MPSI PCSI - Lycée Saint

Exercices de rentrée
MPSI-PCSI
Lycée Saint-Louis
2016-2017

Introduction
Cette feuille d’exercices s’adresse aux élèves rentrant en MPSI ou en PCSI au lycée Saint-Louis.
Il s’agit d’exercices qui sont entièrement au programme de mathématiques de terminale (voire de
première). Il est en effet inutile de commencer le programme de classes préparatoires avant la rentrée.
Par contre, il est indispensable de consolider les acquis du lycée.
Ce sont des exercices de mathématiques qui ont pour objectif d’être à la fois utiles pour les mathé-
matiques et la physique. Certains exercices sont constitués de calculs extrêmement basiques mais sur
lesquels les étudiants ont l’habitude de faire des erreurs. D’autres exercices utilisent des notions plus
compliquées.
Les exercices sont précédés de rappels de cours qui concernent uniquement les domaines utiles
pour le programme de mathématiques de MPSI et de PCSI.
Les exercices sont classés en quatre catégories :
• Les exercices d’échauffement : il s’agit d’exercices basiques qui doivent être traités en respectant
l’indication de temps afin d’acquérir plus de rapidité dans la résolution. Ces exercices doivent
être parfaitement maîtrisés. Il peut donc être profitable de les recommencer en cas d’erreur ou
de non respect de la durée indiquée.
• Les exercices corrigés : ils sont accompagnés d’une correction rédigée. Il ne faut pas vérifier
uniquement la validité du résultat obtenu, mais également la manière de rédiger afin de com-
mencer à repérer les différences entre la rédaction demandée au lycée et celle demandée en
MPSI ou en PCSI.
• Les exercices à préparer : ils sont accompagnés d’indications et ce sont les exercices sur lesquels
il faut accentuer ses recherches, quitte à ne pas travailler les exercices supplémentaires.
• Les exercices supplémentaires : ils sont également accompagnés d’indications et sont destinés
aux élèves qui ont assez de temps pour les travailler.
Il est indispensable de se remettre au travail avant la rentrée afin d’être prêt à démarrer directe-
ment au rythme d’une classe préparatoire. Il est donc vivement conseillé de travailler les exercices de
cette feuille au moins deux semaines avant la rentrée, et en cas de difficultés, de consulter les rappels
de cours, son cours ou un livre afin de combler ses lacunes. Cependant il n’est pas obligatoire de réus-
sir à faire tous les exercices, le but de cette feuille est, principalement, d’aborder sereinement la ren-
trée. Il est recommandé de conserver une trace de son travail (par exemple de garder ses brouillons).
Nous remercions Florence Rasle pour sa relecture précise et ses remarques constructives.
Si vous remarquez des erreurs dans cette feuille, merci de les signaler à l’adresse suivante :
Un erratum contenant toutes les erreurs signalées est disponible à l’adresse suivante :
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Table des matières
I Rappels de cours 3
1 Nombres complexes 4
2 Suites 7
3 Fonctions 11
4 Intégration 17
II Exercices 20
5 Résolution d’équations et d’inéquations 21
6 Puissances et suites géométriques 25
7 Récurrences 29
8 Géométrie plane et trigonométrie 33
9 Dérivation et intégration 38
10 Formules de trigonométrie 41
11 Fonctions cosinus et sinus 44
12 Nombres complexes 47
III Indications et corrections 50
13 Indications et solutions 51
14 Corrections 61
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Première partie
Rappels de cours
3

Chapitre 1
Nombres complexes
Définition. On appelle ensemble des nombres complexes et on note Cl’ensemble des nombres qui
s’écrivent sous la forme z=x+i y avec xet ydeux réels et où iest tel que i2=−1.
Plus précisément, tout nombre complexe s’écrit de manière unique sous la forme z=x+i y avec
x,y∈R. Cette écriture est appelée écriture algébrique de z.xest appelé partie réelle de z, noté Re(z)
et yest appelé partie imaginaire de zet noté Im(z).
L’ensemble des nombres complexes est muni de deux opérations (l’addition et la multiplication) qui
possèdent les mêmes propriétés que celles sur R. Ainsi, si z=x+i y et z0=x0+i y0avec x,y,x0,y0
quatre réels alors :
z+z0=(x+x0)+i(y+y0)
z×z0=(x+i y)(x0+i y0)=(xx0−y y0)+i(x y0+x0y)
Proposition. Soient z,z0∈C. On a : z=z0si et seulement si ¡Re(z)=Re(z0) et Im(z)=Im(z0)¢.
Interprétation géométrique des nombres complexes
On munit le plan d’un repère orthonormé direct (O,~ u,~ v). A tout point Mde coordonnées (x,y) (resp.
à tout vecteur −→ wtel que −→ w=x−→ u+y−→ v) avec x,y∈R, on associe le nombre complexe z=x+i y.
On dit que zest l’affixe de M(resp. de −→ w) et M(resp. −→ w) est appelé image de z. On note M(z) (resp.
(−→ w(z)).
x
−→
u
y
−→
v
0
M(z)
Re z
Im z
Pour tout point A(a) et B(b) du plan, l’affixe du vecteur −→ AB est b−a.
Définition. Soit zun nombre complexe de forme algébrique x+i y avec xet ydeux réels. On appelle
conjugué de z, et on note zle nombre complexe x−i y.
Remarque. Si Mest le point d’affixe z, le point M0d’affixe zest symétrique de Mpar rapport à l’axe
des abscisses.
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