EXERCICES DE PROBABILITÉS

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62. On donnera les résultats sous forme décimale à 104près.
Dans une population la probabilité de naissance d'un garçon est de 0,52. On sait d'autre part que
2% des filles et 1% des garçons présentent à la naissance une luxation congénitale de la hanche.
On considère les événements suivants :
G : naissance d'un garçon
F : naissance d'une fille
L : le nouveau-né souffre d'une luxation de la hanche.
1. Réaliser un arbre probabiliste.
2. Calculer les probabilités des événements GL et FL.
3. En déduire que la probabilité de L est 0,0148.
4. Quelle est la probabilité qu'un nouveau-né présentant une luxation de la hanche soit une fille ?
5. Dans une maternité il naît en moyenne 20 enfants par semaine.
a.Quelle est la probabilité qu'aucun de ces nouveau-nés ne présente de luxation de la hanche ?
b.Quelle est la probabilité qu'au moins un de ces nouveau-nés présente une telle luxation ?
63. Une urne contient 6 boules blanches et 4 boules rouges indiscernables au toucher.
Un « essai » consiste à tirer simultanément 3 boules de l'urne. Lors d'un essai, un joueur gagne 1
point s'il a obtenu au moins 2 boules rouges.
1. Calculer la probabilité d'obtenir 1 point au cours d'un essai.
2. Soit Xla variable aléatoire réelle égale au nombre de boules rouges obtenues au cours d'un
essai.
a.Déterminer la loi de probabilité de X.
b.Calculer son espérance mathématique et sa variance.
3. Une partie comporte 7 essais successifs en remettant dans l'urne après chaque essai les boules
tirées. On désigne par Yla variable aléatoire égale au nombre de points obtenus au cours d'une
partie.
a.Que peut-on dire de Y?
b.Donner la loi de probabilité de Y.
c.Pour quelles valeurs de k, la probabilité p(Y=k) est-elle maximale pour kentier naturel tel
que 0 k7 ?
64. Une urne contient xboules (x4) dont 3 noires et les autres rouges. Dans cet exercice on fait
l'hypothèse d'équiprobabilité des tirages.
1. Dans cette question on tire simultanément 2 boules de l'urne.
a.Donner en fonction de xla probabilité d'obtenir au moins une boule rouge.
b.Pour quelles valeurs de xcette probabilité est-elle supérieure ou égale à 0,9 ?
2. Dans cette question on effectue quatre tirages successifs d'une boule avec à chaque fois remise
de la boule tirée dans l'urne.
Soit Yla variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de boules noires sorties au cours
des quatre tirages.
a.Quelle est la loi de probabilité de Y?
b.Soit ala probabilité de tirer trois boules noires parmi les quatre et bla probabilité de tirer
quatre boules rouges.
Déterminer xpour que ab 2 .
Quelle est dans ce cas l'espérance mathématique de Y?

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65. On dispose d'un jeu de 32 cartes (16 noires, 16 rouges). L'expérience consiste à extraire une carte,
noter sa couleur et la remettre dans le jeu, puis à extraire une nouvelle carte dont on note aussi la
couleur. Deux cartes noires font gagner deux euros.
Deux cartes rouges font perdre deux euros.
Deux cartes de couleurs différentes procurent un gain nul.
1. a.Quelle est la probabilité de gagner deux euros, de perdre deux euros, de réaliser un gain nul ?
b.On répète cinq fois l'expérience. Déterminer la probabilité de gagner dix euros.
2. Dans un plan muni du repère ),,O(  ji , on considère les points :
A(0 ; 1) ; B(2; 1) ; C(2 ; l).
L'origine O est le barycentre du système de points pondérés : {(A, ) ; (B, ) ; (C, )}, où ,
et sont des réels de somme non nulle.
Xest la variable aléatoire qui ne prend que les valeurs 2, 0, 2 avec les probabilités :
p(X=2) = ;p(X= 0) = ;p(X= 2) = .
a.A l'aide des coordonnées des points A, B, C, O, écrire deux équations vérifiées par les réels
,et .
b.Quelle est la valeur de ++?
c.Résoudre le système de trois équations ainsi obtenu, d'inconnues ,et .
d.Déterminer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X.
66. 1. Soit deux urnes U1et U2; la première contient 6 boules blanches et 4 boules noires ; la
seconde contient 8 boules blanches et 2 boules noires. D'une des deux urnes, choisie au hasard
(il y a équiprobabilité pour ce choix), on extrait une boule que l'on remet dans l'urne ; si la
boule était blanche on recommence le tirage dans la même urne ; si la boule était noire on
recommence le tirage dans l'autre urne. Cette règle est appliquée à chaque tirage et l'on
suppose qu'à l'intérieur de chaque urne les tirages sont équiprobables.
Soit Pnla probabilité pour que le nième tirage se fasse dans l'urne U1(n*).
a.Déterminer P1.
b.Déterminer P2.
c.Démontrer qu'il existe une relation de récurrence vérifiée par la suite (Pn), de la forme, pour
tout entier naturel strictement positif n: Pn+1 =aPn+boù aet bsont des réels que l'on
déterminera.
2. Soit la suite réelle (un) dont le terme général est défini pour nentier strictement positif par
1
1
1
2
2 1
5 5
n n
u
u u
a.Déterminer le réel tel que la suite (Vn), dont le terme général est défini pour nentier
strictement positif par Vn n u soit une suite géométrique.
b.En déduire que la suite (un) est convergente ; trouver alors la limite de Pnquand ntend vers
l'infini.

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67. Un jeu consiste à extraire, au hasard et simultanément, 3 boules d'une urne contenant 5 boules
rouges et 5 boules vertes.
Si le joueur obtient 3 boules rouges, événement que l'on note R3, il gagne 100 euros.
S'il obtient 2 boules rouges et une boule verte, événement que l'on note R2, il gagne 50 euros.
Enfin, s'il obtient strictement moins de 2 boules rouges il ne gagne rien, on note cet événement E.
1. Montrer que les probabilités des événements R2et R3sont respectivement
12
5et
12
1.
2. On note Xla variable aléatoire donnant le gain du joueur. Donner la loi de probabilité de Xet
calculer son espérance mathématique.
3. Dans cette question on modifie les règles du jeu de la façon suivante :
Si le joueur réalise les événements R3ou R2, il ne gagne plus d'argent immédiatement mais
est qualifié pour la suite du jeu que l'on appelle « Banco ».
Si l'événement E est réalisé le joueur ne gagne rien et n'est pas qualifié pour le « Banco ».
Le « Banco » consiste à extraire une boule parmi les 7 restées dans l'urne ; si celle-ci est verte
le joueur empoche les 150 euros du « Banco » et si elle est rouge le joueur a perdu mais repart
avec une prime de « consolation » de 30 euros.
a.Quelle est la probabilité d'empocher les 150 euros du « Banco » sachant que R3est réalisé ?
b.Quelle est la probabilité d'empocher les 150 euros du « Banco » sachant que R2est réalisé ?
c.En déduire la probabilité d'empocher les 150 euros du « Banco ».
d.On note Yla variable aléatoire donnant le gain du joueur dans ce nouveau jeu. Ypeut donc
prendre les valeurs 0, 30 ou 150.
Etablir la loi de probabilité de Y.
Calculer l'espérance mathématique de Y.
68. A la cafétéria, dans la vitrine pâtisserie,
- 60% des gâteaux sont à base de crème ;
- parmi ceux qui sont à base de crème, 30% ont aussi des fruits ;
- parmi les gâteaux qui n’ont pas de crème, 80% ont des fruits.
On prend un gâteau au hasard.
1. a.Calculer la probabilité d’avoir un gâteau à base de crème et comportant des fruits.
b.Calculer la probabilité d'avoir un gâteau avec des fruits mais sans crème.
c.En déduire que la probabilité d’avoir un gâteau avec des fruits est égale à 0,50.
2. a.Le gâteau pris au hasard comporte des fruits. Quelle est la probabilité qu’il soit à base de
crème ?
b.Le gâteau pris au hasard ne comporte pas de fruit. Quelle est la probabilité qu'il soit à base
de crème ?

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69. Dans une salle de jeux un appareil comporte 4 roues, chacune portant à sa périphérie 8 images de
fruits différents : Ananas, Bananes, Cerises, Dattes, Fraises, Groseilles, Poires, Raisins.
Une mise de 1 €déclenche le fonctionnement de l’appareil pour une partie. Chacune des quatre
roues affiche au hasard dans une fenêtre un de ces huit fruits.
Exemple d'affichage :
1 2 3 4
On admettra que tous les événements élémentaires sont équiprobables.
1. Calculer la probabilité des événements suivants :
a.E : « On obtient quatre fruits identiques ».
b.F : « On obtient trois fruits identiques et trois seulement ».
c.G : « On obtient quatre fruits distincts ».
2. Certains résultats permettent de gagner de l'argent :
50 €pour quatre fruits identiques ;
5€pour trois fruits identiques ;
1€pour quatre fruits distincts ;
0€pour les autres résultats.
Soit X la variable aléatoire qui à chaque résultat associe le gain indiqué ci-dessus.
a.Quelle est la probabilité de l'événement « obtenir un gain non nul » ?
b.Déterminer l'espérance mathématique de X.
N.B. : Les résultats seront donnés sous forme décimale avec trois chiffres significatifs.
70. On dispose d'une urne contenant 5 boules noires et 15 boules rouges. On suppose que toutes les
boules ont la même probabilité d'être tirées.
1. Le jeu se déroule de la façon suivante : un joueur tire simultanément trois boules.
a.Calculer les probabilités des événements suivants :
A : le joueur a tiré exactement une boule noire.
B : le joueur a tiré exactement deux boules noires.
C : le joueur a tiré exactement trois boules noires.
b.Le joueur gagne 5 €pour chaque boule noire obtenue.
On appelle X la variable aléatoire qui prend pour valeur la somme gagnée.
Établir la loi de probabilité de X et calculer son espérance mathématique.
2. Le jeu se déroule maintenant de la façon suivante :
Le contenu de l'urne est inchangé.
Le joueur tire une boule :
- Si elle est noire, il gagne 5 €et la partie est terminée.
- Si elle est rouge, il la remet dans l'urne et procède à un nouveau tirage dans les mêmes
conditions. La partie s'arrête impérativement après le troisième tirage. (Elle peut donc
comporter 1, 2 ou 3 tirages.)
a.Quelle est la probabilité pour que le joueur gagne au premier tirage ?
b.Quelle est la probabilité pour que le joueur gagne au deuxième tirage ?
c.Quelle est la probabilité pour que le joueur gagne au troisième tirage ?
d.Quelle est la probabilité pour que le joueur n'ait rien gagné à la fin de la partie ?

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71. Une urne contient 10 boules : 4 blanches et 6 vertes.
1. Un joueur A tire simultanément 3 boules de l'urne. On suppose tous les tirages équiprobables.
Si les 3 boules tirées sont blanches, A gagne 15 €.
Si 2 des 3 boules tirées sont blanches, A gagne 5 €.
Si 1 boule tirée est blanche, A gagne 1 €.
Si aucune des 3 boules tirées n'est blanche, A gagne 0 €.
Soit X la variable aléatoire qui prend pour valeur le gain du joueur A.
Quelle est la loi de probabilité de X ?
Calculer l'espérance mathématique de X.
2. Un joueur B tire successivement 3 boules de l'urne, chaque boule tirée est remise dans l'urne
avant d'effectuer le tirage suivant (on suppose tous les tirages équiprobables).
Si les 3 boules tirées sont blanches, B gagne 15 €.
Si 2 des 3 boules tirées sont blanches, B gagne 5 €.
Si 1 boule tirée est blanche, B gagne 1 €.
Si aucune des 3 boules tirées n'est blanche, B gagne 0 €.
Soit Y la variable aléatoire qui prend pour valeur le gain du joueur B.
Quelle est la loi de probabilité de Y ?
Calculer l'espérance mathématique de Y.
3. Quel est celui des deux joueurs A et B qui a la meilleure « stratégie » de jeu ?
4. Calculer la probabilité de l'événement suivant : « A et B ont réalisé le même gain ».
72. Une usine est dotée d'un système d'alarme qui se déclenche en principe lorsqu'un incident
se produit sur une chaîne de production. Il peut arriver toutefois que le système soit mis
en défaut. En effet, des études statistiques ont montré que, sur une journée :
— la probabilité que l'alarme se déclenche par erreur, c'est-à-dire sans qu'il y ait eu incident, est
égale à
50
1;
— la probabilité qu'un incident survienne sans que l'alarme se déclenche est égale à
500
1;
— la probabilité qu'un incident se produise est égale à
1
100
On pourra noter :
A l'événement « l'alarme se déclenche » ;
I l'événement « un incident se produit ».
Partie A
1. Calculer la probabilité que, dans une journée, un incident survienne et que l'alarme se
déclenche.
En déduire la probabilité que l'alarme se déclenche.
2. Quelle est la probabilité que, sur une journée, le système d'alarme soit mis en défaut ?
3. L’alarme vient de se déclencher. Quelle est la probabilité qu'il y ait réellement un incident ?
Partie B
Les assureurs estiment qu'en moyenne, pour l'entreprise, le coût des anomalies est le suivant :
— 5 000 €pour un incident lorsque l'alarme fonctionne ;
— 15 000 €pour un incident lorsque l'alarme ne se déclenche pas ;
— 1 000 €lorsque l'alarme se déclenche par erreur.
On considère qu'il se produit au plus une anomalie par jour.
Soit Xla variable représentant le coût journalier des anomalies pour l'entreprise.
1. Donner la loi de probabilité de X.
2. Quel est le coût journalier moyen des anomalies ?