EXERCICES DE RÉVISIONS – ALGÈBRE

EXERCICES DE RÉVISIONS – ALGÈBRE - GÉOMÉTRIE – 2012-2013
PSI* 13-14
EXERCICES DE RÉVISIONS – ALGÈBRE-GÉOMÉTRIE
✄
✂POLYNÔMES ✁
Exercice 1: POX P’ 1991
Soient a, b, c trois nombres complexes de modules distincts, tels que
∀k ∈ {1, 2, 3}
ak + b k + c k ∈ R
Montrer que a, b, c sont réels.
Exercice 2: CEN M 1991
Déterminer les racines du polynôme
!
n
X
k 2n
P=
(−1)
Xn−k
2k
k=0
Exercice 3:
Soit n ∈ N∗ et ω = e
Montrer que :
n−1
Y
k=0
2iπ
n
.
(ω 2k − 2ω k cos θ + 1) = 2(1 − cos nθ).
Exercice 4: CENTRALE PSI 2013
2iπ
Soit n ∈ N∗ et ω = e n .
n−1
X
1. Calculer
ω kp avec k entier naturel.
p=0
2. Soit P =
X
k
ak Xk ∈ C[X]. Calculer
n−1
X
p=0
ω −jp P(ω p ) pour j ∈ ~0, n .
Exercice 5: CCP PSI 2008
Factoriser X8 + X4 + 1 dans R[X] à l’aide d’une identité remarquable, puis en étudiant les racines
complexes de P.
Exercice 6: CCP MP 2010
Soient θ ∈ R et n ∈ N⋆ . Décomposez en produit de polynômes irréductibles dans C [X] , puis dans
R [X] le polynôme
P(X) = X2n − 2Xn cos(nθ) + 1
Exercice 7: ENSI M 1991
Soit P = X4 − 5X3 + 9X2 − 15X + 18.
Trouver les racines de P sachant que le produit de deux d’entre elles est égal à 6.
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Exercice 8: ENSI M 1991
√
1−i 7
et P = X3 + aX − aX − 1.
2
Montrer que P(X) divise P(X2 ). En déduire les racines de P.
Soit a =
Exercice 9: CEN PC 2006
On pose, pour tout n ∈ N , Bn = (X2n + 1)2 .
Quel est le reste de la division euclidienne de Bn par B1 ?
Exercice 10: CEN PC 2004
Le reste de la division euclidienne de P par (X − 1)(X − 2) est X + 2, celui de la division euclidienne
de P par (X − 2)(X − 3) est 2X .
Trouver le reste de la division euclidienne de P par (X − 1)(X − 2)(X − 3).
Exercice 11: CCP 2013
Déterminer tous les polynômes P ∈ R7 [X] tels que (X + 1)4 divise P(X) − 1 et (X − 1)4 divise P(X) + 1.
Exercice 12: MINES PSI 2013
Déterminer le polynôme P ∈ R[X] de degré minimum tel que le reste dans la division euclidienne de
P par X2 + X + 1 soit X − 21 et que le reste dans la division euclidienne de P par X2 − X + 1 soit −X + 2.
Exercice 13: CENTRALE PSI 2013
1. Montrer que les racines a, b, c de P = X3 − 5X2 + 6X − 1 sont réelles et distinctes.
2
2
2
2. Déterminer un polynôme
Q de degré 3 de racines (a − 2) , (b − 2) et (c − 2) . En déduire
−P(X)P(4 − X) = P (X − 2)2 .
Exercice 14: TPE 2002
Résoudre le système :


x + y + z = 1,



 2
x + y 2 + z 2 = 7,





xyz = −3
Exercice 15: MINES MP 2007-2009
1
1
1. (2007) Montrer que ∃!An ∈ C[X] tel que An X +
= Xn + n ·
X
X
(2k + 1)π
Montrer que les racines de An sont les xk = 2 cos
pour 0 6 k 6 n − 1.
2n
1
en éléments simples.
Décomposer Rn =
An
2. (2009) Soit A ∈ GLn (R) telle que A + A−1 = In . Déterminer Ak + A−k pour k ∈ N .
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Exercice 16:
Soit A =
n
X
ak Xk un polynôme scindé de degré n > 2 à coefficients réels.
k=0
1. Montrer que A′ est scindé sur R . Que peut-on dire si les racines de A sont simples ?
2. Montrer que : ∀x ∈ R,
A′2 (x) − A(x)A′′ (x) > 0.
3. Montrer que : ∀k ∈ ~1, n − 1 ,
k(k + 1)ak−1 ak+1 < k 2 a2k .
Autre version de cet exercice, donnée à MINES M 1992 et MINES PC 1998 :
n
X
Soit P =
ak Xk un polynôme à coefficients réels, tel qu’il existe k ∈ ~1, n − 1 tel que ak = 0 et
k=0
ak−1 ak+1 > 0.
Montrer que P a au moins deux racines complexes non réelles.
Exercice 17: ENSIIE 2003
1. Montrer que si P ∈ R[X] est scindé sur R , alors P′ l’est aussi. Quelle précision peut-on ajouter
si, de plus, les racines de P sont simples ?
2. Plus généralement, soit P ∈ R[X] scindé sur R et a ∈ R . Montrer que P′ − aP est scindé.
n
n
X
X
3. En déduire que si P et Q =
bk Xk sont des polynômes réels scindés, alors
bk P(k) est
k=0
scindé.
k=0
✄
✂ALGÈBRE
LINÉAIRE ✁
Exercice 26: MINES PSI 2013
Montrer que si deux sous-espaces vectoriels admettent un supplémentaire commun, ils sont isomorphes. Étudier la réciproque.
Exercice 27: CEN MP 2003
On considère la famille {Xn + Xn+1 , n ∈ N} . Est-elle libre ? Est-elle génératrice de R[X] ?
Exercice 28: CCP PSI 2011,2013
Soit n > 2 et pour k ∈ ~0, n : Pk = Xk (1 − X)n−k .
1. Montrer que (P0 , . . . , Pn ) est une base de Rn [X].
2. Exprimer 1, X , . . . , Xn dans la base précédente.
Exercice 29: MINES PSI 2013
Soient n ∈ N∗ , E un espace vectoriel de dimension n et B = (e1 , . . . , en ) une famille de vecteurs de E.
On suppose que : pour toute f ∈ E∗ , f (e1 ) = . . . = f (en ) = 0 =⇒ f = 0. Montrer que B est une base de
E.
Exercice 30: CCP PC 2005
n
o
n
o
On pose F = P ∈ R3 [X] tq P(1) = P(2) = P(3) = 0 et G = P ∈ R3 [X] tq P(0) = 0 . Montrer que F et G
sont supplémentaires dans R3 [X].
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Exercice 31: MINES P’ 1994
Trouver tous les polynômes de R[X] tels
( que :
P(0) = 1
P(1) = 0
P′ (0) = 0
P′ (1) = 1
Exercice 32: CCP 2003,2005
Soit E un espace vectoriel de dimension n > 2. Soit f un projecteur de E. Trouver une condition
nécessaire et suffisante sur t ∈ K pour que f + tId soit inversible. Trouver alors son inverse.
Exercice 33: TPE MP 2002
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n . Soit f ∈ L (E). Montrer que f est un projecteur si et
seulement si rg f + rg(Id − f ) = n .
Exercice 34: classique !
Soient p, q deux projecteurs tels que pq = qp . Montrer que pq est un projecteur et déterminer son
image et son noyau.
Exercice 35: classique aussi !
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie. Soient f , g ∈ L (E) tels que f ◦ f = f , g ◦ g = g et
f ◦ g = g ◦ f . On pose h = f + g − g ◦ f . Déterminer Ker h et Im h .
Exercice 36: MINES PC 2000
Soi u ∈ L (E) tel que u n = IdE . Soit F un sous-espace vectoriel de E stable par u et p un projecteur
n
1X k
u ◦ p ◦ u n−k .
sur F. Posons : q =
n
k=1
1. Montrer que u ◦ q = q ◦ u .
2. Montrer que que q ◦ p = p .
3. En déduire q est un projecteur.
Exercice 37: NAVALE 2002
Soient p et q des projecteurs de E. Montrer que p ◦ q = q
⇐⇒
Im q ⊂ Im p.
Exercice 38: CCP MP 2003
Soit E un C -espace vectoriel de dimension finie n .
1. Soient u, v ∈ L (E) tels que u ◦ v − v ◦ u = u . Montrer que
∀p ∈ N
u p v − vu p = pu p .
(
L (E) −→ L (E)
En utilisant φ :
, montrer que u est nilpotent.
w 7−→ wv − vw
2. Soit e ∈ L (E). Pour k ∈ N∗ , exprimer tr(u k ) en fonction des valeurs propres non-nulles de u et
de leur ordre de multiplicité.
3. Montrer que, si tr(u k ) = 0 pour tout k ∈ ~1, n , alors u est nilpotent.
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Exercice 39: CCP PSI 2013
Soit n > 1 et ϕ qui à P ∈ Rn [X] associe P(X + 1) − P(X).
1. Montrer que ϕ est un endomorphisme nilpotent de Rn [X].
!
n
X
n
(−1)n−j
P(X + j) = 0.
2. En déduire : ∀P ∈ Rn−1 [X],
j
j=0
Exercice 40: CENTRALE PSI 2007, MINES PSI 2013
Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie et G un sous-espace vectoriel de E.
Montrer que A = {u ∈ L (E, F) tq G ⊂ Ker u} est un sous-espace vectoriel de L (E, F) et en donner la
dimension.
Exercice 41: CCP PSI 2013
Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E.
Montrer que si Im f = Im f 2 alors E = Ker f + Im f . Étudier la réciproque.
Que peut-on dire de plus si E est de dimension finie ?
Exercice 42: CEN PC 2005
Soient E, F, G trois K-espaces vectoriels , f ∈ L (E, F) et g ∈ L (F, G). Établir :
1. Ker(g ◦ f ) = Ker f ⇐⇒ Ker g ∩ Im f = {0} .
2. Im(g ◦ f ) = Im g ⇐⇒ Ker g + Im f = F.
Exercice 43: CCP MP 2010
Soient f et g deux endomorphismes d’un espace vectoriel E sur R ou C vérifiant f ◦ g = Id .
a) Montrer que Ker(g ◦ f ) = Ker f et Im(g ◦ f ) = Img .
b) Montrer
E = Ker f ⊕ Img
c) Dans quel cas peut-on conclure g = f −1 ?
d) Calculer (g ◦ f ) ◦ (g ◦ f ) et caractériser g ◦ f
Exercice 44: CEN PC 2005, MINES PSI 2013
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n . Soit f ∈ L (E) tel que f 2 = −IdE .
1. Montrer que si x1 , . . . , xp , f (x1 ), . . . , f (xp−1 ) est une famille libre, alors il en est de même pour
la famille x1 , . . . , xp , f (x1 ), . . . , f (xp ) .
2. Que peut-on en déduire pour dim E ?
3. Montrer qu’il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est
"
0
In/2
#
−In/2
.
0
Exercice 45: CCP MP 2010
Soit E un espace vectoriel réel de dimension finie n > 2.
a) Indiquer des endomorphismes de E dont la représentation matricielle est la même dans toutes
les bases de E.
b) Soit (e1 , . . . , en ) une base de E. Montrer que pour tout i ∈ {2, . . . , n} , la famille (e1 + ei , e2 , . . . , en ) est
une base de E.
c) Déterminer tous les endomorphismes de E dont la représentation matricielle est diagonale dans
toutes les bases de E.
d) Quels sont les endomorphismes de E dont la représentation matricielle est la même dans toutes
les bases de E ?
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Exercice 46:
Soit A ∈ M n (R) telle qu’il existe λ > 0 avec A3 = −λA.
Montrer que le rang de A est pair.
Exercice 47: CCP PC 2003
!
(
1 2
M 2 (R) −→
On pose A =
. On note également f :
2 4
M 7−→
Déterminer Ker f . L’endomorphisme f est-il surjectif ?
M 2 (R)
AM.
Exercice 48: MINES PSI 2013
Soit B ∈ M n (R) et A =
"
In
B
#
B
∈ M 2n (R).
In
Trouver une condition nécessaire et suffisante portant sur B pour que A soit inversible. Déterminer
alors l’inverse de A.
Exercice 49: CCP PSI 2007
1. Montrer que, si u est un endomorphisme de R3 vérifiant u 3 + u = 0, il n’est pas bijectif.
2. Montrer que R3 = Ker u ⊕ Imu , que Ker u = Im(u 2 + Id) et que Im u = Ker(u 2 + Id).
3. Montrer que rg u = 2 et qu’il existe une base de R3 où sa matrice est
4. Généralisation à Rn .


0 0 0 


0 0 −1


0 1 0
Exercice 50: CCP PC 2001
Soit E un espace vectoriel de dimension n ( n > 1). Soit u un endomorphisme de E tel que
Ker u = Im u .
1. Montrer que dim E = 2p avec p ∈ N∗ .
2. Montrer qu’il
existe
une base B de E dans laquelle la matrice de u est de la forme
"
#
0 Ip
matB u =
.
0 0
Exercice 51: NAVALE MP 2003
Soit
( A ∈ M n (R). On note Sn (R) l’ensemble des matrices symétriques réelles d’ordre n et on définit
Sn (R) −→ Sn (R)
u:
M 7−→ AM + Mt A.
1. Calculer la trace de u .
2. On suppose que A est antisymétrique. Montrer que 0 est la seule valeur propre de u .
Exercice 52: CCP PSI 2010, 2011, 2013
Déterminer les M ∈ M n (R) telles que Mt MM = In .
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Exercice 53:

 1

 a
 2
 a

Soit M =  .
 ..

an−2

 n−1
a
a
1
a
..
.
a2
a
1
..
.
...
...
...
..
.
...
...
...
..
.
an−3
...
...
...
a2
1
a
an−2 . . .

an−1 

an−2 

an−3 
..  ∈ M n (R).
. 
a 

1
Calculer le rang de M selon les valeurs de a . Calculer det(M).
Exercice 54:

1
0


Soit A =  ...

0

1
1
1
..
.
0
1
..
.
...
0
..
.
...
...
..
.
0 ...
0 ...
...
...
1
0

0
0
..  ∈ M (R).
n
. 

1

1
Déterminer le rang de A et calculer son inverse si elle existe.
Exercice 55: CEN PC 2003
Inverser la matrice de coefficients aij =
de polynômes.
!
j −1
pour j > i et aij = 0 sinon. Interprétation en termes
i −1
Exercice 56: CEN MP 2000
Soit C ∈ M n (C) une matrice vérifiant :
∀X ∈ M n (C)
Montrer que C = 0.
det(C + X) = det X .
Exercice 57: CCP 2003
Soient A, B ∈ M n (R). On pose P(t) = det(A + tB). Montrer que deg P 6 rg B.
Exercice 58: CCP PC 2002
Soient x , a0 , . . . , an
a
···
n
1 x
Calculer ..
.
des réels.
· · · a0 .
..
.
1 x
Exercice 59: ST-CYR MP 2002
x a2 a3 . . . an .. . a1 x a3
.. où les coefficients a sont des complexes.
On pose P(x) = a a
i
x
.
2
1
.
.
.
.
.
..
..
..
. . .. a1 a2 a3 · · · x Calculer P(a1 ), . . . , P(an ). Déterminer une expression de P(x) en étudiant la fraction rationnelle
P(X)
.
(X − a1 ) · · · (X − an )
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Exercice 60: CCP PC 2001
Discuter et résoudre le système


x + y + (1 + a)z = 2(1 + a),




(1 + a)x − (1 + a)y + z = 0,





2x + 2ay + 3z = 2(1 + a).
Exercice 61: CCP 2003
Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie. Soient f , g ∈ L (E, F). Montrer que
|rg f − rgg| 6 rg(f + g) 6 rg f + rg g.
Rem : il y a des examinateurs aux CCP qui ne se fatiguent pas...
Exercice 62: CCP MP 2004
Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie n et u, v ∈ L (E) tels que u ◦ v = 0 et u + v est
inversible. Montrer que n = rg(u) + rg(v).
Rem : il y a des examinateurs aux CCP qui ne se fatiguent pas...
Exercice 63: CEN
Soit A ∈ M n (K), de rang r . On note
F = {B ∈ M n (K) tq ABA = 0}
Montrer que F est un sous-espace vectoriel de M n (K) et en déterminer la dimension.
Exercice 64: MINES MP 2001

 1

Montrer que  j
 2
j
j
j2
1

j 2 

1  est semblable à

j


0 0 0
0 0 1 .


0 0 0
Exercice 65: CENTRALE PSI 2013


 0 −1 −1


Soient A ∈ M 3,2 (R) et B ∈ M 2,3 (R) telles que AB = −1 0 −1 .


1
1
2
Calculer (AB)2 et en déduire BA.
Exercice 66: TPE PSI 2013, MINES PSI 2010, etc...
Soient A et B deux matrice de M n (R), semblables dans M n (C). Montrer que A et B sont aussi
semblables dans M n (R).
Exercice 67: TPE 2001

2 0

On pose A = 3 4

1 2

4 

−12 . Calculer An pour tout n ∈ N à partir de A2 , A et I3 .

5
Exercice 68: TPE PC 2004
Calculer l’inverse de la matrice de coefficients aij = 1 + α δ ij .
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Exercice 69: CCP PSI 2007
Inverser la matrice M dont les coefficients mi,j valent 0 si i > j et j − i + 1 sinon.
Exercice 70: CCP PSI 2013
Soit (α1 , . . . , αn ) ∈ Cn et A la matrice carrée d’ordre n + 1 telle que ai,1 = a1,i = αi−1 pour 2 6 i 6 n + 1
et ai,j = 0 sinon.
Déterminer le rang de A et de A2 .
Exercice 71: CCP PSI 2013, MINES PSI 2009
Soient a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn des nombres complexes.
On définit M ∈ M n (C) par mi,i = ai + bi et mi,j = bi pour i , j . Calculer le déterminant de M.
Exercice 72: CCP MP 2002
Trouver les solutions de
X2

0

= A où A = 0

0

1 0

0 1 .

0 0
Exercice 73: CCP PC 2002
Déterminer les matrices carrées vérifiant X2 + X =
!
1 1
= A.
1 1
Exercice 74: TPE MP 2002
Soit n ∈ N . Soient α > 0 et A, B ∈ M n (R). Discuter de l’existence de X ∈ M n (R) tel que
αX + (tr X)A = B.
✄
✂RÉDUCTION ✁
Exercice 75: ENSAM 2012, 2013
1. Soit M ∈ M n (C). Montrer que M est nilpotente si et seulement si sa seule valeur propre est 0.
2. Soient A, B ∈ M n (C) telles qu’il existe n + 1 valeurs µ pour lesquelle A + µB est nilpotente.
Montrer que A et B sont nilpotentes.
Exercice 76: CCP PSI 2007
Soit A ∈ M n (R) telle que A3 = A + In . Montrer que det A > 0.
Exercice 77: MINES PSI 2013, TPE MP 2002
Soit A ∈ M 5 (R) telle que 12 A3 − 8A2 + 7A − I5 = 0. Montrer que 0 < tr A < 2.
Exercice 78: CCP PSI 2013
Soit A ∈ M 5 (R) inversible telle que A3 − 3A2 + 2A = 0 et tr A = 6.
Déterminer le polynôme caractéristique et le polynôme minimal de A.
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Exercice 79: CEN PSI 2013 etc...
Soit E un C -espace vectoriel de dimension finie. Soient f , g ∈ L (E) tels que f et g commutent.
1. Montrer que tout espace propre pour f est stable par g .
2. Montrer qu’il existe un vecteur propre commun à f et g .
3. Lorsque f et g sont diagonalisables montrer qu’il existe une base de E formée de vecteurs
propres communs à f et à g .
Exercice 80: NAVALE MP 2002
Soient A et M des matrices de M n (K). On suppose que A a n valeurs propres dans K deux à deux
distinctes. Montrer que AM = MA si, et seulement si, il existe un polynôme P ∈ Kn−1 [X] tel que
M = P(A).
Exercice 81: CCP PC 2001
Soit f ∈ L (Cn ). Soit b ∈ C tel que (f − bId)3 = 0. On suppose que f n’est pas une homothétie.
1. Montrer que f n’est pas diagonalisable.
2. Soit P ∈ C[X]. Montrer l’équivalence
P(f ) ∈ GL(Cn ) ⇐⇒ P(b) , 0 .
Exercice 82: CCP PSI 2009
Soit n un entier > 2, et E = Rn [X].
Pour P ∈ E, soit ϕ(P) = (X2 − X)P(−1) + (X2 + X)P(1).
1. Montrer que ϕ est un endomorphisme de E. Déterminer son noyau et son image.
2. Déterminer les éléments propres de ϕ . ϕ est-il diagonalisable ?
Exercice 83: CCP PSI 2013
Montrer que g : P 7→ n2 XP(X) − (X2 + X)P′ (X) − X :3 P′′ (X) est un endomorphisme de Rn [X].
Est-il diagonalisable ? injectif ?
Exercice 84: MINES MP 2002
On pose E = Rn [X] et on définit sur E un endomorphisme u qui à P associe Q = P(X) + P(X + 1).
1. Donner la matrice de u dans la base canonique de E, ainsi que ses valeurs propres et la
dimension de ses espaces propres.
2. Notons v = u − 2Id. Donner la matrice de v ainsi que son noyau et son image.
3. Montrer qu’il existe une famille (P0 , P1 , . . . , Pn ) de polynômes telle que P0 = 1 et, pour tout
k ∈ ~1, n , on a
Pk (0) = 0 et Pk (X + 1) = Pk (X) + Pk−1 (X).
Donner la matrice de u dans la base (P0 , . . . , Pn ).
Exercice 85: CCP 2000
E étant un C -espace vectoriel de dimension finie, on suppose que f ∈ L (E) est tel que f ◦ f est
diagonalisable.
Montrer que f diagonalisable si et seulement si Ker f 2 = Ker f .
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Exercice 86: ENSIIE 2003

3 − α

Trouver les réels α tels que la matrice Aα =  −α

5
Dans ce cas la diagonaliser.
−5 + α
α−2
−5

α 

α  soit diagonalisable dans M3 (R).

−2
Exercice 87: CCP PC 2001

4 − a

Pour tout a ∈ R , on note Aa =  −6

2
Ba sont semblables pour tout a ∈ R .
1
−1 − a
1


−1 
1 − a


2  et Ba =  0


1−a
0
1
1−a
0

0 

0  . Montrer que Aa et

2−a
Exercice 88: CCP PC 2002
Déterminer les suites (un ), (vn ) et (wn) vérifiant

un+1 = un − vn + 2wn




vn+1 = −un + vn − 2wn




w
n+1 = −3un + vn − 4wn .
Exercice 89: TPE MP 2001

 0
−3

On pose A = 
 0

−1
1
0
1
0
0
4
0
1

3
0
.
2

0
1. Calculer son polynôme caractéristique. Est-elle diagonalisable ?
2. Quel est son polynôme minimal ? En déduire une autre étude de la diagonalisabilité de A
3. Montrer que R4 = Ker(I − A)2 ⊕ Ker(I + A)2 .

1 1
0 1

4. Montrer que A est semblable à B = 
0 0
0 0

0
0 
0
0 
 . Calculer An .
−1 1 

0 −1
Exercice 90: CEN PC 2001
Soit a1 , . . . , an ∈ (C∗ )n . Diagonaliser, si c’est possible, la matrice A = (ai /aj )i,j ∈ M n (C).
Exercice 91: MINES PC 2002
Trouver une condition nécessaire et suffisante sur a ∈ R
lisable :

q
p


0n−1
M = 
x
y

1 ··· 1
pour que la matrice suivante soit diagona
a 
.. 
.  .
a 

1
Exercice 92: CCP PSI 2013
Soit A ∈ M n (C) la matrice avec des 1 sur la première et la dernière ligne ainsi que sur la première
et dernière colonne, et des 0 ailleurs.
1. Déterminez le spectre de A.
2. Démontrer que pour tout k > 3 il existe λk et µ k tels que Ak = λk A + µ k A2 .
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Exercice 93: CCP PSI 2007
Expliciter l’endomorphisme de Rn−1 [X] représenté dans la base canonique par la matrice :


1
0 ...
 0



.
.
.
.
n − 1 0
.
2
. 



.. .. ..

M =  0
.
.
.

0


 .

.. ..
 .
.
. 0 n − 1
 .


0
... 0
1
0
Déterminer les éléments propres de M. M est-elle diagonalisable ?
Exercice 94: CCP MP 2002, MINES PC 2003, etc..
Soit A ∈ M n (C) une matrice de rang 1. Montrer que A est diagonalisable si et seulement si tr A , 0.
Exercice 95: CCP MP 2001


−4 4 −4


On note A = −4 4 4  . Déterminer ses éléments propres. Trouver toutes les matrices B ∈ M 3 (C)


−8 8 0
telles que B3 = A.
Exercice 96: CCP PSI 2010


0 
1 3


Soit A = 3 −2 −1 .


0 −1 1
1. Calculer le polynôme caractéristique χ A de A.
2. Déterminer le reste de la division euclidienne de Xn par χ A .
3. Calculer An pour n ∈ N .
Exercice 97: CEN MP 2001

0

1 et E = M 3 (R).

0
(
E −→ E
1. On définit f :
. Écrire la matrice de f , calculer son polynôme caractéristique,
X 7−→ AX
déterminer ses éléments propres.

0 1

On pose A = 0 0

6 7
2. Même question avec g : X 7→ XA.
3. Même question avec h = f + g .
Exercice 98: ENSAI MP 2000
"
0
Soit A ∈ Mn (C) et B ∈ M2n (C) donnée par : B =
In
#
A
.
0
a) Calculer le polynôme caractéristique de B en fonction de celui de A.
b) Montrer que : B diagonalisable ⇔ A diagonalisable et inversible.
Exercice 99: CCP PSI 2013 etc...
"
#
A A
Soit A ∈ M n (C). On pose B =
. Montrer par deux méthodes différentes que A est diagonaliA A
sable si et seulement si B l’est.
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Exercice 100: ENSIIE 2003
Soit A une matrice carrée réelle d’ordre n et I la matrice identité d’ordre n .
1. Démontrer que si rg A = 1 alors ∀λ ∈ R , det(I + λA) = 1 + λ tr(A).
2. Examiner la réciproque, en discutant éventuellement suivant que A est diagonalisable ou non.
Exercice 101:
n X
a .
Soit A ∈ M n (R) (n > 2) telle que : ∀i ∈ ~1, n , aii >
ij
j=1
j,i
a)XSoit
λ une valeur propre réelle de A. Montrer qu’il existe i ∈ ~1, n tel que :
aij .
|aii − λ| 6
j,i
b) En déduire :det A > 0.
✄
✂ALGÈBRE
BILINÉAIRE ✁
Exercice 102: CCP MP 2001
E
D Soit E un espace vectoriel préhilbertien réel, et soit v ∈ L (E) tel que : ∀x ∈ E, xv(x) = 0. Montrer
que Ker v = (Im v)⊥ .
Exercice 103: CCP MP 2002
h
i⊥
Déterminer Dn (R) , où Dn (R) est l’ensemble des matrices diagonales réelles.
Exercice 104:
1. Soit A ∈ M n (R). Montrer que Ker tAA = Ker A.
A désigne désormais une matrice de M n (R) telle que AtA = tAA.
2. On suppose qu’il existe p ∈ N∗ tel que Ap = 0. Montrer que A = 0.
3. On suppose qu’il existe P ∈ R[X] et q ∈ N∗ tels que Pq (A) = 0. Montrer que P(A) = 0.
4. En déduire que A admet un polynôme annulateur dont toutes les racines complexes sont
simples.
Exercice 105: ENSI PC 1988
Soit A ∈ GLn (R).
1. Montrer qu’il existe Q ∈ On (R) et R ∈ M n (R) triangulaire supérieure à coefficients diagonaux
strictement positifs telles que A = QR.
Indication : On orthonormalisera la base formée des vecteurs colonnes de A.
2. Montrer que cette décomposition est unique.
Exercice 106: MINES PC 2004
Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension n . Soit (a1 , . . . , an ) une base quelconque de E.
Montrer qu’il existe un vecteur b , 0 tel que :
D E
∀(i, j) ∈ ~1, n2
hb|ai i = b aj .
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Exercice 107: CCP PC 2001
Déterminer inf
a,b∈R
Z
π
0
sin x − ax − bx2
2
dx .
Exercice 108:
Déterminer
min
(a,b,c)∈R 3
Z
+∞
(x3 + ax2 + bx + c)2 e−2x dx .
0
Exercice 109: CCP PSI 2013
Soient a0 , . . . , an n + 1 réels.
1. A quelle condition l’application (P, Q) 7→
n
X
P(ak )Q(ak ) est-elle un produit scalaire sur Rn [X] ?
k=0
Cette condition sera supposée réalisée pour la suite.
2. Trouver
une base orthonormale
pour ce produit scalaire, et déterminer l’orthogonal de




X




F=
P ∈ Rn [X] tq
P(ak ) = 0
.




k=0
3. Quelle est la distance de Xn à F ?
Exercice 110: CCP PC 2003
On se place dans l’espace vectoriel euclidien Rn muni de sa structure canonique. Notons H l’hypern
X
xi = 0. On considère la famille B = (e1 , . . . , en−1 ), où l’on a noté
plan d’équation
i=1
ei = (1, 0, . . . , −1, 0, . . . , 0).
↑
(i + 1)-ième
coordonnée
1. Montrer que B est une base de H.
2. Construire une base orthonormale B ′ = (f 1 , . . . , f n−1 ) de H. Expliciter f 1 , f 2 , f 3 et donner la
forme générale de f k .
3. Déterminer la projection orthogonale sur H du vecteur u = (0, . . . , 0, 1) à l’aide de B ′ .
4. Retrouver ce résultat à l’aide d’un vecteur orthogonal à H.
Exercice 111: CCP MP 2010
On définit dans M2 (R) × M2 (R) l’application ϕ(A, A′ ) = tr(t AA′ )
On note
(
!
)
a b
2
F=
/(a, b) ∈ R
−b a
On admet que ϕ est un produit scalaire sur M2 (R)..
a) Démontrez que F est un sous-espace vectoriel de M2 (R).
b) Déterminez une base orthonormée de F ⊥ .
d) Déterminez le projeté orthogonal de
!
1 1
J=
1 1
sur F ⊥ .
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Exercice 112:
a) Dans R3 euclidien, déterminer la matrice de la projection orthogonale sur le plan d’équation : x − 2y + z = 0.
b) Dans R4 euclidien, déterminer la matrice de la symétrie orthogonale par rapport au plan
d’équation : {x + y + z + t = 0, x − 2y + z = 0} .
Exercice 113: MINES PSI 2013
Soit
E unespace euclidien de dimension n , et (x1 , . . . , xp ) p vecteurs unitaires de E, tels que p > n
et xi − xj est constante et vaut d > 0 pour i , j .
Exprimer d en fonction de p et en déduire p = n + 1.
D E
Indication : on pourra utiliser la matrice M de coefficients xi xj .
Exercice 114: CCP PSI 2005
On se place dans l’espace R3 muni de sa structure euclidienne usuelle.
1. Déterminer la matrice de la projection orthogonale sur la droite d’équation x = y = z .
 
1
π
 
2. Déterminer la matrice de la rotation d’axe orienté par u = 1 et d’angle .
 
3
1


2
1
 2
− 

3
3 
 3


 1
2
2
 ?

3. Quel est l’endomorphisme représenté par la matrice M = −


 3
3
3


2 
1
 2
−
3
3
3
Exercice 115: CCP PSI 2004-2010
E désigne ici un espace euclidien, u un endomorphisme de E et u ∗ son adjoint.
On suppose que, pour tout x ∈ E, ku(x)k 6 kxk .
1. Montrer que, pour tout x de E : ku ∗ (x)k 6 kxk.
2. Montrer que ku(x)k = kxk ⇐⇒ u ∗ ◦ u(x) = x .
3. Montrer que u(x) = x ⇐⇒ u ∗ (x) = x .
4. Montrer que Ker(u − IdE ) et Im(u − IdE ) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires
orthogonaux de E.
n−1
1X k
∗
5. Pour tout x ∈ E et tout n ∈ N , on pose : un (x) =
u (x) ·
n
k=0
Montrer que la suite (un (x))n∈N∗ converge vers p(x), où p est le projecteur orthogonal sur
Ker(u − IdE ).
Exercice 116: CCP PSI 2007-2009
Soit A ∈ M n (R). On note f A l’application qui, à toute matrice M ∈ M n (R) associe la matrice
f A (M) = AM − MA.
(
M n (R) × M n (R) −→ R
1. a) Montrer que l’application ϕ :
est un produit scalaire sur
(M, N) 7−→ tr(t MN)
M n (R).
b) Vérifier que f A est un endomorphisme de M n (R), et déterminer son adjoint f A∗ relativement au produit scalaire précédent.
c) Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que f A = f A∗ .
2. Démontrer que A est nilpotente si et seulement si A ∈ Im f A .
3. Démontrer que, si A est diagonalisable, il en est de même de f A .
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Exercice 117: CCP PSI 2010
Soit E un espace vectoriel euclidien, et u un endomorphisme de E tel que
∀x ∈ E , hu(x)|xi = 0.
1. Montrer que u ∗ = −u .
2. a) Montrer que u + IdE est inversible.
b) Soit v = (IdE + u)−1 ◦ (IdE − u). Montrer que v est un automorphisme orthogonal de E
n’admettant pas −1 pour valeur propre. Calculer det v .
3. Réciproquement, soit v un automorphisme orthogonal de E n’admettant pas −1 pour valeur
propre .
Montrer qu’il existe u ∈ L (E) tel que u ∗ = −u et v = (IdE + u)−1 ◦ (IdE − u).
Exercice 118:
Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension n > 1, et u ∈ GL(E) tel que :
∀(x, y) ∈ E , < x, y >= 0 ⇒< u(x), u(y) >= 0
Montrer qu’il existe α > 0 tel que : ∀x ∈ E , ku(x)k = αkxk.
Exercice 119:
1. Montrer que l’on définit un produit scalaire sur E = M p,q (R) en posant : hX|Yi = tr(t XY).
2. Soient A ∈ M p (R) et B ∈ M q (R). On définit alors l’endomorphisme φ de E par : φ(X) = AX−XB.
déterminer l’adjoint de φ .
3. Soit A ∈ E. On définit l’endomorphisme ψ de E par : ψ(X) = At XA. Déterminer l’adjoint de ψ .
Exercice 120: ENSAE MP 2003
Soit u ∈ L (Cn ). Montrer que
u ◦ u∗ = u∗ ◦ u
⇐⇒
∀x ∈ Cn
ku(x)k = ku ∗ (x)k.
Exercice 121: CEN PC 2006
Soit A ∈ M n (R) telle que tAA = A2 .
1. Montrer que rg(tAA) = rg(A).
⊥
2. Montrer que Rn = Ker(A) ⊕ Im(A).
3. Montrer que A est symétrique.
Exercice 122: CCP MP 2010, PSI 2013
On considère l’espace vectoriel Rn muni de son produit scalaire usuel noté h. | .i . Soit f un endomorphisme symétrique de Rn dont toutes les valeurs propres sont strictement positives.
a) Montrer que
∀x ∈ Rn \ {0} , f (x) | x > 0
b) Soit u un vecteur de Rn et g : Rn → R l’application définie par
g(x) =
1
f (x) | x − hu | xi
2
Montrer que g admet des dérivées partielles selon tout vecteur de Rn et les expliciter.
c) Montrer que g admet un unique point critique noté z .
d) Montrer que g admet un minimum global en z .
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Exercice 123: MINES PSI 2013
Soit E un espace vectoriel euclidien. Pour u ∈ L(E), on pose : |||u||| = sup ku(x)k.
x∈E
kxk61
1. Montrer que |||.||| est une norme sur L(E).
2. Montrer que : |||u||| =
sup | < u(x), y > | . En déduire que : |||u||| = |||u ∗||| .
(x,y)∈E2
kxk61,kyk61
3. Soit u ∈ L(E) tel que |||u||| 6 1.
a) Montrer que si f (x) = x alors f ∗ (x) = x (considérer kf ∗ (x) − xk).
b) Montrer que Ker(u − IdE ) et Im(u − IdE ) sont supplémentaires orthogonaux.
Exercice 124: CCP MP 2002
Soient E un espace vectoriel
D
D
E a et b deux endomorphismes symétriques définis positifs
E euclidien,
tels que : ∀x ∈ E \ {0} , a(x)x < b(x)x .
Soit λ ∈ Sp(b −1 a). Montrer que
P λn
converge.
n>1 n
Exercice 125: NAVALE MP 2002
Soit M ∈ M n (R).
1. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) M est inversible ;
(ii) il existe une matrice O orthogonale et une matrice S symétrique à spectre inclus dans R∗+
telles que M = OS .
Indication : On pourra étudier t M · M.
2. Étudier l’unicité de la décomposition.
Exercice 126:
Soient f 1 , . . . , f n ∈ C([0, 1], R). Pour (i, j) ∈ ~1, n2 , on pose :
aii =
n Z
X
j=1
1
0
f j2 (t) dt
et, pour i , j, aij = −
Z
1
0
f i (t)f j (t) dt
j,i
Soit enfin A la matrice A = (aij ) ∈ Mn (R).
a) Montrer que A est symétrique positive.
b) A quelle condition A est-elle définie positive ?
✄
✂GÉOMÉTRIE ✁
Exercice 127: CCP PSI 2006
√
Tracer la courbe d’équation polaire r = 4 cos2 θ − 1.
Calculer l’aire comprise entre la courbe et le cercle de centre O et de rayon 1.
Exercice 128: MINES MP 2010
Étudier la courbe C de représentation paramétrique polaire :
r = a(a − 2 cosθ)
où a est un réel > 0.
Une droite D passant par l’origine coupe C en deux points P et Q . On note I le milieu de [PQ].
Déterminer le lieu de I lorsque D varie.
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Exercice 129: CCP PSI 2008



x



Soit la courbe (C) : 



y
3
t2 + t + 1 .
3t
= 2
t +t+1
=
1. Étudier les variations de x et y , puis donner l’allure de (C).
2. Donner une équation cartésienne de (C). Préciser la nature de (C) et ses éléments caractéristiques.
Exercice 130: MINES MP 2004
Nature de la surface : 2x2 + 2y 2 + 2z 2 + 2xy − 2yz + x + 3y + z + 3 = 0.
Exercice 131: CCP PSI 2007-2009
Soit (H ) une hyperbole équilatère de centre O, et A, B, C trois points distincts de (H ).
1. On note H l’orthocentre du triangle ABC. Montrer que H appartient à H .
2. Soit H′ le symétrique de H par rapport à O. Montrer que H′ appartient au cercle (C)
circonscrit au triangle ABC.
3. On note A′ , B′ , C′ les milieux respectifs des cotés [BC], [CA] et [AB]. Montrer que le cercle
circonscrit au triangle A′ B′ C′ contient le point O, ainsi que les milieux des segments [AH],
[BH] et [CH].
Exercice 132: MINES MP 2008
Soit (H ) une hyperbole de centre O et d’asymptotes D et D′ . Soit M un point de (H ). La tangente
à (H ) en Mcoupe D et D′ en A et A′ respectivement.
Montrer que l’aire du triangle OAA′ est constante.
Exercice 133: CCP PSI 2009
Soit A un point d’un cercle de centre O et de rayon R.
Donner la trajectoire de l’orthocentre T du triangle OAM lorsque M décrit le cercle.
Exercice 134: CCP PSI 2009
Trouver tous les plans tangents à la surface (S) d’équation : x2 − 4y 2 + z 2 = 1 passant par des points
A(a, 0, 0), B(0, b, 0) et C(0, 0, c) tels que c = 2a = 2b (on supposera a, b, c non nuls.)
Exercice 135: CCP PSI 2009
On note ∆ la tangente au sommet S d’une parabole de foyer F et M un point de ∆ .
Montrer qu’une droite D passant par M est tangente à la parabole si et seulement si FM est
perpendiculaire à D.
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
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