions holomorphes
Soit f:Ω→,Ωouvert de .
D´efinition
on dit que fest holomorphe dans l’ouvert Ωsi
∀z0∈Ω,∃lim
z→z0
f(z)−f(z0)
z−z0
=f0(z0).
On note H(Ω)l’ensemble des fonctions holomorphes dans Ω.
Proposition
si (f,g)∈H(Ω)2, alors f+get f g sont holomorphes dans Ω.
Si g∈H(Ω1)et f∈H(Ω2), avec g(Ω1)⊂Ω2, alors f og ∈H(Ω1).
Proposition
Si fest d´eveloppable en s´erie enti`ere dans Ω, alors f∈H(Ω).
Application : ln(1 +z)est holomorphe pour |z|<1.
On admet ici que ζest holomorphe pour σ > 1. Ceci est une cons´equence
de la formule de Cauchy qui sera pr´esent´ee en II.
D´efinition (pˆole)
Soit f∈H(Ω\{a}), on dit que fa un pˆole d’ordre men asi ∃(c1, ..., cm)∈m,cm,0,
tq.
f(z)−
m
X
k=1
ck
(z−a)k
se prolonge en fonction holomorphe dans Ω.
On dit que c1est le r´esidu de fen a, on note c1=Res(f,a).
D´efinition (z´ero)
soit f∈H(Ω),a∈est appel´e z´ero de fsi f(a)=0.
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