fonctions réelles exo

Universit´e de Provence Licence Math´ematiques et Informatique
Semestre 1 -
Math´ematiques g´en´erales I
Planche 6 : Fonctions r´eelles
1 Exercices du cours
EXERCICE 1
V´erifier que Eest bien une fonction et que E(x)≤x<E(x)+1,∀x∈R.
EXERCICE 2
D´eterminer les domaines de d´efinition des fonctions suivantes :
f(x)=!2+3x
5−2x,g(x)="x2−2x−5,h(x) = ln (4 x+ 3) .
EXERCICE 3
Exprimer avec les quantificateurs, que la limite de f`a droite d’un point, vaut −∞.
EXERCICE 4
Interpr´eter graphiquement la continuit´e d’une fonction en un point. Penser au cas o`u le point est une
extr´emit´e de Df.
EXERCICE 5
Exprimer la relation entre les trois continuit´es (continuit´e ”normale”, `a droite et `a gauche.
EXERCICE 6
Montrer ce th´eor`eme `a l’aide de la caract´erisation de Weierstrauss :
Soient fune fonction continue en x0∈Dfet gune fonction continue en f(x0)∈Dg. Alors g◦fest
continue en x0.
EXERCICE 7
Soient la fonction f= 0 (cad f(x)=0,∀x∈R) et gla fonction d´efinie par g(x)=0,∀x∈R−{0}et
g(0) = 1.
1. Montrer que f, g et g◦font toutes une limite en 0, mais que lim
x→0g◦f(x)'= lim x→0g(x).
2. Montrer que gn’est pas continue en 0.
Indication : penser `a consid´erer les limites avec x'= 0.
EXERCICE 8
Les fonctions suivantes sont-elles prolongeables par continuit´e sur R?
f(x) = sin xsin( 1
x),g(x)= 1 xln ex+e−x 2,h(x)= 1 1−x−2 1−x2
EXERCICE 9
Une fonction qui v´erifie la propri´et´e des valeurs interm´ediaires est-elle n´ecessairement continue ?
EXERCICE 10
V´erifier qu’une fonction constante sur [a, b], avec a<ba toutes ses d´eriv´ees nulles dans ]a, b[.

1 EXERCICES DU COURS PLANCHE 6 – 2
EXERCICE 11
Soient fune fonction et x0∈Df. On suppose que fest d´erivable en x0. Soit la fonction gd´efinie par
g(x)=f(x)−f(x0)
x−x0−f#(x0).
1. V´erifier que lim
x→x0
g(x) = 0.
2. En d´eduire que fest d´erivable en x0si et seulement si il existe un nombre f#(x0) et une fonction gtelle
que
(1) f(x)=f(x0)+(x−x0)f#(x0)+(x−x0)g(x) et lim
x→x0
g(x)=0.
EXERCICE 12
Montrer que la valeur absolue n’est pas d´erivable en 0, mais qu’elle est d´erivable `a droite ou `a gauche. V´erifier
que la valeur absolue est bien une fonction continue.
EXERCICE 13
´
Etudier la d´erivabilit´e des fonctions suivantes :
1. f1(x)=x2cos 1
xsi x'=0 f1(0) = 0 ;
2. f2(x) = sin xsin 1
xsi x'=0 f2(0) = 0 ;
3. f3(x)=|x|√x2−2x+1
x−1si x'=1 f3(1) = 1.
EXERCICE 14
Etudier la continuit´e et la d´erivabili´e de la fonction r´eelle fd´efinie par f(x) = (sin x)/x si x'= 0 et f(0) = 1.
EXERCICE 15
Montrer le Th´eor`eme :
Soient fet gdeux fonctions d´erivables en x0∈Df∩Dg. Alors, f±get fg sont d´erivables en x0, de
mˆeme que f/g si g(x0)'= 0. De plus, on a les formules suivantes.
(f+g)#(x0)=f#(x0)+g#(x0) ; (f−g)#(x0)=f#(x0)−g#(x0);
(fg)#(x0)=f#(x0g(x0)+f(x0)g#(x0) ; (f/g)#(x0)= f#(x0)g(x0)−f(x0)g#(x0)
g2(x0).
Indication : utiliser les accroissements finis. Pour fg et f/g, mettre sous mˆeme d´enominateur. Pour passer
aux limites, utiliser la continuit´e Lemme 4.1.
EXERCICE 16
D´eterminer les fonctions d´eriv´ees de sin(3x2+4x+ 2) et de e−x3+5.
EXERCICE 17
Illustrer le th´eor`eme de Rolle par une figure. Trouver une fonction usuelle connue qui v´erifie les hypoth`eses
du th´eor`eme.
EXERCICE 18
Repr´esenter graphiquement le th´eor`eme des accroissements finis. Consid´erer Aet Bdeux points du graphe
de la fonction f, o`u Aet Bont pour coordonn´ees (a, f(a)) et (b, f(b)) respectivement. Que peut-on dire
entre la tangente `a la courbe au point de coordonn´ees (c, f(c)) et la droite AB ?
EXERCICE 19
1. Montrer que pour tout x, y ∈R:|cos(x)−cos(y)|≤|x−y|; de mˆeme avec la fonction sin.
2. Dans quels cas a-t-on l’´egalit´e cos(x)−cos(y)=x−y?
(Indication : poser f(x) = cos(x)−x, puis montrer que fest strictement d´ecroissante).
Daniel Matignon, Camille Pl´enat, Elaine Pratt et Hary Rambello Universit´e de Marseille-Provence

1 EXERCICES DU COURS PLANCHE 6 – 3
EXERCICE 20
Retrouver les d´eriv´ees des fonctions r´eciproques arctan et ln.
EXERCICE 21
[Fonctions exponentielle et logarithme] 1. Sur une mˆeme figure, tracer les graphes des fonctions exp
et ln.
2. Pr´eciser les limites aux branches des infinies des courbes.
3. Retrouver la formule de la d´eriv´ee de ln, en passant par celle de la d´eriv´ee de la fonction r´eciproque.
4. Rappeler les ’formules’ exy,e
xey,ln(xy),ln(x/y).
5. Exprimer aro`u aet rsont des r´eels, en fonction de exp et ln. A-t-on une condition sur a?
6. De mˆeme pour les fonctions f(x)=xr(o`u r∈R), g(x)=ax(o`u a∈R+), et h(x)=#u(x)$v(x)(o`u uet
vsont des fonctions avec upositive). Exprimer les d´eriv´ees de ces fonctions.
EXERCICE 22
[Fonctions Arc-Sinus et Arc-Cosinus] 1. Sur une mˆeme figure, tracer les graphes des fonctions cos et
sin.
2. D´eterminer leurs p´eriodes.
La fonction sin n’est pas monotone. On va restreindre son domaine pour qu’elle soit injective en un
domaine centr´e en 0.
Soit la fonction sin restreinte `a [−π/2,π/2] sur [−1,1]. Alors cette restriction est une bijection. Son
application r´eciproque est appel´ee Arc-sinus, et not´ee arcsin. Par d´efinition, arcsin : [−1,1] →[−π/2,π/2],
et
(2) ∀θ∈[−π/2,π/2],arcsin #sin(θ)$=θ;
(3) ∀x∈R,sin #arcsin(x)$=x.
Attention θn’est pas vraie pour tous θ∈R.
3. V´erifier
∀θ∈R,arcsin #sin(θ)$=%θ+2kπ, k ∈Z,si θ∈[2kπ−π/2,2kπ+π/2];
π−θ+2kπ, k ∈Z,si θ∈[2kπ+π/2,2kπ+3π/2].
4. Montrer que arcsin#(x)= 1
√1−x2,∀x∈]−1,1[.
5. Sur une mˆeme figure, repr´esenter les graphes de sin (restreinte) et arcsin.
On proc`ede de la mˆeme mani`ere pour la fonction cos. On restreint la fonction cos de [0,π] sur [−1,1]
pour qu’elle soit bijective. On appelle Arc-cosinus, et on la note arccos sa fonction r´eciproque.
6. Retrouver les formules (2) et (3) pour la fonction arccos.
7. Montrer que arccos#(x)= −1
√1−x2,∀x∈]−1,1[.
8. Sur une mˆeme figure, repr´esenter les graphes de cos (restreinte) et arccos.
9. Montrer que ∀x∈[−1,1],arccos(x)=π/2−arcsin(x)
(Indication : v´erifier d’abord que cos(π/2−x) = sin(x)).
10. En d´eduire autrement la d´eriv´ee de arccos.
EXERCICE 23
[Fonctions Tangente et Arc-tangente] On rappelle que la fonction tan est d´efinie par tan(x) = sin(x)/cos(x).
1. Rappeler le domaine de d´efinition de la fonction tan.
2. Exprimer sa d´eriv´ee de deux mani`eres diff´erentes.
Daniel Matignon, Camille Pl´enat, Elaine Pratt et Hary Rambello Universit´e de Marseille-Provence

2 AUTRES EXERCICES PLANCHE 6 – 4
3. Pr´eciser sa p´eriode.
On restreint la fonction tan de ]−π/2,+π/2[ sur R. Cette restriction est bijective, on appelle Arc-tangente
et on note arctan, sa fonction r´eciproque.
4. Retrouver les formules (2) et (3) pour la fonction arctan.
5. Montrer que arctan #tan(x)$=x+kπ,∀x∈R−{π/2+πZ}, avec k=E(−x/π+1/2) ∈Z.
6. Montrer que arctan#(x)= 1
1+x2,∀x∈R.
7. Sur une mˆeme figure, repr´esenter les graphes de tan (restreinte) et arctan.
EXERCICE 24
Montrer que ∀x∈R∗,
arctan(x) + arctan(1/x)=%π/2 si x>0;
−π/2 si x<0.
EXERCICE 25
´
Ecrire sous forme d’expression alg´ebrique
sin(arccos x) ; cos(arcsin x) ; sin(3 arctan x).
EXERCICE 26
Une statue de hauteur sest plac´ee sur un pi´edestal de hauteur p.` A quelle distance doit se placer un
observateur (dont la taille est suppos´ee n´egligeable) pour voir la statue sous un angle maximal ?
EXERCICE 27
D´eterminer les d´eveloppements limit´es d’ordre 5 des fonctions sin, cos, tan, arcsin, arccos, arctan, exp,
ln(1 + x) et f(x)= 1
1+xau point x= 0.
EXERCICE 28
Donner les d´eveloppements limit´es de sin(x)+exet sin(x)ex`a l’ordre 4.
EXERCICE 29
Soit Φl’application d´efinie par Φ(x)= 1
1+x.
1. Montrer que le d´eveloppement limit´e de Φen 0 `a l’ordre n∈N∗est :
Φ(x)=1−x+x2−x3+··· +(−1)nxn+xnε(x).
2. Donner le d´eveloppement limit´e `a l’ordre n∈N∗de la fonction f(x)= 1
1+x2en 0.
EXERCICE 30
Donner le d´eveloppement limit´e de f(x)=ex+x2+1
cos(x)`a l’ordre 3 en 0.
2 Autres exercices
2.1 Continuit´e
EXERCICE 31
Soit f:R→Rcontinue en 0 telle que ∀x∈R,f(x)=f(2x). Montrer que fest constante.
EXERCICE 32
Daniel Matignon, Camille Pl´enat, Elaine Pratt et Hary Rambello Universit´e de Marseille-Provence

2 AUTRES EXERCICES PLANCHE 6 – 5
Soient Iun intervalle non-vide et ouvert de Ret f:I→Rcontinue telle que ∀x∈I, f (x)2= 1. Montrer
que f= 1 ou f=−1.
EXERCICE 33
Soit f:R+→Rcontinue admettant une limite finie en +∞. Montrer que fest born´ee. Atteint-elle ses
bornes ?
2.2 D´erivabilit´e
EXERCICE 34
D´eterminer a, b ∈Rde mani`ere `a ce que la fonction fd´efinie sur R+par :
f(x)=√xsi 0 ≤x≤1 et f(x)=ax2+bx + 1 sinon
soit d´erivable sur R∗
+.
EXERCICE 35
Calculer la fonction d´eriv´ee d’ordre ndes fonctions f, g, h d´efinies par :
f(x) = sin x;g(x) = sin2x;h(x) = sin3x+ cos3x.
EXERCICE 36
Montrer que le polynˆome Xn+aX +b(aet br´eels) admet au plus trois racines r´eelles.
EXERCICE 37
Soient xet yr´eels avec 0 < x < y.
1. Montrer que x< y−x
ln y−ln x<y.
Indication : appliquer le th´eor`eme des accroissements finis `a la fonction ln.
2. On consid`ere la fonction fd´efinie sur [0,1] par
α+→ f(α) = ln(αx+ (1 −α)y)−αln x−(1 −α) ln y.
De l’´etude de fd´eduire que pour tout αde ]0,1[
αln x+ (1 −α) ln y<ln(αx+ (1 −α)y).
Indication : d´eriver deux fois la fonction f, et en d´eduire la monotonie de f#; puis appliquer le th´eor`eme
des valeurs interm´ediaires.
3. Donner une interpr´etation g´eom´etrique.
EXERCICE 38
Par application du th´eor`eme des accroissements finis `a f(x) = ln xsur [n, n + 1] montrer que Sn=
n
&
k=1
1
k
tend vers l’infini quand ntend vers l’infini.
2.3 Extrema
EXERCICE 39
Soit f:R−→ Rd´efinie par f(x) = (1 −k)3x2+ (1 + k)x3o`u kest un nombre r´eel. D´eterminer les valeurs
de kpour lesquelles l’origine est un extremum local de f.
EXERCICE 40
D´eterminer les extrema de f(x)=x4−x3+ 1 sur R.
Daniel Matignon, Camille Pl´enat, Elaine Pratt et Hary Rambello Universit´e de Marseille-Provence