Feuille d`exercices numéro 3 1 Des gammes 2 Sans titre - e

UVSQ 2016/2017
Licence de sciences et technologie, sant´e
LSMA521 (analyse complexe)
Feuille d’exercices num´ero 3
1 Des gammes
1) Soit w∈C. Trouver tous les nombres complexes ztels que ez=w. Est-il vrai que l’exponentielle
´etablit une bijection (et donc un isomorphisme de groupes) entre Cet C∗?
2) Montrer que pour tout z∈C,ez= lim
n→∞ 1 + z
nn
(on pourra d´evelopper la puissance par la
formule du binˆome).
3) Un calcul classique
Montrer que si sin z
26= 0,
1
2+ cos z+ cos 2z+··· + cos nz =sin n+1
2z
2 sin z
2
.
Que se passe-t-il lorsque sin z
2= 0 ? Pour quels z∈Ccela arrive-t-il ?
4) Soit nun entier relatif. Montrer que les fonctions z7→ znet z7→ exp (nLog z) sont ´egales sur
l’intersection de leurs ouverts de d´efinition.
2 Sans titre
1) Dessiner la couronne C={z∈C,1
2<|z+ 1|<3}. Est-il vrai que si une fonction f,
analytique sur C, v´erifie que ∀z∈C, f 0(z) = 0, alors fest constante sur C? Mˆeme question sur
le compl´ementaire de la couronne.
2) Montrer que la fonction f:z7→ sin π
1−zest analytique sur le disque ouvert de centre 0 et
de rayon 1. En quels nombres complexes la fonction fs’annule-t-elle ? Comparer le r´esultat au
principe des z´eros isol´es.
3) Soit fune fonction analytique sur un ouvert connexe Ude C. Montrer que s’il existe a∈Utel
que f(q)(a) = 0 pour tout q∈N, alors fest identiquement nulle sur U.
4) Soit fune fonction analytique non nulle sur un ouvert connexe Ude Ccontenant 0. On suppose
que f(a+b) = f(a)f(b) pour tous aet bde Utels que a+b∈U. Montrer que fest de la forme
f(z) = ewz o`u w∈C.
5) On consid`ere les deux s´eries
f1(z) = X
n≥1
zn
net f2(z) = iπ +X
n≥1
(−1)n(z−2)n
n.
D´emontrer qu’il existe une fonction analytique fsur un ouvert connexe du plan contenant les
disques ouverts
D1={z∈C,|z|<1}et D2={z∈C,|z−2|<1},
telle que f=f1sur D1et f=f2sur D2.
B. Chauvin et N. Pouyanne, UVSQ 2017, LSMA521 1

3 Logarithme
1) On note Log la d´etermination principale du logarithme et zwle nombre complexe ewLog z.
Calculer Log i, Log(−i), Log(−1 + i), ii, (−i)i, Log(−1−i).
Mˆeme question en rempla¸cant le logarithme principal par la d´etermination continue d´efinie sur
C\R+par la formule
log reiθ = ln r+iθ pour θ∈]0,2π[.
2) Trouver deux nombres complexes aet btels que Log(ab)6= Log a+ Log b. Plus g´en´eralement,
´etant donn´e a∈C, trouver tous les nombres complexes ztels que Log(az) = Log a+Log z. Dessiner
leur ensemble.
3) Dessiner la partie du plan complexe dans laquelle la formule Log(z2) = 2 Log zest valide. Mˆeme
question pour la puissance mi`eme,m≥3.
4) Pour quels nombres complexes za-t-on Log 1
z=−Log z? Trouver toutes les d´eterminations con-
tinues du logarithme sur le plan priv´e d’une demi-droite ferm´ee partant de l’origine pour lesquelles
la formule est vraie.
5) Sur quelle partie du plan la fonction Log(1 −z2) est-elle d´efinie ?
6) Soit Vun ouvert connexe de Cne contenant pas 0. On suppose que fest une fonction analytique
sur Vqui v´erifie
∀v∈V, f0(v) = 1
vet ∃a∈V, exp f(a) = a.
Montrer que fest une d´etermination continue du logarithme sur V.
4 Racine mi`eme
1) Soient fune fonction analytique sur un ouvert Ude Cet z0∈Utel que f(z0)6= 0. Montrer
que pour tout entier naturel non nul m, il existe un voisinage Vde z0et une fonction analytique
gsur Vtelle que pour tout z∈V, on ait
f(z) = g(z)m.
Combien de choix a-t-on pour une telle fonction g? Si gest l’une d’entre elles, trouver toutes les
autres.
2) Si mest un entier naturel non nul, on appelle d´etermination principale de la racine mi`eme la
fonction m
√zd´efinie sur C\R−par
m
√z= exp 1
mLog z.
Montrer que pour tout zpour lequel la formule a un sens, on a ( m
√z)m=z. Si zest un nombre
complexe, calculer √z2chaque fois que ce nombre a du sens. Plus g´en´eralement, montrer que
m
√zm
zest une racine mi`eme de l’unit´e, que l’on d´eterminera en fonction de l’argument (principal)
de z. Faire un dessin des r´egions du plan sur lesquelles la fonction z7→ m
√zm/z est constante.
3) Soit U=C\ {z∈R,|z| ≥ 1}. Dessiner U. Montrer qu’il existe une fonction fanalytique sur
Utelle que
f(z)2=z2−1 et f(0) = i.
B. Chauvin et N. Pouyanne, UVSQ 2017, LSMA521 2