Compte rendu TP C1

Gabriel Scherer TS3
TROISIÈME LOI DE
KÉPLER :
VÉRIFICATIONS ET
APPLICATIONS DANS LE
SYSTÈME SOLAIRE
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Rappels : 1 U.A. = 1,497.1011m
Constante de gravitation universelle G = 6,67.10-11 u.S.I.
La Terre fait le tour du Soleil en 1 an = 365,25 jours.
Quand les angles sont faibles, on peut confondre arc et corde.
1.Vérification de la troisième loi de Képler en utilisant les
satellites naturels de Jupiter.
1.1Obtention des valeurs : période T er rayon de l’orbite R.
On utilise le logiciel Satel qui permet d’étudier le mouvement des satellites de
différentes planètes du système solaire.
Après avoir lancé le logiciel et choisi une planète (ici Jupiter), on se place au
voisinage du 15 novembre 2002.
On détermine pour chaque satellite :
• sa période T, en seconde
• le diamètre apparent du rayon de sa trajectoire en seconde d’arc :α
pour cela on mesure αx et αy et on utilise la relation = α
αx
2αy 2
(on utilisera
par la suite le logiciel Regressi.
On rentre ces résultats dans le tableau suivant :
Satellite T (s) x (¨) y (¨) (¨) R (m)
Io 1,548.105107,07 -38,55 113,8 4,21.108
Europe 3,09.105169,43 -59,53 182,685 6,65.108
Ganymède 6,04.105274,46 -99,09 288,785 1,07.109
Callisto 1,44.106 -478,47 171,19 508,176 1,91.109
La longueur k d’une corde correspondant à un diamètre apparent d’1
seconde d’arc est de :
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k=d×π
180×3600=7642185000000×π 180×3600=3,7.107m
On peut donc en déduire les rayons R des orbites des satellites de la planète
étudiée (on admet avec une bonne approximation que ces orbites sont
circulaires). Les valeurs sont entrées dans le tableau ci-dessus.
1.2 Vérification de la troisième loi de Képler : T²/R3 = constante
On détermine T² et R3 pour chaque satellite en utilisant le logiciel Regressi.
On met ces valeurs calculées dans le tableau ci-dessous :
Satellite T (s) x (‘’) y (‘’) (‘’) R (m)
Io 1,548.105107,07 -38,55 113,8 4,21.108
Europe 3,09.105169,43 -59,53 182,685 6,65.108
Ganymède 6,04.105274,46 -99,09 288,785 1,07.109
Callisto 1,44.106 -478,47 171,19 508,176 1,91.109
On trace la courbe T² = f(R3) et on la modélise par une courbe passant par
l’origine. Cette courbe est une droite, on a donc bien
T²
R3=
constante, la
troisième loi de Képler est vérifiée.
La droite passe par l’origine parce que si le rayon de l’orbite d’un satellite est
nul, le temps que met ce satellite pour parcourir son orbite est nul lui aussi.
Le coefficient directeur p de la droite modélisée est de :
p=3,15 10-14
Il n’était pas nécessaire de calculer le rayon R de l’orbite pour vérifier cette loi,
on pouvait la vérifier à partir des angles de trajectoire. En effet, si T² estα
proportionnel à R3, alors T est aussi proportionnel à α3 car R est estα
proportionnel à R.
1.3 Masse de la planète.
On peut dorénavant calculer la masse M de la planète en utilisant la
troisième loi de Képler :
M=4. ²π.R3
G.T²=4. ²π G.p=
4²π
6,67.10−11.3,15.10−16 =1,87.1027
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La masse réelle de cette planète étant de l’ordre de 1027, on a donc une
assez bonne approximation de cette masse.
2.Application de la troisième loi de Képler :période Tmars
et rayon moyen Rmars de l’orbite de Mars.
On étudie avec le logiciel Satel les variations des orbites des satellites de Mars
entre le 1er janvier 1994 et le 31 décembre 2003.
Si on visualise les trajectoires de ces satellites avec un pas assez grand, on
remarque que le diamètre apparent de l’orbite des satellites martiens varie
périodiquement au cours du temps.
On détermine avec la meilleure précision les dates pour lesquelles les orbites
des satellites martiens ont le plus grand diamètre apparent, et on rentre les
résultats dans le tableau ci-dessous :
8 février 95 18 mars 97 1 mai 99 13 juin
2001 29 août 2003
On peut en déduire les intervalles de temps au jour près séparant deux
maxima consécutifs, on les rentre dans le tableau suivant :
764 744 805 807
On peut donc en déduire la durée moyenne séparant deux maximaθ
consécutifs :
= 780 joursθ
Soient TTerre et TMars les périodes de la Terre et de Mars dans leurs mouvements
autour du Soleil, mouvements que l’on considérera comme circulaires
uniformes.
Sachant que la Terre et Mars ont le même sens de rotation autour du Soleil, on
peut donc montrer que :
TMars =
θ.TTerre
θ−TTerre
Démonstration :
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On a :
= n TθM = (n+1) TT
On a donc :
n
=
θ
TM
et
n=θ
TT
−1
C'est-à-dire :
θ
TM
=θ
TT
−1⇔1
TM
=1
TT
−1
θ
On a donc bien :
TM=
θ×TT
θ−TT
On peut faire l’application numérique :
TMars =
780×366 ,25
780−366 ,25 =690 jours
On peut déterminer en utilisant la 3ème loi de Képler le rayon moyen de l’orbite
de Mars :
T²
R3=4²π
GM ⇒R3=T²GM 4²π⇒R=3
T²GM
4²π
Application numérique :
R=3
59616000 ².6,67.10−11.6,4191.1023
4²π=1,57.109m
On peut donc déduire à partir des valeurs de RTerre et RMars le rapport entreρ
les valeurs maximales et les valeurs minimales des diamètres apparents des
orbites des satellites martiens.
= (RρM + RT)/(RM – RT) = 4,82
On détermine expérimentalement ce rapport à l’aide du logiciel Satel :ρ
= ρ αmax/ αmin = 4,05
Ces deux valeurs sont assez semblables, ce qui prouve la validité des calculs.
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