PROBABILITES CONDITIONNELLES Exercice de rappel : Un

PROBABILITES CONDITIONNELLES
Exercice de rappel :
Un multiple de 5 est un nombre qui peut se mettre sous la forme
5  k où k est un nombre entier non nul.
On considère la roue parfaitement équilibrée, donc toutes les
issues sont équiprobables.
E : « le numéro est multiple de 5 » donc E = { 5 ; 10 ; 15 }
Donc 3 issues peuvent réaliser l'événement E est donc :
1
3
P(E) = ── = ──
5
15
P(F) = P ( E )
P(E) + P ( E ) = 1
P ( E ) = 1 - P(E)
4
12
donc P(F) = ─── = ──
5
15
1
5
P(G) = ─── = ───
3
15
E est l'événement contraire de E
E ∩ G : « le numéro est pair, multiple de 5 et inférieur à 11 »
E ∩ G = { 10 }
c'est ce qu'on appelle un événement élémentaire.
 = {1} ∪ {2} ∪ {3} ∪ ... ∪ {15} = {1 ; 2 ; ... ; 15}
1
P(E ∩ G) = ──
15
7
P(E ∪ G) = P(E) + P(G) - P(E ∩ G) = ──
15
(2) { X = 100 } = { 5 ; 8 }
{ X = 10 } = { 3;7;12;14 }
2
P ( X=100) = ──
15
4
P ( X=10 ) = ──
15
{ X = 30 } = { 1 ; 10 }
{ X = 0 } = { 2;4;6;9;11;13;15 }
2
P ( X=30 ) = ──
15
7
P ( X=0 ) = ──
15
X()= { 0 ; 10 ; 30 ; 100 }
ensemble des valeurs prises
par la variable aléatoire.
Loi de probabilité (donné par ce tableau)
xi
0
10
30
100
P(X=x )
i
7/15
4/15
2/15
2/15
x2 = 30
x0 = 0
x1 = 10
x3 = 100
donc ici, i varie de 1 à 4.
i est un nombre entier, qui joue le rôle de « compteur ».
On note P (X=x ) = p
i
i
E(X) =
représente le « signe somme ».
4
7
2
2
Ici, E(X) = 0  ── + 10  ── + 30  ── + 100  ──
15
15
15
15
Après calcul, E(X) = 20
(3)
Soient les événements suivants :
J = { 2 ; 4 ; 6 ; 9 ; 11 ; 13 ; 15 }
V = { 3 ; 7 ; 12 ; 14 }
R = { 1 ; 10 }
B={5;8}
événement
impossible
• P( R ∩ {15} ) = 0
car R ∩ {15} = Ø
1
• P( V ∩ {3} ) = ──
4
car V ∩ {3} = { 3 ; 7 ; 12 ; 14 } ∩ {3}
= {3}
1
• P( B ∩ {8} ) = ──
2
• P = 1 car on est certain de gagner : il n'y a pas de secteur jaune
avec le numéro 14.
(1) Probabilités conditionnelles
Activité 2
0,63
C
H
(1)
0,4
0,6
0,37
O
0,48
C
F
0,52
O
(2)
Il y a 0,6  1500 = 900 femmes.
Parmi ces femmes, il y a 0,48  900 = 432 femmes cadres.
(3)
900
3
• P( F ) = ──── = ── = 0,6
1500
5
432
• P ( F ∩ C ) = ──── = 0,288
1500
On remarque que
P ( F ∩ C ) = 0,48  0,6
c'est 48% de 60%
(4)
• P (C) = probabilité que l'employé soit un cadre sachant
F
que c'est une femme.
432
PF(C) = ───── = 0,48
900
Parmi les femmes, 48% sont cadres.
d'une part
P( F ∩ C ) = 0,288
d'autre part
PF(C)  P(F) = 0,48  0,6 = 0,288
On remarque après calcul que
P( F ∩ C ) = P F(C)  P(F)
P( F ∩ C )
PF (C) = ─────────
P(F)
Activité 3 :
(1.a)
6
• P(R) = ── = 0,6
10
4
• P(V) = ── = 0,4
10
3
• P(1) = ── = 0,3
10
(1.b)
3
• P ( R ∩ 1 ) = ───
10
• P ( R ∪ 1 ) = P(R) + P(1) - P(R ∩ 1)
probabilité d'obtenir 1 sachant que le jeton
est vert.
(2.a)
P (1) = 0
(2.b)
3
1
P (1) = ── = ──
R
6
2
V
2
1
P (2) = ── = ──
R
6
3
1
P (4) = ──
R
6
2
1
P (4) = ── = ──
V
4
2
2
1
P (2) = ── = ──
V
4
2
PR(1) + PR(2) + PR(4) = 1
PV(1) + PV(2) + PV(4) = 1
(2.c)
d'une part
1
PR(1) = ──
2
d'autre part
3/10
P(R∩1)
1
───── = ───── = ──
P(R)
2
6/10
P(R∩1)
Conclusion : PR(1) = ─────
P(R)
(3)
2
1
P2 (R) = ── = ──
4
2
On fait ce calcul parmi les jetons qui portent le numéro 2 :
deux jetons rouges portent ce numéro.
d'une part
1
P (R) = ──
2
2
P(R∩2)
Conclusion : P 2(R) = ─────
P(2)
d'autre part
1
P(2∩R) 2/10
───── = ───── = ──
2
P(2)
4/10
Attention !
P(2∩R) = P(R∩2) est la probabilité d'obtenir
un jeton rouge (et) portant le numéro deux parmi
tous les jetons disponibles (il y en a 10).
Définition 1 : probabilité conditionnelle
Soit A un événement de probabilité non nulle : P(A) > 0.
Pour tout événement B, la probabillité conditionnelle de B
sachant A, notée PA(B) est définie par :
P(A∩B)
PA(B) = ──────
P(A)
P(A∩B) est la probabilité pour que A et B soient réalisés.
PA (B) est la probabilité pour que B soit réalisé sachant que A l'est.
Dans le 1er cas, la probabilité est calculée parmi tous les éléments
de l'univers, alors que dans le 2d cas, la probabilité est calculée
parmi les éléments qui appartiennent au sous-ensemble formé par A.
P(B)
A
B : P(A∩B) = P(A)PA(B)
─
P(B)
A
─
─
─
B : P(A∩B) = P(A)PA(B)
A
P(A)
─
P(A)
─
A
P─ (B)
A
─
P─ (B)
A
─
─
B : P(A∩B) = P(A)PA─(B)
─ ─
─
─
─
:
P(A∩B)
= P(A)PA─(B)
B
Activité 4 :
(1)
213
P(F∩T) = ──── ≈ 0,173
1234
(2)
654
P(F) = ──── ≈ 0,530
1234
(3)
405
P(T) = ──── ≈ 0,328
1234
(4)
L'élève choisi est un garçon : il y en a 580. On calcule
cette probabilité parmi cet échantillon d'élève.
P(G∩S)
P (S) = ──────
G
P(G)
203
P (S) = ──── = 0,35
G
580
C'est une probabilité conditionnelle.
(5)
P(F∩T)
P (T) = ──────
F
P(F)
213
P (T) = ─── ≈ 0,326
F
654
c'est la probabilité que l'élève soit en terminale, sachant
que c'est une fille.
(6)
213
P (F) = ─── ≈ 0,526
T
405
P(F∩T)
P (T) = ──────
F
P(F)
Or
P(F∩T) = P(T∩F)
et
avec :
P(T∩F)
P (F) = ──────
T
P(T)
P(F∩T) = PF(T)P(F)
P(T∩F) = PT(F)P(T)
donc :
P (T)P(F) = P (F)P(T)
T
F
PT (F)P(T)
et P (T) = ───────────
P(F)
F
(7)
S
437
234
53,5%
203
46,5%
35,4%
F
234
F
G
654
F
1234
392
31,8%
405
P
207
52,8%
185
47,2%
32,8%
G
G
185
192
G
47,4%
Exercice 5 :
203
580
213
52,6%
192
213
P
T
1234
F
T
207
S
C
:
A∩C
D
:
A∩D
C
:
B∩C
D
:
B∩D
A
B
S
P
T
• P(B) = 0,7
P(A∩C)
• P(C)
=
───────
= 0,9
A
P(A)
(pas besoin de la formule).
•P(A∩C) = P(A)  P(C)
= 0,3  0,9 = 0,27
A
•P(C) = P(A∩C) + P(B∩C)
= 0,3  0,9 + 0,7  0,2
P(C) = 0,41
•P(D) = P(A∩D) + P(B∩D)
= 0,3  0,1 + 0,7  0,8
P(D) = 0,59
P(A∩C)
P(C∩A)
• P(A) = ─────── = ─────── avec P(A∩C)=0,27 et P(C)=0,41
C
P(C)
P(C)
P(A)
≈ 0,66
C
(2) Probabilités composées
Proposition :
Si A et B sont deux événements d'un même univers ayant des
probabilités non nulles, alors :
P(A∩B) = P(A) P(B)
= P(B) P(A)
A
B
Remarques :
‣ cette égalité est vraie car
‣
A∩B = B∩A
le corollaire (la conséquence) de cette proposition est le
théorème dit « de BAYES » :
P(A)
P(A)
= ───── P(B)
B
P(B) A
Exercice 6 :
‣
‣
‣
‣
‣
‣
‣
D'après la formule des probabilités composées, on a :
(3) Formules des probabilités totales
Définition : partition de l'univers
Soit une expérience aléatoire d'univers .
‣ dire que deux événements A et B sont disjoints signifie
que A∩B=Ø
‣ dire qu'un ensemble de n événements {A 1,A 2,...,A n}
forment une partition de l'univers  signifie que ces
événements sont disjoints deux à deux, et leurs réunions
forment l'univers de l'expérience aléatoire.
Illustration :
On partage l'univers en n parties
disjointes (intersections vides) :
En plus de cette partition, considérons un événement B quelconque
de cet univers.
Proposition : formules des probabilités totales
Soit {A1 ,A2,...,An} une partition de l'univers . Pour tout
événement B du même univers, on a :
P(B)=P(A1∩B)+P(A ∩B)+...+P(A n∩B)
2
ou encore
P(B)=P(A )PA (B) + P(A )PA 2(B) + ... + P(A )PA(B)
n
1
1
2
n
Loi des noeuds :
la somme des probabilités affectées aux branches issues d'un même
noeud est égale à 1.
Loi des chemins :
la probabilité d'un événement correspondant à un chemin est égale
au produit des probabilités de chaque branche de ce chemin.
Exercice 7 :
Exercice 8 :
p208