fonctions réelles exo

Université de Provence
Semestre 1
Licence Mathématiques et Informatique
-
Mathématiques générales I
Planche 6 : Fonctions réelles
1
Exercices du cours
EXERCICE 1
Vérifier que E est bien une fonction et que E(x) ≤ x < E(x) + 1, ∀x ∈ R.
EXERCICE 2
Déterminer les domaines de définition des fonctions suivantes :
!
"
2 + 3x
f (x) =
, g(x) = x2 − 2 x − 5
5 − 2x
,
h(x) = ln (4 x + 3) .
EXERCICE 3
Exprimer avec les quantificateurs, que la limite de f à droite d’un point, vaut −∞.
EXERCICE 4
Interpréter graphiquement la continuité d’une fonction en un point. Penser au cas où le point est une
extrémité de Df .
EXERCICE 5
Exprimer la relation entre les trois continuités (continuité ”normale”, à droite et à gauche.
EXERCICE 6
Montrer ce théorème à l’aide de la caractérisation de Weierstrauss :
Soient f une fonction continue en x0 ∈ Df et g une fonction continue en f (x0 ) ∈ Dg . Alors g ◦ f est
continue en x0 .
EXERCICE 7
Soient la fonction f = 0 (cad f (x) = 0, ∀x ∈ R) et g la fonction définie par g(x) = 0, ∀x ∈ R − {0} et
g(0) = 1.
1. Montrer que f, g et g ◦ f ont toutes une limite en 0, mais que lim g ◦ f (x) '= lim g(x).
x→0
2. Montrer que g n’est pas continue en 0.
Indication : penser à considérer les limites avec x '= 0.
x→0
EXERCICE 8
Les fonctions suivantes sont-elles prolongeables par continuité sur R ?
1
f (x) = sin x sin( ) ,
x
g(x) =
1 ex + e−x
ln
x
2
,
h(x) =
1
2
−
1 − x 1 − x2
EXERCICE 9
Une fonction qui vérifie la propriété des valeurs intermédiaires est-elle nécessairement continue ?
EXERCICE 10
Vérifier qu’une fonction constante sur [a, b], avec a < b a toutes ses dérivées nulles dans ]a, b[.
1
EXERCICES DU COURS
PLANCHE 6 – 2
EXERCICE 11
Soient f une fonction et x0 ∈ Df . On suppose que f est dérivable en x0 . Soit la fonction g définie par
f (x) − f (x0 )
g(x) =
− f # (x0 ).
x − x0
1. Vérifier que lim g(x) = 0.
x→x0
2. En déduire que f est dérivable en x0 si et seulement si il existe un nombre f # (x0 ) et une fonction g telle
que
(1)
f (x) = f (x0 ) + (x − x0 )f # (x0 ) + (x − x0 )g(x)
et
lim g(x) = 0.
x→x0
EXERCICE 12
Montrer que la valeur absolue n’est pas dérivable en 0, mais qu’elle est dérivable à droite ou à gauche. Vérifier
que la valeur absolue est bien une fonction continue.
EXERCICE 13
Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes :
1. f1 (x) = x2 cos x1 si x '= 0
f1 (0) = 0 ;
2. f2 (x) = sin x sin x1 si x '= 0
f2 (0) = 0 ;
√
|x| x2 − 2x + 1
3. f3 (x) =
si x '= 1
f3 (1) = 1.
x−1
EXERCICE 14
Etudier la continuité et la dérivabilié de la fonction réelle f définie par f (x) = (sin x)/x si x '= 0 et f (0) = 1.
EXERCICE 15
Montrer le Théorème :
Soient f et g deux fonctions dérivables en x0 ∈ Df ∩ Dg . Alors, f ± g et f g sont dérivables en x0 , de
même que f /g si g(x0 ) '= 0. De plus, on a les formules suivantes.
(f + g)# (x0 ) = f # (x0 ) + g # (x0 ) ;
(f − g)# (x0 ) = f # (x0 ) − g # (x0 ) ;
f # (x0 )g(x0 ) − f (x0 )g # (x0 )
(f g)# (x0 ) = f # (x0 g(x0 ) + f (x0 )g # (x0 ) ;
(f /g)# (x0 ) =
.
g 2 (x0 )
Indication : utiliser les accroissements finis. Pour f g et f /g, mettre sous même dénominateur. Pour passer
aux limites, utiliser la continuité Lemme 4.1.
EXERCICE 16
3
Déterminer les fonctions dérivées de sin(3x2 + 4x + 2) et de e−x +5 .
EXERCICE 17
Illustrer le théorème de Rolle par une figure. Trouver une fonction usuelle connue qui vérifie les hypothèses
du théorème.
EXERCICE 18
Représenter graphiquement le théorème des accroissements finis. Considérer A et B deux points du graphe
de la fonction f , où A et B ont pour coordonnées (a, f (a)) et (b, f (b)) respectivement. Que peut-on dire
entre la tangente à la courbe au point de coordonnées (c, f (c)) et la droite AB ?
EXERCICE 19
1. Montrer que pour tout x, y ∈ R : | cos(x) − cos(y)| ≤ |x − y| ; de même avec la fonction sin.
2. Dans quels cas a-t-on l’égalité cos(x) − cos(y) = x − y ?
(Indication : poser f (x) = cos(x) − x, puis montrer que f est strictement décroissante).
Daniel Matignon, Camille Plénat, Elaine Pratt et Hary Rambello
Université de Marseille-Provence
1
EXERCICES DU COURS
PLANCHE 6 – 3
EXERCICE 20
Retrouver les dérivées des fonctions réciproques arctan et ln.
EXERCICE 21
[Fonctions exponentielle et logarithme] 1. Sur une même figure, tracer les graphes des fonctions exp
et ln.
2. Préciser les limites aux branches des infinies des courbes.
3. Retrouver la formule de la dérivée de ln, en passant par celle de la dérivée de la fonction réciproque.
4. Rappeler les ’formules’ exy , ex ey , ln(xy), ln(x/y).
5. Exprimer ar où a et r sont des réels, en fonction de exp et ln. A-t-on une condition sur a ?
#
$v(x)
6. De même pour les fonctions f (x) = xr (où r ∈ R), g(x) = ax (où a ∈ R+ ), et h(x) = u(x)
(où u et
v sont des fonctions avec u positive). Exprimer les dérivées de ces fonctions.
EXERCICE 22
[Fonctions Arc-Sinus et Arc-Cosinus] 1. Sur une même figure, tracer les graphes des fonctions cos et
sin.
2. Déterminer leurs périodes.
La fonction sin n’est pas monotone. On va restreindre son domaine pour qu’elle soit injective en un
domaine centré en 0.
Soit la fonction sin restreinte à [−π/2, π/2] sur [−1, 1]. Alors cette restriction est une bijection. Son
application réciproque est appelée Arc-sinus, et notée arcsin. Par définition, arcsin : [−1, 1] → [−π/2, π/2],
et
#
$
∀θ ∈ [−π/2, π/2], arcsin sin(θ) = θ;
(2)
#
$
∀x ∈ R, sin arcsin(x) = x.
(3)
Attention θ n’est pas vraie pour tous θ ∈ R.
3. Vérifier
#
$
∀θ ∈ R, arcsin sin(θ) =
%
θ + 2kπ, k ∈ Z,
π − θ + 2kπ, k ∈ Z,
si θ ∈ [2kπ − π/2, 2kπ + π/2];
si θ ∈ [2kπ + π/2, 2kπ + 3π/2].
1
, ∀x ∈] − 1, 1[.
1 − x2
5. Sur une même figure, représenter les graphes de sin (restreinte) et arcsin.
4. Montrer que arcsin# (x) = √
On procède de la même manière pour la fonction cos. On restreint la fonction cos de [0, π] sur [−1, 1]
pour qu’elle soit bijective. On appelle Arc-cosinus, et on la note arccos sa fonction réciproque.
6. Retrouver les formules (2) et (3) pour la fonction arccos.
−1
7. Montrer que arccos# (x) = √
, ∀x ∈] − 1, 1[.
1 − x2
8. Sur une même figure, représenter les graphes de cos (restreinte) et arccos.
9. Montrer que ∀x ∈ [−1, 1], arccos(x) = π/2 − arcsin(x)
(Indication : vérifier d’abord que cos(π/2 − x) = sin(x)).
10. En déduire autrement la dérivée de arccos.
EXERCICE 23
[Fonctions Tangente et Arc-tangente] On rappelle que la fonction tan est définie par tan(x) = sin(x)/ cos(x).
1. Rappeler le domaine de définition de la fonction tan.
2. Exprimer sa dérivée de deux manières différentes.
Daniel Matignon, Camille Plénat, Elaine Pratt et Hary Rambello
Université de Marseille-Provence
2
AUTRES EXERCICES
PLANCHE 6 – 4
3. Préciser sa période.
On restreint la fonction tan de ]−π/2, +π/2[ sur R. Cette restriction est bijective, on appelle Arc-tangente
et on note arctan, sa fonction réciproque.
4. Retrouver les formules
# (2) et$ (3) pour la fonction arctan.
5. Montrer que arctan tan(x) = x + kπ, ∀x ∈ R − {π/2 + πZ}, avec k = E(−x/π + 1/2) ∈ Z.
1
, ∀x ∈R.
6. Montrer que arctan# (x) =
1 + x2
7. Sur une même figure, représenter les graphes de tan (restreinte) et arctan.
EXERCICE 24
Montrer que ∀x ∈ R∗ ,
arctan(x) + arctan(1/x) =
%
π/2
−π/2
si x > 0;
si x < 0.
EXERCICE 25
Écrire sous forme d’expression algébrique
sin(arccos x)
;
cos(arcsin x)
;
sin(3 arctan x).
EXERCICE 26
Une statue de hauteur s est placée sur un piédestal de hauteur p. À quelle distance doit se placer un
observateur (dont la taille est supposée négligeable) pour voir la statue sous un angle maximal ?
EXERCICE 27
Déterminer les développements limités d’ordre 5 des fonctions sin, cos, tan, arcsin, arccos, arctan, exp,
1
ln(1 + x) et f (x) =
au point x = 0.
1+x
EXERCICE 28
Donner les développements limités de sin(x) + ex et sin(x)ex à l’ordre 4.
EXERCICE 29
Soit Φ l’application définie par Φ(x) =
1
.
1+x
1. Montrer que le développement limité de Φ en 0 à l’ordre n ∈ N∗ est :
Φ(x) = 1 − x + x2 − x3 + · · · + (−1)n xn + xn ε(x).
2. Donner le développement limité à l’ordre n ∈ N∗ de la fonction f (x) =
EXERCICE 30
Donner le développement limité de f (x) =
2
Autres exercices
2.1
Continuité
1
en 0.
1 + x2
ex + x2 + 1
à l’ordre 3 en 0.
cos(x)
EXERCICE 31
Soit f : R → R continue en 0 telle que ∀x ∈ R, f (x) = f (2x). Montrer que f est constante.
EXERCICE 32
Daniel Matignon, Camille Plénat, Elaine Pratt et Hary Rambello
Université de Marseille-Provence
2
AUTRES EXERCICES
PLANCHE 6 – 5
Soient I un intervalle non-vide et ouvert de R et f : I → R continue telle que ∀x ∈ I, f (x)2 = 1. Montrer
que f = 1 ou f = −1.
EXERCICE 33
Soit f : R+ → R continue admettant une limite finie en +∞. Montrer que f est bornée. Atteint-elle ses
bornes ?
2.2
Dérivabilité
EXERCICE 34
Déterminer a, b ∈ R de manière à ce que la fonction f définie sur R+ par :
√
f (x) = x si 0 ≤ x ≤ 1 et f (x) = ax2 + bx + 1 sinon
soit dérivable sur R∗+ .
EXERCICE 35
Calculer la fonction dérivée d’ordre n des fonctions f, g, h définies par :
f (x) = sin x ;
g(x) = sin2 x ;
h(x) = sin3 x + cos3 x.
EXERCICE 36
Montrer que le polynôme X n + aX + b (a et b réels) admet au plus trois racines réelles.
EXERCICE 37
Soient x et y réels avec 0 < x < y.
y−x
1. Montrer que x <
< y.
ln y − ln x
Indication : appliquer le théorème des accroissements finis à la fonction ln.
2. On considère la fonction f définie sur [0, 1] par
α +→ f (α) = ln(αx + (1 − α)y) − α ln x − (1 − α) ln y.
De l’étude de f déduire que pour tout α de ]0, 1[
α ln x + (1 − α) ln y < ln(αx + (1 − α)y).
Indication : dériver deux fois la fonction f , et en déduire la monotonie de f # ; puis appliquer le théorème
des valeurs intermédiaires.
3. Donner une interprétation géométrique.
EXERCICE 38
Par application du théorème des accroissements finis à f (x) = ln x sur [n, n + 1] montrer que Sn =
tend vers l’infini quand n tend vers l’infini.
2.3
n
&
1
k
k=1
Extrema
EXERCICE 39
Soit f : R −→ R définie par f (x) = (1 − k)3 x2 + (1 + k)x3 où k est un nombre réel. Déterminer les valeurs
de k pour lesquelles l’origine est un extremum local de f .
EXERCICE 40
Déterminer les extrema de f (x) = x4 − x3 + 1 sur R.
Daniel Matignon, Camille Plénat, Elaine Pratt et Hary Rambello
Université de Marseille-Provence
4
INDICATIONS
2.4
PLANCHE 6 – 6
Fonctions circulaires réciproques
EXERCICE 41
Démontrer les inégalités suivantes :
a
1. arcsin a > √1−a
si 0 < a < 1 ;
2
a
2. arctan a > 1+a2 si a > 0.
EXERCICE 42
Résoudre les équation suivantes :
1. arcsin x = arcsin 25 + arcsin 35 ;
2. arccos x = 2 arccos 34 .
3
Développements limités
Retrouver les développements limités suivants.
x
x2
xn
+
+ ··· +
+ xn ε(x).
1!
2!
n!
x2
x4
x2n
cos x = 1 −
+
+ · · · + (−1)n .
+ x2n+1 ε(x).
2!
4!
(2n)!
x3
x5
x2n+1
sin x = x −
+
+ · · · + (−1)n .
+ x2n+2 ε(x).
3!
5!
(2n + 1)!
x3
2
17 7
tan x = x +
+ x5 +
x + x8 ε(x).
3
15
315
α(α − 1) 2
α(α − 1) · · · (α − n + 1) n
(1 + x)α = 1 + αx +
x + ··· +
x + xn ε(x).
2!
n!
1
= 1 − x + x2 + · · · + (−1)n xn + xn ε(x).
1+x
√
x 1
1.1.3.5 . . . (2n − 3) n
1 + x = 1 + − x2 + · · · + (−1)n−1 .
x + xn ε(x).
2 8
2n n!
1
x 3
1.3.5 . . . (2n − 1) n
√
= 1 − + x2 + · · · + (−1)n .
x + xn ε(x).
2 8
2n n!
1+x
x3
xn
x2
ln (1 + x) = x −
+
+ · · · + (−1)n−1 .
+ xn ε(x).
2
3
n
1 x3
3 x5
1.3.5 . . . (2n − 1) x2n+1
arcsin x = x +
+
+ ··· +
+ x2n+2 ε(x).
2 3
8 5
2n n!
2n + 1
ex = 1 +
4
Indications
EXERCICE 8
Oui pour le deux premières en posant f (0) = 0, non pour la troisième.
EXERCICE 9
Non, trouver un contre-exemple.
EXERCICE 13
Le seul problème est en 0 ; f1 est dérivable en 0 mais ni f2 ni f3 .
EXERCICE 14
Le seul problème est en x = 0. Montrer d’abord que la fonction est continue en ce point.
Daniel Matignon, Camille Plénat, Elaine Pratt et Hary Rambello
Université de Marseille-Provence
4
INDICATIONS
PLANCHE 6 – 7
EXERCICE 16
Penser aux dérivées des fonctions composées.
EXERCICE 26
Faire un dessin. Remarquer que maximiser l’angle d’observation α revient à maximiser tan α. Puis calculer
tan α en fonction de la distance et étudier cette fonction.
EXERCICE 28
Opérations élémentaires sur les développements limités.
EXERCICE 31
Pour x fixé étudier la suite f ( 21n x).
EXERCICE 32
Ce n’est pas très dur mais il y a quand même quelque chose à montrer : ce n’est pas parce que f (x) vaut +1 ou
−1 que la fonction est constante. Raisonner par l’absurde et utiliser le théoréme des valeurs intermédiaires.
EXERCICE 33
Il faut raisonner en deux temps : d’abord écrire la défition de la limite en +∞, en fixant par exemple ) = 1,
cela donne une borne sur [A, +∞]. Puis travailler sur [0, A].
EXERCICE 34
Il faut d’abord que la fonction soit continue en 1, puis que les dérivées à droites et à gauches soient égales.
EXERCICE 36
On peut appliquer le théoréme de Rolle plusieurs fois.
EXERCICE 37
1. Utiliser le théoréme des accroissement finis avec la fonction t +→ ln t
2. Montrer d’abord que f ## est négative. Se servir du théoréme des valeurs intermédiaires pour f # .
EXERCICE 38
Une fois le théoréme des accroissement finis utilisé vous obtenez une somme téléscopique.
EXERCICE 39
Faire une étude de fonction.
EXERCICE 41
On peut étudier les fonctions définies par la différence des deux termes de l’inégalité.
EXERCICE 42
On compose les équations par la bonne fonction, par exemple sinus pour la première.
Daniel Matignon, Camille Plénat, Elaine Pratt et Hary Rambello
Université de Marseille-Provence