Méca 6 : MOUVEMENT DANS UN CHAMP DE

PCSI Physique
Méca6 1
Méca 6 : M OUVEMENT DANS UN CHAMP DE FORCES
CENTRALES ET CONSERVATIVES
.
On se propose de mettre en application les notions d’énergie potentielle, d’énergie mécanique, de moment
cinétique, de moment d’une force, de force centrale, introduites dans les chapitres précédents, pour étudier le
mouvement de points matériels soumis à des forces d’interaction newtoniennes comme les forces
d’interaction gravitationnelle ou électrostatique.
Dans le cas de ces forces, on peut de façon qualitative discuter la nature du mouvement (état lié ou état de
diffusion) selon l’énergie mécanique du point.
On appliquera ces résultats à l’étude du mouvement des planètes et satellites.
I. C HAMP DE FORCE CENTRALE ET CONSERVATIVE .
II. M OUVEMENT DANS UN CHAMP DE FORCE NEWTONIENNE .
III. A PPLICATION AU MOUVEMENT DES PLANETES ET DES SATELLITES .
1. Mouvement des planètes : lois de Képler .
a. Les hypothèses.
b. Les lois de Képler.
c. Les écarts aux lois de Képler.
2. Mouvement des satellites.
a. Vitesse de satellisation sur une orbite circulaire.
b. Vitesse de libération du satellite.
c. Satellites géostationnaires.
Objectifs
Savoirs :
Savoir identifier un champ de force newtonien et savoir exprimer l'énergie potentielle
associée (connaître parfaitement les cas des interactions gravitationnelle et électrostatique).
Pour un champ de force newtonien centré en O, savoir et savoir montrer que le moment
cinétique par rapport à O et l'énergie mécanique sont des constantes du mouvement ;
Connaître les 3 lois de Képler.
Savoirs faire :
Pour un champ de force newtonien centré en O :
Savoir déduire de la conservation du moment cinétique par rapport au centre de force les
caractéristiques du mouvement (plan, loi des aires) ;
Savoir montrer l'existence d'une énergie potentielle effective
(
)
,P eff
E r
, l'exprimer et en
tracer l'allure.
Savoir déduire graphiquement de la conservation de
m
E
et de l’allure de
(
)
, P eff
E r
si le
mouvement correspond à un état lié ou à un état de diffusion.
Pour un état lié circulaire,
Savoir retrouver le théorème du Viriel ;
Savoir retrouver la 3ème loi de Képler.
Savoir retrouver la vitesse d'un satellite en orbite circulaire autour de la Terre, la vitesse de
libération d'un satellite à partir de la surface de la Terre.
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Méca6 2
Questions de cours
1. Qu’est-ce qu’un champ de forces newtonien ?
a. Donner une expression de cette force en la supposant centrée en O (l’origine du repère).
b. Un champ de force newtonien est-il conservatif ? Si oui, déterminer l’énergie potentielle dont il
dérive.
c. Citer les deux exemples fondamentaux en indiquant les expressions des forces et des énergies
potentielles dont elles dérivent.
2. Pour un champ de force newtonien centré en O,
( )
2
r
K
F r e
r
=
:
a. Montrer que le moment cinétique par rapport à O et l'énergie mécanique sont des constantes du
mouvement.
b. Quelles sont les conséquences sur la nature du mouvement de la conservation du moment cinétique
par rapport au centre de la force ?
3. Pour un champ de force newtonien centré en O,
( )
2
r
K
F r e
r
=
:
a. Déterminer l’énergie mécanique du point
(
)
M m
en utilisant les coordonnées polaires.
b. Introduire l’énergie potentielle effective (ou efficace)
(
)
,P eff
E r
en fonction de
, ,
m C r
et
K
.
c.
Tracer l’allure de
(
)
,P eff
E r
selon que le champ de force est attractif ou répulsif.
4. Expliquer comment utiliser la conservation de l’énergie mécanique et l’énergie potentielle effective pour
déterminer le caractère borné ou non du mouvement, c'est-à-dire déterminer si l’état du système est lié
ou libre.
a.
Tracer l’allure de
(
)
,P eff
E r
selon que le champ de force est attractif ou répulsif.
b.
Discuter dans chaque cas (champ de force attractif ou répulsif) la nature liée ou libre du
mouvement selon la valeur de l’énergie mécanique.
5.
Pour un état lié circulaire de centre O et de rayon
0
r
dans un champ de force
( )
2
r
K
F r e
r
=
:
a.
Calculer les énergies cinétique, potentielle et mécanique en fonction de
0
r
et
K
.
b.
En déduire le théorème du Viriel.
c.
Calculer la période
T
du mouvement. En déduire la troisième loi de Kepler.
6. Enoncer précisément les 3 lois de Képler.
7. Vitesse sur une orbite circulaire autour de la Terre :
a.
Déterminer l’expression de la vitesse d’un satellite en orbite circulaire de rayon
r
(associé à
l’altitude
h
) autour de la Terre en fonction de
, ,
T T
G M R
et
h
puis en fonction de
0
,
T
g R
et
h
où
0
g
est l’intensité de la pesanteur à la surface de la Terre.
b. Que devient cette vitesse dans le cas d’une orbite circulaire au voisinage de la surface de la Terre
en fonction de
,
T
G M
et
T
R
puis en fonction de
0
g
et
T
R
. En donner un ordre de grandeur.
8. Vitesse de libération de l’attraction terrestre :
a. Déterminer la vitesse minimale à communiquer à un objet situé à une distance
r
du centre de la
Terre (associé à l’altitude
h
) pour qu’il puisse s’éloigner à l’infini de celle-ci en fonction de
, ,
T T
G M R
et
h
puis en fonction de
0
,
T
g R
et
h
où
0
g
est l’intensité de la pesanteur à la surface
de la Terre.
b. Déterminer la vitesse minimale à communiquer à un objet situé à la surface de la Terre pour qu’il
puisse s’éloigner à l’infini de celle-ci en fonction
,
T
G M
et
T
R
puis en fonction de
0
g
et
T
R
. En
donner un ordre de grandeur.
9. Satellite géostationnaire :
a. Décrie précisément le mouvement d’un satellite géostationnaire. (trajectoire, plan du mouvement,
vitesse angulaire)
b. Déterminer l’altitude d’évolution des satellites géostationnaires. En donner un ordre de grandeur.