Thermodynamique et mécanique des fluides appliquées aux

Lycée Newton - PT
TMF - TD2 - Description d’un fluide en écoulement
Thermodynamique et mécanique des fluides
appliquées aux machines thermiques
TD no 2 : Description d’un fluide en écoulement
Ex 1
Ecoulement 2D stationnaire
On étudie l’écoulement décrit par le champ de vitesses suivant :
v = −ω0 xex + ω0 yey
1.1. Vérifier que cet écoulement est incompressible et irrotationnel.
1.2. Montrer que le champ de vitesse dérive d’un potentiel φ. Donner son expression.
1.3. Trouver la forme des lignes de courant.
1.4. Déterminer l’équation de la trajectoire d’une particule présente en M0 (x0 , y0 ) à l’instant t = 0. Vérifier
qu’elle coïncide avec une ligne de courant.
Ex 2
Ecoulement irrotationnel
Un fluide parfait incompressible s’écoule à l’intérieur d’un tuyau d’axe vertical Oz, de section non uniforme. En
régime permanent, le champ des vitesse au point M du fluide, de coordonnées cylindriques (r, θ, z) est de la forme :
v = 2Krer + K 0 zez
2.1. Exprimer la constante K 0 en fonction de la constante positive K. Dans la suite du problème, les résultats
ne devront pas faire intervenir la constante K 0 , mais seulement la constante K.
2.2. Montrer que l’écoulement considéré est irrotationnel.
2.3. Déterminer le potentiel des vitesse ϕ(r, z).
2.4. Déterminer l’équation des lignes de courant et tracer leur allure.
Ex 3
Ecoulement autour d’un cylindre
Loin d’un cylindre d’axe Oz et de rayon a, l’écoulement d’un fluide est uniforme : v = v0 ex . En présence du cylindre,
l’écoulement est permanent, incompressible et irrotationnel. Un point M du fluide est repéré par ses coordonnées
cylindriques (r, θ, z).
3.1. Montrer que le champ des vitesses du fluide, de composantes radiale et orthoradiale en M :
Å
ã
B
vr = A − 2 cos θ
r
Å
ã
B
vθ = − A + 2 sin θ
r
peut décrire l’écoulement étudié.
3.2. Calculer les constantes A et B.
3.3. Calculer le potentiel ϕ(r, θ) des vitesses.
3.4. Déterminer l’équation des lignes de courants de cet écoulement.
Ex 4
Ecoulement autour d’un cylindre en rotation
Soit l’écoulement E irrotationnel permanent d’un fluide incompressible de masse volumique ρ autour d’un cylindre,
d’axe Oz et de rayon R, qui tourne autour de Oz à la vitesse angulaire Ω = Ωez ; le fluide a, très loin du cylindre,
la vitesse v0 = v0 ex , de direction perpendiculaire à Oz. Un point M du fluide sera repéré par ses coordonnées
cylindriques (r, θ, z).
L’écoulement E peut être considéré comme la superpoisition de deux écoulements :
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1/??
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ä
Ä
2
– l’écoulement E1 , de potentiel de vitesses ϕ1 = 1 + Rr2 rv0 cos θ, correspondant au cylindre fixe dans le fluide
en écoulement uniforme de vitesse v0 = v0 ex à l’infini ;
– l’écoulement E2 , de potentiel de vitesses ϕ2 = −kθ, correspondant au cylindre tournant (Ω = Ωez ) dans le
fluide au repos.
4.1. Déterminer le champ des vitesses v du fluide en M (r, θ, z).
4.2. Le modèle du fluide parfait permet-il de rendre compte de l’effet de la rotation du cylindre sur l’écoulement
du fluide ? A quelle propriété du fluide doit-on faire appel ? Donner les nouvelles expressions de vr et vθ .
4.3. En se plaçant aux points particuliers θ =
π
2
et θ = − π2 , donner, en le justifiant avec précision, le signe de k.
4.4. Déterminer, suivant les valeurs d’un paramètre à déterminer, le nombre de points de vitesse nulle et leur(s)
position(s) dans un plan de section droite du cylindre.
Ex 5
Tornade
Une tornade assimilée à un écoulement parfait, permanent, incompressible de l’air, de masse volumique ρ = 1,3 kg · m−3 ,
est caractérisée par le vecteur tourbillon Ω = Ωez , supposé uniforme à l’intérieur de l’œil de la tornade, cylindre
d’axe Oz et de rayon a = 50 m, et nul à l’extérieur de l’œil.
5.1. Exprimer la loi des vitesses v(r) à l’intérieur et à l’extérieur de l’œil. Graphe de v(r) ?
5.2. Dessiner la carte des lignes de champ.
5.3. La vitesse maximale de la tornade est vmax = 180 km/h. Justifier le caractère incompressible de l’écoulement.
Calculer Ω.
On s’intéresse maintenant au cas limite d’un vortex, tornade telle que a → 0 et Ω → ∞ mais en gardant le rapport
Ωa2 constant :
Γ
Ωa2 =
2π
5.4. Montrer que le champ dérive d’un potentiel φ. Le calculer.
5.5. Montrer qu’un vortex brise l’invariance par rotation d’angle θ.
Ex 6
Ecoulement par une source ou un puit
Dans le plan (O, x, y), on considère un écoulement irrotationnel généré par une source ou un puit placé en O. On se
place en coordonnées polaire d’axe (Oz). Le potentiel des vitesses est pris de la forme :
Q r
ϕ=
ln
2π
a
6.1. Donner l’expression de la vitesse v. Préciser le signe de Q suivant que le point O est une source ou un puit.
6.2. Donner la forme des équipotentielles et les lignes de courant. Tracer leur allure dans le cas où Q est positif.
6.3. L’écoulement est-il incompressible ?
6.4. L’écoulement a lieu dans le plan (O, x, y) sur une épaisseur e. La masse volumique du fluide est ρ. Déterminer
le débit volumique et le débit massique à travers un cylindre d’axe (Oz) de rayon d’épaisseur e. Commenter.
Ex 7
Glissement sur un plan incliné
Un bloc parallélépipédique de masse M = 1 kg glisse sur un plan incliné d’un angle α = 10 ◦ par rapport au plan
horizontal. Ce plan est recouvert d’un film d’huile d’épaisseur e = 5 × 10−6 m. On suppose que le profil de vitesse
du film de fluide entre le bloc et le plan est linéaire. La surface de contact est S = 0,02 m2 et la viscosité de l’huile
η = 8 × 10−3 N · s · m−2 .
7.1. Déterminer la vitesse limite de glissement du bloc. On prendra g = 9,8 m · s−2 .
Ex 8
Ecoulement de Poiseuille dans un tuyau
On condisère un tuyau cylindrique, de rayon R, de longueur L, horizontal et parcouru par un liquide newtonien de
viscosité dynamique η. La pression sur l’axe du cylindre est P1 à l’entrée et P2 à la sortie du tuyau. L’écoulement est
permanent et laminaire.
On ne tient pas compte de la pesanteur, dont les effets sur le fluide sont compensés par la réaction du tuyau. Dans
ce cas, le champ de vitesse est de la forme v = v(r)ez .
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P1
•
P2
•
z
L
8.1. Justifier que le champ de vitesse ne dépend que de la variable r.
8.2. Justifier que la pression est uniforme sur une section droite du tuyau.
8.3. L’action de viscosité exercée par la couche de fluide située en r+ sur celle située en r− à travers une surface
mésoscopique d’aire dS séparant les deux couches s’écrit :
dFvisc = η
dv
dSez
dr
(1)
En raisonnant sur un cylindre de fluide de longueur L et de rayon r, établir une équation liant le champ de vitesse
et les pressions en z = 0 et z = L.
8.4. En déduire le profil de vitesse v(r). Le représenter.
8.5. En déduire le débit volumique à travers une section du tuyau.
8.6. Définir et exprimer la vitesse moyenne vd sur une section de l’écoulement (on parle de vitesse débitante).
8.7. En établissant une analogie avec la loi d’Ohm de l’électricité, définir la notion de résistace hydraulique.
Exprimer la résistance hydraulique du tuyau en fonction des données.
Ex 9
Entraînement d’un disque par viscosité
Deux disques identiques de rayon R ont même axe Oz et sont à la distance e R l’un de l’autre.
Un fluide incompressible de coefficient de viscosité η rempli l’intervalle entre les deux disques. Le disque inférieur est
fixe, le disque supérieur est animé d’un mouvement de rotation de vitesse angulaire ω autour de l’axe Oz :
On s’intéresse ici au régime laminaire permanent et on admet que le champ de vitesse dans le fluide est de la forme :
v = vθ (r, z)eθ
avec :
∂vθ
= cte
∂r
(les notations sont celles des coordonnées cylindriques)
9.1. Vérifier que ce champ de vitesse est compatible avec l’incompressibilité du fluide.
9.2. Explicier vθ (r, z).
9.3. Par analogie avec la force de viscosité dans le cas d’un écoulement unidimensionnel, donner l’expression de
la force dF qui s’exerce sur un élément de surface dS du disque inférieur ; calculer le moment de cette force par
rapport à l’axe Oz.
9.4. Calculer finalement le moment total par rapport à Oz des forces de viscosité s’exerçant sur le disque
inférieur. Quel est, qualitativement, l’effet de ce moment ?
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Ex 10
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Chute d’un grêlon
Un grêlon sphérique de masse m, de rayon r = 3 mm et de masse volumique ρglace = 0,9 × 103 kg · m−3 tombe
verticalement, l’espace étant rapporté à l’axe (Oz) vertical ascendant. Le champ de pesanteur est uniforme g =
9,8 m · s−2 dirigé suivant la verticale descendante, l’air a une viscosité η = 2 × 10−5 PI.
10.1. L’air est assimilé à un gaz parfait de masse molaire M = 29 g · mol−1 , de pression P = 1,0 bar et de
température T = 273 K. Calculer sa masse volumique ρair . Que dire alors de la poussée d’Archimède s’exerçant
sur le grêlon en comparaison de son propre poids.
10.2. On cherche la vitesse atteinte par le grêlon en régime permanent. On se place dans le cadre d’une hypothèse
de « vitesses faibles » où l’écoulement est laminaire. La force de traînée vérifie la formule de Stokes :
F = 6πηrvez
où v représente la norme de la vitesse. Déterminer la vitesse limite dans le cadre de cette modélisation.
10.3. Calculer le nombre de Reynolds en prenant pour dimension caractéristique de l’écoulement le diamètre
du grêlon 2r. Que dire alors de l’hypothèse d’écoulement laminaire ?
10.4. Dans le cadre d’une hypothèse de « grandes vitesses » où l’écoulement est turbulent, la force de traînée
est quadratique en vitesse :
F = Kρair Sv 2 ez
avec S = πr2 et K = 0, 23. Déterminer la vitesse limite dans le cadre de ce modèle. Calculer le nombre de
Reynolds, commenter.
10.5. Dans le cas de vitesses faibles, exprimer le nombre de Reynolds Re en fonction de ρair , ρglace , η, g et r.
En déduire l’ordre de grandeur du rayon maximal rmax du grêlon pour que la formule de Stokes soit valable.
On pourra prendre pour critère Re inférieur à 1. Commenter.
10.6. Dans le cas de vitesses grandes, exprimer de même le nombre de Reynolds en fonction de ρair , ρglace , η,
K, g et r. En déduire l’ordre de grandeur du rayon minimal rmin du grêlon pour que cette hypothèse soit valable.
On pourra prendre pour critère Re > 2000. Commenter.
Réponses :
8.5 DV =
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πR4 (P1 −P2 )
8ηL
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