Exercice 1-73_Kane

Exercice 1-73 (Kane) :
Le record mondial du 100 m plat est de 9,95 s. Celui du 60 m plat, de 6,45 s. On suppose
qu’un sprinter maintient une accélération constante pour atteindre sa vitesse maximum puis
qu’il maintient cette vitesse pendant le reste de la course.
a) Evaluer l’accélération.
b) Que dure la période d’accélération ?
c) Que vaut la vitesse maximale ?
d) Le record du 200 m est de 19,83 s et celui du 1000 m de 133,9 s. Ces temps sont –ils
compatibles avec les hypothèses adoptées ?
Données :
d100 = 100 m – t100 = 9,95 s
d60 = 60 ms – t60 = 6,45 s
Inconnues :
a?
ta ?
vmax ?
t200 ? t1000 ?
Formules :
Entre t = 0 et t = ta, il s’agit d’un mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA) :
- à la fin de l’accélération, la vitesse est maximale
- la position initiale et la vitesse initiale sont nulles ( x0 = 0 et v0 = 0 )
1
1
x(t ) = x0 + v0t + at 2 = at 2
2
2
v
v(t ) = v0 + at = at ⇔ a =
t
Entre t = ta et t, il s’agit d’un mouvement rectiligne uniforme (MRU) :
- il n’y a pas d’accélération et la vitesse durant le MRU est la vitesse maximale acquise
durant le MRUA
- la position initiale est nulle ( x0 = 0 )
-
x(t ) = x0 + vt = vmax t
Résolution :
c) vmax ?
vmax est la vitesse du MRU :
vmax =
∆x d100 − d 60
100 − 60
40
=
=
=
= 11, 43 m/s
∆t
t100 − t60
9,95 − 6, 45 3,5
b) ta ?
La durée du MRUA vaut ta et la durée du MRU vaut (t-ta).
d est la distance totale parcourue lors de la course, en partie en MRUA et en partie en MRU :
d = d MRUA + d MRU
1 2
ata + vmax (t − ta )
2
1 vmax 2
=
ta + vmax t − vmax ta
2 ta
=
1
vmax ta + vmax t − vmax ta
2
1
= vmax t − vmax ta
2
De cette équation, on isole ta :
2v t − 2 d
1
1
d = vmax t − vmax ta ⇔ vmax ta = vmax t − d ⇔ ta = max
2
2
vmax
=
⇒ ta =
2.11, 43.9,95 − 2.100
2.11, 43.6, 45 − 2.60
= 2, 4 s ou ta =
= 2, 4 s
11, 43
11, 43
a) a ?
a est l’accélération du MRUA :
∆v vmax − v0 vmax − 0 vmax 11.43
a=
=
=
=
=
= 4, 76 m/s 2
t a − t0
ta − 0
ta
∆t
2.4
d) t200 ?
De l’équation du point b), on isole t :
1
1
d
1
d = vmax t − vmax ta ⇔ vmax t = d + vmax ta ⇔ t =
+ ta
2
2
vmax 2
200 1
+ .2, 4 = 18, 70 s
11, 43 2
Donc, (t200)calculé ≅ (t200)expérimental (18,70 s ≅ 19,83 s) : le temps expérimental est donc
compatible avec les hypothèses de ce problème. La technique est semblable pour courir un 60
m, un 100 m et un 200 m.
⇒ t200 =
t1000 ?
1000 1
+ .2, 4 = 88.69 s
11, 43 2
Donc, (t1000)calculé ≪ (t1000)expérimental (88.69 s ≪ 133.9 s) : le temps expérimental n’est donc
pas compatible avec les hypothèses de ce problème. Lors d’un 1000 m, l’accélération et la
vitesse sont moindres que, par exemple, lors d’un 100 m.
t1000 =