EXERCICES DE PROBABILITÉS

EXERCICES DE PROBABILITÉS
62. On donnera les résultats sous forme décimale à 10  4 près.
Dans une population la probabilité de naissance d'un garçon est de 0,52. On sait d'autre part que
2% des filles et 1% des garçons présentent à la naissance une luxation congénitale de la hanche.
On considère les événements suivants :
G : naissance d'un garçon
F : naissance d'une fille
L : le nouveau-né souffre d'une luxation de la hanche.
1. Réaliser un arbre probabiliste.
2. Calculer les probabilités des événements G L et FL.
3. En déduire que la probabilité de L est 0,0148.
4. Quelle est la probabilité qu'un nouveau-né présentant une luxation de la hanche soit une fille ?
5. Dans une maternité il naît en moyenne 20 enfants par semaine.
a. Quelle est la probabilité qu'aucun de ces nouveau-nés ne présente de luxation de la hanche ?
b. Quelle est la probabilité qu'au moins un de ces nouveau-nés présente une telle luxation ?
63. Une urne contient 6 boules blanches et 4 boules rouges indiscernables au toucher.
Un « essai » consiste à tirer simultanément 3 boules de l'urne. Lors d'un essai, un joueur gagne 1
point s'il a obtenu au moins 2 boules rouges.
1. Calculer la probabilité d'obtenir 1 point au cours d'un essai.
2. Soit X la variable aléatoire réelle égale au nombre de boules rouges obtenues au cours d'un
essai.
a. Déterminer la loi de probabilité de X.
b. Calculer son espérance mathématique et sa variance.
3. Une partie comporte 7 essais successifs en remettant dans l'urne après chaque essai les boules
tirées. On désigne par Y la variable aléatoire égale au nombre de points obtenus au cours d'une
partie.
a. Que peut-on dire de Y ?
b. Donner la loi de probabilité de Y.
c. Pour quelles valeurs de k, la probabilité p(Y = k) est-elle maximale pour k entier naturel tel
que 0  k  7 ?
64. Une urne contient x boules (x  4) dont 3 noires et les autres rouges. Dans cet exercice on fait
l'hypothèse d'équiprobabilité des tirages.
1. Dans cette question on tire simultanément 2 boules de l'urne.
a. Donner en fonction de x la probabilité d'obtenir au moins une boule rouge.
b. Pour quelles valeurs de x cette probabilité est-elle supérieure ou égale à 0,9 ?
2. Dans cette question on effectue quatre tirages successifs d'une boule avec à chaque fois remise
de la boule tirée dans l'urne.
Soit Y la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de boules noires sorties au cours
des quatre tirages.
a. Quelle est la loi de probabilité de Y ?
b. Soit a la probabilité de tirer trois boules noires parmi les quatre et b la probabilité de tirer
quatre boules rouges.
Déterminer x pour que b  2a .
Quelle est dans ce cas l'espérance mathématique de Y ?
22
EXERCICES DE PROBABILITÉS
65. On dispose d'un jeu de 32 cartes (16 noires, 16 rouges). L'expérience consiste à extraire une carte,
noter sa couleur et la remettre dans le jeu, puis à extraire une nouvelle carte dont on note aussi la
couleur. Deux cartes noires font gagner deux euros.
Deux cartes rouges font perdre deux euros.
Deux cartes de couleurs différentes procurent un gain nul.
1. a. Quelle est la probabilité de gagner deux euros, de perdre deux euros, de réaliser un gain nul ?
b. On répète cinq fois l'expérience. Déterminer la probabilité de gagner dix euros.
 
2. Dans un plan muni du repère (O, i , j ) , on considère les points :
A(0 ; 1) ; B(2; 1) ; C(2 ; l).
L'origine O est le barycentre du système de points pondérés : {(A, ) ; (B, ) ; (C, )}, où , 
et  sont des réels de somme non nulle.
X est la variable aléatoire qui ne prend que les valeurs 2, 0, 2 avec les probabilités :
p(X = 2) =  ; p(X = 0) =  ; p(X = 2) = .
a. A l'aide des coordonnées des points A, B, C, O, écrire deux équations vérifiées par les réels
,  et .
b. Quelle est la valeur de  +  +  ?
c. Résoudre le système de trois équations ainsi obtenu, d'inconnues ,  et .
d. Déterminer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X.
66. 1.
Soit deux urnes U1 et U2 ; la première contient 6 boules blanches et 4 boules noires ; la
seconde contient 8 boules blanches et 2 boules noires. D'une des deux urnes, choisie au hasard
(il y a équiprobabilité pour ce choix), on extrait une boule que l'on remet dans l'urne ; si la
boule était blanche on recommence le tirage dans la même urne ; si la boule était noire on
recommence le tirage dans l'autre urne. Cette règle est appliquée à chaque tirage et l'on
suppose qu'à l'intérieur de chaque urne les tirages sont équiprobables.
Soit Pn la probabilité pour que le nième tirage se fasse dans l'urne U1 (n*).
a. Déterminer P1.
b. Déterminer P2.
c. Démontrer qu'il existe une relation de récurrence vérifiée par la suite (Pn), de la forme, pour
tout entier naturel strictement positif n : Pn+1 = aPn + b où a et b sont des réels que l'on
déterminera.
2. Soit la suite réelle (un) dont le terme général est défini pour n entier strictement positif par
1

u1  2

u  2 u  1
 n 1 5 n 5
a. Déterminer le réel  tel que la suite (Vn), dont le terme général est défini pour n entier
strictement positif par Vn  un   soit une suite géométrique.
b. En déduire que la suite (un) est convergente ; trouver alors la limite de Pn quand n tend vers
l'infini.
23
EXERCICES DE PROBABILITÉS
67. Un jeu consiste à extraire, au hasard et simultanément, 3 boules d'une urne contenant 5 boules
rouges et 5 boules vertes.
Si le joueur obtient 3 boules rouges, événement que l'on note R3, il gagne 100 euros.
S'il obtient 2 boules rouges et une boule verte, événement que l'on note R2, il gagne 50 euros.
Enfin, s'il obtient strictement moins de 2 boules rouges il ne gagne rien, on note cet événement E.
5
1
1. Montrer que les probabilités des événements R2 et R3 sont respectivement
et
.
12
12
2. On note X la variable aléatoire donnant le gain du joueur. Donner la loi de probabilité de X et
calculer son espérance mathématique.
3. Dans cette question on modifie les règles du jeu de la façon suivante :
 Si le joueur réalise les événements R3 ou R2, il ne gagne plus d'argent immédiatement mais
est qualifié pour la suite du jeu que l'on appelle « Banco ».
 Si l'événement E est réalisé le joueur ne gagne rien et n'est pas qualifié pour le « Banco ».
Le « Banco » consiste à extraire une boule parmi les 7 restées dans l'urne ; si celle-ci est verte
le joueur empoche les 150 euros du « Banco » et si elle est rouge le joueur a perdu mais repart
avec une prime de « consolation » de 30 euros.
a. Quelle est la probabilité d'empocher les 150 euros du « Banco » sachant que R3 est réalisé ?
b. Quelle est la probabilité d'empocher les 150 euros du « Banco » sachant que R2 est réalisé ?
c. En déduire la probabilité d'empocher les 150 euros du « Banco ».
d. On note Y la variable aléatoire donnant le gain du joueur dans ce nouveau jeu. Y peut donc
prendre les valeurs 0, 30 ou 150.
Etablir la loi de probabilité de Y.
Calculer l'espérance mathématique de Y.
68. A la cafétéria, dans la vitrine pâtisserie,
- 60% des gâteaux sont à base de crème ;
- parmi ceux qui sont à base de crème, 30% ont aussi des fruits ;
- parmi les gâteaux qui n’ont pas de crème, 80% ont des fruits.
On prend un gâteau au hasard.
1. a. Calculer la probabilité d’avoir un gâteau à base de crème et comportant des fruits.
b. Calculer la probabilité d'avoir un gâteau avec des fruits mais sans crème.
c. En déduire que la probabilité d’avoir un gâteau avec des fruits est égale à 0,50.
2. a. Le gâteau pris au hasard comporte des fruits. Quelle est la probabilité qu’il soit à base de
crème ?
b. Le gâteau pris au hasard ne comporte pas de fruit. Quelle est la probabilité qu'il soit à base
de crème ?
24
EXERCICES DE PROBABILITÉS
69. Dans une salle de jeux un appareil comporte 4 roues, chacune portant à sa périphérie 8 images de
fruits différents : Ananas, Bananes, Cerises, Dattes, Fraises, Groseilles, Poires, Raisins.
Une mise de 1 € déclenche le fonctionnement de l’appareil pour une partie. Chacune des quatre
roues affiche au hasard dans une fenêtre un de ces huit fruits.
Exemple d'affichage :
1
2
3
4
On admettra que tous les événements élémentaires sont équiprobables.
1. Calculer la probabilité des événements suivants :
a. E : « On obtient quatre fruits identiques ».
b. F : « On obtient trois fruits identiques et trois seulement ».
c. G : « On obtient quatre fruits distincts ».
2. Certains résultats permettent de gagner de l'argent :
50 € pour quatre fruits identiques ;
5 € pour trois fruits identiques ;
1 € pour quatre fruits distincts ;
0 € pour les autres résultats.
Soit X la variable aléatoire qui à chaque résultat associe le gain indiqué ci-dessus.
a. Quelle est la probabilité de l'événement « obtenir un gain non nul » ?
b. Déterminer l'espérance mathématique de X.
N.B. : Les résultats seront donnés sous forme décimale avec trois chiffres significatifs.
70. On dispose d'une urne contenant 5 boules noires et 15 boules rouges. On suppose que toutes les
boules ont la même probabilité d'être tirées.
1. Le jeu se déroule de la façon suivante : un joueur tire simultanément trois boules.
a. Calculer les probabilités des événements suivants :
A : le joueur a tiré exactement une boule noire.
B : le joueur a tiré exactement deux boules noires.
C : le joueur a tiré exactement trois boules noires.
b. Le joueur gagne 5 € pour chaque boule noire obtenue.
On appelle X la variable aléatoire qui prend pour valeur la somme gagnée.
Établir la loi de probabilité de X et calculer son espérance mathématique.
2. Le jeu se déroule maintenant de la façon suivante :
Le contenu de l'urne est inchangé.
Le joueur tire une boule :
- Si elle est noire, il gagne 5 € et la partie est terminée.
- Si elle est rouge, il la remet dans l'urne et procède à un nouveau tirage dans les mêmes
conditions. La partie s'arrête impérativement après le troisième tirage. (Elle peut donc
comporter 1, 2 ou 3 tirages.)
a. Quelle est la probabilité pour que le joueur gagne au premier tirage ?
b. Quelle est la probabilité pour que le joueur gagne au deuxième tirage ?
c. Quelle est la probabilité pour que le joueur gagne au troisième tirage ?
d. Quelle est la probabilité pour que le joueur n'ait rien gagné à la fin de la partie ?
25
EXERCICES DE PROBABILITÉS
71. Une urne contient 10 boules : 4 blanches et 6 vertes.
1. Un joueur A tire simultanément 3 boules de l'urne. On suppose tous les tirages équiprobables.
 Si les 3 boules tirées sont blanches, A gagne 15 €.
 Si 2 des 3 boules tirées sont blanches, A gagne 5 €.
 Si 1 boule tirée est blanche, A gagne 1 €.
 Si aucune des 3 boules tirées n'est blanche, A gagne 0 €.
Soit X la variable aléatoire qui prend pour valeur le gain du joueur A.
Quelle est la loi de probabilité de X ?
Calculer l'espérance mathématique de X.
2. Un joueur B tire successivement 3 boules de l'urne, chaque boule tirée est remise dans l'urne
avant d'effectuer le tirage suivant (on suppose tous les tirages équiprobables).
 Si les 3 boules tirées sont blanches, B gagne 15 €.
 Si 2 des 3 boules tirées sont blanches, B gagne 5 €.
 Si 1 boule tirée est blanche, B gagne 1 €.
 Si aucune des 3 boules tirées n'est blanche, B gagne 0 €.
Soit Y la variable aléatoire qui prend pour valeur le gain du joueur B.
Quelle est la loi de probabilité de Y ?
Calculer l'espérance mathématique de Y.
3. Quel est celui des deux joueurs A et B qui a la meilleure « stratégie » de jeu ?
4. Calculer la probabilité de l'événement suivant : « A et B ont réalisé le même gain ».
72. Une usine est dotée d'un système d'alarme qui se déclenche en principe lorsqu'un incident
se produit sur une chaîne de production. Il peut arriver toutefois que le système soit mis
en défaut. En effet, des études statistiques ont montré que, sur une journée :
— la probabilité que l'alarme se déclenche par erreur, c'est-à-dire sans qu'il y ait eu incident, est
1
égale à
;
50
1
— la probabilité qu'un incident survienne sans que l'alarme se déclenche est égale à
;
500
1
— la probabilité qu'un incident se produise est égale à

100
On pourra noter :
A l'événement « l'alarme se déclenche » ;
I l'événement « un incident se produit ».
Partie A
1. Calculer la probabilité que, dans une journée, un incident survienne et que l'alarme se
déclenche.
En déduire la probabilité que l'alarme se déclenche.
2. Quelle est la probabilité que, sur une journée, le système d'alarme soit mis en défaut ?
3. L’alarme vient de se déclencher. Quelle est la probabilité qu'il y ait réellement un incident ?
Partie B
Les assureurs estiment qu'en moyenne, pour l'entreprise, le coût des anomalies est le suivant :
— 5 000 € pour un incident lorsque l'alarme fonctionne ;
— 15 000 € pour un incident lorsque l'alarme ne se déclenche pas ;
— 1 000 € lorsque l'alarme se déclenche par erreur.
On considère qu'il se produit au plus une anomalie par jour.
Soit X la variable représentant le coût journalier des anomalies pour l'entreprise.
1. Donner la loi de probabilité de X.
2. Quel est le coût journalier moyen des anomalies ?
26
EXERCICES DE PROBABILITÉS
73. L'étude de la transmission des gènes s'effectue à partir de croisements d'animaux de lignées pures
différentes. Par exemple, chez les bovins, le croisement d'animaux pie rouge à tête blanche (race
montbéliarde) avec des animaux pie noire à tête colorée (race française frisonne) permet d'obtenir
une première génération F1 uniforme pie noire à tête blanche. F2, la deuxième génération
obtenue à partir d'accouplements de deux animaux de la génération F1, est hétérogène.
On trouve quatre phénotypes différents. Le tableau suivant donne leur fréquence d'apparition :
Pie rouge à tête colorée
Pie rouge à tête blanche
Pie noire à tête colorée
Pie noire à tête blanche
1
16
3
16
3
16
9
16
Dans tout l'exercice, on considère que chaque accouplement donne un descendant.
1. Cinq accouplements de deux animaux de la génération F1 ont été réalisés successivement.
a. Calculer la probabilité d'obtenir un descendant pie rouge à tête colorée au premier
accouplement seulement.
b. Calculer la probabilité d'obtenir un descendant pie rouge à tête colorée à la fois au premier
et au deuxième accouplement seulement.
c. En déduire la probabilité pour qu'il y ait parmi les cinq descendants exactement deux veaux
pie rouge à tête colorée. Le résultat sera donné à 104 près et justifié.
2. a. On réalise n accouplements successifs de deux animaux de la génération F1. Quelle est la
probabilité Pn pour qu'il n'y ait parmi les n descendants obtenus aucun animal pie rouge à
tête colorée ?
b. Combien devra-t-on réaliser d'accouplements de ce type pour que la probabilité d'avoir au
moins une bête pie rouge à tête colorée soit supérieure ou égale à 0,99 ?
74. Un
même individu peut être atteint de surdité unilatérale (portant sur une seule oreille) ou
bilatérale (portant sur les deux oreilles). On admet que, dans une population donnée, les deux
événements :
D : « être atteint de surdité à l'oreille droite »,
G : « être atteint de surdité à l’oreille gauche »,
sont indépendants et tous deux de probabilité 0,05, ce que l'on note : p(D) = p(G) = 0,05.
On considère les événements suivants :
B : « être atteint de surdité bilatérale ».
U : « être atteint de surdité unilatérale ».
S : « être atteint de surdité (sur une oreille au moins) ».
N.B. On donnera les valeurs numériques des probabilités sous forme décimale approchée à 10–4 près.
1. Exprimer les événements B et S à l’aide de G et de D, puis calculer les probabilités p(B) et
p(S). En déduire la probabilité p(U).
2. Sachant qu’un sujet pris au hasard dans la population considérée est atteint de surdité, quelle
est la probabilité :
a. pour qu’il soit atteint de surdité à droite ?
b. pour qu’il soit atteint de surdité bilatérale ?
c. Les deux événements « D sachant que S » et « G sachant que S » sont-ils indépendants ?
3. On considère un échantillon de 10 personnes prises au hasard dans la population considérée,
qui est suffisamment grande pour que les choix puissent être assimilés à des choix successifs
indépendants.
27
EXERCICES DE PROBABILITÉS
a. Quelle est la probabilité pour qu’il y ait exactement k personnes atteintes de surdité dans
l’échantillon ?
b. Calculer la probabilité pour qu’il n’y ait aucun sujet atteint de surdité dans l’échantillon.
75. On dispose de deux urnes U1 et U2 contenant des boules indiscernables au toucher.
U1 contient n boules blanches et 3 boules noires (n est un entier supérieur ou égal à 1).
U2 contient 2 boules blanches et 1 boule noire.
On tire au hasard une boule de U1 et on la met dans U2, puis on tire au hasard une boule de U2 et
on la met dans U1 ; l'ensemble de ces opérations constitue une épreuve.
1. On considère l'événement A : « Après l'épreuve, les urnes se retrouvent chacune dans leur
configuration de départ ».
3 n 2
a. Montrer que la probabilité p(A) de l'événement A peut s'écrire : p(A)  

4 n3
b. Déterminer la limite de p(A) lorsque n tend vers +.
2. On considère l'événement B : « Après l'épreuve, l'urne U2 contient une seule boule blanche ».
6
Vérifier que la probabilité p(B) de l'événement B peut s'écrire : p(B) 

4  n  3
3. Un joueur mise 20 € et effectue une épreuve. À l’issue de cette épreuve, on compte les boules
blanches contenues dans U2.
– Si U2 contient 1 seule boule blanche, le joueur reçoit 2n euros.
– Si U2 contient 2 boules blanches, le joueur reçoit n euros.
– Si U2 contient 3 boules blanches, le joueur ne reçoit rien.
a. Expliquer pourquoi le joueur n'a aucun intérêt à jouer tant que n ne dépasse pas 10.
Dans la suite, on considère n > 10 et on introduit la variable aléatoire X qui prend pour
valeurs les gains algébriques du joueur (par exemple, si, après l'épreuve, l'urne U2 contient
une seule boule blanche, X = 2n  20).
b. Déterminer la loi de probabilité de X.
c. Calculer l'espérance mathématique de X.
d. On dit que le jeu est favorable au joueur si, et seulement si, l'espérance mathématique est
strictement positive.
Montrer qu'il en est ainsi dès que l'urne U1 contient au moins 25 boules blanches.
76. On dispose de trois urnes U1, U2, U3 contenant chacune deux boules indiscernables. Dans U1 une
boule est marquée G, l'autre marquée A ; dans U2 une boule est marquée 3, l'autre est marquée 5 ;
dans U3 une boule est marquée
1
2
, l'autre est marquée 2.
Une épreuve (E) consiste à tirer une boule dans chaque urne.
On définit une suite u de la façon suivante :
 Si la boule tirée dans U1 est marquée A, la suite est arithmétique,
 si elle est marquée G, la suite est géométrique ;
 la boule tirée dans U2 désigne le premier terme u0 et la boule tirée dans U3 désigne la raison.
1. Calculer la probabilité d'avoir :
a. une suite u arithmétique ;
b. une suite u convergente ;
c. une suite u telle que u4 soit un nombre entier pair.
2. Calculer la probabilité d'avoir une suite u qui ne soit pas convergente sachant qu'elle est
géométrique.
28
EXERCICES DE PROBABILITÉS
3. Un joueur tire une boule dans chaque urne et définit ainsi une suite numérique u :
 si u est géométrique, il gagne 5 € ;
 si u est arithmétique et u4  7, il perd 4 € ;
 si u est arithmétique et u4 > 7, il perd 6 €.
Soit X la variable aléatoire égale au gain (algébrique) du joueur.
a. Donner la loi de probabilité de X ;
b. calculer l'espérance mathématique de X.
77. Une urne contient cinq jetons indiscernables au toucher, dont deux verts et trois blancs. On
effectue des tirages successifs de jetons de l’urne de la façon suivante :
 si l’on obtient un jeton blanc, ce jeton est remis dans l’urne avant de procéder au tirage suivant ;
 si l’on obtient un jeton vert, ce jeton est remplacé dans l’urne par un jeton blanc, avant que
l’on ne procède au tirage suivant ;
 lorsque les deux jetons verts ont été tirés, on s’arrête.
On appellera phase la double opération qui consiste à tirer un jeton puis à le remettre ou à le remplacer
dans l'urne. Le but de l’exercice est de décrire l’état de l’urne après une succession de phases.
1. On étudie les résultats possibles de deux tirages consécutifs. Il sera commode de désigner un tel
résultat par un mot formé à l'aide des deux lettres B et V : par exemple BV indiquera que l’on a tiré
d’abord un jeton blanc puis un jeton vert, VB que l’on a tiré un jeton vert puis un jeton blanc.
Décrire l’ensemble des résultats possibles, en indiquant la probabilité de chacun d’eux.
2. On effectue une succession de n tirages (n désignant un entier supérieur ou égal à 1) et on
considère les événements suivants :
Dn : « A la fin de la n-ième phase l’urne contient deux jetons verts »,
Un : « A la fin de la n-ième phase l'urne contient un seul jeton vert ».
On note dn la probabilité de l'événement Dn, un la probabilité de l’événement Un.
a. Utiliser 1. pour calculer d1, u1, d2 et u2.
b. Exprimer en fonction de n la probabilité dn de Dn.
c. Montrer que pour tout entier naturel n  1 on a : u n1 
2
4
d n  un .
5
5
n
3
3. a. On considère la suite (vn)n1 définie par vn  u n  2  .
5
8
4
Montrer que l’on a v1 = et que, pour n  1, vn1  vn .
5
5
b. En déduire vn, puis un, en fonction de n.
29
EXERCICES DE PROBABILITÉS
78. Les résultats numériques seront donnés sous forme de fractions irréductibles.
Dans une classe de 30 élèves sont formés un club photo et un club théâtre. Le club photo est
composé de 10 membres, le club théâtre de 6 membres. Il y a deux élèves qui sont membres des
deux clubs à la fois.
On note A l'événement contraire de l'événement A et pB(A) la probabilité conditionnelle de A
sachant que B est réalisé.
1. On interroge un élève de la classe pris au hasard.
On appelle P l'événement : « L'élève fait partie du club photo », et T l'événement : « L'élève
fait partie du club théâtre ».
Montrer que les événements P et T sont indépendants.
2. Lors d'une séance du club photo, les 10 membres sont tous présents. Un premier élève est tiré
au sort. Il doit prendre la photo d'un autre membre du club qui sera lui aussi tiré au sort.
a. On appelle T1 l'événement : « Le premier élève appartient au club théâtre ». Calculer p(T1).
b. On appelle T2 l'événement « L'élève pris en photo appartient au club théâtre ». Calculer
pT1 (T2 ) , puis pT (T2 ) . En déduire p(T2T1) et p(T2 T1 ).
1
(On pourra éventuellement utiliser un arbre.)
c. Montrer que la probabilité que l'élève pris en photo appartienne au club théâtre est 0,2.
3. Toutes les semaines, on recommence de façon indépendante la séance de photographie avec
tirage au sort du photographe et du photographié. Le même élève peut être photographié
plusieurs semaines de suite.
Calculer la probabilité qu'au bout de 4 semaines, aucun membre du club théâtre n'ait été
photographié.
79. Alice débute au jeu de fléchettes. Elle effectue des lancers successifs d'une fléchette. Lorsqu'elle
1
.
3
Lorsqu'elle a manqué la cible à un lancer, la probabilité qu'elle manque la cible au lancer suivant
4
est égale à . On suppose qu'au premier lancer elle a autant de chances d'atteindre la cible que de
5
la manquer.
Pour tout entier naturel n strictement positif, on considère les événements suivants :
An : « Alice atteint la cible au nième coup ».
Bn : « Alice rate la cible au nième coup ».
On pose pn = p(An).
Pour les questions 1. et 2. on pourra éventuellement utiliser un arbre pondéré.
4
1. Déterminer p1 et montrer que p2 =
.
15
atteint la cible à un lancer, la probabilité qu'elle atteigne la cible au lancer suivant est égale à
2. Montrer que, pour tout entier naturel n  2,
pn 
2
1
pn 1  .
15
5
3
.
13
Montrer que la suite (un) est une suite géométrique, dont on précisera le premier terme u1 et la
raison q.
3. Pour n  1, on pose un = pn 
4. Ecrire un puis pn en fonction de n.
5. Déterminer lim pn .
n  
30
EXERCICES DE PROBABILITÉS
80. Un
groupe de vingt-deux personnes décide d'aller au cinéma deux samedis de suite pour voir
deux films A et B.
Le premier samedi, huit personnes vont voir le film A, et les autres vont voir le film B.
Le deuxième samedi, quatre personnes décident de revoir le film A, deux vont revoir le film B, et
les autres vont voir le film qu'elles n'ont pas vu la semaine précédente.
Après la deuxième séance, on interroge au hasard une personne de ce groupe.
On considère les événements suivants
A1 : « La personne interrogée a vu le film A le premier samedi » ;
A2 : « La personne interrogée a vu le film A le deuxième samedi » ;
B1 : « La personne interrogée a vu le film B le premier samedi » ;
B2 : « La personne interrogée a vu le film B le deuxième samedi ».
1. a. Calculer les probabilités suivantes : p(A1) et p(A2).
b. Calculer les probabilités de chacun des événements suivants :
pA1 (A 2 ) , pB1 (A 2 ) et p(A1A2).
c. Reproduire et compléter l'arbre pondéré suivant, en remplaçant chaque point d'interrogation
par la probabilité correspondante. (Aucune justification n'est demandée pour cette
question).
A2
?
?
A1
?
?
?
?
B2
?
A2
?
B2
?
B1
?
8
.
11
2. Le prix du billet pour le film A est de 6 €, et de 4 € pour le film B. On appelle X la variable
aléatoire égale au coût total, pour la personne interrogée, des deux séances de cinéma.
d. Retrouver à partir de l'arbre pondéré que p(A2) =
a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
b. Déterminer l'espérance mathématique de la variable aléatoire X.
81. Dans une ville sont joués deux concerts, un du groupe de hip hop noté H et l’autre du groupe de
reggae noté R.
Les billets pour ces concerts sont vendus en totalité par une agence, dans trois billetteries A, B et C.
La billetterie A vend 40 % des billets.
La billetterie B vend 25 % des billets.
Les autres billets viennent de la billetterie C.
Les trois quarts des billets vendus par la billetterie A sont pour le concert du groupe H.
La billetterie B a vendu autant de billets pour le concert de H que pour le concert de R.
60 % des billets vendus à la billetterie C sont pour le concert du groupe H.
On tire un numéro de billet au hasard dans le fichier de l’agence et on considère les événements
suivants :
A : « le billet a été acheté à la billetterie A » ;
B : « le billet a été acheté à la billetterie B » ;
C : « le billet a été acheté à la billetterie C » ;
H : « le billet est pour le concert du groupe H » ;
R : « le billet est pour le concert du groupe R ».
31
EXERCICES DE PROBABILITÉS
1. Déterminer la probabilité pC(R) de R sachant C.
2. Reproduire et compléter l’arbre de probabilité ci-dessous :
H
…
A
…
…
R
H
…
…
B
…
…
R
H
…
C
…
R
3. Montrer que la probabilité que le billet soit pour le concert du groupe R et qu’il ait été acheté à
la billetterie C est égale à 0,14.
4. Calculer la probabilité p(R) de l’événement R.
5. On a choisi un billet du concert du groupe R. Quelle est la probabilité qu’il vienne de la
billetterie C ? Arrondir le résultat au centième.
82. Un magasin offre un choix de téléviseurs ayant des écrans de deux types : LCD ou plasma.
30 % des écrans proposés sont de type plasma. 60 % des écrans plasma et 50 % des écrans LCD
sont soldés.
Un téléviseur est choisi au hasard dans le catalogue du magasin. On admet que tous les téléviseurs
ont la même probabilité d’être choisis. On note :
– P l’événement : « l’écran est de type plasma »,
– L l’événement : « l’écran est de type LCD»,
– S l’événement : « le téléviseur est soldé ».
1. S étant l’événement contraire de l’événement S, traduire par une phrase l’événement S .
2. Reproduire et Compléter l’arbre de probabilités suivant.
…
S
0,3
…
S
…
…
S
P
L
…
3. a. Traduire par une phrase l’évènement P  S .
S
b. Calculer p(P  S) et p(L  S) .
4. Montrer que la probabilité qu’un téléviseur choisi au hasard soit soldé est égale à 0, 53.
5. On prélève au hasard un téléviseur parmi ceux qui sont soldés. Quelle est la probabilité pour
que ce téléviseur ait un écran LCD ? On arrondira le résultat au centième.
6. Les événements L et S sont-ils indépendants ? Justifier.
32