TD n 13: Algèbre linéaire .

Lycée Joffre Année 2014-2015
PCSI 1. Feuille 13
TD n◦13: Algèbre linéaire .
1. espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels
Exercice 1
Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de l’espace F(R,R)des
applications de Rdans R?
1. L’ensemble des fonctions 1-périodiques?
2. L’ensemble des fonctions croissantes?
3. L’ensemble des fonctions monotones?
4. L’ensemble des applications qui s’écrivent comme somme d’une fonction crois-
sante et d’une fonction décroissante?
Exercice 2
les ensembles suivants sont-ils des espaces vectoriels?
1. {(x, 3x, 7x)∈R3, x ∈R}.
2. {P∈R[X],deg P>2}.
3. {(x, y)∈R2, x2−y2= 0}.
4. {(x, y)∈R2, x −5y+ 2 = 0}.
5. {P∈R[X], P (X2) = P′(X) +
4P(X)}.
6. {f∈C1([0,1],R), f (0)+f(1) = f′(0)}
Exercice 3
Soit F={f:R→R, f(0) + f(1) = 0}.
1. Montrer que Fest un sous-espace vectoriel de F(R,R).
2. Déterminer un supplémentaire de Fdans F(R,R).
Exercice 4
Les égalités suivantes sont-elles exactes? Il faudra donner un contre-exemple si c’est
faux, une preuve si c’est vrai.
1. R1[X] + {λ(X2+ 3), λ ∈R}=R2[X].
2. vect(1 + X2) + vect(1 + X) = R2[X].
3. vect(X2)⊕R1[X] = R2[X].
4. {(x, y, z)∈R3, x = 3y}+{(x, y, z)∈R3, y =z}={(x, y, z)∈R3, x =
3yet y=z}.
5. {(x, y, z)∈R3, x = 3y}+{(x, y, z)∈R3, y =z}=R3
6. {(x, y, z)∈R3, x = 3y} ⊕ {(x, y, z)∈R3, y =z}=R3
Exercice 5
Déterminer lesquels des ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels et donner
une famille génératrice de ceux qui le sont.
•E1={(x, y, z)∈R3;x+y−z=x+y+z= 0}.
•E2={(x, y, z)∈R3;x2−z2= 0}.
•E3={(x, y, z)∈R3;exey= 0}.
•E4={(x, y, z)∈R3;z(x2+y2) = 0}.
•E5={(x, y, z)∈R3,2x+ 3y−7 = 0}
•E6=(x, y, z)∈R3;x+y+a= 0,et x+ 3az = 0(discuter selon a).
•E7={P∈Rn[X]; P′= 3}
•E8=(x, y)∈R2;x+αy + 1 ≥0, α ∈R.
•E9={(x, y, z)∈R3/x +y= 0}
•E10 ={(x, y, z)∈R3/xy = 0}.
•E11 ={(x, y, z, t)∈R4/x = 0, y =z};
•E12 ={(x, y, z)∈R3/x = 1}.
•E13 ={(x, y)∈R2/x2+xy ≥0}
•E14 ={(x, y)∈R2/x2+xy +y2≥0}.
•E15 ={(x, y)∈R2, xy > 0}
•E16 ={P∈R[X], P 2(X) = X2P′(X)}

Exercice 6
Montrer que les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels et déterminer
une famille génératrice de chacun d’eux.
1. F1={(x, y, z)∈R3, x + 2y+z= 0 et 2x+y+ 3z= 0}.
2. F2={(x, y, z, t)∈R4, x + 3y−z=t}.
3. F3={P∈R3[X], P (X2) = (X3+ 1)P(X)}.
Exercice 7
Montrer que R1[X]et vect (1 + X+X2)sont supplémentaires dans R2[X].
Exercice 8
Comparer vect(A∩B)et vect(A)∩vect(B).
2. Applications linéaires
Exercice 9
Les applications suivantes sont-elles linéaires?
ϕ1:K2→K
(x, y)7→ xy ϕ2:R→R
x7→ x+ 1
ϕ3C(R,C)→R2
f7→ (Re(f(0)),|f(1)|)ϕ4:K[X]→K
P7→ P(0) + P′(1)
ϕ5:R→R
x7→ x2ϕ6:C(R,R)→R
f7→ f(1/4) −R2
1f(t)dt
ϕ7:C(R,R)→R
f7→ f(3/4) + f(5) ϕ8:
C(R,R)→C(R,R)
f7→ t7→ f(t)
t2+ 1 
Exercice 10
Soit f:R[X]→R[X]
P7→ P−XP ′. Montrer que l’application est linéaire et déterminer
son noyau et son image.
Exercice 11
Dire si les applications suivantes sont des applications linéaires et déterminer leur
noyau et leur image quand elles le sont.
1. R→R:x7→ 2x2.
2. R→R:x7→ 4x−3.
3. R→R:x7→ √x2.
4. R2→R: (x, y)7→ 3x+ 5y.
5. R2→R: (x, y)7→ p3x2+ 5y2.
6. R2→R: (x, y)7→ sin(3x+ 5y).
7. R2→R2: (x, y)7→ (−x, y).
8. C1(R)→ C0(R) : f7→ f′.
9. R→R3:x7→ (2x, x/π, x√2).
10. R→R:x7→ ln(3x√2).
11. R2→R: (x, y)7→ x2y
x2+y2si x2+y26= 0 et 0sinon.
12. C(R)→ C1(R) : f7→ {x7→ e−xR1
0f(t)dt}.
13. R3→R2: (x, y, z)7→ (2x−3y+z, x −y+z/3).
14. R2→R2:M7→ M′défini par: −−−→ OM ′=−−→
OM
−−→
OM 
si −−→ OM 6=−→ 0et 0sinon.
15. R3→R:M7→ −−→ OM ·−→ Voù −→ V= (4,−1,1/2).
16. C(R)→R:f7→ maxt∈[0,1] f(t).
17. R2→R2: (x, y)7→ la solution du système d’équations en (u, v):
3u−v=x
6u+ 2v=y.
18. R2→R2: (x, y)7→ le symétrique orthogonal de (x, y)par rapport à la droite
d’équation x+y−a= 0 (discuter selon les valeurs de a).
19. R3→R3: (x, y, z)7→ la projection de (x, y, z)sur le plan x+y+z−a= 0
parallèlement à Oz (discuter selon les valeurs de a).
20. R→ D(R) : λ7→ la solution de l’équation différentielle y′−y
x2+1 = 0 valant λ
en x0= 1.
21. C(R)→R:f7→ R1
0ln(1 + |f(t)|)dt.
22. D(R)→R:f7→ f′(1/2) + R1
0f(t)dt.

3. Projecteurs et symétries
Exercice 12
Soient G=Vect((X+ 1)2)et F=Vect X2+ 2,1.
1. Montrer que Fet Gsont supplémentaires dans R2[X].
2. Donner l’image de A(X) = 2X2+ 3X+1 par la projection sur Fparallèlement
àG.
3. Donner l’image de A(X)par la symétrie d’axe Fparallèlement à G.
Exercice 13
Soit u:F(R,R)→ F(R,R)
f7→ (x7→ f(−x))
1. Montrer que uest une symétrie.
2. Déterminer Fet Gtels que uest la symétrie d’axe Fparallèlement à G.
Exercice 14
Soit f:R4→R4
(x, y, z, t)7→ (x, y, z, z).
1. Montrer que fest un projecteur.
2. Déterminer son noyau et son image.
3. Donner l’image de (1,2,3,4) par la symétrie d’axe Im(f)parallèlement à
ker(f).
Exercice 15
Soient E=F1⊕F2⊕F3. On pose pla projection sur F1parallèlement à F2⊕F3,q
la projection sur F1⊕F2parallèlement à F3et rla projection sur F3parallèlement
àF1⊕F2.
1. q−pest-il un projecteur? si oui, préciser ses espaces caractéristiques.
2. Que vaut q+r?p+r?q−p+r?
3. q−rest-elle une symétrie? si oui, préciser ses espaces caractéristiques?
4. Donner les relations entre les ev suivants:
(a) Im(r)et Im(q).
(b) ker(r)et Im(p).
(c) Im(r)et ker(q).
(d) Im(p)et ker(r).
(e) Im(p)et Im(r).
(f) Im(q)et Im(p).
Exercice 16
Soient Eun R-espace vectoriel et p, q deux projecteurs de E.
1. Montrer que p+qest un projecteur ssi p◦q=q◦p= 0L(E).
2. Supposons dorénavant que p+qest un projecteur, montrer que Im(p) et Im(q)
sont en somme directe.
3. Montrer ensuite que p+qest la projection de Esur Imp⊕Imqparallèlement
àker(p)∩ker(q).
4. Familles libres, génératrices, base, dimension
Exercice 17
1. Montrer que R1[X] = vect(1 + X, 1−X).
2. Montrer que R2[X] = vect((1 + X)2,(1 + X)(1 −X),(1 −X)2).
3. Montrer que vect((1,5,3),(2,8,−1)) = vect((0,2,7),(1,3,−4)).
Exercice 18
On pose u= (1,1,1),v= (0,1,1) et w= (1,1,0). Montrer que (u, v, w)est une
base de R3.
Exercice 19
On note f1, f2, f3, f4les fonctions de [0,2π]dans Rdéfinies par f1(x) = cos x,
f2(x) = xcos x,f3(x) = sin xet f4(x) = xsin x. Montrer que la famille (f1, f2, f3, f4)
est libre.
Exercice 20
Montrer que les suites (1)n∈N,(n2)n∈Net (2n)n∈Nforment une famille libre de RN.
Exercice 21
Soient Eun R-espace vectoriel et (x, y, z)une famille libre de E. Montrer que
(x+y, y +z, z +x)est une famille libre de E.

5. Détermination de bases/dimension
Exercice 22
On note F={P∈R3[X], P (0) = 0}. Donner une base de F, en déduire sa
dimension. Même question pour G={P∈R3[X], P (1) = 0 = P(2)}.
Exercice 23
Pour chacun des espaces vectoriels de R4, déterminer une base, un supplémentaire
et une base de ce supplémentaire.
•F={(x, y, z, t)∈R4, x + 2y−z=x−y=t= 0}.
•G={(x, y, z, t)∈R4, x +y+z−t=x−3y−2z= 0}.
Exercice 24
Montrer que les polynômes P1=X, P2=X−1et P3= (X−1)2forment une
base de R2[X]. Déterminer les coordonnées du polynôme P= 2X2−5X+ 6 dans
cette base.
Exercice 25
1. Montrer que v1= (1,−2,3), v2= (−2,3,−1) et v3= (3,2,1) forment un base
de R3.
2. Calculer dans cette base les coordonnées des vecteurs suivants (2,3,3),(0,0,0)
et (1,−2,3).
Exercice 26
1. Soit E={(x, y, z, t)∈R4, x + 3y+z−2t= 0}. Déterminer une base de Eet
sa dimension.
2. Soit Fle sous-espace vectoriel de R4défini par
F={(x, y, z, t)∈R4, x + 3y+z−2t= 0 et x+z= 0}
(a) Déterminer une base de Fet sa dimension.
(b) Déterminer un supplémentaire de Fet une base de ce supplémentaire.
Exercice 27
Soient Eun K-espace vectoriel de dimension non nulle n,f, g ∈ L(E).
1. Montrer que rg(f◦g)6min(rg(f),rg(g)).
2. Montrer que |rg(f)−rg(g)|6rg(f+g)6rg(f) + rg(g).
3. On suppose que, de plus, f+gest un automorphisme de Eet f◦g= 0.
Montrer que ker(f) = Im(g).
6. Espaces supplémentaires et somme directe
Exercice 28
Montrer que F={(x, y, z)∈R3, x +y+z= 0}et F′=Vect(1,1,1) sont supplé-
mentaires dans R3.
Exercice 29
Déterminer un supplémentaire dans R4de
F={(x, y, z, t)∈R4, x +y+z= 0 = 2x−y+ 2z+t}.
Exercice 30
Montrer que F={P∈R3[X], P ′(1) = 0}et G=Vect(X3+ 2) sont en somme
directe.
Exercice 31
Déterminer un supplémentaire dans l’ensemble des suites réelles de l’ensemble des
suites (un)n∈Ntelles que u3= 0.
Exercice 32
Déterminer un supplémentaire de Vect (X−1)2,(X+ 1)2dans R2[X].
Exercice 33
Déterminer un supplémentaire de F=f∈ C1(R), f(0) + f′(0) = 0dans C1(R).
Exercice 34
Soit F={(x, y, z, t)∈R4, x +y+z= 0 = 2x−y+ 2z+t}. Déterminer un
supplémentaire de Fdans R4.
7. Application linéaire en dimension finie

Exercice 35
Montrer que les applications suivantes sont linéaires. Pour chacune, déterminer leur
image et leur noyau. Quand elles sont bijectives, expliciter la réciproque.
ψ1:R3→R3
(x, y, z)7→ (x+y, 2z, y +z)ψ2:Rn[X]→Rn[X]
P7→ P−XP ′−P(0)
ψ3:R2[X]→R
P7→ R1
0P(t)dt ψ4:R2→R3
(x, y)7→ (x+y, x −y, 2x)
Exercice 36
Soient Eun espace vectoriel de dimension finie et f∈ L(E)telle que, ∀x∈E,
(x, f(x)) est liée. Montrer que fest une homothétie.
Exercice 37
Soient n∈Net E=Rn[X]. On considère l’application P7→ P−P′. Montrer que
c’est un automorphisme et déterminer son inverse.
Exercice 38
Soient Fet Gdeux sous-espaces vectoriels de Rn, on définit l’application f:F×G→
Rnpar f(x1, x2) = x1+x2. Montrer que fest linéaire; déterminer le noyau et l’image
de f.
Exercice 39
Soit El’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n. Soit f
l’application définie sur Epar f(P) = Qavec Q(X) = P(X+1)+P(X−1)−2P(X).
1. Montrer que fest une application linéaire de Edans E.
2. Calculer f(Xp); quel est son degré ? En déduire ker f, Im fet le rang de f.
3. Soit Qun polynôme de Im f; montrer qu’il existe un polynôme unique Ptel
que : f(P) = Qet P(0) = P′(0) = 0.
Exercice 40
Soit fune application linéaire de Rndans Rn. Montrer que les propriétés (1) à(3)
sont équivalentes.
(1) Rn=Im(f)Mker(f)
(2) Im(f) = Im(f2)
(3) ker(f) = ker(f2)
Exercice 41
Soient : E,Fet Gtrois sous espaces vectoriels de RN,fune application linéaire de
Edans Fet gune application linéaire de Fdans G.
1. Montrer que g◦fest une application linéaire.
2. Montrer que fKer(g◦f)=Kerg ∩Imf .
Exercice 42
Soit uun endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie.
1. Montrer que les suites Im(un)et ker(un)sont monotones (pour l’inclusion) et
constante à partir d’un certain rang N.
2. Montrer alors que E= ker(uN)LIm(uN).
3. Démontrer que F= ker(uN)et G=Im(uN)sont stables par u.
4. On note g=u|F
Fet h=u|G G. Démontrer que gest nilpotent et hinversible.
8. Théorème du rang
Exercice 43
Soit f∈ L(E)avec Ede dimension finie tel que :
ker(f)∩Im(f) = {0E}.
Montrer que ker(f)et Im(f)sont supplémentaires dans E.
Exercice 44
Soient Fun sous-espace vectoriel d’un R-ev Ede dimension finie et f∈ L(E).
Montrer que dim (F∩ker(f)) >dimF−rg(f).
Exercice 45
Soit Eun espace vectoriel de dimension finie, Fet Ndeux sous-espaces vectoriels
de E; donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe une application
linéaire fde Edans Evérifiant : f(E) = Fet ker f=N.
Exercice 46
Soit fun endomorphisme de Ede dimension finie 2n. Montrer l’équivalence
(f2= 0 et rg(f) = n)⇔(Im(f) = ker(f))