Devoir Probabilité – Dérivation

Devoir Probabilité – Dérivation
Nom :
Prénom :
50 min
Exercice 1 : (9 points)
Partie A
Sans justifier, donner l’ensemble de définition, l’ensemble de dérivabilité et la fonction dérivée des fonctions
suivantes :
a) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 − 2𝑥 + 1
b) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 − 4𝑥 − 1
1
(1 pt)
(1 pt)
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 3𝑥
(1 pt)
d) 𝑓(𝑥) = 2 − √𝑥
(1 pt)
Partie B :
En rédigeant correctement, déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes.
a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥√𝑥 sur [3 ; 6].
b) 𝑓(𝑥) =
2𝑥−3
1−𝑥
c) 𝑓(𝑥) =
𝑥 2 +2𝑥−1
𝑥 2 +2
sur [8 ; 25].
sur ℝ.
(1 pt)
(1 pt)
(1 pt)
Partie C :
On considère la fonction 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = −2𝑥 2 + 3𝑥 et C sa représentation graphique.
Déterminer l’équation de la tangente à C au point d’abscisse 2. (2 pts)
Exercice 2 : (3.5 points)
Dans une fête foraine, un jeu consiste à lancer une pièce truquée. Si on lance cette pièce, Pile a trois fois plus de
chance de tomber que Face.
Pour jouer à ce jeu, le joueur doit débourser 2 euros et si Face sort il gagne 5 euros.
On note X la variable aléatoire associée au gain algébrique du joueur.
1) Montrer que la probabilité d’avoir Pile est de 0.75. (1,5 pt)
2) Donner la loi de probabilité de X. (1 pts)
3) Ce jeu est-il équitable ? Justifier. (1 pt)
Exercice 3 : (4.5 points)
Dans une station de ski, on s’intéresse uniquement aux accidents nécessitant un plâtre pour les maladroits. Les
zones plâtrées sont soit les jambes, soit les bras. Aucun maladroit n’est plâtré à la jambe et au bras.
On a remarqué que 25% des interventions nécessitent un hélicoptère alors qu’un transport en ambulance suffit pour
le reste des interventions. Ensuite, parmi les patients héliportés, 70% se sont fait plâtrés la jambe contre seulement
30% pour ceux transportés en ambulance.
Le coût d’un transport en hélicoptère est de 1500€ contre 700€ pour un transport en ambulance. L’hospitalisation
pour un plâtre à la jambe coûte 800€ et pour un plâtre au bras, elle coûte 600€.
On note X la variable aléatoire associée au coût total de l’intervention, hospitalisation comprise.
1)
2)
3)
4)
5)
Faire un arbre pondéré représentant la situation. (1 pt)
Quelle est la probabilité qu’un patient soit héliporté et plâtré à la jambe ? (0,5 pt)
Quelles sont les valeurs que peut prendre la variable aléatoire X ? Ne pas justifier. (0,5 pt)
Donner la loi de probabilité de X. (1.5 pt)
Calculer l’espérance de X et interpréter le résultat. (1 pt)
Exercice 4 : (3 points)
Une urne contient 4 billets numérotés de 1 à 4.
On tire au hasard deux billets successivement et avec remise. On suppose que les tirages sont équiprobables.
Soit D la variable aléatoire, qui à chaque tirage associe la différence entre le plus grand et le plus petit des nombres
du couple.
a. Compléter le tableau suivant qui donne la différence des deux billets :
1
2
3
4
1
2
3
4
b. Donner les probabilités p(D=0) et p(D=1)
(1 pt)
c. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire D. (1 pt)
d. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire D.
(0,5 pt)
(0,5 pt)