EXERCICES DE RÉVISIONS – ALGÈBRE

EXERCICES DE RÉVISIONS – ALGÈBRE - GÉOMÉTRIE – 2012-2013 PSI* 13-14
EXERCICES DE RÉVISIONS – ALGÈBRE-GÉOMÉTRIE
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POLYNÔMES
Exercice 1: POX P’ 1991
Soient a, b,c trois nombres complexes de modules distincts, tels que
∀k∈ {1,2,3}ak+bk+ck∈R
Montrer que a,b, c sont réels.
Exercice 2: CEN M 1991
Déterminer les racines du polynôme
P =
n
X
k=0
(−1)k 2n
2k!Xn−k
Exercice 3:
Soit n∈N∗et ω=e2iπ
n.
Montrer que :
n−1
Y
k=0
(ω2k−2ωkcosθ+ 1) = 2(1 −cosnθ).
Exercice 4: CENTRALE PSI 2013
Soit n∈N∗et ω=e2iπ
n.
1. Calculer
n−1
X
p=0
ωkp avec kentier naturel.
2. Soit P = X
k
akXk∈C[X]. Calculer
n−1
X
p=0
ω−jp P(ωp)pour j∈~0,n.
Exercice 5: CCP PSI 2008
Factoriser X8+ X4+ 1 dans R[X] à l’aide d’une identité remarquable, puis en étudiant les racines
complexes de P.
Exercice 6: CCP MP 2010
Soient θ∈Ret n∈N⋆. Décomposez en produit de polynômes irréductibles dans C[X], puis dans
R[X] le polynôme
P(X) = X2n−2Xncos(nθ) + 1
Exercice 7: ENSI M 1991
Soit P = X4−5X3+ 9X2−15X + 18.
Trouver les racines de Psachant que le produit de deux d’entre elles est égal à 6.
Exercices – © T.LEGAY – Lycée d’Arsonval 1/18 27 mai 2014

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Exercice 8: ENSI M 1991
Soit a=1−i√7
2et P = X3+aX−aX−1.
Montrer que P(X) divise P(X2). En déduire les racines de P.
Exercice 9: CEN PC 2006
On pose, pour tout n∈N,Bn= (X2n+ 1)2.
Quel est le reste de la division euclidienne de Bnpar B1?
Exercice 10: CEN PC 2004
Le reste de la division euclidienne de Ppar (X −1)(X −2) est X + 2, celui de la division euclidienne
de Ppar (X −2)(X −3) est 2X.
Trouver le reste de la division euclidienne de Ppar (X −1)(X −2)(X −3).
Exercice 11: CCP 2013
Déterminer tous les polynômes P∈R7[X] tels que (X+ 1)4divise P(X)−1et (X−1)4divise P(X)+1.
Exercice 12: MINES PSI 2013
Déterminer le polynôme P∈R[X] de degré minimum tel que le reste dans la division euclidienne de
Ppar X2+ X +1 soit X−1
2et que le reste dans la division euclidienne de Ppar X2−X +1 soit −X +2.
Exercice 13: CENTRALE PSI 2013
1. Montrer que les racines a, b,c de P = X3−5X2+ 6X −1sont réelles et distinctes.
2. Déterminer un polynôme Qde degré 3 de racines (a−2)2,(b−2)2et (c−2)2. En déduire
−P(X)P(4 −X) = P(X −2)2.
Exercice 14: TPE 2002
Résoudre le système :
x+y+z= 1,
x2+y2+z2= 7,
xyz =−3
Exercice 15: MINES MP 2007-2009
1. (2007) Montrer que ∃!An∈C[X] tel que AnX + 1
X= Xn+1 Xn·
Montrer que les racines de Ansont les xk= 2cos (2k+ 1)π
2npour 06k6n−1.
Décomposer Rn=1
An
en éléments simples.
2. (2009) Soit A∈GLn(R)telle que A + A−1= In. Déterminer Ak+ A−kpour k∈N.
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Exercice 16:
Soit A =
n
X
k=0
akXkun polynôme scindé de degré n>2à coefficients réels.
1. Montrer que A′est scindé sur R. Que peut-on dire si les racines de Asont simples ?
2. Montrer que : ∀x∈R,A′2(x)−A(x)A′′(x)>0.
3. Montrer que : ∀k∈~1,n −1, k(k+ 1)ak−1ak+1 < k2a2
k.
Autre version de cet exercice, donnée à MINES M 1992 et MINES PC 1998 :
Soit P =
n
X
k=0
akXkun polynôme à coefficients réels, tel qu’il existe k∈~1,n −1tel que ak= 0 et
ak−1ak+1 >0.
Montrer que Pa au moins deux racines complexes non réelles.
Exercice 17: ENSIIE 2003
1. Montrer que si P∈R[X] est scindé sur R, alors P′l’est aussi. Quelle précision peut-on ajouter
si, de plus, les racines de Psont simples ?
2. Plus généralement, soit P∈R[X] scindé sur Ret a∈R. Montrer que P′−aPest scindé.
3. En déduire que si Pet Q =
n
X
k=0
bkXksont des polynômes réels scindés, alors
n
X
k=0
bkP(k)est
scindé.
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ALGÈBRE LINÉAIRE
Exercice 26: MINES PSI 2013
Montrer que si deux sous-espaces vectoriels admettent un supplémentaire commun, ils sont iso-
morphes. Étudier la réciproque.
Exercice 27: CEN MP 2003
On considère la famille {Xn+ Xn+1, n ∈N}. Est-elle libre ? Est-elle génératrice de R[X] ?
Exercice 28: CCP PSI 2011,2013
Soit n>2et pour k∈~0,n:P
k= Xk(1 −X)n−k.
1. Montrer que (P
0,...,P n)est une base de Rn[X].
2. Exprimer 1,X,..., Xndans la base précédente.
Exercice 29: MINES PSI 2013
Soient n∈N∗,Eun espace vectoriel de dimension net B= (e1,...,en)une famille de vecteurs de E.
On suppose que : pour toute f∈E∗,f(e1) = ... =f(en) = 0 =⇒f= 0. Montrer que Best une base de
E.
Exercice 30: CCP PC 2005
On pose F = nP∈R3[X] tq P(1) = P(2) = P(3) = 0oet G = nP∈R3[X] tq P(0) = 0o. Montrer que Fet G
sont supplémentaires dans R3[X].
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Exercice 31: MINES P’ 1994
Trouver tous les polynômes de R[X] tels que :
(P(0) = 1 P′(0) = 0
P(1) = 0 P′(1) = 1
Exercice 32: CCP 2003,2005
Soit Eun espace vectoriel de dimension n>2. Soit fun projecteur de E. Trouver une condition
nécessaire et suffisante sur t∈Kpour que f+tId soit inversible. Trouver alors son inverse.
Exercice 33: TPE MP 2002
Soit Eun K-espace vectoriel de dimension n. Soit f∈L(E). Montrer que fest un projecteur si et
seulement si rg f+ rg(Id −f) = n.
Exercice 34: classique !
Soient p,q deux projecteurs tels que pq =qp . Montrer que pq est un projecteur et déterminer son
image et son noyau.
Exercice 35: classique aussi !
Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie. Soient f ,g ∈L(E) tels que f◦f=f,g◦g=get
f◦g=g◦f. On pose h=f+g−g◦f. Déterminer Kerhet Imh.
Exercice 36: MINES PC 2000
Soi u∈L(E) tel que un= IdE. Soit Fun sous-espace vectoriel de Estable par uet pun projecteur
sur F. Posons : q=1
n
n
X
k=1
uk◦p◦un−k.
1. Montrer que u◦q=q◦u.
2. Montrer que que q◦p=p.
3. En déduire qest un projecteur.
Exercice 37: NAVALE 2002
Soient pet qdes projecteurs de E. Montrer que p◦q=q⇐⇒ Imq⊂Imp.
Exercice 38: CCP MP 2003
Soit Eun C-espace vectoriel de dimension finie n.
1. Soient u,v ∈L(E) tels que u◦v−v◦u=u. Montrer que
∀p∈Nupv−vup=pup.
En utilisant φ:(L(E) −→ L(E)
w7−→ wv −vw , montrer que uest nilpotent.
2. Soit e∈L(E). Pour k∈N∗, exprimer tr(uk)en fonction des valeurs propres non-nulles de uet
de leur ordre de multiplicité.
3. Montrer que, si tr(uk) = 0 pour tout k∈~1,n, alors uest nilpotent.
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EXERCICES DE RÉVISIONS – ALGÈBRE - GÉOMÉTRIE – 2012-2013 PSI* 13-14
Exercice 39: CCP PSI 2013
Soit n>1et ϕqui à P∈Rn[X] associe P(X + 1) −P(X).
1. Montrer que ϕest un endomorphisme nilpotent de Rn[X].
2. En déduire : ∀P∈Rn−1[X],
n
X
j=0
(−1)n−j n
j!P(X + j) = 0.
Exercice 40: CENTRALE PSI 2007, MINES PSI 2013
Soient Eet Fdeux K-espaces vectoriels de dimension finie et Gun sous-espace vectoriel de E.
Montrer que A = {u∈L(E,F) tq G⊂Keru}est un sous-espace vectoriel de L(E,F) et en donner la
dimension.
Exercice 41: CCP PSI 2013
Soit fun endomorphisme d’un espace vectoriel E.
Montrer que si Im f= Imf2alors E = Kerf+ Imf. Étudier la réciproque.
Que peut-on dire de plus si Eest de dimension finie ?
Exercice 42: CEN PC 2005
Soient E,F,Gtrois K-espaces vectoriels , f∈L(E,F) et g∈L(F,G). Établir :
1. Ker(g◦f) = Kerf⇐⇒ Kerg∩Imf={0}.
2. Im(g◦f) = Img⇐⇒ Kerg+ Imf= F.
Exercice 43: CCP MP 2010
Soient fet gdeux endomorphismes d’un espace vectoriel Esur Rou Cvérifiant f◦g=Id.
a) Montrer que Ker(g◦f) = Kerfet Im(g◦f) = Img.
b) Montrer
E = Kerf⊕Img
c) Dans quel cas peut-on conclure g=f−1?
d) Calculer (g◦f)◦(g◦f)et caractériser g◦f
Exercice 44: CEN PC 2005, MINES PSI 2013
Soit Eun espace vectoriel de dimension finie n. Soit f∈L(E) tel que f2=−IdE.
1. Montrer que si x1,...,xp,f (x1),...,f (xp−1)est une famille libre, alors il en est de même pour
la famille x1,...,xp,f (x1),...,f (xp).
2. Que peut-on en déduire pour dim E ?
3. Montrer qu’il existe une base de Edans laquelle la matrice de fest "0−In/2
In/20#.
Exercice 45: CCP MP 2010
Soit Eun espace vectoriel réel de dimension finie n>2.
a) Indiquer des endomorphismes de Edont la représentation matricielle est la même dans toutes
les bases de E.
b) Soit (e1,...,en)une base de E. Montrer que pour tout i∈{2,...,n}, la famille (e1+ei,e2,...,en)est
une base de E.
c) Déterminer tous les endomorphismes de Edont la représentation matricielle est diagonale dans
toutes les bases de E.
d) Quels sont les endomorphismes de Edont la représentation matricielle est la même dans toutes
les bases de E?
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