Compte rendu TP C1

Gabriel Scherer TS3
TROISIÈME LOI DE KÉPLER :
VÉRIFICATIONS ET APPLICATIONS DANS LE SYSTÈME SOLAIRE
TPP4.odt 1/6 Rappels : 1 U.A. = 1,497.1011m
­11 Constante de gravitation universelle G = 6,67.10 u.S.I.
La Terre fait le tour du Soleil en 1 an = 365,25 jours.
Quand les angles sont faibles, on peut confondre arc et corde.
1. Vérification de la troisième loi de Képler en utilisant les satellites naturels de Jupiter.
1.1Obtention des valeurs : période T er rayon de l’orbite R.
On utilise le logiciel Satel qui permet d’étudier le mouvement des satellites de différentes planètes du système solaire.
Après avoir lancé le logiciel et choisi une planète (ici Jupiter), on se place au voisinage du 15 novembre 2002.
On détermine pour chaque satellite :
•
sa période T, en seconde
•
le diamètre apparent α du rayon de sa trajectoire en seconde d’arc : 2
2
pour cela on mesure αx et αy et on utilise la relation α =  αx  αy (on utilisera par la suite le logiciel Regressi.
On rentre ces résultats dans le tableau suivant :
Satellite
T (s)
Io
1,548.10
Europe
3,09.10
Ganymède
Callisto
(¨)
(¨)
107,07
­38,55
113,8
4,21.10
169,43
­59,53
182,685
6,65.10
6,04.10
274,46
­99,09
288,785
1,07.10
1,44.106
­478,47
171,19
508,176
1,91.10
x
5
5
5
(¨)
y
R (m)
8
8
9
9
La longueur k d’une corde correspondant à un diamètre apparent d’1 seconde d’arc est de :
TPP4.odt 2/6 k =d×
π
π
=7642185000000×
=3,7 . 10 7 m
 180×3600 
 180×3600 
On peut donc en déduire les rayons R des orbites des satellites de la planète étudiée (on admet avec une bonne approximation que ces orbites sont circulaires). Les valeurs sont entrées dans le tableau ci­dessus.
1.2 Vérification de la troisième loi de Képler : T²/R3 = constante
3
On détermine T² et R pour chaque satellite en utilisant le logiciel Regressi.
On met ces valeurs calculées dans le tableau ci­dessous :
Satellite
T (s)
Io
1,548.10
107,07
­38,55
113,8
4,21.10
Europe
3,09.10
169,43
­59,53
182,685
6,65.10
Ganymède
6,04.10
274,46
­99,09
288,785
1,07.10
Callisto
1,44.106
­478,47
171,19
508,176
1,91.10
x
5
5
5
(‘’)
(‘’)
(‘’)
y
R (m)
8
8
9
9
3
On trace la courbe T² = f(R ) et on la modélise par une courbe passant par T²
l’origine. Cette courbe est une droite, on a donc bien 3 = constante, la R
troisième loi de Képler est vérifiée.
La droite passe par l’origine parce que si le rayon de l’orbite d’un satellite est nul, le temps que met ce satellite pour parcourir son orbite est nul lui aussi.
Le coefficient directeur p de la droite modélisée est de :
p=3,15 10
­14
Il n’était pas nécessaire de calculer le rayon R de l’orbite pour vérifier cette loi, on pouvait la vérifier à partir des angles α de trajectoire. En effet, si T² est 3
3
proportionnel à R , alors T est aussi proportionnel à α car R est α est proportionnel à R.
1.3 Masse de la planète.
On peut dorénavant calculer la masse M de la planète en utilisant la troisième loi de Képler :
3
4 π²
27
 4 . π² . R   4 . π² 
=1,87 .10
M=
=
=
−11
−16
 G . T² 
G. p
6, 67. 10 . 3, 15. 10
TPP4.odt 3/6 27
La masse réelle de cette planète étant de l’ordre de 10 , on a donc une assez bonne approximation de cette masse.
2. Application de la troisième loi de Képler :période Tmars et rayon moyen Rmars de l’orbite de Mars.
On étudie avec le logiciel Satel les variations des orbites des satellites de Mars er
entre le 1 janvier 1994 et le 31 décembre 2003.
Si on visualise les trajectoires de ces satellites avec un pas assez grand, on remarque que le diamètre apparent de l’orbite des satellites martiens varie périodiquement au cours du temps.
On détermine avec la meilleure précision les dates pour lesquelles les orbites des satellites martiens ont le plus grand diamètre apparent, et on rentre les résultats dans le tableau ci­dessous :
8 février 95
18 mars 97
1 mai 99
13 2001
juin 29 août 2003
On peut en déduire les intervalles de temps au jour près séparant deux maxima consécutifs, on les rentre dans le tableau suivant :
764
744
805
807
On peut donc en déduire la durée moyenne θ séparant deux maxima consécutifs :
θ = 780 jours
Soient TTerre et TMars les périodes de la Terre et de Mars dans leurs mouvements autour du Soleil, mouvements que l’on considérera comme circulaires uniformes.
Sachant que la Terre et Mars ont le même sens de rotation autour du Soleil, on peut donc montrer que :
TMars = θ . T Terre
θ−T Terre
Démonstration :
TPP4.odt 4/6 On a :
θ = n TM = (n+1) TT
On a donc :
θ
θ
n= −1
n = et TM
TT
C'est­à­dire :
θ
θ
1
1 1
= −1⇔
= −
TM TT
T M TT θ
On a donc bien :
T M=
θ×T T
θ−T T
On peut faire l’application numérique :
780×366 , 25
TMars = 780−366 , 25 =690 jours
ème
On peut déterminer en utilisant la 3
de Mars :
T²
R
Application numérique :
R=

3
3
=
loi de Képler le rayon moyen de l’orbite 
4 π²
T² GM
3 T² GM
⇒ R3 =
⇒ R=
GM
4π²
4 π²
59616000 ² .6, 67 .10−11 . 6, 4191. 10 23
9
=1, 57. 10 m
4 π²
On peut donc déduire à partir des valeurs de RTerre et RMars le rapport ρ entre les valeurs maximales et les valeurs minimales des diamètres apparents des orbites des satellites martiens.
ρ = (RM + RT)/(RM – RT) = 4,82
On détermine expérimentalement ce rapport ρ à l’aide du logiciel Satel :
ρ = αmax/ αmin = 4,05
Ces deux valeurs sont assez semblables, ce qui prouve la validité des calculs.
TPP4.odt 5/6 3. Conclusion
L’utilisation du logiciel Satel a permis de voir des applications concrètes des lois de Képler, et d’en faire des applications directes dans le système solaire. La troisième loi de Kepler est fort utile car elle permet de calculer non seulement les périodes, mais aussi les rayons d’orbite et les masses de planètes…
TPP4.odt 6/6