MATHEMATIQUES

TABLE DES MATIERES
La Merci
1 . ANNALES BAC 2005
MATHEMATIQUES
3
8 . FONCTION EXPONENTIELLE EXERCICES
187
1. 1. National remplacement
1. 2. Nouvelle Calédonie
1. 3. Nouvelle Calédonie remplacement
1. 4. Amérique du Sud remplacement
1. 5. Polynésie remplacement
1. 6. National
1. 7. Pondichéry
1. 8. La Réunion
1. 9. Polynésie
1. 10. Liban
1. 11. Centres étrangers
1. 12. Asie
1. 13. Antilles
1. 14. Amérique du Nord
3
6
9
11
16
18
22
25
29
32
36
39
42
44
9 . FONCTION LOGARITHMES EXERCICES
219
2 . ANNALES BAC 2006
49
2. 1.
2. 2.
2. 3.
2. 4.
2. 5.
2. 6.
2. 7.
2. 8.
2. 9.
49
52
54
57
60
64
69
72
75
Pondichéry
National
Polynésie
Liban
La Réunion
Amérique du Nord
Antilles
Asie
Centres étrangers
3 . CONCOURS
78
3. 1.
3. 2.
3. 3.
3. 4.
79
86
91
97
Concours Fesic 2006
Concours Fesic 2005
Concours Geipi et ENI 2006
Concours EPF 2005
4 . RESUME DE COURS
Frédéric Laroche
Terminale S5
2006 - 2007
100
100
101
102
102
103
104
105
106
108
5 . RESTITUTION ORGANISEE DES CONNAISSANCES
115
5. 1.
5. 2.
5. 3.
5. 4.
5. 5.
115
130
136
138
144
Analyse
Géométrie
Probabilités
Spécialité : arithmétique
Spécialité : géométrie
6 . CALCUL INTEGRAL EXERCICES
155
6. 1.
6. 2.
6. 3.
6. 4.
6. 5.
6. 6.
155
155
156
157
160
162
Cours : équations différentielles
Calcul
Divers
Intégrale et suite
Intégrales
Equations différentielles
7 . NOMBRES COMPLEXES EXERCICES
1
99
4. 1. Suites
4. 2. Analyse
4. 3. Exponentielle
4. 4. Logarithme
4. 5. Equations différentielles
4. 6. Intégration
4. 7. Nombres complexes
4. 8. Barycentre
4. 9. Géométrie de l’espace
4. 10. Probabilités
167
2
10 . SUITES EXERCICES
241
11 . GEOMETRIE EXERCICES
257
12 . PROBABILITES EXERCICES
269
A : z14 = −128 3 − 128i .
1 . ANNALES BAC 2005
14
B: z
C : z14 = −64 + 64i 3 .
D : z14 = −128 + 128i 3 .
= 64 − 64i .
2. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal, le point S d’affixe 3 et le point T
d’affixe 4i. Soit (E) l’ensemble des points M d’affixe z tels que z − 3 = 3 − 4i .
1. 1. National remplacement
Exercice 1. 1 (7 points)
A : (E) est la médiatrice du segment [ST].
B : (E) est la droite (ST) ;
Partie A
La fonction f est définie sur l’intervalle [0 ; +∞ [ par
1
− x
f ( x) = (20 x + 10)e 2
C : (E) est le cercle de centre Ω d’affixe 3 − 4i, et de rayon 3 ;
.
On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal (O ; i , j ) (unité graphique
1 cm).
1. Étudier la limite de la fonction f en +∞ .
D : (E) est le cercle de centre S et de rayon 5.
3. On considère un hexagone régulier ABCDEF, dont les côtés sont de longueur 1. Le produit scalaire
AC.CE est égal à :
A:
3.
C :− 3 .
B :−3 .
D:
2. Étudier les variations de la fonction f et dresser son tableau de variations.
3. Établir que l’équation f(x) = 10 admet une unique solution strictement positive α dans l’intervalle
]0 ; +∞ [. Donner une valeur décimale approchée à 10−3 près de α .
4. Une fonction g est définie sur l’intervalle ] −∞ ; 0] par g( x) =
4. Tracer la courbe C.
dans un repère du plan.
5. Calculer l’intégrale
∫
3
.
2
x2 − 2 x
; soit Γ sa courbe représentative
x−3
A : Γ admet une asymptote d’équation y =−1.
3
f ( x)dx .
B : Γ n’admet pas d’asymptote.
0
Partie B
C : Γ admet une asymptote d’équation y = x.
On note y(t) la valeur, en degrés Celsius, de la température d’une réaction chimique à l’instant t, t étant
exprimé en heures. La valeur initiale, à l’instant t = 0, est y(0) = 10.
D : Γ admet une asymptote d’équation y = 1.
On admet que la fonction qui, à tout réel t appartenant à l’intervalle [0 ; +∞ [ associe y(t), est solution de
1
− t
1
l’équation différentielle (E) : y '+ y = 20 e 2 .
2
5. Soit la fonction f définie sur ℝ par f ( x) =
∫
x
2
e− t dt . La fonction f’’, dérivée seconde de la fonction f sur
0
ℝ , est définie par :
1. Vérifier que la fonction f étudiée dans la partie A est solution de l’équation différentielle (E) sur
l’intervalle [0 ; +∞ [.
A : f ''( x) =
∫
2. On se propose de démontrer que cette fonction f est l’unique solution de l’équation différentielle (E),
définie sur l’intervalle [0 ; +∞ [, qui prend la valeur 10 à l’instant 0.
B : f ( x) =
∫
x
a. On note g une solution quelconque de l’équation différentielle (E), définie sur [0 ; +∞ [ vérifiant
g(0) = 10. Démontrer que la fonction g − f est solution, sur l’intervalle [0 ; +∞ [, de l’équation différentielle
1
(E’) : y '+ y = 0 .
2
b. Résoudre l’équation différentielIe (E’).
x
0
2
−2te− t dt .
2
e− x dx .
0
2
C : f ''( x) = −2 xe− x .
2
D : f ''( x) = e− x .
Exercice 1. 3 (5 points, spécialistes)
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidatindiquera sur la copie le numéro
de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
c. Conclure.
Chaque réponse exacte rapporte 1 point. Chaque réponse fausse enlève 0,5 point. Une absence de réponse est comptée
0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro. Aucune justification n’est demandée.
3. Au bout de combien de temps la température de cette réaction chimique redescend-elle à sa valeur
initiale ? Le résultat sera arrondi à la minute.
1. On considère dans l’ensemble des entiers relatifs l’équation : x2 − x + 4 ≡ 0 (modulo 6) .
4. La valeur θ en degrés Celsius de la température moyenne à cette réaction chimique durant les trois
premières heures est la valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 3].
Calculer la valeur exacte de θ , puis donner la valeur approchée décimale de θ arrondie au degré.
B : il n’y a aucune solution.
C : les solutions vérifient x ≡ 2(6) .
D : les solutions vérifient x ≡ 2(6) ou x ≡ 5(6) .
Exercice 1. 2 (5 points, non spécialistes)
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le
numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Chaque réponse exacte rapporte 1 point, chaque réponse fausse enlève 0,5 point. Une absence de réponse est comptée
0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.Aucune justification n’est demandée.
1. Soit z le nombre complexe de module
A : toutes les solutions sont des entiers pairs.
2 et d’argument
3
π
3
. On a alors :
2. On se propose de résoudre l’équation (E) : 24x + 34y = 2, où x et y sont des entiers relatifs.
A : Les solutions de (E) sont toutes de la forme : (x ; y) = (34k−7 ; 5−24k), k ∈ ℤ .
B : L’équation (E) n’a aucune solution.
C : Les solutions de (E) sont toutes de la forme : (x ; y) = (17k−7 ; 5−12k), k ∈ ℤ .
D : Les solutions de (E) sont toutes de la forme : (x ; y) = (−7k ; 5k), k ∈ ℤ .
4
3. On considère les deux nombres n = 1 789 et p = 17 892 005. On a alors :
2. On effectue dix parties identiques et indépendantes. Calculer la probabilité d’obtenir au moins deux fois
l’évènement F au cours de ces dix parties (on en donnera une valeur approchée décimale à 10−3 près).
A : n ≡ 4(17) et p ≡ 0(17) .
C : p ≡ 4(17) .
Partie B
B : p est un nombre premier.
D : p ≡ 1(17) .
On souhaite savoir si le dé utilisé peut être considéré comme parfaitement équilibré. Pour cela on numérote
de 1 à 4 les quatre faces de ce dé, puis on lance ce dé 160 fois en notant le nombre ni de fois où chaque face
est cachée ; on obtient les résultats suivants :
4. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal, les points A et B d’affixes
respectives a et b. Le triangle MAB est rectangle isocèle direct d’hypoténuse [AB] si et seulement si le point
M d’affixe z est tel que :
A: z=
b − ia
.
1− i
i
1
2
3
4
30
48
46
32
C: a − z = i(b − z).
π
B : z − a = e 4 ( b − a) .
face i
effectif ni
D : b− z =
π
2
4
2
On note fi la fréquence relative à la face ni et dobs
le réel
( a − z) .
5. On considère dans le plan orienté deux points distincts A et B ; on note I le milieu du segment [AB]. Soit
2π
f la similitude directe de centre A, de rapport 2 et d’angle
; soit g la similitude directe de centre A, de
3
π
1
et d’angle
; soit h la symétrie centrale de centre I.
rapport
3
2
A : h g f transforme A en B et c’est une rotation.
∑  f − 4 
1
i
2
. On simule ensuite 1 000 fois
i =1
l’expérience consistant à tirer un chiffre au hasard 160 fois parmi l’ensemble (1 ; 2 ; 3 ; 4) puis, pour chaque
4
simulation, on calcule d 2 =
∑  F − 4 
1
i
2
, où Fi est la fréquence d’apparition du nombre i. Le 9ème décile de
i =1
la série statistique des 1 000 valeurs de d2 est égal à 0,0098. Au vu de l’expérience réalisée et au risque de 10
%, peut-on considérer le dé comme parfaitement équilibré ?
1. 2. Nouvelle Calédonie
B : h g f est la réflexion ayant pour axe la médiatrice du segment [AB].
Exercice 1. 6 (5 points, spécialistes)
Le plan est rapporté au repère orthonormal (O ; u, v ) . Unité graphique : 4 cm
C : h g f n’est pas une similitude.
D : h g f est la translation de vecteur AB .
Partie I
Exercice 1. 4 (5 points)
L’espace est muni d’un repère orthonormal (O ; i , j , k ) .
1. On considère le plan P passant par le point B(1 ; −2 ; 1) et de vecteur normal n ( −2 ; 1 ; 5 ) et le plan R
d’équation cartésienne x + 2y − 7 = 0.
a. Démontrer que les plans P et R sont perpendiculaires.
b. Démontrer que l’intersection des plans P et R est la droite ∆ passant par le point C(−1 ; 4 ; −1) et de
vecteur directeur u (2 ; −1 ; 1).
c. Soit le point A(5 ; −2 ; −1). Calculer la distance du point A au plan P, puis la distance du point A au
plan R.
1. Placer les points I, J, H, A, B, C, D d’affixes respectives : zI = 1 , zJ = i , zH = 1+i, zA = 2 , z B =
zC = 2i et zD = −1
2. Soit E le symétrique de B par rapport à H. La perpendiculaire à la droite (AE) passant par C et la parallèle
à la droite (OC) passant par D se coupent en F.
Placer E et F et vérifier que le point F a pour affixe z F = −1 +
1
i.
2
3. Montrer que les triangles OAB et OCF sont isométriques.
Partie II
On considère la transformation f du plan, d’écriture complexe : z ' = −iz + 2i .
d. Déterminer la distance du point A à la droite ∆ .
1. Déterminer les images des points O, A, B par f.
2. a. Soit, pour tout nombre réel t, le point Mt de coordonnées (1 + 2t ; 3 − t ; t). Déterminer en fonction de
t la longueur AM. On note ϕ(t) cette longueur. On définit ainsi une fonction ϕ de ℝ dans ℝ .
2. a. Montrer que f est une similitude. Est-ce une isométrie ?
b. Étudier le sens de variations de la fonction ϕ sur ℝ ; préciser son minimum.
c. La transformation f est-elle une symétrie axiale ?
3. Soit t la translation de vecteur IJ . Donner l’écriture complexe de t et celle de sa réciproque t−1.
c. Interpréter géométriquement la valeur de ce minimum.
3
+i ,
2
b. Déterminer l’ensemble des points invariants par f.
4. On pose s = f o t−1.
Exercice 1. 5 (3 points)
a. Montrer que l’écriture complexe de s est : z ' = −iz + 1 + i .
Partie A
On dispose d’un dé en forme de tétraèdre régulier, possédant une face bleue, deux faces rouges et une face
verte ; on suppose le dé parfaitement équilibré.
Une partie consiste à effectuer deux lancers sucessifs et indépendants de ce dé. À chaque lancer on note la
couleur de la face cachée.
On considère les évènements suivants :
E est l’évènement « à l’issue d’une partie, les deux faces notées sont vertes »,
F est l’évènement « à l’issue d une partie, les deux faces notées sont de la même couleur ».
1. Calculer les probabilités des évènements E et F ainsi que la probabilité de E sachant F.
5
b. Montrer que I et J sont invariants par s. En déduire la nature de s.
c. En déduire que f est la composée d’une translation et d’une symétrie axiale à préciser.
Exercice 1. 7 (5 points, non spécialistes)
Le plan est rapporté au repère orthonormal (O ; u, v ) . Unité graphique : 3 cm
À tout point M d’affixe z du plan, on associe le point M’ d’affixe z’ par l’application f qui admet pour
(3 + 4i) z + 5 z
écriture complexe : z ' =
.
6
6
1. On considère les points A, B, C d’affixes respectives zA = 1 + 2i, zB = 1 et zC = 3i.
Déterminer les affixes des points A’, B’, C’ images respectives de A, B, C par f. Placer les points A, B, C, A’,
B’, C’.
1. Une urne comporte cinq boules noires et trois boules rouges indiscernables au toucher. On extrait
simultanément trois boules de l’urne. Quelle est la probabilité d’obtenir deux boules noires et une boule
rouge ?
2. On pose z = x + iy (avec x et y réels). Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de z’ en fonction
de x et y.
3. Montrer que l’ensemble des points M invariants par f est la droite (D) d’équation y =
1
x . Tracer (D).
2
Quelle remarque peut-on faire ?
A
13
56
B
15
64
C
D
15
28
2. Au cours d’une épidémie de grippe, on vaccine le tiers d’une population. Parmi les grippés, un sur dix est
vacciné. La probabilité qu’une personne choisie au hasard dans la population soit grippée est 0,25.
Quelle est la probabilité pour un individu vacciné de cette population de contracter la grippe ?
4. Soit M un point quelconque du plan et M’ son image par f. Montrer que M’ appartient à la droite (D).
z '− z z + z
z− z
=
+i
.
5. a. Montrer que, pour tout nombre complexe z :
zA
6
3
En déduire que le nombre
75
512
z '− z
est réel.
zA
A
1
120
3
40
B
1
12
C
D
4
40
3. Un joueur lance une fois un dé bien équilibré.
Il gagne 10 € si le dé marque 1. Il gagne 1 € si le dé marque 2 ou 4. Il ne gagne rien dans les autres cas. Soit
X la variable aléatoire égale au gain du joueur. Quelle est la variance de X ?
A
b. En déduire que, si M ' ≠ M , les droites (OA) et (MM’) sont parallèles.
6. Un point quelconque N étant donné, comment construire son image N’ ? (on étudiera deux cas suivant
que N appartient ou non à (D)). Effectuer la construction sur la figure.
2
Exercice 1. 8(5 points)
13
P(T < t) =
On considère les suites (un) et (vn) définies, pour tout entier naturel n non nul, par :
 u1 = 1

et vn = un − ln n pour n ≥ 1 .
1

 un = un−1 + n , n ≥ 2
B
C
16
D
17
4. La durée d’attente T , en minutes, à un péage d’autoroute avant le passage en caisse est une variable
1
aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre λ = . On a donc pour tout réel t > 0 :
6
∫
t
0
λ e− λ x dx avec λ =
1
6
où t désigne le temps exprimé enminutes.
Sachant qu’un automobiliste a déjà attendu 2 minutes, quelle est la probabilité (arrondie à 10−4 près) que
son temps total d’attente soit inférieur à 5 minutes ?
1. a. Calculer u2, u3 et u4.
A
n
b. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul : un =
∑
k=1
2. a. Montrer que, pour tout entier naturel k non nul :
1
.
k
1
≤
k+1
∫
0,2819
B
0,3935
C
0,5654
D
0,6065
Exercice 1. 10 (5 points)
k+1
k
1
1
dx ≤ .
x
k
b. En déduire que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, on a les inégalités suivantes :
1
un − 1 ≤ ln n ≤ un − et 0 ≤ vn ≤ 1 .
n
c. En déduire le sens de variation de la suite (vn).
3. Montrer que la suite (vn) converge. On note γ la limite de la suite (vn) (on ne cherchera pas à caluler γ ).
Un lapin désire traverser une route de 4 mètres de largeur. Un camion, occupant toute la route, arrive à sa
rencontre à la vitesse de 60 km/h. Le lapin décide au dernier moment de traverser, alors que le camion n’est
plus qu’à 7 mètres de lui.
Son démarrage est foudroyant et on suppose qu’il effectue la traversée en ligne droite au maximum de ses
possibilités, c’est à dire à . . . 30 km/h !
L’avant du camion est représenté par le segment [CC’] sur le schéma ci-dessous.
Le lapin part du point A en direction deD.
avec 0 ≤ θ ≤
Cette direction est repérée par l’angle θ = BAD
Quelle est la limite de la suite (un) ?
π
2
(en radians).
Exercice 1. 9 (5 points)
Cet exercice comporte deux parties indépendantes. La partie I est la démonstration d’un résultat de cours.
La partie II est un Q.C.M.
Partie I : Question de cours
Soient A et B deux évènements indépendants. Démontrer que A et B sont indépendants.
Partie II
Pour chacune des questions suivantes, une et une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat
indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune
justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse enlève 0,5 point,
l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total de cette partie est négatif, la note correspondant à la
partie II est ramenée à zéro.
7
1. Déterminer les distances AD et CD en fonction de θ et les temps t1 et t2 mis par le lapin et le camion
pour parcourir respectivement les distances AD et CD.
2. On pose f (θ ) =
7
4
+ 2 tan θ −
.
2
cos θ
Montrer que le lapin aura traversé la route avant le passage du camion si et seulement si f( θ ) > 0.
3. Conclure.
Rappel :
8
1
 π 
.
La fonction x → tan x est dérivable sur  0,  et a pour dérivée la fonction x →
 2
cos2 x
2. Dans cette partie on suppose que p =
1
.
20
a. Calculer l’espérance mathématique de X.
1. 3. Nouvelle Calédonie remplacement
b. Calculer les probabilités P(X = 0), P(X = 1) et P(X = 2).
c. Calculer à 10−4 près la probabilité pour que Claude soit contrôlé au plus deux fois.
Exercice 1. 11 (4 points)
L’exercice comporte 4 questions. Pour chaque question, on propose 3 affirmations. Pour chacune d’elles, le candidat
doit indiquer si elle est vraie ou fausse en cochant la case correspondante. Aucune justification n’est demandée.
Les réponses à cet exercice sont à inscrire sur la feuille jointe en annexe. Toute réponse ambiguë sera considérée comme
une absence de réponse. Chaque réponse exacte rapporte 0,25 point. Une bonification de 0,25 point est ajoutée chaque
fois qu’une question est traitée correctement en entier (c’est-à-dire lorsque les réponses aux 3 affirmations sont
exactes). 2 réponses inexactes dans une même question entraînent le retrait de 0,25 point.
L’abstention n’est pas prise en compte, c’est-à-dire ne rapporte ni ne retire aucun point. Si le total des points de
l’exercice est négatif, la note est ramenée à zéro.
Dans l’exercice, le plan complexe est rapporté au repère orthonormal (O ; u, v ) .
einθ
Pour tout n entier naturel non nul,
Q1
Q2
Q3
( )
pour tout réel θ , eiθ
n
38
( 741x2 + 38 x + 1 ) .
Montrer que f est strictement décroissante sur [0 ; 1] et qu’il existe un unique réel x0 appartenant à
n
n+1
l’intervalle [0 ; 1] tel que f (x0) = 0,01. Déterminer l’entier naturel n tel que
< x0 <
.
100
100
c. En déduire la valeurminimale qu’il faut attribuer à p afin que la probabilité que Claude subisse au
moins trois contrôles soit supérieure ou égale à 99%. (On exprimera p en fonction de x0).
cos(nθ ) + i sin(nθ )
Faux
Vrai
z+ z
2
Faux
Vrai
z− z
2i
Faux
Vrai
z− z
2
Faux
Vrai
1. Faire apparaître sur l’écran de la calculatrice graphique la courbe représentative de cette fonction dans la
fenêtre −2 ≤ x ≤ 4 , −5 ≤ y ≤ 5 .
y2
Faux
Vrai
Reproduire sur la copie l’allure de la courbe obtenue grâce à la calculatrice.
−y
Faux
Vrai
Faux
Vrai
2
BC = 2 AC
(
b. Soit f la fonction définie sur [0 ; 1] par : f ( x) = ( 1 − x )
Vrai
− z2
Q4
( 741p2 + 38 p + 1 ) .
Faux
( )
π
AB, AC = + 2kπ , k ∈ ℤ
2
CA.CB = CA2
)
Exercice 1. 13 (6 points)
Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O ; i , j ) .
Soit f la fonction définie sur ]−1 ; +∞ [ par :
f ( x) = x2 − 2,2 x + 2,2ln( x + 1) .
est égal à :
A, B et C sont des points d’affixes
respectives a, b et c telles que
b− a
= i 3 , alors :
c− a
38
cos θ n + i sin θ n
Soit z un nombre complexe tel que
z = x + iy (x et y réels). Si z est un
2
a. Démontrer que P( X ≤ 2) = ( 1 − p )
Vrai
La partie imaginaire du nombre z est
égale à :
imaginaire pur, alors z
1
.
5
4. On désire maintenant déterminer p afin que la probabilité que Claude subisse au moins trois contrôles
soit supérieure à 99%.
Justifier l’égalité Z = 400 − 100X puis calculer l’espérance mathématique de Z pour p =
Faux
( )
est égal à :
3. Soit Zi la variable aléatoire qui prend pour valeur le gain algébrique réalisé par le fraudeur.
2. D’après cette représentation graphique, que pourrait-on conjecturer :
a. Sur les variations de la fonction f ?
b. Sur le nombre de solutions de l’équation f (x) = 0 ?
3. On se propose maintenant d’étudier la fonction f.
Faux
Vrai
Faux
Vrai
Faux
Vrai
a. Étudier le sens de variation de la fonction f.
b. Étudier les limites de la fonction f en −1 et en +∞ , puis dresser le tableau de variations de f.
c. Déduire de cette étude, en précisant le raisonnement, le nombre de solutions de l’équation f (x) = 0.
d. Les résultats aux questions 3. a. et 3. c. confirment-ils les conjectures émises à la question 2.?
Exercice 1. 12 (5 points)
4. On veut représenter, sur l’écran d’une calculatrice, la courbe représentative de la fonction f sur
l’intervalle [−0,1 ; 0,2], de façon à visualiser les résultats de la question 3.
Une compagnie de transport désire optimiser les contrôles afin de limiter l’impact des fraudes et les pertes
occasionnées par cette pratique.
a. Quelles valeurs extrêmes de l’ordonnée y proposez-vous pourmettre en évidence les résultats de la
question 3. c. dans la fenêtre de votre calculatrice ?
Cette compagnie effectue une étude basée sur deux trajets par jour pendant les vingt jours ouvrables d’un
mois soit au total quarante trajets. On admet que les contrôles sont indépendants les uns des autres et que
la probabilité pour tout voyageur d’être contrôlé est égale à p.
b. À l’aide de la calculatrice determiner une valeur approchée par défaut à 10−2 près de la plus grande
solution α de l’équation f (x) = 0.
Le prix de chaque trajet est de dix euros, en cas de fraude l’amende est de cent euros. Claude fraude
systématiquement lors des quarante trajets soumis à cette étude.
Soit Xi la variable aléatoire qui prend la valeur 1 si Claude est contrôlé au i-ème trajet et la valeur 0 sinon.
Soit X la variable aléatoire définie par X = X1 + X2 + X3 +···+X40.
1 3
x − 1,1x2 − 2, 2 x + 2, 2( x + 1)ln( x + 1) .
3
a. Démontrer que F est une primitive de f sur ]−1 ; +∞[.
5. Soit F la fonction définie sur ]−1 ; +∞ [ par F( x) =
b. Interpréter graphiquement l’intégrale
∫
α
f ( x)dx
0
1. Déterminer la loi de probabilité de X.
9
10
c. Calculer
∫
α
0
f ( x)dx et exprimer le résultat sous la forme bα 3 + cα 2 (b et c réels).
On suppose que la durée de vie T1 (en heures) de chaque composant défectueux suit une loi exponentielle
de paramètre λ1 = 5 × 10 −4 et que la durée de vie T2 (en heures) de chaque composant non défectueux suit
une loi exponentielle de paramètre λ2 = 10 −4 (on pourra se reporter au formulaire ci-dessous).
Exercice 1. 14 (5 points)
1. Calculer la probabilité que la durée de vie d’un composant soit supérieure à 1 000 heures :
Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité.
a. si ce composant est défectueux ;
PARTIE A
Étant donnés deux points distincts A0 et B0 d’une droite, on définit les points : A1 milieu du segment [A0B0]
et B1 barycentre de {(A0, 1) ; (B0, 2)}.
b. si ce composant n’est pas défectueux.
Donner une valeur approchée de ces probabilités 10−2 près.
Puis, pour tout entier naturel n, An+1 milieu du segment [AnBn] et Bn+1 barycentre de {(An, 1) ; (Bn, 2)}.
2. Soit T la durée de vie (en heures) d’un composant acheté au hasard.
1. Placer les points A1 , B1, A2 et B2 pour A0B0= 12 cm.
Démontrer que la probabilité que ce composant soit encore en état de marche après t heures de
fonctionnement est :
Quelle conjecture peut-on faire sur les points An et Bn quand n devient très grand ?
1 2. On munit la droite (A0B0) du repère A0 ; i avec i =
A0 B0 .
12
(
)
Soit un et vn les abscisses respectives des points An et Bn. Justifier que pour tout entier naturel n strictement
positif, on a
un+1 =
u + 2vn
un + vn
et vn+1 = n
.
3
2
P(T ≥ t) = 0, 02e−5×10
−4 t
+ 0, 98 e−10
−4 t
.
(on rappelle que la probabilité qu’un composant vendu dans le magasin soit défectueux est égale à 0,02).
3. Sachant que le composant acheté est encore en état de fonctionner 1 000 heures après son installation,
quelle est la probabilité que ce composant soit défectueux ?
Donner une valeur approchée de cette probabilité à 10−2 près.
Formulaire :
Loi exponentielle (ou de durée de vie sans vieillissement) de paramètre λ sur [0 ; +∞ [ :
PARTIE B
On considère les suites (un) et (vn) définies par u0 = 0 ; v0 = 12 ; un+1
u + 2vn
u +v
= n n et vn+1 = n
.
3
2
1. Démontrer que la suite (un) définie par wn = vn − un est une suite géométrique convergente et que tous
ses termes sont positifs.
2. Montrer que la suite (un) est croissante puis que la suite (vn) est décroissante.
3. Déduire des deux questions précédentes que les suites (un) et (vn) sont convergentes et ont la même
limite.
4. On considère la suite (tn) définie par tn = 2un + 3vn. Montrer qu’elle est constante.
PARTIE C
À partir des résultats obtenus dans les parties A et B, préciser la position limite des points An et Bn quand n
tend vers +∞ .
Pour 0 ≤ a ≤ b , P([ a ; b]) =
∫
b
a
λ e−λ x dx ; pour c ≥ 0 , P ( [ c ; + ∞[ ) = 1 −
Exercice 1. 15 (4 points)
c
0
λ e− λ x dx .
Exercice 1. 16 (5 points, non spécialistes)
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; u, v ) . Unité graphique 2 cm.
Soit f l’application qui à tout point M du plan d’affixe z non nulle associe le point M’ d’affixe z’ telle que
4
z ' = , où z désigne le nombre complexe conjugué de z.
z
1. Déterminer l’ensemble des points invariants par f.
2. Déterminer l’ensemble des points dont l’image par l’application f est le point J d’affixe 1.
3. Soit α un nombre complexe non nul. Démontrer que le point A d’affixe α admet un antécédent
unique par f , dont on précisera l’affixe.
4. a. Donner une mesure de l’angle OM,OM ' . Interpréter géométriquement ce résultat.
(
1. 4. Amérique du Sud remplacement
∫
)
b. Exprimer z ' en fonction de z . Si r désigne un réel strictement positif, en déduire l’image par f du
Les parties A et B sont indépendantes
cercle de centre O et de rayon r.
Alain fabrique, en amateur, des appareils électroniques. Il achète pour cela, dans un magasin, des
composants en apparence tous identiques mais dont certains présentent un défaut.
c. Choisir un point P du plan complexe non situé sur les axes de coordonnées et tel que OP = 3, et
construire géométriquement son image P’ par f.
On estime que la probabilité qu’un composant vendu dans le magasin soit défectueux est égale à 0,02.
5. On considère le cercle C1, de centre J et de rayon 1. Montrer que l’image par f de tout point de C1,
distinct de O, appartient à la droite D d’équation x = 2.
Partie A
On admet que le nombre de composants présentés dans le magasin est suffisamment important pour que
l’achat de 50 composants soit assimilé à 50 tirages indépendants avec remise, et on appelle X le nombre de
composants défectueux achetés.
Alain achète 50 composants.
1. Quelle est la probabilité qu’exactement deux des composants achetés soient défectueux ? Donner une
valeur approchée de cette probabilité à 10−1 près.
Exercice 1. 17 (5 points, spécialistes)
Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; u, v ) . On prendra pour unité
graphique 4 cm. On considère les points A, B, C et D d’affixes respectives a, b, c et d telles que :
i
a = i, b = 1 + 2i, c = 2e
π
4
et d = 3 + 2i.
2. Quelle est la probabilité qu’au moins un des composants achetés soit défectueux ? Donner une valeur
approchée de cette probabilité à 10−2 près.
On considère la similitude directe s qui transforme A en B et C en D. Soit M un point d’affixe z et M’,
d’affixe z’, son image par s.
3. Quel est, par lot de 50 composants achetés, le nombre moyen de composants défectueux ?
1. Exprimer z’ en fonction de z. Déterminer les éléments caractéristiques de s.
Partie B
11
12
 U0 = 0
pour tout n ∈ ℕ .
Soit (Un) la suite numérique définie par : 
 Un+1 = 2Un + 1
 x = t+1

 y = 2t , le paramètre t décrivant ℝ .
z=t

2. Montrer que, pour tout entier naturel n, Un+1 etUn sont premiers entre eux.
3. Interpréter géométriquement, en utilisant la similitude s, les termes dela suite (Un).
Une représentation paramétrique de la droite (IJ) est :
4. Montrer que pour tout entier naturel n, Un = 2n − 1 .
5. Montrer que, pour tous entiers naturels n et p non nuls tels que n ≥ p , Un = U p (Un− p + 1) + Un− p .
6
La notation pgcd(a ; b) est utilisée, dans la suite, pour désigner le plus grand diviseur commun à deux
entiers naturels a et b. Montrer pour n ≥ p l’égalité
pgcd(Un , U p ) = pgcd(U p , Un− p ) .
7
6. Soit n et p deux entiers naturels non nuls, montrer que : pgcd(Un , U p ) = Upgcd( n, p) . Déterminer le
nombre : pgcd(U2005 , U15).
8
Exercice 1. 18 (4 points)
9
Dans cet exercice, une réponse par « VRAI » ou « FAUX », sans justification, est demandée au candidat en
regard d’une liste d’affirmations. Toute réponse conforme à la réalité mathématique donne 0,4 point.
Toute réponse erronée enlève 0,1 point. L’absence de réponse n’est pas comptabilisée. Le total ne saurait
être négatif.
On donne le cube ABCDEFGH, d’arête de longueur 1, et les milieux I et J des arêtes [AB] et [CG]. Les
éléments utiles de la figure sont donnés ci-contre. Le candidat est appelé à juger chacune des dix
affirmations suivantes. On utilisera pour répondre la feuille annexe, qui sera rendue avec la copie.
10
1

 x = 2 t+1

 y = t + 1 , le paramètre t décrivant ℝ .

1 1
 z = t+
2 2

6x − 7y + 8z − 3 = 0 est une équation cartésienne de
la droite (IJ).
L’intersection des plans (FIJ) et (ABC) est la droite
passant par I et par le milieu de l’arête [DC].
Le vecteur de coordonnées (−4 ; 1 ; 2) est un vecteur
normal au plan (FIJ).
Le volume du tétraèdre EFIJ est égal à
1
.
6
Exercice 1. 19 (7 points)
Partie A
2
2
On considère les fonctions f et g définies sur ℝ par f ( x) = e− x et g( x) = x2 e− x .
On note respectivement Cf et Cg les courbes représentatives de f et g dans un repère orthogonal (O ; i , j ) ,
dont les tracés se trouvent sur la feuille annexe. La figure sera complétée et rendue avec la copie.
H
E
1. Identifier Cf et Cg sur la figure fournie (justifier la réponse apportée).
G
2. Étudier la parité des fonctions f et g.
F
3. Étudier le sens de variationde f et de g . Étudier les limites éventuelles de f et de g en +∞ .
D
J
A
4. Étudier la position relative de Cf et Cg.
C
Partie B
I
On considère la fonction G définie sur ℝ par G( x) =
B
n°
Vrai
ou Faux
Affirmation
1. Que représente G pour la fonction g ?
1
AC. AI =
2
2
AC. AI = AI. AB
3
AB.IJ = AB. IC
π
AB. IJ = AB × AC × cos
4
3
On utilise à présente le repère orthonormal A ; AB, AD, AE
3. Étudier le sens de variations de G sur ℝ .
On définit la fonction F sur ℝ par : pour tout réel x, F( x) =
Affirmation
5
Une représentation paramétrique de la droite (IJ) est :
x
2
e− t dt .
0
2
1
F( x) − xe− x  ; (on pourra commencer par comparer les

2 
2
1
fonctions dérivées de G et de x →  F( x) − xe− x  .

2 
Vrai
ou Faux
On admet que la fonction F admet une limite finie l en +∞ , et que cette limite l est égale à l’aire, en unités
d’aire, du domaine A limité par la courbe Cf et les demi-droites [O ; i ) et [O ; j ) .
5. a. Démontrer que la fonction G admet une limite en +∞ que l’on précisera.
b. Interpréter en termes d’aires le réel N =
13
∫
4. Démontrer, que, pour tout réel x, G( x) =
)
n°
2
t2 e− t dt .
0
2. Donner, pour x > 0, une interprétation de G(x) en termes d’aires.
1
(
x
∫
∫ ( 1− t ) e
1
2
− t2
0
14
dt .
c. En admettant que la limite de G en +∞ représente l’aire P en unités d’aire du domaine D limité par la
demi-droite [O ; i ) et la courbe Cg justifier graphiquement que :
N=
∫ ( 1− t ) e
1
− t2
2
0
dt ≥
l
2
Exercice 1. 20 (5 points)
On étudie le mouvement aléatoire d’une puce. Cette puce se déplace sur trois cases notées A, B et C. À
l’instant 0, la puce est en A.
(on pourra illustrer le raisonnement sur la figure fournie).
Pour tout entier naturel n :
• si à l’instant n la puce est en A, alors à l’instant (n +1), elle est : soit en B avec une probabilité égale à
1
2
; soit en C avec une probabilité égale à
;
3
3
• si à l’instant n la puce est en B, alors à l’instant (n +1), elle est : soit en C, soit en A de façon
équiprobable ;
Document à rendre avec la copie - Annexe
Exercice 3
Affirmation n°
1. 5. Polynésie remplacement
Vrai ou faux
1
• si à l’instant n la puce est en C, alors elle y reste.
2
On note An (respectivement Bn, Cn) l’évènement « à l’instant n la puce est en A » (respectivement en B, en
C). On note an (respectivement bn, cn) la probabilité de l’évènement An, (respectivement Bn, Cn).
3
4
On a donc : a0 = 1, b0 = c0 = 0.
5
Pour traiter l’exercice, on pourra s’aider d’arbres pondérés.
6
1. Calculer ak , bk et ck pour k entier naturel tel que 1 ≤ k ≤ 3 .
7
1

 an+1 = 2 bn
2. a. Montrer que, pour tout entier naturel n, an + bn + cn = 1 et 
b = 1 a .
 n+1 3 n
8
9
10
b. Montrer que, pour tout entier naturel n, an+ 2 =
Exercice 4
1,2
1
an .
6
p

1
 a2 p =   et a2 p +1 = 0

6
c. En déduire que, pour tout entier naturel p, 
p
1 1 

 b2 p = 0 et b2 p+1 = 3  6  .

y
1
3. Montrer que lim an = 0 . On admet que lim bn = 0 . Quelle est la limite de cn lorsque n tend vers +∞ ?
n→∞
n→∞
Exercice 1. 21 (7 points)
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; u, v ) (unité graphique : 1 cm).
0,8
Partie A
0,6
Dans le repère (O ; u, v ) , on considère la courbe H d’équation y2 − x2 = 16 .
1. Montrer que H est la réunion de deux courbes C et C’ où C est la courbe représentative de la fonction f
définie sur ℝ par f ( x) = x2 + 16 et où C’ est l’image de C par une transformation simple que l’on
précisera.
0,4
2. Étudier la fonction f (limites aux bornes de l’ensemble de définition et sens de variation).
a. Montrer que la droite d’équation y = x est une asymptote de C.
b. Tracer H dans le repère (O ; u, v ) .
0,2
x
0
-3,5
-2,5
-1,5
-0,5
0,5
1,5
2,5
3,5
On nomme A et B les points de la courbe H d’abscisses respectives −3 et 3. On considère le domaine D du
plan constitué des points M(x ; y) vérifiant −3 ≤ x ≤ 3 et x2 + 16 ≤ y ≤ 5 . Hachurer le domaine D et
exprimer l’aire de D à l’aide d’une intégrale que l’on ne cherchera pas à calculer.
Partie B
On appelle r la rotation de centre O et d’angle
15
π
4
.
16
1. a. Donner l’écriture complexe de r .
b. On désigne par x’ et y’ les coordonnées du point M’, image par r du point M(x ; y) du plan.
1

 x ' = 2 ( x + y )
Vérifier que 
. Déterminer les coordonnées des points A’ et B’, images respectives de A et B
 y' = 1 ( x− y )

2
par la rotation r. Placer les points A’ et B’ dans le repère (O ; u, v ) .
3. On définit la suite ( un
)
a. Montrer que la suite ( un
 π 
sur ℕ par un = f  n  .
 2
)
est une suite géométrique. En préciser la raison.
b. En déduire le sens de variation de la suite ( un
)
et étudier sa convergence.
4. a. Montrer que, pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0 ; +∞ [, f '( x) = − e− x [ cos(4 x) + 4 sin(4 x) ] .
b. En déduire que les courbes Γ et C ontmême tangente en chacun de leurs points communs.
5. Donner une valeur approchée à 10−1 près par excès du coefficient directeur de la droite T tangente à la
2. Soit H’ l’hyperbole d’équation xy = 8.
a. Tracer H’ dans le repère (O ; u, v ) .
courbe Γ au point d’abscisse
b. Montrer que H’ est l’image de H par la rotation r.
3. Soit D’ l’image de D par la rotation r. On admet que D’ est l’ensemble des points M(x ; y) du plan
8
vérifiant 2 ≤ x ≤ 4 2 et ≤ y ≤ 5 2 − x .
x
a. Hachurer D’.
π
2
. Compléter le graphique donné en annexe, en y traçant T et C .
Annexe : exercice 4
y
1
b. Calculer l’aire de D’ exprimée en cm2. En déduire une valeur approchée à 10−3 près de l’aire de D.
Exercice 1. 22 (3 points)
Pour chacune des 3 questions, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro
de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte
rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 0,5 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est
négatif, la note est ramenée à zéro.
Dans tout l’exercice, le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; u, v ) .
3 . Son affixe z vérifie :
1. Le point M est situé sur le cercle de centre A(−2 ; 5) et de rayon
a. z − 2 + 5i
2
=3 ;
b. z + 2 − 5i
2
=3 ;
0,5
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
c. z − 2 + 5i = 3 .
4
x
2. On considère trois points A, B et C d’affixes respectives a, b et c, deux à deux distincts et tels que le
triangle ABC n’est pas équilatéral. Le point M est un point dont l’affixe z est telle que les nombres
z−b
z−c
et
sont imaginaires purs.
complexes
c− a
b−a
a. M est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC ;
-0,5
b. M appartient aux cercles de diamètres respectifs [AC] et [AD] ;
c. M est l’orthocentre du triangle ABC.
-1
3. Soit A et B les points d’affixes respectives 1 + i et 5 + 4i, et C un point du cercle de diamètre [AB]. On
appelle G l’isobarycentre des points A, B et C et on note zG son affixe.
a. zG − 3 − 2, 5i =
5
;
6
b. zG − (1 + i) =
1
(4 + 3i) ;
3
c. zG − (3 + 2, 5i) =
1
(4 + 3i) .
3
1. 6. National
Exercice 1. 23 (5 points)
Exercice 1. 24 (4 points)
L’annexe se rapporte à cet exercice. Elle sera complétée et remise avec la copie à la fin de l’épreuve.
Le plan est rapporté à un repère orthogonal (O ; i , j ) .
Cet exercice constitue une restitution organisée de connaissances.
−x
Soit la fonction f définie sur [0 ; +∞ [ par f ( x) = e cos(4 x) et Γ sa courbe représentative tracée dans le
repère (O ; i , j ) de l’annexe. On considère également la fonction g définie sur [0 ; +∞ [ par g( x) = e− x et on
nomme C sa courbe représentative dans le repère (O ; i , j ) .
1. a. Montrer que, pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0 ; +∞ [, − e− x ≤ f ( x) ≤ e− x .
PARTIE A : QUESTION DE COURS
On suppose connus les résultats suivants :
(1) deux suites (un) et (vn) sont adjacentes lorsque : l'une est croissante, l'autre est décroissante et un − vn
tend vers 0 quand n tend vers +∞ ;
(2) si (un) et (vn) sont deux suites adjacentes telles que (un) est croissante et (vn) est décroissante, alors pour
tout n appartenant à ℕ , on a un ≤ vn ;
(3) toute suite croissante et majorée est convergente ; toute suite décroissante et minorée est convergente.
b. En déduire la limite de f en +∞ .
2. Déterminer les coordonnées des points communs aux courbes Γ et C.
17
Démontrer alors la proposition suivante :
« Deux suites adjacentes sont convergentes et elles ont la même limite ».
18
PARTIE B
On considère une suite (un), définie sur ℕ dont aucun terme n'est nul.
N
−2
On définit alors la suite (vn) sur ℕ par vn =
.
un
Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse
indiquée. Dans le cas d'une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre exemple.
Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.
P
K
1. Si (un) est convergente, alors (vn) est convergente.
2. Si (un) est minorée par 2, alors (vn) est minorée par −1.
3. Si (un) est décroissante, alors (vn) est croissante.
4. Si (un) est divergente, alors (vn) converge vers zéro.
M
L
Exercice 1. 25 (5 points, spécialistes)
Le but de l’exercice est d’étudier quelques propriétés de la figure donnée en annexe. Cette annexe sera à
rendre avec la copie.
On munit le plan d’un repère orthonormal direct (O ; u, v ) . Le quadrilatère MNPQ est un quadrilatère non
croisé et de sens direct. Les triangles MRN, NSP, PTQ et QUM sont des triangles rectangles isocèles,
extérieurs au quadrilatère MNPQ et de sens direct (les sommets des angles droits étant respectivement les
points R, S, T et U).
O
A
Partie A
On désigne par m, n, p et q, les affixes respectives des points M, N, P et Q.
1. Soit f la similitude directe de centre M qui transforme N en R.
a. Déterminer le rapport et l’angle de la similitude f .
b. On désigne par r l’affixe du point R. Démontrer que r =
de module 1 et d’argument
π
2
1+ i
1− i
m+
n où i désigne le nombre complexe
2
2
(on pourra éventuellement utiliser l’écriture complexe de la similitude f ).
1+ i
1− i
1+ i
1− i
1+ i
1− i
n+
p, t=
p+
q et u =
q+
m,
2
2
2
2
2
2
où s, t et u désignent les affixes respectives des points S, T et U.
On admettra que l’on a également les résultats s =
2. Démontrer que les quadruplets (M, N, P, Q) et (R, S, T, U) ont le même isobarycentre.
Dans le plan orienté, on considère les points O et A fixés et distincts, le cercle C de diamètre [OA], un point
M variable appartenant au cercle C et distinct des points O et A, ainsi que les carrés de sens direct MAPN
et MKLO. La figure est représentée ci-dessus.
Le but de l'exercice est de mettre en évidence quelques éléments invariants de la figure et de montrer que le
point N appartient à un cercle à déterminer.
On munit le plan complexe d'un repère orthonormal direct de sorte que les affixes des points O et A soient
respectivement 0 et 1.
On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument
π
2
. On note k, l, m, n et p les affixes
respectives des points K, L, M, N et P.
1. Démontrer que, quel que soit le point M choisi sur le cercle C, on a m −
3. a. Démontrer l’égalité u − s = i(t − r).
1 1
= .
2 2
b. Que peut-on en déduire pour les longueurs des segments [RT] et [SU], d’une part, et pour les droites
(RT) et (SU), d’autre part ?
2. Établir les relations suivantes : l = im et p = − im + l + i.
Partie B
On admettra que l'on a également n = (1 − i)m + i et k = (1 + i)m .
Cette partie sera traitée sans utilisation des nombres complexes.
3. a. Démontrer que le milieu Ω du segment [PL] est un point indépendant de la position du point M sur
le cercle C.
1. Démontrer, en utilisant les résultats établis dans la partie A, qu’il existe une unique rotation g qui
transforme R en S et T en U.
b. Démontrer que le point Ω appartient au cercle C et préciser sa position sur ce cercle.
2. Décrire comment construire géométriquement le point Ω , centre de la rotation g. Réaliser cette
construction sur la figure de l’annexe.
4. a. Calculer la distance KN et démontrer que cette distance est constante.
Exercice 1. 26 (5 points, non spécialistes)
5. Démontrer que le point N appartient à un cercle fixe, indépendant du point M, dont on déterminera le
centre et le rayon.
b. Quelle est la nature du triangle ΩNK ?
Exercice 1. 27 (5 points)
Pour les questions 1 et 2, on donnera les résultats sous forme de fraction et sous forme décimale approchée
par défaut à 10−3 près.
Un enfant joue avec 20 billes : 13 rouges et 7 vertes. Il met 10 rouges et 3 vertes dans une boîte cubique et
3 rouges et 4 vertes dans une boîte cylindrique.
19
20
1. Dans un premier jeu, il choisit simultanément trois billes au hasard dans la boîte cubique et il regarde
combien de billes rouges il a choisies. On appelle X la variable aléatoire correspondant au nombre de billes
rouges choisies.
a. Déterminer la loi de probabilité de X.

u( t) u( t)2
−
 u '(t) =
(E2) : 
4
12
 u(0) = 1

pour tout nombre réel t positif ou nul, où u' désigne la fonction dérivée de la fonction u.
b. Calculer l'espérance mathématique de X.
C2 : "L'enfant choisit la boîte cylindrique",
a. On suppose que, pour tout réel positif t, on a u(t) > 0. On considère, sur l'intervalle [0 ; +∞ [, la fonction
1
. Démontrer que la fonction u satisfait aux conditions (E2) si et seulement si la fonction
u
1
1

 h '(t) = − h( t) +
h satisfait aux conditions (E2) : 
4
12 pour tout nombre réel t positif ou nul,
 h(0) = 1
R : "L'enfant prend une bille rouge",
où h' désigne la fonction dérivée de la fonction h.
V : "L 'enfant prend une bille verte".
b. Donner les solutions de l'équation différentielle y ' = −
2. Un deuxième jeu est organisé de telle sorte que l'enfant choisisse d'abord au hasard une des deux boîtes,
puis qu'il prenne alors une bille, toujours au hasard, dans la boîte choisie.
On considère les événements suivants :
C1 : "L'enfant choisit la boîte cubique",
a. Représenter par un arbre pondéré la situation correspondant à ce deuxième jeu.
h définie par h =
1
1
y+
et en déduire l'expression de la fonction h,
4
12
puis celle de la fonction u.
b. Calculer la probabilité de l'événement R.
c. Sachant que l'enfant a choisi une bille rouge, quelle est la probabilité qu'elle provienne de la boîte
cubique ?
c. Dans ce modèle, comment se comporte la taille de la population étudiée lorsque t tend vers +∞ ?
ANNEXE
À rendre avec la copie, figure de l’exercice 2 de spécialité
3. L'enfant reproduit n fois de suite son deuxième jeu, en remettant à chaque fois la bille tirée à sa place.
a. Exprimer, en fonction de n, la probabilité pn que l'enfant ait pris au moins une bille rouge au cours de ses
n choix.
T
b. Calculer la plus petite valeur de n pour laquelle pn ≥ 0, 99 .
Exercice 1. 28 (6 points)
P
PARTIE A
x
Soit f la fonction définie sur ℝ par f ( x) =
a. Démontrer que f ( x) =
3e 4
x
2 + e4
Q
S
.
U
3
−
1 + 2e
x
4
.
M
N
b. Étudier les limites de la fonction f en +∞ et en −∞ .
c. Étudier les variations de la fonction f.
PARTIE B
R
1. On a étudié en laboratoire l'évolution d'une population de petits rongeurs. La taille de la population, au
temps t, est notée g(t). On définit ainsi une fonction g de l'intervalle [0 ; +∞ [ dans ℝ .
La variable réelle t désigne le temps, exprimé en années. L'unité choisie pour g(t) est la centaine d'individus.
Le modèle utilisé pour décrire cette évolution consiste à prendre pour g une solution, sur l'intervalle
y
[0 ; +∞ [, de l'équation différentielle (E1) y ' = .
4
1. a. Résoudre l'équation différentielle (E1).
b. Déterminer l'expression de g(t) lorsque, à la date t = 0, la population comprend 100 rongeurs, c'est-à-dire
g(0) = 1.
c. Après combien d'années la population dépassera-t-elle 300 rongeurs pour la première fois ?
2. En réalité, dans un secteur observé d'une région donnée, un prédateur empêche une telle croissance en
tuant une certaine quantité de rongeurs. On note u(t) le nombre des rongeurs vivants au temps t (exprimé
en années) dans cette région, et on admet que la fonction u, ainsi définie, satisfait aux conditions :
21
1. 7. Pondichéry
Exercice 1. 29 (4 points)
On considère la fonction f, définie sur [1 ; + ∞[ par f (t) =
et
.
t
1. a. Justifier la continuité de f sur [1 ; + ∞[ .
b. Montrer que f est croissante sur [1 ; + ∞[ .
2. Restitution organisée de connaissances
On pourra raisonner en s’appuyant sur le graphique fourni.
Pour tout réel x0 de [1 ; + ∞[ , on note A( x0 ) l’aire du domaine délimité par la courbe représentant f dans
un repère orthogonal, l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 1 et x = x0 .
22
a. Que vaut A(1) ?
4. Soit r l’application du plan P dans lui-même qui à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’
b. Soit x0 un réel quelconque de [1 ; + ∞[ et h un réel strictement positif. Justifier l’encadrement suivant :
f ( x0 ) ≤
A( x0 + h) − A( x0 )
≤ f ( x0 + h) .
h
π
tel que z '+
i 
1
1
= e 4  z+ .
2
2

a. Déterminer la nature de r et ses éléments caractéristiques.
c. Lorsque x0 ≥ 1 , quel encadrement peut-on obtenir pour h < 0 et tel que x0 + h ≥ 1 ?
d. En déduire la dérivabilité en x0 de la fonction A ainsi que le nombre dérivé en x0 de la fonction A.
b. Soit K le point d’affixe z K = 2 . Déterminer par le calcul l’image de K par r. Comment peut-on retrouver
géométriquement ce résultat.
e. Conclure.
Exercice 1. 31 (5 points, spécialistes)
5
Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal (O ; u, v ) . On considère l’application f qui au
3 + 4i
1 − 2i
z+
.
point M d’affixe z fait correspondre le point M’ d’affixe z’ tel que z ' =
5
5
y
3 x + 4y + 1

 x ' =
5
.
1. On note x et x’, y et y’ les parties réelles et imaginaires de z et z’. Démontrer que 
 y ' = 4 x − 3y − 2

5
4
2. a. Déterminer l’ensemble des points invariants par f.
3
b. Quelle est la nature de l’application f ?
e
3. Déterminer l’ensemble D des points M d’affixe z tels que z’ soit réel.
4. On cherche à déterminer les points de D dont les coordonnées sont entières.
a. Donner une solution particulière
2
( x0
; y0
)
appartenant à ℤ 2 de l’équation 4 x − 3 y = 2 .
b. Déterminer l’ensemble des solutions appartenant à ℤ 2 de l’équation 4 x − 3 y = 2 .
5. On considère les points M d’affixe z = x + iy tels que x = 1 et y ∈ ℤ . Le point M ' = f ( M) a pour affixe
z’. Déterminer les entiers y tels que Re( z ') et Im( z ') soient entiers (on pourra utiliser les congruences
modulo 5).
1
Exercice 1. 32 (5 points)
L’espace E est rapporté à un repère orthonormé (O ; i , j , k ) . On considère les points A, B et C de
x
0
0
1
x0
x0 + h
2
coordonnées respectives ( 1 ; 0 ; 2 ) , ( 1 ; 1 ; 4 ) et ( −1 ; 1 ; 1 ) .
3
Exercice 1. 30 (5 points, non spécialistes)
Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal (O ; u, v ) . On désigne par I le point d’affixe
z I = 1 , par A le point d’affixe z A = 1 − 2i , par B le point d’affixe −2 + 2i et par (C) le cercle de diamètre
[AB].
1. a. Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
b. Soit n le vecteur de coordonnées ( 3 ; 4 ; − 2 ) . Vérifier que le vecteur n est orthogonal aux vecteurs AB
et AC . En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).
2. Soient P1 et P2 les plans d’équations respectives 2 x + y + 2 z + 1 = 0 et x − 2y + 6 z = 0 .
On fera une figure que l’on complètera avec les différents éléments intervenant dans l’exercice. On prendra
pour unité graphique 2 cm.
a. Montrer que les plans P1 et P2 sont sécants suivant une droite D dont on déterminera un système
d’équations paramétriques.
1. Déterminer le centre Ω du cercle (C) et calculer son rayon.
b. La droite D et le plan (ABC) sont-ils parallèles ?
3 + 9i
. Ecrire z D sous forme algébrique puis démontrer que D est un point
2. Soit D le point d’affixe z D =
4 + 2i
du cercle (C).
π
3. Sur le cercle (C), on considère le point E, d’affixe z E , tel qu’une mesure en radians de ΩI , ΩE est .
4
1
a. Préciser le module et un argument de z E + .
2
3. Soit t un réel positif quelconque. On considère le barycentre G des points A, B et C affectés des
coefficients 1, 2 et t.
(
5 2 −2 5 2
b. En déduire que z E =
+
i.
4
4
)
a. Justifier l’existence du point G pour tout réel positif t.
Soit I le barycentre des points A et B affectés des coefficients respectifs 1 et 2. Déterminer les coordonnées
du point I.
Exprimer le vecteur IG en fonction du vecteur IC .
b. Montrer que l’ensemble des points G lorsque t décrit l’ensemble des nombres réels positifs ou nuls est le
segment [IC] privé du point C. Pour quelle valeur de t, le milieu J du segment [IC] coïncide-t-il avec G ?
Exercice 1. 33 (6 points)
23
24
Pour tout entier naturel n, on pose un =
n10
2n
. On définit ainsi une suite (un )n∈ℕ .
4. Deux suites (xn) et (yn) sont définies pour n > 0 par les relations :
1. Prouver, pour tout entier naturel n non nul, l’équivalence suivante :
10
un+1
1

≤ 0, 95un si et seulement si  1 + 
n

xn =
≤ 1, 9 .
1
1
1
1
1
1
+
+ ... +
et yn =
+
+ ... +
.
n n+1
2n
n+1 n+ 2
2n
a. Les suites (xn) et (yn) sont toutes les deux croissantes.
b. x3 =
10
1

2. On considère la fonction f définie sur [1 ; + ∞[ par f ( x) =  1 +  .
x

37
19
et y3 =
.
60
20
c. Les suites (xn) et (yn) ne sont pas majorées.
a. Etudier le sens de variation et la limite en +∞ de la fonction f.
b. Montrer qu’il existe dans l’intervalle [1 ; + ∞[ un unique nombre réel α tel que f (α ) = 1, 9 .
d. Les suites (xn) et (yn) sont adjacentes.
Exercice 1. 35 (5 points, non spécialistes)
c. Déterminer l’entier naturel n0 tel que n0 − 1 ≤ α ≤ n0 .
10
1

d. Montrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 16, on a :  1 + 
n

On considère trois urnes U1, U2 et U3.
≤ 1, 9 .
3. a. Déterminer le sens de variation de la suite (un ) à partir du rang 16.
b. Que peut-on en déduire pour la suite ?
4. En utilisant un raisonnement par récurrence, prouver, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 16,
l’encadrement : 0 ≤ un ≤ 0, 95n−16 u16 . En déduire la limite de la suite (un )n∈ℕ .
L’urne U1 contient deux boules noires et trois boules rouges ; l’urne U2 contient une boule noire et quatre
boules rouges ; l’urne U3 contient trois boules noires et quatre boules rouges.
Une expérience consiste à tirer au hasard une boule de U1 et une boule de U2, à les mettre dans U3, puis à
tirer au hasard une boule de U3. Pour i prenant les valeurs 1, 2 et 3, on désigne par Ni, (respectivement Ri )
l’évènement
« on tire une boule noire de l’urne Ui » (respectivement « on tire une boule rouge de l’urneUi »).
1. Reproduire et compléter l’arbre de probabilités suivant
1. 8. La Réunion
N3
N2
Exercice 1. 34 (4 points)
Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes et sont notées sur un point chacune.
R3
Pour chaque question, il y a exactement deux propositions correctes. Le candidat doit indiquer sur sa copie les deux propositions
vraies. Aucune justification n’est demandée.
N3
N1
Chaque réponse exacte rapporte 0,5 point, chaque réponse fausse enlève 0,25 point. Donner trois propositions ou plus d’une
question, ou bien n’en donner aucune, ne rapporte aucun point. Si, par application de ce barème, le total des points de l’exercice est
négatif, il est ramené à zéro.
R2
1. Les suites suivantes sont convergentes :
 2n
a.  2005
n
 2n + (−1)n n 
b. 

n+1

n∈ℕ


 n> 0
1

c.  n sin 
n  n> 0

N2
 n 
d. 

 ln n n>1
R3
R1
2. On considère trois suites (un) , (vn) et (wn) ayant, pour tout entier naturel n, les propriétés suivantes :
un ≤ vn ≤ wn , lim (un ) = −1 et lim ( wn ) = 1 .
n→+∞
R3
N3
N3
R2
n→+∞
R3
Alors :
a. lim ( vn ) = 0 .
n→+∞
2. a. Calculer la probabilité des évènements N1 ∩ N2 ∩ N3 , et N1 ∩ R 2 ∩ N3 .
b. La suite (un) est minorée.
c. Pour tout n de ℕ , on a : −1 ≤ vn ≤ 1 .
b. En déduire la probabilité de l’évènement N1 ∩ N3 .
d. On ne sait pas dire si la suite (vn) a une limite ou non.
c. Calculer de façon analogue la probabilité de l’évènement R1 ∩ N3 .
3. Déduire de la question précédente la probabilité de l’évènement N3.
 u0 = 1, 5
pour tout entier naturel n.
3. Une suite (un) est définie sur ℕ par 
 un+1 = 2un − 1
5. Sachant que la boule tirée dans U3 est noire, quelle est la probabilité que la boule tirée de U1 soit rouge ?
a. La suite (un) converge vers 1, abscisse du point d’intersection des droites d’équations y = x et y = 2x −1.
Exercice 1. 36 (5 points, spécialistes)
b. La suite (vn), définie sur ℕ par vn = un −1, est géométrique.
Dans cet exercice, on pourra utiliser le résultat suivant :
c. La suite (vn) est majorée.
4. Les évènements N1 et N3 sont-ils indépendants ?
« Étant donnés deux entiers naturels a et b non nuls, si PGCD(a ; b) = 1 alors PGCD(a2 ; b2 ) = 1 ».
d. La suite (wn), définie sur ℕ par wn = ln (un −1), est arithmétique.
25
26
Partie B
n
Une suite (Sn) est définie pour n >0 par Sn =
∑p
3
. On se propose de calculer, pour tout entier naturel
p =1
non nul n, le plus grand commun diviseur de Sn et Sn+1.
2
 n(n + 1) 
1. Démontrer que, pour tout n > 0, on a : Sn = 
 .
2 

2. Étude du cas où n est pair. Soit k l’entier naturel non nul tel que n = 2k.
a. Démontrer que PGCD( S2 k ; S2 k+1 ) = (2k + 1)2 PGCD( k2 ; ( k + 1)2 ) .
Dans l’espace muni d’un repère orthonormal (O ; i , j , k ) on donne les points A(3 ; 2 ; −1), B(−6 ; 1 ; 1),
C(4 ;−3 ; 3) et D(−1 ; −5 ; −1).
1. a. Vérifier qu’une équation cartésienne du plan (BCD) est : −2x −3y +4z −13 = 0.
b. Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point A sur le plan (BCD).
c. Calculer le produit scalaire BH.CD .
d. Le tétraèdre ABCD est-il orthocentrique ?
2. On définit les points I(1 ; 0 ; 0), J(0; 1; 0), K(0 ; 0 ; 1). Le tétraèdre OIJK est-il orthocentrique ?
b. Calculer PGCD (k ; k +1).
c. Calculer PGCD(S2k ; S2k+1).
Exercice 1. 39 (3 points)
3. Étude du cas où n est impair. Soit k l’entier naturel non nul tel que n = 2k +1.
L’exercice comporte une annexe à rendre avec la copie.
a. Démontrer que les entiers 2k +1 et 2k +3 sont premiers entre eux.
On considère les fonctions f et g définies, sur l’intervalle [0 ; +∞ [, par f (x) = ln(x +1) et g( x) = e x − 1 . On
désigne par Cf et Cg les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère orthonormal (O ; i , j ) .
Ces courbes sont tracées sur la feuille annexe, dont le candidat disposera comme il le jugera utile ; cette
annexe sera à joindre à la copie, avec les éventuels ajouts effectués par le candidat,
b. Calculer PGCD(S2k+1 ; S2k+2).
4. Déduire des questions précédentes qu’il existe une unique valeur de n, que l’on déterminera, pour
laquelle Sn et Sn+1 sont premiers entre eux.
Exercice 1. 37 (4 points)
On se propose de démontrer qu’il existe une seule fonction f dérivable sur ℝ vérifiant la condition :
 f (− x)f '( x) = 1 pour tout nombre réel x,
(C) 
 f (0) = −4
(où f’ désigne la fonction dérivée de la fonction f ) et de trouver cette fonction.
1. Onsuppose qu’il existe une fonction f satisfaisant la condition (C) et on considère alors la fonction g
définie sur ℝ par g (x) = f (−x) f (x).
a. Démontrer que la fonction f ne s’annule pas sur R.
2. Démontrer que les courbes Cf et Cg sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.
3. Soit a un nombre réel strictement positif. On se propose de calculer de deux façons différentes le nombre
I( a) =
∫
a
0
ln( x + 1)dx .
a. En utilisant des considérations d’aires, démontrer que I( a) = a ln( a + 1) −
b. En déduire la valeur de I (a).
b. Calculer la fonction dérivée de la fonction g .
c. En déduire que la fonction g est constante et déterminer sa valeur.
d. On considère l’équation différentielle (E) y ' =
1. Vérifier que les courbes Cf et Cg ont une tangente commune au point O(0 ; 0). Préciser la position de la
courbe Cf par rapport à cette tangente.
1
y . Montrer que la fonction f est solution de cette
16
c. Retrouver la valeur de I (a) en effectuant une intégration par parties.
Courbes de l’exercice 5
équation et qu’elle vérifie f (0)=−4.
2. Question de cours :
x
a. On sait que la fonction x → e16 est solution de l’équation différentielle (E). Démontrer alors que
l’ensemble des solutions de l’équation (E) est l’ensemble des fonctions, définies sur ℝ , de la forme
x
x → Ke16 , où K est un nombre réel quelconque.
b. Démontrer qu’il existe une unique solution de l’équation différentielle (E) prenant la valeur −4 en 0.
3. Déduire des questions précédentes qu’il existe une seule fonction dérivable sur ℝ satisfaisant la
condition (C) et préciser quelle est cette fonction.
Exercice 1. 38 (4 points)
On appelle hauteur d’un tétraèdre toute droite contenant l’un des sommets de ce tétraèdre et
perpendiculaire au plan de la face opposée à ce sommet. Un tétraèdre est orthocentrique si ses quatre
hauteurs sont concourantes.
Partie A
On considère un tétraèdre ABCD et on note H le projeté orthogonal du point A sur le plan (BCD).
Démontrer que, si les hauteurs du tétraèdre ABCD issues des points A et B sont concourantes, alors la
droite (BH) est une hauteur du triangle BCD.
27
28
∫
ln( a+1)
0
( e x − 1)dx .
Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la
réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
4
y
Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 0,5 point ; l’absence de réponse est
comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.
L’espace est rapporté à un repère orthonormé (O ; i , j , k ) .
3,5
On considère les points A(3 ; 1 ; 3) et B(−6 ; 2 ; 1).
3
Le plan P admet pour équation cartésienne x +2y +2z = 5.
1. L’ensemble des points M de l’espace tels que 4 MA − MB = 2 est :
2,5
a. un plan de l’espace ;
b. une sphère ;
c. l’ensemble vide.
2. Les coordonnées du pointH, projeté orthogonal du point A sur le plan P sont :
 11 1 1 
a. 
; ; 
 3 3 3
2
8 1 7
b.  ; ; 
3 3 3
1 5
7
c.  ; − ;  .
3 3
3
3. La sphère de centre B et de rayon 1 :
1,5
a. coupe le plan P suivant un cercle ;
b. est tangente au plan P ;
c. ne coupe pas le plan P.
4. On considère la droite D de l’espace passant par A et de vecteur directeur u ( 1 ; 2 ; − 1 ) et la droite D’
 x = 3 + 2t

d’équations paramétriques  y = 3 + t , t ∈ ℝ . Les droites D et D’ sont :
z=t

1
0,5
a. coplanaires et parallèles ;
b. coplanaires et sécantes ;
0
Exercice 1. 40 (3 points)
3

 x = − 2 −t

3

a. la droite d’équations paramétriques  y = − 7 t , t ∈ ℝ ,
2

 z = 2+t


Une usine d’horlogerie fabrique une série de montres. Au cours de la fabrication peuvent apparaître deux
types de défauts, désignés par a et b. 2 % des montres fabriquées présentent le défaut a et 10 % le défaut b.
c. le plan d’équation cartésienne x + 7y − z − 7 = 0.
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
c. non coplanaires.
5. L’ensemble des points M de l’espace équidistants des points A et B est :
x
4
1. 9. Polynésie
Une montre est tirée au hasard dans la production. On définit les évènements suivants :
A : « la montre tirée présente le défaut a » ;
b. le plan d’équation cartésienne 9x − y + 2z + 11 = 0,
Exercice 1. 42 (5 points, spécialistes)
On considère la suite (un) d’entiers naturels définie par u0 = 14, un+1 = 5un − 6 pour tout entier naturel n.
B : « la montre tirée présente le défaut b » ;
C : « la montre tirée ne présente aucun des deux défauts » ;
D : « la montre tirée présente un et un seul des deux défauts ».
On suppose que les évènements A et B sont indépendants.
1. Calculer u1, u2, u3 et u4.
Quelle conjecture peut-on émettre concernant les deux derniers chiffres de un ?
2. Montrer que, pour tout entier naturel n, un+ 2 ≡ un (modulo 4) . En déduire que pour tout entier naturel k,
u2 k ≡ 2(modulo 4) et u2 k+1 ≡ 0(modulo 4) .
1. Montrer que la probabilité de l’évènement C est égale à 0,882.
2. Calculer la probabilité de l’évènement D.
3. a. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 2un = 5n+2 +3.
3. Au cours de la fabrication, on prélève au hasard successivement cinq montres. On considère que le
nombre de montres fabriquées est assez grand pour que l’on puisse supposer que les tirages se font avec
remise et sont indépendants.
b. En déduire que, pour tout entier naturel n, 2un ≡ 28(modulo 100) .
Soit X la variable aléatoire qui, à chaque prélèvement de cinq montres, associe le nombre de montres ne
présentant aucun des deux défauts a et b. On définit l’évènement E : « quatre montres au moins n’ont
aucun défaut ».
4. Déterminer les deux derniers chiffres de l’écriture décimale de un suivant les valeurs de n.
5. Montrer que le PGCD de deux termes consécutifs de la suite (un) est constant. Préciser sa valeur.
Exercice 1. 43 (7 points)
La page annexe sera à compléter et à remettre avec la copie à la fin de l’épreuve.
Calculer la probabilité de l’évènement E. On en donnera une valeur approchée à 10−3 près.
Partie A
Exercice 1. 41 (5 points, non spécialistes)
On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; +∞ [ par f (x) = x +ln x.
On nomme Γ sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O ; i , j ) du plan.
Pour chacune des cinq questions, une seule des trois propositions est exacte.
29
30
1. a. Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de son intervalle de définition.
1+ 3
1 + i 3 . En déduire que les points O, N et C sont
2
(
)
b. Montrer que la fonction f est strictement croissante sur l’intervalle ]0 ; +∞ [.
a. Montrer que l’affixe n du point N est égale à
2. a. Montrer que, pour tout entier naturel n, l’équation f (x) = n admet une unique solution dans ]0 ; +∞ [.
alignés.
On note α n cette solution. On a donc : pour tout entier naturel n, α n + ln α n = n .
b. Sur la page annexe, on a tracé Γ dans le repère (O ; i , j ) .
b. Montrer que n + 1 = i(q + 1). Que peut-on en déduire pour le triangle MNQ ?
c. Montrer que le quadrilatère MNPQ est un carré.
Page annexe
Placer les nombres α 0 , α1 , α 2 , α 3 , α 4 et α 5 sur l’axe des abscisses en laissant apparents les traits de
construction.
Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l’épreuve
Exercice 3
c. Préciser la valeur de α1 .
d. Démontrer que la suite ( α n ) est strictement croissante.
14
3. a. Déterminer une équation de la tangente ∆ à la courbe Γ au point A d’abscisse 1.
b. Étudier les variations de la fonction h définie sur ]0 ; +∞ [ par h(x) = ln x − x +1.
y
13
En déduire la position de la courbe Γ par rapport à ∆ .
12
c. Tracer ∆ sur le graphique de la page annexe. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul,
n+1
≤ αn .
2
11
4. Déterminer la limite de la suite ( α n ).
10
Partie B
9
On considère une fonction g continue, strictement croissante sur ]0 ; +∞ [ et telle que lim g( x) = −∞ et
x→0
8
lim g( x) = +∞ .
x→+∞
7
On admet que l’on peut, comme on l’a fait dans la partie A, définir sur ℕ une suite ( β n ) de réels tels que
g( β n ) = n , et que cette suite est strictement croissante.
6
1. Démonstration de cours :
5
Prérequis : définition d’une suite tendant vers +∞ .
« Une suite tend vers +∞si, pour tout réel A, tous les termes de la suite sont, à partir d’un certain rang,
supérieurs à A ».
4
Démontrer le théorème suivant : une suite croissante non majorée tend vers +∞ .
3
2. Montrer que la suite ( β n ) tend vers +∞ .
2
Exercice 1. 44 (5 points)
1
Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormal (O ; u, v ) . Unité graphique : 2 cm.
1. On rappelle que, pour tous nombres complexes a et b, a3 − b3 = ( a − b)( a2 + ab + b2 ) . Résoudre dans
l’ensemble ℂ des nombres complexes l’équation z3 = 8.
-1
2. On désigne par A, B et C les points d’affixes respectives a, b et c définies par : a = 2, b = −1 + i 3 et
-2
0
c = −1 − i 3 .
On appelle r la rotation de centre A et d’angle
π
2
et r’ la rotation de centre A et d’angle −
π
2
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
-3
.
On pose B ' = r '( B) et C ' = r(C ) et on note b’ et c’ les affixes respectives de B’ et C’.
a. Placer les points A, B et C dans le repère (O ; u, v ) .
1. 10. Liban
Dans la suite de l’exercice, on complètera cette figure.
Exercice 1. 45 (4 points)
b. Montrer que b ' = 2 + 3 + 3i .
Pour chacune des huit affirmations (entre guillemets) ci-dessous, préciser si elle est vraie ou fausse.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et lamention « vrai » ou « faux ».
c. Montrer que b’ et c’ sont des nombres conjugués.
3. On appelle M, N, P et Q les milieux respectifs des segments [CB], [BB’], [B’C’] et [C’C]. On note m, n, p
et q leurs affixes.
31
Une réponse correcte rapporte 0,5 point, une réponse incorrecte enlève 0,25 point, l’absence de réponse ne
rapporte ni n’enlève de points. Un éventuel total négatif sera ramené à zéro.
32
1. « Si a est un nombre réel quelconque et f une fonction définie et strictement décroissante sur [a ; +∞ [,
alors lim f ( x) = −∞ ».
Exercice 1. 47 (8 points)
2. Soient f et g deux fonctions définies sur [0 ; +∞ [, g ne s’annulant pas :
On considère la suite (un) définie par : pour tout entier naturel n non nul, un =
x→+∞
f ( x)
= −1 ».
« Si lim f ( x) = −∞ et si lim g( x) = +∞ alors lim
x→+∞
x→+∞
x→+∞ g( x)
Partie A
∫
1
0
(1 − t)n et dt .
3. « Si f est une fonction définie sur [0 ; +∞ [ telle que 0 ≤ f ( x) ≤ x sur [0 ; +∞ [ alors lim f ( x) = 0 ».
1. Montrer que la fonction f : t → (2 − t)et est une primitive de g : t → (1 − t)et sur [0 ; 1]. En déduire la
valeur de u1.
4. On considère un repère (O ; i , j ) du plan.
Partie B
« Si f est une fonction définie sur ℝ * alors la droite d’équation x = 0 est asymptote à la courbe
représentative de f dans le repère (O ; i , j ) ».
On regarde d’abord ce qu’affichent deux calculatrices différentes pour les valeurs approchées des 25
premiers termes de la suite (un) en utilisant pour le calcul la relation de récurrence (R) ci-dessus.
5. « La fonction f définie sur R par f ( x) = ( x2 + 3 x + 1)e x est une solution sur ℝ de l’équation différentielle
Voici les résultats affichés par ces deux calculatrices :
x→+∞
2. Montrer à l’aide d’une intégration par parties que, pour tout n non nul, un+1 = (n + 1)un − 1 (R).
Valeur
de n
Valeur de un affichée
par la première
calculatrice
Valeur de un affichée
par la deuxième
calculatrice
1
7,1828182845E-01
7,1828182846E-01
2
4,3656365691E-01
4,3656365692E-01
3
3,0969097075E-01
3,0969097076E-01
4
2,3876388301E-01
2,3876388304E-01
5
1,9381941508E-01
1,9381941520E-01
6
1,6291649051E-01
1,6291649120E-01
rayon 1 ».
7
1,40415433581E-01
1,4041543840E-01
8. Soient A et B deux points distincts du plan. On désigne par M un point quelconque du plan.
« Le produit scalaire MA. MB est nul si et seulement si M = A ou M = B ».
8
1,2332346869E-01
1,2332350720E-01
9
1,0991121828E-01
1,0991156480E-01
10
9,9112182825E-02
9,9115648000E-01
y '− y = (2 x + 3)e ».
x
6. Soient A, B, C trois points du plan. On appelle I le barycentre des points A et B affectés respectivement
des coefficients 3 et −2.
« Si G est le barycentre des points A, B et C affectés respectivement des coefficients 3,−2 et 1 alors G est le
milieu du segment [CI] ».
7. Soient A, B, C trois points du plan et G le barycentre de A, B et C affectés respectivement des
coefficients 3, −2 et 1.
« L’ensemble des points M du plan tels que 3 MA − 2 MB + MC = 1 est le cercle de centre G et de
Exercice 1. 46 (3 points)
11
9,0234011080E-02
9,0272128000E-02
Un fabricant d’écrans plasma teste une première fois ses appareils à la sortie de la chaîne de fabrication.
12
8,2808132963E-02
8,3265536000E-02
Si le test est positif (c’est-à-dire si l’écran fonctionne correctement), l’écran est acheminé chez le client.
Sinon l’écran retourne en usine où il est réparé puis testé une seconde fois. Si ce deuxième test est positif,
l’écran est acheminé chez le client, sinon il est détruit.
13
7,6505728522E-02
8,2451968000E-02
14
7,1080199309E-02
1,5432755200E-01
15
6,6202989636E-02
1,31491328006E+00
16
5,9247834186E-02
2,0038612480E+01
17
7,2131811612E-02
3,3965641216E+02
18
−8,7016273909E-02
6,1128154189E+03
19
−1,7533092042E-02
1,1614249296E+05
20
−3,5166184085E-02
2,3228488592E+06
1. On choisit un écran au hasard à la sortie de la chaîne de fabrication. Déterminer les probabilités des
évènements T1 et C.
21
−7,3858986580E-02
4,8779825043E+07
2. La fabrication d’un écran revient à 1000 € au fabricant si l’écran n’est testé qu’une fois. Cela lui coûte
50 € de plus si l’écran doit être testé une seconde fois.
22
−1,6249077047E-02
1,0731561499E+09
23
−3,7372887209E-02
2,4682591448E+10
24
−8,9694930302E-02
5,923821947E+11
25
−2,242372585E-02
1,4809554869E+13
Une étude statistique a permis de montrer que le test est positif pour 70 % des écrans neufs sortis
directement des chaînes de fabrication, mais que parmi les écrans réparés, seulement 65 % d’entre eux
passent le second test avec succès.
On note T1 l’évènement : « le premier test est positif ».
On note C l’évènement : « l’écran est acheminé chez le client ».
Un écran est facturé a euros (a étant un réel positif) au client.
On introduit la variable aléatoire X qui, à chaque écran fabriqué, associe le «gain » (éventuellement négatif )
réalisé par le fabricant.
a. Déterminer la loi de probabilité de X en fonction de a.
Quelle conjecture peut-on faire sur la convergence de la suite (un) quand on examine les résultats obtenus
avec la première calculatrice ? Et avec les résultats obtenus avec la deuxième calculatrice ?
b. Exprimer l’espérance de X en fonction de a.
Partie C
c. À partir de quelle valeur de a, l’entreprise peut-elle espérer réaliser des bénéfices ?
Dans cette partie on se propose d’étudier la suite (un) à partir de la définition : pour tout entier naturel n
non nul, un =
∫
1
0
(1 − t)n et dt .
1. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, un ≥ 0 .
33
34
2. a. Montrer que pour tout réel t de l’intervalle [0 ; 1] et pour tout entier naturel non nul n,
( 1 − t )n et ≤ ( 1 − t )n e .
b. En déduire que pour tout n non nul, un ≤
b. Montrer que l’ensemble de solutions de (E) est l’ensemble des couples de la forme (141+226k, 68+109k),
où k appartient à ℤ .
En déduire qu’il existe un unique entier naturel non nul d inférieur ou égal à 226 et un unique entier
naturel non nul e tels que 109d = 1+226e. (On précisera les valeurs des entiers d et e.)
e
.
n+1
2. Démontrer que 227 est un nombre premier.
3. Déterminer la limite de la suite (un).
3. On note A l’ensemble des 227 entiers naturels a tels que a ≤ 226 .
Partie D
Dans cette partie, on se propose d’exploiter la relation de récurrence (R) vérifiée par la suite (un) :
un+1 = (n + 1)un − 1 .
Étant donné un réel a, on considère la suite (vn) définie par : v1 = a et pour tout entier naturel non nul n,
vn+1 = (n + 1)vn − 1 .
On considère les deux fonctions f et g de A dans A définies de la manière suivante :
à tout entier de A, f associe le reste de la division euclidienne de a109 par 227 ;
à tout entier de A, g associe le reste de la division euclidienne de a141 par 227.
a. Vérifier que g[f(0)] = 0.
1. En utilisant un raisonnement par récurrence, montrer que pour tout entier naturel non nul n,
vn = un + (n!)( a + 2 − e) où n! désigne le produit des n premiers entiers naturels non nuls.
On rappelle le résultat suivant appelé petit théorème de Fermat :
2. Étudier le comportement de la suite (vn) à l’infini suivant les valeurs de a. (On rappelle que
lim n! = +∞ .)
b. Montrer que, quel que soit l’entier non nul a de A, a226 ≡ 1 [ modulo 227 ] .
n→+∞
3. En déduire une raison susceptible d’expliquer les résultats affichés par les deux calculatrices.
Exercice 1. 48 (5 points, non spécialistes)
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O ; u, v ) . Unité graphique : 0,5 cm. On note j le
i
nombre complexe e
2π
3
Si p est un nombre premier et a un entier non divisible par p alors ap −1 ≡ 1 modulo p.
c. En utilisant 1. b., en déduire que, quel que soit l’entier non nul a de A, g[f(a)]= a. Que peut-on dire de
f[(g (a)]= a ?
1. 11. Centres étrangers
Exercice 1. 50 (3 points)
. On considère les points A, B et C d’affixes respectives a = 8, b = 6j et c = 8j2.
Soit A’ l’image de B par la rotation de centre C et d’angle
Soit B’ l’image de C par la rotation de centre A et d’angle
Soit C’ l’image de A par la rotation de centre B et d’angle
π
3
π
3
π
3
1. Placer les points A, B, C, A’, B’ et C’ dans le repère donné.
.
On admet que lors du premier appel téléphonique, la probabilité que le correspondant ne décroche pas est
0,4 et que s’il décroche, la probabilité pour qu’il réponde au questionnaire est 0,3.
.
On pourra construire un arbre pondéré.
1. On note :
• D1 l’évènement : « la personne décroche au premier appel » ;
.
• R1 l’évènement « la personne répond au questionnaire lors du premier appel ».
2. On appelle a’, b’ et c’ les affixes respectives des points A’, B’ et C’.
a. Calculer a’. On vérifiera que a’ est un nombre réel.
−i
b. Montrer que b ' = 16 e
π
3
Une entreprise confie à une société de sondage par téléphone une enquête sur la qualité de ses produits.
. En déduire que O est un point de la droite (BB’).
Calculer la probabilité de l’évènement R1.
2. Lorsqu’une personne ne décroche pas au premier appel, on la contacte une seconde fois. La probabilité
pour que le correspondant ne décroche pas la seconde fois est 0,3 et la probabilité pour qu’il réponde au
questionnaire sachant qu’il décroche est 0,2. Si une personne ne décroche pas lors du second appel, on ne
tente plus de la contacter.
c. On admet que c ' = 7 + 7 i 3 . Montrer que les droites (AA’), (BB’) et (CC’) sont concourantes en O.
On note :
3. On se propose désormais de montrer que la distance MA+MB+MC estminimale lorsque M = O.
• D2 l’évènement : « la personne décroche au second appel ».
a. Calculer la distance OA + OB + OC.
• R2 l’évènement : « la personne répond au questionnaire lors du second appel ».
b. Montrer que j = 1 et que 1 + j + j = 0 .
• R l’évènement : « la personne répond au questionnaire ».
3
2
c. On considère un point M quelconque d’affixe z du plan complexe. On rappelle que a = 8, b = 6j et
c = 8j2.
Déduire des questions précédentes les égalités suivantes :
( a − z ) + ( b − z ) j2 + ( c − z ) j = a + bj 2 + cj = 22 .
d. On admet que, quels que soient les nombres complexes z,
z + z '+ z '' ≤ z + z ' + z '' . Montrer que
Montrer que la probabilité de l’évènement R est 0,236.
3. Sachant qu’une personne a répondu au questionnaire, calculer la probabilité pour que la réponse ait été
donnée lors du premier appel (on donnera la réponse arrondie au millième).
4. Un enquêteur a une liste de 25 personnes à contacter. Les sondages auprès des personnes d’une même
liste sont indépendants. Quelle est la probabilité pour que 20 % des personnes répondent au questionnaire
(on donnera la réponse arrondie au millième) ?
Exercice 1. 51 (5 points, non spécialistes)
MA+MB+MC est minimale lorsque M = O.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; u, v ) , unité graphique 8 cm.
Exercice 1. 49 (5 points, spécialistes)
1. On considère l’équation (E) : 109x − 226y = 1 où x et y sont des entiers relatifs.
a. Déterminer le pgcd de 109 et 226. Que peut-on en conclure pour l’équation (E) ?
35
On appelle A le point d’affixe −1 et B le point d’affixe 1. On appelle E l’ensemble des points du plan
distincts de A, O et B.
36
À tout point M d’affixe z appartenant à l’ensemble E , on associe le point N d’affixe z 2 et le point P
d’affixe z 3 .
1. Prouver que les points M, N et P sont deux à deux distincts.
2. On se propose dans cette question de déterminer l’ensemble C des points M appartenant à E tels que le
triangle MNP soit rectangle en P.
a. Enutilisant le théorème de Pythagore, démontrer que MNP est rectangle en P si et seulement si
2
z +1 + z
2
b. Démontrer que z + 1 + z
2
2
=1.
1 
1 1

= 1 équivaut à  z +   z +  = .
2 
2 4

c. En déduire l’ensemble C cherché.
3. Soit M un point de E et z son affixe, on désigne par r le module de z et α l’argument de z, α ∈ ] −π ; + π ] .
a. Démontrer que l’ensemble F des points M de E tels que l’affixe de P soit un réel strictement positif est la
réunion de trois demi-droites (éventuellement privées de points).
b. Représenter les ensembles C et F dans le repère (O ; u, v ) .
c. Déterminer les affixes des points M de E tels que le triangle MNP soit rectangle en P, l’affixe de P étant
un réel strictement positif.
Exercice 1. 53 (5 points)
Soit ABCD un tétraèdre tel que ABC, ABD et ACD soient trois triangles isocèles rectangles en A avec
AB = AC = AD = a. On appelle A1 le centre de gravité du triangle BCD.
1. Montrer que la droite (AA1) est orthogonale au plan (BCD) (on pourra par exemple calculer AA1 .CD et
AA1 .BC ).
2. En exprimant de deux façons différentes le volume du tétraèdre ABCD, calculer la longueur du segment
[AA1].
3. On appelle G l’isobarycentre du tétraèdre ABCD et I le milieu de [BC].
a. Montrer que G appartient au segment [AA1] et déterminer la longueur AG.
b. Déterminer l’ensemble des points M de l’espace tels que MA + MB + MC + MD = 2 MB + MC .
4. Soit H le symétrique de A par rapport à G.
a. Démontrer que 4GA + AC + AD = BA .
b. Démontrer l’égalité HC 2 − HD2 = DC.BA .
c. En déduire que HC = HD.
On rappelle que le volume d’une pyramide de hauteur h et d’aire de base associée b est V =
Exercice 1. 52 (5 points, spécialistes)
Exercice 1. 54 (7 points)
Partie A
I. Première partie
Soit N un entier naturel, impair non premier. On suppose que N = a2 − b2 où a et b sont deux entiers
naturels.
On appelle f et g les deux fonctions définies sur l’intervalle [0 ; +∞ [ par
f ( x) = ln(1 + x) − x et g( x) = ln(1 + x) − x +
1. Montrer que a et b n’ont pas la même parité.
2. Montrer que N peut s’écrire comme produit de deux entiers naturels p et q.
3. Quelle est la parité de p et de q ?
2. En déduire que pour tout x ≥ 0 , x −
On admet que 250 507 n’est pas premier. On se propose de chercher des couples d’entiers naturels (a ; b)
vérifiant la relation (E) : a2 − 250 507 = b2 .
II. Deuxième partie
x2
≤ ln(1 + x) ≤ x .
2
1. Soit X un entier naturel.
On se propose d’étudier la suite (un) de nombres réels définie par : u1 =
a. Donner dans un tableau, les restes possibles de X modulo 9 ; puis ceux de X 2 modulo 9.
1. Montrer par récurrence que un > 0 pour tout entier naturel n ≥ 1 .
b. Sachant que a2 − 250 507 = b2 , déterminer les restes possibles modulo 9 de a2 − 250 507 ; en déduire les
2. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n ≥ 1 :
restes possibles modulo 9 de a2 .
1

ln un = ln  1 +
2

c. Montrer que les restes possibles modulo 9 de a sont 1 et 8.
3. On suppose que le couple (a ; b) vérifie la relation (E).
a. Démontrer que a est congru à 503 ou à 505 modulo 9.
x2
.
2
1. Étudier les variations de f et de g sur [0 ; +∞ [.
Partie B
2. Justifier que si le couple (a ; b) vérifie la relation (E), alors a ≥ 501 . Montrer qu’il n’existe pas de solution
du type (501 ; b).
1
hb .
3
3. On pose Sn =
3
1 

et un+1 = un  1 + n+1  .
2
2


1 
1 



 + ln  1 + 2  + ... + ln  1 + n  .

2 
2 


1 1
1
1 1
1
+
+ ... + n et Tn = + 2 + ... + n
2 22
4 4
2
4
1
À l’aide de la première partie, montrer que : Sn − Tn ≤ ln un ≤ Sn .
2
b. Déterminer le plus petit entier naturel k tel que le couple (505+9k ; b) soit solution de (E), puis donner le
couple solution correspondant.
4. Caiculer Sn et Tn en fonction de n. En déduire lim Sn et lim Tn .
Partie C
5. Étude de la convergence de la suite (un).
1. Déduire des parties précédentes une écriture de 250 507 en un produit deux facteurs.
a. Montrer que la suite (un) est strictement croissante.
2. Les deux facteurs sont-ils premiers entre eux ?
b. En déduire que (un) est convergente. Soit l sa limite.
n→+∞
n→+∞
c. On admet le résultat suivant : si deux suites (vn) et (wn) sont convergentes et telles que vn ≤ wn pour tout
3. Cette écriture est-elle unique ?
n entier naturel, alors lim vn ≤ lim wn .
n→+∞
37
n→+∞
38
Montrer alors que
5
≤ ln l ≤ 1 et en déduire, un encadrement de l.
6
1. Quelques calculs.
a. Calculer les probabilités P(V) et P(J) des évènements respectifs V et J.
1. 12. Asie
b. On note PV(R) la probabilité pour le joueur d’être remboursé sachant qu’il a obtenu deux boules vertes.
Déterminer PV(R) puis P(R ∩ V) .
Exercice 1. 55 (3 points)
c. Calculer P(R).
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal (O ; i , j , k ) on appelle D la droite d’équations
 x = 1 + 2t

paramétriques  y = 2 − t et P le plan d’équation cartésienne x +2y −3z −1 = 0.
 z = −3 − t

d. Calculer la probabilité de gagner les 100 €, puis la probabilité de gagner les 20 € de la roue.
On appelle X la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur c’est-à-dire la différence entre les
sommes éventuellement perçues et la participation initiale m.
a. Donner les valeurs prises par la variable aléatoire X.
b. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X et vérifier que P(X =−m) est 0,6.
Dans chacune des lignes du tableau ci-dessous, une seule affirmation est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le
numéro de la ligne et la lettre correspondant à l’affirmation choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse
exacte rapporte 0,5 point ; une réponse inexacte enlève 0,25 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le
total est négatif, la note est ramenée à 0.
140 − 51m
.
80
d. L’organisateur veut fixer la participation m à une valeur entière en euro. Quelle valeur minimale faut-il
donner à m pour que l’organisateur puisse espérer ne pas perdre d’argent ?
c. Démontrer que l’espérance mathématique de la variable aléatoire X est E( X ) =
Numéro
de la ligne
Affirmation A
Affirmation B
Affirmation C
1
Le point M de coordonnées
(−1 ; 3 ; 2) appartient à D
Le vecteur u de coordonnées
(1 ; 2 ; −3) est un vecteur
directeur de D
Le point N de coordonnées
(2 ; −1 ; −1) appartient à D
Le vecteur v de coordonnées
(−2 ; 1 ; 1) est un vecteur
directeur de D
Le point R de coordonnées
(3 ; 1 ; −4) appartient à D
Le vecteur w de coordonnées
(3 ; 1 ; −4) est un vecteur
directeur de D
3
D est incluse dans P
D est strictement parallèle à P
D est sécante à P
4
Le point G de coordonnées
(1 ; 3 ; −2) appartient à P
Le point H de coordonnées
(1 ; 3 ; 2) appartient à P
Le point K de coordonnées
(1 ; 3 ; −1) appartient à P
5
Le plan Q1 d’équation
cartésienne
x +2y −3z +1 = 0
Le plan Q2 d’équation
cartésienne
4x −5y −2z +3 = 0
Le plan Q3 d’équation
cartésienne
−3x +2y −z −1 = 0
I. Résolution de l’équation (E).
est perpendiculaire à P
est perpendiculaire à P
est perpendiculaire à P
1. Montrer que −i est solution de (E).
La distance du point T de
coordonnées (−1 ; −3 ; 2) au
La distance du point T de
coordonnées (−1 ; −3 ; 2) au
La distance du point T de
coordonnées (−1 ; −3 ; 2) au
plan P est 14
plan P est 2 3
2
6
plan P est
14
3. Un joueur se présente et décide de jouer 4 fois, quels que soient les résultats obtenus. Calculer la
probabilité qu’il perde au moins une fois sa mise.
4. On voudrait qu’un joueur ait plus d’une chance sur deux d’être remboursé de sa mise ou de gagner
quand il joue une seule fois. On note G cet évènement. Pour cela on garde deux boules vertes dans l’urne
mais on modifie le nombre de boules jaunes. On appelle n le nombre de boules jaunes, on suppose n ≥ 1 .
Calculer la valeur minimale de n pour que la condition précédente soit vérifiée.
Exercice 1. 57 (5 points, non spécialistes)
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; u, v ) (unité graphique 1 cm).
On considère dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation (E) d’inconnue z suivante :
z 3 + (−8 + i) z 2 + (17 − 8i) z + 17 i = 0 .
2. Déterminer les nombres réels a, b, c tels que : z 3 + ( −8 + i) z 2 + (17 − 8i) z + 17 i = ( z + i)( az 2 + bz + c) .
3. Résoudre l’équation (E) dans l’ensemble des nombres complexes.
II. On appelle A, B et C les points d’affixes respectives 4+i, 4−i,−i.
1. Placer les points sur une figure que l’on complétera dans la suite de l’exercice.
Exercice 1. 56 (5 points)
Une association organise une loterie pour laquelle une participation m exprimée en euros est demandée.
Un joueur doit tirer simultanément au hasard, deux boules dans une urne contenant 2 boules vertes et 3
boules jaunes.
Si le joueur obtient deux boules de couleurs différentes, il a perdu.
Si le joueur obtient deux boules jaunes, il est remboursé de sa participation m.
Si le joueur obtient 2 boules vertes, il peut continuer le jeu qui consiste à faire tourner une roue où sont
inscrits des gains répartis comme suit :
1
de la roue le gain est de 100 €,
8
1
de la roue le gain est de 20 €,
• sur
4
• sur le reste le joueur est remboursé de sa participation m.
• sur
On appelle V l’évènement « le joueur a obtenu 2 boules vertes ».
On appelle J l’évènement « le joueur a obtenu 2 boules jaunes ».
2. Le point Ω est le point d’affixe 2. On appelle S l’image de A par la rotation de centre Ω et d’angle de
mesure
π
2
. Calculer l’affixe de S.
3. Démontrer que les points B, A, S, C appartiennent à un même cercle (C) dont on déterminera le centre
et le rayon. Tracer (C) .
4. À tout point M d’affixe z ≠ 2 , on associe le point M’ d’affixe z ' =
a. Déterminer les affixes des points A’, B’, C’ associés respectivement aux points A, B et C.
b. Vérifier que A’, B’, C’ appartiennent à un cercle (C’) de centre P, d’affixe i.
Déterminer son rayon et tracer (C’).
c. Pour tout nombre complexe z ≠ 2 , exprimer z '− i en fonction de z.
d. Soit M un point d’affixe z appartenant au cercle (C) . Démontrer que z '− i = 2 5 .
e. En déduire à quel ensemble appartiennent les points M’ associés aux points M du cercle (C).
On appelle R l’évènement « le joueur est remboursé de sa participation et ne gagne rien ».
39
iz + 10 − 2i
.
z−2
40
Exercice 1. 58 (5 points, spécialistes)
1. 13. Antilles
Le but de cet exercice est d’étudier les similitudes directes qui transforment l’ensemble S1 des sommets
d’un carré C1 donné en l’ensemble S2 des sommets d’un carré C2 donné.
Le plan complexe est rapporte à un repère orthonormal direct R= (O ; u, v ) , unité graphique 2 cm.
Exercice 1. 60 (5 points, non spécialistes)
(O ; u, v ) est un repère orthonormal du plan P. Soit A le point d’affixe 1; soit B le point d’affixe −1.
1
1
1
1
On considère les points A, B, C, D, E, F, G, H d’affixes respectives − i , 1 − i , 1 + i , i , 1 − i , 3 − i ,
2
2
2
2
3 + i , 1+ i .
M’ = F(M) d’affixe z ' =
C1 est le carré de sommets A, B, C, D et de centre O1, C2 est le carré de sommet E, F, G, H de centre O2. S1
est donc l’ensemble {A, B, C, D} et S2 l’ensemble {E, F, G, H}.
1. a. Soit E le point d’affixe e 3 ; on appelle E’ son image par F. Déterminer l’affixe de E’ sous forme
exponentielle, puis sous forme algébrique.
1. Placer tous les points dans le repère R, construire les carrés C1 et C2.
2. Soit h l’homothétie de centre Ω d’affixe −1 et de rapport 2. Donner l’écriture complexe de h et prouver
que h transforme S1 en S2.
Soit F l’application de P privé de O dans P qui à tout point M d’affixe z distinct de O associe le point
−1
.
z
i
π
b. On note C1 le cercle de centre O et de rayon 1. Déterminer l’image de C1 par l’application F.
i
2. a. Soit K le point d’affixe 2e
5π
6
et K’ l’image de K par F. Calculer l’affixe de K’.
3. Soit s une similitude directe qui transforme S1 en S2 et soit g la transformation g = h−1 s .
b. Soit C2 le cercle de centre O et de rayon 2. Déterminer l’image de C2 par l’application F.
a. Quel est le rapport de la similitude s ?
3. On désigne par R un point d’affixe 1 + eiθ où θ ∈ ] −π ; + π [ . R appartient au cercle C3 de centre A et de
b. Prouver que g est une isométrie qui laisse S1 globalement invariant.
rayon 1.
c. Démontrer que g(O1) =O1.
d. En déduire que g est l’une des transformations suivantes : l’identité, la rotation r1 de centre O1 et d’angle
π
2
, la rotation r2 de centre O1 et d’angle π , la rotation r3 de centre O1 et d’angle −
π
2
a. Montrer que z '+ 1 =
z −1
. En déduire que : z '+ 1 = z ' .
z
b. Si on considèremaintenant les points d’affixe 1 + eiθ , θ ∈ ] −π ; + π [ , montrer que leurs images sont
.
situées sur une droite. On pourra utiliser le résultat du 3. a.
e. En déduire les quatre similitudes directes qui transforment S1 en S2.
4. Étude des centres de ces similitudes.
Exercice 1. 61 (5 points, spécialistes)
a. Déterminer les écritures complexes de h r1 , h r2 , h r3 .
1. a. Déterminer suivant les valeurs de l’entier naturel non nul n le reste dans la division euclidienne par 9
de 7n.
b. En déduire les centres Ω1 , Ω2 , Ω3 de ces similitudes et les placer sur le dessin.
b. Démontrer alors que (2005)2005 ≡ 7(9) .
Exercice 1. 59 (7 points)
2. a. Démontrer que pour tout entier naturel non nul n : ( (10)n ≡ 1(9) .
On s’intéresse dans cet exercice à une suite de nombres rationnels qui converge vers e2 .
On définit, pour tout entier naturel n ≥ 1 , l’intégrale In =
∫
2
0
b. On désigne par N un entier naturel écrit en base dix, on appelle S la somme de ses chiffres. Démontrer la
relation suivante : N ≡ S(9) .
1
( 2 − x )n ex dx .
n!
c. En déduire que N est divisible par 9 si et seulement si S est divisible par 9.
1. Calculer I1.
2. Établir que pour tout entier naturel n ≥ 1 , 0 ≤ In ≤
3. On suppose que A = (2005)2005 ; on désigne par :
2n 2
( e − 1) .
n!
– B la somme des chiffres de A ;
3. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que pour tout entier naturel n ≥ 1 , In+1 = In −
4. Démontrer par récurrence que e2 = 1 +
2 22
2n
+
+ ... +
+ In .
1! 2!
n!
5. On pose, pour tout entier naturel n ≥ 1 , un =
a. Calculer
2n+1
.
( n + 1)!
– C la somme des chiffres de B ;
– D la somme des chiffres de C.
a. Démontrer la relation suivante : A ≡ D(9) .
b. Sachant que 2005 < 10000, démontrer que A s’écrit en numération décimale avec au plus 8020 chiffres.
En déduire que B ≤ 72180 .
2n
.
n!
c. Démontrer que C ≤ 45 .
d. En étudiant la liste des entiers inférieurs à 45, déterminer un majorant de D plus petit que 15.
un+1
1
et prouver que pour tout entier naturel n ≥ 3 , un+1 ≤ un .
un
2
1
b. En déduire que pour tout entier naturel n ≥ 3 , 0 ≤ un ≤ u3  
2
6. En déduire la limite de la suite (un) puis celle de la suite (In).

2 22 23
2n
+
+ ... +
7. Justifier enfin que : e = lim  1 + +
n→+∞
1!
2!
3!
n!

2
41

 .

n− 3
.
e. Démontrer que D = 7.
Exercice 1. 62 (6 points)
1. Démontrer que pour tout n de ℕ * et tout x de [0 ; 1] :
2. a. Calculer
∫
1
0
1
dx .
x+n
42
1 x
1
1
−
≤
≤ .
n n2 x + n n
b. Déduire en utilisant 1., que : pour n ∈ ℕ * ,
1
1
 n+1 
 n+1  1
−
≤ ln 
 puis que ln 
≤ .
n 2n2
 n  n
 n 
k= n
3. On appelle U la suite définie pour n ∈ ℕ * par : U( n) =
∑
k=1
1
1 1
1
− ln( n) = 1 + + + ... + − ln(n) .
k
2 3
n
4. On désigne par V la suite de terme général : V (n) =
∑ k − ln(n + 1) = 1 + 2 + 3 + ... + n − ln(n + 1) .
1
3. En utilisant la partie A montrer que les points A, B, C et D sont sur une sphère de centre E. Quel est le
rayon de cette sphère ?
1. 14. Amérique du Nord
Démontrer que U est décroissante (on pourra utiliser 2. b.)
k= n
2. Démontrer, en résolvant un système d’équations linéaires, que ces trois plans ont un unique point
commun E dont on donnera les coordonnées.
1
1
1
k=1
Démontrer que V est croissante.
5. Démontrer queU et V convergent vers une limite commune notée γ . Déterminer une valeur approchée
de γ à 10−2 près par la méthode de votre choix.
Exercice 1. 63 (3 points)
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples constitué de six questions ; chacune comporte trois
réponses, une seule est exacte. On notera sur la copie uniquement la lettre correspondant â la réponse
choisie.
Un lecteur d’une bibliothèque est passionné de romans policiers et de biographies. Cette bibliothèque lui
propose 150 romans policiers et 50 biographies.
Exercice 1. 65 (4 points)
Pour chacune des quatre questions de ce QCM, une seule des quatre propositions est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L’absence de réponse
n’apporte ni n’enlève aucun point. Si le total est négatif, la note de l’exercice est ramenée à 0.
1. Dans le plan complexe, on donne les points A, B et C d’affixes respectives −2+3i, −3−i et 2,08+1,98i.
Le triangle ABC est :
(a) : isocèle et non rectangle
(b) : rectangle et non isocèle
(c) : rectangle et isocèle
(d) : ni rectangle ni isocèle
2. À tout nombre complexe z ≠ −2 , on associe le nombre complexe z’ défini par : z ' =
40% des écrivains de romans policiers sont français et 70% des écrivains de biographies sont français. Le
lecteur choisit un livre au hasard parmi les 200 ouvrages.
L’ensemble des points M d’affixe z tels que z ' = 1 est :
1. La probabilité que le lecteur choisisse un roman policier est :
(a): un cercle de rayon 1
(b) : une droite
1
a. 0,4
b. 0,75
c.
.
150
2. Le lecteur ayant choisi un roman policier, la probabilité que l’auteur soit français est :
(c) : une droite privée d’un point
(d): un cercle privé d’un point
a. 0,3
b. 0,8
c. 0,4
3. La probabilité que Ie lecteur choisisse un roman policier français est :
a. 1,15
b. 0,4
c. 0,3
4. La probabilité que le lecteur choisisse un livre d’un écrivain français est :
a. 0,9
b. 0,7
c. 0,475
5. La probabilité que le lecteur ait choisi un romanpolicier sachant que l’écrivain est français est :
a.
4
150
b.
12
19
c. 0,3
6. Le lecteur est venu 20 fois à la bibliothèque. La probabilité qu’il ait choisi au moins un roman policier
est :
a. 1−(0,25)20
b. 20×0,75
c. 0,75×(0,25)20
z − 4i
.
z+2
3. Les notations sont les mêmes qu’à la question 2. L’ensemble des points M d’affixe z tels que z’ est un réel
est :
(a): un cercle
(b) : une droite
(c) : une droite privée d’un point
(d): un cercle privé d’un point
4. Dans le plan complexe, on donne le point D d’affixe i. L’écriture complexe de la rotation de centre D et
d’angle −
π
3
est :
1
3 
3 1
+ i
(a) : z ' =  − i
z−
2 
2 2
2
 1
3 
3 1
(b) : z ' =  − + i
+ i
 z−
2 
2 2
 2
1
3 
3 1
− i
(c) : z ' =  − i
z−
2 
2 2
2
1
3 
3 1
(d) : z ' =  − i
+ i.
z+
2 
2 2
2
Exercice 1. 66 (6 points)
Le graphique de l’annexe sera complété et remis avec la copie.
Exercice 1. 64 (6 points)
A. Soit [KL] un segment de l’espace ; on note I son milieu. On appelle plan médiateur de [KL] le plan
perpendiculaire en I à la droite (KL).
Démontrer que le plan médiateur de [KL] est l’ensemble des points de l’espace équidistants de K et L.
B. Ici l’espace est muni d’un repère orthonormal (O ; i , j , k ) ; on considère les points
A(4 ; 0 ; −3), B(2 ; 2 ; 2), C(3 ; −3 ; −1), D(0 ; 0 ; −3).
1. Démontrer que le plan médiateur de [AB] a pour équation
4x −4y −10z −13 = 0.
On admet pour la suite que les plans médiateurs de [BC] et [CD] ont respectivement pour équations
2x −10y −6z −7 = 0 et 3x −3y +2z −5 = 0.
43
Soit la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 2] par f ( x) =
2x + 1
.
x +1
1. Étudier les variations de f sur l’intervalle [0 ; 2]. Montrer que si x ∈ [ 1 ; 2 ] alors f ( x) ∈ [ 1 ; 2 ] .
2. (un) et (vn) sont deux suites définies sur ℕ par :
u0 = 1 et pour tout entier naturel n, un+1 = f (un ) ,
v0 = 2 et pour tout entier naturel n, vn+1 = f ( vn ) .
a. Le graphique donné en annexe représente la fonction f sur l’intervalle [0 ; 2]. Construire sur l’axe des
abscisses les trois premiers termes de chacune des suites (un) et (vn) en laissant apparents tous les traits de
construction.
À partir de ce graphique, que peut-on conjecturer concernant le sens de variation et la convergence des
suites (un) et (vn) ?
44
b. Montrer à l’aide d’un raisonnement par récurrence que :
D3 : « le dé indique 3 »,
G : « la partie est gagnée ».
Pour tout entier naturel n, 1 ≤ vn ≤ 2 .
A et B étant deux évènements tels que p( A) ≠ 0 , on note pA(B) la probabilité de B sachant que A est réalisé.
Pour tout entier naturel n, vn+1 ≤ vn .
1. a. Déterminer les probabilités pD1 (G) , pD2 (G) et pD3 (G) .
On admettra que l’on peut démontrer de la même façon que :
23
.
180
2. Un joueur a gagné la partie. Calculer la probabilité qu’il ait obtenu le numéro 1 avec le dé.
b. Montrer alors que p(G) =
Pour tout entier naturel n, 1 ≤ un ≤ 2 .
Pour tout entier naturel n, un ≤ un+1 .
c. Montrer que pour tout entier naturel n, vn+1 − un+1 =
3. Un joueur fait six parties. Calculer la probabilité qu’il en gagne exactement deux et en donner une valeur
arrondie à 10−2 près.
vn − un
.
( vn + 1 ) ( un + 1 )
En déduire que pour tout entier naturel n, vn − un ≥ 0 et vn+1 − un+1 ≤
1
( vn − un ) .
4
Quel nombre minimal de parties un joueur doit-il faire pour que la probabilité d’en gagner au moins une
soit supérieure à 0,9 ?
4
n
1
d. Montrer que pour tout entier naturel n, vn − un ≤   .
4
y
e. Montrer que les suites (un) et (vn) convergent vers un même réel α . Déterminer la valeur exacte de α .
Exercice 1. 67 (5 points)
3
(
)
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞ [ par f ( x) = ( x − 1) 2 − e− x .
Sa courbe représentative C est tracée dans le repère orthonormal ci-dessous (unité graphique 2 cm).
1. a. Étudier la limite de f en +∞ .
2
b. Montrer que la droite ∆ d’équation y = 2x −2 est asymptote à C .
c. Étudier la position relative de C et ∆ .
2. a. Calculer f’(x) etmontrer que f '( x) = xe− x + 2(1 − e− x ) .
b. En déduire que, pour tout réel x strictement positif, f’(x) > 0.
1
c. Préciser la valeur de f’(0), puis établir le tableau de variations de f .
3. À l’aide d’une intégration par parties, calculer l’aire, exprimée en cm2, du domaine plan limité par la
courbe C , la droite ∆ et les droites d’équations x = 1 et x = 3.
4. a. Déterminer le point A de C où la tangente à C est parallèle à ∆ .
b. Calculer la distance, exprimée en cm, du point A à la droite ∆ .
x
0
0
1
2
3
Exercice 1. 68 (5 points, non spécialistes)
On dispose d’un dé cubique équilibré dont une face porte le numéro 1, deux faces portent le numéro 2 et
trois faces portent le numéro 3.
On dispose également d’une urne contenant dix boules indiscernables au toucher, portant les lettres L, O,
G, A, R, I, T, H, M, E (soit quatre voyelles et six consonnes).
Un joueur fait une partie en deux étapes :
Première étape : il jette le dé et note le numéro obtenu.
Deuxième étape :
• si le dé indique 1, il tire au hasardune boule de l’urne. Il gagne la partie si cette boule porte une voyelle
et il perd dans le cas contraire.
• si le dé indique 2, il tire au hasard et simultanément deux boules de l’urne. Il gagne la partie si
chacune de ces deux boules porte une voyelle et il perd dans le cas contraire.
• si le dé indique 3, il tire au hasard et simultanément trois boules de l’urne. Il gagne la partie si
chacune de ces trois boules porte une voyelle et il perd dans le cas contraire.
À la fin de chaque partie, il remet dans l’urne la ou les boules tirée(s).
On définit les évènements suivants :
D1 : « le dé indique 1 »,
D2 : « le dé indique 2 »,
45
-1
Exercice 1. 69 (5 points, spécialistes)
La figure jointe en annexe sera complétée au cours de l’exercice et remise avec la copie. On y laissera
apparents les traits de construction.
π
Dans le plan orienté, on donne le triangle ABC tel que AB =2, AC = 1 + 5 et AB, AC = .
2
(
)
1. a. Démonstration de cours : démontrer qu’il existe une seule similitude directe S transformant B en A et
A en C.
b. Déterminer le rapport et une mesure de l’angle de S.
2. On appelle Ω le centre de S. Montrer que Ω appartient au cercle de diamètre [AB] et à la droite (BC).
Construire le point Ω .
3. On note D l’image du point C par la similitude S.
a. Démontrer l’alignement des points A, Ω et D ainsi que le parallélisme des droites (CD) et (AB).
Construire le point D.
46
b. Montrer que CD = 3 + 5 .
4. Soit E le projeté orthogonal du point B sur la droite (CD).
a. Expliquer la construction de l’image F du point E par S et placer F sur la figure.
b. Quelle est la nature du quadrilatère BFDE ?
Cette page sera remise avec la copie à la fin de l’épreuve.
Annexe : exercice 2
y
1,5
1
0,5
x
0
0
0,5
1
Annexe : exercice de spécialité
C
A
B
47
1,5
2
1. Calculer z1 , z2 , z3 , z4 et vérifier que z4 est un nombre réel. Placer les points A0, A1, A2, A3 et A4 sur une
figure.
2 . ANNALES BAC 2006
2. Pour tout entier n, on pose un = zn . Justifier que
( un )
est une suite géométrique puis établir que, pour
n
2. 1. Pondichéry
 1 
tout entier naturel n, un = 2 
 .
 2
Exercice 2. 70 (4 points)
3. A partir de quel rang n0 tous les points An appartiennent-ils au disque de centre O et de rayon 0,1 ?
Dix affirmations, réparties en trois thèmes et numérotées de 1.a. à 3.d. sont proposées ci-dessous. Le candidat portera
sur sa copie en regard du numéro de l’affirmation, et avec le plus grand soin, la mention VRAI ou FAUX.Chaque
réponse convenable rapporte 0,4 points. Chaque réponse erronée enlève 0,1 point. Il n’est pas tenu compte de l’absence
de réponse. Un éventuel total négatif est ramené à 0.
1. Pour tout réel x, ex désigne l’image de x par la fonction exponentielle.
Affirmation 1. a.
=
ea
b. Pour tout entier naturel n, on note ln la longueur de la ligne brisée A0A1A2…An−1An .On a ainsi
ln = A0 A1 + A1 A2 + ... + An−1 An . Exprimer ln en fonction de n. Quelle est la limite de la suite ( ln ) ?
Soit f la transformation qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M’ d’affixe z’ définie par :
1 1 
z ' =  + i  z +1.
2 2 
.
Affirmation 1. b.
Pour tous les réels a et b : e
Affirmation 1. c.
La droite d’équation y = x + 1 est la tangente à la courbe représentative de la
fonction exponentielle en son point d’abscisse 1.
eb
zn+1 − zn
= i . En déduire la nature du triangle OAnAn+1.
zn+1
Exercice 2. 72 (5 points, spécialistes)
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O ; u, v ) . On prendar pour unité graphique 5 cm.
( ab ) .
Pour tous les réels a et b : ( e ) = e
a b
a− b
4. a. Etablir que, pour tout entier naturel n,
1. Justifier que f est une similitude directe dont on précisera le centre Ω (d’affixe ω ), le rapport k et
l’angle θ .
2. On note A0 le point O et, pour tout entier naturel n, on pose An+1 = f ( An ) .
2. Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert I et soit a un élément de I.
Affirmation 2. a.
a. Déterminer les affixes des points A1, A2 et A3. Placer ces points.
Si f est dérivable en a, alors f est continue en a.
b. Pour tout entier naturel n, on pose un = ΩAn . Justifier que
Si f est continue en a, alors f est dérivable en a.
 1 
que, pour tout entier naturel n, un = 2 
 .
 2
( un )
est une suite géométrique puis établir
n
Affirmation 2. b.
Affirmation 2. c.
Si f est dérivable en a, alors la fonction h ֏
f ( a + h) − f ( a)
admet une limite finie en
h
0.
3. On considère deux suites ( un
Affirmation 3. a.
Affirmation 3. b.
Affirmation 3. d.
et ( vn
)
Si
( un )
converge vers un réel non nul et si lim vn = +∞ , alors la suite
( un × vn )
Exercice 2. 73 (4 points)
L’espace est muni d’un repère orthonormé (O ; i , j , k ) .
ne
converge pas.
( un )
)
et ( vn
Partie A
(cette partie constitue une restitution organisée de connaissances)
converge vers un réel non nul, si
( vn )
est positive et si lim vn = 0 , alors la
)
( a, b, c ) ≠ ( 0, 0, 0 ) . Soit P le plan d’équation ax + by + cz + d = 0 . On
( xI , yI , zI ) et le vecteur n de coordonnées ( a, b, c ) .
Soient a, b, c et d des réels tels que
considère le point I de coordonnées
u 
suite  n  ne converge pas.
 vn 
Si ( un
3. a. Quelle est la nature du triangle ΩA0 A1 ? En déduire la nature du triangle ΩAn An+1 .
b. Pour tout entier naturel n, on note ln la longueur de la ligne brisée A0A1A2…An−1An .On a ainsi
ln = A0 A1 + A1 A2 + ... + An−1 An . Exprimer ln en fonction de n. Quelle est la limite de la suite ( ln ) ?
définies sur ℕ .
Si lim un = +∞ et lim vn = −∞ alors lim ( un + vn ) = 0 .
Si
Affirmation 3. c.
)
c. A partir de quel rang n0 tous les points An appartiennent-ils au disque de centre O et de rayon 0,1 ?
Le but de cette partie est de démontrer que la distance de I au plan P est égale à
u 
convergent, alors la suite  n  converge.
 vn 
Exercice 2. 71 (5 points, non spécialistes)
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O ; u, v ) . On prendra pour unité graphique 5 cm.
1+ i
On pose z0 = 2 et, pour tout entier naturel n, zn + 1 =
zn . On note An le point du plan d’affixe zn .
2
49
axI + byI + cz I + d
a2 + b2 + c2
.
1. Soit la droite ∆ passant par I et orthogonale au plan P. Déterminer en fonction de a, b, c, d, xI, yI et zI un
système d’équations paramétriques de ∆ .
2. On note H le point d’intersection de ∆ et P.
a. Justifier qu’il existe un réel k tel que IH = kn .
b. Déterminer l’expression de k en fonction de a, b, c, d, xI, yI et zI.
50
c. En déduire que IH =
axI + byI + cz I + d
a2 + b2 + c2
1. Déterminer P ( M ) , PM ( T ) et PM ( T ) .
.
2. En déduire P(T).
Partie B
Le plan Q d’équation x − y + z − 11 = 0 est tangent à une sphère S de centre le point Ω de coordonnées
( 1 ; −1 ; 3 ) .
3. Le laboratoire estime qu’un test est fiable si sa valeur prédictive, c’est-à-dire la probabilité qu’un animal
soit malade sachant que le test est positif, est supérieure à 0,999. Ce test est-il fiable ?
2. 2. National
1. Déterminer le rayon de la sphère S.
2. Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite ∆ passant par Ω et orthogonale au
plan Q.
Exercice 2. 75 (5 points)
Soit (O ; i , j , k ) un repère orthonormal de l’espace. On considère les points A(2 ; 4 ; 1), B(0 ; 4 ; −3),
3. En déduire les coordonnées du point d’intersection de la sphère S et du plan Q.
9
3
C(3 ; 1 ; −3), D(1 ; 0 ; −2), E(3 ; 2 ; −1),  ; 4 ; −  .
5
5
Exercice 2. 74 (7 points)
Les parties A et B sont indépendantes.
Un laboratoire de recherche étudie l’évolution d’une population animale qui semble en voie de disparition.
Partie A
En 2000, une étude est effectuée sur un échantillon de cette population dont l’effectif initial est égal à
1000. Cet échantillon évolue et son effectif, exprimé en milliers d’individus, est approché par une fonction
f du temps t (exprimé en années à partir de l’origine 2000).
D’après le modèle d’évolution choisi, la fonction f est dérivable, strictement positive sur [0 ; + ∞[ , et
1
y ( 3 − ln y ) .
satisfait l’équation différentielle : (E) y ' = −
20
1. Démontrer l’équivalence suivante : une fonction f, dérivable, strictement positive sur [0 ; + ∞[ , vérifie,
1
pour tout t de [0 ; + ∞[ , f '( t) = −
f ( t)  3 − ln ( f (t) )  si et seulement si la fonction g = ln ( f ) vérifie,
20
1
3
g( t) −
.
pour tout t de [0 ; + ∞[ , g '(t) =
20
20
2. Donner la solution générale de l’équation différentielle : (H) z ' =
1
3
z−
.
20
20
3. En déduire qu’il existe un réel C tel que pour tout t de [0 ; + ∞[ :

 t 
f (t) = exp  3 + C exp 

 20  

Pour chacune des cinq affirmations suivantes, dire, sans le justifier, si elle est vraie ousi elle est fausse. Pour chaque
question, il est compté un point si la réponse est exacte et zéro sinon.
1. Une équation du plan (ABC) est : 2x + 2y − z − 11 = 0.
2. Le point E est le projeté orthogonal de D sur le plan (ABC).
3. Les droites (AB) et (CD) sont orthogonales.
 x = −1 + 2t

4. La droite (CD) est donnée par la représentation paramétrique suivante :  y = −1 + t ( t ∈ ℝ ) .
 z = 1− t

5. Le point I est sur la droite (AB).
Exercice 2. 76 (5 points)
1. Soit f la fonction définie sur ℝ par f ( x ) = x2 e1− x .
On désigne par C sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O ; i , j ) d’unité graphique 2 cm.
a. Déterminer les limites de f en −∞ et en +∞ ; quelle conséquence graphique pour C peut-on en tirer ?
b. Justifier que f est dérivable sur ℝ . Déterminer sa fonction dérivée f ’.
c. Dresser le tableau de variations de f et tracer la courbe C.
2. Soit n un entier naturel non nul. On considère l’intégrale In définie par In =
∫
1
x n e1− x dx .
0
a. Établir une relation entre In+1 et In.
(la notation exp désigne la fonction exponentielle).

 t 
4. La condition initiale conduit donc à considérer la fonction f définie par f (t) = exp  3 − 3 exp 
.
 20  

a. Déterminer la limite de la fonction f en +∞ .
b. Calculer I1, puis I2.
c. Donner une interprétation graphique du nombre I2. On la fera apparaître sur le graphique de la question
1. c.
b. Déterminer le sens de variation de f sur [0 ; + ∞[ .
3. a. Démontrer que pour tout nombre réel x de [0 ; 1] et pour tout entier naturel n non nul, on a l’inégalité
suivante : x n ≤ x n e1− x ≤ x n e .
c. Résoudre dans [0 ; + ∞[ l’inéquation f (t) < 0, 02 .
b. En déduire un encadrement de In puis la limite de In quand n tend vers +∞ .
Au bout de combien d’années, selon ce modèle, la taille de l’échantillon sera-t-elle inférieure à vingt
individus ?
Exercice 2. 77 (5 points , non spécialistes)
On considère le plan complexe P rapporté à un repère orthonormal direct (O ; u, v ) . Dans tout l’exercice,
P \O désigne le plan P privé du point origine O.
Partie B
En 2005, ce laboratoire de recherche met au point un test de dépistage de la maladie responsable de cette
disparition et fournit les renseignements suivants : « La population testée comporte 50% d’animaux
malades. Si un animal est malade, le test est positif dans 99 % des cas ; si un animal n’est pas malade, le
test est positif dans 0,1 % des cas. »
1. Question de cours
On prend comme pré-requis les résultats suivants :
On note M l’évènement « l’animal est malade », M l’évènement contraire et T l’évènement « le test est
positif ».
– Si z et z’ sont deux nombres complexes non nuls, alors : arg(zz’) = arg(z)+ arg(z’) à 2kπ près, avec k
entier relatif.
– Pour tout vecteur w non nul d’affixe z on a : arg ( z ) = u, w à 2kπ près, avec k entier relatif.
51
52
(
)
 z 
a. Soit z et z’ des nombres complexes non nuls, démontrer que arg   = arg ( z ) − arg ( z ' ) à 2kπ près,
 z' 
avec k entier relatif.
b. Quelle est la probabilité que deux tirs suffisent pour crever le ballon ?
b. Démontrer que si A, B, C sont trois points du plan, deux à deux distincts, d’affixes respectives a, b, c, on
 c−a 
a : arg 
 = AB, AC à 2kπ près, avec k entier relatif.
 b−a 
2. Ce tireur participe au jeu suivant :
(
)
2. On considère l’application f de P \Odans P \O qui, au point M du plan d’affixe z, associe le point M’
1
d’affixe z’ définie par : z ′ = . On appelle U et V les points du plan d’affixes respectives 1 et i.
z
a. Démontrer que pour z ′ ≠ 0 , on a arg ( z ' ) = arg ( z ) à 2kπ près, avec k entier relatif. En déduire que,
pour tout point M de P \O les points M et M’ = f(M) appartiennent à une même demi-droite d’origine O.
c. Quelle est la probabilité pn que n tirs suffisent pour crever le ballon ?
d. Pour quelles valeurs de n a-t-on pn > 0,99 ?
Dans un premier temps il lance un dé tétraédrique régulier dont les faces sont numérotées de 1 à 4 (la face
obtenue avec un tel dé est la face cachée) ; soit k le numéro de la face obtenue. Le tireur se rend alors au
stand de tir et il a droit à k tirs pour crever le ballon.
Démontrer que, si le dé est bien équilibré, la probabilité de crever le ballon est égale à 0,4096 (on pourra
utiliser un arbre pondéré).
3. Le tireur décide de tester le dé tétraédrique afin de savoir s’il est bien équilibré ou s’il est pipé. Pour cela il
lance 200 fois ce dé et il obtient le tableau suivant :
Face k
1
2
3
4
Nombre de sorties de la face k
58
49
52
41
b. Déterminer l’ensemble des points M de P \O tels que f(M) = M.
c. M est un point du plan P distinct de O, U et V, on admet que M’ est aussi distinct de O, U et V.
Établir l’égalité :
z′ − 1 1  z − 1 
 z −1 
= 
 = −i 
.
z′ − i i  z + i 
 z−i 
a. Calculer les fréquences de sorties fk observées pour chacune des faces.
4
∑  f
2
1
2
 . Calculer d .
4
 z′ − 1 
 z −1 
En déduire une relation entre arg 
 et arg 
.
 z′ − i 
 z−i 
b. On pose d 2 =
3. a. Soit z un nombre complexe tel que z ≠ 1 et z ≠ i et soit M le point d’affixe z. Démontrer que M est
z −1
sur la droite (UV) privée de U et de V si et seulement si
est un nombre réel non nul.
z−i
b. Déterminer l’image par f de la droite (UV) privée de U et de V.
c. On effectue maintenant 1 000 simulations des 200 lancers d’un dé tétraédrique bien équilibré et on
calcule pour chaque simulation le nombre d2. On obtient pour la série statistique des 1 000 valeurs de d2 les
résultats suivants :
k
k=1
Exercice 2. 78 (5 points, spécialistes)
−
Minimum
D1
Q1
Médiane
Q3
D9
Maximum
0,00124
0,00192
0,00235
0,00281
0,00345
0,00452
0,01015
Au risque de 10 %, peut-on considérer que ce dé est pipé 7
Partie A : Question de cours
1. Énoncer le théorème de Bézout et le théorème de Gauss.
2. 3. Polynésie
2. Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout.
Partie B Il s’agit de résoudre dans
 n ≡ 13 ( 19 )
ℤ le système ( S ) 
 n ≡ 6 ( 12 )
Exercice 2. 80 (5 points)
.
1. Démontrer qu’il existe un couple (u ; v) d’entiers relatifs tel que : 19u + 12v = 1.
(On ne demande pas dans cette question de donner un exemple d’un tel couple).
Vérifier que, pour un tel couple, le nombre N = 13 × 12v + 6 × 19u est une solution de (S).
 n ≡ n0 ( 19 )
2. a. Soit n0 une solution de (S), vérifier que le système (S) équivaut à 
.
 n ≡ n0 ( 12 )
 n ≡ n0 ( 19 )
équivaut à n ≡ n0 ( 12 × 19 ) .
b. Démontrer que le système 
 n ≡ n0 ( 12 )
3. a. Trouver un couple (u ; v) solution de l’équation 19u + 12v = 1 et calculer la valeur de N
correspondante.
b. Déterminer l’ensemble des solutions de (S) (on pourra utiliser la question 2. b.).
4. Un entier naturel n est tel que lorsqu’on le divise par 12 le reste est 6 et lorsqu’on le divise par 19 le reste
est 13. On divise n par 228 = 12 × 19. Quel est le reste r de cette division ?
Le plan complexe estmuni du repère orthonormal direct (O ; u, v ) ; unité graphique 2 cm. On appelle A et
B les points du plan d’affixes respectives a = 1 et b = −1. On considère l’application f qui, à tout point M
différent du point B, d’affixe z, fait correspondre le point M’ d’affixe z’ définie par
z −1
.
z +1
On fera une figure qui sera complétée tout au long de cet exercice.
z′ =
1. Déterminer les points invariants de f c’est-à-dire les points M tels que M = f(M).
2. a. Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de −1,
( z ′ − 1 )( z + 1 ) = −2 .
b. En déduire une relation entre z ′ − 1 et z + 1 , puis entre arg (z’ − 1) et arg (z + 1), pour tout nombre
complexe z différent de −1. Traduire ces deux relations en termes de distances et d’angles.
3. Montrer que si M appartient au cercle (C) de centre B et de rayon 2, alors M’ appartient au cercle (C’) de
centre A et de rayon 1.
4. Soit le point P d’affixe p = −2 + i 3 .
a. Déterminer la forme exponentielle de (p +1).
b. Montrer que le point P appartient au cercle (C).
Exercice 2. 79
1. Dans un stand de tir, un tireur effectue des tirs successifs pour atteindre un ballon afin de le crever. À
chacun de ces tirs, il a la probabilité 0,2 de crever le ballon. Le tireur s’arrête quand le ballon est crevé. Les
tirs successifs sont supposés indépendants.
c. Soit Q le point d’affixe q = − p où p est le conjugué de p. Montrer que les points A, P’ et Q sont alignés.
d. En utilisant les questions précédentes, proposer une construction de l’image P’ du point P par
l’application f .
a. Quelle est la probabilité qu’au bout de deux tirs le ballon soit intact ?
53
54
Exercice 2. 81 (5 points, non spécialistes)
Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une
démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal (O ; i , j , k ) , on donne les points A(0 ; 0 ; 2) B(0 ; 4 ; 0) et
C(2 ; 0 ; 0).
On désigne par I le milieu du segment [BC], par G l’isobarycentre des points A, B et C, et par H le projeté
orthogonal du point O sur le plan (ABC).
Proposition 1 : « l’ensemble des points M de l’espace tels que AM. BC = 0 est le plan (AIO) ».
Proposition 2 : « l’ensemble des points M de l’espace tels que MB + MC = MB − MC est la sphère de
diamètre [BC] ».
2. On souhaite faire une étude de l’évolution du nombre de retards sur un grand nombre n de mois (n entier
naturel non nul). On fait les hypothèses suivantes :
– si l’individu n’a pas eu de retard le mois n, la probabilité de ne pas en avoir le mois n+1 est 0,46.
– si l’individu a eu exactement un retard le mois n, la probabilité de ne pas en avoir le mois n+1 est 0,66.
– si l’individu a eu deux retards ou plus le mois n, la probabilité de ne pas en avoir le mois n+1 est
encore 0,66.
On note An, l’évènement « l’individu n’a eu aucun retard le mois n, Bn, l’évènement « l’individu a eu
exactement un retard le mois n », Cn, l’évènement « l’individu a eu deux retards ou plus le mois n ».
Les probabilités des évènements An, Bn, Cn sont notées respectivement pn, qn et rn.
a. Pour le premier mois (n = 1), les probabilités p1, q1 et r1 sont obtenues à l’aide du tableau précédent.
Déterminer les probabilités p1, q1 et r1.
Proposition 3 : « le volume du tétraèdre OABC est égal à 4 ».
b. Exprimer pn+1 en fonction de pn, qn, et rn. Onpourra s’aider d’un arbre.
Proposition 4 : « le
8 4 8
coordonnées  ; ;
9 9 9
d. Soit la suite (un) définie pour tout entier naturel n non nul par un = pn − 0,55. Démontrer que (un) est
une suite géométrique dont on donnera la raison.
plan (ABC) a pour équation cartésienne 2x + y + 2z = 4 et le point H a pour

.»

c. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, pn+1 = −0,2pn +0,66.
e. Déterminer lim un . En déduire lim pn .
x=t

Proposition 5 : « la droite (AG) admet pour représentation paramétrique  y = 2t
( t∈ ℝ ) . »
 z = 2 − 2t

n→+∞
n→+∞
Exercice 2. 84 (6 points)
Partie A
Exercice 2. 82 (5 points, spécialistes)
On donne le tableau de variations d’une fonction f dérivable sur ℝ :
Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une
démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.
x
Proposition 1 : « Pour tout entier naturel n, 3 divise le nombre 22n − 1 ».
Deux entiers naturels M et N sont tels que M a pour écriture abc en base dix et N a pour écriture bca en
base dix.
+∞
2
4e−2
f
x ≡ 0 ( modulo 3 ) ».
Proposition 4 : « Il existe un seul couple (a ; b) de nombres entiers naturels, tel que a < b et
PPCM(a, b) − PGCD(a, b) = 1 ».
0
+∞
Proposition 2 : « Si un entier relatif x est solution de l’équation x2 + x ≡ 0 ( modulo 6 ) alors
Proposition 3 : « L’ensemble des couples d’entiers relatifs (x ; y) solutions de l’équation 12x − 5y = 3 est
l’ensemble des couples (4+10k ; 9+24k) où k ∈ ℤ ».
−∞
0
0
On définit la fonction F sur ℝ par F ( x ) =
∫
x
2
f ( t ) dt .
1. Déterminer les variations de la fonction F sur ℝ .
2. Montrer que 0 ≤ F ( 3 ) ≤ 4e−2 .
Proposition 5 : « Si l’entier M est divisible par 27 alors l’entier M − N est aussi divisible par 27 ».
Partie B
Exercice 2. 83 (4 points)
La fonction f considérée dans la partie A est la fonction définie sur ℝ par f ( x ) = x2 e− x . On appelle g la
On a posé à 1 000 personnes la question suivante : « Combien de fois êtes-vous arrivé en retard au travail
au cours des deux derniers mois ? ». Les réponses ont été regroupées dans le tableau suivant :
Retards le 1er mois
fonction définie sur ℝ par g ( x ) = e− x .
On désigne par (C) et ( Γ ) les courbes représentant respectivement les fonctions f et g dans un repère
orthogonal (O ; i , j ) . Les courbes sont tracées en annexe.
0
1
2 ou plus
Total
0
262
212
73
547
b. Étudier les positions relatives des courbes (C) et ( Γ ).
1
250
73
23
346
2 ou plus
60
33
14
107
2. Soit h la fonction définie sur ℝ par h ( x ) = x2 − 1 e− x .
Total
572
318
110
1000
Retards le 2ème mois
1. a. Montrer que les variations de la fonction f sont bien celles données dans la partie A. On ne demande
pas de justifier les limites.
(
)
(
)
a. Montrer que la fonction H définie sur ℝ par H ( x ) = − x2 − 2 x − 1 e− x est une primitive de la
1. On choisit au hasard un individu de cette population.
fonction h sur ℝ .
a. Déterminer la probabilité que l’individu ait eu au moins un retard le premier mois,
b. Déterminer la probabilité que l’individu ait eu au moins un retard le deuxième mois sachant qu’il n’en a
pas eu le premier mois.
b. Soit un réel α supérieur ou égal à 1. On considère la partie du plan limitée par les courbes (C) et ( Γ ) et
les droites d’équations x = 1 et x = α . Déterminer l’aire A( α ), exprimée en unité d’aire, de cette partie du
plan.
55
56
c. Déterminer la limite de A( α ) lorsque α tend vers +∞ .
b. Donner une équation cartésienne du plan (ABC).
3. On admet que, pour tout réel m strictement supérieur à 4e−2, la droite d’équation y = m coupe la courbe
(C) au point P(xP ; m) et la courbe ( Γ ) au point Q (xQ ; m).
3. Soit H le point commun à la droite (d) et au plan (ABC).
L’objectif de cette question est de montrer qu’il existe une seule valeur de xP, appartenant à l’intervalle
] −∞ ; − 1 ] telle que la distance PQ soit égale à 1.
a. Faire apparaître approximativement sur le graphique (proposé en annexe) les points P et Q tels que xP
appartienne à ] −∞ ; − 1 ] et PQ = 1.
a. Montrer que H est le barycentre de {(A ; −2), (B ; −1), (C ; 2)}.
b. Déterminer la nature de l’ensemble Γ1 , des points M de l’espace tels que
−2 MA − MB + 2 MC . MB − MC = 0 .
(
)(
)
En préciser les éléments caractéristiques.
b. Exprimer la distance PQ en fonction de xP et de xQ. Justifier l’égalité f ( xP ) = g ( xQ ) .
c. Déterminer la nature de l’ensemble Γ 2 , des points M de l’espace tels que −2 MA − MB + 2 MC = 29 .
c. Déterminer la valeur de xP telle que PQ = 1.
En préciser les éléments caractéristiques.
d. Préciser la nature et donner les éléments caractéristiques de l’intersection des ensembles Γ1 et Γ 2 .
y
e. Le point S (−8 ; 1 ; 3) appartient-il à l’intersection des ensembles Γ1 et Γ 2 ?
15
Exercice 2. 86 (5 points, non spécialistes)
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O ; u, v ) . On prendra 2 cm pour unité
graphique. Soit A le point d’affixe i et B le point d’affixe 2.
13
11
2.
π
b. Déterminer l’affixe du point B’ image de B1 par la rotation de centre A et d’angle
. Placer les points A,
4
9
2. On appelle f la transformation du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M’
d’affixe z’ tel que z’ = (1 + i) z + 1.
1. a. Déterminer l’affixe du point B1 image de B par l’homothétie de centre A et de rapport
B et B’.
a. Montrer que B a pour image B’ par f .
b. Montrer que A est le seul point invariant par f.
7
z '− z
= −i . Interpréter ce résultat en termes de
i− z
distances puis en termes d’angles. En déduire une méthode de construction de M’ à partir de M, pour M
distinct de A.
c. Établir que pour tout nombre complexe z distinct de i,
5
3. a. Donner la nature et préciser les éléments caractéristiques de l’ensemble Σ1 des points M du plan dont
3
l’affixe z vérifie z − 2 = 2 .
b. Démontrer que z’ − 3 − 2i = (1 + i)(z − 2). En déduire que si le point M appartient à Σ1 , alors son
1
x
image M’ par f appartient à un cercle Σ2 , dont on précisera le centre et le rayon.
c. Tracer Σ1 et Σ2 sur lamême figure que A, B et B’.
-3
-2
-1
-1
0
1
2
3
4
5
Exercice 2. 87 (5 points, spécialistes)
Dans le plan complexe muni du repère orthonormé direct (O ; u, v ) , on considère les points A d’affixe 3i et
B d’affixe 6 ; unité graphique : 1 cm.
2. 4. Liban
Partie A
Exercice 2. 85 (5 points)
1. Montrer qu’il existe une similitude directe et une seule qui transforme A en O et O en B. Préciser ses
éléments caractéristiques.
Dans l’espace muni d’un repère orthonormal (O ; i , j , k ) , on donne les points A(2 ; 1 ; 3), B(−3 ; −1 ; 7) et
C(3 ; 2 ; 4).
1. Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
 x = − 7 + 2t

2. Soit (d) la droite de représentation paramétrique  y = −3t
t∈ ℝ .
 z = 4+t

a. Montrer que la droite (d) est orthogonale au plan (ABC).
57
2. Montrer qu’il existe une similitude indirecte et une seule qui transforme A en O et O en B.
Partie B
1. Soit f la transformation du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M’ d’affixe
z ' = −2i z + 6 où z désigne le conjugué de z.
Montrer que f possède un point invariant et un seul. On note K ce point.
2. Soit h l’homothétie de centre K et de rapport
1
. On pose g = f h .
2
58
a. Montrer que g est une isométrie laissant invariant le point K.
b. On désigne par M’’ l’image du point M d’affixe z par la transformation g. Montrer que l’écriture
complexe de g est z '' = − i z + 2 + 2i où z’’ est l’affixe de M’’.
c. Montrer qu’il existe sur l’axe (O ; v ) un unique point invariant par g ; on le note L. Reconnaître alors la
transformation g.
Annexe
Exercice 3 : Représentation graphique de la fonction f obtenue à l’aide d’un tableur, courbe (C )
5
d. En déduire que la transformation f est la composée d’une homothétie h’ suivie de la réflexion d’axe (KL).
Préciser les éléments caractéristiques de h’.
y
4
3. Déterminer les droites ∆ telles que f ( ∆ ) et ∆ soient parallèles.
Exercice 2. 88 (7 points)
3
Partie A : étude d’une fonction
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [ 0 ; + ∞ [ par f(x) = x ln(x +1).
Sa courbe représentative (C) dans un repère orthogonal (O ; u, v ) est donnée en annexe.
2
1. a. Montrer que la fonction f est strictement croissante sur l’intervalle [ 0 ; + ∞ [ .
b. L’axe des abscisses est-il tangent à la courbe (C) au point O ?
2. On pose I =
∫
1
0
1
x2
dx .
x +1
x
a. Déterminer trois réels a, b et c tels que, pour tout x ≠ −1 ,
0
2
x
c
= ax + b +
.
x +1
x +1
0
1
2
3
b. Calculer I.
3. À l’aide d’une intégration par parties et du résultat obtenu à la question 2, calculer, en unités d’aires,
l’aire A de la partie du plan limitée par la courbe (C) et les droites d’équations x = 0, x =1 et y = 0.
2. 5. La Réunion
4. Montrer que l’équation f(x) = 0,25 admet une seule solution sur l’intervalle [0 ; 1]. On note α cette
solution. Donner un encadrement de α d’amplitude 10−2.
Exercice 2. 90 (5 points)
Partie B : étude d’une suite
La suite (un) est définie sur ℕ par un =
∫
1
0
Partie A Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]1 ; +∞ [ par f ( x ) =
x
.
ln x
1. a. Déterminer les limites de la fonction f en 1 et en +∞ .
x n ln ( x + 1 ) dx .
b. Étudier les variations de la fonction f .
2. Soit (un) la suite définie par u0 = 5 et un+1 = f(un) pour tout entier naturel n.
1. Déterminer le sens de variation de la suite (un). La suite (un) converge-t-elle ?
ln 2
. En déduire la limite de la suite (un).
2. Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, 0 ≤ un ≤
n+1
a. On a tracé la courbe représentative C de la fonction f sur la figure donnée en annexe qui sera rendue avec
la copie. Construire la droite d’équation y = x et les points M1 et M2 de la courbe C d’abscisses respectives
u1 et u2. Proposer une conjecture sur le comportement de la suite (un).
Exercice 2. 89 (3 points)
b. Démontrer que pour tout entier naturel n, on a un ≥ e (on pourra utiliser la question 1. b.).
La durée de vie d’un robot, exprimée en années, jusqu’à ce que survienne la première panne est une variable
aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre λ , avec λ > 0.
c. Démontrer que la suite (un) converge vers un réel l de l’intervalle [e ; +∞ [.
Ainsi, la probabilité qu’un robot tombe en panne avant l’instant t est égale à P ( X ≤ t ) =
∫
t
0
−λ x
λe
dx .
1. Déterminer λ , arrondi à 10−1 près, pour que la probabilité P(X > 6) soit égale à 0,3. Pour la suite de
l’exercice, on prendra λ = 0,2.
2. À quel instant t, à un mois près, la probabilité qu’un robot tombe en panne pour la première fois est-elle
de 0,5 ?
3. Montrer que la probabilité qu’un robot n’ait pas eu de panne au cours des deux premières années
est e−0,4.
Partie B
On rappelle que la fonction f est continue sur l’intervalle ]1 ; +∞ [.
1. En étudiant de deux manières la limite de la suite [f (un)], démontrer que f ( l ) = l .
2. En déduire la valeur de l.
Exercice 2. 91 (6 points)
Première partie : Calculer l’intégrale
∫
1
xe x dx .
0
4. Sachant qu’un robot n’a pas eu de panne au cours des deux premières années, quelle est, à 10−2 près, la
probabilité qu’il soit encore en état de marche au bout de six ans ?
5. On considère un lot de 10 robots fonctionnant de manière indépendante. Déterminer la probabilité que,
dans ce lot, il y ait au moins un robot qui n’ait pas eu de panne au cours des deux premières années.
59
60
Deuxième partie
N
M
5. Soit C le cercle de centre A et de rayon 2. Soit C’ le cercle de centre A’ et de rayon 2. Soit r la rotation de
La figure ci-contre représente une cible rectangulaire OIMN
telle que, dans le repère orthonormal O ; OI , OJ , la ligne
(
)
courbe C reliant le point O au point M est une partie de la
courbe représentative de la fonction f définie sur ℝ par
f ( x ) = xex .
partie B
Cette courbe partage la cible OIMN en deux parties A et B
comme l’indique la figure ci-dessous.
Un jeu consiste à lancer une fléchette qui atteint soit
l’extérieur de la cible, soit l’une des parties A ou B. On
admet que la fléchette ne peut atteindre aucune des
frontières de la cible, ni la courbe C .
J
Une étude statistique a montré que la fléchette tombe à
1
et que les
l’extérieur de la cible avec une probabilité de
2
probabilités d’atteindre les parties A et B sont
proportionnelles à leurs aires respectives.
partie A
0
I
1. Démontrer que la probabilité d’atteindre la partie A est
1
égale à
. Quelle est la probabilité d’atteindre la partie B ?
2e
centre O et d’angle +
π
.
2
a. On désigne par E’ l’image par la rotation r du point E. Calculer l’affixe e’ du point E’.
b. Démontrer que le point E’ est un point du cercle C’.
c. Vérifier que : e − d =
(
3 +2
) ( e′ − d ) . En déduire que les points E, E’ et D sont alignés.
6. Soit D’ l’image du point D par la rotation r. Démontrer que le triangle EE’D’ est rectangle.
Exercice 2. 93 (5 points, non spécialistes)
On complètera la figure donnée en annexe 2 au fur et à mesure des questions, et on la rendra avec la copie.
π
ABCD est un carré tel que AB, AC = + . Soit I le centre du carré ABCD. Soit J le milieu du segment
2
[CD].
(
)
On désigne par s la similitude directe qui transforme A en I et B en J.
Le but de l’exercice est d’étudier certaines propriétés de la similitude s. Dans la partie A on utilisera des
raisonnements géométriques ; dans la partie B on utilisera les nombres complexes.
Partie A
1. Déterminer le rapport et l’angle de la similitude s.
2. On désigne par Ω le centre de cette similitude. Γ1 est le cercle de diamètre [AI], Γ 2 est le cercle de
2. On lance de manière indépendante trois fléchettes.
diamètre [BJ]. Démontrer que Ω est l’un des points d’intersection de Γ1 et Γ 2 . Placer Ω sur la figure.
a. Soit X la variable aléatoire qui est égale au nombre de fléchettes ayant atteint la partie A. Définir la loi de
probabilité de X. En déduire la valeur exacte de son espérance mathématique.
3. Donner l’image par s de la droite (BC). En déduire le point image par s du point C, puis le point K image
par s du point I.
b. Soit E l’évènement : « Exactement deux fléchettes atteignent la partie A ». Calculer une valeur approchée
au millième de la probabilité de E.
c. Soit F l’évènement : « les trois fléchettes atteignent la partie B ». Calculer la probabilité de F (on donnera
la valeur exacte).
Sachant qu’aucune fléchette n’a atteint l’extérieur de la cible, quelle est la probabilité que toutes les trois se
trouvent dans la partie B ?
3. On lance cette fois de manière indépendante n fléchettes.
a. Déterminer en fonction de n la probabilité pn pour qu’au moins une des fléchettes atteigne la partie A.
b. Déterminer le plus petit naturel n tel que pn ≥ 0,99 .
4. On pose h = s s (composée de s avec elle même).
a. Donner la nature de la transformation h (préciser ses éléments caractéristiques).
b. Trouver l’image du point A par h. En déduire que les points A, Ω et K sont alignés.
Partie B
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( A ; u, v ) , choisi de manière à ce que les
points A, B, C et D aient comme affixes respectives 0, 2, 2 + 2i et 2i.
1. Démontrer que l’écriture complexe de la similitudes est z ′ =
1
iz + 1 + i .
2
2. Calculer l’affixe du point Ω .
3. Calculer l’affixe du point E tel que s(E) = A. Placer le point E sur la figure.
Exercice 2. 92 (5 points, non spécialistes)
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; u, v ) . L’unité graphique est 2 cm. On
π
désigne par i le nombre complexe demodule 1 et d’argument + . On réalisera une figure que l’on
2
complétera au fur et à mesure des questions.
1. Résoudre dans l’ensemble ℂ des nombres complexes l’équation
z−4
= i . Écrire la solution sous forme
z
algébrique.
2. Résoudre dans ℂ l’équation z2 − 2z + 4 = 0. Écrire les solutions sous forme exponentielle.
3. Soient A, B, A’ et D les points du plan complexe d’affixes respectives : a = 2, b = 4, a’ = 2i et d = 2 + 2i.
Exercice 2. 94 (4 points)
Pour chacune des questions 1, 2, 3 et 4, parmi les quatre affirmations proposées, deux sont exactes et deux sont
fausses. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et les deux affirmations qu’il pense exactes.
Aucune justification n’est demandée. Les quatre questions sont indépendantes et sont notées sur 1 point. Toute
réponse juste rapporte 0,5 point. Donner plus de 2 réponses à une question entraîne la nullité de la question.
L’espace est rapporté à un repère orthonormal (O ; i , j , k ) .
1. Soit P le plan d’équation 2x +3y +4z = 0.
a. La distance du point O au plan P est égale à 1.
1
.
29
Quelle est la nature du triangle ODB ?
b. La distance du point O au plan P est égale à
4. Soient E et F les points d’affixes respectives e = 1 − i 3 et f = 1 + i 3 . Quelle est la nature du
quadrilatère OEAF ?
 3

c. Le vecteur n  1 ; ; 2  est un vecteur normal au plan P.
 2

d. Le plan Q d’équation −5x + 2y + z = 0 est parallèle au plan P.
61
62
ANNEXE 2
2. On désigne par P le plan d’équation 2x + y − z = 0, et par D la droite passant par le point A(1 ; 1 ; 1) et
de vecteur directeur u (1 ; −4 ; −2).
À compléter et à rendre avec la copie
a. La droite D est parallèle au plan P.
Figure de l’exercice 3
b. La droite D est orthogonale au plan P.
c. La droite D est sécante avec le plan P.
C
D
 x = 1+ t

d. Un système d’équations paramétriques de D est  y = 1 − 4t ( t ∈ ℝ ) .
 z = 1 − 2t

3. On désigne par E l’ensemble des points M(x ; y ; z) tels que : x + y + z = 3 et 2x − z = 1. Soit le point
A(1 ; 1 ; 1).
a. L’ensemble E contient un seul point, le point A.
b. L’ensemble E est une droite passant par A.
c. L’ensemble E est un plan passant par A.
d. L’ensemble E est une droite de vecteur directeur u (1 ; −3 ; 2).
4. ABCD est un tétraèdre quelconque. Soit P le plan passant par A et orthogonal à la droite (BC).
B
A
a. Le plan P contient toujours le point D.
b. Le plan P contient toujours la hauteur (AH) du triangle ABC.
c. Le plan P est toujours l’ensemble des points M de l’espace tels que : BM. BC = BA.BC .
d. Le plan P est toujours le plan médiateur du segment [BC].
2. 6. Amérique du Nord
ANNEXE 1
Exercice 2. 95 (3 points)
À compléter et à rendre avec la copie
Figure de l’exercice 1
Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro
de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
y
Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse enlève 0,5 point ; l’ absence de réponse est comptée 0 point.
Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.
5
Une urne contient 10 bulletins indiscernables au toucher de trois sortes :
4 sont marqués « oui », 3 sont marqués « non » et 3 sont marqués « blanc ».
Lors d’un premier jeu, le joueur commence par miser 30 centimes d’euro. Il tire ensuite un bulletin de
l’urne et l’y remet après l’avoir lu. Si le bulletin est marqué « oui », le joueur reçoit 60 centimes d’euro, s’il
est marqué « non », il ne reçoit rien. Si le bulletin est marqué « blanc », il reçoit 20 centimes d’euro.
4
Question 1 : Le jeu est
3
A : Favorable au joueur
B : défavorable au joueur
C : équitable.
Question 2 : le joueur joue quatre parties indépendamment les unes des autres. La probabilité qu’il tire au
moins une fois un bulletin marqué « oui » est égale à
A:
2
216
625
B:
544
625
C:
2
.
5
Lors d’un second jeu le joueur tire simultanément deux bulletins de l’urne.
Question 3 : la probabilité qu’il obtienne un tirage de deux bulletins de sortes différentes est égale à :
1
A:
x
1
2
3
4
5
B:
11
30
C:
11
.
15
Exercice 2. 96 (5 points, non spécialistes)
0
0
4
15
6
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct (O ; u, v ) (unité graphique 2 cm), on
considère les points A, B et C d’affixes respectives z A = 2 , z B = 1 + i 3 et zC = 1 − i 3 .
63
64
Partie A
3. Soit A0 le point d’affixe 2 + i . On considère la suite
1. a. Donner la forme exponentielle de z B puis de zC .
naturel n, An+1 = σ ( An ) .
b. Placer les points A, B, et C.
de points du plan définis par : pour tout entier
n
 2 i
a. Montrer que, pour tout entier naturel n, l’affixe an de An est donnée par : an = 
 e
 2 
2. Déterminer la nature du quadrilatère OABC.
3. Déterminer et construire l’ensemble ∆ des points M du plan tels que z = z − 2 .
( n+ 2 )π
4
+2.
b. Déterminer l’affixe de A3 .
Partie B
A tout point M d’affixe z tel que z ≠ z A , on associe le point M’ d’affixe z’ défini par z ' =
1. a. Résoudre dans ℂ l’équation z =
( An )
−4
.
z−2
−4
.
z−2
4. Déterminer le plus petit entier n0 tel que l’on ait : pour n > n0 , le point An est dans le disque de centre Ω
et de rayon 0,01.
Exercice 2. 98 (5 points)
1. On considère la fonction g définie sur ] 0 ; +∞ [ par : g ( x ) = ln x −
b. En déduire les points associés aux points B et C.
c. Déterminer et placer le point G’ associé au centre de gravité G du triangle OAB.
variations de g.
x
2. a. Question de cours
Prérequis : le module d’un nombre complexe, noté z , vérifie z
2
2,3
x0
−∞
1
1
=
.
z
z
b. Démontrer que pour tout nombre complexe z distinct de 2, z ′ − 2 =
Démontrer toutes les propriétés de la fonction g regroupées dans ce tableau.
2 z
z−2
2. Soit f la fonction définie sur ] 0 ; +∞ [ par f ( x ) =
.
c. On suppose dans cette question que M est un point quelconque de ∆ , où ∆ est l’ensemble défini à la
question 3. de la partie A.
Démontrer que le point M’ associé à M appartient à un cercle Γ dont on précisera le centre et le rayon.
Tracer Γ .
Exercice 2. 97 (5 points, spécialistes)
Le plan muni d’un repère orthonormal direct (O ; u, v ) . On prendra pour unité graphique 4 cm. Soit Ω le
point d’affixe 2.
π
2
, et h l’homothétie de centre Ω et de rapport
.
4
2
1. On pose σ = h r .
a. Quelle est la nature de la transformation σ ? Préciser ses éléments caractéristiques.
1+ i
z +1− i .
2
a. Démontrer que f ( x0 ) =
10
x02
5 ln x
.
x
où x0 est le réel apparaissant dans le tableau ci-dessus.
b. Soit a un réel. Pour a > 1 , exprimer
∫
a
1
f ( t ) dt en fonction de a.
3. On a tracé dans le repère orthonormal (O ; i , j ) ci-dessous les courbes représentatives des fonctions f et
g notées respectivement
( )
d’intersection de C g
( Cf )
et
( Cg ) .
On appelle I le point de coordonnées
( )
et de l’axe des abscisses, M0 le point de Cf
projeté orthogonal de M0 sur l’axe des ordonnées.
(1;0 ),
P0 le point
ayant même abscisse que P0 et H0 le
( ) et les segments [ IP0 ] et [ P0 M0 ] . On nomme
On nomme D1 le domaine plan délimité par la courbe Cf
D2 le domaine plan délimité par le rectangle construit à partir de [ OI ] et [ OH0 ] .
Démontrer que les deux domaines D1 et D2 ont même aire, puis donner un encadrement d’amplitude 0,2 de
cette aire.
c. Soit M un point quelconque du plan, d’affixe z. On désigne par M’ son image par σ et on note z’ l’affixe
de M’. Montrer que z − z ′ = i ( 2 − z ′ ) .
2. a. Question de cours :
Prérequis : définitions géométriques du module d’un nombre complexe et d’un argument d’un nombre complexe non
nul.Propriétés algébriques des modules et des arguments.
Démonter que : si A est un point donné d’affixe a, alors l’image du point P d’affixe p par la rotation de
π
est le point Q d’affixe q telle que q − a = i ( p − a ) .
2
b. Déduire des questions précédentes la nature du triangle ΩMM ′ , pour M distinct de Ω .
centre A et d’angle
65
+∞
0
g
b. Montrer que l’écriture complexe de σ est : σ : z ֏
2,4
+∞
* pour tous nombres complexes z1 et z2, z1 × z2 = z1 × z2 ;
On appelle r la rotation de centre Ω et d’angle
0
= zz où z est le conjugué de z.
Démontrer que :
* pour tous nombres complexes z non nul,
2
. On donne ci-dessous le tableau de
x
66
Partie B: étude d’une fonction
3
y
2
Soit g la fonction définie sur [ 0 ; + ∞ [ par g ( x ) = 2
M0
H0
Cf
( ) sa courbe représentative.
et C g
( ) admet une asymptote ∆ dont on donnera une équation.
2. a. Montrer que C g
b. Etudier les variations de g sur [ 0 ; + ∞ [ .
1
( ) à l’origine.
Cg
3. Déterminer l’abscisse α du point d’intersection de ∆ et de la tangente à C g
x
0
-1
e4 x − 1
e4 x + 1
1. Montrer que la fonction g vérifie les conditions (1) et (2).
I 1
0
2
P0
3
4
5
6
7
4. Tracer dans le repère de l’annexe la courbe
( Cg )
et les éléments mis en évidence dans les questions
précédentes de cette partie B.
-1
Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l’épreuve.
Exercice 4 : annexe
Partie A
-2
-3
n
0
1
2
xn
0
0,2
0,4
3
yn
0
0,8000
1,4720
4
5
6
7
Partie B
Exercice 2. 99 (7 points)
Le plan est muni d’un repère orthonormal (O ; i , j ) . On s’intéresse aux fonctions dérivables sur [ 0 ; + ∞ [
vérifiant les conditions :
3
(1) pour tout réel x appartenant à [ 0 ; + ∞ [ , f ' ( x ) = 4 −  f ( x )  ;
2,6
(2) f ( 0 ) = 0 .
2,4
2
On admet qu’il existe une unique fonction f vérifiant simultanément (1) et (2).
2,2
Les deux parties peuvent être traitées de nmanière indépendante. L’annexe sera complétée et remise avec la
copie à la fin de l’épreuve.
2
Partie A : étude d’une suite
1,8
Afin d’obtenir une approximation de la courbe représetative de la fonction f, on utilise la méthode itérative
d’Euler avec un pas égal à 0,2. On obtient ainsi une suite de points notés ( Mn ) , d’abscisse ( xn ) et
1,6
d'ordonnée ( yn
1,4
)
telles que :
 x0 = 0, xn+1 = xn + 0, 2
.

2
 y0 = 0, yn+1 = −0, 2yn + yn + 0,8
1,2
1. a. Les coordonnées des premiers points sont consignées dans le tableau de l’annexe. Compléter ce
tableau. On donnera les résultats à 10−4 près.
b. Placer sur le graphique donné en annexe les points Mn pour n entier nturel inférieur ou égal à 7.
c. D’après ce graphique, que peut-on conjecturer sur le sens de variation de la suite
( yn )
et sur sa
1
0,8
0,6
convergence ?
0,4
2. a. Pour x réel, on pose p ( x ) = −0, 2 x2 + x + 0,8 . Montrer que si x ∈ [ 0 ; 2 ] alors p ( x ) ∈ [ 0 ; 2 ] .
0,2
b. Montrer que pour tout entier naturel n, 0 ≤ yn ≤ 2 .
c. Etudier le sens de variation de la suite ( yn ) .
d. La suite ( yn
)
y
2,8
x
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
est-elle convergente ?
67
68
1,6
1,8
2
2,2
2,4
2,6
2,8
3
2. Calculer P(X ≤ 2).
2. 7. Antilles
3. Déduire des calculs précédents l’égalité suivante : P(1 ≤ X ≤ 2) = 0,173 à 10−3 près.
Exercice 2. 100(3 points)
4. Calculer l’intégrale
1. Restitution organisée des connaissances.
Pré-requis :
– la fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0 ; +∞ [ et sa fonction dérivée est la fonction
1
inverse ( x ֏ ).
x
– ln(1)= 0.
Démontrer que pour tous réels strictement positifs a et x, ln(ax) = ln(a)+ln(x).
2. Utiliser le résultat précédent pour démontrer que ln
1
a
= − ln b et que ln = ln a − ln b pour tous réels
b
b
strictement positifs a et b.
1
3
et ln .
6
8
Exercice 2. 101 (3 points)
QCM : pour chaque question une seule des réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée.
Chaque bonne réponse rapporte 0,75 point, chaque erreur enlève 0,25 point, l’absence de réponse vaut 0 point. Si le
total des points de l’exercice est négatif, la note est ramenée à 0.
Vous répondrez sur votre copie en indiquant le numéro de la question et la lettre correspondant à votre
réponse.
1. L’équation e2 x − 3 ex − 4 = 0 admet dans ℝ :
b. 1 solution
c. 2 solutions
d. plus de 2 solutions
b. est toujours négative
c. n’est négative que si x
est positif
d. n’est négative que si x
est négatif
2. L’expression − e− x
a. n’est jamais négative
3. lim
x→+∞
a.
2 ex − 1
ex + 2
x
0
1, 5te−1,5 t dt . Déterminer la limite quand x tend vers +∞ de F(x) ; on obtient ainsi
l’espérance mathématique de la variable X.
Partie C
Une machine outil fabrique des cylindres. On mesure l’écart, en dixièmes de millimètres, entre le diamètre
des cylindres et la valeur de réglage de la machine. On suppose que cet écart suit une loi exponentielle de
paramètre λ = 1,5.
Si l’écart est inférieur à 1, le cylindre est accepté. Si l’écart est compris entre 1 et 2, on procède à une
rectification qui permet d’accepter le cylindre dans 80 % des cas. Si l’écart est supérieur à 2, le cylindre est
refusé.
1. On prélève au hasard un cylindre dans la production.
3. On donne 0,69 ≤ ln2 ≤ 0,70 et 1,09 ≤ ln3 ≤ 1,10. En déduire des encadrements de ln6, ln
a. 0 solution
∫
=
a. Montrer que la probabilité qu’il soit accepté est égale à 0,915 à 10−3 près.
b. Sachant qu’il est accepté, quelle est la probabilité qu’il ait subi une rectification ?
2. On prélève de manière indépendante dix cylindres de la production. On suppose que le nombre de
cylindres est suffisamment important pour assimiler ce tirage à un tirage successif avec remise.
a. Quelle est la probabilité que les dix cylindres soient acceptés ?
b. Quelle est la probabilité qu’au moins un cylindre soit refusé ?
Exercice 2. 103 (5 points, non spécialistes)
1. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct (O ; u, v ) , on considère les points
– A d’affixe a, a ∈ ℝ ;
– B d’affixe b +i, b ∈ ℝ ;
– C image de B dans la rotation de centre A et d’angle
π
.
3
a. Déterminer une relation entre a et b pour que le point C appartienne à l’axe (O ; v ) .
b. Exprimer alors l’affixe du point C en fonction de a.
b. 1
1
2
2. Dans cette question, on pose a = 3 et b = 0. On considère les points C d’affixe c = −i et D d’affixe
d. +∞
c. 2
d = 2 + 3 − 2i 3 .
a. Quelle est la nature du triangle ABC ?
4. L’équation différentielle y = 2y’ −1 a pour ensemble de solutions :
1
a. x ֏ ke2 x − 1
avec k ∈ ℝ
1
x
x
b. x ֏ ke 2 + 1
c. x ֏ ke 2 − 1
avec k ∈ ℝ
avec k ∈ ℝ
d. x ֏ ke2 x +
1
2
avec k ∈ ℝ
b. Calculer le quotient
d−a
; que peut-on en déduire pour le triangle ACD ?
c−a
c. Déterminer l’affixe du point E image de D dans la rotation de centre A et d’angle
d. Déterminer l’affixe du point F image de D dans la translation de vecteur AC .
Exercice 2. 102 (4 points)
e. Déterminer la nature du triangle BEF.
Partie A
Soit X une variable aléatoire continue qui suit une loi exponentielle de paramètre λ . On rappelle que
P( X ≤ a) =
∫
a
0
−λt
λe
π
.
3
dt . La courbe donnée en annexe 1 représente la fonction densité associée.
1. Interpréter sur le graphique la probabilité P(X ≤ 1).
2. Indiquer sur le graphique où se lit directement le paramètre λ .
Partie B
Exercice 2. 104 (5 points, spécialistes)
Sur la figure donnée en annexe 2, on considère les carrés OABC et OCDE tels que :
π
OA ; OC = OC ; OE = .
2
On désigne par I le milieu du segment [CD], par J le milieu du segment [OC] et par H le point
d’intersection des segments [AD] et [IE].
(
) (
)
1. Justifier l’existence d’une similitude directe s transformant A en I et D en E.
On pose λ = 1,5.
1. Calculer P(X ≤ 1), en donner une valeur exacte puis une valeur approchée à 10−3 près par excès.
69
2. Déterminer le rapport de cette similitude s.
70
On admet que l’angle de la similitude s est égal à
π
.
2
2
y
3. Donner, sans justifier, l’image de B par s.
4. Déterminer et placer l’image de C par s.
5. Soit Ω le centre de la similitude s.
a. Montrer que Ω appartient au cercle de diamètre [AI] et à celui de diamètre [DE].
b. Montrer que Ω ne peut être le point H.
1
c. Construire Ω .
6. On considère le repère orthonormal direct O ; OA, OC .
(
)
a. Déterminer l’écriture complexe de la similitude s.
b. En déduire l’affixe du centre Ω de s.
x
Exercice 2. 105 (5 points)
0
Partie A
0
1
2
On considère les suites de points An et Bn définies pour tout entier naturel n de la manière suivante : sur un
axe orienté (O ; u) donné en annexe 3, le point A0 a pour abscisse 0 et le point B0 a pour abscisse 12.
3
4
Annexe 2
Le point An+1 est le barycentre des points (An, 2) et (Bn, 1), le point Bn+1 est le barycentre des points
pondérés (An, 1) et (Bn, 3).
C
D
B
I
1. Sur le graphique placer les points A2, B2.
2. On définit les suites (an) et (bn) des abscisses respectives des points An et Bn.
Montrer que : an+1 =
2 an + bn
a + 3bn
. On admet de même que bn+1 = n
.
3
4
Partie B
1. On considère la suite (un) définie, pour tout entier naturel n, par un = bn − an.
J
a. Montrer que la suite (un) est géométrique. En préciser la raison.
b. Donner l’expression de un en fonction de l’entier naturel n.
c. Déterminer la limite de (un). Interpréter géométriquement ce résultat.
2. a. Démontrer que la suite (an) est croissante (on pourra utiliser le signe de un).
b. Étudier les variations de la suite (bn).
O
E
A
3. Que peut-on déduire des résultats précédents quand à la convergence des suites (an) et (bn) ?
Partie C
Annexe 3
1. On considère la suite (vn) définie, pour tout entier naturel n, par vn = 3an +4bn. Montrer que la suite (vn)
est constante.
A0
2. Déterminer la limite des suites (an) et (bn).
0
u
2
A1
4
B1
8
6
B0
12
10
Annexe 1
2. 8. Asie
Exercice 2. 106 (4 points)
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (O ; u, v ) (unité graphique : 2 cm).
On rappelle que pour tout vecteur w non nul, d’affixe z, on a : z = w et arg z = u, w à 2kπ près.
(
)
Partie A : restitution organisée de connaissances
Prérequis : On sait que si z et z’ sont deux nombres complexes non nuls, alors : arg ( zz ′ ) = arg z + arg z ′ .
71
72
 z 
Soient z et z’ deux nombres complexes non nuls. Démontrer que : arg   = arg z − arg z ′ .
 z′ 
b. Peut-on trouver trois entiers naturels x, y et z tels que x2 + y2 + z 2 ≡ 7 modulo 8 ?
Partie B
Supposons qu’il existe trois entiers naturels x, y et z tels que x2 + y2 + z 2 ≡ 2n − 1 modulo 2n .
Partie B Étude du cas général où n ≥ 3
On note A et B les points d’affixes respectives −i et 3i. On note f l’application qui, à tout point M du plan,
iz + 3
d’affixe z, distinct de A, associe le point M’ d’affixe z’ telle que : z ′ =
.
z+i
1. Étude de quelques cas particuliers.
a. Démontrer que f admet deux points invariants J et K appartenant au cercle de diamètre [AB]. Placer ces
points sur le dessin.
b. On note C le point d’affixe c =−2 + i. Démontrer que le point C’, image de C par f , appartient à l’axe
des abscisses.
π
à 2kπ près.
2. Pour tout point M du plan distinct de A et B, démontrer que arg z ′ = MA, MB +
2
3. Étude de deux ensembles de points.
(
)
1. Justifier le fait que les trois entiers naturels x, y et z sont tous impairs ou que deux d’entre eux sont pairs.
2. On suppose que x et y sont pairs et que z est impair. On pose alors x = 2q, y = 2r, z = 2s +1 où q, r, s
sont des entiers naturels.
a. Montrer que x2 + y2 + z 2 ≡ 1 modulo 4 .
b. En déduire une contradiction.
3. On suppose que x, y, z sont impairs.
a. Prouver que, pour tout entier naturel k non nul, k2 + k est divisible par 2.
b. En déduire que x2 + y2 + z 2 ≡ 3 modulo 8 .
c. Conclure.
a. Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que z’ soit un nombre complexe imaginaire pur.
Exercice 2. 109 (4 points)
b. Soit M d’affixe z un point du cercie de diamètre [AB] privé des points A et B. À quel ensemble appartient
le point M’ ?
Pierre et Claude jouent au tennis. Les deux joueurs ont la même chance de gagner la première partie. Par la
suite, lorsque Pierre gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la suivante est 0,7. Et s’il perd une partie, la
probabilité qu’il perde la suivante est 0,8.
Exercice 2. 107 (5 points, non spécialistes)
On considère le cube ABCDEFGH représenté sur la feuille annexe. Dans tout l’exercice, l’espace est
1

rapporté au repère orthonormal A ; AB, AD, AE . On note I le point de coordonnées  ; 1 ; 1  .
3

(
Dans tout l’exercice, n est un entier naturel non nul. On considère les évènements :
• Gn : « Pierre gagne la n-ième partie ».
)
• Pn : « Pierre perd la n-ième partie ».
On pose : pn = p(Gn) et qn = p(Pn).
1. Placer le point I sur la figure.
1. Recherche d’une relation de récurrence.
2. Le plan (ACI) coupe la droite (EH) en J. Démontrer que les droites (IJ) et (AC) sont parallèles.
3. On note R le projeté orthogonal de l sur la droite (AC).
a. Déterminer p1 puis les probabilités conditionnelles pG1 ( G2
a. Justifier que les deux conditions suivantes sont vérifiées :
(i) Il existe un réel k tel que AR = kAC .
(ii) IR. AC = 0 .
c. Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, pn+1 = 0,5pn +0, 2.
2
.
5
a. Prouver que la suite (vn) est une suite géométrique et exprimer vn en fonction de n.
2. Étude de la suite (pn) : on pose, pour tout entier naturel n non nul, vn = pn −
11
.
3
b. En déduire l’expression de pn en fonction de n.
4. Démontrer que le vecteur n de coordonnées (3 ; −3 ; 2) est normal au plan (ACI). En déduire une
équation cartésienne du plan (ACI).
5. Démontrer que la distance du point F au plan (ACI) est
et pP1 ( G2 ) .
b. Justifier l’égalité pn + qn = 1.
b. Calculer les coordonnées du point R.
c. En déduire que la distance IR s’exprime par IR =
)
5
.
22
c. Déterminer la limite de la suite (pn) quand n tend vers +∞ .
Exercice 2. 110 (7 points)
Partie A
On considère l’équation différentielle (E) : y′ + y = e− x .
Exercice 2. 108 (5 points, spécialistes)
1. Démontrer que la fonction u définie sur l’ensemble ℝ des nombres réels par u ( x ) = xe− x est une
Étant donné un entier naturel n ≥ 2, on se propose d’étudier l’existence de trois entiers naturels x, y et z
tels que x2 + y2 + z 2 ≡ 2n − 1 modulo 2n .
solution de (E).
Partie A Étude de deux cas particuliers
1. Dans cette question on suppose n = 2. Montrer que 1, 3 et 5 satisfont à la condition précédente.
3. Démontrer qu’une fonction y, définie et dérivable sur ℝ , est solution de (E) si et seulement si v − u est
solution de (E0).
2. Dans cette question, on suppose n = 3.
4. En déduire toutes les solutions de (E).
a. Soit m un entier naturel. Reproduire et compléter le tableau ci-dessous donnant le reste r de la division
euclidienne de m par 8 et le reste R de la division euclidienne de m2 par 8.
Partie B
r
0
1
2
3
R
73
4
5
6
7
2. Résoudre l’équation différentielle (E0) : y′ + y = 0 .
5. Déterminer la fonction f2, solution de (E), qui prend la valeur 2 en 0.
k étant un nombre réel donné, on note fk la fonction définie sur l’ensemble ℝ par : fk ( x ) = ( x + k ) e− x .
On note Ck la courbe représentative de la fonction fk dans un repère orthonormal (O ; i , j ) .
74
1. Déterminer les limites de fk en −∞ et +∞ .
(i) Si z est un nombre complexe non nul, on a l’équivalence suivante :
2. Calculer fk′ ( x ) pour tout réel x.
 z =r
⇔

 arg z = θ à 2π près
3. En déduire le tableau de variations de fk.
Partie C
1. On considère la suite d’intégrales (In) définie par I0 =
In =
∫
0
−2
∫
0
−2
e− x dx et pour tout entier naturel n ≠ 1 par :
 z = r ( cos θ + i sin θ

r ≥ 0
)
 cos ( a + b ) = cos a cos b − sin a sin b
.
(ii) Pour tous nombres réels a et b : 
 sin ( a + b ) = sin a cos b + sin b cos a
Soient z1 et z2 deux nombres complexes non nuls. Démontrer les relations :
z1 z2 = z1 z2 et arg ( z1 z2 ) = arg ( z1 ) + arg ( z2
n −x
x e dx .
)
à 2π près.
Partie B
a. Calculer la valeur exacte de l’intégrale I0.
b. En utilisant une intégration par parties, démontrer l’égalité : In+1 = ( −2 )
n+1 2
e + ( n + 1 ) In .
c. En déduire les valeurs exactes des intégrales I1 et I2.
2. Le graphique ci-dessous représente une courbe Ck qui est la représentation graphique d’une fonction fk
définie à la partie B.
Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse
indiquée. Dans le cas d’une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre-exemple.
Une réponse sans démonstration ne rapporte pas de point.
On rappelle que si z est un nombre complexe, z désigne le conjugué de z et z désigne le module de z.
1. Si z = −
1 1
+ i , alors z4 est un nombre réel.
2 2
a. À l’aide des renseignements donnés par le graphique, déterminer la valeur du nombre réel k
correspondant.
2. Si z + z = 0 , alors z = 0.
b. Soit S l’aire de la partie hachurée (en unité d’aire) ; exprimer S en fonction de I1 et I0 et en déduire sa
valeur exacte.
3. Si z +
1
= 0 , alors z = i ou z = −i.
z
4. Si z = 1 et si z + z ′ = 1 , alors z’ = 0.
Exercice 2. 112 (5 points, non spécialistes)
On lance un dé tétraédrique dont les quatre faces portent les nombres 1, 2, 3 et 4. On lit le nombre sur la
face cachée.
Pour k ∈ {1 ; 2 ; 3 ; 4), on note pi la probabilité d’obtenr le nombre k sur laface cachée. Le dé est
déséquilibré de telle sorte que les nombres p1, p2, p3 et p4 dans cet ordre, forment une progression
arithmétique.
ANNEXE Exercice 2 (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)
1. Sachant que p4 = 0,4 démontrer que p1 = 0,1, p2 = 0,2 et p3 = 0,3.
2. On lance le dé trois lois de suite. On suppose que les lancers sont deux à deux indépendants.
H
G
F
E
a. Quelle est la probabilité d’obtenir dans l’ordre les nombres 1, 2, 4 ?
b. Quelle est la probabilité d’obtenir trois nombres distincts rangés dans l’ordre croissant ?
3. On lance 10 fois de suite le dé. On suppose les lancers deux à deux indépendants. On note X la variable
aléatoire qui décompte le nombre de fois où le chiffre 4 est obtenu.
a. Pour à 1 ≤ i ≤ 10 , exprimer en fonction de i la probabilité de l’événement (X = i ).
b. Calculer l’espérance mathématique de X. Interpréter le résultat obtenu.
c. Calculer la probabilité de l’évènement (X ≥ 1). On donnera une valeur arrondie au millième.
4. Soit n un entier naturel non nul. On lance n fois le dé, les lancers étant encore supposés indépendants
deux à deux. On note Un la probabilité d’obtenir pour la première fois le nombre 4 au nième lancer.
a. Montrer que (Un) est une suite géométrique et qu’elle est convergente.
D
C
A
B
n
b. Calculer Sn =
∑U puis étudier la convergence de la suite (S ).
i
n
i =1
c. Déterminer le plus petit entier n tel que Sn > 0,999.
2. 9. Centres étrangers
Exercice 2. 113 (5 points, spécialistes)
Exercice 2. 111 (4 points)
Le but de l’exercice est d’étudier certaines propriétés de divisibilité de l’entier 4n−1, lorsque n est un entier
naturel.
Partie A : restitution organisée de connaissances
Prérequis : On rappelle les deux résultats suivants :
75
76
On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat : « si p est un nombre entier et a
un entier naturel premier avec p, alors ap−1 − 1 ≡ 0 mod p ».
Partie A : quelques exemples
1. Démontrer que, pour tout entier naturel n, 4n est congru à 1 modulo 3.
Exercice 2. 115 (5 points)
ABCDEFGH est le cube d’arête 1 représenté sur la feuille annexe qui sera complétée et rendue avec la copie.
L’espace est rapporté au repère orthonormal A ; AB, AD, AE .
(
)
Partie A : un triangle et son centre de gravité
2. Prouver à l’aide du petit théorème de Fermat, que 428 −1 est divisible par 29.
3. Pour 1 ≤ n ≤ 4 , déterminer le reste de la division de 4n par 17. En déduire que, pour tout entier k, le
nombre 44k −1 est divisible par 17.
4. Pour quels entiers naturels n le nombre 4n −1 est-il divisible par 5 ?
28
5. À l’aide des questions précédentes. déterminer quatre diviseurs premiers de 4 −1.
Partie B : divisibilité par un nombre premier
Soit p un nombre premier différent de 2.
1. Démontrer que le triangle BDE est équilatéral.
2. Soit I le centre de gravité du triangle BDE.
a. Calculer les coordonnées de I.
1 b. Démontrer que AI = AG . Que peut-on en déduire pour les points A, I, G ?
3
3. Prouver que I est le projeté orthogonal de A sur le plan (BDE).
Partie B : une droite particulière
1. Démontrer qu’il existe un entier n ≥ 1 tel que 4n ≡ 1 mod p .
2. Soit n ≥ 1 un entier naturel tel que 4n ≡ 1 mod p .Onnote b le plus petit entier strictement positif tel que
Pour tout nombre réel k, on définit deux points Mk et Nk, ainsi qu’un plan Pk de la façon suivante :
* Mk est le point de la droite (AG) tel que AMk = kAG ;
4b ≡ 1 mod p et r le reste de la division euclidienne de n par b.
* Pk est le plan passant par Mk et parallèle au plan (BDE) ;
a. Démontrer que 4r ≡ 1 mod p . En déduire que r = 0.
* Nk est le point d’intersection du plan Pk et de la droite (BC).
1. Identifier P1 , M1 , et N 1 en utilisant des points déjà définis. Calculer la distance M1 N 1 .
n
b. Prouver l’équivalence : 4 −1 est divisible par p si et seulement si n est multiple de b.
3
c. En déduire que b divise p −1.
3
3
3
2. Calcul des coordonnées de Nk.
Exercice 2. 114 (6 points)
a. Calculer les coordonnées de Mk dans le repère
1
On désigne par f la fonction définie sur l’ensemble ℝ des nombres réels par f ( x ) =
.
1 + e− x
On note C la courbe representative de f dans un repère orthonormal (O ; i , j ) , (unité graphique : 5 cm).
Partie A : étude de la fonction f
ex
.
1. Vérifier que pour tout nombre réel x : f ( x ) =
1 + ex
Déterminer les limites de f en −∞ et en +∞ . Interpréter graphiquement les résultats obtenus.
Calculer f ’(x) pour tout nombre réel x. En déduire les variations de f sur ℝ .
Dresser le tableau des variations de f.
Tracer la courbe C et ses asymptotes éventuelles dans le repère (O ; i , j ) .
Partie B : quelques propriétés graphiques.
1. On considère les points M et M’ de la courbe C d’abscisses respectives x et −x. Déterminer les
coordonnées du milieu A du segment [MM’]. Que représente le point A pour la courbe C ?
2. Soit n un entier naturel. On désigne par Dn le domaine du plan limité par la droite d’équation y = 1, la
courbe C et les droites d’équations x =0 et x = n, An désigne l’aire du domaine Dn exprimée en unité d’aire.
a. Calculer An.
( A ; AB, AD, AE ) .
b. Déterniner une équation du plan Pk dans ce repère.
c. En déduire que le point Nk a pour coordonnées (1 ; 3k −1 ; 0).
3. Pour quelles valeurs de k la droite (MkNk) est-elle orthogonale â la fois aux droites (AG) et (BC) ?
4. Pour quelles valeurs de k la distance MkNk est-elle minimale ?

5. Tracer sur la figure donnée en annexe, la section du cube par le plan P1 . Tracer la droite  M1 N 1

2
 2 2
la même figure.
ANNEXE Exercice 4
H
G
F
E
b. Étudier la limite éventuelle de An, lorsque n tend vers +∞ .
Partie C : calcul d’un volume
Soit λ un réel positif, On note V( λ ) l’intégrale
∫
0
−λ
 f ( x )  dx . On admet que V( λ ) est une mesure,
2
exprimée en unité de volume, du volume engendré par la rotation autour de l’axe des abscisses, de la
portion de la courbe C obtenue pour −λ ≤ x ≤ 0 .
1. Déterminer les nombres réels a et b tels que : pour tout nombre réel x,
(
e2 x
ex + 1
)
2
=
aex
bex
+
ex + 1
ex + 1
(
D
)
2
C
.
A
B
2. Exprimer V( λ ) en fonction de λ .
3. Déterminer la limite de V( λ ) lorsque λ tend vers +∞ .
77
3
3 . CONCOURS
78

 sur


3. 1. Concours Fesic 2006
2
Calculatrice interdite ; traiter 12 exercices sur les 16 en 2 h 30 ; répondre par Vrai ou Faux sans
justification. +1 si bonne réponse, −1 si mauvaise réponse, 0 si pas de réponse, bonus d’1 point pour un
exercice entièrement juste.
2
y
1
y
1
C1
C2
x
Exercice 3. 116
x
0
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O ; u, v ) . Soit la fonction f qui, à tout point M
2z +1
.
d’affixe z, z différent de 1, associe le point M’ d’affixe z’ telle que z ' =
z −1
a. f possède deux points invariants conjugués.
-2
-1
0
0
1
2
3
-2
-1
-1
0
1
2
3
-1
-2
-2
b. L’ensemble des points M d’affixes z tels que z ' ∈ ℝ est l’axe des abscisses.
c. L’ensemble des points M d’affixes z tels que z ' = 2 est un cercle.
d. A tout point M’ du plan d’affixe z’, on peut associer un point M d’affixe z tel que f ( M) = M ' sauf au
2
y
2
point M’ d’affixe z ' = 2 .
1
Exercice 3. 117
1
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O ; u, v ) . On considère les complexes z1 de
module 2 et d’argument
a.
b.
c.
z38 × z19
z211
z14 × z27
z36
π
3
, z2 = z1 et z3 = 1 + i .
y
C4
C3
x
0
-2
-1
x
0
1
2
0
3
-2
-1
-1
= 4.
0
1
2
3
-1
-2
-2
est un nombre réel.
( z1 − z3 )
4
= 28 − 16 3 .
d. L’ensemble des points M d’affixe z telles que arg ( z ) = arg ( z3
)
est la droite d’équation y = x .
Exercice 3. 118
b. On considère les trois courbes de la page suivante : la courbe représentant la fonction x → e x +1 est C1.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O ; u, v ) . On considère le point A d’affixe
c. On considère la fonction f représentée
par la courbe (C) ci-dessous et la fonction F
a = 5 − i 3 . On appelle :
définie sur [0 ; 4] par F( x) =
* B le point d’affixe b, image de A par la rotation de centre O et d’angle
π
,
∫
4
x
f ( t)dt .
3
F est croissante sur [0 ; 4].
2
1
( b−a) ,
2
d. On considère les mêmes fonctions f et F
qu’au c.
1
* E le point d’intersection des droites (AD) et (BC).
La fonction F est deux fois dérivable sur
[0 ; 4] et vérifie F '' ( 0 ) = 0 .
3
y
0
* C le point d’affixe c, milieu de [OA],
* D le point d’affixe d donnée par d − c =
a. Le point B a pour affixe b = 3 3 + i .
-1
0
-1
b. D est le milieu de [OB].
-2
c. E est le barycentre de {(B, 1) ; (C, 2)}.
d. La droite (OE) est perpendiculaire à (AB).
-3
Exercice 3. 119
a. La courbe représentant la fonction x → sin ( x ) est la courbe C2.
79
x
0
-2
80
1
2
3
4
5
Ce raisonnement est exact.
6
b. Soit f la fonction définie sur [ 0 ; ln 2 ] par : f ( x) = ( 2 x − 1 ) e x . On appelle (C) la courbe représentative de
y
f dans un repère du plan. On cherche à calculer l’aire de la portion de plan limitée par les droites d’équation
x = 0, x = ln2, y = 0 et la courbe (C).
C1
5
C2
C3
On considère pour cela le raisonnement suivant (et le renseignement ln 2 ≈ 0,7 ) :
4
« La fonction F définie par F( x) = ( 2 x − 3 ) ex est une primitive de f sur [ 0 ; ln 2 ] . F est en effet dérivable sur
[ 0 ; ln 2 ] et
3
On a :
2
∫
F '( x) = 2e x + ( 2 x − 3 ) ex = ( 2 x − 1 ) ex .
ln 2
0
ln 2
f ( x)dx =  ( 2 x − 3 ) e x 
0
= ( 2 ln 2 − 3 ) × 2 − ( −3 ) = 4 ln 2 − 3 ≈ −0, 2 . Comme le résultat est
négatif, c’est que l’aire cherchée est la valeur absolue de ce résultat, soit 0,2 unité d’aire ».
Ce raisonnement est exact.
1
c. Soit f lafonction définie sur ℝ par f ( x) = ( 1 + x ) . On cherche une approximation de f ( 0, 001 ) . On
10
x
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
considère pour cela le raisonnement suivant :
« f est définie et dérivable sur ℝ . Pour x réel, f '( x) = 10 ( 1 + x ) et la courbe représentant f possède une
9
tangente au point d’abscisse 0 d’équation y = xf '(0) + f (0) , soit y = 10 x + 1 . On en déduit que
-1
f (0, 001) ≈ 10 × 0, 001 + 1 , soit f (0, 001) ≈ 1, 01 . »
Ce raisonnement est exact.
Exercice 3. 120
a. Soient f, g et h trois fonctions définies sur ℝ . On suppose que, quel que soit x ∈ ℝ , on a :
f ( x) ≤ g( x) ≤ h( x) , que lim f ( x) = 3 et que lim h( x) = 5 .
x→+∞
x→+∞
Alors g(x) admet une limite quand x tend vers +∞ et cette limite est comprise entre 3 et 5.
−
b. Soit f la fonction définie par f ( x) = e
1
x
pour x ≠ 0 et f ( 0 ) = 0 . On appelle (C) sa courbe représentative
dans un repère du plan. (C) possède une asymptote d’équation x = 0 et lim f ( x) = 0 .
« f est une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont dérivables sur D et dont le dénominateur
ne s’annule pas sur D. On en déduit que f est dérivable sur D.
x2
x
ln x − est une primitive de la fonction f définie par f ( x) = x ln x
2
2
− sin 2 x − cos2 x
1
. Pour tout x ∈ D , on a f '( x) < 0 . Comme le signe de la
=−
sin 2 x
sin2 x
dérivée donne le sens de variation de la fonction, c’est que f est strictement décroissante sur D. »
Pour x ∈ D , on a f '( x) =
x→0
x>0
c. La fonction F définie par F( x) =
d. Soit D l’ensemble des valeurs réelles x telles que sin x ≠ 0 . Soit f la fonction définie sur D par :
cos x
f ( x) =
. On veut prouver que f est décroissante sur D. On considère pour cela le raisonnement
sin x
suivant :
Ce raisonnement est exact.
sur ℝ*+
Exercice 3. 122
d. Soient f la fonction définie par f ( x) = 2 ln x et (C) sa courbe représentative dans un repère du plan.
Soit (E) l’équation différentielle : y '+ 2y = e− x sin x .
(C) possède au point d’abscisse −1 une tangente d’équation y = −2 x − 2 .
Soit f la fonction définie par f ( x) = −
Exercice 3. 121
a. Soit u la suite définie pour tout n∈ ℕ * par un =
∫
n
2
e− t dt . On veut prouver que la suite u est
1
2
« Je choisis m = 0 et M = 1 . Soient n∈ ℕ * et t ∈ [ 1 ; n ] , on a t2 ≥ t , donc 0 ≤ e− t ≤ e− t . Il s’ensuit que
0 ≤ un ≤
∫
n
1
a. f est dérivable sur ℝ et, pour x ∈ ℝ , f '( x) = e− x cos x .
b. Pour n∈ ℕ ,
convergente. On considère pour cela le raisonnement suivant :
n
e− t dt , soit 0 ≤ un ≤  − e− t  , soit enfin 0 ≤ un ≤ e−1 − e− n ≤ 1 . Ceci étant vrai pour tout n∈ ℕ * ,
1
1 −x
e ( cos x − sin x ) .
2
∫
( n+1 )π
nπ
f '( x)dx =
( −1 ) n
2
(
)
e− nπ e−π + 1 .
c. f est l’unique solution de l’équation (E) qui s’annule en 0.
d. Si g est une solution de (E), la courbe représentant g possède une tangente au point d’abscisse 0 dont une
équation est donnée par y = ( 1 − 2 x ) g ( 0 ) .
la suite apparaît bornée par m = 0 et M = 1 .
2
Soit de plus n∈ ℕ * . La fonction t → e− t est continue et positive sur [ 1 ; n ] . un représente donc l’aire de la
portion de plan comprise entre les droites d’équations x = 1, x = n, y = 0 et la courbe représentant cette
fonction. Cette aire augmente quand n augmente, ce qui se traduit par le fait que la suite u est croissante.
Conclusion : u est croissante et majorée par 1 donc la suite u est convergente. »
81
Exercice 3. 123
82
 3x + 2 
Le plan est muni d’un repère orthonormal (O ; u, v ) . Soit f la fonction définie par f ( x ) = ln 
 . On
 5x 
appelle Df l’ensemble de définition de f.
a. Df = ℝ*+ .
x→1
3
c. Quelque soit n∈ ℕ * , si on a n ≥ 2 , alors on aura : 0 ≤ un ≤ 2 ×  
4
n− 2
.
d. La suite u est convergente et de limite nulle.
 −2 
b. Soit g une fonction définie et dérivable sur Dg = ℝ −  0,
 telle que quel que soit x ∈ Dg ,
 3 
3
1
g '( x) =
− . f et g sont égales à une constante additive près.
3x + 2 x
c. lim
b. La suite u est croissante.
f ( x)
2
=− .
x −1
5
d. lim xf ( x) = 0 .
Exercice 3. 128Exercice 13
On considère un espace probabilisé fini
( Ω, p )
dans lequel un événement A a les trois possibilités A1, A2,
et A3 deux à deux distinctes de se produire et un événement B a les deux possibilités B1 et B2 distinctes de
se produire. Le tableau suivant donne en pourcentages la probabilité de certains événements de se produire
par rapport à l’univers Ω .
x→0
x >0
A1
A2
B1
Exercice 3. 124
Soient λ ∈ ℝ*+ et les fonctions f1 et f2 définies sur ℝ par f1 ( x) = e3 x , f2 ( x) = −λ 2 e x + 2λ e2 x . On appelle C1 et
C2 leurs courbes représentatives dans un repère du plan.
B2
On donne aussi les renseignements suivants : p ( A 2 ) = 60 % et pB1
b. Quel que soit λ ∈ ℝ*+ , C1 est au-dessus de C2.
a. A1 et B1 sont incompatibles.
d. Lorsque λ est supérieur à 1, l’aire de la portion du plan comprise entre les courbes C1 et C2 et limitée par
3
.
On considère une suite v strictement croissante dont tous les termes appartiennent à l’intervalle [ 0 ; π ] .
a. La suite v converge vers π .
)
100
1
( A3 ) = .
6
c. Si A3 est réalisé, la probabilité d’obtenir A3 et B1 est 4 %.
d. La probabilité d’obtenir A3 et B1 est 4 % .
Exercice 3. 129Exercice 14
Exercice 3. 125Exercice 10
On définit les suites c et s pour n∈ ℕ par cn = cos ( vn
10
b. La probabilité d’obtenir B1 est 24 % .
c. Il existe un point B en lequel C1 et C2 possèdent la même tangente.
( λ − 1 )2
Total / A
30
Total / B
a. C1 et C2 se coupent au point A ( ln λ ; 3λ ) .
les droites d’équation x = 0 et x = ln λ est, en unités d’aire,
A3
20
Une rampe lumineuse est constituée d’ampoules bleues, rouges ou jaunes provenant de deux usines U1 et
U2. U1 produit 60 % de ces ampoules. La durée de vie en années de chacune de ces ampoules suit une loi
exponentielle dont les paramètres sont les suivants :
et sn = sin ( vn ) .
b. La suite c est croissante.
Ampoules bleues
Ampoules rouges
Ampoules jaunes
Ampoules de U1
λB1 = 0, 25
λR1 = 0, 20
λ J1 = 0,15
Ampoules de U2
λB2 = 0, 20
λR2 = 0,15
λJ2 = 0,10
c. La suite s est périodique.
d. Les suites c et s sont adjacentes si et seulement si la suite v converge vers
π
4
.
Exercice 3. 126
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O ; u, v ) . On considère la suite
i
n∈ ℕ par zn = e
2 nπ
3
et on appelle An le point d’affixe zn .
( zn )
définie pour
(
)
a. La probabilité qu’une ampoule rouge dure moins de 5 ans sachant qu’elle vient de U1 est 0, 6 1 − e−1 .
b. La probabilité qu’une ampoule rouge dure moins de 5 ans est 1 − 0, 6 e−1,25 − 0, 4e−1 .
(
)
(
)
a. Quel que soit n∈ ℕ , An appartient au cercle de centre O et de rayon 1.
c. La probabilité qu’une ampoule jaune dure entre 5 et 10 ans est 0, 6 e−0,75 − e−1,5 + 0, 4 e−0,5 − e−1 .
b. Quel que soit n∈ ℕ , zn+1 − zn = z1 − 1 .
d. La demi-vie en années d’une ampoule jaune de U2 est 4 ln 2 .
c. La suite
( zn )
est périodique de période 5.
Exercice 3. 130Exercice 15
4
d.
∑z
k
Le schéma ci-dessous représente une situation de l’espace dans un repère approprié dont le centre est un
point O. On sait que la droite d est orthogonale au plan P. On appelle A le point de coordonnées
(2 ; −1 ; −2).
= z0 + z1 + ... + z4 = 0 .
k= 0
Exercice 3. 127Exercice 12
1 1 
On considère la suite u définie pour n∈ ℕ * par : u1 = 1 et un+1 =  + 2  un .
n n 
a. Pour n∈ ℕ * , on a un =
n
( n − 1 )!
.
83
84
2
2
 y − x = sin θ
 z − y = cos θ
, Q:
.
Pour θ ∈ ℝ , on désigne par P et Q les plans d’équations respectives P : 
∈
∈
ℝ
ℝ
z
x


On appelle ∆ la droite d’intersection de ces deux plans.
z
a. Pour tout θ ∈ ℝ , les plans P et Q sont orthogonaux.
 z−x =1
b. Pour tout θ ∈ ℝ , la droite ∆ est contenue dans le plan d’équation 
.
 y∈ℝ
d
c. Pour tout θ ∈ ℝ , la droite ∆ est orthogonale au plan d’équation x + y + z = 0 .
d. Il existe un réel θ tel que ∆ soit parallèle au plan (O ; i , j ) .
P
1
3. 2. Concours Fesic 2005
-1
O
1
1
y
Exercice 3. 132
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O ; u, v ) . On considère la fonction f qui, à tout
2
 z 
complexe z non nul, associe le complexe : z ' = f ( z ) = 
 .
 z 
2
Soient z ∈ ℂ − {0} et z ' = f ( z ) . On appelle M le point de coordonnées (x, y) d’affixe z et M’ le point de
coordonnées (x’, y’) d’affixe z’.
x
-2
a. On a x ' =
x 2 − y2
x 2 + y2
et y ' =
2 xy
x2 + y2
.
b. z ' ∈ ℝ si et seulement si M appartient à l’axe des ordonnées.
c. [ f (1 + i) ] est un nombre réel.
8
d. Il existe un et un seul point M tel que M et M’ soient confondus.
Exercice 3. 133
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O ; u, v ) .
Soit m∈ ℝ * . On considère les points A, J, K et M d’affixes respectives z A = 1 + i , z J = i , z K = 2 + i et
z M = 1 + im . Soit N le symétrique de M par rapport à A.
a. Le point N a pour affixe 1 + i(2 − m) .
a. Le plan P a pour équation cartésienne x − y − 2 z − 1 = 0 .
 x = − 2t

b. La droite d a pour équations paramétriques :  y = 1 + 2t , t ∈ ℝ.
 z = 2 + 4t

 x = 2 + 2t

c. La demi-droite [OA) a pour équations paramétriques :  y = −1 − t , t ∈ ℝ.
 z = −2 − 2t

d. La sphère de centre O et de rayon
1
est cachée par P.
2
Exercice 3. 131Exercice 16
L’espace est muni d’un repère orthonormal (O ; i , j , k ) .
85
b. Quel que soit m∈ ℝ * , K est l’image de N par la translation de vecteur JM .
c. Il existe une valeur de m et une seule telle que K soit l’image de J par la rotation de centre M et d’angle
π
2
.
d. Soit m = 2 . Pour prouver que les droites (OA) et (MK) sont perpendiculaires, il faut et il suffit de prouver
que z A ( z K − z M ) = 0 .
Exercice 3. 134
On appelle z le complexe de module 2 et d’argument
2π
1− i
et on pose t =
.
3
2
a. Soit n∈ ℤ . tn est un nombre réel si et seulement si n est un multiple de 4.
b.
π
12
est un argument de
z2
t
3
.
c. La partie réelle de z10 est −29 .
86
d. 1 + t + t2 + ... + t8 = 1 .
Exercice 3. 135
Exercice 3. 137
On considère la courbe (C) ci-dessous, la droite ∆ : x = 2 et l’axe des abscisses étant asymptotes à (C). On
appelle f la fonction représentée par (C) et g la fonction définie par g( x) = ln( f ( x)) .
a. On considère le raisonnement suivant :
x=
7
on
obtient
1 

 1+
 ≥ 1+ n .
n

(
)
lim 1 + n = +∞ ,
Comme
n→+∞
on
en
déduit
que
x→0
e
dérivable sur ℝ + . » Ce raisonnement est exact.
2
c. Soit f la fonction définie sur
 x −1 
D =] − ∞ ; − 1[∪]1 ; + ∞[ par : f ( x) = x ln 
 . On considère le
 x +1 
raisonnement suivant :
1
x
0
-1
n
« f est continue sur ℝ +∗ comme produit de fonctions continues sur ℝ +∗ . De plus, comme
lim( x ln x) = 0 = f (0) , c’est que f est continue en 0. Il s’ensuit que f est continue sur ℝ + et donc est
3
-2
1
b. On considère la fonction f définie sur ℝ + par : f ( x) = x ln x si x > 0 et f (0) = 0 et on considère le
raisonnement suivant :
4
-3
n
1 

lim  1 +
 = +∞ . » Ce raisonnement est exact.
n
∆
-4
≥ 1 + nx . En particulier pour n∈ ℕ * et
k
n→+∞ 
5
-5
n
n
(C)
6
n
∑  k  x
k= 0
y
8
-6
« Pour tout x ∈ ℝ + , et pour tout n∈ ℕ * , (1 + x)n =
0
1
2
3
« f est définie et dérivable sur D car composée par des fonctions définies et dérivables sur D. Pour x ∈ D on
peut écrire : f ( x) = x [ ln( x − 1) − ln( x + 1) ] et on obtient alors
1 
2x
 1
 x −1 
f '( x) = ln( x − 1) − ln( x + 1) + x 
−
.»
 = ln 
+
 x −1 x +1 
 x + 1  ( x − 1)( x + 1)
-1
-2
Ce raisonnement est exact.
a. g est définie sur ] − 2 ; 2[ .
d. Soit P(n) la phrase définie sur ℕ par : « 4n + 1 est divisible par 3. » On considère le raisonnement
suivant :
1
b. g est dérivable en 0 et g '(0) = .
e
Puisque P(n0 ) est vraie, il existe k ∈ ℕ tel que 4n0 + 1 = 3 k .
« Supposons qu’il existe n0 ∈ ℕ tel que P(n0 ) soit vraie. Montrons que P(n0 + 1) est vraie.
(
c. L’équation g( x) = 1 possède exactement deux solutions.
x→0
+ 1 est un multiple de 3 et donc que P(n0 + 1) est vraie. On en déduit que quel que soit
Ceci prouve que
n∈ ℕ , P(n) est vraie. » Ce raisonnement est exact.
4n0
Exercice 3. 136
 π 
a. Soit f la fonction définie sur I =  0 ;  par f ( x) = ln(cos x) − cos(ln x) . f est dérivable sur I et, pour tout
2

1
x ∈ I , f '( x) = − tan x + sin   .
 x
b. Soit x ∈ [ −1 ; 2 ] . On a −
)
On a alors 4n0 +1 + 1 = 4 × 4n0 + 1 = 3 × 4n0 + 4n0 + 1 = 3 × 4n0 + 3k = 3 4n0 + k .
d. lim g g( x) = −∞ .
1 2x + 1
≤
≤1.
2 x2 + 1
1  1 − x2 
ln 
 si x ≠ 0 et f (0) = 0 . On appelle (C) la courbe
x  1 + x2 
représentant f dans un repère orthonormal du plan.
Soit f la fonction définie sur ] −1 ; 1 [ par f ( x) =
a. lim
c. La courbe représentant la fonction x → ln(2 x − 6) dans un repère du plan se déduit de la courbe
représentant x → ln x par une translation d’un vecteur de coordonnées (3, 2).
d. Soit f la fonction définie sur ℝ par : f ( x) = e− x
f '( x) = x  2sin ( π + x ) + x cos ( π + x )  e− x
Exercice 3. 138
2 sin x
2 sin x
. f est dérivable sur ℝ et, pour x ∈ ℝ ,
x →0
f ( x)
= −2 .
x
b. f est dérivable en 0 et f '(0) = 0 .
 x2 − 1 
1
1
c. Pour x ∈ ] −1 ; 1 [ et x ≠ 0 , f   existe et vaut f   = x ln  2
 .
 x
 x
 x +1 
d. Soient g la fonction définie sur ] −1 ; 1 [ par g( x) = f
(
x
)
et ( Γ ) la courbe représentant g dans le même
repère que (C). On déduit ( Γ ) à partir de (C) par une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.
.
Exercice 3. 139
87
88
E désigne la fonction « partie entière ». Soit f la fonction définie sur ℝ + par : f (0) = 0 et f ( x) = x ln x si
Exercice 3. 144
x>0.
Un sondage fait état de l’intérêt d’un certain nombre de personnes sur la lecture de trois revues, appelées A,
B et C. Tous les chiffres cités ci-dessous font référence à ces personnes sondées.
a. lim f E( x) = 0 .
b.
x→ 2
x< 2
∫
4
0
E( x)dx = 6 .
Parmi les personnes interrogées, 75 lisent A, 58 lisent B et 60 lisent C. On sait de plus que 18 lisent A et B,
18 lisent B et C et 15 lisent A et C. Enfin 3 personnes lisent les trois revues et 5 personnes ne lisent aucune
de ces revues.
c. Il existe une et une seule valeur réelle x telle que f ( x) = − x .
d.
∫
e
1
e
f ( x)dx désigne l’aire de la portion de plan située entre les droites d’équation x =
1
, x = e , y = 0 et la
e
courbe (C) représentant f.
a. 150 personnes ont été sondées.
b. 100 personnes lisent une et une seulement de ces trois revues.
Exercice 3. 140
Soit f la fonction définie par f ( x) =
Par ailleurs, et parmi les personnes qui ne lisent que la revue A, 20 sont des femmes ; parmi les personnes
qui ne lisent que la revue B, les deux-cinquièmes sont des femmes ; parmi les personnes qui ne lisent que la
revue C, il ya moitié-moitié d’hommes et de femmes.
∫
x
0
1
1− t
2
c. On interroge au hasard une personne du sexe masculin qui ne lit que l’une des trois revues. Il y a 25 % de
chances qu’il s’agisse d’un homme qui ne lise que la revue A.
dt .
a. f est définie sur ] −1 ; 1 [ .
b. f est croissante sur ] −1 ; 1 [ .
d. On interroge au hasard une personne qui ne lit que l’une des trois revues. Il y a 25 % de chances qu’il
s’agisse d’un homme qui ne lise que la revue A.
c. f (0) = 1 .
d. f est une fonction paire.
Exercice 3. 145
Exercice 3. 141
Pour tout entier n, n ≥ 3 , on désigne par un le nombre de diagonales d’un polygone convexe ayant n côtés.
On appelle u la suite ainsie définie pour n ≥ 3 , de terme général un .
a. u5 = 6 et u6 = 10 .
b. Pour tout entier n, n ≥ 3 , on a un+1 = un + n − 1 .
c. La suite u est une suite arithmétique de raison n − 1 .
n(n − 3)
d. Pour tout entier n, n ≥ 3 , on a : un =
.
2
Exercice 3. 142
On considère les suites u et v définies pour n∈ ℕ par : u0 = 1, v0 = 2, un+1
u +v
u + 2vn
.
= n n , vn+1 = n
2
1+ 2
a. Soit w la suite définie pour n∈ ℕ par : wn = vn − un . La suite w est une suite géométrique de raison
3
− 2.
2
b. Quel que soit n∈ ℕ , un ≤ vn .
c. La suite v est décroissante.
d. Les deux suites u et v convergent et ont la même limite.
Exercice 3. 143
On considère la suite u définie pour n∈ ℕ par : u0 = 0, un+1 =
Soit v la suite définie pour n∈ ℕ par : vn =
3
.
4 − un
un − 1
. On considère enfin la suite w définie pour n∈ ℕ par :
un − 3
wn = ln( vn ) . On admet que u, v, w sont bien définies.
1
.
3 n +1
b. w est une suite arithmétique dont la raison est égale au premier terme.
a. Quelque soit n∈ ℕ , vn =
c. Soit n∈ ℕ ; ln ( v0 × v1 × v2 × ... × vn ) = −(n + 1)(n + 2)ln
d. La suite u est convergente.
89
( 3).
Un feu tricolore de circulation reste 55 secondes au vert et 5 secondes à l’orange, temps pendant lesquels
un piéton ne peut pas traverser. Puis il reste 60 secondes au rouge, temps pendant lequel un piéton peut
traverser. Dans l’exercice, on ne s’intéresse qu’aux seuls piétons qui se présenteraient pour traverser à ce
feu tricolore entre 8 h 00 et 8 h 05.
A 8 h 00, ce feu se met au rouge. On appelle T la variable aléatoire qui donne, en secondes, le temps écoulé
entre 8 h 00 et l’heure d’arrivée devant ce feu d’un piéton qui souhaite traverser. On admet que T suit une
loi uniformément répartie sur l’intervalle [0 ; 300].
a. La densité de probabilité associée à T est la fonction f ainsi définie :
1
si t∈ [0 ; 60[ ou si t∈ [120 ; 180[ ou si t∈ [240 ; 300[ ; f (t) = 0 dans les autres cas.
3
2
b. La probabilité qu’un piéton attende moins de 10 secondes est .
3
2
c. La probabilité qu’un piéton attende plus de 40 secondes est
.
15
d. Entre 8 h 00 et 8 h 05, 10 piétons se présentent à ce feu tricolore. La probabilité que 3 d’entre eux
23
exactement aient attendu moins de 10 secondes est 10 .
3
f (t) =
Exercice 3. 146
L’espace est muni d’un repère orthonormal (O ; i , j , k ) . Soit (D) la droite définie pour t∈ ℝ par :
 x = −3 t + 1

 y = −4t + 3 . Lorsque t∈ [0 ; 1] , l’ensemble des points M de (D) décrivent un segment ; soient A et B les
 z = t+1

extrémités de ce segment, A étant le point dont les coordonnées sont toutes positives. Soit (S) la sphère de
diamètre [AB]. Soient (P) le plan d’équation x − y − z + 3 = 0 et C le point de coordonnées (3, 3, 3).
a. Une équation cartésienne de (D) est
1− x 3 − y
=
= z −1.
3
4
b. Le plan (P) contient la droite (D).
c. Une équation de (S) est donnée par ( x − 1)( x + 2) + ( y − 3)( y + 1) + ( z − 1)( z − 2) = 0 .
d. Soit G le barycentre de {(A, 1) ; (B, −1) ; (C, −1)} (on notera que G existe pusique la somme des
coefficients n’est pas nulle). Le triangle GAC est isocèle.
90
Exercice 3. 147
4. Donner, suivant les valeurs de x appartenant à ] 0 ; + ∞ [ le signe de f ( x ) .
Le schéma ci-dessous représente une situation de l’espace dans un repère approprié.
5. Soit A un réel. On veut déterminer, suivant les valeurs de A, le nombre de solutions de l’équation
f ( x ) = A . Distinguer les différents cas et préciser, pour chacun d’eux, le nombre de solutions appartenant
z
à chaque intervalle ] 0 ; 1 ] , ] 1 ; e ] ou ] e ; + ∞ [ .
Partie B
Soit a un réel strictement positif. On se propose dans cette partie de déterminer tous les réels x,
strictement positifs, qui vérifient l’inéquation ( Ea ) suivante :
B
3
( Ea ) : ax
≤ xa .
1. Justifier que l’inéquation ax ≤ x a est équivalente à l’inéquation f ( a ) ≤ f ( x ) .
2. On suppose dans cette question que a = e .
1
a. En utilisant la partie A, donner l’ensemble des solutions S1 des solutions de l’inéquation
A
O
1
( Ee ) : ex
≤ xe .
b. Sans les calculer, comparer eπ et π e . Justifier la réponse.
-2
2
y
1
3. On suppose dans cette question que 0 < a ≤ 1 . Quel est le signe de f ( a ) ? En utilisant la partie A,
donner l’ensemble des solutions S2 des solutions de l’inéquation
3
( Ea ) : ax
≤ x a en fonction de a.
4. On suppose dans cette question que a > 1 et a ≠ e .
ln a
admet deux solutions a1 et a2 qui
a
vérifient 1 < a1 < e < a2 . On remarquera que l’une des solutions a1 ou a2 est égale à a.
a. En utilisant la partie A, expliquer pourquoi l’équation f ( x ) =
x
On appelle (P) le plan perpendiculaire à (AB) passant par B et on appelle (C) le cône de sommet A et dont la
base est le disque de centre B et de rayon 2.
b. Donner alors l’ensemble des solutions S3 des solutions de l’inéquation
a. Une équation de (P) est : 5 x − y − 2 z + 18 = 0 .
5. Application : on suppose dans cette question que a = 2.
b. La distance de A à (P) est
30 en unités de repère.
c. On considère le raisonnement suivant : « Soit M(x, y, z) un point de l’espace. M appartient à (AB) s’il
 x − 3 = −5t
 x = 3 − 5t


existe t∈ ℝ tel que AM = tAB . Dans ce cas, on a  y − 1 = t . On en déduit  y = 1 + t . »
 z − 1 = 2t
 z = 1 + 2t


( Ea )
en fonction de a1 et a2.
a. Déterminer l’entier naturel n, différent de 2, tel que f ( n ) = f ( 2 ) .
b. En déduire l’ensemble des solutions S4 des solutions de l’inéquation
( E2 ) : 2x
≤ x2 .
Exercice 3. 149 /Exercice 2 (7 points)
Ariane et Benjamin échangent des balles au ping-pong. Soient les événements suivants :
A : « Ariane marque le point », B : « Benjamin marque le point ».
Ce raisonnement donne de façon nécessaire et suffisante une équation paramétrique de la droite (AB).
d. L’intersection de (C) et du plan (yOz) est un disque.
Ariane étant légèrement plus expérimentée que Benjamin, la probabilité qu’elle marque un point est
3. 3. Concours Geipi et ENI 2006
53
.
100
Ils décident d’engager une partie selon les modalités suivantes :
p = P( A) =
Première épreuve (1 h 30), Geipi uniquement
- Le joueur qui gagne un set est le premier qui marque deux points, consécutifs ou non.
Exercice 3. 148 /Exercice 1 (7,5 points)
ln x
On considère la fonction f définie sur ] 0 ; + ∞ [ par : f ( x ) =
. Soit Cf la courbe représentative de f dans
x
un repère orthogonal (O ; i , j ) .
Partie A
Partie A
Dans cette partie on étudie la probabilité pour Ariane de « gagner un set ».
1. Dans un échange de balles, quelle est la probabilité q que Benjamein marque le point ?
1. Calculer lim f ( x ) et lim f ( x ) .
x→0 +
- La partie s’arrête dès qu’un des deux deux joueurs a remporté trois sets, consécutifs ou non. On dit alors
que ce dernier a gagné la partie.
2. Faire un arbre donnant tous les événements élémentaires (au bout de trois points un des deux joueurs a
forcément gagné le set).
x→+∞
2. a. Déterminer la dérivée f’ de f.
b. Dresser le tableau de variation de f sur ] 0 ; + ∞ [ . Préciser f ( 1 ) et f ( e ) .
c. En déduire que f admet un maximum M que l’on précisera.
3. Tracer la courbe Cf. On placera avec soin les points de Cf d’abscisses respectives 1 et e.
91
3. Donner la probabilité P1 qu’Ariane marque les deux premiers points.
4. Donner la probabilité P2 qu’Ariane gagne le set, Benjamin ayant marqué un point.
5. Donner la probabilité P3 qu’Ariane gagne le set. On donnera la valeur exacte et une valeur approchée à
10−3 près.
92
Partie B
Exercice 3. 150 /Exercice 3 (5,5 points)
On étudie maintenant la probabilité pour Ariane de gagner la partie (trois sets gagnés consécutifs ou non).
Tous les sets sont joués dans des conditions identiques et indépendantes. Pour le jeu d’un set, on note les
événements suivants :
On se place dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O ; i , j ) .
Pour tous les vecteurs u et v du plan on note ui v le réel égal au produit scalaire des vecteurs u et v . On
2 considère un vecteur unitaire k du plan, c’est-à-dire tel que k = ki k = 1 et la droite D passant par O et
de vecteur directeur k .
On rappelle qu’un point N du plan appartient à la droite D s’il existe un réel xN tel que ON = xN k .
Pour tout point M du plan on note ρ ( M ) = OMi k .
S : « Ariane gagne le set », E : « Ariane perd le set ».
Partie A
1. Déterminer l’ensemble F de tous les points M du plan qui vérifient ρ ( M ) = 0 .
2. Soit N un point quelconque de la droite D et réel xN tel que ON = xN k . Déterminer ρ ( N ) en fonction
de xN.
Partie B
On considère la transformation f du plan dans lui-même qui, à tout point M, associe le point M’ = f(M)
défini par : OM ' = 2 ρ ( M ) k − OM .
1. Déterminer l’image N’ d’un point quelconque N de la droite D. Justifier la réponse.
2. Soit M un point quelconque du plan, M’ son image par f et IM le milieu du segment [MM’].
a. Exprimer le vecteur OI M en fonction des vecteurs OM et OM ' et montrer que IM appartient à la
droite D.
b. Déterminer ρ ( M ' ) en fonction de ρ ( M ) . On fera le détail du calcul.
On suppose que pour chaque set, les probabilités de ces événements sont :
P = P ( S ) = 0, 545 et Q = P ( E ) = 0, 455 .
1. Finir le dessin de l’arbre des événements élémentaires et le compléter.
c. En déduire l’image M '' = f ( M ' ) de M’.
d. Montrer que le vecteur MM ' est orthogonal à k .
3. En déduire la nature de la transformation f.
2. Donner en fonction de P la probabilité T1 qu’Ariane gagne les trois premiers sets.
3. Donner en fonction de P et Q, la probabilité T2 qu’Ariane gagne la partie, Benjamin ayant remporté un
set.
4. Donner en fonction de P et Q, la probabilité T3 qu’Ariane gagne la partie, Benjamin ayant remporté deux
sets.
5. a. Donner en fonction de P et Q, la probabilité T qu’Ariane gagne la partie.
b. Donner une valeur approchée à 10−3 près de la probabilité T.
Deuxième épreuve Geipi et ENI (45 minutes)
QCM, 5 réponses proposées, une seule réponse est correcte sur les cinq. Chaque bonne réponse vaut 1
point. Une réponse fausse ou multiple coûte 0,25 point.
6. a. Déterminer en fonction de P et Q, la probabilité H qu’Ariane gagne la partie, sachant que Benjamin a
remporté le premier set.
Exercice 3. 151 /Question 1
b. Donner une valeur approchée à 10−3 près de la probabilité H.
On considère l’équation différentielle avec condition initiale suivante :
Partie C
On suppose maintenant que chaque joueur gagne 10 euros pour chaque set gagné et perde 10 euros pour
chaque set perdu. Ariane et Benjamin engagent une partie dans les mêmes conditions que précédemment.
On note GA la variable aléatoire représentant le gain d’Ariane à la fin de la partie et GB la variable aléatoire
représentant le gain de Benjamin à la fin de la partie. Ces gains peuvent être positifs ou négatifs.
1. Donner le tableau représentant la loi de probabilité de GA. On donnera les probabilités en fonction de P
et Q.
2. Donner une valeur approchée à 10−3 près de l’espérance de gain E(GA) d’Ariane à l’issue de la partie.
3. Donner en fonction de E(GA) l’espérance de gain E(GB) de Benjamin.
93
A. (E) admet pour solution y : x ֏ 2e− x + 1 .
1
1

 y' = − y+
4
2.
 y( 0 ) = 3

( E)
−
B. (E) admet pour solution y : x ֏ Ce
1
x
4
+
1
où C
2
est un réel quelconque.
C. (E) admet pour solution y : x ֏
un réel quelconque.
1
x
Ce 4
−
+ 3 où C est D. (E) admet pour unique solution y : x ֏ e
−
E. (E) admet pour unique solution y : x ֏ −2e
1
x
4
+4.
94
1
x
4
+2.
Exercice 3. 152 /Question 2
E. La différence entre deux solutions distinctes de (E) est toujours égale à 2kπ , k entier relatif.
1

Dire quel est l’ensemble S des solutions de l’inéquation suivante : 2 ln ( 2 − x ) − ln  x +  ≤ 3 ln 2 .
2

Exercice 3. 159 /Question 9
A. S = [ 0 ; 2 [ .
 1 
B. S =  − ; 2  .
 2 
 1 
D. S =  − ; 0  ∪ ] 2 ; 12 ] .
 2 
C. S = [ 0 ; 12 ] .
 1 
E. S =  − ; 0  .
 2 
Exercice 3. 153 /Question 3
vn =
Une urne contient six boules dont cinq boules rouges et une boule noire. On effectue au hasard des tirages
successifs et sans remise d’une boule et on s’arrête dès qu’on a tiré une boule noire. Quelle est la probabilité
P d’avoir à effectuer six tirages avant de s’arrêter ?
B. P =
A. P = 1 .
Soit la suite
5
.
6
C. P =
1
36
D. P =
1
E. P =
66
1
.
6
( un )n∈ℕ
 u0 = 0

définie par 
2un + 3 pour tout n entier naturel. La suite
 un+1 = u + 4

n
( vn )n∈ℕ
définie par
un − 1
est une suite géométrique de raison q. Que vaut q ?
un + 3
A. q =
3
.
4
B. q = 2 .
1
.
3
C. q = −
D. q =
1
.
5
E. q = −2 .
Exercice 3. 160 /Question 10
Voici la courbe représentative d’une fonction f dans le plan muni d’un repère orthogonal.
Exercice 3. 154 /Question 4
Dire quel est l’ensemble S des solutions complexes de l’équation suivante : 2 z + 5 z = 7 + i .
3+i 
A. S = { a + i, a ∈ ℝ } . B. S = 
.
 3 
3−i
C. S = 

 3 
3+i 3−i 
;
D. S = 
.
3 
 3
b


E. S =  1 − i, b ∈ ℝ  .
3


Exercice 3. 155 /Question 5
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère le plan P d’équation 2 x + y + z = 13 . Le point A a
pour coordonnées ( 1, 0, 1 ) et le point B a pour coordonnées ( 2, 1, 3 ) . La droite (AB) et le plan P admettent
pour intersection :
B. Le point
A. Le point
I ( 0, 8, 5 ) .
D. f '( x) =
C. Le point
I ( 3, 2, 5 ) .
D. L’ensemble vide.
I ( 1, 1, 2 ) .
E. La droite (AB).
Exercice 3. 156 /Question 6
e2 1
+ .
2 4
e2 + 1
C. I =
4
B. I = 0 .
∫
x ln xdx . Quelle est la valeur de I ?
1
D. I = −
1
4
E. I = 1 .
2
.
x +1
(
C. f '( x) =
.
x2 − 1
( x2 + 1 )
2
.
)
E. lim f ex − 1 = 0 .
x→+∞
Exercice 3. 161 /Exercice 1 (3,5 points)
ex − e− x
Soit la fonction g définie sur ℝ par g ( x ) = x − x . On note Cg sa courbe représentative dans le plan
e +e
rapporté à un repère orthonormal (O ; i , j ) .
1. Montrer que g est impaire.
Soit la fonction définie sur ℝ par g ( x ) = ( 3 − 2 x ) e− x . Parmi ces cinq expressions, laquelle correspond à
une primitive de g ?
)
A. G( x) = −3 x + x2 e− x . B. G( x) = ( 2 x − 1 ) e− x .
C. G( x) = ( 2 x − 5 ) e− x
D. G( x) = ( 5 − 2 x ) e− x
2. a. Montrer que, pour tout réel x, on a g ( x ) =
1 − e−2 x
1 + e−2 x
.
b. Calculer lim g ( x ) . Justifier la réponse.
x→+∞
3. a. Déduire de ce qui précède que Cg admet une droite asymptote ∆1 au voisinage de +∞ .
E. G( x) = ( 1 − 2 x ) e− x .
b. En utilisant la question 1., déduire que Cg admet une droite asymptote ∆ 2 au voisinage de −∞ dont on
donnera une équation.
Exercice 3. 158 /Question 8
On considère l’équation (E) : cos x = − sin x . Une de ces cinq affirmations est exacte. Laquelle ?
 3π
A. (E) admet une solution dans 
; 2π
 2
C. (E) admet pour solution −
( x2 + 1 )
x3
2
e
Exercice 3. 157 /Question 7
(
1 − x2
B. f ( x) =
Troisième épreuve Geipi et ENI (45 minutes)
Une intégration par parties permet de calculer l’intégrale I =
A. I =
A. La dérivée f‘ de f est impaire.

 .
B. (E) admet quatre solutions dans [ 0 ; 2π ] .
3π
dans [ −π ; 0 ] .
4
D. (E) a deux solutions opposées dans [ −π ; π ] .
4. a. Montrer que pour tout réel x, ona g ( x ) < 1 .
b. Indiquer alors la position de la courbe Cg par rapport aux deux asymptotes ∆1 et ∆ 2 .
5. a. Déterminer g’(x), où g’ désigne la dérivée de g.
b. Donner le tableau de variation de g sur ℝ .
6. Déterminer une équation de la tangente T0 à la courbe Cg au point d’abscisse 0.
95
96
7. Tracer Cg, les asymptotes ∆1 et ∆ 2 et la tangente T0.
Exercice 3. 164
Exercice 3. 162 /Exercice 2 (6,5 points)
Soit f la fonction définie sur ℝ par f ( x) = ln e2 x − ex + 1 . Soit C sa courbe représentative dans un repère
On se place dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal (O ; u, v ) .
orthonormal du plan.
(
)
1. Vérifier que f est bien définie sur ℝ .
Partie A
2. Déterminer les limites de f en −∞ et +∞ .
On considère la transformation T qui, à tout point M du plan P, d’affixe z, associe le point M’ d’affixe z’
2
2
iz +
.
défini par : z ' =
2
2
4. Déterminer la fonction dérivée f’ de f et étudier son signe sur ℝ .
1. Déterminer sous forme algébrique l’affixe b de l’unique point invariant B par T.
5. Dresser le tableau de variation de f.
2. On suppose que M est différent de B et on pose Z =
z '− b
.
z−b
a. Déterminer le réel R tel que Z = iR .
3. Montrer que la courbe C admet deux asymptotes dont l’une est la droite d’équation y = 2 x .
6. Construire la courbe C, en précisant al tangente au point d’abscisse 0.
Exercice 3. 165
Un dictionnaire comporte n pages.
b. Déterminer un argument et le module de Z.
BM, BM ' et une expression de la distance BM’ en fonction de BM.
1. Dans ce dictionnaire on choisit une page.
Partie B
a. Si on choisit la page 1, exprimer la moyenne M1 des numéros des pages restantes en fonction de n.
c. En déduire une mesure de l’angle
(
)
La moyenne des numéros de toutes les pages restantes est 1 000,743.
Soit α un nombre complexe et Aα le point d’affixe α . On considère la transformation Tα qui, à tout
b. Si on choisit la page n, exprimer la moyenne Mn des numéros des pages restantes en fonction de n.
2
2
point M du plan P, d’affixe z, associe le point M’ d’affixe z’ défini par : z ' =
( α + i ) z + ( 1−α ) .
2
2
c. Déterminer alors les valeurs possibles pour n.
1. On suppose dans cette question que α = 2 − i .
a. Déterminer l’affixe du vecteur MM ' .
b. En déduire que T
Exercice 3. 166
est une transformation géométrique simple dont on donnera les éléments
2 −i
2. On choisit la page numérotée i. Calculer la moyenne Mi des numéros des pages restantes. En déduire le
numéro de la page choisie et le nombre de pages de ce dictionnaire.
caractéristiques.
2. a. Il existe une valeur α1 pour laquelle Tα1 est une rotation de centre O. Quelle est cette valeur ?
b. Déterminer alors l’angle θ1 de la rotation Tα1 .
On désigne par ABCD un carré de côté a, par Γ le demi-cercle de diamètre [CD] intérieur à ce carré et par
O le milieu du segment (CD].
Soit M le point de contact de la tangente, autre que la droite (AD), menée de A à Γ et N le point où cette
tangente coupe la droite (BC).
1. Démontrer que les droites (OA) et (ON) sont les bissectrices respectives des angles de sommet O des
triangles DOM et COM.
En déduire la nature du triangle AON.
2. Calculer les distances AM, AO, AN, MN et NC en fonction de a.
3. La droite(OM) coupe la droite (BC) en un point E. On pose BE = b.
3. 4. Concours EPF 2005
Quatre exercices à choisir sur les cinq proposés : - les numéros 1 et 2 sont obligatoires, - il suffit de choisir deux autres
exercices parmi les numéros 3, 4 et 5. Les quatre exercices peuvent être traités dans n’importe quel ordre.
a. Démontrer que l’on a EM = b.
b. En calculant de deux façons différentes l’aire du triangle AEN, déterminer EN en fonction de b.
c. Déduire des questions précédentes une relation entre a et b, puis b en fonction de a.
Exercice 3. 163
On considère le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct. A tout nombre complexe z
z +1
.
différent de i, on associe le nombre complexe Z défini par Z =
z−i
On pose z = x + iy où x et y désignent les parties réelle et imaginaire de z.
A
D
1. Calculer en fonction de x et y la partie réelle et la partie imaginaire de Z.
2. Déterminer l’ensemble E1 des points du plan complexe tels que Z soit réel.
3. Déterminer l’ensemble E2 des points du plan complexe tels que Z soit imaginaire pur.
4. Soit A le point d’affixe −1 et B le point d’affixe i. Déterminer l’ensemble E3 des points du plan tels que
arg Z soit égal à
π
2
ou −
π
2
.
5. Tracer les ensembles E1, E2 et E3.
C
B
97
98
Exercice 3. 167
4. 1. Suites
(
−x
On considère la fonction f définie sur ℝ par f ( x) = 2e ln 1 + e
x
) . Le graphique ci-dessous, obtenu à l’aide
d’un ordinateur, donne la courbe représentative Γ de f dans un repère orthonormal.
4
Suites arithmétiques : 1er terme u0 ; un+1 = un + a ; un = u0 + na ou un = u1 + (n − 1)a ; diverge.
Sn =
y
(nbre de termes)(1°terme+dernier terme)
2
; 1 + 2 + ... + n =
n( n + 1 )
Suites géométriques : 1er terme u0 ; un+1 = bun ; un = u0 b
3
b ≠ 1 , Sn = u0 (1 + b + b2 + ... + bn ) = u0
2
n
.
ou un = u1bn−1 ; converge vers 0 si b < 1 ; si
1
1 − bn+1
tend vers u0
si b < 1 ; si b = 1 , Sn = u0 (n + 1) .
1− b
1− b
Suites arithmético-géométriques (souvent rencontrées en Probabilités) : un+1 = aun + b .
2
Chercher le point fixe u tel que u = au + b ; en soustrayant on obtient
un+1 − u = a(un − u) ⇒ un − u = an (u0 − u) .
1
En général :
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
x
-1
D’après le graphique on peut émettre trois conjectures :
(A) : « La fonction f est strictement croissante sur ℝ ».
(B) : « La courbe Γ admet deux asymptotes d’équations respectives y = 0 et y = 2 ».
(C) : « La courbe Γ admet un centre de symétrie ».
* (un) est strictement croissante (décroissante = <) si un+1 > un , soit un+1 − un > 0 ou
un+1
> 1 si un > 0 .
un
* (un) majorée s’il existe M réel tel que un < M pour tout n, minorée s’il existe m réel tel que m < un pour
tout n.
* (un) converge vers une limite l si on peut trouver une suite vn dont on est sûr qu’elle converge vers 0
(suites géométriques ou fonctions de n tendant vers 0 à l’infini) et une constante k positive telles que
un − l ≤ kvn pour n suffisamment grand (en fait il se peut que la relation ne soit pas vérifiée jusqu’à n=100
par exemple, mais si elle l’est après c’est bon).
On suppose que l’on a démontré les conjectures (A) et (B) et on s’intéresse à la conjecture (C).
1. Si le centre de symétrie de Γ existe, quelle est son ordonnée ? On justifiera la réponse.
2. Montrer que l’équation f(x) = 1 admet une unique solution, notée α . Un tableur permet d’obtenir le
tableau suivant :
x
f(x)
−0,922
0,9998
−0,921
1,0002
Donner, en le justifiant, un encadrement de α . Que peut-on en déduire pour le centre de symétrie s’il
existe ?
3. Montrer que le point S, de coordonnées (a ; b) est centre de symétrie de la courbe Γ si et seulement si
pour tout réel x, on a f ( a + x) + f ( a − x) = 2b .
4. Calculer f(0).
Soit g la fonction définie sur ℝ par g( x) = f ( x) + 2 ln 2 . Un tableur permet d’obtenir le tableau suivant :
x
g(x)
−1,844
2,0161
−1,843
2,0165
−1,842
2,0168
Montrer que f (2α ) + f (0) ≠ 2 .
Que peut-on en déduire pour l’existence d’un centre de symétrie pour Γ ?
4 . RESUME DE COURS
* Toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge. Si la suite est
définie par un+1 = f (un ) et que la fonction f est continue, la limite dans ces cas là est toujours solution de
l’équation f ( x) = x .
* Deux suites (un ) et ( vn ) sont adjacentes si elles vérifient les conditions suivantes :
u ≤ v
n
 n
 un croissante, vn décroissante ;
 lim v − u = 0
(
)
 n→∞ n n
deux suites adjacentes convergent vers la même limite.
4. 2. Analyse
Lorsque l’ensemble de définition de f est symétrique :
* f(–x) = f(x) : f est paire, symétrie par rapport à Oy ;
* f(–x) =−f(x) : f est impaire, symétrie par rapport à O ;
* f est continue en x0 ssi f ( x0 ) existe et lim f ( x) = f ( x0 ) .
x→ x0
f ( x) − f ( x0 )
f ( x0 + h) − f ( x0 )
* Nombre dérivé en x0 : lim
= lim
= f '( x0 ) ; (si le résultat est infini : tangente
x→ x0
h→ 0
x − x0
h
verticale).
* Tangente en x0 : y = f '( x0 )( x − x0 ) + f ( x0 ) .
* Si f’’(x0) ≥ 0, la courbe est au-dessus de sa tangente en x0 ; si f’’(x0) ≤ 0, la courbe est en dessous de sa
tangente.
* f et g ont des courbes asymptotes ssi lim( f ( x) − g( x)) = 0 ; leurs positions respectives dépendent du signe
∞
de f(x) – g(x).
99
100
Fonction exponentielle de base a : ax = e x ln a ( a > 0 ) ; on a alors la dérivée de uα (= eα ln u ), α ∈ ℝ* qui est
* Quelques limites :
: lim xα = 0 ; α < 0 : lim xα = +∞
α >0
x →0
sin h
=1
h→ 0 h
* lim
α .u′uα −1 .
x→0
 ( 1 + h )α = 1 + α h + hε ( h )
* 
 lim ε ( h ) = 0
 h→0
(α ≠ 0 )
4. 4. Logarithme
.
On peut définir la fonction ln comme l’unique primitive de la fonction 1/x s’annulant lorsque x = 1 :
x1
ln x =
dt (x > 0) ou comme fonction réciproque de la fonction exponentielle :
1 t
∫
* A l’infini un polynôme se comporte comme son terme de plus haut degré.
fonction
dérivée
fonction
dérivée
x n , n∈ ℚ*
nx n−1
un , n∈ ℚ*
nu ' un−1
u+v
u’+ v’
uα , α ∈ ℝ*
α .u′uα −1
ku, k réel
ku’
u v
v '.( u ' v)
u.v
u’.v+u.v’
u−1
1/ u ' u−1
u'
2 u
cos u
– u’ sin u
u'
u2
sin u
u’ cos u
u ' v − uv '
v2
tan u
u '(1 + tan2 u)
u
1
u
−
u
v
si x ∈ ] −∞, + ∞ [ et y ∈ ] 0, + ∞ [ , y = exp x = e x équivaut à x = ln y .
La fonction ln(u) n’existe que si u > 0.
a
1
= ln a − ln b ; ln   = − ln( a) ; ln( an ) = n ln a . ln1 = 0 ;
b
 a
ln e = 1 (e vaut environ 2,7183…). lnx est positif lorsque x > 1, négatif lorsque x < 1.
ln ( 1 + h )
Limites : lim ln x = +∞ ; lim ln x = −∞ ; lim x n ln x = 0 − ; lim
=1 .
x→+∞
x→0
x→0
h→0
h
ln x
Croissance comparée : lim α = 0 .
x→+∞ x
u'
; comme u est très souvent positif, le signe de la dérivée est alors celui de u’.
La dérivée de ln u est
u
Primitive : xlnx − x (s’obtient par IPP : u’ = 1, v = lnx).
Propriétés algébriques : ln ab = ln a + ln b ; ln
Pour la dérivabilité on revient à la définition s’il y a un problème avec les formules de base : c’est toujours
u'
le cas lorsque la fonction comporte une racine puisque la dérivée de u est
: si u s’annule en x = a, la
2 u
f ( x) − f ( a)
dérivée n’est alors pas définie pour x = a. On calcule alors lim
(avec éventuellement x > a,
x→ a
x−a
x < a) ; si le résultat est fini on a le coefficient directeur de la tangente, si le résultat est infini on a une
(demi) tangente verticale.
Logarithme décimal (souvent employé en Physique) : log x =
4
ln x
.
ln10
logarithme
2
x
0
0
1
2
3
4
5
-2
4. 3. Exponentielle
e , k constante réelle, est solution de l’équation différentielle (E) y ' = ky avec y(0) = 1.
kx
-4
n
t

On en déduit grâce à la méthode d’Euler que lim  1 +  = et pour tout t réel.
n→+∞ 
n
-6
-8
Ceci montre également que ex > 0 pour tout x réel. Grâce à la résolution de (E) on obtient que ( e x )' = ex et
grâce à la formule de dérivation des fonctions composées (la dérivée de u v est v '.( u ' v) ) que la dérivée de
eu est u′ eu .
L’exponentielle est continue, croissante et bijective de ℝ vers [0 ; +∞ [. Sa réciproque est la fonction
logarithme néperien, ce qui donne : si x ∈ ] −∞ ; + ∞ [ et y ∈ ] 0 ; + ∞ [ , y = exp x = e x équivaut à x = ln y (on
peut remplacer les égalités par des inégalités).
Propriétés algébriques : e a+ b = e a e b ; e a− b =
Limites :
lim e x = +∞ ;
x→+∞
lim e x = 0 ;
x→−∞
ea
eb
( )
; ea
b
= e ab ; e− a =
eh − 1
=1 ;
h→0 h
lim
lim xα e x = 0 .
x→−∞
101
1
;
ea
ea = e a / 2 .
ex
= +∞ ;
x →+∞ xα
α > 0 : lim
-10
4. 5. Equations différentielles
Une équation différentielle est une équation liant une fonction inconnue (notée généralement y) et ses
dérivées (y’, y’’, …). On dira que l’équation est linéaire et du premier ordre si on peut l’écrire
y '+ P( x)y = Q( x) . L’équation est sans second membre si Q(x) = 0.
Par la suite k, k’, C désigneront des constantes, x la variable.
lim xα e − x = 0
x→+∞
k'
+ Cekx .
k
D’une manière générale si on a une équation différentielle (E) et que l’on nous donne une fonction f dont
on demande si elle est solution, il suffit de calculer les dérivées nécessaires de f, de remplacer et de vérifier
que f satisfait (E) (on arrive alors à une égalité du style 0=0).
* Equation y ' = ky : sol. y = Cekx .
ou
* Equation y ' = ky + k ' : sol. y = −
102
Pour la résolution d’une équation linéaire avec second membre on résout l’équation sans second membre,
ce qui donne une solution f, on cherche une solution particulière u de l’équation complète, la solution
générale sera alors la somme de f et u.
4. 7. Nombres complexes
En général une constante d’intégration apparaît (C dans les équations précédentes) ; on peut obtenir cette
constante si l’on connaît une valeur initiale de y (en général y(0), parfois y’(0)) : on remplace x par 0 et y
par y(0) et on en déduit C.
Algébrique z = x + iy ;
y( x + h) − y( x)
en
h
choisissant un pas h suffisamment petit (par ex. h = 0,01 mais cela dépend du contexte…). Connaissant
alors y(0) par exemple on en déduit y1 = y(h), y2 = y(2h), y3 = y(3h)… ce qui donne deux suites : xn = nh et
yn = ϕ( yn−1 ) . Ces suites sont les coordonnées d’une suite de points que l’on peut tracer ; on a alors une
approximation de la courbe solution. Cette méthode n’est pas très précise (en fait ça dépend du pas h
choisi mais également de la fonction y), aussi on ne peut l’utiliser que sur un nombre de pas limité. Par
contre on peut éventuellement remplacer h par 1/n et faire tendre n vers l’infini, ce qui peut donner la
limite de certaines suites (là ça devient plus compliqué). Exemple type : ex est solution de y’ = y et
Résolution approchée : on utilise souvent la méthode d’Euler qui consiste à remplacer y’ par
n
x

y(0) = 1, ce qui nous donne la suite y(n) =  1 +  qui a donc pour limite ex lorsque n tend vers l’infini.
n

4. 6. Intégration
Formules
fondamentales : Si F est une primitive de f, alors
Si g( x) =
∫
x
∫
b
a
a
Intégration
d’une inégalité :
∫
b
a
f (t)dt ≤
∫
g(t)dt .
Linéarité :
b
a
a
∫ [ α f (t) + β g(t) ] dt = α ∫
f ( t)dt + β
∫
Valeur moyenne de f sur [ a ; b ] :
1
b−a
∫
f ( t)dt ≤ M ( b − a ) .
∫
b
f (t)dt ≥ 0 .
a
g( t)dt .
∫
b
a
uv′dt = [ uv ] a −
b
∫
b
f
ln u
u’ u , n∈ ℚ − {−1}
u ' eu
eu
eax + b
1 ax+ b
e
a
u’ cos u
sin u
u’ sin u
− cos u
u’ tan u
∫ ln( x + a)dx =
( x + a)ln x − x
ln cos u
primitive de f
*
P(x)
(
1 iθ
e + e− iθ
2
);
sin θ =
(
1 iθ − iθ
e −e
2i
)
(pas au programme).
Algèbre : a, b, c réels, a ≠ 0 , ∆ = b2 − 4ac . L’équation P(z) = az 2 + bz + c = 0 admet :
∆ > 0 : deux solutions réelles ; z1 =
−b + ∆
−b − ∆
; z2 =
;
2a
2a
−b
;
2a
− b + i −∆
−b − i −∆
; z2 =
.
2a
2a
b
c
. Produit des racines : z1 z2 = .
a
a
( )
Formule de Moivre : ∀n ∈ ℕ* , eiθ
1 α
i
ρ ne n
2kπ
n
n
= einθ ou ( cos θ + i sin θ
)n = cos nθ + i sin nθ .
où k = 0, 1, 2, ..., n − 1 ; uk = 1 ; les solutions de z n = a où a = ρ eiα sont
(hors programme mais parfois utile).
Opérations algébriques
primitive de f
ln u
cos θ =
Formules d’Euler :
zk = z0 uk , où z0 =
u′vdt .
a
u'
u
n
θ
y
 y
OQ = y = Im ( z ) = ρ sin θ ; tan θ = ⇒ θ = arctan  [π ] .
x
 x
i
Intégration par parties (IPP) :
f ( t)dt .
ρ
v
u
Racines nièmes de l’unité : uk = e
a
a
OM = ρ = z = x2 + y2 ;
Q(y)
Trigonométrie
Positivité : Si a ≤ b et f ≥ 0 , alors
b
b
f
Principales
primitives :
b
a
est le
OP = x = Re ( z ) = ρ cos θ ;
Somme des racines : z1 + z2 = −
a
∫
ρ
Factorisation : az 2 + bz + c = a ( z − z1 ) ( z − z2 ) .
b
Si a ≤ b et m ≤ f ≤ M , alors m ( b − a ) ≤
module, θ est l’argument de z.
OM = xu + yv ;
∆ < 0 : 2 solutions complexes conjuguées ; z1 =
f ′(t)dt .
a
Si a ≤ b et f ≤ g , alors
b
∫
x
M(z)
z = ρ ( cos θ + i sin θ ) = ρ eiθ , ρ > 0 ;
Trigonométrique
∆ = 0 : z1 = z2 =
f (t)dt = F(b) − F( a) .
f (t)dt , alors g′( x) = f ( x) et f ( x) − f ( a) =
Définitions et Formes
1
n+1
n+1
u
Somme : z + z ′ = ( x + iy ) + ( x′ + iy′ ) = ( x + x′ ) + i ( y + y′ ) ;
Produit : z ⋅ z ′ = ( x + iy ) ⋅ ( x′ + iy′ ) = ( xx′ − yy′ ) + i ( xy′ + x′y ) .
Conjugué : z = x + iy = ρ eiθ , z = x − iy = ρ e− iθ ; z + z ′ = z + z ′ , zz ′ = z ⋅ z ′ .
Inverse :
−y
1 z
z
x
1
1
1
2
=
=
= 2
+i 2
= e− iθ ; x = ( z + z ) ; y = ( z − z ) ; zz = x2 + y2 = z .
2
z zz
2
2i
x + y2
x + y2 ρ
z
(
Puissance : z n = ρ eiθ
)
n
= ρ n einθ , n∈ ℤ .
(
)(
)
′
Module et argument d’un produit : z ⋅ z ′ = ρ eiθ ⋅ ρ ′eiθ ′ = ρρ ′ei ( θ +θ ) ; zz ′ = z ⋅ z′ ;
arg( z. z ') = arg( z) + arg( z ')[2π ] .
Module et argument d’un quotient :
103
z
z
z
ρ eiθ
ρ
z
′
=
= ei( θ −θ ) ;
=
; arg( ) = arg( z) − arg( z ')[2π ] .
z ′ ρ ′eiθ ′ ρ ′
z′
z′
z'
104
Homogénéité : Lorsqu’on multiplie ou divise tous les coefficients du système A1(α1 ), A2 (α 2 ),... An (α n ) par
un même réel non nul, le barycentre ne change pas.
Géométrie
Vecteur AB : affixe b − a.
 c− a 
Angle de deux vecteurs : ( AB, AC ) = arg 
.
 b−a 
Associativité : dans le système A1(α1 ), A2 (α 2 ),... An (α n ) , on peut regrouper certains points et les remplacer
par leur barycentre affecté de la somme des poids correspondants (à condition que cette somme ne soit pas
nulle).
Distance de deux points : AB = b − a .
Caractérisations barycentriques
Equation d’un cercle : M(z) est sur le cercle de centre A(a) et de rayon r si z − a = r (et réciproquement).
Translation de vecteur u( a) : z → z '/ z ' = z + a .
Rotation de centre Ω(ω ) d’angle θ : z → z '/ z '− ω = eiθ ( z − ω ) .
La droite (AB) est l’ensemble des barycentres des points A et B : on divise par α + β et on pose t =
alors α AM + β BM = 0 ⇔ ( 1 − t ) AM + tBM = 0 ⇔ AM = tAB ;
β
,
α +β
si t est un réel quelconque, M est un point quelconque de (AB),
Homothétie centre Ω(ω ) , rapport k : z → z '/ z '− ω = k( z − ω ) .
si t∈ [0 ; 1] M est un point du segment [AB].
Similitude directe (spécialité) : z → z '/ z ' = az + b .
Le plan (ABC) est l’ensemble des barycentres des points A, B, C.
iθ
S(Ω(ω ), k, θ ) : z → z '/ z '− ω = ke ( z − ω ) ; Ω(ω ) est le centre et donc l’unique point invariant ;
Le triangle (ABC) est l’ensemble des barycentres des points A, B, C affectés de coefficients de même signe.
avec θ = 0 : homothétie, avec k = 1 : rotation.
Similitude indirecte (spécialité) :
z → z '/ z ' = az + b : s’il existe des points invariants c’est une réflexion sinon c’est la composée d’une
similitude directe et de la réflexion d’axe (Ox) ( z → z ).
Construction
Utiliser AG =
β AB pour deux points ; au-delà de deux points utiliser l’associativité. Eviter au
α +β
maximum d’utiliser la définition.
Caractérisation des réels et des imaginaires purs :
z ∈ ℝ ⇔ Im( z ) = 0 ⇔ arg( z) = 0[π ] ;
z ∈ iℝ ⇔ Re( z) = 0 ⇔ arg( z ) =
Inégalité triangulaire :
π
2
4. 9. Géométrie de l’espace
[π ] (à savoir : arg( i) =
π
2
Nous ne revenons pas sur les propriétés semblables à celles du plan : barycentres, colinéarité, orthogonalité,
distances, etc. Quelques méthodes de base et quelques formules.
).
z − z ′ ≤ z + z′ ≤ z + z ′ .
1. Trouver un vecteur normal à un plan passant par trois points A, B et C : on construit les vecteurs
u = AB = ( a ; b ; c) et v = AC = ( a ' ; b ' ; c ') ; on cherche donc n = ( x ; y ; z ) tel que u.n = ax + by + cz = 0 et
v.n = a ' x + b ' y + c ' z = 0 ; comme on a un système à deux équations et trois inconnues, deux des variables
Produit scalaire : p = z. z '+ z . z ' .
4. 8. Barycentre
Sauf indication contraire toutes les propriétés énoncées dans cette fiche sont valables dans le plan ou dans l’espace
voire des espaces de dimensions supérieures…
s’expriment en fonction de la troisième, par exemple z ; mettons que l’on ait x = 3 z , y = 2 z , on a alors
n = (3 z ; 2 z ; z) = z(3 ; 2 ; 1) ; tous les vecteurs colinéaires à (3 ; 2 ; 1) sont normaux au plan (ABC).
Définitions
Étant donnés n points A1, A2, …, An pondérés par n réels de somme non nulle α1 ,α 2 ,...,α n , on appelle
barycentre
du
système :
α1 GA1 + α 2 GA2 + ...α n GAn = 0 .
A1(α1 ), A2 (α 2 ),... An (α n )
l’unique
point
Lorsque tous les coefficients sont égaux, on parle d’isobarycentre.
Propriété du barycentre
Soit G le barycentre du système A1(α1 ), A2 (α 2 ),... An (α n ) et O un point quelconque. Alors :
OG =
1
α1 + α 2 + ... + α n
  xA
  1
 α1  y A1
 z
  A1
 xA

 2

 + α 2  y A2
z


 A2

 xA

 n
 + ... + α n  y An

z
 An

Dans le plan, on obtient une formule analogue : affixe du barycentre
(
1
zG =
α1 z A1 + α 2 z A2 + ... + α n z An
α1 + α 2 + ... + α n
105
vérifiant :
2. Trouver l’équation d’un plan : cette équation est toujours de la forme ax + by + cz + d = 0 où a, b et c
sont les coordonnées du vecteur n normal au plan. Lorsqu’on connaît n et un point A on fait le p.s. :
 a   x − xA 
  

n. AM =  b  .  y − y A  = 0 ce qui donne l’équation du plan. L’angle de deux plans est donné par celui de
 c   z− z 
A 
 
leurs vecteurs normaux.
( α1 OA1 + α 2 OA2 + ... + α n OAn )
Si O est l’origine d’un repère dans l’espace, on obtient les coordonnées du barycentre par :
 xG 
1


 yG  = α + α + ... + α
n
1
2
z 
 G
G
)





3. Equations de droites ou de cercles : une droite est l’intersection de deux plans, elle a donc deux équations
cartésiennes (idem pour les cercles, intersection d’une sphère et d’un plan) ; en général on utilise les
équations paramétriques : une droite passant par A et de vecteur directeur u = (α ; β ; γ ) est l’ensemble de
 x = x A + tα

points M tels que AM = tu où t est un réel quelconque. On a alors  y = y A + tβ .
 z = z + tγ
A

Réciproquement lorsqu’on a des équations paramétriques de droites on a un point de passage avec les
constantes et un vecteur directeur avec les coefficients du paramètre t.
Equation d’une sphère ; comme pour le cercle dans le plan : ( x − x A )2 + ( y − y A )2 + ( z − z A )2 = R2 .
106
4. Intersection droite-droite : faire l’égalité entre les équa-tions paramétriques (avec des paramètres
différents) ; comme on a trois équations pour deux inconnues il se peut qu’il n’y ait pas de solution, dans
ce cas les droites ne sont pas sécantes. Si les vecteurs directeurs sont colinéaires les droites sont parallèles.
5. Intersection plan-droite : remplacer x, y et z dans l’équa-tion du plan ax + by + cz + d = 0 par les relations
paramétri-ques ; on résout alors en t ; on remet la valeur de t trouvée (si on en trouve une) dans les
équations de la droite ce qui donne le point d’intersection.
4. 10. Probabilités
Combinatoire-Dénombrement
Card ( A ∪ B )=Card A+Card B − Card ( A ∩ B ) .
Card ( A × B )=Card A Card B .
Soit E un ensemble de n éléments :
Nombre d’arrangements de p éléments de E : A np = n ( n − 1 ) ... ( n − p + 1 ) .
Nombre de permutations de E : n! = 1 × 2 × 3 × ... × n ; 0! = 1 .
6. Intersection plan-plan : s’ils sont parallèles leurs vecteurs normaux sont colinéaires (première chose à
voir). Sinon leur intersection est une droite. Par exemple on cherche l’intersection des plans x + 2y + 3 z = 0
Nombre de sous-ensembles de p éléments de E :
 x = y+ 3/5
; on pose alors y = t, ce qui donne les
et 2 x − y + z − 1 = 0 ; en résolvant on a par exemple 
 z = − y − 1/ 5
 n  A np n ( n − 1 ) ... ( n − p + 1 )
n!
=
=
;
 p=
p!
p! ( n − p ) !
  p!
 x = 3/5+ t

.
équations paramétriques d’une droite :  y = t
 z = −1/ 5 − t

 n  n(n − 1)
n
 n
;…
 0  =1 ; 1  = n ;  2  =
2
 
 
 
ax A + by A + cz A + d
a2 + b2 + c2
 n+1   n   n

Relation de Pascal : 
 =  +
 ;
 p +1   p   p +1 
Nombre de
ensemble :
Binôme de Newton :
7. Distance d’un point à un plan : le point est A( x A , y A , z A ) , le plan a pour équation ax + by + cz + d = 0 , la
distance est alors d( A, P ) =
n n

Propriétés des combinaisons :  =
 ;
 p   n− p 
.
8. Spécialité : une surface de l’espace a une équation du type F(x, y, z)=0 ; pour faire l’intersection avec un
plan comme y = k on remplace y par k et on regarde le type de courbe résultat. Exemple : la surface
x2 + y2 = z 2 coupe les plans x = k suivant z 2 − y2 = k2 , soit z = ± y2 + k2 qui sont des hyperboles dans les
plans parallèles à (yOz) et deux droites dans le plan (yOz).
surface
volume
sphère
4π R
4 3
πR
3
tétraèdre et autres pyramides
somme de la surface des faces
base x hauteur
3
cylindre
surf. du rectangle + 2x surf. du
cercle
π R2 h
2
1
π R2 h
3
cône
vol. de révolution engendré par une fonction f
tournant autour de l’axe (Ox)
π
b
∫ [f ( x)] dx
a
2
(sous-ensembles)
d’un
 n  n
 n   n
n
 0 +  1 +...+  n − 1  +  n  = 2 .
   

  
n
 n
( a + b)n = an +   an−1b + ... +   an− k bk + ... + bn .
1 
 k
n
La notation   est la notation internationale moderne mais on trouve l’ancienne écriture Cnp dans
 p
de nombreux textes.
Probabilités
Si A et B sont incompatibles : P ( A ∩ B ) = ∅ et
Dans le cas général :
P ( A ∪ B )=P ( A )+P ( B ) − P ( A ∩ B ) .
P ( A ∪ B )=P ( A )+P ( B ) ;
9. Surfaces et Volumes :
parties
Si A1 ,…, An forment une partition de A,
( )
P A = 1− P( A ) ; P( Ω ) = 1 ; P( ∅ ) = 0 .
P( A ) =
n
∑P ( A
i
).
i=1
Dans le cas équiprobable : P ( A ) =
Card A
.
Card Ω
Probabilité conditionnelle de A sachant que B
est réalisé : PB (A) (notation ancienne utilisée
jusqu’il y a peu : P ( A|B ) ) et
A et B sont des événements indépendants ssi
P(A ∩ B) = P(A)P(B)
P ( A ∩ B ) = PB ( A ) P ( B ) ⇔ PB ( A) =
Formule des probabilités totales : Si les événements B1 , B2 , …, Bn
l’ensemble des événements, alors
P(A ∩ B)
.
P(B)
forment une partition de Ω ,
P ( A )=P ( A ∩ B1 )+P ( A ∩ B2 )+...+P ( A ∩ Bn ) = PB1 (A).P(B1 ) + ... + PBn (A).P(Bn ) .
Variable aléatoire
X : application de l’ensemble des événements vers ℝ . On cherche les valeurs possibles xi de X, la loi
de probabilité est la donnée de toutes les probabilités pi = P(X = xi ) . La somme des valeurs de la loi de
probabilité est toujours 1.
107
108
Espérance mathématique : E ( x ) =
n
∑p x
Fonction de répartition : F ( x ) = P ( X ≤ x ) .
i i
i =1
On va donc dire que la variable aléatoire x a une densité de probabilité, donnée dans cet exemple par
f(x)=1/L ; vérifions que ça marche :
∫
b
L
L
∫
f (t)dt =
a
1
 t
dt =   =1 , impeccable !
L
 L 0
0
Variance :
V( x ) =
n
n
∑ p ( x − E( x ) ) = ∑
2
i
i
i =1
pi xi2
− ( E( x ) )
Ecart-type : σ ( X ) = V ( X ) .
2
On peut même très souvent (en fait toujours) remplacer
i =1
Loi de Bernoulli ou loi binomiale : X = nombre de réalisations de A sur n épreuves, P(A) = p,
n
alors : P( X = k) =   p k (1 − p)n− k ; espérance : np ; variance : np(1 − p).
 k
Probabilités continues
x suit une loi uniforme sur un intervalle de longueur L : P( x ≤ α ) =
∫
α
−∞
f (t)dt =
∫
α
0
1
α
dt = , la densité de
L
L
∫
+∞
−∞
f (t)dt =
∫
a
−∞
Moyenne : x =
∫
+∞
−∞
1
t. dt =
L
∫
L
0
∫
β
α
f (t)dt =
∫
β
α
1
β −α
dt =
.
L
L
Moyenne : x =
∫
+∞
0
λ ue− λ u du =
1
λ
∫
t
0
f (u)du =
∫
t
0
 λ −λ u 
e  = 1 − e− λ t = F(t) .
 −λ
0
t
en faisant une intégration par parties ; cette moyenne représente la durée
de vie moyenne et peut être déterminée expérimentalement.
Probabilités continues : généralités
Prenons une ficelle de longueur L fixée solidement aux deux extrémités et tendons la jusqu’à ce qu’elle se
casse. La probabilité qu’elle se brise à une distance x de l’une des extrémités est alors une variable aléatoire
continue puisque l’endroit en question peut être représenté par un réel.
Il est bien clair qu’il y a une infinité de réels x possibles et la probabilité qu’elle casse à un point précis x est
forcément nulle ; si ce n’était pas le cas il faudrait, pour faire la somme des probabilités des valeurs que
peut prendre x ajouter une infinité de valeurs strictement positives qui ne pourront en aucun cas faire un
total de 1.
On va donc définir la probabilité que la variable aléatoire prenne une valeur x par une fonction f telle que la
somme de toutes les valeurs prises par f(x) soit 1. Or la somme des valeurs d’une fonction est son intégrale
sur l’intervalle des valeurs de la fonction. Si x est définie sur [a ; b], on doit avoir
∫
a
f (t)dt = 1 .
Faisons une comparaison simple : la ficelle a un certain poids, mettons 1 ce que vous voulez (kilo, gramme,
tonne). Le poids d’un point isolé est nul, par contre le poids d’un segment de longueur dx de ficelle n’est
pas nul mais proportionnel à sa longueur (en supposant la ficelle homogène).
Pour connaître ce poids il faut connaître le poids par unité de longueur de la ficelle, sa densité, en
l’occurrence 1/ L .
P( x ≤ α ) =
+∞
f ( t)dt
b
∫
α
−∞
f (t)dt =
∫
α
0
1
α
dt = ,
L
L
c’est-à-dire proportionnelle à la longueur de ficelle avant α.
Quelle est la probabilité qu’elle casse entre α et β ? Vous avez compris, j’espère :
∫
β
α
f (t)dt =
∫
β
α
1
β −α
,
dt =
L
L
Remarquons au passage que le fait que chaque point ait une probabilité nulle amène à se poser des
questions sur la notion d’intégrale : supposons que sur ma ficelle j’aie un certain nombre de nœuds, c’est-àdire des endroits où la masse de la ficelle n’est plus la même, à priori ils ne vont pas compter quand on va
faire la somme de tous les points et en tout cas leur contribution, s’ils sont en nombre suffisamment
limité, va être nulle ; on peut donc ne pas en tenir compte dans les calculs d’intégrales.
On peut alors se demander à partir de quelle quantité de nœuds leur poids va modifier les probabilités de
chaque segment. Ces remarques sont à l’origine de la théorie de la mesure et de l’intégration sous une forme
beaucoup plus générale (voir l’intégrale de Lebesgue).
La définition de la moyenne d’une variable aléatoire x prenant les valeurs xi avec les probabilités pi est
x=
∑ x p . Dans le cas d’une variable continue x de densité f(x), vous avez déjà deviné ce que sera la
i i
i
moyenne : x =
∫
+∞
−∞
Pour la ficelle : x =
tf (t)dt .
∫
+∞
−∞
1
t. dt =
L
∫
L
0
L
1
L
 1 2
t. dt = 
t
= , en moyenne la ficelle va se casser au milieu !
L
 2 L  0 2
D’une manière générale dans le cas d’une loi continue, on ne peut donc connaître que la probabilité
d’intervalles si on connaît la densité de probabilité f : P([ a, b]) =
∫
b
f ( t)dt .
a
Un exemple : la loi tangente
Soit OAB un triangle rectangle isocèle de côté 1, on prend M au hasard sur [AB], quelle est la loi de l’angle
θ=
AOM ?
Il est clair que 0 ≤ θ ≤
1+tan2θ), on a
109
∫
donc proportionnelle à la longueur de ficelle entre α et β .
λ e− λ u du = 
b
f (t)dt +
Reprenons notre ficelle et demandons nous quelle est la probabilité qu’elle casse avant une position α :
c’est la somme des probabilités de tous les points avant α, soit
P(α < x ≤ β ) =
x suit une loi exponentielle de paramètre λ :
P(0 ≤ x ≤ t) =
b
a
f (t)dt par
Il ne sert à rien en général de chercher précisément la valeur de la probabilité d’une valeur x0 de la variable
aléatoire puisqu’elle est nulle, par contre on a souvent intérêt à chercher la probabilité d’un intervalle.
L
1
L
 1 2
t. dt = 
t
= .
L
 2 L  0 2
∫
b
a
car si la variable est nulle en dehors de [a ; b], les deux intégrales avant a et après b seront nulles.
probabilité est f.
Probabilité que x soit entre α et β : P(α < x ≤ β ) =
f (t)dt +
∫
π
4
et que AM = tan θ ; comme la fonction tan est croissante (sa dérivée est
110
tan u
= tan u
1
(loi uniforme sur le segment [AB] de longueur 1), par ailleurs on a
P(0 ≤ θ ≤ u) = P(tan θ ≤ tan u) =
P(0 ≤ θ ≤ u) =
et tan u =
∫
u
0
∫
A
M
B
f (t)dt
θ
1 + tan2 tdt ;
on conclut que f (t) = 1 + tan t (chercher sa moyenne…).
on dit qu’un individu (ou une machine ou …) suit une loi de durée de vie sans vieillissement lorsque la
probabilité qu’il meure à l’instant t+h ne dépend pas du fait qu’il soit vivant à l’instant t. Cette situation
ne s’applique évidemment pas à l’être humain mais se retrouve dans les phénomènes de désintégration
radioactive (α) ou dans des situations de pannes électroniques.
Traduit en termes de probabilités conditionnelles, on a alors si on note T la v.a. représentant la durée de vie
d’un individu :
ne dépend pas de t. Avec t=0 on a PT ≥0 (T ≥ h) = P(T ≥ h) ( T ≥ 0 est certain) d’où PT ≥ t (T ≥ t + h) = P(T ≥ h)
puisque (1) doit être valable pour tout t ; par ailleurs nous avons par définition des probabilités
conditionnelles :
P({T ≥ t + h} ∩ {T ≥ t})
= PT ≥ t (T ≥ t + h) ,
P(T ≥ t)
or l’événement {T ≥ t + h} ∩ {T ≥ t} = {T ≥ t + h} (on ne peut pas vivre jusqu’à t+h si on ne vit pas jusqu’à
P(T ≥ t + h)
t…) d’où
= P(T ≥ h) et en notant ϕ(t) = P(T ≥ t) : ϕ(t + h) = ϕ(t)ϕ( h) avec ϕ(0) = 1 .
P(T ≥ t)
Dérivons cette relation par rapport à t : h reste constant, donc ϕ(h) également et [ϕ(h)]’ = 0 ;
ϕ’(t+h) = ϕ(h)ϕ’(t), ce qui donne en faisant t = 0 : ϕ’(h) = ϕ’(0)ϕ(h), la fonction ϕ est solution de
l’équation différentielle
y ' = α y , avec y(0) = 1 et y’(0) = α.
; avec ϕ(0) = 1 : ϕ(t) = eα t .
Comme ϕ est décroissante, α < 0 , d’où en posant α = −λ la loi de probabilité : ϕ(t) = P(T ≥ t) = e− λ t .
Si on cherche la probabilité que l’individu meure avant t, on a bien sûr P(T < t) = 1 − e−λ t .
Ceci est intéressant car on peut calculer directement la densité de probabilité :
P(T ≤ t) =
dérivons : F '(t) = f (t) = λ e− λ t d’où P(T ≤ t) =
Calculons sa moyenne : T =
∫
+∞
0
∫
λ ue− λ u du =
∫
t
0
C14
on
a
k=
1
2
pour
T = 5730
ans
(période
ou demi-vie)
, soit
1 1 ln 2
ln =
≈ 0,00012 et T ≈ 8266 ans (il est évident que l’on n’attend pas 5730 ans,
T k 5730
mais quand on a T et k on a « facilement » λ ).
Et si on voulait la variance de la loi exponentielle ? Plaçons nous dans le cas général : il nous faut calculer
V (T ) =
∫
+∞
−∞
u2 f (u)du − (T )2 =
∫
0
−∞
u2 .0 dx +
∫
+∞
0
u2 e− λ u du −
1
λ2
.
−λ t
f (u)du = 1 − e
v=−
1
λ
e−λ u , d’où
∫
t
0
t
 1

u2 e− λ u du =  − u2 e− λ u  −
 λ
0
∫
t
0
−
2
λ
ue−λ u du .
La limite du crochet quand t tend vers l’infini est 0, donc le crochet vaut 0 ; dans l’intégrale restante on a
t 2
2 t −λ u
2 1 −2
2
1
1
1
− ue− λ u du = −
ue du = −
= 2 . Finalement on a Var(T ) = 2 − 2 = 2 et l’écart-type .
∫
0
λ
λ
∫
0
λλ
λ
λ
λ
λ
λ
γ
Processus de Poisson et loi
PT ≥ t (T ≥ t + h) (1)
t
le
La loi exponentielle vaut 0 pour u < 0 , e−λ u pour u ≥ 0 , on sépare donc l’intégrale en deux. La première est
nulle, reste la seconde à calculer. Il faut faire une IPP de nouveau : u = u2 , v ' = e−λ u , soit u ' = 2u ,
Durée de vie sans vieillissement
Nous trouvons alors ϕ(t) = Ce
pour
O
2
αt
exemple
−λ T = ln k ⇒ λ =
u
0
Par
= F(t) ;
La loi exponentielle vue précédemment est un cas particulier de loi appelée loi gamma. Regardons de quoi il
s’agit.
On dit qu’une suite (An) d’événements A se réalisant aux dates aléatoires (tn) obéit à un processus de Poisson
si les variables (ti − ti−1) correspondant aux durées entre deux événements successifs sont indépendantes,
suivent la même loi de probabilité et si la réalisation de l’un quelconque des Ai (et d’un seul) pendant un
intervalle de temps très petit [ t ; t + ∆t] vaut λ∆t quelque soit t. Le coefficient de proportionnalité λ est le
paramètre du processus. Par exemple l’événement A est l’arrivée d’un avion sur un aérodrome, la suite des
(An) est alors la suite des arrivées des avions pendant un temps donné.
La loi du nombre d’événements A se produisant pendant l’intervalle de temps [ t ; t + ∆t] est donc une loi
binomiale B(1, λ∆t) (A se produit une seule fois dans cet intervalle de temps). Prenons maintenant un
t −t
intervalle de temps t2 − t1 que nous découpons en n petits intervalles de longueur ∆t : n = 2 1 ; appelons
∆t
X la v.a. égale au nombre de fois où A se produit entre t1 et t2 ; X est alors la somme de n v.a. suivant une loi
t −t
binomiale et suit donc la loi B(n, λ∆t) = B( 2 1 , λ∆t) (la loi binomiale est stable pour l’addition, la
∆t
démonstration consiste à montrer que si vous avez une v.a. X de loi B(n, p) et une v.a. Y de loi B(m, p)
alors X+Y suit une loi B(n + m, p) ).
Lorsque ∆t tend vers 0 la loi binomiale tend vers la loi de Poisson de paramètre λ∆t
d’où P( X = k) =
t2 − t1
= λ( t2 − t1 ) = λ T
∆t
e− λ T (λ T )k
.
k!
λ e− λ u du .
Revenons à la loi γ : la probabilité que l’un quelconque des événements A se réalise dans [ t ; t + ∆t] est
1
λ∆t ; quelle est alors la loi de probabilité de la date T de réalisation du prochain événement A ? Appelons F
la fonction de répartition de T et f la densité de probabilité de T ; supposons également que A s’est réalisé à
l’instant 0, la nouvelle occurrence de A se produira entre t et t + ∆t : on a alors
0
λ
en faisant une intégration par parties ; cette moyenne
représente la durée de vie moyenne et peut être déterminée expérimentalement.
f (t)∆t = [1 − F(t)] λ∆t .
Prenons l’exemple de la désintégration radioactive : λ est la constante de désintégration qui dépend de
chaque noyau ; elle s’obtient par mesure de la période. On prend N0 atomes et on mesure au bout d’un
N(t + T ) N1
temps T le nombre N1 d’atomes du même type restants, on a alors
=
= k = e− λT .
N(t)
N0
Expliquons : F(t) est l’événement « A se produit avant t » et 1 − F(t) est l’événement « A ne se produit pas
avant t » ; on a dit précédemment que A se produisait avec la probabilité λ∆t dans [ t ; t + ∆t] d’où la
111
112
relation. Il faut évidemment que les A se produisent indépendamment les uns des autres pour pouvoir
mettre le premier A à l’instant 0.
En passant à la limite on a f (t)dt = [1 − F(t)] λ dt , or
(1 − F(t))′
1 − F(t)
d [1 − F(t)]
= − F '(t) = − f ( t) d’où en remplaçant f :
dt
= −λ , soit en intégrant 1 − F( t) = e− λ t+ C = e− λ t car C est nulle puisque F(0) = 0. On dérive alors F
1
ce qui donne f (t) = λ e− λ t ; T suit donc une loi exponentielle ou plutôt une loi gamma γ 1(0, ) puisque
λ
t
f (t) =
−
1
e 1 / λ t1−1 . La moyenne de T est 1/ λ , de même que son écart-type.
(1/ λ )Γ(1)
Si on cherche la loi de probabilité de Tn, de réalisation du nième évènement A, c’est la somme de n variables T
λ − λ t n −1
1
1
de loi γ 1(0, ) , Tn a donc pour loi γ n (0, ) de densité f (t) =
e t .
Γ(n)
λ
λ
113
5 . RESTITUTION ORGANISEE DES CONNAISSANCES
– P3 : la suite (un) converge ;
– P4 : la suite (un) tend vers +∞ ;
– P5 : la suite (un) est croissante.
Pour chaque question nous rappelons la démonstration et nous essayons de proposer une mise en
situation… Lorsqu’il n’y a pas de démonstartion demandée vous pouvez inventer une question…Certains
exercices de 2005 comportent ce genre de questions.
Dans tous les cas on demande de justifier la réponse.
1. Donner la traduction mathématique des propriétés P1 et P4.
2. Si les propriétés P1 et P5 sont vraies, que peut-on en conclure pour (un) ?
3. Si les propriétés P2 et P5 sont vraies, que peut-on en conclure pour (un) ?
5. 1. Analyse
4. Une suite vérifiant la propriété P4 vérifie-t-elle nécessairement la propriété P2 ?
5. 1. a : Propriétés des suites
5. Une suite vérifiant la propriété P2 vérifie-t-elle nécessairement la propriété P4 ?
On rappelle la définition d’une suite tendant vers +∞ : une suite admet pour limite +∞ si tous les termes
de la suite à partir d’un certain rang sont dans un intervalle de la forme [ A ; + ∞[ où A est un réel
1. P1 : il existe au moins un réel M tel que pour tout n entier, un ≤ M ;
quelconque (la définition est la même pour −∞ , mais les termes seront dans un intervalle ] − ∞ ; A] ).
Théorème 1
Si une suite (un) est croissante et non majorée, alors lim un = +∞ ; si une suite (un) est décroissante et non
n→+∞
Correction
P4 = négation de P1 : il n’existe aucun réel M pour lequel, pour tout entier n, un ≤ M .
2. Si P1 et P5 sont vraies, la suite (un) est convergente (théorème de cours).
3. Si (un) est croissant et non majorée, elle grandira plus que toute valeur réelle, elle tendra donc vers +∞ .
minorée, alors lim un = −∞ .
4. Si la suite (un) tend vers +∞ alors elle ne peut-être majorée, c’est donc vrai.
Démonstration
5. Si la suite (un) n’est pas majorée elle ne tend pas forcément vers +∞ . Par exemple un = (−1)n n .
n→+∞
Soit (un) croissante, non majorée et M un réel quelconque. On est sûr qu’à partir d’un certain rang N, on
aura un > M pour n > N puisque un est croissante. Puisque un n’est pas majorée, on peut choisir M aussi
Exercice 5. 169
grand que l’on veut et les termes de la suite seront dans un intervalle ]M ; + ∞[ ce qui correspond à la
définition.
A. Démonstration de cours.
Théorème 2 (admis)
naturel n, si n > n0 alors un > M.
Toute suite croissante majorée par M converge vers l avec l ≤ M . Toute suite décroissante minorée par m
converge vers l avec l ≥ m .
2. Quelles conséquences peut-on en tirer pour la suite (un) ?
Théorème 3
1. Si une suite n’est pas majorée alors elle tend vers +∞ .
Soit (un) une suite croissante non majorée.
1. Soit M un nombre réel et n0 un entier naturel tel que un > M . Démontrer que pour tout entier
0
3. Enoncer le théorème du cours ainsi démontré.
B. Répondre par Vrai ou Faux aux propositions suivantes en justifiant chaque réponse :
u ≤ v
n
 n
On dit que deux suites (un) et (vn) sont adjacentes si :  un croissante, vn décroissante .
 lim v − u = 0
n )
 n→∞ ( n
2. Si une suite est croissante alors elle tend vers +∞ .
3. Si une suite tend vers +∞ alors elle n’est pas majorée.
4. Si une suite tend vers +∞ alors elle est croissante.
Correction
Si deux suites sont adjacentes alors elles convergent et ont même limite l. De plus on a un ≤ l ≤ vn .
A. 1. Comme (un) est croissante, pour tout n > n0, on a un > un0 et par conséquent un > M .
Démonstration
2. La suite (un) n’est pas majorée ; comme elle est croissante elle tend vers +∞ .
On utilise le th. 2 : un est croissante et majorée par v0 donc converge vers l ; vn est décroissante et
minorée par u0 donc converge vers l’. Comme on a lim ( vn − un ) = 0 , à partir d’un certain rang N la
n→∞
distance entre un et vn devient aussi petite que l’on veut, de même que celle entre l et l’ ; on peut écrire
cela de la manière suivante :
vn − un = ( vn − l ') + (l '− l) + (l − un ) ⇒ l '− l = lim( vn − l ') + lim(l − un ) − lim( vn − un ) = 0 + 0 − 0 = 0
n→∞
n→∞
n→∞
3. « Toute suite croissante non majorée tend vers +∞ . »
B. Vrai/Faux
1. Faux : voir exemple à l’exercice1.
2. Faux : exemple typique un = K − qn où 0 < q < 1 : un tend vers K alors que qn est décroissante et
K − qn est croissante.
3. Vrai : ce sont deux termes antinomiques.
et par conséquent l = l’.
4. Faux : on peut très bien avoir par exemple une suite oscillante et croissante.
Exercice 5. 168
Soit (un) une suite. On considère les propriétés suivantes :
Exercice 5. 170
– P1 : la suite (un) est majorée ;
Partie I
– P2 : la suite (un) n’est pas majorée ;
A chaque question est affecté un certain nombre de points. Pour chaque question, une réponse exacte rapporte le
nombre de points affectés ; une réponse inexacte enlève la moitié du nombre de points affectés. Le candidat peut
116
115
décider de ne pas répondre à certaines de ces questions. Ces questions ne rapportent aucun point et n’en enlèvent
aucun. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.
c. De la relation précédente on tire e− l = 0 ce qui est impossible (ou plus prosaïquement ce qui signifie que
l est +∞ puisque la suite est monotone). La suite ne converge donc pas.
5. 1. b : Théorème des gendarmes pour les fonctions
Pour chacune des affirmations suivantes répondre sans justification par Vrai ou Faux :
(A) Soit (un) et (vn) deux suites à valeurs strictement positives. Si, pour tout entier n, vn > un et si
Rappelons au préalable la signification profonde de lim h( x) = L : à partir du moment où x devient
x→+∞
v2
lim un = +∞ alors lim n = +∞ .
n→+∞ un
n→+∞
suffisamment grand la valeur de h( x) − L devient aussi petite que l’on veut, on a alors h(x) dans n’importe
(B) Toute suite bornée est convergente.
Théorème
quel intervalle de la forme ] L − ε ; L + ε [ où ε est un réel strictement positif.
(C) Pour toutes suites (un) et (vn) à valeurs strictement positives qui tendent vers +∞ , la suite de terme
u
général n converge vers 1.
vn
(D) Toute suite croissante non majorée tend vers +∞ .
Soit f, g, h trois fonctions définies dans un intervalle I = [ a ; + ∞ [ telles que f ( x) ≤ h( x) ≤ g( x) sur I. Alors si
lim f ( x) = L = lim g( x) , on a lim h( x) = L . On a évidemment le même résultat en −∞ .
x→+∞
x →+∞
x→+∞
Démonstration
Considérons un intervalle J contenant L :
Partie II
]
Pour chacune des propositions de la première partie, justifier votre réponse :
L
f(x)
[
h(x)
g(x)
– dans le cas où la proposition vous paraît fausse : en donnant un contre-exemple.
– dans le cas où la proposition vous paraît exacte : en donnant une démonstration.
Pour x suffisamment grand f(x) et g(x) sont dans J, et par conséquent h(x) également. Comme on peut faire
ceci pour n’importe quel intervalle contenant L, h a forcément pour limite L.
Correction
Parties I & II
(A) Vrai : vn > un ⇒ vn2 > vn un ⇒
vn2
v2
> vn > un . Donc comme lim un = +∞ , on a lim n = +∞ .
n→+∞ un
n→+∞
un
(B) Faux : exemple classique : un = (−1)n qui est bornée par −1 et 1 et qui ne converge pas.
La démonstration est identique si on veut appliquer à lim h( x) = L , la seule différence provient du
x→ a
comportement de x : on dira alors que x est aussi proche que l’on veut de a, soit que x est dans un intervalle
de la forme ] a − δ ; a + δ [ , le reste étant identique.
(C) Faux : évidemment… Exemple : un = n2 et vn = n .
Exercice 5. 172
(D) Vrai : reprendre l’exercice 1.
1
1
exp   .
x
 x
On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O ; i , j ) du plan.
1. On considère la fonction numérique f définie sur [1 ; + ∞[ par f ( x) =
Exercice 5. 171
On rappelle la définition d’une suite tendant vers +∞ : une suite (un) tend vers +∞ si pour tout réel A,
tous les termes de la suite sont, à partir d’un certain rang, supérieurs à A.
Pour tout réel α ≥ 1 , on considère les intégrales
Démontrer le théorème suivant : une suite croissante non majorée tend vers +∞ .
− un
2. On considère la suite (un) définie par u0 = 0 et la relation de récurrence un+1 = un + e
J(α ) =
.
a. Etablir que la suite (un) est croissante.
∫
2α
α
1
dx et K(α ) =
x
∫
2α
α
1
1
exp   dx .
x
 x
Le but de l’exercice est d’étudier, sans chercher à la calculer, l’intégrale K(α ) .
b. Démontrer que si la suite (un) a pour limite un réel l, alors l vérifie la relation l = l + e .
a. Déterminer la limite de f en +∞ . Interpréter graphiquement le résultat.
c. Conclure quand à la convergence de la suite (un).
b. b. Montrer que la dérivée de f peut s’écrire f '( x) = −
−l
Correction
Démontrer le théorème suivant : une suite croissante non majorée tend vers +∞ .
Par l’absurde : si (un) était croissante et non majorée et qu’elle tende vers une limite L, alors il arriverait un
moment (une valeur N de n) où uN < L − ε où ε est un réel positif choisi arbitrairement (aussi petit qu’on
le veut) ; si le terme suivant est supérieur à L − ε , la suite ne converge pas vers L et si le terme suivant reste
inférieur à L, la suite est majorée. Dans les deux cas il y a contradiction.
2. un+1 = un + e− un .
a. Il est immédiat que un+1 − un = e− un > 0 . donc (un) est croissante.
b. Si la suite (un) a pour limite un réel l, alors lim un = lim un+1 = l ⇒ l = l + e− l .
n→∞
1  x +1 
1

 exp   . En déduire le sens de variation
 x
x2  x 
de f.
c. Donner l’allure de la courbe C.
2. a. Interpréter géométriquement le nombre K(α ) .
b. Soit α ≥ 1 , montrer que
c. En déduire que
1
 1 
 1 
exp 
 ≤ K(α ) ≤ exp   .
2
 2α 
α 
1
≤ K(α ) ≤ e .
2
3. a. Calculer J(α ) .
n→∞
117
118
 1 
 1 
b. Démontrer que pour tout réel α ≥ 1 , exp 
 ln(2) ≤ K(α ) ≤ exp   ln(2) .
 2α 
α 
4. Démonstration de cours.
∫
Démontrer le théorème suivant : soient u, v et w des fonctions définies sur [1 ; + ∞[ telles que pour tout réel
x→+∞
d’où
1. [1 ; + ∞[ , f ( x) =
1
1
exp   . α ≥ 1 , J(α ) =
x
 x
∫
α
1
dx et K(α ) =
x
∫
α
1
1
exp   dx .
x
 x
c. Comme 0 ≤
∫
2α
1
α
 1 
exp  dx . Or on a
α 
2α
1
α
1
 1 
 1 
 1 
exp  dx = ( 2α − α ) exp   = exp  
α
α 
α 
α 
1
2α
2α
dx = [ ln x ] α = ln 2α − ln α = ln
= ln 2 .
α
x
3. a. J(α ) =
Comme x est supérieur à 1, f’ est toujours négative et f est décroissante.
b. Comme on a 0 ≤
y
2α
α
1
1 1
1
1
1
 1 
 1 
≤ ≤ ≤ 1 , exp(0) ≤ exp 
 ≤ K(α ) ≤ exp   ≤ exp(1) , soit ≤ K(α ) ≤ e .
2α x α
2
2
2
 2α 
α 
1   1   x +1 
 1 
 1  1  1 
 1   1 
 1 
1
exp   .
b. f ′( x) =  − 2  exp   +   − 2  exp    =  − 2  exp    1 +  =  − 2  
x   x   x 
 x  x  x 
 x   x 
 x 
 x
 x 
4
∫
1
 1 
 1 
exp 
 ≤ K(α ) ≤ exp   .
2
 2α 
α 
a. En +∞ 1/x tend vers 0 donc f tend vers 0.e0 = 0. L’axe horizontal est une asymptote de (C).
c.
1
 1 
exp 
dx ≤ K(α ) ≤
2α
 2α 
1
1
 1 
 1  1
 1 
exp 
exp 
dx = ( 2α − α )
 = exp 
,
2α
2α
 2α 
 2α  2
 2α 
α
Correction
2α
2α
∫
x→+∞
5. Déduire de ce qui précède la limite de K(α ) lorsque α tend vers +∞ .
2α
2α
α
α
x ≥ 1 , u( x) ≤ v( x) ≤ w( x) . S’il existe un réel l tel que lim u( x) = l et lim w( x) = l alors lim v( x) = l .
x→+∞
∫
Intégrons cette inégalité :
α
1
1 1
 1 
1
 1 
≤ ≤ ≤ 1 , on a 1 ≤ exp 
 ≤ exp   ≤ exp   ≤ e , soit en multipliant par
2α x α
 2α 
 x
α 
1 1
 1  1
1 1
 1  1
1/x : ≤ exp 
≤
exp
≤
exp
≤
e
puis
en
intégrant
:

 
 
x x
 2α  x
 x x
α  x
 1 
 1 
ln 2 ≤ (ln 2)exp 
 ≤ K(α ) ≤ (ln 2)exp   ≤ e ln 2 .
 2α 
α 
3,5
4. Démonstration de cours : il faut s’attendre à tout avec les méchants professeurs de maths…
 1 
 1 
0
5. Lorsque α tend vers +∞ , exp 
 et exp   tendent vers e = 1. La limite est donc ln2.
 2α 
α 
3
2,5
5. 1. c : Théorème des valeurs intermédiaires / Corollaire du théorème
L’énoncé du théorème est le suivant : soit f continue sur un intervalle I, a et b deux réels de I ; pour tout
réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c) = k.
2
Démonstration avec des suites
Choisissons a ≤ b et définissons deux suites (an) et (bn) telles que a0 = a et b0 = b ; on fait maintenant une
utilisation du balayage : supposons qu’à un moment (soit pour une valeur de n) on soit sûr que
 a +b 
k ∈ [ f ( an ) ; f (bn ) ] ; plaçons nous alors dans l’intervalle [ an ; bn ] et calculons u = f  n n  : soit k est
 2 
a +b
supérieur à u, auquel cas nous prenons an+1 = n n , bn+1 = bn , soit il lui est inférieur auquel cas nous
2
a +b
prenons an+1 = an , bn+1 = n n . Dans tous les cas on sera sûr que k ∈ [ f ( an+1 ) ; f (bn+1 ) ] .
2
1,5
1
0,5
x
0
1
2. a. K(α ) =
∫
2α
α
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
1
1
exp   dx correspond à l’aire comprise entre la courbe (C) l’axe (Ox) et les droites
x
 x
x = α , x = 2α .
b. Sur l’intervalle [ α , 2α ] , f est décroissante et on a
En faisant une récurrence il est alors clair que an est croissante, bn est décroissante et en plus, comme à
1
chaque fois on prend le milieu de l’intervalle, l’écart entre les deux est tel que bn+1 − an+1 = (bn − an ) , soit
2
1
que bn − an = n (b0 − a0 ) . Cette suite géométrique tend vers 0 et par utilisation des gendarmes on a
2
lim an = lim bn = c ; enfin comme f est continue,
n→∞
1 1
 1
 2α ≤ x ≤ α ≤ 1
1 ≤ α ≤ x ≤ 2α ⇒ 
.
 f (2α ) = 1 exp  1  ≤ f ( x) ≤ f (α ) = 1 exp  1 
α
2α
 2α 
α 

119
n→∞
k ∈  lim f ( an ) ; lim f (bn )  =  f (lim an ) ; f (lim bn )  = [ f ( c) ; f ( c) ] = f ( c) .
 n→∞
  n→∞

n→∞
n→∞
Corollaire : l’équation f(x) = k a une unique solution c dans [a ; b] si k ∈[ f ( a) ; f (b)] et f est strictement
monotone.
120
Le théorème précédent justifie l’existence de c mais pas son unicité. Supposons qu’il existe c’ tels que
f(c’) = k, alors entre c et c’, soit f est constante (interdit par le strictement) soit elle n’est pas monotone…
autrement dit pour tout c’ de [a ; b] , si c ' ≠ c alors f ( c ') ≠ f ( c) .
le bloc [ ϕ1( h)v( x0 + h) + ϕ2 ( h)u( x0 + h) ] tend vers 0 lorsque h tend vers 0 et représente une fonction ϕ3 ( h)
Exercice 5. 173 : la Règle de L’Hopital (mathématicien français du 18ème siècle)
dérivé de uv en x0 est (u ' v + uv ')( x0 ) , ce qui donne la formule bien connue.
Préliminaire : le Théorème de Rolle.
Remarque : pour obtenir les autres formules on prend tout d’abord la fonction v =
Soit f continue sur [a ; b], dérivable sur ]a ; b[ et f(a) = f(b), alors il existe au moins un point c de ]a ; b[ tel
que f’(c)=0.
Si f est constante tous les points x donnent f’(x) = 0. Sinon, comme f est continue sur [a ; b], il existe un point c tel
que pour tout x de [a ; b], f ( x) ≤ f ( c) = M (si f(a) est différent de M, sinon on fait le même raisonnement avec
f ( x) ≥ f ( c) = m ).
qui tend vers 0 lorsque h tend vers 0 (en fait on sépare les termes constants et les termes variables).
Finalement on a quelque chose de la forme uv( x0 + h) = uv( x0 ) + h( u ' v + uv ')( x0 ) + hϕ3 ( h) donc le nombre
1
et donc telle que
u
u'
u'
1
u.v = 1 ; on dérive ce qui donne u ' v + uv ' = 0 ⇒   ' = v ' = − v = − 2 ; en réutilisant cela on a
u
u
 u
1
v ' u ' v − uv '
u  1
 1  u'
.
  ' =  u.  ' = u ' + u   ' = − u 2 =
v
v
v
v2
v  v
v
f ( x) − f ( c)
, si x>c, g(x) ≤ 0, et si x<c, g(x) ≥ 0 ; on a donc lim g( x) ≤ 0 et lim g( x) ≥ 0 d’où
x−c
x → c+
x → c−
lim g( x) = 0 = f '( c) .
Soient u dérivable en x0 avec y0 = u( x0 ) et v dérivable en y0 : on a
A quel(s) endroit(s) de cette démonstration a-t-on utilisé le TVI ?
Ecrivons v(u( x0 + h) = v [ u( x0 ) + hu '( x0 ) + hϕ1( h) ] = v [ u( x0 ) + H ] avec H = hu '( x0 ) + hϕ1( h) ; on a alors
Soit g( x) =
Démonstration de la composée
v( y0 + H ) = v( y0 ) + Hv '( y0 ) + Hϕ2 ( H ) et u( x0 + h) = u( x0 ) + hu '( x0 ) + hϕ1( h) .
x→ c
Soit f et g deux fonctions continues sur [a ; b], dérivables sur ]a ; b[.
1. Soit la fonction ϕ définie par ϕ( x) = f ( x) − f ( a) −
f ( b) − f ( a)
( g( x) − g( a)) . Calculer ϕ( a) et ϕ(b) .
g( b) − g( a)
2. Montrer que ϕ '( x) s’annule sur ]a ; b[ et qu’il existe c dans ]a ; b[ tel que
g '( c)( f (b) − f ( a)) = f '( c)( g(b) − g( a)) .
3. Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle I , a un point de I, f et g dérivables sur I sauf en a et
telles que f(a) = g(a) = 0 et ∀x ∈ I , x ≠ a ⇒ g '( x) ≠ 0 .
a. Montrer que si lim
x→ a
f '( x)
f ( x)
= l alors lim
=l.
x→ a g( x)
g '( x)
cos( x3 ) − 1
.
x3 ex
5. 1. d : Dérivation d’une fonction composée / dérivation du produit de deux fonctions
La méthode de démonstration étant semblable on donne les deux pour le prix d’une…
Démonstration du produit
Avant de faire quoi que ce soit revenons à la définition du nombre dérivé : pour f continue et dérivable en
x0, on a
f '( x0 ) = lim
h→0
f ( x0 + h) − f ( x0 )
f ( x0 + h) − f ( x0 )
⇔
= f '( x0 ) + ϕ( h) ⇔ f ( x0 + h) = f ( x0 ) + hf '( x0 ) + hϕ( h)
h
h
où ϕ( h) tend vers 0 lorsque h tend vers 0.
Soient maintenant deux fonctions u et v dérivables en x0, on a :
u( x0 + h) = u( x0 ) + hu '( x0 ) + hϕ1( h) et v( x0 + h) = v( x0 ) + hv '( x0 ) + hϕ2 ( h)
où ϕ1( h) et ϕ2 ( h) tendent vers 0 quand h tend vers 0.
Effectuons le produit :
où l’on voit apparaître le terme dérivé u '( x0 )v '( y0 ) . On récupère donc la formule ( v u)' = u '. ( v ' u ) .
Exercice 5. 174
On considère une fonction f définie sur un intervalle I et un nombre réel a appartenant à I.
1. Rappeler la définition de « f est dérivable en a ».
2. Dans chacun des cas suivants, indiquer si les deux propriétés citées peuvent être vérifiées simultanément
ou non. Si la réponse est « oui », donner un exemple (un graphique sera accepté) ; dans le cas contraire,
justifier la réponse.
– f est continue en a et f est dérivable en a ;
1
b. Montrer que la réciproque est fausse en considérant les fonctions f ( x) = x2 sin( ) et g(x) = sinx.
x
c. Application : déterminer la limite en 0 de u( x) =
v( y0 + H ) = v( y0 ) + h ( u '( x0 ) + ϕ1( h) ) v '( y0 ) + Hϕ2 ( H ) = v( y0 ) + hu '( x0 )v '( y0 ) + hϕ1( h)v '( y0 ) + Hϕ2 ( H )
uv( x0 + h) = [ u( x0 ) + hu '( x0 ) + hϕ1( h) ] [ v( x0 ) + hv '( x0 ) + hϕ2 ( h) ] , développons et
– f est continue en a et f n’est pas dérivable en a ;
– f n’est pas continue en a et f est dérivable en a ;
– f n’est pas continue en a et f n’est pas dérivable en a.
Exercice 5. 175
On considère la fonction f ( x) =
ex − e− x
définie sur ℝ .
2
1. Etudier les variations de f ; montrer que pour tout x réel on peut trouver un unique y tel que y = f ( x) .
(
)
2. Soit g la fonction telle que g( y) = x . Vérifier que g( y) = ln y + y2 + 1 .
3. Rappeler la formule de dérivation des fonctions composées. Montrer alors que si u et v sont deux
1
fonctions dérivables telles que v(u( x)) = x alors u '( x) =
.
v '(u( x))
4. Appliquer ce résultat aux fonctions f et g précédentes.
5. 1. e : Théorème : « il existe une unique fonction f dérivable sur ℝ telle que f’ = f et f(0) = 1
Le problème est double : existence et unicité.
Existence
uv( x0 + h) = u( x0 )v( x0 ) + h [ u '( x0 )v( x0 ) + u( x0 )v '( x0 ) ] + h [ ϕ1( h)v( x0 + h) + ϕ2 ( h)u( x0 + h) ] ;
Lors de la présentation de l’exponentielle on part de la méthode d’Euler et après de nombreuses
manipulations sur les suites on obtient l’existence de exp(x)… Ici nous allons partir du logarithme
néperien, ce qui sera plus simple.
121
122
mettons h en facteur :
La fonction 1/x est continue sur ]0 ; + ∞[ , elle admet donc une unique primitive (théorème admis) sur cet
intervalle, primitive appelée lnx, telle que ln1 = 0 (voir 1.f). Par dérivation des fonctions composées on a :
( ln
f
Notre équation se transforme alors : f '( x) = f ( x) ⇒
)' =
f'
.
f
f '( x)
= 1 ⇒ ln f ( x) = x + K ; comme f(0) = 1, il vient
f ( x)
ln1 = 0 + K ⇒ K = 0 .
La fonction ln est bijective et a donc une fonction réciproque appelée exponentielle d’où
f ( x) = exp( x) ⇔ f ( x) = ± exp( x) . Comme f(0) = 1, il reste uniquement f ( x) = e x . Enfin ex est solution de
f’ = f, on a donc
( ex ) ' = ex ;
de plus comme ln est croissante, exp l’est également ; pour finir, avec
exp(0) = 1 et exp croissante il est immédiat que ex > 0 .
Unicité
Supposons qu’il existe une fonction g, autre solution de notre équation f’ = f ; nous pourrons toujours
écrire g( x) = h( x)ex , d’où en remplaçant dans l’équation :
g ' = g ⇒ h '( x)e x + h( x)ex = h( x)ex ⇔ h '( x)ex = 0 .
Comme e > 0 , il reste h’(x) = 0 d’où h(x) = C = constante. On a alors g( x) = Cex et comme g(0)=1, il
reste C = 1 et g = exp.
x
Exercice 5. 176
Une exsanguino-transfusion peut se schématiser de la façon suivante : un récipient R contient un liquide L
dans lequel se trouve une substance S dont on veut diminuer la concentration. Le volume de R est de p
litres (genre le corps humain…) et la concentration initiale de S est de a gramme par litre dans L.
1. Première méthode : on injecte dans R de manière continue du liquide L ne contenant pas la substance S et
on prélève simultanément la même quantité de mélange par un tuyau de sortie de sorte que le volume de
liquide dans R reste constant. Les tuyaux d’arrivée et de sortie ont des débits de d litres par heure.
* Du fait de sa définition, il est immédiat que ( ex )' = ex .
* Cette fonction est positive. On a évidemment f '(0) = f (0) = 1 ; par ailleurs prenons g( x) = f ( x)f (− x) et
dérivons g : g '( x) = f '( x)f (− x) + f ( x)(− f '(− x)) = e x e− x − e x e− x = 0 (dérivation des fonctions composées :
[ f (− x)]' = − f '(− x) ).
1
.
ex
* Par ailleurs la relation précédente montre qu’elle ne s’annule pas puisque s’il existait une valeur a de x
pour laquelle on a ea = 0 alors on aurait ea e− a = 1 ⇔ 0 = 1 …bof !
Conclusion g est une constante ; calculons g(0) = f (0)f (−0) = 1.1 = 1 d’où ex e− x = 1 ⇔ e− x =
* Puisqu’elle ne s’annule pas elle garde un signe constant et comme e0 = 1 elle est positive.
* Comme ex > 0 , sa dérivée l’est également, elle est donc strictement croissante.
* Réutilisons g( x) = f ( x)f (− x) en prenant cette fois g( x) = f ( x + a)f (− x) ;
on dérive : g '( x) = f '( x + a)f ( − x) + f ( x + a)(− f '(− x)) = e x+ a e− x − ex+ a e− x = 0 donc g est constante et vaut
g(0) = f ( a)f (0) = ea .1 = ea . Par conséquent on a ex+ a e− x = ea ⇔ e x+ a e− x ex = ea ex ⇔ ex + a = ex ea .
Les autres propriétés viennent facilement.
Pour ln, c’est la réciproque de exp et ses principales propriétés découlent de cela.
* Comme exp est bijective de ℝ vers ]0 ; + ∞[ , ln l’est de ]0 ; + ∞[ vers ℝ .
(
)
* Sa dérivée est telle que 1 = ( x)' = eln x ' = ( ln x ) ' eln x = x(ln x)' ⇒ (ln x)' =
1
(dérivation des fonctions
x
composées et utilisation de x = eln x ).
* Posons x = ln u et a = ln v dans ex + a = ex ea :
(
)
eln u+ ln v = eln u eln v ⇔ eln u+ ln v = uv ⇔ ln eln u+ ln v = ln(uv) ⇔ ln u + ln v = ln(uv) .
On note m(t) la quantité de S dans L au bout du temps t et C(t) sa concentration.
Exercice 5. 177
d
a. Montrer que m(t + h) − m( t) = − dhC(t) ; en déduire que m '(t) = − dC(t) puis que C '( t) = − C(t) (E).
p
Prérequis : la fonction exponentielle, notée exp, a les trois propriétés suivantes :
 d 
b. Démontrer que l’unique solution de (E) est C(t) = a exp  − t  .
 p 
c. Au bout de combien de temps la concentration de S est-elle inférieure à 5 % de sa valeur initiale ?
d. Cette méthode permet-elle d’éliminer complètement S ?
1. exp est une fonction dérivable sur ℝ ;
2. sa fonction dérivée, notée exp’, est telle que, pour tout nombre réel x, exp’(x) = exp(x) ;
3. exp(0) = 1.
En n’utilisant que ces trois propriétés de la fonction exp, démontrer successivement que :
– Pour tout nombre réel x, exp(x) × exp(–x) = 1.
– Pour tout nombre réel a et tout nombre réel b, exp(a + b) = exp(a) × exp(b).
2. Deuxième méthode : toutes les minutes on prélève dans R un pourcentage fixe q de mélange que l’on
remplace par la même quantité de L ne contenant pas S. A la minute n on appelle mn la masse de S restant
dans R et Cn sa concentration.
5. 1. g : Croissances comparées : lim
a. Exprimer en fonction de n et des autres paramètres la masse ∆mn de S prélevée à la minute n.
Démonstrations
b. Exprimer mn+1 en fonction de mn puis Cn+1 en fonction de Cn . En déduire Cn en fonction de n, a, p
et q.
1. La limite la plus importante est lim
c. Au bout de combien de minutes la concentration de S est-elle inférieure à 5 % de sa valeur initiale ?
d. En posant n = 60t donner une expression de Cn . Comparer au résultat du 1.
5. 1. f : Propriétés de exp et ln
On admet l’existence d’une fonction solution de f’ = f avec f(0) = 1 (méthode d’Euler). Cette fonction est
notée exp : f ( x) = exp( x) = ex . Voir thème précédent.
123
x→+∞
ln x
ex
= 0 , lim
= +∞ , lim xex = 0
x→−∞
x→+∞ x
x
ln x
: en fait il s’agit de comparer lnx et x ; lorsqu’on trace ln, on
x
ln x
voit que sa courbe ressemble pas mal à celle de x d’où l’idée de regarder plutôt lim
.
x→+∞
x
x→+∞
1
1
ln x
x−
ln x
2 − ln x
x
2 x
=
; f '( x) =
, donc f a un maximum en x = e2 ,
x
x
2x x
2
2
f ( e2 ) = . Par ailleurs si on prend x > 1, il est clair que f est positive. On peut donc écrire 0 ≤ f ( x) ≤ d’où
e
e
Etudions la fonction f ( x) =
124
1 ln x
2
ln x
2
≤
⇔0≤
≤
. Il reste à appeler les
x
x x e x
e x
ln x
gendarmes et à passer à la limite lorsque x tend vers +∞ : lim
=0.
x→+∞ x
1
ln x
2. En multipliant par n−1 qui tend également vers 0 on a lim n = 0 .
x→+∞ x
x
1
3. En faisant le changement de variable X = , X tend vers 0+ et lim − X n ln X = 0 ⇔ lim x n ln x = 0 .
x
X →0 +
x →0 +
x qui est positif, 0 ≤
en divisant tout par
4. En faisant le changement de variable x = e X ⇔ X = ln x on a :
Y →−∞
n
+∞ et −∞ .
ln x
= 0 , déterminer les limites de f et g en
x
b. Montrer que la droite D(y = x) est asymptote de Cf.
c. Dresser le tableau de variation de f et g.
2. a. Pour tout réel x, on pose h( x) = f ( x) − g( x) . Déterminer le sens de variation de h.
b. Montrer que Cf et Cg ont un unique point d’intersection d’abscisse α et que α ∈ [ 1 ; 2 ] .
c. Etudier suivant les valeurs de x la position relative de Cf et Cg. Tracer D, Cf et Cg.
b. En utilisant les variations de g, montrer que pour tout x dans [0 ; 1] on a ex ≤
e−Y
1
= +∞ ⇔ lim
= −∞ ⇔ lim YeY = 0 ⇔ lim xe x = 0 ;
Y →−∞ YeY
Y →−∞
x →−∞
−Y
n
x→+∞
3. a. En utilisant les variations de f, montrer que pour tout x dans [0 ; 1] on a 1 + x ≤ e x .
ln x
ln x
X
eX
= 0 = lim n = lim X ⇒ lim
= +∞ ;
x→+∞ x
x →+∞ x
X →+∞ e
X →+∞ X
lim
en posant Y = –X, lim
1. a. Démonstration de cours : en utilisant seulement lim
c. On pose x =
1
, k entier naturel. Déduire des questions précédentes que
k
 k+1  1
 k 
ln 
 ≤ ≤ ln 
.
 k  k
 k −1 
n
 x 
 x 
 x 
n
 en 
 en 
 eX 
 en 
ex
1
1
lim n = lim 
lim
lim
=
=
 = +∞ ; de la même manière que
 x 
 x  = n lim 

n
x→+∞ x
x →+∞
x →+∞
n x→+∞ 
n X →+∞  X 
 n 

 x 



 n
 n 
précédemment on a lim x n ex = 0 .
x →−∞
Remarque : grosso-modo on peut résumer la situation en disant qu’à l’infini (+ ou –) l’exponentielle
l’emporte sur n’importe quel polynôme, lequel l’emporte toujours sur ln en +∞ .
n
x

On pourrait partir de l’exponentielle définie par lim  1 +  = ex , mais les calculs sont vraiment
n→+∞ 
n
déplaisants. Par contre si on utilise la définition suivante nettement plus efficace de exp :

x x2
xn 
ex = lim  1 + +
+ ... +
 , la plupart des limites du 4. viennent immédiatement.
n→+∞
1! 2!
n! 

Exercice 5. 178
4. On s’intéresse à la suite Sn = 1 +
1 1
1
+ + ... + − ln n .
2 3
n
a. A l’aide de votre calculatrice donner des valeurs approchées à 10–4 près de S10 , S20 , S30 . Quelles
conjectures pouvez vous faire sur le comportement de Sn ?
b. En utilisant les inégalités du 3. c. Montrer que (Sn) est décroissante et que 0 ≤ Sn ≤ 1 . Qu’en concluezvous ?
5. 1. h : Théorème : « si f est continue sur un intervalle I et si a est un point de I, la fonction F telle que
F( x) =
∫
x
f ( t)dt est l’unique primitive de f sur I s’annulant en a ».
a
Démonstration
Soit G une primitive de f sur I ; la fonction F( x) =
1. La fonction g est définie sur ]0 ; +∞ [ par g( x) = 2 x x − 3 ln x + 6 . En utilisant les variations de g,
déterminer son signe suivant les valeurs de x.
2. La fonction numérique f est définie sur ]0,+∞[ par f ( x) =
3 ln x
+ x −1 .
x
∫
x
0
f ( t)dt =G( x) − G( a) est une primitive de f telle que
F( a) = 0 : comme G(a) est une constante, F '( x) = G '( x) − 0 = f ( x) et F( a) = G( a) − G( a) = 0 .
Cette primitive est unique : supposons qu’il existe une fonction H différente de F qui satisfasse les mêmes
conditions, alors H( x) = F( x) + k où k est une constante ; en particulier on a H( a) = F( a) + k = k , mais
comme H( x) =
a. Démonstration de cours : au choix
1
.
1− x
∫
x
f (t)dt , on a également H(a) = 0 donc k = 0 et H = F.
a
x
- démontrer que lim
x→+∞
ln x
e
= 0 et en déduire que lim
= +∞
x→+∞ x
x
ou bien
- démontrer que lim
x→+∞
ln x
ex
= +∞ et en déduire que lim
=0.
x→+∞ x
x
b. Déterminer les limites de f en 0 et +∞ (en +∞, on pourra poser X = x ).
c. Utiliser la première partie pour déterminer le sens de variation de f.
3. Soit ∆ la droite d'équation y = x – 1 et C la représentation graphique de f dans un repère orthonormé du
plan. Montrer que ∆ est asymptote de C et étudier leurs positions relatives. construire C et ∆ .
Exercice 5. 180
Le but de l’exercice est d’établir dans un cas particulier le lien existant entre aire sous la courbe et
primitive. On rappelle que :
H est une primitive de h sur [a ; b] si et seulement si H est dérivable sur [a ; b] et pour tout x de
[a ; b] on a H’(x) = h(x).
Soit f la fonction définie sur ℝ par f (t) = ln(1 + t2 ) .
1. Expliquer pourquoi f est continue sur ℝ .
2. Montrer que f est croissante sur [0 ; + ∞[ .
La fonction f est représentée ci-dessous.
Exercice 5. 179
Soit les fonctions f et g définies sur ℝ par f ( x) = x − e x et g( x) = (1 − x)e x .
125
Pour α ≥ 0 , on note A(α ) l’aire de la portion de plan limitée par l’axe des abscisses, la courbe
représentative de f et la droite d’équation x = α .
126
3. a. Soit x0 et h deux réels strictement positifs. En utilisant un rectangle convenable, établir l’encadrement
A( x0 + h) − A( x0 )
ln(1 +
≤ ln(1 + ( x0 + h)2 ) .
h
b. En utilisant une propriété géométrique de la courbe de f donner un encadrement similaire lorsque
x0 + h < x0 < 0 .
x02 ) ≤
Einstein avait fait remarquer que cette loi était fausse (que se passe-t-il si λ devient très petit ?), mais
C
donne une approximation pour certains λ. Comme 2 est très supérieur à 1, on peut également écrire
λT
Iλ =
C1
λ5
C
− 2
λT
e
.
1. En dérivant Iλ par rapport à λ trouver la valeur de λ pour laquelle Iλ est maximale. En déduire la loi de
c. Démontrer que A est dérivable en x0. Quel est le nombre dérivé de A en x0 ?
Wien : λmT = constante = 2897 µ m. K .
4. Expliquer pourquoi 0 ≤ A(1) ≤ ln 2 et ln 2 ≤ A(2) ≤ ln 2 + ln 5 .
3
3000
y
4000
50 0 0
9
8
Intensité de la radiation
2,5
2
1,5
7
6
5
4
3
2
1
1
0
0
0,5
1
1,5
x
x0+h
x0
0
-0,5
50 0 0
10 0 0 0
150 0 0
20000
Entre les deux traits verticaux on a les longueurs d’onde visibles (en Angström). Les courbes correspondent
à différentes valeurs de T. Les valeurs λm de λ pour lesquelles I est maximale décroissent quand la
température augmente.
0,5
-1
Longueur d'onde
0
2
L’énergie totale E émise par seconde par unité de surface de l’étoile croît avec la température T ; cette
énergie est égale à E= lim
2,5
3
u→+∞
3,5
∫
u
0
Iλ dλ .
1. Démonstration de cours.
Démontrer à l’aide de deux intégrations par parties successives que
∫
b
a
b
∫
b
u '' vdt .
a
(Pour avoir une écriture plus lisible on a omis d’écrire les (t)…)
5. 1. i : Intégration par parties
Résultat et démonstration
2. Calculer
Soit u et v deux fonctions dérivables sur [a ; b] admettant des dérivées u’ et v’ continues, alors
∫
b
a
Du fait que
uv '' dt = [ uv '− u ' v ] a +
u '(t)v(t)dt = [ u(t)v(t) ] a −
[ u(t)v(t) ] ' = u '(t)v(t) + u(t)v '(t)
b
∫
b
d’abord u =
u(t)v '(t)dt .
a
et que toutes les fonctions considérées sont continues on peut
intégrer cette relation entre a et b, ce qui donne le résultat.
a→0
Exercice 5. 181
∫
a
b
a
1
λ
3
Iλ dλ pour T fixé en faisant une succession d’intégrations par parties : on posera tout
, v' =
1
λ
2
k
eλ .
Iλ dλ puis lim
b→+∞
∫
b
0
Iλ dλ .
4. En déduire la loi de loi de Stefan-Boltzmann : E =
La répartition de l’énergie rayonnée par une étoile en fonction de la couleur (ou la longueur d’onde) du
rayonnement est donnée par la loi de Planck dont une loi approchée est la loi de Wien. Pour chaque longueur
C1
d’onde λ une étoile de température T (en degrés Kelvin) donne un rayonnement d’intensité Iλ =
,
C
( 2 −1)
λ 5 e λT
où C1 et C2 sont des constantes : C1 = 3740.10
3. lim
b
∫
−12
W .cm et C2 = 1, 438 cm. K .
2
127
∫
+∞
0
Iλ dλ = C1 .
6T 4
C24
= kB T 4 où kB est la constante de
Boltzmann.
D’une façon générale, tous les corps chauffés émettent de l’énergie suivant des lois qui se rapprochent plus ou moins
des lois précédentes. La brillance énergétique I 'λ est toujours plus petite que la brillance énergétique Iλ du corps
noir, et le rapport entre les deux définit le facteur d’émission spectrale ; il dépend de la nature du corps émissif, de son
état de surface, de la température, de la longueur d’onde, etc.
128
5. 1. j : Equation y’ = ay + b : existence et unicité de la solution passant par un point donné.
Résultat et démonstration
Dans ce type d’équation la méthode la plus générale est la plus rentable ; on résout tout d’abord y’ = ay,
y'
soit
= a ⇒ ln y = ax + K ⇔ y = eax + K = eK eax ⇔ y = ±Ceax , C réel positif non nul. Pour trouver la
y
solution de l’équation initiale on pose C = h(x), soit y = h( x)eax et on remplace dans l’équation :
y ' = h '( x)eax + ah( x)eax , soit h '( x)eax + ah( x)eax = ah( x)eax + b ⇔ h '( x)eax = b ⇔ h '( x) = be− ax ;
b
il reste à intégrer h’ : h( x) = − e− ax + K ' d’où la solution
a
3. Quelle sera la température du liquide 30 minutes après l’instant initial ?
Exercice 5. 184
Soit E1 l’ensemble des fonctions solutions de l’équation différentielle y’ = y.
Soit E2 l’ensemble des fonctions solutions de l’équation différentielle y’’ = y.
Le but de l’exercice est de démontrer qu’il existe une unique fonction f qui appartient à E2 et qui vérifie
f(0) = 1 et f’(0) = 0.
1. Vérifier que les fonctions définies sur ℝ par x → ex et x → e− x sont des éléments de E2.
2. Soit f une fonction dérivable sur ℝ , on pose u = f + f’.
a. Démontrer que f appartient à E2 si et seulement si u appartient à E1.
b
 b

y =  − e− ax + K '  eax = K ' eax − .
a
 a

b. Démonstration de cours.
Connaissant un point tel que y( x0 ) = y0 on remplace et on trouve K ‘ ce qui est toujours possible dans ce
cas. Comme K’ est unique la solution est unique.
On rappelle que la fonction x → ex est une solution de E1.
Démontrer l’unicité de la fonction u élément de E1 qui vérifie u(0) = 1.
3. Soit f un élément de E2. On pose, pour tout réel x, g( x) = f ( x)e x .
Remarque : l’intérêt de la méthode vue ici est qu’elle permet de résoudre de nombreuses équations
différentielles de ce type, voire nettement plus compliquées.
a. Démontrer que si f vérifie f(0) = 1 et f’(0) = 0, alors g '( x) = e2 x .
Exercice 5. 182
b. Démontrer qu’il existe une seule fonction f répondant au problème posé et déterminer son expression.
Une étude sur le comportement de bactéries placées dans une enceinte close dont le milieu nutritif est
renouvelé en permanence a conduit à proposer une loi d’évolution de la forme
5. 2. Géométrie
dN(t)
= 2 N( t) − 0,0045 N(t)2
(1)
dt
où t est le temps exprimé en heures. N(t) représente le nombre d’individus présents dans l’enceinte à
l’instant t ; à t = 0 on a N(0)=1 (en milliers).
1. On pose y(t) =
1
; montrer que y est solution d’une équation différentielle (E) du type y’ = ay+b.
N(t)
5. 2. a : Module et argument d’un produit, d’un quotient
Les démonstrations sont relativement simples, nous ne la ferons que pour le quotient, pour le produit c’est
pareil ; on rappelle que z
2
= zz .
z
z'
2. Résoudre (E).
3. En déduire la solution N(t) de (1).
(
2t
e
. Déduisez-en une primitive de N(t).
0,0025e2t − 0,00125
6. On appelle nombre moyen de bactéries la limite quand T tend vers +∞ de
1
T
∫
T
N(t)dt . Calculer cette
0
intégrale et en déduire le nombre moyen de bactéries dans l’enceinte.
z
zz
 z  z 
=    =
=
 z'  z'  z' z '
z'
2
2
.
)
horizontal. Par ailleurs
OM,OM ' = OM,u + u, OM ' = − u, OM + u, OM ' = − arg( z) + arg( z ') (2π ) ;
(
) (
) (
)
(
) (
)
cherchons maintenant
 r ' eiθ ' 
 z' 
 r'

arg   = arg  iθ  = arg  ei(θ ' −θ )  = θ '− θ = arg( z ') − arg( z) = OM, OM ' (2π ) .
r
 z 


re


(
Exercice 5. 183
Dans une pièce à la température constante de 20°C, à l’instant initial noté 0 la température θ (0) d’un
liquide est égale à 70°C. Cinq minutes plus tard elle est de 60°C.
On admet que la température θ du liquide est une fonction dérivable du temps t, exprimé en minutes, et
que sa dérivée θ '(t) est proportionnelle à la différence entre la température θ (t) et celle de la pièce.
On notera a le coefficient de proportionnalité, a∈ ℝ .
Exercice 5. 185
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal (O ; u, v ) du plan. On rappelle que pour tout vecteur
w non nul, d’affixe z, on a : z = w et arg( z ) = u, w défini à 2kπ près.
(
)
Si z et z’ sont deux nombres complexes non nuls alors arg(zz’) = arg(z) + arg(z’) (à 2kπ près).
Soit (E) l’équation différentielle z ' = az .
ax
)
Dans cet exercice, on prend comme prérequis le résultat suivant :
1. Démonstration de cours.
On rappelle que la fonction x → e
2
L’égalité des carrés donne bien sûr l’égalité des modules puisuqe ces derniers sont positifs.
Pour l’argument on a u,OM = arg( z ) (2π ) si z est l’affixe du point M et u le vecteur directeur de l’axe
4. Etudier les variations de N.
5. Montrer que N( t) =
z
z
z
, le conjugué de
est
d’où
z'
z'
z'
Soient deux complexes z et z’ et leur quotient
est une solution de l’équation (E).
Démontrer que toute solution de (E) est de la forme x → Ce , où C est une constante réelle.
ax
 z 
1. Soit z et z’ sont deux nombres complexes non nuls, démontrer que arg   = arg( z) − arg( z ') + 2kπ .
 z' 
2. Résoudre l’équation différentielle : y ' = ay − 20 a .
129
130
On note A et B les points d’affixes respectives 2i et –1. A tout nombre complexe z, distinct de 2i, on associe
z +1
.
le nombre complexe Z =
z + 2i
2. Donner une interprétation géométrique de l’argument de Z dans le cas où z ≠ −1 .
3. Déterminer et représenter graphiquement, en utilisant la question précédente, les ensembles de points
suivants :
a. L’ensemble E des points M d’affixe z tels que Z soit un nombre réel négatif.
b. L’ensemble F des points M d’affixe z tels que Z soit un nombre imaginaire pur.
5. 2. b : Résolution dans ℂ des équations du second degré
La résolution est identique à ce qui se passe dans ℝ : on a donc l’équation az 2 + bz + c = 0 où a, b et c sont
des réels. On calcule ∆ = b2 − 4ac ; si ∆ est positif c’est comme dans ℝ , sinon
− b + i (−∆ )
−b − i (−∆ )
∆ = −∆ ' = i 2 ∆ ' ⇒ ∆ = i ∆ ' ; on a donc les solutions z1 =
et z2 =
.
2a
2a
On remarque également que les deux racines sont conjuguées (ceci n’est valable que si a, b et c sont réels) .

 z '− ω 
 arg  z − ω  = θ
 ΩM, ΩM ' = θ
z '− ω



⇔
⇔
= eiθ ⇔ z '− ω = eiθ ( z − ω ) ⇔ z ' = eiθ z − eiθ ω + ω .

z −ω
 z '− ω = 1
 ΩM = ΩM '
 z − ω
(
)
Comme vous êtes observateurs vous vous dites que homothétie et rotation ont une écriture quasiment
identique, du style z '− ω = a( z − ω ) , sauf que a est réel pour l’homothétie et imaginaire de module 1 pour
la rotation. Que se passe-t-il pour un a complexe quelconque, eh bien on a la composée d’une homothétie
de rapport positif, k = a , et d’une rotation d’angle θ = arg( a) . C’est une similitude directe de centre Ω , de
rapport k et d’angle θ .
Exercice 5. 189
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal (O ; u, v ) du plan. On rappelle que pour tout vecteur
w non nul, d’affixe z, on a : z = w et arg( z ) = u, w défini à 2kπ près.
(
 p−m 
a. Démontrer que arg 
 = MN , MP
 n− m 
(
Exercice 5. 186
On considère dans ℂ l’équation du second degré z + 2(1 + cos u) z + 2(1 + cos u) = 0 où u est un pramètre
réel appartenant à l’intervalle [0 ; π ].
2
1. Résoudre cette équation dans ℂ .
)
1. Soient M, N et P trois points du plan, d’affixes m, n et p tels que m ≠ n et n ≠ p .
b. Interpréter géométriquement
) à 2kπ
près.
p−m
.
n− m
2. Déterminer le module et l’argument des solutions.
2. En déduire la traduction complexe d’une rotation de centre Ω d’affixe ω et d’angle de mesure θ , θ
désignant un nombre réel.
Exercice 5. 187
5. 2. d : Distance d’un point à un plan
1

 z1 z2 =
2
Rechercher tous les couples ( z1 , z2 ) de nombres complexes satisfaisant aux conditions : 
.
 z + 2z = 3
2
 1
A
Donner la forme trigonométrique de chacun des nombres ainsi obtenus.
Exercice 5. 188
n
1. Quelle est l’équation du second degré de la forme z 2 + az + b = 0 dont les solutions sont z1 = reiθ et
z2 = re− iθ ?
H
2. Résoudre dans ℂ l’équation Z2 − 2Z cos θ + 1 = 0 .
3. En déduire la résolution dans ℂ de l’équation z 4 − 2 z 2 cos θ + 1 = 0 . On donnera les solutions sous forme
trigonométrique.
4. Les quatre solutions de l’équation précédente sont les affixes de quatre points du plan complexe. Pour
quelle(s) valeur(s) de θ ces quatre points sont ils les sommets d’un carré ?
5. Décomposer en produit de deux facteurs du second degré le polynôme P( x) = x 4 − 2 x2 cos θ + 1 .
5. 2. c : Écriture complexe des transformations
Les transformations concernées sont :
translation : M a pour image M’ dans la translation de vecteur u si MM ' = u ⇔ z '− z = u ⇔ z ' = z + u ;
homothétie de centre Ω(ω ) de rapport k : ΩM ' = kΩM ⇔ z '− ω = k( z − ω ) ⇔ z ' = kz − kω + ω ;
rotation de centre Ω(ω ) , d’angle θ :
Soit A( x A , y A , z A ) un point de l’espace, P le plan d’équation ax + by + cz + d = 0 et H le projeté orthogonal
de A sur P. Il faut donc calculer la distance AH.
 a
 
Le vecteur n  b  est normal à P ; le vecteur AH est colinéaire à n , il existe donc t réel tel que AH = tn .
c
 
Calculons le produit scalaire AH.n en posant que H a pour coordonnées (x, y, z) :
AH.n = a( x − xH ) + b( y − y A ) + c( z − z A ) = ax + by + cz − ax A − by A − cz A = − d − ax A − by A − cz A ;
par ailleurs comme AH = tn on a AH.n = ± AH . n = ± AH. a2 + b2 + c2 . On a donc finalement
AH =
131
ax A + by A + cz A + d
a2 + b2 + c2
(les valeurs absolues apparaissent pour assurer que AH est positif).
132
Remarque : la démonstration donnant la distance d’un point à une droite dans le plan est exactement la
ax A + by A + c
même ; on obtient alors AH =
où la droite a pour équation ax + by +c =0.
a2 + b2
a. Calculer la distance du point C à la droite (AB).
Exercice 5. 190
b. Montrer la relation
2. Soient a, b, c des réels strictement positifs ; on considère les points A( a, 0, 0) , B(0, b, 0) et C(0, 0, c) dans
un repère orthonormal (O ; i , j , k ) de l’espace.
L’espace E est rapporté à un repère orthonormé (O ; i , j , k ) . Les points A, B et C ont pour coordonnées :
A(−1 ; 2 ; 1), B(1 ; − 6 ; − 1), C(2 ; 2 ; 2) .
1 


1. Montrer que A, B et C ne sont pas alignés et que le vecteur n =  1  est normal au plan (ABC).
 −3 


2. Donner une équation cartésienne du plan (ABC).
3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite ( ∆ ) orthogonale au plan (ABC) passant par le
point D(0 ; 1 ; −1).
4. Déterminer les coordonnées du point d’intersection H avec le plan (ABC). Quelle est la distance de D au
plan (ABC) ?.
5. Démonstration de cours : démontrez que la distance de D au plan (ABC) est
axD + byD + cz D + d
où ax + by + cz + d = 0 est une équation cartésienne de (ABC). Retrouvez ainsi le
d=
a2 + b2 + c2
résultat précédent.
6. Soit M un point quelconque de (DC) de paramètre t (soit DM = tDC , t réel) ; vérifier que la distance AM
5
est minimale lorsque t = − . En déduire les coordonnées du point Q, projeté orthogonal de A sur (DC).
14
5. 2. e : Distance d’un point à une droite
Aire ( ABC ) = Aire ( OAB ) + Aire ( OBC ) + Aire ( OCA ) .
2
2
2
2
5. 2. f : Caractérisation barycentrique d’une droite, d’un plan, d’un segment, d’un triangle
D’une manière générale le barycentre de deux points A et B affectés des coefficients α et β est tel que
β α AG + β BG = 0 ⇔ AG =
AB . Comme on peut toujours diviser les coefficients par un même nombre,
α +β
on peut choisir α + β = 1 , ce qui donne AG = β AB , soit la définition de la colinéarité de AG et AB . De
α + β = 1 on tire β = 1 − α , soit
α AG + (1 − α )BG = 0
où α est un réel quelconque. Ceci caractérise alors G comme un point quelconque de la droite (AB) lorsque
α parcourt ℝ .
Particulièrement si 0 ≤ α ≤ 1 ⇔ 0 ≤ 1 − α ≤ 1 ⇔ 0 ≤ β ≤ 1 on voit avec AG = β AB que G parcourt le
segment [AB] ; si 0 ≤ α ⇔ β ≥ 1 , G parcourt la demi-droite « après » B et si α ≥ 1 ⇔ β ≤ 0 , G parcourt la
demi-droite « avant » A.
Dans un plan la situation est tout à fait semblable, mis à part qu’un plan est défini par trois points non
alignés A, B, C ; on considère alors le barycentre G de { ( A, α ) , ( B, β ) , ( C , γ ) } en prenant tout de suite
α + β + γ = 1 . On a donc
α AG + β BG + γ CG = 0 ⇔ (1 − β − γ ) AG + β BG + γ CG = 0 ⇔ AG + β ( BG + GA ) + γ ( CG + GA ) = 0 ,
soit AG = β AB + γ AC avec β et γ parcourant ℝ . G parcourt alors le plan dans son ensemble.
M
Le même raisonnement que précédemment nous permet alors de dire que lorsque β et γ parcourent
l’intervalle [0 ; 1], G est à l’intérieur du triangle ABC (en fait dans ce cas les coordonnées de G dans le
repère A, AB, AC sont précisément β et γ ). Les autres régions du plan pouvant être caractérisées de
K
n
H
(
)
manière semblable.
Exercice 5. 192
A
Voici un très joli exercice permettant de caractériser le point d’intersection des bissectrices d’un triangle comme
barycentre des sommets du triangle.
On considère dans
On prend une droite (d) passant par A, de vecteur directeur n et un point M de l’espace. Soit (P) le plan
passant par A et orthogonal à n , on appelle K le projeté orthogonal de M sur (d) et H le projeté de M sur
(P) ; on a alors MK2 = KH 2 − MH 2 avec Pythagore, mais comme AKMH est un rectangle, MA = HK. On
en déduit MK2 = MA2 − MH 2 : chacun de ces termes se calcule facilement et c’est donc fini…
Exercice 5. 191
1. Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O ; i , j ) .
a. Soient u, v, w, x0, y0 des nombres réels tels que u2 + v2 ≠ 0 . Etablir une formule donnant la distance du
point M0 ( x0 , y0 ) à la droite d’équation ux + vy + w = 0 .
b. Soient a, b, c des réels strictement positifs, on considère les points A( a, 0) et B(0, b) . Calculer la distance
du point O à la droite (AB).
133
1. Montrer que
ℂ les complexes z1 et z2 de modules 1 et d’arguments α et β.
( z1 + z2 )2
z1 z2
est un réel positif ou nul.
2. A et B sont deux points du plan complexe d’affixes respectives a et b. Calculer en fonction de a et b
l’affixe z du barycentre G de { ( A, b ), ( B, a } .
3. Montrer que OG est un vecteur directeur de la bissectrice de l’angle des demi-droites de vecteurs
directeurs OA et OB .
4. On considère un triangle UVW et on note les longueurs des côtés UV = w , VW = u et WU = v . Montrer
que le centre du cercle inscrit dans UVW est le barycentre de { ( U ,u ) , ( V , v ) , ( W , w ) } .
Exercice 5. 193
Voici un autre exercice dans le même style mais sans utiliser les complexes.
134
On considère un triangle isocèle ABC de côtés BC = 2a, AC = AB = 3a, a étant un réel strictement positif.
On note A’ le milieu de [BC] et H l’orthocentre du triangle.
5. 3. Probabilités
. Montrer que cos α = 7 .
1. Soit α une mesure de l’angle BAC
9
5. 3. a : Formule des probabilités totales
2. Soit B’ le projeté orthogonal de B sur la droite (AC). Calculer
B’ soit le barycentre du système { ( A, u) ; (C , v) } .
Propriété et démonstration
B' A
. En déduire deux réels u et v tels que
B'C
3. En s’aidant de la deuxième question, déterminer trois réel a, b, c tels que H soit le barycentre du système
{ ( A, a) ; ( B, b) ; (C, c) } .
On note PA ( B) =
P( A ∩ B)
la probabilité de l’événement B sachant que A est réalisé. Soit E l’univers de
P( A)
possibilités et une famille d’ensembles A1 , A2 , ..., An formant une partition de E (la réunion de tous ces
ensembles est E et leurs intersections deux à deux est vide).
On a alors P( B) = P ( ( B ∩ A1 ) ∪ ( B ∩ A2 ) ∪ ... ∪ ( B ∩ An ) ) ; comme Ai ∩ Aj lorsque i est différent de j, on a
également ( B ∩ Ai ) ∪ ( B ∩ Aj ) = ∅ . Par conséquent P( B) = P( B ∩ A1 ) + P( B ∩ A2 ) + ... + P( B ∩ An ) .
P( Ai ∩ B)
⇔ P( Ai ∩ B) = PA i ( B). P( Ai ) pour chaque i. Il
P( Ai )
vient finalement P( B) = PA1 ( B)P( A1 ) + PA2 ( B)P( A2 ) + ... + PAn ( B)P( An ) .
Correction
Utilisons les probabilités conditionnelles : PA i ( B) =
A
Exercice 5. 194
Dans une classe de trente élèves sont formés un club photo et un club de théâtre. Le club photo est
composé de 10 membres, le club théâtre de 6 membres. Il y a deux élèves qui sont membres des deux clubs
à la fois.
1. On interroge un élève de la classe pris au hasard. On appelle P l’événement : « l’élève fait partie du club
photo » et T l’événement : « l’élève fait partie du club théâtre ». Montrer que les événements P et T sont
indépendants.
2. Lors d’une séance du club photo, les 10 membres sont tous présents. Un premier élève est tiré au sort. Il
doit prendre la photo d’un autre membre du club qui sera lui aussi tiré au sort.
C'
H
B'
a. On appelle T1 l’événement : « Le premier élève appartient au club théâtre ». Calculer P(T1 ) .
b. On appelle T2 l’événement « L’élève pris en photo appartient au club théâtre ». Calculer PT1 (T2 ) puis
B
A'
PT (T2 ) . En déduire P(T2 ∩ T1 ) et P(T2 ∩ T1 ) .
C
1
b. On appelle T0 l’événement : « L’élève pris en photo appartienne au club théâtre ».
( )
c. Démonstration de cours : Démontrer que P(T2 ) = PT1 (T2 )P(T1 ) + PT (T2 )P T1 . Calculer P(T2 ) .
BC = 2a, AC = AB = 3a
1
1. Un petit coup d’Al-Kashi donne immédiatement :
2
) ⇔ 4 a2 = 9 a2 + 9 a2 − 18 a2 cos( BAC
) ⇔ cos( BAC
) = 14a = 7 .
BC 2 = AB2 + AC 2 − 2 AB. AC. cos( BAC
18 a2 9
B' A
B' A
revient à celui de −
puisque les vecteurs B ' A et B ' C sont de sens contraire.
2. Le calcul de
B'C
B'C
AB '
7
7
= cos α ⇔ AB ' = .3 a = a ; comme
Dans le triangle ABB’ on a
AB
9
3
7
2
B' A
7a / 3
7
B ' C = 3 a − a = a . On a donc
=−
=− .
3
3
2a / 3
2
B' C
AC = AB '+ B ' C
on a
Evidemment les valeurs algébriques ne sont que la traduction des vecteurs correspondants :
B' A
7
= − ⇔ 2 B ' A = −7 B ' C ⇔ 2 B ' A + 7 B ' C = 0 et donc B’ est le barycentre du système { ( A, 2) ; (C , 7) } .
2
B'C
3. Comme la figure est symétrique par rapport à (AA’) et que (AA’) est une hauteur, il faut que b = c : dans
ce cas on a H barycentre de { ( A, a) ; ( B, b) ; (C , b) } , soit celui de { ( A, a) ; ( A ', b + c) } et H est sur (AA’).
Par ailleurs H est sur (BB’), donc il faut regrouper { ( A, a) ; (C , b) } en B’, il suffit donc de prendre
H = barycentre de { ( A, 2) ; ( B, 7) ; (C , 7) } .
135
3. Toutes les semaines on recommence de façon indépendante la séance de photographie avec tirage au sort
du photographe et du photographié. Le même élève peut être photographié plusieurs semaines de suite.
Calculer la probabilité qu’au bout de 4 semaines aucun membre du club théâtre n’ait été photographié.
Correction
Club photo : 10 membres, club théâtre : 6 membres. Deux élèves sont membres des deux clubs à la fois.
1. Avec des patates le résultat est immédiat.
P(P) = 10/30 = 1/3 et P(T) = 6/30 = 1/5.
2
1
1 1 1
=
et P(P) × P(T) = × =
30 15
3 5 15
donc les événements sont indépendants.
On a alors P(P ∩ T) =
6−2 = 4
2
10−2 = 8
Ceci est un pur hasard de calcul, si vous changez par exemple le nombre d’élèves dans la classe ça ne marche plus…
2 1
= .
10 5
1
b. PT1 (T2 ) = : il reste à tirer un membre du club théâtre parmi les neuf restants.
9
2. a. P(T1 ) =
PT (T2 ) =
1
2
: si T1 est réalisé le premier élève ne fait pas de théâtre, il reste deux choix parmi 9 restants.
9
136
1 1 1
2 4 8
P(T2 ∩ T1 ) = PT1 (T2 )P(T1 ) = × =
; P(T2 ∩ T1 ) = PT (T2 )P(T1 ) = × =
.
1
9 5 45
9 5 45
b. Avec les probabilités totales, on a :
(
)
(
)
P(T2 ) = P (T1 ∩ T2 ) ∪ (T1 ∩ T2 ) = P ( T1 ∩ T2 ) + P T1 ∩ T2 = PT1 (T2 )P(T1 ) + PT (T2 )P(T1 ) .
1
1
8
9 1
+
=
= . Le calcul aurait pu se faire directement avec un arbre.
Donc P(T2 ) =
45 45 45 5
4
3. Loi binomiale : n = 4 , p = 1 − P(T2 ) = ; la probabilité cherchée est, en posant X = nombre de fois où
5
4
44 256
.
l’élève photographié n’appartient pas au club théâtre : P( X = 4) =   p4 (1 − p)0 = 4 =
4
625
5
 
n
5. 3. b : Propriétés des   (triangle de Pascal et binôme de Newton).
 p
Exercice 5. 195
 n −1   n−1   n 
 n − 2   n− 2   n−1 
2. Réécrivons 
+
 =   un rang plus bas pour n et pour k :  k − 2  +  k − 1  =  k − 1  ;
 k −1   k   k 

 
 

 n −1   n−1   n 
 n− 2   n − 2   n−1 
réécrivons 
+
 =   un rang plus bas pour n mais pas pour k :  k − 1  +  k  =  k  ;
 k −1   k   k 

 
 

 n−2 
 n − 2   n − 2   n −1   n −1   n 
ajoutons les deux lignes : 
 + 2 k −1  +  k  =  k −1  +  k  =  k  .
 k−2 

 
 
 
  
n
3. Dans l’urne on a 2 boules rouges et n − 2 boules blanches ; il y a   tirages simultanés possibles de k
 k
boules de l’urne.
a. A = « au moins une boule rouge a été tirée » ; A = « aucune boule rouge n’a été tirée » = « les k boules
 n− 2 


 n−2 
 k 
tirées sont blanches » : il y a 
.
 manières de faire et P(A) =
k
n
 


 
 k
1. Démonstration de cours. Démontrer que, pour tous entiers naturels n et k tels que 1 ≤ k < n , on a :
 n −1   n−1   n 
 k −1  +  k  =  k  .

 
  
On a donc P(A) = 1 −
2. En déduire que pour tous entiers naturels n et k tels que 2 ≤ k < n − 1 , on a :
 n− 2   n− 2   n− 2   n 
 k − 2  + 2 k −1  +  k  =  k  .

 
 
  
3. On considère deux entiers naturels n et k tels que 2 ≤ k < n − 1 . On dispose d’une urne contenant n
boules indiscernables au toucher. Deux des boules sont rouges, les autres sont blanches.
On tire au hasard et simultanément k boules de l’urne. On appelle A l’évènement « au moins une boule
rouge a été tirée ».
a. Exprimer en fonction de n et de k la probabilité de l’évènement A , contraire de A. En déduire la
probabilité de A.
b. Exprimer d’une autre manière la probabilité de l’évènement A et montrer, à l’aide de la formule obtenue
à la question 2, que l’on retrouve le même résultat.
Correction
 n  n(n − 1)...( n − k + 1)
n
n!
1. Démonstration : il est plus simple d’utiliser   =
que   =
, la mise au
k( k − 1)...2.1
 k
 k  k!(n − k)!
même dénominateur étant plus visible.
 n −1   n−1   n 
(n − 1)...( n − 1 − k + 1 + 1) (n − 1)...(n − 1 − k + 1) n...(n − k + 1)
+
=
;
 k −1  +  k  =  k  ⇔
k( k − 1)...2.1
k( k − 1)...2.1
( k − 1)...2.1

 
  
le dénominateur commun apparaît alors : k!
Il suffit donc de multiplier la première fraction par k en haut et en bas, ce qui donne
k( n − 1)...(n − k + 1) + (n − 1)...(n − k) n...( n − k + 1)
=
.
k!
k!
On peut mettre (n − 1)...( n − k + 1) en facteur du numérateur de la fraction de gauche :
( n − 1)...(n − k + 1)  k + n − k  n(n − 1)...(n − k + 1)
=
k!
k!
et c’est fini.
137
 n−2 


 k 
=
n
 
 k
 n   n−2 
 −

 k  k 
.
n
 
 k
 2  n−2 
 n−2 
b. A peut se produire si on tire 1 rouge et k − 1 blanches, nombre de manières :   
 = 2 k −1  ,
 1   k −1 


 2  n− 2   n− 2 
ou 2 rouges et k − 2 blanches : nombre de manières :   
=
.
 

 2  k−2   k−2 
 n− 2   n− 2 
2
+

 k −1   k − 2 
On a alors P(A) =
.
n
 
 
 k
L’égalité entre les deux est alors l’égalité des numérateurs :
 n   n−2 
 n− 2   n− 2 
 n   n− 2 
 n− 2   n− 2 
 −
 = 2
+
⇔ =
 + 2
+
,
 k  k 
 k −1   k − 2 
 k  k 
 k −1   k − 2 
soit l’égalité du 2.
5. 4. Spécialité : arithmétique
5. 4. a : Théorème de la division euclidienne
Soient a un entier relatif et b un entier non nul ; il existe un couple d’entiers relatifs (q, r) tels que
a = bq + r avec 0 ≤ r < b .
L’opération qui au couple (a, b) associe le couple (q, r) est appelée division euclidienne. q est le quotient, r le
reste.
Démonstration : soit x un réel, on appelle partie entière de x le nombre entier relatif juste inférieur à x ; on le
a
note E(x). La division de a par b fournit un nombre réel u = ; soit alors q = E(u) , on a alors
b
a
q ≤ < q + 1 ⇔ qb ≤ a < qb + b ⇔ 0 ≤ a − qb < b .
b
138
Posons r = a − qb , on a évidemment a = qb + r et 0 ≤ r < b . L’existence de r est assurée, celle de q est due à
l’existence d’un entier égal à la partie entière d’un réel, chose que nous admettrons…
S’il existait deux couples (q, r) et (q’, r’) on aurait de la même manière a = bq + r = bq '+ r ' d’où
b( q − q ') = r − r ' donc r − r ' est un multiple de b, mais on a −b < r − r ' < b , la seule possibilité est donc que
r − r ' = 0 ⇔ r = r ' et comme b n’est pas nul, que q − q ' = 0 , soit q = q’. Nous avons donc unicité.
Exercice 5. 196
ab ≡ pq(n) : a = p + kn , b = q + k ' n , d’où ab = ( p + kn)( q + k ' n) = pq + kqn + k ' pn + kk ' qpn2 ⇒ ab ≡ pq( n) ;
on en déduit immédiatement que am ≡ pm (n) par récurrence sur m.
Exercice 5. 199
On considère les dix caractères A, B, C, D, E, F, G, H, I et J auxquels on associe dans l’ordre les nombres
entiers de 1 à 10. On note Ω = {1, 2, . . . , 10}.
Définition de la congruence modulo 11 : on rappelle que si a et b désignent deux entiers relatifs, on dit que
a est congru à b modulo 11, et on écrit a ≡ b[11] , si et seulement s’il existe un entier relatif k tel que
a = b + 11k.
n désigne un nombre entier naturel.
1. Démontrer que n2 + 5n + 4 et n2 + 3n + 2 sont divisibles par n + 1 .
2. Déterminer l’ensemble des entiers n pour lesquels 3n2 + 15n + 19 est divisible par n + 1 .
1. a. Démonstration de cours : démontrer que si a ≡ b[11] et c ≡ d[11] alors ac ≡ bd[11] .
3. En déduire que, quel que soit n, 3n + 15n + 19 n’est pas divisible par n + 3n + 2 .
b. En déduire que si a ≡ b[11] , alors pour tout n entier naturel on a : an ≡ bn[11] .
2
2
Peut-on préciser, suivant les valeurs de n, le reste de la division de 3n + 15n + 19 par n + 3n + 2 ?
2
2
2. On désigne par f la fonction définie sur Ω par « f(n) est le reste de la division euclidienne de 5n par 11 ».
On désire coder à l’aide de f le message « BACF ». Compléter la grille de chiffrement ci-dessous :
5. 4. b : Algorithme d’Euclide
Ecrivons les divisions successives de a par b, de r0 par r1, … jusqu’à celle de rn−1 par rn :
a = bq0 + r0
b = r0 q1 + r1
r0 = r1 q2 + r2
....
rn−1 = rn qn+1 + rn+1
Comme on a 0 ≤ rn+1 < rn < ... < r1 < r0 < b et que ce sont tous des nombre entiers, il arrivera forcément un
moment où rn+1 sera nul (principe de la descente infinie de Fermat) sinon on aboutirait à une contradiction.
Supposons par exemple que rN soit le dernier reste non nul ; on a r0 = a − bq0 et si d est un diviseur de a et
b, d divise alors a − bq0 et donc r0, d est un diviseur de b et r0. Le même raisonnement appliqué aux
divisions successives montre que d est un diviseur de a, b, r0, r1, …, rN.
Lettre
B
A
C
F
n
2
1
3
6
f(n)
3
Lettre
C
Peut-on déchiffrer le message codé sans ambiguïté ?
3. On désigne par g la fonction définie sur Ω par « g(n) est le reste de la division euclidienne de 2n par 11 ».
Etablir, sur le modèle précédent, la grille de chiffrement de g. Permet-elle le déchiffrement sans ambiguïté
de tout message codé à l’aide de g ?
4. Le but de cette question est de déterminer des conditions sur l’entier a compris entre 1 et 10 pour que la
fonction h définie sur E par « h(n) est le reste de la division euclidienne de an par 11 » permette de chiffrer et
déchiffrer correctement un message de 10 caractères.
Soit i un élément de Ω .
Particulièrement, si d est le Plus Grand Commun Diviseur de a et b, c’est également celui de b et r0, de r0 et
r1, de r1 et r2,…de rN −1 et rN . Or on a rN −1 = qN +1 rN donc rN divise rN −1 , c’est le PGCD de a et b.
a. Montrer, en raisonnant par l’absurde, que si, pour tout i ∈ Ω , i < 10, ai n’est pas congru à 1 modulo 11,
alors la fonction h permet le déchiffrement sans ambiguïté de tous messages.
Exercice 5. 197
b. Montrer que s’il existe i ∈ Ω , i < 10, tel que ai ≡ 1[11] , alors la fonction h ne permet pas de déchiffrer
un message avec certitude.
1. Démontrer que, pour tout entier naturel n, 23 n − 1 est un multiple de 7. En déduire que 23 n+1 − 2 et
23 n+ 2 − 4 sont des multiples de 7.
2. Déterminer les restes de la division par 7 des puissances de 2.
3. Soit p un entier et le nombre Ap = 2 + 2
p
2p
+ 2 . Déterminer suivant que p = 3n, 3n+1 ou 3n+2 la
3p
divisibilité de Ap par 7.
c. On suppose que i est le plus petit entier naturel tel que 1 ≤ i ≤ 10 vérifiant ai ≡ 1[11] .
En utilisant la division euclidienne de 10 par i, prouver que i est un diviseur de 10.
d. Quelle condition doit vérifier le nombre a pour permettre le chiffrage et le déchiffrage sans ambiguïté de
tous messages à l’aide de la fonction h ? Faire la liste de ces nombres.
5. 4. d : Théorème de Bézout
Soit a et b deux entiers non nuls, d leur PGCD.
Exercice 5. 198
On considère les entiers naturels a, b et c qui s’écrivent dans la base n : a = 111 , b = 114 et c = 13054 .
1. Sachant que c = ab , déterminer n puis l’écriture de chacun de ces nombres en base 10.
2. Vérifier, en utilisant l’algorithme d’Euclide, que a et b sont premiers entre eux. En déduire les solutions
dans ℤ 2 de l’équation ax + by = 1 .
Alors il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = d .
Démonstration : On appelle U l’ensemble des entiers non nuls de la forme n = au + bv : U n’est pas vide
puisqu’il contient a, b, etc. U a alors un plus petit élément d0 tel que au0 + bv0 = d0 ; comme d divise a et b,
il divise d0 et donc d ≤ d0 .
Montrons que d peut s’écrire au + bv = d : on divise a par d0, soit
a = d0 q + r ⇔ r = a − d0 q = a − ( au0 + bv0 )q = a(1 − qu0 ) + b(− qv0 ) avec 0 ≤ r < d0 .
5. 4. c : Propriétés de la congruence
Si a ≡ p(n) et b ≡ q(n) alors
a ± b ≡ ( p ± q)(n) : par exemple on a a = p + kn , b = q + k ' n d’où a + b = p + q + ( k + k ')n ⇔ a + b ≡ p + q(n) ;
r est donc dans U mais d0 est le plus petit élément de U donc r est nul (sinon il serait dans U) ; conclusion
d0 divise a ; le même raisonnement avec b fait que d0 divise b donc d0 divise d et d0 ≤ d . Finalement
d0 = d .
139
140
Remarque : cette relation permet de montrer deux choses vraiment importantes :
4. On considère la suite de nombres entiers strictement positifs ( an )n∈ℕ définie par a0 = a1 = 1 et pour tout
* a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe u et v entiers relatifs tels que au + bv = 1 .
entier n, n ≥ 0 , an+ 2 = an+1 + an .
* L’équation ax + by = c a des solutions en nombres entiers si et seulement si c est un multiple de d, PGCD
de a et b.
Démontrer que pour tout entier naturel n ≥ 0 , ( an ; an+1 ) est solution. En déduire que les nombres an et
Exercice 5. 200
Correction
1. Calculer, en fonction de n, la somme des n premiers entiers naturels non nuls.

p3 = 

p =1

n
2. Démontrer par récurrence que
∑
2

p  . Exprimer sn =

p =1

n
∑
n
∑
p3 en fonction de n.
p =1
3. Soit Dn le PGCD des nombres sn et sn+1 .Calculer Dn lorsque
a. n= 2k.
b. n = 2k+1.
En déduire que sn , sn+1 et sn+2 sont premiers entre eux.
Exercice 5. 201
Pour tout entier naturel n, non nul, on considère les nombres
an = 4 × 10 n − 1 , bn = 2 × 10 n − 1 et cn = 2 × 10 n + 1 .
1. a. Calculer a1, b1, c1, a2, b2, c2, a3, b3 et c3.
b. Combien les écritures décimales des nombres an et cn ont-elles de chiffres ? Montrer que an et cn sont
divisibles par 3.
c. Montrer, en utilisant la liste des nombres premiers inférieurs à 100 donnée ci-dessous, que b3 est premier.
d. Montrer que pour tout entier naturel non nul n, bn × cn = a2n .
e. Montrer que PGCD(bn , cn ) = PGCD( cn , 2) . En déduire que bn et cn sont premiers entre eux.
an+1 sont premiers entre eux.
1. a. Démonstration de cours : voir plus haut.
(
b. a2 + ab − b2
)
2
2
2
 a + ab − b = 1
 a ( a + b ) − b × b = 1
=1⇔ 
⇔
. Dans les deux cas on peut écrire
2
2
 a + ab − b = −1  b(b − a) − a × a = 1
au + bv = 1 : dans le premier u = a + v, v = −b , dans le second u = b − a, v = − a .
(
2. a. a = b : a2 + ab − b2
)
2
= 1 ⇔ a4 = 1 ⇒ a = 1 (a > 0).
(
b. (1 ; 1) est déjà fait, (2 ; 3) : 22 + 2.3 − 32
)
2
(
= 1 et (5 ; 8) : 52 + 5.8 − 82
)
2
= (25 + 40 − 64)2 = 1 .
c. a2 + ab − b2 = 1 : si on a a2 − b2 > 0 , alors a2 + ab − b2 ne peut pas valoir 1 ; de même a2 + ab − b2 ne peut
valoir −1 dans ce cas puisqu’il serait positif. Dans tous les cas on a a2 − b2 < 0 .
3. a. ( y − x ; x) est une solution ssi (x ; y) est une solution :
( (y − x)2 + (y − x)x − x2 ) = ( y2 − 2xy + x2 + xy − x2 − x2 ) = ( y2 − xy + x2 )
2
2
2
=1 ;
Même calcul pour ( y ; y + x) .
b. (2 ; 3) est solution donc (3 − 2 ; 2) = (1 ; 2) et (3 ; 3 + 2) = (3 ; 5) en sont ; (5 ; 8) est solution donc
(8 − 5 ; 5) = (3 ; 5) et (8 ; 5 + 8) = (8 ; 13) en sont ; on a les nouvelles solutions : (1 ; 2) , (3 ; 5) et (8 ; 13) .
4. a0 = a1 = 1 , an+ 2 = an+1 + an . Démonstration par récurrence : supposons que ( an ; an+1 ) est solution, alors
2. On considère l’équation (E) : b3 x + c3 y = 1 d’inconnues les entiers relatifs x et y.
( y ; y + x) = ( an+1 ; an + an+1 ) = ( an+1 ; an+ 2 ) est solution d’après le 3. a. Comme c’est vrai au rang 0 : (1 ; 1) est
solution, c’est toujours vrai.
a. Justifier le fait que (E) a au moins une solution.
La question 1. b. justifie alors que les nombres an et an+1 sont premiers entre eux.
b. Appliquer l’algorithme d’Euclide aux nombres c3 et b3 ; en déduire une solution particulière de (E).
c. Résoudre l’équation (E).
Liste des nombres premiers inférieurs à 100 : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 ;
53 ; 59 ; 61 ; 67 ; 71 ; 73 ; 79 ; 83 ; 89 ; 97.
Exercice 5. 202 : Nouvelle Calédonie, remplacement, novembre 2004
Dans cet exercice a et b désignent des entiers strictement positifs.
1. a. Démontrer que s’il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1 alors les nombres a et b sont
premiers entre eux.
b. En déduire que si
( a2 + ab − b )
2 2
= 1 alors a et b sont premiers entre eux.
2. On se propose de déterminer tous les couples d’entiers strictement positifs (a ; b) tels que
( a2 + ab − b2 )
2
= 1 . Un tel couple sera appelé solution.
a. Déterminer a lorsque a = b.
5. 4. e : Théorème de Gauss
a, b, c trois entiers non nuls ; si a et b sont premiers entre eux et que a divise bc, alors a divise c.
La démonstration est immédiate : a divise bc donc bc = ka , a et b sont premiers entre eux donc il existe u
et v tels que au + bv = 1 , soit en multipliant par c : cau + cbv = c ⇒ cau + kav = c ⇔ a( cu + kv) = c ; il est donc
clair que a divise c (ainsi que cu + kv …).
Exercice 5. 203
1. On admet que 1999 est un nombre premier. Déterminer l’ensemble des couples (a, b) d’entiers naturels
tels que a + b = 11994 et dont le PGCD vaut 1999.
2. On considère l’équation (E) : n2 − Sn + 11994 = 0 où S est un entier naturel. On s’intéresse à des valeurs
de S telles que (E) admette deux solutions dans ℤ
a. Peut on trouver S tel que 3 soit solution de (E) ? Si oui, préciser la deuxième solution.
b. Même question avec 5 ?
b. Vérifier que (1 ; 1), (2 ; 3) et (5 ; 8) sont trois solutions particulières.
c. Montrer que tout entier n solution de (E) est un diviseur de 11994. En déduire toutes les valeurs possibles
de S.
c. Montrer que si (a ; b) est solution et si a < b , alors a2 − b2 < 0 .
5. 4. f : L’ensemble des nombres premiers est infini
3. a. Montrer que si (x ; y) est une solution différente de (1 ; 1) alors ( y − x ; x) et ( y ; y + x) sont aussi des
solutions.
Il existe plus de 600 démonstrations, la plus connue restant celle d’Euclide : je ne résiste pas au plasir de
vous laisser traduire la page d’Eric Weisstein : http://mathworld.wolfram.com/EuclidsTheorems.html
b. Déduire de 2. b. trois nouvelles solutions.
141
142
Euclid's second theorem states that the number of primes is infinite. This theorem, also called the
infinitude of primes theorem, was proved by Euclid in Proposition IX.20 of the Elements (Tietze 1965,
pp. 7-9). Ribenboim (1989) gives nine (and a half) proofs of this theorem. Euclid's elegant proof proceeds as
follows.
Given a finite sequence of consecutive primes 2, 3, 5, ..., p, the number N = 2.3.5.... p + 1 , known as the ith
Euclid number when p = pi is the ith prime, is either a new prime or the product of primes. If N is a
prime, then it must be greater than the previous primes, since one plus the product of primes must be
greater than each prime composing the product. Now, if N is a product of primes, then at least one of the
primes must be greater than p. This can be shown as follows.
If N is composite and has no prime factors greater than p, then one of its factors (say F) must be one of the
primes in the sequence, 2, 3, 5, ..., p. It therefore divides the product 2.3.5... p . However, since it is a factor
of N, it also divides N. But a number which divides two numbers a and b < a also divides their difference
a − b, so F must also divide N − (2.3.5... p) = (2.3.5... p) + 1 − (2.3.5... p) = 1 .
However, in order to divide 1, F must be 1, which is contrary to the assumption that it is a prime in the
sequence 2, 3, 5, .... It therefore follows that if N is composite, it has at least one factor greater than p.
Since N is either a prime greater than p or contains a prime factor greater than p, a prime larger than the
largest in the finite sequence can always be found, so there are an infinite number of primes. Hardy (1967)
remarks that this proof is "as fresh and significant as when it was discovered" so that "two thousand years
have not written a wrinkle" on it.
Application numérique : N = 5100 7 200 ; trouver une valeur approchée de S.
Exercice 5. 206
Pour tout entier n ≥ 1 on pose un = 1!+ 2!+ ... + n!
On donne la décomposition en facteurs premiers des dix premiers termes de la suite (un ) .
u6 = 32 × 97
u1 = 1
u7 = 34 × 73
u2 = 3
u3 = 3
2
u8 = 32 × 11 × 467
u4 = 3 × 11
u9 = 32 × 131 × 347
u5 = 3 × 17
u10 = 32 × 11 × 40787
2
1. Montrer que un n’est jamais divisible par 2, par 5 ni par 7.
2. Peut-on affirmer que un est divisible par 11 à partir d’un certain rang ?
3. Peut-on affirmer que, à partir d’un certain rang, un est divisible par 32 mais pas par 33 ?
5. 4. h : Petit théorème de Fermat
Voici une démonstration due à Leibniz (il n’est pas sûr que ce dernier connaissait celle de Fermat).
Exercice 5. 204
Exercice 5. 207
1. Démonstration de cours : démontrer qu’il existe une infinité de nombres premiers.
On considère l’expression Zn = ( u0 + u1 + u2 + ... + un )p − (u0p + u1p + u2p + ... + unp ) où u0 , u1 , u2 ,… , un sont des
2. Soit p un nombre premier strictement plus grand que 2. Démontrer que p est congru à 1 ou à
–1 modulo 4. Donner deux exemples de chacun de ces cas.
Le but de ce qui suit est de répondre à la question suivante :
« Les nombres premiers p congrus à –1 modulo 4 sont-ils en nombre fini ? »
Supposons que ce soit le cas : soit n le nombre des nombres premiers congrus à –1 modulo 4, notons
A = p1p2 … pn le produit de ces nombres et B = 4A – 1.
3. Montrer que B est congru à –1 modulo 4.
4. Soit q un diviseur premier de B. Montrer que q est distinct de chacun des nombres p1, p2, …, pn
précédents.
entiers quelconques (dont la somme n’est pas divisible par p) et p un nombre premier. Montrer par
récurrence sur n que Zn est divisible par p. Retrouver ainsi la démonstration du théorème de Fermat.
Exercice 5. 208
1. Le nombre 211 − 1 est-il premier ?
2. p et q étant deux entiers naturels non nuls, quel est le reste de la division par 2 p − 1 du nombre
2 pq = (2 p )q ? En déduire que 2 pq − 1 est divisible par (2 p − 1) et (2q − 1) .
3. Démontrer que, si 2n − 1 est premier, alors n est premier. Réciproque ?
Montrer que parmi les diviseurs premiers de B, l’un au moins est congru à –1 modulo 4.
5. Quelle réponse apporter à la question posée ?
5. 5. Spécialité : géométrie
5. 4. g : Décomposition en produits de facteurs premiers
5. 5. a : Toute similitude de rapport k (>0) est la composée d’une homothétie de rapport k et d’une
isométrie
La démonstration n’est pas très drôle. Le lecteur peut consulter
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_fondamental_de_l%27arithm%C3%A9tique
Soit s une similitude de rapport k positif et h une homothétie de rapport
Exercice 5. 205
une similitude de rapport k.
1. On considère le nombre n = 200 = 23 52 .
a. Combien n a-t-il de diviseurs ? En utilisant un arbre, calculez les tous et faites leur somme s.
1
. La composée h s est alors
k
1
= 1 , c’est donc une isométrie f.
k
On a donc h s = f ⇔ h−1 h s = h−1 f ⇔ s = h−1 f où l’homothétie h−1 a pour rapport k.
b. Vérifiez que s = (1 + 2 + 22 + 23 )(1 + 5 + 52 ) .
Exercice 5. 209 : remplacement 2004, Amérique du Sud
2. On considère maintenant le nombre N = aα b β où a et b sont deux nombre premiers.
Soit A0 et B0 deux points du plan orienté tels que A0 B0 = 8 . On prendra le centimètre comme unité.
a. Quel est le nombre de diviseurs de N ?
b. Soit S la somme des diviseurs de N. Montrez que N = (1 + a + a2 + ... + aα )(1 + b + b2 + ... + bβ ) .
c. Déduisez en une expression « simple » de S. Montrez alors que pour α et β suffisamment grands on a
S
a
b
≈
.
.
N a−1 b −1
143
3π
1
et d’angle
. On définit une suite de points ( Bn ) de la
4
2
façon suivante : pour tout entier naturel n, Bn+1 = S( Bn ) .
Soit S la similitude de centre A0, de rapport
1. Construire B1, B2, B3 et B4.
2. Montrer que pour tout entier naturel n, les triangles A0 Bn Bn+1 et A0 Bn+1 Bn+ 2 sont semblables.
144
3. On définit la suite (ln ) par : pour tout entier naturel n, ln = Bn Bn+1 .
 x = 2 + 4k
d’où les solutions 
, k entier relatif.
 y = 1 + 3k
a. Montrer que la suite (ln ) est une suite géométrique et préciser sa raison.
3π
à chaque fois il faudra 4 coups pour revenir sur ∆ ,
4
les valeurs de n correspondantes sont donc n = 2 + 4k .
b. Exprimer ln en fonction de n et l0 .
b. On voit sur la figure que B2 est sur ∆ ; en faisant
c. On pose Σ n = l0 + l1 + ... + ln . Déterminer la limite de Σ n lorsque n tend vers +∞ .
4. a. Résoudre l’équation 3 x − 4y = 2 où x et y sont deux entiers relatifs.
b. Soit ∆ la droite perpendiculaire en A0 à la droite ( A0 B0 ) . Pour quelles valeurs de n, Bn appartient-il à
∆ ?
Correction
1. Rien n’interdit de prendre A0 à l’origine et B0 en z = 8. On a alors S : z → z ' =
l’affixe de Bn : zn+1 =
1 i
e
2
3π
4
zn , soit zn =
1
2n
i
e
3 nπ
4
z0 =
8
2n
i
e
3 nπ
4
1 i
e
2
3π
4
z , d’où en notant zn
Sinon
on
peut
repartir
zn =
sur
1
2
A
8
2
n
i
e
3 nπ
4
qui
est
imaginaire
pur
lorsque
3nπ π
= + kπ ⇔ 3n = 2 + 4k ⇔ 3n − 4k = 2 , soit les solutions précédentes.
4
2
5. 5. b : Les isométries du plan sont les transformations z ' = eiθ z + b ou z ' = eiθ z + b
z2 − z1 = 1 z2 − z1 = z2 − z1 = MN .
B0
Calculons les produits scalaires :
2
2
OM.OI = xOI + yOJ.OI = x , OM.OJ = xOI.OJ + yOJ = y , de même O ' M '.O ' I ' = x ' , O ' M '.O ' J ' = y ' .
Mais comme les distances et les angles sont conservés, on a
OM.OI = OM.OI.cos OM,OI = O ' M '.O ' I '.cos O ' M ',O ' I ' = O ' M '.O ' I '
(
Enfin, bref, à chaque fois on tourne de
3π
et on divise la distance par 2.
4
 A0 → A0

2. Par S on a  Bn → Bn+1 donc les triangles A0 Bn Bn+1 et A0 Bn+1 Bn+ 2 sont semblables.
B →B
n+ 2
 n+1
3. a. ln+1 = Bn+1 Bn+ 2 =
1
1
Bn Bn+1 = ln puisque les triangles sont semblables et que le rapport de similitude
2
2
est 1/2.
8
2n
(
)
Passons maintenant en complexes : prenons dans le repère (O, I, J) les affixes : O(0) → O '(b) , O ' I '(u) ,
O ' J '( v) et M( z = x + iy) .
* O ' I ' est normé donc u = 1 ⇔ u = eiθ , θ réel quelconque.
* O ' J ' est normé et orthogonal à O ' I ' donc v = iu = ieiθ ou v = − iu = − ieiθ .
* O ' M ' = xO ' I ' + yO ' J ' ⇔ z '− b = xu + yv d’où les deux possibilités :
 z '− b = xeiθ + iyeiθ = eiθ z
 z ' = eiθ z + b
⇔
.

iθ
iθ
iθ
iθ
 z ' = e z + b
 z '− b = xe − iye = e z
5. 5. c : Caractérisation complexe d’une similitude
.
Les deux résultats précédents donnent immédiatement que si s est une similitude de rapport k > 0, elle est
1−
c. Σ n = l0 + l1 + ... + ln = 8
)
 x' = x
et O ' M ' = xO ' I ' + yO ' J ' .
ainsi que OM.OJ = O ' M '.O ' J ' d’où 
y
=
y
'

B2
=
z0 =
Il est plus délicat de montrer que toute isométrie est de cette forme : soit f une isométrie du plan muni
d’un repère orthonormal (O, I, J) ; on note (O’, I’, J’) le repère image par f : ce repère est également
orthonormal d’après les propriétés des isométries (conservation des longueurs et des angles, les isométries
positives conservant le sens des angles, les iso. négatives les renversant).
Prenons M(x ; y), on a OM = xOI + yOJ , M’(x’ ; y’) son image par f : O ' M ' = x ' O ' I ' + y ' O ' J ' .
B3
1
3 nπ
4
M( z1 ) → M '( z1 ') et N( z2 ) → N '( z2 ') , soit M ' N ' = z2 '− z1 ' = eiθ
B4
2n
e
Il est immédiat de montrer que ces deux types de transformations sont des isométries ; par exemple pour
z ' = eiθ z + b :
.
B1
b. ln = l0
i
n
f
h
de la forme z 
→ z ' = eiθ z + b 
→ kz '+ β = keiθ z + kb + β = keiθ z + c
1
2
1−
n+1
1
2
→ 16 .
f
h
→ z ' = eiθ z + b 
→ kz '+ β = keiθ z + kb + β = keiθ z + c .
ou de la forme z 
En fait keiθ est un complexe a quelconque de même que c, ce qui donne z ' = az + c ou z ' = az + c .
4. a. 3 x − 4y = 2 a comme solution évidente x = 2, y = 1 : 3.2 − 4.1 = 2. Soustrayons :
 x − 2 = 4k
 3 x − 4y = 2
⇒ 3( x − 2) − 4( y − 1) = 0 ⇔ 3( x − 2) = 4( y − 1) ⇔ 
, k∈ℤ

 3.2 − 4.1 = 2
 y − 1 = 3k
145
Exercice 5. 210 National 2004, remplacement
L’exercice comporte une annexe, à rendre avec la copie.
146
A et C sont deux points distincts du plan ; on note Γ le cercle de diamètre [AC] et O le centre de Γ ; B est
un point du cercle Γ distinct des points A et C.
π
Le point D est construit tel que le triangle BCD soit équilatéral direct ; on a donc BC , BD = + (2π ) .
3
Le point G est le centre de gravité du triangle BCD.
(
)
M
D
B
Les droites (AB) et (CG) se coupent en un point M.
G
Partie A
1. Placer les points D, G et M sur la figure de la feuille annexe.
2. Montrer que les points O, D et G appartiennent à la médiatrice du segment [BC] et que le point G est le
milieu du segment [CM].
A
C
O
3. Déterminer l’angle et le rapport de la similitude directe s de centre C transformant B en M.
Partie B
Dans cette question le plan est muni d’un repère orthonormal direct (O ; u, v ) choisi de telle sorte que les
points A et C aient pour affixes respectives −1 et +1. Soit E le point construit pour que le triangle ACE
π
soit équilatéral direct ; on a donc AC , AE = + (2π ) .
3
1. Calculer l’affixe du point E et construire le point E sur la feuille annexe.
(
)
3+i 3
1− i 3
z+
. Déterminer les éléments
4
4
caractéristiques de σ et en déduire que σ est la similitude réciproque de s.
2. Soit σ la similitude directe d’expression complexe z ' =
1
3
3. Montrer que l’image E’ de E par σ a pour affixe − + i
et montrer que le point E’ appartient au
2
2
cercle Γ .
4. On note Σ le lieu des points M lorsque le point B décrit le cercle Γ privé des points A et C. Montrer que
le point E appartient à Σ .
Soit O’ l’image du point O par la similitude s. Démontrer que le point O’ est le centre de gravité du triangle
ACE. En déduire une construction de Σ .
2. [BC] est une corde du cercle Γ donc OB = OC ; par ailleurs dans un triangle équilatéral le centre de
gravité et le troisième sommet sont sur la médiatrice, ici sur celle de [BC]. (GC) est la médiatrice de [BD] ;
= 30°, GBD
= 30° d’où DBM
= 180 − 90 − 30 − 30 = 30° , moralité M est le
ABC = 90°, BCG
par ailleurs on a symétrique de G par rapport à [BD] et GM = CG.

CM
CG
2 3 2 3
2
k=
=2
=2
=
=
C → C

CB
CB
3
2
3
3
3. On regarde les images par s : 
⇒
π
B→ M 
θ
= CB, CM = − (2π )

6
(
)
Partie B
1.
E
M
A rendre avec la copie
D
B
E'
G
B
A
C
O
A
C
Correction
147
3+i 3
1− i 3
3+i 3
3 3
1
=
+i
z+
: a=

4
4
4
2  2
2
π

3 i6
e
donc rapport
=
 2

 1− i 3
3+i 3
1− i 3
3 + i 3  1− i 3
cherche le centre : z =
⇔ z  1−
⇔ z
z+
=
4
4
4
4
4



2. z ' =
148
π
3
et angle
.
6
2
On
 1− i 3
⇔ z = 1 , c’est
=
4

donc C. La réciproque d’une similitude a même centre, un rapport inverse et un angle opposé : c’est bien le
cas ici.
3. E est sur l’axe imaginaire, son affixe est i 3 (hauteur d’un triangle équilatéral de côté 2). Son image a
3+i 3
1 − i 3 3 i 3 − 3 + 1 − i 3 −2 + 2 i 3
1
3
i 3+
=
=
= − +i
qui a évidemment pour
pour affixe z ' =
4
4
4
4
2
2
module 1 et est donc sur Γ .
4. Comme E ' = σ ( E) , on a E = s( E ') puisque s est la réciproque de σ ; comme E’ est sur Γ , E est sur Σ .
Lorsque B parcourt Γ , M parcourt le cercle de centre s(O)=O’ et de rayon
2
3
2
3
−i
e
π
6
( z0 − zC ) ⇔ zO ' = −
Celle du centre de gravité de ACE est
{ ( M, α ) ; ( N , β )} , M’ et N’ les images de M et N,
 1

1
a
(α m + β n) → g ' = a 
(α m + β n)  + b =
(α m + β n) + b ;
alors m ' = am + b , n ' = an + b , g =
α +β
α +β
α +β

montrons que G’ est le barycentre de { ( M ', α ) ; ( N ', β ) } :
g' =
1
α +β
( α m '+ β n ' ) =
1
α +β
( α am + α b + β an + β b ) =
a
α +β
( αm + βn ) +
1
α +β
(α b + β b) = ag + b .
En fait cette propriété est suffisante puisque l’associativité du barycentre fait que ceci sera valable pour un
nombre quelconque de points.
.
Par ailleurs ceci permet de montrer d’autres propriétés simples comme la conservation du parallélisme.
On obtient l’affixe de O’ « facilement » en écrivant que
zO ' − zC =
* Conservation du barycentre : soit G le barycentre de
5. 5. e : Une similitude ayant deux points fixes distincts est soit l’identité, soit une symétrie axiale
2  3 1 
i
i
− i  + 1 = −1 +
+1 =
.

3 2 2 
3
3
Si notre similitude s’écrit z ' = az + b , elle a soit un seul point fixe z =
1
1−1+ i 3
i
=
.
( z A + zC + zE ) =
3
3
3
b
, soit une infinité lorsque a = 1
1− a
et b = 0 ; c’est donc l’identité si elle en a plus que un.
Si elle s’écrit z ' = az + b et qu’elle a comme points fixes u et v, on a :
E est un point de Σ et O’ son centre, la construction est faite.
 u = au + b
⇔

 v = av + b
E
 u = au + b
⇔

 u − v = a(u − v )
u − v vu − uv

 b = u − u u − v = u − v
u− v
⇒ z '− u =
( z −u).

u−v
a= u− v

u−v
Cette dernière écriture est celle d’une réflexion d’axe (uv), ce que le lecteur vérifiera aisément…
Exercice 5. 211 Polynésie, 2004, remplacement
Le plan est muni d’un repère orthonormal direct (O ; u, v ) . On prendra sur la figure 1 cm pour unité
M
D
B
graphique. On désigne par A, B et C les points d’affixes respectives −1 + i , 3 + 2i et i 2 .
E'
1. On considère la transformation f du plan dans lui-même qui à tout point M d’affixe z associe le point
1+ i
M’ = f(M) d’affixe z’ définie par : z ' =
z − 1 + i(1 + 2) .
2
G
O'
a. Calculer les affixes des points A’ = f(A) et C’= f(C).
A
O
b. En déduire la nature de f et caractériser cette transformation.
C
c. Placer les points A, B et C puis construire le point B’ = f(B).
2. a. Donner l’écriture complexe de l’homothétie h de centre A et de rapport
2.
b. Montrer que la composée g = f h a pour écriture complexe z '' = (1 + i) z − 1 + 3i .
3. a. Soit M0 le point d’affixe 2 − 4i . Déterminer l’affixe du point M0′′ = g( M0 ) puis vérifier que les
vecteurs AB et AM′′0 sont orthogonaux.
5. 5. d : Propriétés des similitudes
* Les similitudes de la forme z ' = az + b sont associées aux isométries positives, elles conservent le sens des
angles : prenons trois points M, N, P et leurs images M’, N’, P’ ;
( ap + b) − ( am + b)
p '− m '
p−m
on a alors M ' N ', M ' P ' = arg
= arg
= arg
= MN , MP .
n '− m '
n− m
( an + b) − ( am + b)
(
)
(
)
* Les similitudes de la forme z ' = az + b sont associées aux isométries négatives, elles renversent le sens des
angles : prenons trois points M, N, P et leurs images M’, N’, P’ ;
(
( ap + b) − ( am + b)
p '− m '
p−m
 p−m 
M ' N ', M ' P ' = arg
= arg
= arg
= arg 
 = − MN , MP .
n '− m '
( an + b) − ( am + b)
n− m
 n−m 
)
(
149
)
b. On considère un point M d’affixe z. On suppose que la partie réelle x et la partie imaginaire y de z sont
des entiers. Démontrer que les vecteurs AB et AM′′ sont orthogonaux si, et seulement si, 5 x + 3y = −2 .
c. Résoudre dans ℤ 2 l’équation 5 x + 3y = −2 .
d. En déduire les points M, dont les coordonnées sont des entiers appartenant à l’intervalle [−6 ; 6] , tels
que AB et AM′′ sont orthogonaux. Placer les points obtenus sur la figure.
Correction
On désigne par A, B et C les points d’affixes respectives −1 + i , 3 + 2i et i 2 .
150
1. a. z ' =
c' =
1+ i
2
b. On a
1+ i
2
z − 1 + i(1 + 2) : a ' =
1+ i
2
8
 4
− ≤ k≤
 −6 ≤ 2 − 3 k ≤ 6
 −8 ≤ −3 k ≤ 4
 k = −1, 0, 1, 2
 −6 ≤ x ≤ 6
 3
3
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔ k = 0, 1, 2 .
d. 
y
−
6
≤
≤
6
2
10
k
k
−
6
≤
−
4
+
5
≤
6
−
2
≤
5
≤
10



 k = 0, 1, 2
− ≤ k≤
 5
5
(−1 − i) − 1 + i(1 + 2) = − i 2 − 1 + i + i 2 = −1 + i ,
(−i 2) − 1 + i(1 + 2) = −i + 1 − 1 + i + i 2 = i 2 .
1+ i
2
i
= e
π
4
= 1 donc f est une isométrie. Par ailleurs les deux points A et C sont invariants donc f
Il y a trois points seulement : m (2 ; −4), A (−1 ; 1) et n (−4 ; 6).
m'
est une réflexion d’axe (AC).
n
c.
B'
B'
B
B
C
C
A
v
A
v
u
O
u
O
m
2. a. h : z → z '/ z '− a = 2( z − a) ⇔ z ' = 2 z + a(1 − 2) = 2 z + (−1 + i)(1 − 2)
h
→ z ' 
→ z ′′ =
b. g = f h = z 
f
z ′′ =
1+ i
2
z ′ − 1 + i(1 − 2) =
1+ i
2
n'
2 z + (−1 + i)(1 − 2) − 1 + i(1 + 2) , soit
1+ i 
1+ i
2 z + (−1 − i) 1 − 2  − 1 + i 1 + 2 = (1 + i) z +
( −1 − i ) 1 − 2 − 1 + i 1 + 2

2 
2
(
)
(
)
(
)
(
5. 5. f : Forme réduite d’une similitude directe
);
il reste à simplifier :
1+ i
2
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( −1 − i) 1 − 2 − 1 + i 1 + 2 = −i 2 1 − 2 − 1 + i 1 + 2 = −1 + i − 2 + 2 + 1 + 2 ,
soit finalement z '' = (1 + i) z − 1 + 3i .
3. a. z0 = 2 − 4i → z0′′ = (1 + i)(2 + 4i) − 1 + 3i = −3 + 9i ; AB a pour affixe b − a = 3 + 2i + 1 − i = 4 + i et AM′′0 a
pour affixe z0′′ − a = −3 + 9i + 1 − i = −2 + 8i ; avec le produit scalaire on a : 4.(−2) + 1.8 = −8 + 8 = 0 , les
vecteurs sont orthogonaux.
b. z = x + iy → z ′′ = (1 + i)( x − iy) − 1 + 3i = x + y − 1 + i( x − y + 3) ⇒ z ′′ − a = x + y + i( x − y + 2) ;
le produit scalaire donne 4( x + y) + 1( x − y + 2) = 5 x + 3y + 2 et est nul lorsque 5 x + 3y = −2 .
c. On a une solution évidente : x = 2, y = −4 ; soustrayons :
 2 − x = 3k
 x = 2 − 3k
 5 x + 3 y = −2
⇒ 5( x − 2) + 3( y + 4) = 0 ⇔ 5(2 − x) = 3( y + 4) ⇔ 
⇔
, k∈ ℤ .

 5.2 + 3(−4) = −2
 y + 4 = 5k
 y = −4 + 5 k
151
Une similitude directe s (avec a différent de 1, qui n’est donc pas une translation) a un point fixe : ω , seul
b
.
point tel que ω = aω + b ⇔ ω =
1− a
z '− ω
 ΩM, ΩM ' = arg
= θ (2π )
 z ' = az + b
z −ω

On a alors 
.
⇒ z '− ω = a( z − ω ) = keiθ ( z − ω ) ⇔ 
 ω = aω + b
 ΩM ' = z ' − ω = k
z −ω
 ΩM
(
)
s est donc la composée d’une homothétie de rapport k et d’une rotation d’angle θ , les deux de centre
Ω(ω ) .
Remarquez que si vous tombez dans vos calculs sur un rapport négatif, il suffit de rajouter π à θ pour
revenir à un rapport positif : − keiθ = eiπ keiθ = kei(θ +π ) .
5. 5. g : Propriété : « étant donnés quatre points A, B, A’, B’ tels que A ≠ B et A’ ≠ B’, il existe une
unique similitude directe transformant A en A’ et B en B’ ».
Avec tous les résultats précédents c’est un jeu d’enfant :
152
on a les affixes a, a’, b et b’. Si on a une similitude directe, celle-ci s’écrit z ' = α z + β ; il suffit donc de
trouver α et β en fonction de a, a’, b et b’.
b '− a '

 a' = α a + β
 a' = α a + β
 A → A'
α =
⇔
⇔
⇔
b−a ;

B
→
B
'
b
=
b
+
b
−
a
=
b
−
a
α
β
α
'
'
'
(
)



 β = a '− α a
c’est tout.
Exercice 5. 212
On considère un triangle OA0B0 rectangle isocèle en O et tel que la distance A0B0 soit égale à 4 2 . On
précise de plus que l’angle OA0 , OB0 est un angle droit direct.
(
)
On définit alors pour tout entier naturel n les points An+1 et Bn+1 de la façon suivante :
– An+1 est le milieu du segment [AnBn] ;
– Bn+1 est le symétrique du point An+1 par rapport à la droite (OBn).
1. Représenter le triangle OA0B0, puis construire les points A1, B1, A2, B2, A3, B3.
2. a. Démonstration de cours. Démontrer qu’il existe une similitude directe et une seule qui transforme
A0 en A1 et B0 en B1.
b. Soit s cette similitude : préciser son angle et son rapport, puis vérifier que son centre est O. Démontrer
que, pour tout entier naturel n, la similitude s transforme An en An+1 et Bn en Bn+1.
3. a. Démontrer que les points O, An et Ap sont alignés si et seulement si les entiers n et p sont congrus
modulo 4.
b. On désigne par Ω le point d’intersection des droites (A0B4) et (B0A4). Démontrer que le triangle A0B0 est
isocèle en Ω .
c. Calculer la distance A0B4.
d. Démontrer que ΩA0 = 4ΩB4 .
e. En déduire l’aire du triangle A0 ΩB0 .
Exercice 5. 213
On considère un triangle OA0B0 rectangle isocèle en O et tel que la distance A0B0 soit égale à 4 2 . On
précise de plus que l’angle OA0 , OB0 est un angle droit direct.
(
)
On définit alors pour tout entier naturel n les points An+1 et Bn+1 de la façon suivante :
– An+1 est le milieu du segment [AnBn] ;
– Bn+1 est le symétrique du point An+1 par rapport à la droite (OBn).
1. Représenter le triangle OA0B0, puis construire les points A1, B1, A2, B2, A3, B3.
2. Soit s la similitude directe de centre O qui transforme A0 en A1.
a. Déterminer l’angle et le rapport de la similitude s, puis montrer que la similitude s transforme B0 en B1.
b. Démontrer que pour tout entier n, la similitude s transforme An en An+1 et Bn en Bn+1.
3. a. Démontrer que les points O, An et Ap sont alignés si et seulement si les entiers n et p sont congrus
modulo 4.
b. On désigne par Ω le point d’intersection des droites (A0B4) et (B0A4). Déterminer la valeur exacte de
l’aire du triangle A0 ΩB0 (tout élément de réponse, par exemple l’exposé d’une méthode ou la
détermination d’une valeur approchée, sera pris en compte).
153
Exercice 6. 217 Calcul de primitives 3
6 . CALCUL INTEGRAL EXERCICES
1. Montrer grâce à la formule de duplication que pour tout réel x, cos2 x =
1 + cos(2 x)
. En déduire une
2
primitive sur ℝ de la fonction f : x → cos2 x .
6. 1. Cours : équations différentielles
2. En utilisant la question 1. montrer que pour tout x, cos4 x =
cos(4 x) + 4cos(2 x) + 3
. En déduire une
8
Exercice 6. 214
primitive sur ℝ de la fonction f 2.
Valider ou infirmer les propositions suivantes :
3. Montrer que pour tout x, cos3 x = cos x − cos x sin 2 x . En déduire une primitive sur ℝ de la fonction g :
x → cos3 x .
1. Les solutions de l’équation différentielle : y’ + 4y = 0 sont les fonctions définies sur ℝ par
f ( x) = e−4 x + C où C est une constante réelle.
2. La fonction définie pour tout x réel par f ( x) = e−7 x + 5 est l’unique solution de l’équation différentielle :
5. Dans quel album d’Asterix voit-on pour la première fois Idefix ?
y’ = −7 y + 35 et y(0) = 5.
Exercice 6. 218 Calcul d’intégrales
6. 2. Calcul
Calculez les intégrales suivantes (la rédaction doit être détaillée ; vous pouvez cependant vérifier vos
réponses à l’aide de la calculatrice) :
Exercice 6. 215 Calcul de primitives 1
Déterminez une primitive de f sur I dans chacun des cas suivants : (pensez à vérifier vos réponses)
a. f ( x) = 12 x 5 − 4 x 3 + 1 ; I = ℝ ; b. f ( x) = 3 −
d. f ( x) =
4
; I =]0 ; +∞[ ;
x2
6x + 3
; I=ℝ ;
x² + x + 1
2x
; I =]1 ; +∞[ ; e. f ( x) =
x² − 1
c. f ( x) =
3x
( x ² + 1)3
; I=ℝ ;
0
a)
∫ (x
x 4 − 4 x² − 2
j. f ( x) =
; I =]0 ; +∞[ ; k. f ( x) = (3 x − 1)² ; I = ℝ ;
x²
−5 x
3 x²
; I=ℝ ;
; I =]1 ; +∞[ ; n. f ( x) =
m. f ( x) =
( x ² + 1)3
x3 − 1
p. f ( x) = − sin x + 2cos x ; I = ℝ ; q. f ( x) =
s. f ( x) = 7 x3 − 2 x2 + 3 ; I = ℝ ; t. f ( x) =
x + 0, 5
; I =ℝ;
x² + x + 1
Donner une primitive de chacune des fonctions suivantes
π
x+π
5
2π
) + cos
.
f définie sur ℝ par f ( x) = 2cos(3 x − ) − 4sin(
6
3
3
3
5
1

g définie sur  , +∞  par g( x) =
−4.
7 3x − 1
3

3
(2 x − 4)3
k définie sur ]0 ; +∞ [ par k( x) =
l définie sur ]0 ; +∞ [ par l( x) =
+
1
4(5 − x)7
x +x
.
2
(2 x3 + 3 x2 )4
x3
e
x −1
∫ x² − 2x + 2 dx ; c) ∫
1
1
2 x4 − 3 x² + 1
l. f ( x) =
; I =]0 ; +∞[ ;
x²
e
g)
ln x
∫ x²
2
dx ; h)
1
0
sin x cos x
∫ cos ² x + 1 dx ; i) ∫ (2x
2
3
− x + 1)dx ; j)
−2
0
3
x2
∫ 2e
3x
3
dx ; e)
∫
0
1
; I =]0 ; +∞[ ;
e
2
∫ (3u − 1)² du ; k) ∫
1
e
1
5
dx ; f)
2x + 3
2
∫ ( x + 1)ln x dx ;
1
ln x
dx ; l)
x
2
∫ 3e
2x
dx ;
0
π
4
m)
∫
0
1
dx ; n)
2x + 1
2
e
∫ x² ln x dx ; o) ∫
1
1
ln 2t
dt ; p)
t²
4
∫ cos x e
sin x
−
o. f ( x) = cos x sin 4 x ; I = ℝ ;
r. f ( x) = −1 +
2
ln t
dt ; d)
t
dx ;
π
6
6. 3. Divers
Exercice 6. 219 Encadrement
Pour tout réel positif a, on définit I( a) =
∫
a ln
1
x
x2
dx .
1. A l’aide d’une intégration par parties, montrer que I( a) =
ln( a) − 1
a2
+1 .
2. En déduire la limite de I(a) quand a tend vers +∞ .
3. On définit maintenant J( a) =
∫
a
1
ln( x)
x2 + 1
dx .
En utilisant (avec justification) que pour tout x supérieur à 1, x2 ≤ x2 + 1 ≤ 2 x 2 , montrer que
1
I( a) ≤ J( a) ≤ I( a) .
2
Exercice 6. 220 Volume de révolution
.
5 x 4 + 2 x3 − 4 x + 1
+ 2 x² − 1)dx ; b)
π
f. f ( x) = − cos x + 2sin x ; I = ℝ ;
2
π π
+ sin x ; I =] − ; + [ .
cos ² x
2 2
Exercice 6. 216 Calcul de primitives 2
2
3
−3
1
π π
h. f ( x) =
+ cos x ; I =] − ; + [ ; i. f ( x) = (2 x + 1)² ; I = ℝ
cos ² x
2 2
g. f ( x) = cos x sin 3 x ; I = ℝ ;
h définie sur ] 2 ; 5[ par h( x) =
4. A l’aide d’une intégration par parties, donner une primitive sur ℝ de la fonction h définie par
h( x) = 2 x sin(3 x) .
La fonction f ( x) = xex engendre en tournant autour de l’axe (Ox) un volume de révolution. Calculer à
l’aide d’une intégration par parties le volume engendré par la portion de courbe délimitée par x = 0 et
x = 1. En donner une valeur approchée à 10−2 près.
.
155
156
Exercice 6. 221 argch x
(
Rappel : somme des n premiers termes d’une suite géométrique de premier terme u0, de raison q : u0
)
Soit la fonction f ( x) = ln x + x − 1 .
2
Exercice 6. 224
1. Montrer que f existe sur [1, + ∞[ ; calculer sa dérivée f’(x).
2. Déduisez en la valeur de K =
∫
2
2
dx
x2 − 1
Pour tout k entier on note fk l’application de [0 ; 1] dans ℝ définie par fk ( x) = x k 1 − x . On appelle Ck sa
courbe représentative.
.
3. Pensez-vous pouvoir utiliser une méthode semblable pour calculer l’intégrale K ' =
∫
1. Etudier la continuité et la dérivabilité de fk .
1
2
−
dx
1
2
1 − x2
?
4. On pose Ik =
1. On pose F(x) = ax2cosx + bxsinx + c cosx (a, b, et c sont trois constantes réelles). Calculer F’(x).
2. Déterminer a, b et c pour que F soit une primitive de x2sinx.
∫
2
∫
1
0
fk ( x)dx . Calculer
∫
1
0
f0 ( x)dx .
a. Quel est le sens de variation de Ik ? Montrer que Ik converge vers une limite l que l’on ne cherchera pas.
π
π
2. Donner, en distinguant suivant la valeur de k, le tableau de variations de fk .
3. Etudier les positions respectives de Ck et Ck+1 . Tracer les courbes C0 , C1 , C2 .
Exercice 6. 222 Fonction trigo
3. En déduire le calcul de
b. Montrer, en intégrant par parties que pour tout entier k > 0, on a Ik =
x 2 sin xdx .
3
c. Montrer que pour tout k entier, on a
∫
1
0
1
On considère la fonction numérique f définie par f ( x) =
.
1+ x
1. Déterminer une fonction polynôme P, de degré inférieur ou égal à 3 qui a même valeur et même nombre
dérivé que f en 0 et 1.
1
1
3
+ x3 − x2 + x − 1 . Factoriser k et en déduire la position
1+ x 4
4
relative de Cf et CP, les courbes représentatives de f et P.
2. Soit k la fonction définie par k( x) =
3. A l’aide d’un encadrement de 1+x pour x dans [0 ; 1] montrer que
1
<
240
1
f ( x)dx et
0
∫
∫
1
0
k( x)dx <
1
P( x)dx .
0
∫
a
0
1
1
1
(− x)n+1 +
f ( x)dx = a − a2 + a3 + ... +
2
3
n+1
∫
a ( − x)n+1
0
1+ x
0
1+ x
(− x)n+1
.
1+ x
On considère l’intégrale J =
∫
0
−1
f (t)dt ; l’objet de l’exercice est de trouver un encadrement permettant un
x
∫
a ( − x)n+1
0
1+ x
dx ≤
an+ 2
. Préciser la
1+ a
dx lorsque n tend vers +∞ .
−∞
0
−
5. Justifier l’encadrement
∫
0
−1
tn+1 dt ≤ Rn ≤
e
2
∫
0
−1
∫
0
e
.
2
−1
tk e− t dt et Rn =
tn+1 dt ; en déduire que
0
+∞
3. Rappeler la démonstration de la formule de la somme des termes
d’une suite géométrique de 1er terme 1 et de raison x. Justifier alors
x n+1
1
=
.
l’égalité : 1 + x + x 2 + ... + x n +
1− x 1− x
4. En déduire que J = u0 + u1 + u2 + ... + un + Rn où uk =
dx .
an+1 (− x)n+1 an+1
an+ 2
c. Montrer que sur [0 ; a] on a −
≤
≤
≤
puis que −
1+ a
1+ a
1+ x
1+ a
a ( − x)n+1
e− x
. On rappelle que e ≈ 2,7183 .
1− x
La courbe C représentative de f dans un repère orthonormé est donnée sur la feuille jointe (les unités n’ont
aucune importance) ; le tableau de variation de f est fourni ci-contre.
On considère la fonction f définie sur ℝ − {1} par f ( x) =
2. Utiliser le tableau de variation de f pour justifier que 1 ≤ J ≤
a. Calculer la somme des n premiers termes : sn ( x) = 1 − x + x2 − ... + (− x)n ; en déduire f ( x) = sn ( x) +
b. Montrer que
Exercice 6. 225
1. Interpréter géométriquement J : on fera un petit croquis explicatif
sur la feuille jointe que l’on rendra avec la copie. Donner une
estimation à la louche de J.
6. On considère la suite géométrique un de premier terme 1 et de raison −x.
∫
a
où a est une constante que l’on déterminera. En
1+ k
calcul approché de J et non d’en donner un calcul exact.
1
.
120
n
n+1
5. Déduire des résultats précédents la valeur de l’entier n tel que
< ln 2 <
.
240
240
limite de
fk ( x)dx ≤
déduire la limite de Ik .
Exercice 6. 223
∫
2k
Ik−1 . En déduire une
2k + 3
expression de Ik .
6. 4. Intégrale et suite
4. Calculer
1 − qn+1
.
1− q
0
−1
+∞
+
+∞
1
∫
1
+
0
−∞
tn+1 f (t)dt .
1
e
≤ Rn ≤
. Quelle est la
n+1
2(n + 1)
limite de Rn quand n tend vers l’infini ?
On pose dorénavant Sn = u0 + u1 + ... + un ; on voit donc que la suite J − Sn tend vers 0, soit que les valeurs
d. On admet que ce résultat reste valable lorsque a vaut 1. En déduire un algorithme de calcul de ln2.
157
successives de Sn constituent une « bonne » approximation de J.
158
6. Jusqu’à quel terme n0 doit-on calculer Sn pour être sûr que Sn0 est une valeur approchée de J à 10−2
près ?
4. On s’intéresse à la suite Sn = 1 +
1 1
1
+ + ... + − ln n .
2 3
n
a. A l’aide de votre calculatrice donner des valeurs approchées à 10–4 près de S10 , S20 , S30 . Quelles
conjectures pouvez vous faire sur le comportement de Sn ?
7. On s’intéresse de plus près à uk .
a. Calculer u0 .
b. En utilisant les inégalités du 3. c. Montrer que (Sn) est décroissante et que 0 ≤ Sn ≤ 1 . Qu’en concluezvous ?
b. En utilisant une intégration par parties montrer que uk = (−1)k e + kuk−1 .
c. A l’aide de cette relation donner sous la forme ak e + bk , où ak et bk sont deux entiers relatifs, la valeur
de u1 , u2 , u3 , u4 et u5 . En déduire les valeurs de S4 et S5 . Donner une estimation de la précision obtenue
ainsi sur J.
Exercice 6. 227
On définit la suite d’intégrales :
1
I0 =
∫ 1+ e
x
, I1 =
0
y
10
1
dx
1
ex
∫ 1+ e
x
dx ,…, In =
enx
∫ 1+ e
x
dx (n désigne un entier naturel).
0
0
1. Calculer I1 et I0 + I1. En déduire I0. Pour tout entier n, calculer In + In+1 .
8
2. Montrer sans calcul que la suite (In) est croissante.
6
3. Prouver que pour tout x de [0 ; 1]
4
enx
enx
enx
≤
≤
. En déduire un encadrement de In.
e + 1 ex + 1 2
4. A partir de cet encadrement, déterminer la limite de In et celle de
2
x
In
en
.
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6. 5. Intégrales
-2
Exercice 6. 228
-4
L'objectif est de calculer les intégrales suivantes :
-6
I=
-8
∫
1
0
dx
x +2
2
;
J=
∫
1
0
x2
x2 + 2
dx ;
K=
∫
1
0
x2 + 2dx.
-10
Exercice 6. 226 Constante d’Euler
1. Calcul de I
Soit les fonctions f et g définies sur ℝ par f ( x) = x − e x et g( x) = (1 − x)e x .
Soit la fonction f définie sur [0; 1] par f ( x) = ln( x + x2 + 2).
1. a. Démonstration de cours : en utilisant seulement lim
x→+∞
+∞ et −∞ .
ln x
= 0 , déterminer les limites de f et g en
x
a. Calculer la dérivée de la fonction x ֏
c) Calculer la valeur de I.
b. Montrer que la droite D(y = x) est asymptote de Cf.
c. Dresser le tableau de variation de f et g.
2. a. Pour tout réel x, on pose h( x) = f ( x) − g( x) . Déterminer le sens de variation de h.
b. Montrer que Cf et Cg ont un unique point d’intersection d’abscisse α et que α ∈ [ 1 ; 2 ] .
2. Calcul de J et de K
a. Sans calculer explicitement J et K, vérifier que : J + 2I = K.
b. À l'aide d'une intégration par parties portant sur l'intégrale K, montrer que :
K = 3 − J.
c. Etudier suivant les valeurs de x la position relative de Cf et Cg. Tracer D, Cf et Cg.
3. a. En utilisant les variations de f, montrer que pour tout x dans [0 ; 1] on a 1 + x ≤ e x .
b. En utilisant les variations de g, montrer que pour tout x dans [0 ; 1] on a ex ≤
c. On pose x =
1
, k entier naturel. Déduire des questions précédentes que
k
 k+1  1
 k 
ln 
 ≤ ≤ ln 
.
 k  k
 k −1 
159
x2 + 2.
b. En déduire la dérivée f ´ de f.
1
.
1− x
c. En déduire les valeurs de J et de K.
Exercice 6. 229
Soit la fonction f définie par : f(x) = sin4 x ; x ∈ R.
1. Exprimer sin2 x en fonction de cos 2x, puis sin4 x en fonction de cos 2x et de cos 4x.
2. Quelle est la forme générale des primitives de f sur R ?
3. Calculer
∫
π
8
f ( x)dx .
0
160
Exercice 6. 230
On désigne par n un nombre entier relatif différent de −1 et par x un nombre réel supérieur ou égal à 1.
1. Calculer l’intégrale In ( x) =
∫
x
tn ln tdt (on pourra effectuer une intégration par parties)
1
2. En déduire le calcul de Jn ( x) =
∫
x
b. En utilisant une propriété géométrique de la courbe de f donner un encadrement similaire lorsque
x0 + h < x0 < 0 .
c. Démontrer que A est dérivable en x0. Quel est le nombre dérivé de A en x0 ?
4. Expliquer pourquoi 0 ≤ A(1) ≤ ln 2 et ln 2 ≤ A(2) ≤ ln 2 + ln 5 .
tn (ln t)2 dt
3
1
y
3. Calculer In ( e ) − Jn ( e )
4. déterminer la limite de
In ( e ) − Jn ( e )
en+1
2,5
quand n tend vers +∞
Exercice 6. 231
e
On pose I0 =
2
e
∫ xdx et I = ∫ x(ln x) dx pour tout n entier non nul.
n
n
1
1
1,5
1. Calculer I0 et I1 (on pourra utiliser une intégration par parties).
2. Montrer que pour tout n entier 2 In+1 + (n + 1)In = e2 . Calculer I2 .
3. Montrer que pour tout n entier, In+1 ≤ In . En déduire en utilisant la relation du 2° l’encadrement
2
suivant :
1
2
e
e
≤ In ≤
.
n+ 3
n+ 2
0,5
4. Calculer lim In et lim nIn
n→+∞
n→+∞
Exercice 6. 232
1
Soit p et n des entiers naturels. On pose I p,n =
∫ x (1 − x) dx .
p
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
x
x0+h
x0
0
2
2,5
3
3,5
n
0
1. Calculer In, 0 et In, 1 . Calculer I0, n et en déduire I1, n .
2. Etablir une relation de récurrence entre I p, n et I p +1, n+1 . En déduire la valeur de I p, n en fonction de p
6. 6. Equations différentielles
et n.
Exercice 6. 234 Bac C, Pondichéry, Juin 1988
Exercice 6. 233 ROC
Le but de l’exercice est d’établir dans un cas particulier le lien existant entre aire sous la courbe et
primitive. On rappelle que :
H est une primitive de h sur [a ; b] si et seulement si H est dérivable sur [a ; b] et pour tout x de
[a ; b] on a H’(x) = h(x).
Soit f la fonction définie sur ℝ par f (t) = ln(1 + t ) .
2
1. Expliquer pourquoi f est continue sur ℝ .
1. On se propose de résoudre l’équation différentielle (E) : y '+ y = x + 1 , y étant une fonction réelle de la
variable réelle et y’ sa dérivée.
a. On pose z = y – x. Ecrire l’équation différentielle (F) vérifiée par z.
b. Résoudre (F), puis (E)
2. On appelle yα la solution de (E) telle que yα (0) = α et Cα la courbe représentative de yα , où α est un
paramètre donné.
a. Etudier les variations de yα et donner l’allure de Cα dans les trois cas α < 0, α = 0, α > 0.
2. Montrer que f est croissante sur [0 ; + ∞[ .
b. Montrer que pour tout α la tangente à Cα au point d’abscisse –1 passe par l’origine.
La fonction f est représentée ci-dessous.
c. Plus généralement, montrer que toutes les tangentes au courbes Cα en leurs points de même abscisse x0
Pour α ≥ 0 , on note A(α ) l’aire de la portion de plan limitée par l’axe des abscisses, la courbe
représentative de f et la droite d’équation x = α .
donnée se coupent sur C0 .
3. a. Soit x0 et h deux réels strictement positifs. En utilisant un rectangle convenable, établir l’encadrement
Exercice 6. 235 Antilles-Guyane, 1988
ln(1 +
x02 ) ≤
A( x0 + h) − A( x0 )
≤ ln(1 + ( x0 + h)2 ) .
h
161
1
1. Résoudre l’équation différentielle : y '− y = 0 (1).
n
162
1
x +1
(2). Déterminer deux réels a et b tels que la
2. On considère l’équation différentielle y '− y = −
n
n(n + 1)
fonction affine g définie sur ℝ par g(x) = ax + b soit solution de (2).
3. Montrer que, pour que la fonction h définie sur ℝ soit la solution de (2), il faut et il suffit que h – g soit
solution de (1).
4. En déduire toutes les solutions de (2).
b. En déduire la limite de la suite (un). Donner sa valeur exacte.
Exercice 6. 238 Apprentissage
Pendant une phase d’apprentissage, l’efficacité d’un individu croît jusqu’à une valeur maximale.
5. Déterminer celles de ces fonctions f vérifiant f(0) = 0.
1. Etude d’un modèle discret
Exercice 6. 236 Guadeloupe, 2000
On considère l’équation différentielle : ( E) : y '+ 2y = 2
1
2. a. Montrer que pour tout n de ℕ *, I1 ≤ un ≤ e n I1 où I1 est l’intégrale de la partie B obtenue pour α égal
à 1.
Supposons qu’une personne travaillant sur une technique nouvelle produise 5 unités le premier jour, alors
que la production attendue est de 40 unités par jour.
e− x
.
1 + 2 ex
−2 x
1. Vérifier que la fonction f définie sur ℝ telle que f : x ֏ e
On appelle un la production au n-ième jour. Alors u1 = 5, et on fait l’hypothèse que pour tout entier n,
un+1 = 0,8un + 8 .
ln(1 + 2e ) est solution de (E).
x
2. Montrer que la fonction ϕ est solution de (E) si, et seulement si, ϕ – f est solution de l’équation
différentielle (E’) : y’ + 2y = 0.
3. Résoudre (E’) et en déduire les solutions de (E).
a. Calculer u2, u3.
b. On pose pour n ≥ 1 vn = 40 – un. Montrer que (vn) est une suite géométrique, et en déduire l’expression
de un en fonction de n. Quel est le sens de variation de (un) ?
Exercice 6. 237 France, sept 2003
c. Déterminer la limite de (un). Au bout de combien de temps la production sera-t-elle supérieure à 39
unités ?
10 points
2. Etude d’un modèle continu
Supposons que la production initiale soit de 100 unités à l’heure, que la production attendue soit de 800
unités, et que la vitesse d’apprentissage soit proportionnelle à la quantité manquante pour réaliser
l’optimum. Ainsi, si f(t) est la production horaire à l’instant t, on a f '( t) = 0,8(800 − f ( t)) .
Partie A : Une équation différentielle
On considère l’équation différentielle : (E) y '− 3 y =
−3 e
( 1 + e−3 x )
2
.
On donne une fonction ϕ dérivable sur ℝ et la fonction f définie sur ℝ par f ( x) = e−3 x ϕ( x) .
a. Résoudre l’équation différentielle y ' = 640 − 0,8 y . En déduire la fonction f. Quelle est la limite de f en
+6 ?
1. Montrer que f est dérivable sur ℝ et pour tout réel x, exprimer ϕ '( x) − 3ϕ( x) en fonction de f ’(x).
b. Au bout de combien de temps la production est-elle la moitié de l’optimum ? 99 % de l’optimum ?
2. Déterminer f de sorte que ϕ soit solution de (E) sur ℝ et vérifie ϕ(0) =
e
.
2
Partie B : Étude d’une fonction
. On désigne par C sa courbe représentative dans le plan
1 + e−3 x
muni d’un repère orthonormal d’unité graphique 2 cm.
1. Déterminer les limites de f en −∞ et en +∞ , puis étudier les variations de f .
2. Tracer C.
3. Pour α réel non nul, on pose I(α ) =
∫
On considère l’équation différentielle (E) xy '− ( x + 1)y = − e x ( x 2 + 1) avec x strictement positif.
1. Résoudre l’équation sans second membre (E0) : xy '− ( x + 1)y = 0 .
e1− 3 x
Soit la fonction f définie sur ℝ par : f ( x) =
Exercice 6. 239 Quotient
2. On pose y = f ( x)xe x dans (E) ; montrer que f '( x) = −1 −
1
x2
. En déduire les solutions de (E).
3. Quelle est la solution générale de (E) dans le cas où x est négatif ? Les fonctions trouvées sont-elles
continues en 0 ? dérivables en 0 ?
Exercice 6. 240 Populations
α
f ( x)dx .
0
a. Donner le signe et une interprétation graphique de I(α ) en fonction de α .
b. Exprimer I(α ) en fonction de α .
Le but de cet exercice est l’étude de la dynamique d’une population d’œufs et de larves de certains insectes en fonction
du temps dans une première partie et de la population elle-même dans la deuxième partie. Dans chaque partie le
temps est mesuré dans une unité choisie.
Partie A
c. Déterminer la limite de I(α ) lorsque α tend vers +∞ .
On prend l’unité de temps égale à 1 heure.
Partie C : Étude d’une suite
La fonction N qui donne à l’instant t le nombre d’œufs vivants pondus est définie pour t ≥ 0 par
N( t) = N0 e−0,3 t où N0 désigne le nombre initial d’œufs au moment de la ponte (t=0). On prendra dans la
suite N0=900.
On définit sur ℕ * la suite (un) par : un =
∫
1
x
f ( x)e n dx ,
0
où f est la fonction définie dans la partie B. On ne
1. Etudier la fonction N sur [0, + ∞[ (sens de variation, limites). Quelles interprétations concrètes tirez
vous de cette étude ?
cherchera pas à calculer un.
1. a. Donner, pour tout n de ℕ *, le signe de un.
2. Construire la représentation graphique(C) de N pour t∈ [0 ; 15] dans un repère orthogonal : 1 cm par
unité de temps en abscisse et 10 cm pour 1000 en ordonnées.
b. Donner le sens de variation de la suite (un).
c. La suite (un) est-elle convergente ?
163
164
1
N0 . On notera t1 sa solution ; que représente t1
2
pratiquement ? ; placer le point de (C) d’abscisse t1 sur le graphique.
3. Résoudre dans [0, + ∞[ l’équation
N( t) =
4. a est un réel strictement positif.
a. Calculer I( a) =
∫
a
N(t)dt en fonction de a. Déterminer la limite de I quand a tend vers +∞.
0
b. On considère que la durée de vie moyenne d’un œuf est donnée par E = lim J( a) où J( a) =
a→+∞
∫
Exercice 6. 241 Second ordre
a
tN(t)dt .
0
Calculer J(a) au moyen d’une intégration par parties et en déduire la valeur de E.
Partie B
La population P(t) d’insectes se développe dans un milieu où la population totale ne peut pas dépasser un
certain seuil noté Pmax ; la croissance de la population est alors proportionnelle au nombre d’œufs qui
éclosent et à la différence entre Pmax et P(t) ; on a alors l’équation différentielle suivante en prenant Pmax=1
1
1
et a = : (1) P '(t) = P(t) ( 1 − P(t) ) avec P(0)=0,01.
2
2
1
1
1
; calculer P’(t) et montrer que y est solution de l’équation y '+ y = (2).
y
2
2
1
− t
2
+ K où C est une constante puis que les solutions de (1) sont P(t) =
Soit E2 l’ensemble des fonctions solutions de l’équation différentielle y’’ = y.
1
1
− t
Ce 2
1. Vérifier que les fonctions définies sur ℝ par x → ex et x → e− x sont des éléments de E2.
2. Soit f une fonction dérivable sur ℝ , on pose u = f + f’.
a. Démontrer que f appartient à E2 si et seulement si u appartient à E1.
b. Démonstration de cours.
On rappelle que la fonction x → ex est une solution de E1.
Démontrer l’unicité de la fonction u élément de E1 qui vérifie u(0) = 1.
2. Trouver une constante K telle que y=K soit solution de (2). En déduire que toutes les solutions de (2)
s’écrivent y = Ce
Soit E1 l’ensemble des fonctions solutions de l’équation différentielle y’ = y.
Le but de l’exercice est de démontrer qu’il existe une unique fonction f qui appartient à E2 et qui vérifie
f(0) = 1 et f’(0) = 0.
L’unité de temps est la journée.
1. On pose P(t) =
5. On cherche à se débarrasser des pucerons précédents de manière écologique en introduisant des
coccinelles dans la plantation. Une coccinelle mange à peu près 10 pucerons par jour, soit 300 pucerons par
mois. On dispose de 100 coccinelles, quel sera le moment idéal où introduire ces coccinelles (c’est-à-dire le
moment où elles mangeront tous les pucerons en 1 mois si on ne tient pas compte de la croissance des
pucerons pendant ce mois-ci) ? Réciproquement, on s’aperçoit de l’invasion au bout d’un mois . Combien
devra-t’on mettre de coccinelles pour éliminer les pucerons en un mois ?
.
+K
3. Soit f un élément de E2. On pose, pour tout réel x, g( x) = f ( x)e x .
a. Démontrer que si f vérifie f(0) = 1 et f’(0) = 0, alors g '( x) = e2 x .
b. Démontrer qu’il existe une seule fonction f répondant au problème posé et déterminer son expression.
3. Déterminer la valeur de la constante C.
Exercice 6. 242 Equation de la chaleur
4. Montrer que la fonction P est effectivement croissante et déterminer sa limite en +∞. Tracer la fonction
P dans un repère judicieusement choisi.
Dans une pièce à la température constante de 20°C, à l’instant initial noté 0 la température θ (0) d’un
liquide est égale à 70°C. Cinq minutes plus tard elle est de 60°C.
1
(graphiquement et par le calcul) ?
2
Interpréter ce résultat en termes de populations sachant qu’une unité représente 10 6 individus.
On admet que la température θ du liquide est une fonction dérivable du temps t, exprimé en minutes, et
que sa dérivée θ '(t) est proportionnelle à la différence entre la température θ (t) et celle de la pièce.
Variante
1. Démonstration de cours.
5. Au bout de combien de jours la population P(t) dépassera-t-elle
Partie B
La population P(t) d’insectes se développe dans un milieu où la population totale ne peut pas dépasser un
certain seuil noté Pmax ; la croissance de la population est alors proportionnelle au nombre d’œufs qui
éclosent et à la différente entre Pmax et P(t) ; on a alors l’équation différentielle
(1) P '(t) = aP( t) ( Pmax − P(t) ) avec P(0)=1000.
1
1. On pose P(t) = ; calculer P’(t) et montrer que y est solution de l’équation
y
y '+ aPmax y = a (2).
On notera a le coefficient de proportionnalité, a∈ ℝ .
Soit (E) l’équation différentielle z ' = az .
a. Démontrer que la fonction x → eax est une solution de l’équation (E).
b. Démontrer que toute solution de (E) est de la forme x → Ceax , où C est une constante réelle.
2. a. Résoudre l’équation différentielle : θ '( t) = aθ (t) − 20 a .
b. Soit θ a (t) la solution de cette équation. Quel doit être le signe de a pour que cette équation ait un sens
physique ?
c. Déterminer la solution θ (t) correspondant aux conditions initiales.
2. On pose aPmax = b ; trouver une constante K s’exprimant en fonction de Pmax telle que y=K soit solution
3. Quelle est la limite de θ (t) lorsque t tend vers +∞ . Interprétation physique.
de (2). En déduire que toutes les solutions de (2) s’écrivent y = Ce− bt + K puis que les solutions de (1) sont
Pmax
P(t) =
.
Pmax Ce− bt + 1
4. Quelle sera la température du liquide 30 minutes après l’instant initial ?
3. Le coefficient a représente la multiplication des insectes sur une période de 1 mois, soit par exemple
a=10, Pmax=10 6 pour des pucerons au printemps. Déterminer les constantes b, K et C pour cette valeur de
a.
5. Déterminer le laps de temps nécessaire pour que la température initiale du liquide chute de moitié. On
note ce temps T et on l’appelle « période » de la température… Quelle sera température au bout de trois
périodes ?
4. Montrer que la fonction P est effectivement croissante et que sa limite en +∞ est bien Pmax. Tracer la
fonction P dans un repère judicieusement choisi.
165
166
3. On désigne par C le point d’affixe c = 3 + i et par D son image par la rotation de centre O et d’angle
7 . NOMBRES COMPLEXES EXERCICES
π
. Déterminer l’affixe d du point D.
3
4. On appelle G le barycentre des points pondérés (O ; −1), (D ; 1) et (B ; 1).
Exercice 7. 243 Divers,QCM, France, sept 2003
Le plan complexe est rapporte à un repère orthonormal direct (O ; i , j ) . On considère les points A et Ω
d’affixes respectives : a = −1 + 3 + i et ω = −1 + 2i .
On appelle r la rotation de centre Ω et d’angle
2π
1
et h l’homothétie de centre Ω et de rapport − .
3
2
5. a. Justifier l’égalité
2. On note b, c et d les affixes respectives des points B, C et D.
Le tableau ci-dessous contient une suite de 18 affirmations, dont chacune débute dans la première colonne
et s’achève sur la même ligne colonne 2, colonne 3 ou colonne 4.
Le candidat doit se prononcer sur chacune de ces affirmations. Pour cela il doit remplir le tableau de la
feuille annexe, en faisant figurer dans chacune des cases lamention VRAI ou FAUX (en toutes lettres).
a−ω =
2
arg ( a − ω ) =
3
( v, ΩC ) =
2
−
5π
6
47π
6
− v, C Ω
(
arg  ( ω − i ) 
4
ω=
1
( a+ b+ c )
3
5
b−d
=
a− d
3
i
2
Le point D est :
l’image de Ω par la
translation de vecteur
1 AΩ .
2
6
−
3
i
3
l’image de Ω par
l’homothétie de centre A
3
.
et de rapport
2
2π
3
)
Exercice 7. 245 2nd degré, Polynésie 1996
Partie A Soit P le polynôme défini sur ℂ par: P( z) = z 2 + 2 3 z + 4 .
1. Placer les points A, B et C sur une figure.
a− b
.
c−b
a. Interpréter géométriquement le module et un argument de Z.
2. Soit Z =
b − 2i
3
i
3
b. Écrire Z sous forme algébrique et sous forme trigonométrique.
l’image de Ω par la
rotation de centre B et
d’angle −
(
Partie B Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (unité 4 cm). Soient A, B et C les points
d'affixes respectives a = 2i, b = − 3 + i et c = − 3 − i .
6
a+ b + c
GC
.
b. En déduire une mesure en radians de l’angle GA, GC , ainsi que la valeur du rapport
GA
Que peut-on en déduire concernant la nature du triangle AGC ?
2. Écrire les solutions sous forme trigonométrique.
π
)
c− g 1
3
= +i
.
a− g 2
2
1. Résoudre dans ℂ l'équation P(z) = 0.
3 −1
4
b. Placer les points A, B, C, D et G sur une figure (unité graphique : 1 cm).
c. Démontrer que le quadrilatère OBGD est un parallélogramme.
1. Placer sur une figure les points A et Ω , l’image B du point A par r, l’image C du point B par r et l’image D
du point A par h.
1
a. Montrer que le point G a pour affixe g = −4 3 + 6 i .
π
6
.
Annexe
c. En déduire la nature du triangle ABC ainsi qu'une mesure, en radians, de l'angle ( BC , BA) .
3. Calculer l'aire du triangle ABC en centimètres carrés.
Exercice 7. 246 Petit exo de base
1. Sur la figure ci-dessous placer les points suivants :
−i
3 3 3
− 3 1
− i), H(2ie
A(1 + i), B(2 − 2i), C(1 + i 3), D(− −
i), E(1 + 2i), F(− 2 + i 2), G(
4
4
2
2
3π
4
3 i
), K(− e
2
1
Réponses
2
Réponses
3
Réponses
2. Lire sur la figure le module et l’argument de chacun des complexes correspondants.
4
Réponses
3. Faire le calcul pour z B , z D , zG , z H .
5
Réponses
4. Déterminer la forme algébrique et la forme exponentielle des conjugués de z B , z D , zG , z H .
6
Réponses
5. Calculer
Exercice 7. 244 2nd degré et barycentre, Antilles, sept 2001
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; u, v ) .
1. Résoudre dans l’ensemble ℂ des nombres complexes l’équation d’inconnue z : z 2 + 8 z 3 + 64 = 0 .
2. On considère les points A et B qui ont pour affixes respectives les nombres complexes a = −4 3 − 4i et
b = − 4 3 + 4i .
Calculer les distances OA, OB et AB. En déduire la nature du triangle OAB.
167
( zC )5 ,
2π
3
).
( z A )3
, ( z E )2 ( z K )6 .
( z H )4
6. Calculer les complexes z A − z E et z B − z E ; déterminer leurs modules. Calculer
module et son argument, en déduire l’angle des vecteurs EA et EB .
7. On fait une rotation de centre O et d’angle
π
2
z A − zE
, déterminer son
zB − zE
sur les points E, A et B. Si E’, A’ et B’ sont leurs images,
quelles sont les affixes de ces trois points. Que vaut alors
168
z A' − zE '
?
zB' − zE '
8. On veut construire un triangle rectangle isocèle ABM dont l’hypothénuse est [AB]. Lire sur la figure les
affixes possibles des points M. Donner une méthode pour trouver les points M, l’appliquer.
d. Prouver que les points B, M et M' sont alignés. Placer sur la figure un point M et son transformé M'.
Exercice 7. 248 Rotation
Dans le plan complexe P muni d'un repère orthonormal (O ; u, v ) , (unité graphique : 2 cm), on note B et C
3−i
.
2
Soit R la transformation du plan P qui, à tout point M d'affixe z, associe le point M’ d'affixe z´ telle
les points d'affixes respectives – i et
que z ' = e
i
π
3
z.
1. Placer les points B et C dans le plan P et donner l'écriture de leurs affixes respectives sous la forme
exponentielle ( reiθ ).
2. Préciser la nature et les éléments caractéristiques de la transformation R.
3. Déterminer, sous la forme exponentielle, les affixes des images respectives B’ et C’ par la transformation
R des points B et C. Placer B’ et C’ dans le plan P.
Que peut-on dire du point B’ ?
Que peut-on dire des points B’ et C’ relativement à l'axe des abscisses ?
j
4. a. En utilisant les points B et C, déterminer et construire l'ensemble D des points M d'affixe z telle que
O i
z+i = z−
3 −i
.
2
b. Déterminer l'image D’ par la transformation R de l'ensemble D.
Exercice 7. 249 Homographie
Dans le plan complexe P, muni d'un repère orthonormal direct (O ; u, v ) , on considère les points A, B, C et
D d'affixes respectives :
zA = – 2 i, zB = 4 – 2 i, zC = 4 + 2 i, zD = 1.
1. a. Placer les points A, B, C et D sur une figure, qui sera peu à peu complétée. On prendra pour unité
graphique 2 cm.
b. Préciser la nature du triangle ABC.
2. On désigne par F l'application qui, à tout point M de P, d'affixe z et distinct de A, associe le point M’
d'affixe :
z' =
Exercice 7. 247 Cercles
Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O ; u, v ) , unité graphique 4 cm, on considère
les points A, B et C d'affixes respectives a, b, et c telles que :
a = 1 – i, b = 1 + i, c = – 1 + i = – a.
z − (4 + 2i)
.
z + 2i
a. Déterminer les images de B et C par F.
b. Déterminer l'ensemble E des points d'affixe z tels que z ' = 1 . Construire E.
3. a. Montrer que, pour tout nombre complexe z distinct de − 2i , on a : (z´ − 1) (z + 2i) = − 4 − 4i.
On note Γ le cercle de diamètre [AB].
1. a. Placer sur une figure les points A, B, C et le cercle Γ .
b. En déduire que si M est sur un cercle de centre A et de rayon r, M’ est sur un cercle dont on précisera le
centre et le rayon.
b. Mettre les nombres complexes a, b et c sous forme trigonométrique.
c. De même montrer que si M est sur une droite passant par A, alors M’ est sur une droite passant par D.
c. Soit r la rotation de centre O telle que r (A) = B. Déterminer l'angle de r et le point r (B), image de B par r.
d. Déterminer l'image Γ ’ du cercle Γ par r ; placer Γ ' sur la figure.
iθ
2. On considère un nombre θ dans ]0 ; 2π[ distinct de π ; on note M le point d'affixe z = 1 + ie . On
désigne par M' l'image de M par r, et on appelle z' l'affixe de M'.
a. Montrer que M est un point de Γ distinct de A et de B.
b. Exprimer z' en fonction de z. Calculer en fonction de θ les affixes u et u' des vecteurs BM et BM ' .
c. Etablir la relation u = u ' tan
θ
2
.
169
Exercice 7. 250 Carrés, rotations et alignement
Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal direct (O ; u, v ) .
1. On considère trois points distincts A, B et C d'affixes respectives a, b et c.
c− a
.
b−a
c− a
b. Montrer que A, B et C sont alignés si et seulement si
est un nombre réel.
b−a
a. Interpréter géométriquement l'argument du quotient
170
2. Placer sur une figure (unité graphique : 1 cm) les points A1, B1 et C1 d'affixes respectives
e. Montrer que ABCD est un carré.
2. Déterminer et construire l’ensemble Γ1 des points M du plan tels que :
a1 = 2, b1 = i 3, c1 = −4 + 3i 3.
Montrer, à l'aide de la propriété précédente, que les points A1, B1 et C1 sont alignés.
3. On considère les points A2, B2, C2, A3, B3, C3 tels que les quadrilatères OA1A2A3, OB1B2B3, OC1C2C3 soient
des carrés directs.
a. Tracer les carrés OA1A2A3, OB1B2B3, OC1C2C3.
a. Montrer que B appartient à Γ 2 .
b. Donner les affixes a3 et b3 des points A3 et B3 puis les affixes a2 et b2 des points A2 et B2.
c. À l'aide de la rotation de centre O et d'angle
π
2
1 MA − MB + MC =
MA + MC .
2
3. On considère l’ensemble Γ 2 des points M du plan tels que : MA − MB + MC = 4 5 .
b. Déterminer et construire l’ensemble Γ 2 .
, calculer l'affixe c3 de C3 à l'aide de c1.
Exercice 7. 253 3ème degré, barycentre, ligne de niveau
d. En déduire que les points A3, B3 et C3 sont alignés.
1. On considère dans ℂ l'équation d'inconnue Z : (E) Z3 − 12Z2 + 48 Z − 128 = 0
4. a. Déterminer le réel a tel que le barycentre du système {(O, a), (C1, 1), (C3, 1)} soit C2.
(Rappel : le barycentre G du système (A, α ), B, β ),… est tel que α AG + β BG + ... = 0 )
a. Vérifier que 8 est solution de cette équation.
Déterminer les nombres réels α , β , γ tels que, pour tout complexe Z,
b. Calculer l'affixe c2 de C2.
Z3 − 12Z2 + 48 Z − 128 = ( Z − 8)(α Z2 + β Z + γ ).
c. Montrer que les points A2, B2, C2 sont alignés.
Exercice 7. 251 Barycentre, ligne de niveau
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; u, v ) ; on prend comme unité
graphique 2 cm.
1. a. Donner l’écriture algébrique du nombre complexe de module 2 et dont un argument est
π
2
.
b. Résoudre dans ℂ l’équation iz – 2 = 4i – z. On donnera la solution sous forme algébrique.
b. Résoudre l'équation (E).
2. (O ; u, v ) est un repère orthonormal direct du plan orienté, l'unité graphique est 1 cm.
On considère les points A, B, C d'affixes respectives a = 2 − 2i 3, b = 2 + 2i 3, c = 8 .
a. Calculer le module de a (noté a ) et son argument θ . Placer les trois points A, B et C.
b. Calculer le complexe q =
a− c
, déterminer son module et son argument θ . En déduire la nature du
b− c
2. On désigne par I, A et B les points d’affixe respectives 1, 2i et 3 + i.
triangle ABC.
a. Faire une figure que l’on complétera au cours de l’exercice.
c. Déterminer le barycentre D des points pondérés (A, a ), (B, b ), (C, c ). Placer D.
d. Déterminer l'ensemble E des points M du plan tels que : MA + MB + 2 MC = MA + MB − 2 MC .
b. Calculer l’affixe ZC du point C image par A de la symétrie de centre I.
c. Ecrire sous forme algébrique le nombre complexe
zC − zB
. En déduire le module et un argument de ce
z A − zB
Tracer E.
nombre ; ainsi qu’une interprétation géométrique.
Exercice 7. 254 3ème degré, losange, N. Calédonie, sept 2002
d. Soit D le point d’affixe ZD telle que z D − zC = z A − z B , montrer que ABCD est un carré.
3. Pour tout point M du plan, on considère le vecteur MA + MB + MC + MD
a. Exprimer le vecteur MA + MB + MC + MD en fonction du vecteur MI .
b. Montrer que le point K défini par KA + KB + KC + KD = 2 AB est le milieu du segment [AD].
c. Déterminer l’ensemble Γ des points M du plan tel que : MA + MB + MC + MD = 2 AB .
1. On considère le polynôme P de la variable complexe z, défini par :
Construire Γ .
c. Résoudre dans l’ensemble ℂ des nombres complexes, l’équation P(z) = 0.
2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; u, v ) . On prendra 1 cm pour unité
graphique.
Exercice 7. 252 Barycentre + ligne de niveau, Polynésie, juin 2004
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O ; u, v ) . Unité graphique : 1 cm.
1. On désigne par A, B et I les points d’affixes respectives : zA = 3 + 2i, zB = −3 et zI = 1 − 2i.
a. Faire une figure que l’on complétera au cours de l’exercice.
z − zA
. Que peut-on en déduire sur la nature du
b. Écrire sous forme algébrique le nombre complexe Z = I
zI − zB
triangle IAB ?
c. Calculer l’affixe zC du point C image de I par l’homothétie de centre A et de rapport 2.
(
)
(
a. Déterminer le nombre réel y tel que iy soit solution de l’équation P(z) = 0.
b. Trouver deux nombres réels a et b tels que, pour tout nombre complexe z, on ait
(
P( z ) = z − i 2
) ( z2 + az + b ) .
a. Placer les points A, B et I d’affixes respectives zA =−7 + 5i ; zB =−7− 5i et z I = i 2 .
b. Déterminer l’affixe de l’image du point I par la rotation de centre O et d’angle −
c. Placer le point C d’affixe zC = 1 + i.
Déterminer l’affixe du point N tel que ABCN soit un parallélogramme.
d. Placer le point D d’affixe zD = 1 + 11i.
d. Soit D le barycentre du système {(A, 1) ; (B, −1) ; (C, 1)} ; calculer l’affixe zD du point D.
171
)
P( z ) = z 3 + 14 − i 2 z 2 + 74 − i 2 z − 74i 2 .
172
π
4
.
z A − zC
sous forme algébrique puis sous forme trigonométrique. Justifier que les droites (AC)
zD − zB
et (BD) sont perpendiculaires et en déduire la nature du quadrilatère ABCD.
Calculer Z =
Exercice 7. 255 3ème degré, rotation, Pondichéry, mars 2003
Première partie On considère dans l’ensemble des complexes, l’équation suivante : (E) z3 +2z2 −16 = 0.
2
1. Montrer que 2 est solution de (E), puis que (E) peut s’écrire sous la forme : (z −2)(az + bz + c) = 0, où
a, b et c sont trois réels que l’on déterminera.
2. En déduire les solutions de l’équation (E) sous forme algébrique, puis sous forme exponentielle.
Deuxième partie Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal (O ; i , j ) .
D et d’angle
π
2
2
et de sin
π
12
.
2. Soit I le point d'affixe ZI = 1.
a. Quelle est la nature du triangle OIB ?
b. Déterminer les images de I et B dans la rotation de centre O et d'angle
π
12
. En déduire la nature du
6 −i 2
et z2 = 1 − i .
2
Soit les nombres complexes : z1 =
et F l’image de C par la rotation de centre
.
a. Mettre sous forme trigonométrique z1, z2 et Z =
π
6+ 2
π
=
=
et sin
12
4
12
c. On considère l’équation d’inconnue réelle x :
b. En déduire que cos
a. Calculer les affixes des points E et F, notées zE et zF.
b. Placer les points E et F.
4. a. Vérifier que :
π
12
Exercice 7. 258 Forme algébrique, forme trigonométrique de pi/12 - 2
2. Calculer l’affixe zC du point C tel que ABCD soit un parallélogramme. Placer C.
3. Soit E l’image de C par la rotation de centre B et d’angle −
c. Écrire ZC sous forme trigonométrique ; en déduire les valeurs exactes de cos
triangle OAC.
1. Placer les points A, B et D d’affixes respectives zA = −2−2i, zB = 2 et zD = −2+2i.
π
1. a. Écrire ZC sous forme algébrique.
b. Déterminer le module et un argument de ZA et de ZB.
(
zF − z A
=i.
zE − z A
)
z1
.
z2
6− 2
.
4
6 + 2 cos x +
(
)
6 − 2 sin x = 2 .
Résoudre cette équation dans ℝ et placer les points images des solutions sur le cercle trigonométrique.
b. En déduire la nature du triangle AEF.
5. Soit I le milieu de [EF]. Déterminer l’image du triangle EBA par la rotation de centre I et d’angle −
π
2
.
Exercice 7. 256 Produit scalaire
z et z ' désignent les conjugués respectifs de z et z´. Le plan est muni d'un repère orthonormal direct
(O; u, v ) (unité graphique 2 cm).
π
i
1. Calculer : ϕ (i, 3) ; ϕ (1 + 2i, – 2 + i), ϕ (2 + i, – 3 + 2i), ϕ( e , e
6
(
)
et C d'affixes respectives z A = 1 + i 3 , z B = −1 − i et zC = −(2 + 3) + i .
z et z´ sont deux nombres complexes et on pose : ϕ(z, z ' ) = zz '+ zz '.
i
Exercice 7. 259 Forme algébrique, forme trigonométrique de pi/12 - 3
Le plan complexe P est rapporté à un repere orthonormal O ; i , j . On considère dans P les points A, B
2π
3
).
Montrer que pour tout couple (z, z´) le nombre ϕ (z, z´) est réel.
1. a. Calculer le module et un argument du nombre complexe W =
zC − z B
z A − zB
b. En déduire la nature du triangle ABC.
2. a. Écrire le nombre complexe
zA
sous forme algébrique.
zB
2. a. On pose z = x + iy et z´= x´+ iy´ ; x, y, x´, y´ réels. Calculer ϕ (z, z´) en fonction de x, x´, y, y´.
b. Écrire les nombres zA et zB sous forme trigonométrique. En déduire la forme trigonométrique de
b. Déterminer l'ensemble D des points M d'affixe z tels que ϕ (z, 1 + i) = 2 2 .
Dessiner D dans le repère (O; u, v ) .
 π 
 π 
c. À l'aide des deux questions précédentes donner les valeurs exactes de cos 
 et sin 
.
 12 
 12 
zA
.
zB
3. a. On pose z = reiθ et z ' = r ' eiθ ' ; θ et θ´ réels, r et r´ réels positifs. Calculer ϕ (z, z´) en fonction de r, r´
et cos( θ – θ ´).
Exercice 7. 260 Equation du second degré - 1
b. Exprimer ϕ (z, z') en fonction de r.
On désigne par P le plan complexe. Unité graphique : 2 cm.
Déterminer l'ensemble C des points M d'affixe z tels que ϕ (z, z') = 2.
Dessiner C dans le repère. (O; u, v ) . Que peut-on dire de la position relative de C et D ? Justifier la réponse.
1. Résoudre l’équation d’inconnue complexe z : z 2 − 2 z + 4 = 0 . On notera z1 la solution dont la partie
imaginaire est positive et z2 l’autre. Donner le module et l’argument de chacun des nombres z1, z2, z12, z22.
Ecrire sous forme algébrique z12 et z22
Exercice 7. 257 Forme algébrique, forme trigonométrique de pi/12 -1
Dans le plan rapporté au repère orthonormal direct (O ; u, v ) on considère les points A, B et C d'affixes
2. On considère dans le plan les points A(1 + i 3) , B(1 − i 3) , C(−2 + 2i 3) et D(−2 − 2i 3) .
Z
6 −i 2
respectives : ZA =
, ZB = 1 − i , ZC = A .
2
ZB
b. Montrer que les points O, A et D d’une part et les points O, B et C d’autre part sont alignés. Quel est le
point d’intersection des diagonales de ABCD ?
173
a. Représenter les points A, B, C et D dans le plan P. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
174
c. Quelles sont les affixes des vecteurs AB et AC ? Montrer que les droites AB et AC sont
perpendiculaires.
Exercice 7. 261 Equation du second degré - 2
α étant un nombre réel appartenant à l'intervalle [0 ; 2 π ] et z un nombre complexe, on considère le
polynôme P(z), défini par : P( z ) = z 3 − (1 − 2sin α ) z 2 + (1 − 2sin α ) z − 1 .
1. a. Calculer P(1).
b. En déduire l'existence de trois réels a, b, c tels que P( z ) = ( z − 1)( az 2 + bz + c) . Déterminer a, b et c.
c. Résoudre, dans ℂ , l'équation P(z) = 0.
2. On considère trois nombres complexes : z1 = 1 ; z2 = – sin α + i cos α ; z3 = – sin α – i cos α .
Déterminer le module et un argument de chacun de ces nombres complexes z1, z2 et z3.
Exercice 7. 262 Médiatrice - 1
1
2. Démontrer que z '+ 1 = (z − 1) .
z
On nomme A et B les points d'affixes respectives 1 et – 1. On désigne par C le cercle de centre A contenant
le point O et par C* le cercle C privé du point O.
3. On suppose dans cette question que le point M appartient à C* .
a. Justifier l'égalité : z − 1 = 1 . Démontrer que z '+ 1 = z ' . Interpréter géométriquement cette égalité.
b. Déduire de ce qui précède une construction géométrique du point M´ à partir du point M.
4. Le point M étant un point du plan, d'affixe z non réelle, on nomme M1 son symétrique par rapport à
l'axe des réels.
z '+ 1
z '+ 1
a. Calculer
en fonction de z. Exprimer alors l'argument de
en fonction de l'angle ( M1 A, M1 B).
z '− 1
z '− 1
b. Comparer les angles ( M1 A, M1 B) et ( MA, MB).
Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal (O ; u, v ) . Soit (D) l'ensemble des points M de (P)
c. Démontrer que M´ appartient au cercle circonscrit au triangle AMB.
d'affixe z vérifiant : (1) z − 3i = z + 2 − i
Exercice 7. 265 Inversion 2, Antilles, sept 2004
(O ; u, v ) est un repère orthonormal du plan P. Soit A le point d’affixe 1 ; soit B le point d’affixe −1.
1. En écrivant z = x + i y, montrer par le calcul que (D) est une droite dont on donnera une équation.
2. On se propose dans cette question de vérifier le résultat du 1.
Soit F l’application de P privé deO dans P qui, à tout point M distinct de O, d’affixe z , associe le point
−1
.
z
Soit A le point d'affixe 3i et B le point d'affixe – 2 + i.
a. Placer A et B dans le repère (O ; u, v ) .
M’ = F(M) d’affixe z ' =
b. En interprétant géométriquement la relation (1) à l'aide des points A et B, re-démontrer que (D) est une
droite. Tracer (D).
1. a. Soit E le point d’affixe e 3 , on appelle E’ son image par F. Déterminer l’affixe de E’ sous forme
exponentielle, puis sous forme algébrique.
c. Retrouver alors par le calcul l'équation de (D) obtenue au 1.
b. On note C1 le cercle de centre O et de rayon 1. Déterminer l’image de C1 par l’application F.
Exercice 7. 263 Médiatrice - 2
i
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct (O ; u, v ) , unité graphique : 3 cm.
1. Placer les points B et D d'affixes respectives zB =
questions suivantes.
3 + i, zD =
3 – i. On complètera la figure dans les
iπ
−
e 3
5π
6
et K’ l’image de K par F. Calculer l’affixe de K’.
b. Soit C2 le cercle de centre O et de rayon 2. Déterminer l’image de C2 par l’application F.
3. On désigne par R un point d’affixe 1 + eiθ où θ ∈ ] −π ; + π [ ; R appartient au cercle C3 de centre A et de
a. Montrer que z '+ 1 =
.
a. Le point A est l'image de E par la rotation r de centre O et d'angle
π
2
z −1
. En déduire que z '+ 1 = z ' .
z
b. Si on considère maintenant les points d’affixe 1 + eiθ où θ décrit l’intervalle
. Déterminer l'affixe zA du point A et
vérifier que A est le milieu du segment [OB].
b. Le point C est l'image de E par la translation t de vecteur 2v . Déterminer l'affixe zC du point C.
4. Calculer
2. a. Soit K le point d’affixe 2e
π
rayon 1.
2. Montrer que le triangle ODB est un triangle équilatéral.
3. Soit E le point d'affixe z E =
i
zC − zA
et déterminer un argument de ce nombre complexe.
zB − zA
5. Déduire des questions précédentes que la droite (CD) est la médiatrice du segment [OB].
Exercice 7. 264 Inversion
Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; u, v ) . L'unité graphique est 4 cm.
1
À tout point M d'affixe z non nulle, on associe le point M´ d'affixe z´ telle que z ' = − , où z désigne le
z
nombre complexe conjugué de z.
] −π ; + π [ , montrer que
leurs images sont situées sur une droite. On pourra utiliser le résultat du 3.a.
Exercice 7. 266 Suite géométrique
On désigne par Mn le point du plan complexe d’affixe zn définie par:
π
π
π
 1  in
1
zn =   e 3 =   (cos n + i sin n )
3
3
2
2
n
n
où n est un nombre entier naturel et où M0 est le point d’affixe z0 = 1 .
1. Déterminer les valeurs de n pour lesquelles zn est réel.
2.Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal. ( O ; u, v ) (unité = 8 cm).
a. Représenter dans P les points M0 , M1 , M2 , M3 , M4 .
1. a. Déterminer une relation entre les arguments de z et de z´.
b. Calculer en fonction de n les longueurs des trois côtés du triangle OMn Mn+1 . Montrer que ce triangle est
rectangle.
b. En déduire que les points O, M et M´ sont alignés.
3. On considère la suite ( an )n∈Ν définie par an = zn+1 − zn .
175
176
a. Montrer que la suite ( an ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
k= n
b. Calculer ln =
∑
ak . Déterminer la limite de ln quand n tend vers +∞ .
k= 0
4. a. Calculer en fonction de n l’aire bn du triangle OMn Mn+1 .
k= n
b. Calculer sn =
∑b
k
. Déterminer la limite de bn quand n tend vers +∞ .
k =0
Exercice 7. 269 Homographie+cercles, France, sept 2002
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; u, v ) d’unité graphique 4 cm. On note A
et B les points d’affixes respectives 1 et i. À tout point M, distinct de A et d’affixe z, est associé le point M’
( 1− i )( z − i )
.
d’affixe Z définie par : Z =
z −1
1. a. Calculer l’affixe du point C’ associé au point C d’affixe − i.
b. Placer les points A, B et C.
2. Soit z = x +iy où x et y désignent deux nombres réels.
Exercice 7. 267 Homographie
Soit un plan P rapporté à un repère orthonormal direct (O ; u, v ) . On note A le point d'affixe i et B celui
d'affixe −2i. M le point d'affixe z et M' le point d'affixe z'.
( x − 1 ) 2 + ( y − 1 )2 − 1
x 2 + y2 − 1
−i
.
2
2
( x −1 ) + y
( x − 1 ) 2 + y2
b. Déterminer l’ensemble E des points M d’affixe z telle que Z soit réel.
Soit f l'application du plan complexe définie par:
2z − i
f ( z) = z ' =
iz + 1
1. Soit z un complexe différent de i.
a. On désigne par r et θ le module et un argument de z – i. Interpréter géométriquement r et θ .
b. Montrer que (z' + 2i)(z − i) = 1.
c. On désigne par r' et θ ’ le module et un argument de z' + 2i. Interpréter géométriquement r' et θ ’ .
2. Soit (C) le cercle de centre A et de rayon 1. Montrer que si M appartient à (C), son image M' par f
appartient à un cercle (C') de centre B dont on donnera le rayon.
2 
2
+  1+
3. Soit T le point d'affixe
i
2 
2 
a. Calculer l'affixe de AT ; en déduire que T appartient au cercle (C) .
b. Déterminer une mesure en radians de l'angle u, AT . Tracer le cercle (unité 2cm) et placer T.
(
)
c. En utilisant les questions précédentes, construire l'image T' de T par f.
Exercice 7. 268 Homographie, Amérique du Sud, déc 2002
Dans le plan complexe, rapporté à un repère orthonormal direct (O ; u, v ) on appelle A et B les points
d’affixes respectives 2 et −2. À tout point M d’affixe z, z différent de 2, on associe le point N d’affixe z et
2z − 4
M’ d’affixe z’ tel que z ' =
.
z−2
1. Calculer z’ et z ' lorsque z = 5 puis lorsque z = 1 + i.
b. Montrer que, pour tout z distinct de 2, z ' = 2 . En déduire une information sur la position de M’.
3. Déterminer l’ensemble E des points M d’affixe z (z ≠ 2) tels que M’ = B.
les affixes respectives des vecteurs AM et BM . Montrer que, pour tout point M
4. On note Z
et Z
AM
BM
Z
AM
Z
BM
c. Déterminer l’ensemble F des points M d’affixe z telle que Re(Z) soit négatif ou nul.
3. a. Écrire le nombre complexe (1 − i) sous forme trigonométrique.
b. Soit M un point d’affixe z, distinct de A et de B. Montrer que Z est un réel non nul si et seulement s’il
π
MA, MB = + kπ .
4
π
c. En déduire l’ensemble des points M vérifiant MA, MB = + kπ .
4
π
d. Déterminer l’ensemble des points M vérifiant MA, MB = + 2kπ .
4
existe un entier relatif k tel que
(
)
(
)
(
)
Exercice 7. 270 Homographie, La Réunion, juin 2004
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; u, v ) ; i désigne le nombre complexe
demodule 1 et d’argument
π
2
. Soient les points A, B et C d’affixes respectives i, 1+i et −1+i.
Soit f l’application qui, à tout point M du plan différent de A, d’affixe z, associe le point M’ du plan d’affixe
iz + 2
.
z−i
1. a. Déterminer les images de B et de C par l’application f.
z’ tel que : z ' =
b. Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de i, on a la relation
( z '− i ) ( z − i ) = 1 .
c. Soit D le point d’affixe 1+2i. Placer les points A, B, C et D sur une figure (unité graphique 4 cm).
Déduire de la question précédente une construction du point D’ image du point D par l’ application f.
2. Soit R un nombre réel strictement positif. Quelle est l’image par l’application f du cercle de centre A et
de rayon R ?
2. a. Interpréter géométriquement z − 2 et z − 2 .
distinct de A et n’appartenant pas E , le quotient
a. Montrer l’égalité : Z =
est un nombre réel. Interpréter géométriquement
ce résultat.
5. Un point M distinct de A, n’appartenant pas E , étant donné, proposer une méthode géométrique pour
construire le point M’. On illustrera par une figure.
3. a. Montrer que, si l’affixe du point M est un imaginaire pur différent de i, alors l’affixe du point M’ est
un imaginaire pur. Que signifie ce résultat pour l’image par l’application f de l’axe imaginaire privé du
point A ?
b. Soit ∆ la droite passant par le point A et de vecteur directeur u . Déterminer l’ image de la droite ∆
privée du point A par l’application f.
Exercice 7. 271 Carré
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé (O ; i , j ) , on considère le point M d'affixe
z =2+im (où m est un nombre réel) et le carré MNPQ de centre O et tel que N soit l'image de M par la
M
rotation de centre O et d'angle de mesure
π
2
.
1. a. Déterminer, en fonction de m les affixes z N , z P , zQ des points N, P et Q.
177
178
b. Représenter le carré MNPQ dans le cas particulier où le point M a pour affixe 2 + 3i.
2. M étant le point d'affixe z = 2 + im , on note I le milieu du segment [MN] et J le milieu du segment
M
b. Vérifier que
[NP] d'affixes respectives z et z .
I
eiθ + 1
eiθ − 1
i
=
i
e
J
Calculer le nombre complexe w =
zM − z J
zQ − z I
θ
−i
e 2 +e
θ
2
−i
−e
θ
pour tout θ . Montrer que l’angle ( AM, AM ') est droit.
2
θ
2
Exercice 7. 274 Rotation-translation
.
Donner l'interprétation géométrique du module et de l'argument de w, et expliquer, par un raisonnement
géométrique, le résultat obtenu.
Dans le plan orienté, on considère un triangle ABC tel que AB = AC et
( AB, AC ) = π2 (2π ) . Soient I, J et K
les milieux respectifs de [BC], [CA] et [AB].
3. Soit A le point d'affixe 2.
a. Calculer l'affixe Z du vecteur AI . Calculer le module de Z, puis, en distinguant les cas m < −2 et
m > −2, déterminer un argument de Z.
B
b. En déduire l'ensemble ∆ décrit par le point I quand M décrit la droite D d'équation x = 2.
Représenter ∆ .
Exercice 7. 272 Rotation et homothétie
I
J
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O ; u, v ) ayant comme unité graphique 2cm.
1. a. Résoudre dans ℂ l’équation : z 2 − 2 3 z + 4 = 0 .
b. On pose a = 3 + i et b = 3 − i , exprimer a et b sous forme exponentielle.
O
c. Placer A(a) et B(b) dans le repère précédent.
2. a. Soit r la rotation de centre O et d’angle
A
K
π
.
3
Donner l’expression complexe de r, puis déterminer l’image A’ de A par cette rotation (On exprimera a’ sous
forme algébrique et exponentielle). Placer A’ dans le repère précédent.
3
b. Soit h l’homothétie de centre O et de rapport − . Donner l’expression complexe de h, puis déterminer
2
l’image B’ de B par cette homothétie (On exprimera b' sous forme algébrique et exponentielle). Placer B’ dans le
repère précédent.
Exercice 7. 273 Homothéties
On considère deux cercles (C) et (C’) de centres respectifs O et O’ et de rayons respectifs r et 2r, tangents
extérieurement en A, de diamètres respectifs [AB] et [AA’].
Soit M un point quelconque de (C) , distinct de A et B, et M’ le point de (C’) tel que le triangle AMM’ soit
rectangle en A (on prendra pour la figure r = 2cm).
1. a. Déterminer en justifiant les réponses :
- le rapport de l’homothétie h1 de centre A qui transforme (C) en (C’).
- le centre I de l’homothétie h2, distincte de h1 qui transforme (C) en (C’). Placer I sur la figure.
b. On note M1 = h1(M). Montrer que M1 est le point de (C’) diamétralement opposé à M’. Déterminer
h2(M) et en déduire que la droite (MM’) passe par un point fixe lorsque M décrit le cercle (C) privé des
points A et B.
2. Soit Ω le milieu de [MM’]. Montrer que Ω appartient à un cercle fixe dont on donnera le centre et le
rayon.
3. On considère le repère orthonormé direct du plan complexe constitué par O et les vecteurs OA et OC
(orthogonal à OA , et de longueur 1, on considère donc que r = 1). Soit M d’affixe z un point de (C). On a
donc z = eiθ ,θ ∈[0,2π ] .
a. Calculer en fonction de z les affixes des points M1 puis M’. En déduire l’affixe de I.
On appelle R la rotation de centre I et d’angle
π
2
g = T o R.
1. Déterminer l’image de K par f et l’image de J par g. Préciser la nature et les éléments caractéristiques de f
et g.
2. Déterminer la nature de la transformation g o f−1. Chercher l’image de A par cette transformation et
caractériser alors g o f−1.
Soit M un point du plan, M1 l’image de M par f et M2 l’image de M par g.
3. Déterminer g o f−1(M1). Quelle est la nature du quadrilatère ACM2M1 ?
4. On choisit le repère A ; AB, AC . Déterminer les affixes des points I, J et K. Donner l’expression
complexe de f et celle de g. Déterminer les affixes de AC et M1 M2 . Conclure.
(
)
Exercice 7. 275 Quadrilatère et triangles, N. Calédonie, mars 2004
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (O ; u, v ) .
On considère le quadrilatère ABCD tel que : AB, AD = α[2π ] , CD, CB = β[2π ] , 0 < α < π , 0 < β < π .
(
)
(
)
On construit les triangles équilatéraux DCP, DAQ, BAM et BCN tels que :
π
π
π
π
DC , DP = [ 2π ] , DA, DQ = [ 2π ] , BA, BM = [ 2π ] , BC , BN = [ 2π ] .
3
3
3
3
Soit a, b, c et d les affixes respectives des points A, B, C et D, m, n, p et q les affixes respectives des points
M, N, P et Q.
(
)
(
)
(
)
( c−b )+ b ,
p=e
(
)
1. Démontrer les relations suivantes :
i
m= e
π
3
( a− b ) + b ,
i
n= e
π
3
2. En utilisant les relations précédentes :
179
1 BC et on pose f = R o T et
2
, T la translation de vecteur
180
i
π
3
( c− d )+ d ,
i
q=e
π
3
( a− d ) + d .
a. Démontrer que MNPQ est un parallélogrammme.
π
π
b. Démontrer que l’on a : AC , QP = [ 2π ] , AC = QP, NP , BD = [ 2π ] et NP = BD.
3
3
3. Démontrer que MNPQ est un carré si, et seulement si, les diagonales [AC] et [BD] du quadrilatère ABCD
π
vérifient : AC = BD et AC , BD = [ π ] .
6
Exercice 7. 278 f(z)=z2+1, N. Calédonie, mars 2003
Exercice 7. 276 3ème degré+Hyperbole, Am. Nord, juin 2004
3. Montrer que deux points symétriques par rapport à O ont la même image. Que peut-on dire des images
de deux points symétriques par rapport à l’axe des abscisses ?
(
(
)
(
)
)
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (O ; u, v ) .
1. On veut résoudre dans ℂ l’équation (E) : z3 + 4z2 + 2z − 28 = 0.
a. Déterminer deux réels a et b tels que l’équation (E) s’écrive : (z −2)(z2+ az + b) = 0.
b. Résoudre (E).
2. On note (H) l’ensemble des points M du plan complexe d’affixe z vérifiant : z 2 − 4 = 4 − z 2 .
a. On note x et y les parties réelle et imaginaire de l’affixe z d’un point M. Montrer que : M appartient à
(H) si et seulement si x2 − y2 = 4.
b. Soient A, B et C les points d’affixes respectives 2, −3 − i 5 , −3 + i 5 .
Vérifier que A, B et C appartiennent à (H).
3. Soit r la rotation de centre O et d’angle −
π
.
4
a. Déterminer les affixes de A’, B’ et C’, images respectives de A, B et C par la rotation r (on donnera ces
affixes sous la forme algébrique).
b. On note M’ l’image par r du point M d’affixe z. On note z’ l’affixe de M’. Les parties réelle et imaginaire
de z sont notées x et y, celles de z’ sont notées x’ et y’. On note (H’) l’ensemble des points du plan dont
l’antécédent par r est un point de (H).
On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal (O ; u, v ) .
On considère la transformation ponctuelle f qui, à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’
définie par : z’ = z2 +1.
1. Déterminer les antécédents du point O.
2. Existe-t-il des points invariants par f ? Si oui, préciser leurs affixes respectives.
2
( 1 + i ) . Déterminer l’affixe du point A’ image de A par f puis prouver que
2
les points O, A et A’ sont alignés.
4. Soit A le point d’affixe z A =
5. Soit θ un nombre réel appartenant à l’intervalle [0 ; 2 π [ et N le point d’affixe eiθ .
a. Montrer que N appartient au cercle ( Γ ) de centre O et de rayon 1.
b. Lorsque θ varie, montrer que N’, image du point N par f reste sur un cercle dont on précisera le centre et
le rayon.
c. Vérifier que ON ′ = ( 2 cos θ ) ON . En déduire que les points O, N et N’ sont alignés.
d. Expliquer la construction du point N’.
Exercice 7. 279 f(z)=z2, Polynésie, nov 2004
Le plan est muni d’un repère orthonormal direct (O ; u, v ) . On prendra 2 cm pour unité graphique.
Pour tout point M du plan d’affixe z on considère les points M’ et M’’ d’affixes respectives z ' = z − 2 et
z '' = z 2 .
1. a. Déterminer les points M pour lesquels M '' = M .
- Exprimer x et y en fonction de x’ et y’.
b. Déterminer les points M pour lesquels M '' = M ' .
- En utilisant la question 2. a. prouver que : M’ appartient à (H’) si et seulement si x’y’ = −2.
4. Faire une figure sur laquelle on placera les points A, B, C, A’, B’, C’, la courbe (H’), puis la courbe (H).
2. Montrer qu’il existe exactement deux points M1 et M2 dont les images M1′ , M1′′, M2′ , M2′′ appartiennent
à l’axe des ordonnées. Montrer que leurs affixes sont conjuguées.
Exercice 7. 277 Conjugué, Centres étrangers, juin 2004
3. On pose z = x + iy où x et y sont des nombres réels.
Le plan est muni d’un repère orthonormal direct (O ; u, v ) , unité graphique : 2 cm. On appelle A le point
d’affixe −2i. À tout point M du plan d’affixe z, on associe le point M’ d’affixe z ' = −2 z + 2i .
1. On considère le point B d’affixe b = 3 − 2i.
Déterminer la forme algébrique des affixes a’ et b’ des points A’ et B’ associés respectivement aux points A
et B. Placer ces points sur le dessin.
2. Montrer que si M appartient à la droite ( ∆ ) d’équation y = −2 alors M’ appartient aussi à ( ∆ ).
3. Démontrer que pour tout point M d’affixe z , z '+ 2i = 2 z + 2i ; interprétez géométriquement cette
égalité.
4. Pour tout point M distinct de A on appelle θ un argument de z +2i.
a. Justifier que θ est une mesure de l’angle u ; AM .
(
b. Démontrer que
)
( z + 2i ) ( z '+ 2i ) est un réel négatif ou nul.
z ''− z
.
z '− z
b. En déduire l’ensemble E des points M du plan pour lesquels les points M, M’ et M’’ sont alignés.
Représenter E graphiquement et en couleur.
a. Exprimer sous forme algébrique le nombre complexe
 π 
4. On pose z = eiθ où θ ∈  0 ;  .
2

a. Déterminer l’ensemble Γ des points M d’affixe z ainsi définis et chacun des ensembles Γ ′ et Γ ′′ des
points M’ et M’’ associés à M.
b. Représenter Γ , Γ ′ et Γ ′′ sur la figure précédente.
c. Dans cette question θ =
π
. Placer le point M3 obtenu pour cette valeur de θ , et les points M′3 , M′′3
6
associés. Montrer que le triangle M3 M3′ M3′′ est rectangle. Est-il isocèle ?
c. En déduire un argument de z’ +2i en fonction de θ .
Exercice 7. 280 Napoléon, Antilles, sept 2004
d. Que peut-on en déduire pour les demi-droites [AM) et [AM’) ?
5 points
5. En utilisant les résultats précédents, proposer une construction géométrique du point M’ associé au
point M.
Dans le plan orienté muni d’un repère orthonormal direct, on considère ABC un triangle direct sur lequel
on construit extérieurement trois triangles équilatéraux BCA’, ACB’ et ABC’. On considère respectivement
les points P, Q et R, centres de gravité respectifs des triangles BCA’, ACB’ et ABC’.
181
182
On note a, b, c, a’, b’, c’, p, q et r les affixes respectives des points A, B, C, A’, B’, C’, P, Q et R.
1. a. Traduire, avec les affixes des points concernés, que C’ est l’image de A dans une rotation d’angle de
mesure dont on précisera le centre.
b. Montrer que a’ + b’ + c’ = a + b + c.
2. En déduire que p + q + r = a + b + c.
3. En déduire que les triangles ABC, A’B’C’ et PQR ont même centre de gravité.
5. Justifier les égalités suivantes :
a− c = e
π
3
i
π
( M ' O, M ' M ) = arg  a −a 1  + 2kπ , k ∈ ℤ .
c. En déduire que le triangle OMM’ est rectangle en M’ si et seulement si A appartient au cercle C privé de
O et de I.
2. Dans cette question, M est un point de l’axe des abscisses, différent de O. On note x son affixe. On
choisit a de manière que A soit un point de C différent de I et de O.
Montrer que le point M’ appartient à la droite (OA). En déduire que M’ est le projeté orthogonal de M sur
cette droite.
4. Montrer que : 3(q − p) = (b’ − c)+(c − a’)+(a − b).
On admettra que, de même : 3(r − p) = (a − c) + (b − a’) + (c’ − b).
i
b. Montrer que
i
π
( b ' − c ) ; b − a ' = e 3 ( c − a ' ) ; c '− b = e 3 ( a − b ) .
6. Déduire des questions 4. et 5. que le triangle PQR est équilatéral.
Exercice 7. 282 f(M)=MA.MB, Antilles, sept 2002
Dans le plan complexe rapport au repère orthonormal (O ; u, v ) direct, (unité graphique : 5 cm), on
1 1
considère les points A et B d’affixes respectives z A = 1 + i et z B = − + i . On désigne par (C ) le cercle de
2 2
centre O et de rayon 1.
1. Donner la forme trigonométrique de zA et celle de zB.
B'
2. Dans la suite de l’exercice, M désigne un point de (C ) d’affixe eiα , α ∈ [ 0 ; 2π ] .
On considère l’application f qui tout point M de (C ), associe f ( M) = MA × MB
C
A'
Q
A
a. Montrer, pour tout α ∈ ℝ , l’égalité suivante : ei 2α − 1 = 2ieiα .
R
1 3 
b. Montrer l’égalité suivante : f ( M) = ei 2α − 1 −  + i  eiα .
2 2 
B
c. En déduire l’égalité suivante : f ( M) =
P
2
1  3

+  − + 2sin α  .
4  2

3. a. En utilisant 2. c., montrer qu’il existe deux points M de (C), dont on donnera les coordonnées, pour
lesquels f(M) est minimal. Donner cette valeur minimale.
b. En utilisant 2. c., montrer qu’il existe un seul point M de (C ), dont on donnera les coordonnées, pour
lequel f (M) est maximal. Donner cette valeur maximale.
Exercice 7. 283 Spirale
C'
Exercice 7. 281 Projection orthogonale, Am. Sud, nov 2003
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; u, v ) (unité graphique 4 cm).
Soit I le point d’affixe 1. On note C le cercle de diamètre [OI] et on nomme son centre Ω .
Partie I On pose a0 =
1 1
+ i et on note A0 son image.
2 2
Dans cet exercice on essaie de calculer la longueur d’une portion de spirale. La figure jointe au sujet sera complétée au
fur et à mesure des besoins et rendue avec la copie.
1. On considère le plan complexe rapporté à un repère orthonormé (O ; i , j ) de sorte que le point A ait
pour affixe 1.
a. Donner sous forme algébrique et sous forme exponentielle l’affixe du point B du cercle de centre O, de
π
rayon 1, tel que (OA, OB) = (2π ) .
4
1. Montrer que le point A0 appartient au cercle C.
b. Calculer la distance AB à 10 – 2 près. En considérant que l’arc AB du cercle trigonométrique a une
2. Soit B le point d’affixe b, avec b = −1+2i, et B’ le point d’affixe b’ telle que b’ = a0b.
longueur de
a. Calculer b’.
b. Démontrer que le triangle OBB’ est rectangle en B’.
Partie II
Soit a un nombre complexe non nul et différent de 1, et A son image dans le plan complexe. À tout pointM
d’affixe z non nulle, on associe le point M’ d’affixe z’ telle que z’ = az.
1. On se propose de déterminer l’ensemble des points A tels que le triangle OMM’ soit rectangle en M’.
 a−1 
a. Interpréter géométriquement arg 
.
 a 
183
π
4
, donner alors une valeur approchée de π à l’aide de la distance AB.
c. Placer sur la figure le point M1, image de A par la rotation R de centre 0 et d’angle
points Mk tels que Mk+1 = R( Mk ) avec 1 ≤ k ≤ 15 . Que peut-on dire de M16 ?
π
π
8
, placer de même les
2+ 2
2− 2
. Calculer
+i
2
2
–3
alors la distance AM1 à 10 près et donner une nouvelle valeur approchée de π .
i
d. On appelle z1 l’affixe de M1 ; montrer que z12 = e
184
4
et vérifier que z1 =
2. On construit maintenant les points Nk de la manière suivante : N0=A et pour tout k, 1 ≤ k ≤ 15 ,
3
ONk+1 = ON k et Nk appartient au segment [OMk].
4
a. Placer sur la figure les point Nk , 1 ≤ k ≤ 16 . Que peut-on dire de N16 ? Quelle est la nature de la suite
dk = ON k ? Exprimer sous forme trigonométrique l’affixe Zk des points Nk.
Quatre points A, B, C et D sont cocycliques ssi ils appartiennent au même cercle Γ. On montre que quatre
points A,B, C et D sont cocycliques ssi ( AC , AD ) = ( BC , BD)(π ) (attention, ce sont des angles de
droites…)
b. Justifier que les triangles NkONk+1 sont tous semblables. Quelle est la nature de la suite Dk = N k Nk+1 ?
Donner son expression en fonction de k et de D0 ; exprimer en fonction de k et D0 la somme
Sn = D0 + D1 + ... + Dn où n est un entier quelconque.
c. Donner une valeur approchée à 10
–3
D
C
a
a
près de la longueur D0 = N0 N1 , en déduire une valeur approchée à
10 – 3 près de la longueur de la ligne polygonale N0 N1 N2 ...N15 N16 . Quelle est la limite de Sn lorsque n tend
vers l’infini ? Quelle signification concrète a cette limite ?
O
A
B
a-Pi
E
B
On désigne par P le plan complexe, par Ω le point d’affixe i et P’=P-{ Ω }. M un point qurelconque de P’ a
pour affixe z.
Pour tout réel non nul m, on désigne par fm l’application de P’ dans P’ telle que
m
.
z+i
1. On suppose m donné. Montrer que fm est involutive. Déterminer l’ensemble des points invariants par fm.
Démontrer que pour tout point M de P’, les points Ω , M et M’ sont alignés et que ΩM.ΩM′ = m (produit
scalaire).
fm : M( z) → M′( z ′) / z ′ − i =
O
A
2. Soit m et λ deux réels non nuls. Pour tout point M de P’, on désigne par M’ le point fm(M) et par M’’ le
point fλ ( M ') . Montrer que M’’ est l’image de M par une transformation que l’on précisera. Quelle est la
nature de cette transformation ?
Figure à compléter et à rendre avec la copie.
Exercice 7. 284 Bissectrice
Soit a et b deux nombres réels, on considère les nombres complexes z et z' de module 1 et d'arguments
respectifs a et b.
1. Montrer, en utilisant la forme exponentielle de z et z', que
2. En déduire que arg [z + z'] =
( z + z ')2
est un réel positif ou nul.
zz '
1
(arg [z] + arg [z']) .
2
3. On appelle M et M' les images de z et z' dans le plan muni d'un repère orthonormé direct de centre O et
N le point tel que OMNM' soit un parallélogramme. Interpréter géométriquement l'égalité précédente à
l'aide de ces points.
3. Le nombre m est toujours supposé fixé. Soit A, B, C, D quatre points distincts de P’, d’affixes respectives
( c − a)( d − b)
.
( c − b)( d − a)
a, b, c et d. On appelle birapport de ces quatre points (noté (A, B, C, D) ) le nombre complexe
a. Démontrer que (A, B, C, D) = (C, D, A, B).
b. Démontrer que (A, B, C, D) est un nombre réel si et seulement si les points A, B, C et D sont alignés ou
cocycliques.
c. On désigne par A’, B’, C’, D’ les images respectives des points A, B, C et D par fm. Montrer que
(A, B, C, D) et (A’, B’, C’, D’) sont conjugués.
4. Déduire de la question précédente que, quels que soient les points M et N appartenant à P’, les points M,
N, M’ et N’ sont alignés ou cocycliques.
5. On désigne par ∆ une droite ou un cercle du plan P et par ∆1 son intersection avec P’. Démontrer que
l’image de ∆1 par fm est l’intersection d’une droite ou d’un cercle avec P’.
Exercice 7. 285 Théorème de Ptolémée
Quelques définitions :
On dira qu’une application f est involutive si et seulement si f o f = Id.
185
186
8 . FONCTION EXPONENTIELLE EXERCICES
Exercice 8. 286 Introduction à la fonction exponentielle (version simple)
1. Approche par les suites géométriques
Une ville voit sa population augmenter de 10 % chaque année.
Le 31 décembre 1990, elle comptait u0 = 50 000 habitants. On note un le nombre d’habitants à la date du 31
décembre de l’année 1990 + n.
1. Calculer le nombre d’habitants de cette ville les 31 décembre 1991 et 1992. Quelle est la nature de la
suite (un) ?
2. En déduire l’expression de un en fonction de n et le nombre d’habitants de cette ville le 31 XII 2003.
3. Placer sur un graphique les points de coordonnées (n ; un) pour n entier, 0 ≤ n ≤ 13 . Proposer une
méthode pour estimer le nombre d'habitants de cette ville à la fin du mois de juin de l'année 2003.
2. Introduction de l'équation différentielle y'=ky
L’expérience suggère que, si l’on considère une population macroscopique de noyaux radioactifs (c’est-àdire dont le nombre est de l’ordre du nombre d’Avogadro, soit 1023 ), le nombre moyen de noyaux qui se
désintègrent pendant un intervalle de temps ∆ t à partir d’un instant t, rapporté au nombre total de
noyaux N(t) présents à l’instant t et au temps d’observation ∆ t, est une constante λ caractéristique du
noyau en question.
On peut donc écrire :
∆N (t ) N (t + ∆t ) − N (t )
∆N(t)
= −λ∆t ou encore
= −λN (t ) .
=
N( t)
∆t
∆t
En faisant tendre ∆ t vers 0, on trouve alors N '(t) = −λ N(t) ou encore
dN (t )
= −λN (t ) .
dt
Trouver les fonctions N qui satisfont cette condition , c’est résoudre l’équation différentielle y ' = −λ y .
On peut pressentir que la donnée de la population N(0) = N0 au départ détermine parmi les solutions
trouvées celle qui décrira l’évolution de N (l'unicité de la solution sera peut-être démontrée plus tard).
Le problème posé en termes mathématiques est alors le suivant :
Résoudre l’équation différentielle y ' = −λy .
C’est à dire chercher les fonctions f dérivables sur ℝ qui vérifient que pour tout t∈ ℝ , f’(t)=− λ f(t). Puis
parmi celles-ci, celle qui vérifie f(0)= N0.
3. Une approche graphique des fonctions solutions de f'(x)=f(x)
Préambule: Nous considérons ici l'équation différentielle : y’ = y. Une fonction est une solution de cette
équation différentielle, si elle est dérivable sur ℝ et que pour tout réel x, on a f'(x) = f(x).
On peut remarquer que si f est une solution de l'équation différentielle y' = y alors la fonction g définie par
g(x) = kf(x) avec k un réel quelconque est également une solution et il existe alors une infinité de solutions
à cette équation différentielle.
L'activité suivante conduit à une construction des courbes intégrales (ce sont les courbes des fonctions
solutions de l'équation différentielle) et permet de visualiser que la donnée d'une valeur de la fonction
(b = f(a)) détermine cette fonction.
Activité: Supposons que (a ; b) sont les coordonnées d'un point M appartenant à la courbe représentative C
d'une solution de l'équation différentielle.
1. Commençons tout d’abord par le point M1 de coordonnées (0 ; 1). Déterminer une équation de la
tangente en M1.
2. Soient M2, M3 et M4 les points de coordonnées respectives(−1 ; 2), (2 ; 1) et (0 ; −1). Déterminer une
équation de la tangente en chacun de ces points. Une même courbe peut-elle passer par M1 et M4 ?
Quelle remarque peut-on faire sur le coefficient directeur de cette tangente ?
M et M’ étant deux points de même ordonnée que peut-on dire des tangentes en M et M’ ?
4. Dans le plan muni d’un repère orthonormal (unité 3 cm), on considère les points dont les coordonnées
k
k'
(x ; y) vérifient −2 ≤ x ≤ 4 , −2 ≤ y ≤ 2 , x = et y =
avec k et k’ entiers. Pour chacun de ces points tracer
2
2
un segment de tangente (environ 1 cm).
5. Admettons qu'il existe une unique fonction f solution vérifiant f(0) = 1 et pour tout réel x,
f '(x) = f(x).
Construire une ébauche de la courbe représentative de cette fonction. Quelle valeur approchée de f(1)
obtient-on ?
4. Utilisation de la méthode d'Euler
De nombreux phénomènes d’évolution sont modélisés par une fonction dérivable f dont la dérivée f’ est
proportionnelle à la fonction f elle-même (f’ = kf). Nous allons observer l’une d’elle par la méthode d’Euler.
Soit f une fonction dérivable sur ℝ vérifiant f(0) = 1 et pour tout x : f’(x) = f(x).
1. Montrer que, pour tous réels a et h (h voisin de 0), l’approximation affine de f en a,
s’écrit : f ( a + h) ≈ f ( a) × (1 + h) .
2. Appliquer cette formule avec a = 0, a = h, a = 2h, ... En déduire que, si l’on part de f(0), la suite des
valeurs approchées de f(x) obtenues par la méthode d’Euler, avec le pas h, est une suite géométrique. Quelle
est sa raison ?
3. Construire point par point sur le même graphique, une représentation graphique approchée de f en
prenant un pas h de 0,5 puis de 0,1. Prolonger la courbe sur l’intervalle [−1 ; 2] avec la même méthode (pas
h de 0,1).
A l’aide d’un tableur, on peut représenter cette fonction de manière encore plus précise et sur un intervalle plus
large.
La fonction f est appelée fonction exponentielle.
4. Valeur approchée de f(1) : on se place sur l’intervalle [0 ; 1] que l’on subdivise en n intervalles. Le pas h
1
vaut donc ici .
n
n
1

a. Montrer que la valeur approchée de f(1) obtenue par cette méthode est  1 +  .
n

b. Donner la valeur approchée de f(1) correspondant à n =10 000. On admettra que la suite de terme
n
1

général  1 +  converge et on notera e sa limite.
n

5. Définition et premières propriétés de la fonction exponentielle
L’étude faite dans les questions précédentes nous amène à conjecturer l’existence de solutions à l’équation
différentielle y’ = y (ce sont les fonctions dont on peut tracer les représentations graphiques de manière
approchée en « suivant » les tangentes tracées en 3.). Cependant ces constatations ne constituent pas une
preuve. Pour poursuivre notre étude nous sommes conduits à admettre un résultat :
« Il existe une fonction f dérivable sur ℝ qui est solution de y’ = y et qui vérifie f(0) = 1. »
Nous allons étudier dans la suite les conséquences de cette conjecture (dans la suite du problème f
désignera toujours cette fonction).
1. Posons F(x) = f(x). f(−x). Calculer la dérivée de F. En déduire que f(x) n’est jamais nulle.
2. Supposons que g est une (autre) solution de y’ = y. Posons h( x) =
3. Démontrer que, dans le cas général l’équation de la tangente T à C en M est y = bx − ab + b .
187
188
g( x)
.
f ( x)
a. Démontrer que h est dérivable sur ℝ et que h’(x) = 0.
b. En déduire que pour tout réel x, g( x) = g(0) × f ( x) , puis que f est la seule solution de l’équation
différentielle qui prend la valeur 1 en 0.
3. Soit a un réel. On considère la fonction g définie par g( x) = f ( a + x) .
Démontrer que g est une solution de l’équation différentielle y’ = y. En déduire que pour tout réels a et b,
on a : f ( a + b) = f ( a)f (b) .
4. a et b sont deux réels quelconques.
a. En utilisant judicieusement l’égalité démontrée à la question précédente et f(0)=1, calculer f ( − a ) et
f ( a− b ) .
b. On considère que dans P(x) N devient très, très grand. Montrez alors que si P était solution on aurait
∞
1
1
an = . On admettra que la fonction (si, si, ça représente bien une fonction) définie par f ( x) = ∑ x n est
n!
n =1 n!
solution de (1) (la fonction f ici définie a été trouvée par Newton aux débuts du calcul différentiel).
2. On revient à la méthode d’Euler : on considère les suites x0 = 0 , y0 = 1 , xn+1 = xn + h , yn+1 = (1 + h)yn et
x
. On note alors xn = xn ( x) et yn = yn ( x) .
on pose pour une valeur x fixée h =
n+1

Montrez alors que yn ( x) =  1 +

x
x  
x
 1 +
 ...  1 +  (1 + x) .
n   n −1 
2
b. Démontrer que pour tout n entier relatif f ( na ) = ( f ( a ) ) .
3. On s’intéresse au comportement de yn ( x) lorsque n tend vers l’infini.
Exercice 8. 287 Introduction à la fonction exponentielle (version difficile)
x

a. Montrez que lorsque x est positif ou nul, yn ( x) ≤  1 +  = wn ( x) et que lorsque x est négatif ou nul,
n

n
n
L’objectif de ce travail est de découvrir la fonction exponentielle réelle à travers la résolution d’une
équation différentielle par la méthode d’Euler. La première partie doit vous permettre de maîtriser cette
méthode avec le concours d’Excel, la deuxième permet de trouver la solution de l’équation différentielle, la
troisième démontre certains résultats très importants quand à la quatrième on revient à la méthode d’Euler
pour résoudre deux équations différentielles intéressantes.
1. La méthode d’Euler
n
x

yn( x) ≥  1 +  = wn( x) .
n

wn ( x)
= 1 . On admettra que pour n suffisamment grand les suites wn ( x) et yn ( x) sont
yn ( x)
« équivalentes », c’est-à-dire qu’elles ont le même comportement.
b. Montrez que lim
n→∞
Une équation différentielle est une équation liant une fonction inconnue (notée généralement y) et ses dérivées (y’, y’’, …).
On dira que l’équation est linéaire et du premier ordre si on peut l’écrire y '+ P( x)y = Q( x) . L’équation est sans second membre si
Q(x) = 0. Par la suite k, k’, C désigneront des constantes, x la variable.
D’une manière générale si on a une équation différentielle (E) et que l’on nous donne une fonction f dont on demande si elle est
solution, il suffit de calculer les dérivées nécessaires de f, de remplacer et de vérifier que f satisfait (E) (on arrive alors à une égalité
du style 0=0).
4. Comportement de wn ( x) .
a. Démontrez par récurrence la propriété (P) : (1 + u)n ≥ 1 + nu pour tout réel u > −1.
b. Sens de variation de wn : montrez que 1 +
1. On s’intéresse à la résolution de l’équation différentielle y ' = ky où k est un réel quelconque. En
revenant à la définition du nombre dérivé, montrer que y( x + h) = (1 + hk)y( x) + hε ( h) avec lim ε ( h) = 0 .
h→ 0
x

wn+1 ( x) =  1 + 
n

2. On définit les suites (xn) et (yn) par x0 = α , y0 = β , xn+1 = xn + h et yn+1 = (1 + hk)yn + hε ( h) . Donner
l’expression de xn en fonction de α, h et n. En considérant que hε ( h) est négligeable donner une expression
de yn en fonction de β , h, k et n.
3. On prend α = 0 et β = 1.
a. Construire une feuille de calcul permettant de calculer les valeurs successives de xn et yn. Tracer les
représentations graphiques Cn(xn, yn) obtenues dans les cas suivants avec un pas h = 0,02 :
k = −2 ; k = −0,5 ; k = 0 ; k = 0,5 ; k = 1 ; k = 2.
b. Toujours avec α = 0 et β = 1, justifier que quand k > 0 la fonction y est croissante, quand k = 0 la
fonction y est constante et quand k < 0 la fonction y est décroissante.
c. En modifiant les valeurs de α et β dans la feuille de calcul déterminer les changements apportés par ces
différentes valeurs aux courbes Cn.
2. Résolution de y’ = y
On note n! (ce qui se lit factorielle de n) le nombre 1.2.3...(n − 1).n .
1. a. On se demande s’il existe une fonction polynôme satisfaisant à l’équation (1) y ' = y avec y(0) = 1 .
N
Pour cela on pose P( x) = ∑ an x n . Calculez P’(x) et déduisez-en qu’aucune fonction polynôme (autre que le
n =1
n +1




x
1 −

x 


 n(n + 1)  1 + n  


x

5. On considère zn ( x) =  1 − 
n

x

= 1 + 
n

n+1


x
1 −

 ( n + 1)( n + x) 
n+1
n +1
x 

1 −
 = wn ( x) .
 n+ x 
−n
toujours avec n > x > −n.
a. Tracez avec l’aide de votre tableur préféré les suites wn ( x) et zn ( x) pour x = 2 puis pour x = −0,5.
Quelles conjectures pouvez-vous faire sur leur comportement ?
Les vraiment courageux peuvent s’attaquer aux questions d., e. et f.
b. Montrez que
1
= wn ( − x) ; déduisez-en que zn ( x) est décroissante à partir d’un certain rang.
zn ( x)
c. Montrez que
wn ( x) 
x2 
x2
= 1 − 2  ≥ 1 −
; qu’en déduisez-vous pour wn ( x) et zn ( x) ?
zn ( x ) 
n
n 
n
x2
wn ( x) . Quelle est la limite de zn ( x) − wn ( x) quand n tend vers
n
l’infini ?
Concluez !
189
n +1
x

puis en utilisant (P) que pour un entier n suffisamment grand, wn+1 ( x) ≥  1 + 
n

Concluez.
d. Montrez que 0 < zn ( x) − wn ( x) <
polynôme nul) n’est solution.
x
x
x
= 1+ −
. Justifiez alors que si n > x > −n,
n+1
n n(n + 1)
190
6. On conclut donc de tout ceci à l’existence d’une limite commune aux suites wn ( x) et zn ( x) ; cette limite
est une fonction et est notée exp(x) (exponentielle de x) avec
n
x
x


exp( x) = lim  1 +  = lim  1 − 
n→∞ 
n→∞ 
n
n
−n
=
b. Comme exp est dérivable sur ℝ elle est continue sur ℝ . En utilisant le théorème des valeurs
intermédiaires montrez que exp(x) > 0 pour tout x réel.
c. Déduisez-en le sens de variation de exp.
3. Dérivée de exp(u)
1
exp(− x)
En utilisant la dérivation des fonctions composées montrez que ( exp( u))′ = u ' exp(u) .
Par définition des suites yn ( x) et zn ( x) on a exp(0) = 1.
4. La limite de exp en +∞ est +∞
On s’intéresse ici à la dérivée de exp (a priori exp doit être solution de y’ = y, donc sa dérivée doit être elleexp( x + h) − exp( x)
même, sinon tout ce qu’on a fait n’aura servi à rien) : on cherche donc la limite de
h
lorsque h tend vers 0.
Déterminez également lim exp( x) .

n
n
x+ h 
x 
h

a. Montrez que yn ( x + h) =  1 +
=
1
+
 1 +
 
n  
n 


n1 +


b. Montrez que lorsque n est suffisamment grand on a
n

n

h 

 = yn ( x)  1 +
 .
x 
n
+
x



n  
h
> −1 .
n+ x
nh 

c. En utilisant la propriété (P) montrez que yn ( x + h) ≥ yn ( x)  1 +
 puis que
 n+ x 
yn ( x + h) − yn ( x)
n
≥ yn ( x)
.
h
n+ x
Lorsque n tend vers l’infini quelle inégalité obtenez-vous ?
En utilisant la propriété (P) montrez que exp( x) ≥ lim(1 + nx) ; déduisez-en la limite de exp en +∞.
n →∞
x →−∞
5. Cexp(kx) est la solution de y’ = ky
a. Calculez la dérivée de f ( x) = C exp( kx) et vérifiez que f est solution. Que vaut f si y(0) = 1 ?
b. Soit g une autre solution possible, on pose g( x) = h( x)exp( kx) ; montrez que g est constante. Concluez.
6. exp(a + b) = exp(a)exp(b)
Cette propriété fondamentale peut être montrée en utilisant les définitions à base de suites mais c’est un
peu laborieux. On va utiliser le fait que exp(kx) est l’unique solution de y’ = ky avec y(0) = 1.
a. On montre d’abord que si exp(ax) est solution de f’ = af alors exp(a + b) = exp(a)exp(b) : soit g la
fonction définie par g( x) = exp( a + x) − exp( a)exp( x) .
Montrez que g '( x) = ag( x) , calculez g(0). Concluez.
b. On montre maintenant que si une fonction f est telle que f(a + b) = f(a)f(b) pour tous a, b réels alors
f(x) = exp(kx).
Dérivez la relation f(a + x) = f(a)f(x) par rapport à x. Que se passe-t-il lorsque x = 0 ? Déduisez-en que f
est solution de y’ = ky où k = f’(0).
On remplace h par −h dans l’inégalité précédente, ce qui donne
exp( x − h) − exp( x) ≥ − h exp( x) ⇔ exp( x) − exp( x − h) ≤ h exp( x)
Pour quelques compléments :
http://perso.wanadoo.fr/gilles.costantini/Lycee_fichiers/CoursT_fichiers/EDexp03.pdf
puis x par x + h :
exp( x + h) − exp( x) ≤ h exp( x + h) ⇔ (1 − h)exp( x + h) ≤ exp( x)
En prenant h petit, 1−h >0 d’où exp( x + h) ≤
1
h
exp( x) ⇔ exp( x + h) − exp( x) ≤
. Il n’y a plus qu’à
1− h
1− h
conclure.
7. Nous savons maintenant que l’équation y’ = y avec y(0)=1 a au moins une solution. Est-ce la seule ?
a. On suppose qu’il existe une solution g autre que exp. Posons f ( x) = g( x)exp( x) . Calculez f’(x).
b. Montrez que g est alors telle que g '( x) = 0 . Que vaut g(x) ?
3. Quelques propriétés de exp
Les questions précédentes montrent deux définitions différentes de exp(x) :
N
N →∞
n= 0
∞
xn
xn

=∑
et exp( x) = lim  1 +
n→∞
n! n= 0 n!

puissances s’appliquent évidemment.
On peut se demander ce qui se passe si on étend la définition de x réel à x complexe dans
N
∞
xn
xn
exp( x) = lim ∑ = ∑
par exemple ; on définit alors une fonction appelée exponentielle complexe qui a
N →∞
n = 0 n!
n = 0 n!
les mêmes propriétés que l’exponentielle réelle et on notera exp( z ) = e z = ex + iy = ex .eiy . Dans le cas où la
partie réelle de z est nulle on retrouve la notation exponentielle vue dans les complexes d’où
e z = ex (cos y + i sin y) = ex cos y + iex sin y . Cette fonction est fondamentale dans de nombreux domaines des
mathématiques et de la physique.
c. En utilisant f(0) = 1, montrez que f n’est autre que exp.
exp( x) = lim ∑
La relation précédente n’est jamais que la propriété bien connue des puissances : ua .ub = ua+ b avec a, b
rationnels. La définition de la fonction exponentielle étend alors aux puissances réelles cette propriété ;
x
comme on a par ailleurs exp(1) = e, on note en général exp( x) = e où les règles de calcul habituelles sur les
n
x
 .
n
(La première définition n’a pas été justifiée proprement, ce sera l’objet d’un problème ultérieur).
1. Avec Excel tracez les deux suites représentant exp(1) pour n compris entre 0 et 200 ainsi qu’une droite
horizontale représentant exp(1) (on l’obtient directement avec la fonction exp de Excel). Quelle définition
vous semble la plus efficace en terme de temps de calcul ? Le nombre exp(1) ≈ 2,7183... est noté
simplement e.
Exercice 8. 288 Quelques résolutions avec utilisation de la méthode d’Euler
1. y ' = ky + k '
On considère l’équation différentielle : (A) y ' = −10 y + 6 où y désigne une fonction de la variable t,
dérivable sur ℝ .
a. En utilisant la méthode d’Euler avec y(0) = 0 et un pas h = 0,01 tracer la courbe solution sur [0 ; 5].
b. Trouver K constante réelle telle que f(t) = K soit solution de(A).
2. exp est toujours strictement positive
c. On pose y = u + K ; montrer que y est solution de (A) si et seulement si u est solution de (B) :
y’ = −10y.
a. On suppose qu’il existe un réel α tel que exp(α) = 0, calculez exp(α )exp(−α ) ; concluez.
d. Déterminer les solutions de (B), en déduire les solutions de (A).
191
192
e. En utilisant la même méthode qu’au III. 4. b montrer que les solutions trouvées sont les seules possibles.
f. Déterminer la solution de (A) telle que f(0) = 0.
Tracez cette solution sur la même figure qu’à la question IV. 1. a. Représentez également l’écart entre la
solution obtenue avec Euler et la solution exacte. Interprétez.
a. Montrez que I1 = e − 2 au moyen d’une intégration par parties.
b. Montrez que ( In ) est décroissante ; déduisez-en un encadrement de In et concluez quand à sa
convergence.
1
e
≤ In ≤
. Quelle est la limite de
n+1
n+1
−2
In ? Déterminez la valeur de l’entier n0 tel que pour n > n0 on est sûr que In ≤ 10 .
c. Montrez que sur [0 ; 1] on a x n ≤ fn ( x) ≤ ex n . En déduire que
2. Etablissement d’un courant dans une bobine
Aux bornes d’une bobine de résistance R (exprimée en ohms) et d’inductance L (exprimée en henrys), on
branche, à la date t = 0, un générateur de force électromotrice E (exprimée en volts). L’unité de temps est
la seconde.
L’intensité du courant dans le circuit (exprimée en ampères) est une fonction dérivable du temps, notée i.
A la date t = 0 l’intensité est nulle.
Au cours de l’établissement du courant, la fonction i est solution de l’équation différentielle :
di
Li’ + Ri = E (ou L + Ri = E ).
dt
Valeurs numériques : dans toute la suite, on prend R = 5, L = 0,5 et E = 3.
1. Déduire des questions précédentes l’expression de i(t) pour t > 0 .
2. Déterminer lim i(t) . Donner une interprétation physique du résultat.
t→+∞
3. On essaie d’obtenir une expression de In .
a. Au moyen d’une intégration par parties, montrez que In+1 = (n + 1)In − 1 . Déduisez-en les valeurs exactes
de I2 , I3 , I4 .
b. Il semble clair que In peut se mettre sous la forme In = n! e − an : déterminez une relation de récurrence
entre an+1 et an .
Montrez par récurrence que an = n!+ n!+
1,2
y
3. Au bout de combien de temps le courant atteint-il la valeur de 0,59 ampères (on cherchera la réponse
avec Excel) ?
Exercice 8. 289 QCM
n! n! n!
n!
1 1
1
+ + + ... + . Déduisez-en que e = lim 1 + 1 + + + ... + .
n→∞
2! 3! 4!
n!
2! 3!
n!
1
Répondre par Vrai ou Faux à chaque question sans justifier.
Chaque réponse juste rapporte 0,75 points ; toute réponse fausse coûte 0,5 points ; pas de réponse ne rapporte ni
n’enlève rien. Si toutes les réponses sont justes un bonus de 1 point est donné.
0,8
Soit la fonction f ( x) = ( − x + 3 ) e− x et C sa courbe représentative.
a. Pour tout x > 0, on a : f ( x) ≥ − x + 3.
C1
0,6
b. La droite d’équation y = 0 est asymptote à la courbe C.
c. La dérivée de f est f '( x) = (2 − x)e− x .
C2
C3
0,4
d. La fonction f admet un unique extremum.
C4
e. Pour tout réel m ≠ e2 , l’équation f ( x) = m admet soit 0 soit 2 solutions.
f. La fonction g( x) = (− x + 3)e− x n’est pas dérivable en 0.
0,2
g. La fonction f est-elle une solution de l’équation différentielle y '− y = 7 e− x ?
h. La valeur moyenne de f entre 0 et 1 est …
x
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
Exercice 8. 290 Famille de fonctions expo + intégrales
On donne les courbes Cn représentatives des fonctions fn ( x) = x n e1− x sur [0 ; 1] avec n ≥ 1 (sur la figure on
s’est arrêté à n = 10, mais les représentations sont similaires).
On considère alors la suite d’intégrales In =
∫
1
x n e1− x dx .
0
On rappelle que e ≈ 2,718 et que n! = 1.2.3.4....( n − 1).n .
1. a. Déterminez graphiquement la valeur des coefficients directeurs des tangentes aux courbes Cn en 0
pour n = 1 puis pour n ≥ 2 . Vérifiez vos résultats avec un calcul.
b. Donnez une interprétation géométrique de ( In ). Quelles conjectures pouvez-vous faire sur le
comportement de cette suite (sens de variation, convergence, limite) ?
2. On va montrer les résultats obtenus en 1.b.
193
Exercice 8. 291 Expo+suite integrales
e− x
. On rappelle que e ≈ 2,7183 .
1− x
La courbe C représentative de f dans un repère orthonormé est donnée sur la feuille jointe (les unités n’ont
aucune importance) ; le tableau de variation de f est fourni ci-dessous.
On considère la fonction f définie sur ℝ − {1} par f ( x) =
On considère l’intégrale J =
∫
0
−1
f (t)dt ; l’objet de l’exercice est de trouver un encadrement permettant un
calcul approché de J et non d’en donner un calcul exact.
1. Interpréter géométriquement J : on fera un petit croquis explicatif sur la feuille jointe que l’on rendra
avec la copie. Donner une estimation à la louche de J.
194
2. Utiliser le tableau de variation de f pour justifier que 1 ≤ J ≤
e
.
2
3. Rappeler la démonstration de la formule de la somme des termes d’une suite géométrique de 1er terme 1
x n+1
1
=
.
et de raison x. Justifier alors l’égalité : 1 + x + x 2 + ... + x n +
1− x 1− x
4. En déduire que J = u0 + u1 + u2 + ... + un + Rn où uk =
∫
5. Justifier l’encadrement
0
n +1
−1
t
e
dt ≤ Rn ≤
2
∫
0
−1
n +1
t
∫
0
−1
2
e
. Prouver l’égalité f ( x) = X 2 e X . En déduire la limite de f quand x tend vers 1 par
x −1
2
valeurs inférieures.
1. a. Soit X =
∫
k −t
t e dt et Rn =
0
−1
dt ; en déduire que
n +1
t
b. Déterminer la limite de f en −∞ .
c. En déduire une asymptote à la courbe ( Γ ).
x +1
f (t)dt .
2. a. Soit v la fonction numérique définie sur ] −∞ ; 1[ par v( x) = e x −1 . Calculer v’(x).
1
e
≤ Rn ≤
. Quelle est la
2(n + 1)
n+1
limite de Rn quand n tend vers l’infini ?
b. Démontrer que f '( x) =
x +1
−4 x
( x − 1)
4
e x −1 .
c. Etudier les variations de f.
On pose dorénavant Sn = u0 + u1 + ... + un ; on voit donc que la suite J − Sn tend vers 0, soit que les valeurs
d. Tracer la courbe ( Γ ).
successives de Sn constituent une « bonne » approximation de J.
Partie 2
6. Jusqu’à quel terme n0 doit-on calculer Sn pour être sûr que Sn0 est une valeur approchée de J à 10−2
1. Déterminer une primitive de f sur ] −∞ ; 1[.
près ?
2. Soit α un réel tel que 0 < α < 1. Déterminer g(α ) =
7. On s’intéresse de plus près à uk .
−∞
x
0
1
+∞
a. Calculer u0 .
b. En utilisant une intégration par parties montrer que
uk = (−1)k e + kuk−1 .
−
0
+∞
+
0
1
−∞
y
10
f ( x)dx .
3. Quelle est la limite de g lorsque α tend vers 1 ?
Partie 3
1. a. Démontrer que l’équation f ( x) =
ak et bk sont deux entiers relatifs, la valeur de u1 , u2 , u3 , u4
et u5 . En déduire les valeurs de S4 et S5 . Donner une
estimation de la précision obtenue ainsi sur J.
α
0
4. Quelle est l’aire en cm2 du domaine limité par la courbe de f, l’axe des abscisses, les droites d’équations
x = α et x = − α ?
+
+∞
c. A l’aide de cette relation donner sous la forme ak e + bk , où
∫
1
a deux solutions dont l’une est −1. On notera β l’autre solution.
2
b. Donner un encadrement de β de largeur 10−2.
2. Soit a un élément de ] −∞ ; 1[. Déterminer graphiquement en fonction de a, le nombre de solutions de
l’équation f(x) = f(a).
Exercice 8. 293 Problème expo, Pondichéry, juin 2003
8
6
On considère la fonction numérique définie sur ℝ par f ( x) = x2 e x −1 −
4
x2
. Le graphique ci-dessous est une
2
représentation de cette fonction.
2
10
x
y
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
8
-2
6
-4
4
-6
2
-8
x
0
-3
-10
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
-2
Exercice 8. 292 Problème expo, Amérique du Nord, 1999
On considère la fonction numérique f définie sur ] −∞ ; 1[ par f ( x) =
-4
2
( x − 1)2
x +1
e x −1 .
On désigne par ( Γ ) la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O ; i , j ) ,
l’unité graphique étant 2 cm.
-6
Au vu de cette courbe quelles conjectures pouvez-vous faire sur :
a. le sens de variation de f sur [−3 ; 2] ;
b. la position de la courbe par rapport à l’axe (x’x) ?
Dans la suite de ce problème, on se propose de valider ou non ces conjectures et de les compléter.
Partie 1
Partie A : Contrôle de la première conjecture.
195
196
1. Calculer f'(x) pour tout réel x, et l'exprimer à l'aide de l'expression g(x) où g est la fonction définie sur ℝ
par g( x) = ( x + 2)ex −1 − 1
Exercice 8. 294 Expo+equa diff second ordre+intégrale
Objectif du problème : Résolution d'une équation différentielle et étude d'une de ses solutions.
Le plan est rapporté à un repère orthonormal O ; i , j (unité graphique : 2 cm).
(
2. Etude du signe de g(x) pour x réel.
a. Calculer les limites de g(x) quand x tend vers +∞ puis quand x tend vers −∞ .
)
Partie A
b. Calculer g' (x) et étudier son signe suivant les valeurs de x.
On considère l'équation différentielle : y'' + 2y´ + y = 2e– x (E)
c. En déduire le sens de variation de la fonction g, puis dresser son tableau de variation.
d. Montrer que l'équation g(x) = 0 possède une unique solution dans ℝ . On note α cette solution.
Montrer que 0,20 < α < 0,21.
e. Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x.
1. Déterminer le réel a tel que la fonction y0 définie sur ℝ par y0 ( x) = ax2 e− x soit solution de l'équation (E).
2. Démontrer que y, fonction numérique deux fois dérivable sur ℝ , est solution sur ℝ de (E) si et
seulement si la fonction z définie par z = y – y0 est solution de l'équation différentielle (E1) :
z ′′ + 2 z ′ + z = 0 .
3. Sens de variation de la fonction f sur ℝ .
a. Etudier, suivant les valeurs de x, le signe de f’(x) ;
3. On admet que les solutions de (E1) sont de la forme z = (α x + β )e− x : faire la vérification.
b. En déduire le sens de variation de la fonction f ;
4. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation (E).
c. Que pensez-vous de votre première conjecture ?
5. Déterminer la solution f de (E) dont la courbe représentative dans le repère (O ; i , j ) passe par le point
de coordonnées (–1 ; 0) et admet en ce point une tangente de vecteur directeur i .
Partie B Contrôle de la deuxième conjecture.
On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal O ; i , j . On se propose de
Partie B
contrôler la position de la courbe par rapport à l'axe (x'x).
Soit f la fonction définie sur ℝ par f ( x) = ( x + 1)2 e− x ..
α3
.
1. Montrer que f (α ) = −
2(α + 2)
On note (C) la courbe représentative de f dans le repère (O ; i , j ) .
(
2. On considère la fonction h définie sur l'intervalle [ 0 ; 1] par h( x) =
)
1. a. Déterminer la limite de f en −∞ .
− x3
.
2( x + 2)
b. Déterminer la limite de f en +∞ . Donner une interprétation graphique de ce résultat.
c. Étudier le sens de variation de f et dresser son tableau de variation.
a. Calculer h'(x) pour x ∈ [0 ; 1], puis déterminer le sens de variation de h sur [0 ; 1].
2. Déterminer une équation de la tangente (T) à (C) au point d'abscisse 0.
b. En déduire un encadrement de f (α ) .
3. On se propose dans cette question d'étudier la position de (C) par rapport à (T).
3. a. Déterminer les abscisses des points d'intersection de la courbe C avec l'axe (x'x).
a. On pose k( x) = x + 1 − ex .
b. Préciser alors la position de la courbe C par rapport à l'axe des abscisses.
Calculer k’(x) ; en déduire le sens de variation de k et son signe.
c. Que pensez-vous de votre deuxième conjecture ?
b. En déduire la position de (C) par rapport à (T).
Partie C : Tracé de la courbe.
4. Après avoir reproduit et complété le tableau de valeurs ci-dessous, tracer (T) et (C) dans le repère
(O ; i , j ) . Les valeurs de f(x) seront données à 10–2 près.
Compte tenu des résultats précédents, on se propose de tracer la partie Γ de C correspondant à l'intervalle
[−0,2 ; 0,4], dans le repère orthogonal O ; i , j avec les unités suivantes :
(
)
x
Sur l'axe (x’x) : 1 cm représentera 0,05
Sur l'axe (y’y) : 1 cm représentera 0,001
1. Compléter le tableau suivant à l'aide de la calculatrice en indiquant les valeurs approchées sous la forme
n.10−4 (n entier relatif).
x
−0,20 −0,15 −0,10 −0,05 0
–2
–0,5 –0,25
0,5
1
2
3
4
6
f(x)
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
f(x)
2°- Tracer alors Γ dans le repère choisi.
5. On considère la suite (un) définie, pour tout entier naturel n non nul, par : un = 4
∫
n +1
f (t)dt .
n
a. Représenter u3 sur le graphique précédent.
b. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul : 4 f (n + 1) ≤ un ≤ 4 f (n) . En déduire le sens de variation
de (un).
c. Déterminer la limite de la suite (un).
Partie D : Calcul d'aire.
On désire maintenant calculer l'aire du domaine D fermé délimité par la courbe Γ , l'axe des abscisses, l'axe
des ordonnées et la droite d'équation x =1− ln(2).
Exercice 8. 295 Expo + acc finis
1. A l'aide d'une double intégration par parties, déterminer une primitive sur ℝ de la fonction x2 ex .
On considère la fonction g définie sur ℝ par g( x) = ( x + 1)2 e− x .
2. En déduire une primitive F de la fonction f.
Soit C la représentation graphique de la fonction g dans le repère orthonormal (O ; i , j ) , unité graphique 2
cm.
2
3. Calculer alors en unité d’aire l’aire du domaine D et en donner une valeur approchée au cm .
Partie A
1. Calculer la dérivée g´ de g. Montrer que g´(x) est du signe de (1 – x2). En déduire les variations de g.
197
198
b. Déterminer les limites de f en −∞ et +∞ .
2. Montrer que :
a. lim g( x) = +∞ .
c. Etudier les variations de f et dresser son tableau de variations.
x→−∞
d. Ecrire une équation de la tangente T à C au point d’abscisse 0. Tracer T puis C.
b. lim g( x) = 0 et préciser l'asymptote à C correspondante.
x→+∞
3. Tracer la courbe C dans le repère (O ; i , j ) . On placera en particulier les points de la courbe d'abscisses
respectives –2 ; –1 ; 0 ; 1 et 3.
4. a. Par une lecture graphique, indiquer, suivant les valeurs du nombre réel k, le nombre de solutions de
l'équation g(x) = k.
b. Prouver rigoureusement que l'équation g(x) = 2 admet une solution α et une seule. Prouver que α
appartient à l'intervalle [– 2 ; – 1].
α
3. a. Déterminer les images par f des intervalles [0, 1] et [1, +∞ [.
e
pour tout x positif ou nul.
e−1
b. En déduire que 1 ≤ f ( x) ≤
Partie B.
Soit f ( x) =
1
1 − xe− x
définie sur [0, 1]
1. Donner une interprétation géométrique du nombre I =
c. Montrer que α vérifie la relation α = −1 − 2e 2 .
2. Soit n un nombre entier naturel non nul, et Jn =
Partie B
On appelle f la fonction définie sur l'intervalle I = [– 2 ; – 1] par : f ( x) = −1 −
x
2e 2 .
1. Étude de f
a. Étudier les variations de f sur I.
b. En déduire que, pour tout élément x de I, f(x) appartient à I.
c. Montrer que, pour tout élément x de I, f '( x) ≤
d. On rappelle que f (α ) = α . En intégrant l’inégalité précédente, montrer que, pour tout élément x de I, on
1
a : f ( x) − α ≤ x − α .
2
1
1
f ( x)dx .
0
x n e−nx dx .
0
2
a. A l’aide d’une intégration par parties, montrer que J1 = 1 − .
e
b. On se propose de calculer J2 sans utiliser une intégration par parties : déterminer les coefficients a, b et c
tels que la fonction H(x) définie par H( x) = ( ax2 + bx + c)e−2 x soit une primitive de h( x) = x2 e−2 x . En déduire
que J2 =
1
.
2e
∫
∫
1
5 
 1− 2  .
4
e 
3. Pour tout entier n non nul, on pose un = 1 + J1 + J2 + ... + Jn .
a. Montrer que pour tout réel x, 1 + xe− x + x2 e−2 x + ... + x n e− nx =
2. Approximation de α à l'aide d'une suite
b. En déduire que I − un =
∫
1
(
1 − xe− x
)
1 − xe− x
n+1
.
x n+1 e−( n+1) x f ( x)dx .
Soit (un) la suite d'éléments de I définie par la relation de récurrence un + 1 = f(un) et la condition initiale
3
u0 = − .
2
c. En utilisant A.1.b montrer que pour tout x positif ou nul : 0 ≤ x n+1 e−( n+1) x ≤
1
a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a : un+1 − α ≤ un − α .
2
En déduire que 0 ≤ x n+1 e−( n+1) x f ( x) ≤
b. En déduire que, pour tout entier naturel n, on a un − α ≤
0
1
2
.
n +1
c. Prouver que la suite (un) converge, préciser sa limite et déterminer un entier n0 tel que un0 soit une valeur
approchée de α à 10 – 3 près.
Calculer un0 .
4. Montrer que u2 ≤ I ≤ u2 +
1
en ( e − 1 )
1
e2 ( e − 1)
1
en+1
.
puis un encadrement de un . Déterminer lim un .
n→+∞
. Sachant que u2 = 1 + J1 + J2 , trouver deux nombres d1 et d2 tels que
–1
0< d1- d2<10 et d1<I< d2.
Exercice 8. 297 Sous-tangente constante
Une propriété de la fonction exponentielle.
Exercice 8. 296 Expo + suite intégrales
1. Tracer la courbe représentative C de la fonction exponentielle dans un repère orthonormé sur l’intervalle
[–2 ; 2] (unités : 2 cm par axe).
Partie A :
1. On considère la fonction g définie sur ℝ par : g( x) = x − e x −1 .
a. Etudier les variations de g (on ne demande pas les limites). Calculer g(1), en déduire le signe de g.
1
, puis que 1 − xe− x > 0 .
e
1
2. On désigne par f la fonction définie sur ℝ par f ( x) =
. Soit C sa courbe représentative dans le
1 − xe− x
plan rapporté à un repère orthonormé (unités : 3 cm)
b. En déduire que pour tout réel x, xe− x ≤
2. Tracer sur la même figure les tangentes à C aux points d’abscisses –1, 0 et 1. Mesurer à la règle la
distance entre l’abscisse de chaque point et le point où les dites tangentes coupent l’axe horizontal. Que
constatez-vous ?
3. Soit un point A de C d’abscisse a ; vérifier que l’équation de la tangente à C en A est y = ea x + (1 − a)ea .
En déduire que la distance cherchée au 2. est bien une constante que l’on déterminera.
4. On cherche maintenant s’il y aurait d’autres courbes présentant cette propriété, à savoir que la distance
entre l’abscisse du point et le point d’intersection de la tangente à la courbe en ce point soit constante :
a. Vérifier que f est définie sur ℝ .
199
200
a. Ecrire l’équation de la tangente T au point a pour une courbe quelconque, déterminer l’abscisse u du
point d’intersection de T avec (Ox), calculer la distance entre ces deux points et montrer que répondre à la
f
= constante .
question revient à résoudre l’équation différentielle
f'
b. Conclure.
Exercice 8. 299 Equa diff : insectes
Le but de cet exercice est l’étude de la dynamique d’une population d’œufs et de larves de certains insectes en fonction
du temps. Dans l’ensemble de cette modélisatuion, le temps est mesuré dans une unité choisie (par exemple le mois).
Partie A
La fonction N qui donne à l’instant t le nombre d’œufs vivants pondus est définie pour t ≥ 0 par
N( t) = N0 e−0,3 t où N0 désigne le nombre initial d’œufs au moment de la ponte (t=0). On prendra dans la
suite N0=1000.
1. Etudier la fonction N sur [0, + ∞[ (sens de variation, limites). Quelles interprétations concrètes tirez
vous de cette étude ?
A
2. Construire la représentation graphique(C) de N pour t∈ [0 ; 15] dans un repère orthogonal : 1 cm par
unité de temps en abscisse et 10cm pour 1000 en ordonnées.
y=f(x)
T
3. Résoudre dans [0, + ∞[ l’équation N( t) =
a
1
N0 . On notera t1 sa solution (que représente t1 ?) ; placer le
2
point de (C) d’abscisse t1 sur le graphique.
4. a est un réel strictement positif.
Exercice 8. 298 Expo + equa diff + intégrale, Asie, 1999
a. Calculer I( a) =
11 points
I. Résolution de l’équation différentielle (E) : y '+ y = x − 1 .
1. A l’aide d’une intégration par parties, calculer
∫
x
1
∫
a
N(t)dt en fonction de a. Déterminer la limite de I quand a tend vers +∞.
0
b. On considère que la durée de vie moyenne d’un œuf est donnée par E = lim J( a) où J( a) =
et (t − 1)dt .
a→+∞
∫
a
tN(t)dt .
0
Calculer J(a) au moyen d’une intégration par parties et en déduire la valeur de E.
2. Soit z une fonction dérivable sur ℝ , on pose f ( x) = z( x)e− x . Montrer que f est solution de (E) si, et
Partie B
seulement si, pour tout x réel, z '( x) = e x ( x − 1) .
La fonction L qui donne, à l’instant t, le nombre de larves vivantes est solution dans [0, + ∞[ de l’équation
3. A l’aide de la première question, déterminer toutes les fonctions z vérifiant z '( x) = e ( x − 1) .
x
4. Déduire de la question précédente les solutions de (E). Déterminer la solution pour laquelle l’image de 1
est 0.
II. Etude d’une fonction
Soit f la fonction définie sur ℝ par f ( x) = x − 2 + e1− x , (C) sa courbe représentative. Le plan est rapporté au
repère orthonormé (O ; i , j ) (unité graphique : 1 cm).
1. a. Etudier le sens de variation de f.
1. Résoudre l’équation différentielle L '( t) + 0,2 L(t) = 0 .
2. Déterminer le réel K tel que la fonction f définie par f (t) = Ke−0,3 t soit solution de (1). En déduire que
toutes les solutions de (1) sont de la forme L(t) = ke−0,2t + Ke−0,3 t .
3. Déterminer la solution pour laquelle L(0)=N0.
Exercice 8. 300 Problème- expo, Djibouti, 1995
−
b. Préciser lim f ( x) et lim f ( x) .
x→−∞
différentielle L ' = 0, 5 N − 0,2 L , soit (1) : L '( t) + 0,2 L( t) = 500 e−0,3 t .
Soit f la fonction définie sur [0, +∞[ par f ( x) = x2 − 3 + 3 e
x→+∞
2. a. Montrer que la droite (D) d’équation y = x − 2 est asymptote de la courbe (C).
b. Préciser la position de (C) par rapport à (D).
−
par g( x) = 2 x − e
1
x
3
1
x
3
et g la fonction également définie sur [0, +∞[
. On note C la courbe représentative de f dans le repère orthonormal
( O ; i , j ) , unité
graphique : 2 cm.
3. Tracer (D) et (C).
1. Sens de variation de g
III. Calcul d’aires
a. Calculer la dérivée g' de g ; vérifier que g’(x) est toujours strictement positif.
Soit x0 un réel strictement positif.
1. On considère le domaine limité par (C), (D) et les droites x = 0 et x = x0 . Exprimer à l’aide de x0 l’aire
S1 de ce domaine.
2. On considère la fonction g définie par g( x) = e1− x , donner une interprétation graphique de l’intégrale
ayant servi au calcul de S1 à l’aide de la courbe (Cg) de g (faire un schéma explicatif après avoir tracé
rapidement (Cg)).
3. A est le point de coordonnées A( x0 ; 0) . B est le point de (Cg) d’abscisse x0 . (T) est la tangente à (Cg) au
point B, K est le point d’intersection de (T) avec l’axe des abscisses. Déterminer les coordonnées de K.
b. Calculer la limite de g quand x tend vers +∞
c. Déduire de ce qui précède l’existence et l'unicité d'un nombre réel α > 0 tel que g(α) = 0 et montrer que
0, 4 ≤ α ≤ 0, 5 .
d. Étudier le signe de g(x) sur [0, +∞ [.
e. Montrer que f’(x) = g(x) ; en déduire le sens de variation de f.
2. Comportement asymptotique de f en +∞
a. Déterminer la limite de f en +∞
4. Calculer en unités d’aire l’aire S2 du triangle ABK. Vérifier que S1 + 2S2 = e.
201
202
b. Déterminer le signe de f ( x) − ( x2 − 3) et sa limite en +∞ ; interpréter graphiquement ce résultat ; on
2. a. Pour tout t > 0 , calculer g'(t) .
note P la courbe d'équation y = x − 3 .
b. Prouver que pour tout t ≥ 0 , 1 + t ≤ et .
3. Signe de f
c. En déduire le signe de g' et le sens de variation de g (on ne demande pas de construire la courbe
représentative de g).
2
a. Dresser le tableau de variation de f
c. Étudier le signe de f (x) sur [0, +∞ [.
3. On se propose d'étudier la dérivabilité de g en 0. À cet effet on introduit la fonction h définie sur [0, +∞ [
t2
par : h(t) = 1 − t + − e− t .
2
4. Courbe
a. Calculer h’ et h’’, ainsi que les valeurs de h(0) et h'(0).
b. Prouver que l'équation f (x) = 0 admet une solution non nulle a et une seule appartenant à l'intervalle
[α,+∞[ et montrer que 0,8 < a < 0,9.
Tracer dans le repère orthonormal
(
O;i, j
)
les courbes P et C. On précisera la tangente à C au point
d'abscisse 0.
b. Prouver que pour tout t ≥ 0 , 0 ≤ h(t) ≤
t3
(1). Pour cela, on établira d’abord que 0 ≤ h ''(t) ≤ t et on en
6
déduira un encadrement de h’ et de h.
Exercice 8. 301 Deux expos pour le prix d’une, N. Calédonie, 1996
A. On désigne par f la fonction définie sur ℝ par f ( x) =
dans le repère orthonormal O ; i , j .
(
)
x
e2
c. Déduire de la relation (1) un encadrement de
− e et on appelle C la courbe représentative de f
x
1. Étudier les variations de f. Préciser les limites de f en −∞ et en +∞ .
t2
. Prouver finalement que g est dérivable en 0 et
donner la valeur de g’(0).
4. Construire la courbe représentative C de g, le plan étant rapporté à un repère orthonormal O ; i , j .
(
)
Exercice 8. 303 Equation diff + fonction+intégrale
2. Déterminer le signe de f(x) en fonction de x.
Partie A
3. Tracer la courbe C.
B. Dans cette partie, on se propose d'étudier la fonction g définie sur ℝ − {0} par
x
g( x) = ln e 2 − e x .
(
)
Résoudre cette dernière équation différentielle et en déduire les solutions de (E).
3. Démontrer qu’il existe une solution et une seule de (E) s’annulant en 0. Elle sera appelée g et étudiée
dans la partie B.
1. Préciser les limites de g en −∞ , en +∞ et en 0.
2. Calculer g'(x) et déterminer le signe de g'(x) en utilisant le signe de f'(x) et le signe de f(x). Dresser le
tableau de variation de g.
x

−
3. Démonter que pour tout x réel strictement positif g( x) − x = ln  1 − e 2



.


1. Déterminer le sens de variation de g. Présenter son tableau de variation. En déduire le signe de g sur ℝ .
x

x
4. Démontrer que pour tout x réel strictement négatif g( x) − = ln  1 − e 2

2


 . Montrer que la droite d


x
est asymptote à la courbe G. Étudier la position de G par rapport à d pour tout x réel
2
strictement négatif.
5. Construire G, D et d dans le repère O ; i , j . (On utilisera un graphique différent de celui de la
d'équation y =
)
partie A.)
Exercice 8. 302 Dérivabilité, Paris C, 1979
L’objet de cet exercice est d'étudier la fonction g définie sur [0 ; +∞ [ par g(t) =
Partie B
On considère la fonction g définie sur ℝ par : g( x) = (2 x − 1)e2 x + 1 .
2. Résoudre dans ℝ l’inéquation : 1 − g( x) ≥ 0 .
Montrer que la droite D d'équation y = x est asymptote à la courbe G. Étudier la position de la courbe G
par rapport à D pour tout x réel strictement positif.
1. a. Établir que g est continue en 0.
On se propose de résoudre sur ℝ l’équation différentielle (E) : y’ – 2y = 2(e2x – 1).
1. Montrer que la fonction h définie sur IR par : h( x) = 2 xe2 x + 1 est solution de l’équation différentielle (E).
2. On pose : y = z + h. Montrer que y est solution de (E) si et seulement si z est solution de l’équation
différentielle : z’ – 2z = 0.
On note G la courbe représentative de g dans le repère O ; i , j .
(
1 − e− t − t
1 − e− t
si t > 0 et g(0) = 1 .
t
3. Calculer l’intégrale :
∫
1
2
0
(1 − g( x))dx .
4. Interpréter graphiquement les résultats des questions 2. et 3.
Partie C
On considère la fonction numérique f définie pour tout x réel par : f ( x) =
1. a. Calculer les limites de f en −∞ , en 0 et en +∞ .
b. En déduire que la courbe représentative de la fonction f admet une asymptote que l’on précisera.
2. Déterminer le sens de variation de f et donner son tableau de variation (on pourra utiliser la partie B).
3. Soit (C) la courbe représentative de f dans le repère orthogonal (O ; i , j ) avec pour unités 4 cm en
abscisse et 2 cm en ordonnée.
Après avoir recopié et complété le tableau ci-dessous avec des valeurs approchées arrondies à 10−2 près,
construire la courbe (C) pour les valeurs de x comprises entre – 2 et 1.
b. Déterminer la limite de g en +∞ .
203
e2 x − 1
.
x
204
x
–2
–1,5
–1
–0,5
–0,2
–0,1
0,05
–0,05
0,1
0,2
0,5
1
f(x)
 f1( x) = f ( x) si x ≠ 0
4. Soit f1 la fonction définie par 
.
f1(0) = 2

Cette fonction est définie et continue sur ℝ . En supposant que f1 est dérivable en 0, expliquer comment on
peut déterminer graphiquement une valeur approchée du nombre dérivé f1′(0) .
Faire cette lecture graphique. Quel résultat de limite cela permet-il de conjecturer ?
∫
3. On remarque que, pour tout x réel, on a : fk ( x) = x − 1 +
2
1 + ke
x
(1) et fk ( x) = x + 1 −
2ke x
1 + kex
(2).
- la position de la courbe Ck par rapport aux droites D et D’ ;
−1 e2 x
−1
dx .
x
−2
Déterminer le réel k associé à la courbe C passant par le point O puis celui associé à la courbe C’ passant
par le point A de coordonnées (1 ; 1).
En déduire pour tout k strictement positif :
Partie D
On se propose de trouver un encadrement de l’intégrale J =
2. On note Ck la courbe représentative de la fonction fk dans un repère orthonormal (O ; i , j ) . Sur l’annexe,
on a représenté la droite D d’équation y = x − 1, la droite D’ d’équation y = x+1 et plusieurs courbes Ck
correspondant à des valeurs particulières de k.
- les asymptotes de la courbe Ck.
4. Cas particulier : k = 1.
0,86 e2 x − 1
0,99
≤
≤−
.
x
x
x
En déduire un encadrement de J d’amplitude 0,1.
a. Justifier que f1 est impaire.
Montrer que pour tout x de [–2 ; –1] on a : −
b. Soit la fonction F définie sur ℝ par : F( x) =
∫
x
0
f1 ( t)dt . Interpréter graphiquement le réel F(x) dans les
Exercice 8. 304 Sol équation+vol de révolution, Antilles, sept 2004
deux cas : x >0 et x < 0. Déterminer alors la parité de F à l’aide d’une interprétation graphique.
5 points
c. Déterminer les variations de F sur ℝ .
Soit f la fonction définie sur [0 ; +∞ [ par f (x) = xe−x+2.
d. En utilisant l’égalité (2), calculer explicitement F(x).
Annexe (vous pouvez agrandir…)
Les deux parties peuvent être abordées indépendamment.
Partie A
1. Dresser le tableau des variations de f sur [0 ; +∞ [ et déterminer les éventuelles asymptotes de la courbe
représentative.
2. a. Tracer sur la calculatrice graphique les courbes de la fonction f et de la fonction logarithme népérien ;
on notera L cette dernière. Conjecturer avec ce graphique le nombre de solutions de l’équation f(x) = ln(x)
sur [1 ; +∞ [.
b. Montrer que la fonction g définie sur ]0 ; +∞ [ par : g(x) = ln(x)− f(x) est strictement croissante sur
[1 ; +∞ [.
En déduire que l’équation f (x) = ln(x) admet une unique solution α sur [1 ; +∞[.
c. Déterminer à 10−3 près une valeur approchée de α .
Partie B
1. À l’aide d’une double intégration par parties déterminer I =
∫
3
x2 e2 x dx .
0
2. On définit le solide S obtenu par révolution autour de l’axe (Ox) de la courbe d’équation y = f(x) pour
0 ≤ x ≤ 3 dans le plan (xOy) (repère orthonormal d’unité 4 cm).
On rappelle que le volume V du solide est donné en unités de volume par : V = π
∫
3
0
( f ( x) )2 dx .
a. Exprimer V en fonction de I.
b. Déterminer alors une valeur approchée à 1 cm3 près du volume du solide.
Exercice 8. 305 Solution d’équa diff, Polynésie, juin 2004
1. Pour tout réel k positif ou nul, on considère la fonction fk définie sur ℝ par : fk ( x) = x +
1 − kex
.
1 + kex
a. Justifier que, pour rout réel k positif ou nul, la fonction fk est solution de l’équation différentielle :
(E) : 2y ’ = (y − x)2 +1.
b. En déduire le sens de variations de fk sur ℝ .
205
206
5. a. α étant un nombre appartenant à ]− 1 ; 1[, montrer que l’équation f (x) = α admet une solution
unique x0. Exprimer alors x0 en fonction de α .
Exercice 8. 306 Am. du Sud, décembre 2002
10 points
b. Pour α =
A. Étude d’une fonction auxiliaire
Soit g la fonction définie sur ℝ par g ( x ) = e
x
( 1− x ) +1 .
1
, donner une valeur approchée de x0 à 10− 2 près.
2
Partie B - Tangentes à la courbe
1. Étudier le sens de variation de g.
1. Déterminer une équation de la tangente T1 à Γ au point d’abscisse 0.
2. Démontrer que l’équation g(x) = 0 admet une unique solution dans l’intervalle [ 1,27 ; 1,28 ] ; on note a
cette solution.
2. Montrer que pour tout nombre t réel, f ’(t) = 1− [f(t)]2. En déduire un encadrement de f ’(t).
3. Déterminer le signe de g(x) sur ] −∞ ; 0[. Justifier que g(x) > 0 sur [0 ; a[ et g(x) < 0 sur ]a ; +∞ [.
3. Pour x positif ou nul, déterminer un encadrement de
B. Étude de la fonction f définie sur ℝ par : f ( x ) =
x
ex + 1
+2.
On désigne par Cf la courbe représentative de f dans un repère orthogonal (O ; i , j ) ; unités graphiques : 1
cm sur l’axe des abscisses et 2 cm sur l’axe des ordonnées.
1. Déterminer la limite de f en +∞ et interpréter graphiquement ce résultat.
2. a. Déterminer la limite de f en −∞ .
∫
x
0
f '(t)dt , puis justifier que 0 ≤ f (x) ≤ x. Quelles
sont les positions relatives de Γ et T1 ?
4. Déterminer une équation de la tangente T2 à Γ au point A d’ordonnée
1
.
2
5. Montrer que le point B de la courbe Γ , d’ordonnée positive, où le coefficient directeur de la tangente est
1
égal à
a pour coordonnées : ln 1 + 2 ; 1 .
2
( (
) )
b. Démontrer que la droite (d) d’équation y = x + 2 est une asymptote pour Cf.
6. Tracer Γ , T1 et T2. On placera les points A et B.
c. Étudier la position de Cf par rapport à (d).
Partie C - Calcul d’intégrales
3. a. Montrer que la fonction dérivée de f a même signe que la fonction g étudiée dans la partie A.
ex − e− x
; en déduire une primitive de f.
e x + e− x
2
2. Quelle est l’aire en cm de la surface comprise entre Γ , la droite d’équation y = x et les droites
d’équations x =0 et x = 1 ? Hachurer cette surface sur la représentation graphique.
b. Montrer qu’il existe deux entiers p et q tels que f(a) = pa + q.
c. Dresser le tableau de variations de la fonction f.
4. Tracer la courbe Cf dans le repère avec ses asymptotes et sa tangente au point d’abscisse a.
C. Encadrements d’aires
1. Montrer que f ( x) =
∫
1
[ f ( x) ]2 dx .
Pour tout entier naturel n, tel que n ≥ 2 , on note Dn l’ensemble des points M(x, y) du plan, dont les
coordonnées vérifient : 2 ≤ x ≤ n et 2 ≤ y ≤ f (x) et on appelle Anson aire, exprimée en unités d’aire.
3. Calculer
1. Faire apparaître D5 sur la figure.
4. En utilisant une intégration par parties, montrer que :
2. Démontrer que pour tout x , tel que x ≥ 2, on a :
3. On pose In =
∫
n
2
7 −x
x
xe ≤ x
≤ xe− x .
8
e +1
xe− x dx . À l’aide d’une intégration par parties, calculer In en fonction de n.
5. On admet que An a une limite lorsque n tend vers +∞ . Déterminer la limite de In lorsque n tend vers +∞ .
Que peut-on en déduire pour la limite de An lorsque n tend vers +∞ ? Donner une interprétation
géométrique de ce dernier résultat.
Exercice 8. 307 Tangente hyperbolique, Polynésie, sept 2002
Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O ; i , j ) , toutes les courbes demandées seront tracées dans
ce repère (unité graphique 4 cm).
Partie A - Étude d’une fonction
e2 x − 1
e2 x + 1
e
∫ ( 1 − [ f ( x) ] ) dx = e
1
0
déduire
∫
1
0
2
2
−1
2
+1
 e2 + 1 
− ln 
 . En
 2e 
x [ f ( x) ] dx .
2
Exercice 8. 308 Etude de fonction
On se propose d’étudier la fonction f définie sur [0 ; +∞ [ par :
4. Écrire un encadrement de An en fonction de In.
f est la fonction définie sur ℝ par f ( x) =
0
, Γ est sa courbe représentative dans le repère (O ; i , j ) .
1. Étudier la parité de f .
1
−
1
f ( x) = ( x + 1)exp(− ) = ( x + 1)e x si x > 0 et f (0) = 0.
x
On note (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O ; i , j ) d’unité 4cm.
1. Variations de f
1
a. Montrer que la dérivée f’ de f sur ]0 ; +∞ [ est de la forme exp(− ) × Q( x) où Q est une fonction
x
rationnelle.
b. Déterminer la limite de (1 + t)e− t lorsque t tend vers +∞ . En déduire que f est dérivable en 0 et
déterminer f '(0) .
c. Etudier le sens de variation de f.
2. Montrer que pour tout x appartenant ℝ , − 1 < f (x) < 1.
d. Déterminer la limite de f(x) lorsque x tend vers +∞ .
3. Quelles sont les limites de f en −∞ et +∞ ? En déduire les équations des asymptotes éventuelles à Γ .
e. Démontrer que l’équation f ( x) = 2 , x ∈ [ 0 ; + ∞ [ , admet une unique solution α dont on donnera un
4. Étudier les variations de f et dresser son tableau de variations ; en déduire le signe de f (x) sur ℝ .
encadrement à 10−1 près.
2. Etude d’une fonction auxiliaire
207
208
Soit ϕ la fonction définie sur [0 ; +∞ [ par : ϕ(t) = 1 − (1 + t)e− t .
Exercice 8. 310 Expo + ln
a. Calculer la dérivée de ϕ .
Partie A : Etude d’une fonction auxiliaire g
b. Prouver que, pour tout réel t positif ou nul, 0 ≤ ϕ '(t) ≤ t .
Soit g la fonction numérique définie sur R par g( x) =
t²
(1)
c. En déduire que, pour tout réel t positif ou nul, 0 ≤ ϕ(t) ≤
2
1 + 2ex
− ln(1 + 2e x ) ,
1. Calculer g’(x) et montrer que ce nombre est strictement négatif pour tout x de ℝ .
2. Déterminer la limite de g en −∞ .
3. Etude de f au voisinage de +∞
a. A l’aide de l’encadrement (1) , établir que, pour tout réel x strictement positif : 0 ≤ x − f ( x) ≤
1
.
2x
b. En déduire que (C) admet une asymptote ( ∆ ) au voisinage de +∞ et préciser la position de (C) par
rapport à ( ∆ ).
4. Etude de la tangente à (C) en un point
Soit a un élément de ]0 ; +∞ [ , et (Ta) la tangente à (C) au point d’abscisse a.
a. Déterminer une équation cartésienne de (Ta).
→
a
.
1 + a + a²
c. Construire (C) et ( ∆ ). On placera le point de (C) d’ordonnée 2 et on précisera les tangentes à (C) aux
1
, 1 et 3.
points d’abscisses
3
b. Montrer que (Ta) coupe l’axe des abscisses (0 ; i ) au point d’abscisse
3. Dresser le tableau de variation de la fonction g. En déduire le signe de g(x).
Partie B : Étude de la fonction f
Soit f la fonction numérique définie sur ℝ par f ( x) = e−2 x ln(1 + 2ex ) .
1. Calculer f’(x) et montrer que pour tout réel x, f '( x) = 2e−2 x g( x) .
2. En posant X = 1 + 2ex , montrer que f ( x) =
4 X ln X
. En déduire la limite de f en +∞
( X − 1)² X
3. En posant h = 2ex , calculer la limite de f en −∞ .
4. Dresser le tableau de variation de f.
5. On note C sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthogonal (O ; i , j ) (unités
graphiques : 4 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées).
a. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C au point d’abscisse 0.
b. Tracez la courbe C et la tangente T.
Exercice 8. 309 Equation exponentielle+ROC+prise initiative
Le but des deux premières questions de cet exercice est l'étude, sur ℝ , de l'équation (E) : 3 x + 4 x = 5 x .
x
ex
x
3 4
1. Démontrer que (E) est équivalente à :   +   = 1 .
5 5
Exercice 8. 311 Recherche d’une fonction + aire +suite
Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O ; i , j ) . L’unité graphique est 4 cm. On donne sur la feuille
annexe (à rendre avec la copie) la courbe (C) représentative d’une fonction f définie sur R par :
x
f ( x) = ae−2 x + be− x + cx ,
x
3 4
2. On considère la fonction f définie sur ℝ par : f ( x) =   +   .
5 5
expression dans laquelle a, b et c sont des constantes réelles, indépendantes de x, à déterminer.
y
a. Question de cours
14
Pour tout réel a strictement positif, on note fa la fonction (exponentielle de base a) définie pour tout réel x
12
par : fa ( x) = ax = ex ln a .
Démontrer que fa est strictement croissante lorsque a est élément de ]1 ; +∞ [, strictement décroissante
sur ℝ lorsque a est élément de ]0 ; 1[ et est constante lorsque a est égal à 1.
10
8
Étudier la limite de fa en +∞ , selon les valeurs de a.
6
b. Étudier le sens de variations de f.
c. Étudier la limite de f en +∞ .
4
d. En déduire qu'il existe un unique x0 réel positif ou nul tel que f ( x0 ) = 1 . Donner la valeur de x0.
2
x
3. Questions avec « prise d'initiative »
0
-2
a. Résoudre, sur ℝ , l'équation : 3 x + 4 x + 5 x = 6 x .
-1
0
1
-2
b. L'équation 3 x + 4 x + 5 x + 6 x = 7 x admet-elle une solution entière (x solution est un nombre entier) ?
209
-4
210
2
3
A . Détermination de f
b. Montrer que l’équation h(x) = 0 admet une solution et une seule α sur [1 ;2].
1
1
au point I (0, − ) . En déduire une
1. La courbe (C) est tangente à la droite (T) d’équation y = 2 x −
2
2
expression de a et b en fonction de c.
c. Donner un encadrement de α d’amplitude 10−2.
2. La courbe (C) a pour asymptote en +∞ la droite D d’équation y = 2x. En déduire, pour tout réel x,
1 −2 x − x
e − e + 2x .
2
1. a. Justifier que f est définie en tout point de [0 ; +∞ [.
l’égalité suivante : f ( x) =
B. Étude de f
d. Préciser suivant les valeurs du réel positif x le signe de h(x).
Partie B : Etude de la fonction f et tracé de la courbe C
b. Montrer que pour tout x ≠ 0 on peut écrire f ( x) =
1 − e− x
1 − xe− x
. En déduire
lim f ( x) et interpréter
x→+∞
relativement à C le résultat obtenu.
1. Déterminer les limites de f en +∞ et en −∞ .
h( x)
2. Montrer que pour tout x de R l’égalité suivante est vérifiée : f '( x) = ( e− x + 1)(2 − e− x ) .
c. Montrer que f '( x) =
En déduire les variations de f. Quelles sont les coordonnées du point A de la courbe correspondant au
minimum de f ?
d. Etudier la fonction f et dresser son tableau de variation.
3. Étudier la position de la courbe par rapport à son asymptote D.
4. a. Démontrer que f s’annule une et une seule fois sur [0 ; 2 ] pour une valeur notée α .
b. Déterminer l’abscisse t du point d’intersection de (T) et de (Ox). Calculer f(t) et en donner une valeur
approchée à 10−3 près. En déduire que α est inférieur à t.
( e x − x)2
.
2. a. Montrer que pour tout x f ( x) − x =
(1 − x) g( x)
ex − x
.
b. En déduire suivant les valeurs du réel positif x la position de la courbe C par rapport à la droite ∆
d’équation y = x.
3. a. Préciser la tangente à C en son point d’abscisse 0.
c. A l’aide de la calculatrice, donner un encadrement de α d’amplitude 10−2 (on précisera la méthode
utilisée).
b. Tracer C en faisant figurer sur le dessin la droite ∆ d’équation y = 1 ainsi que tous les éléments obtenus
au cours de l’étude.
5. Compléter la figure en annexe en traçant l’asymptote D, la tangente (T) et en mettant en évidence t et
α.
Partie C : Etude de la suite (un) définie par un =
C. Calcul d’aire
∫
n
0
( f ( x) − 1)dx .
1. Déterminer une primitive de la fonction f. En déduire l’expression de un en fonction de n.
On note g la fonction définie sur ℝ par g( x) = 2 x − f ( x) .
2. Interpréter géométriquement le nombre réel –u1.
Soit G une fonction telle que pour tout x de ℝ , G '( x) = g( x) .
3. Déterminer lim un (on pourra utiliser l’égalité n = ln( en ) )
n→+∞
On pose pour tout entier naturel : an = 16[G(n) − G(− ln 2)] .
4. Interpréter géométriquement le nombre réel un − u1 puis le résultat obtenu dans la question précédente.
1. Calculer an en fonction de n. Que représente an ?
Exercice 8. 313 Acc finis, N. Calédonie, 1993
2. Déterminer la limite de la suite ( an )n∈ℕ .
1
On appelle f la fonction définie sur [0 ; +∞[ par f ( x) = xe− x − x .
2
−n
3. a. Démontrer, pour tout n , l’inégalité suivante : an ≥ 16(1 − e ) .
b. En déduire une valeur de n vérifiant l’inéquation suivante : an ≥ 15,99 .
1. a. Calculer la dérivée de f ainsi que lim f ( x) .
x→+∞
c. Est-ce la plus petite valeur de n solution de l’inéquation ?
b. On appelle g la fonction définie sur [0 ; +∞[ par g( x) = (1 − x)e− x −
Exercice 8. 312 Groupe 1, juin 1996
L’objet de ce problème est :
1
.
2
Etudier le sens de variation de g et montrer que l’équation g( x) = 0 a une unique solution α sur [0 ; 0,5]. En
* d’étudier la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par f ( x) =
ex − 1
ex − x
.
* de justifier rigoureusement le tracé de sa courbe C dans le plan muni d’un repère orthonormal (O ; i , j )
d’unité graphique 5cm.
* de détailler enfin certaines propriétés d’une suite de nombres réels construite à partir de f.
Partie A : Questions préliminaires
1. Soit g la fonction définie sur [0 ; +∞ [ par g( x) = ex − x − 1 .
déduire l’étude du signe de g(x) sur [0 ; +∞[et les variations de f.
1
2. On appelle h la fonction définie sur l’intervalle I = [0 ; 0,5] par h( x) = 1 − ex .
2
a. Montrer que α est l’unique solution sur I de l’équation h(x) = x.
b. Etudier les variations de h, en déduire que pour tout élément x de I, h(x) appartient à I.
c. Prouver que pour tout élément x de I on a –0,83 ≤ h’(x) ≤ 0. En déduire que pour tout x de I on a
h( x) − α ≤ 0,83 x − α .
b. Calculer g(0). En déduire que pour tout x>0 on a g(x)>0.
 u0 = 0
3. On définit une suite (un ) par 
.
 un+1 = h(un )
2. Soit h la fonction définie sur [0 ; +∞ [ par h( x) = (2 − x)e x − 1 .
a. Montrer que pour tout entier n, un appartient à I, et que un+1 − α ≤ 0,83 un − α .
a. Montrer que pour tout x>0 on a g’(x)>0. En déduire les variations de g sur [0 ; +∞ [.
a. Etudier la fonction h et dresser son tableau de variations.
211
212
1
b. En déduire que pour tout entier n, un − α ≤ (0,83)n .
2
2. Vérifier que les fonctions ϕ définies par ϕ( x) = α ex + β e− x , où α et β sont deux nombres réels, sont
des solutions de (E). On admettra qu'on obtient ainsi toutes les solutions de (E).
c. Déterminer la limite de la suite (un).
3

3. Déterminer la solution particulière de (E) dont la courbe passe par le point de coordonnées  ln 2 ;  et
4

5
admet en ce point une tangente de coefficient directeur .
4
Partie B
4. Préciser un entier p tel que l’on ait up − α ≤ 10 −2 . Calculer up à l’aide de votre calculatrice (on en
donnera la partie entière et deux décimales). En déduire un encadrement de α.
Montrer que f (α ) =
α2
2(1 − α )
, et donner un encadrement de f (α).
Partie A
1
On appelle f la fonction définie sur l'ensemble ℝ des nombres réels par f ( x) = ( e x − e− x ) . On désigne par
2
C sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal (O ; i , j ) .
Soit ϕ la fonction définie sur ℝ par ϕ( x) = e x + x + 1 .
1. Soit µ un réel. Montrer que pour tout réel x, f ( x) = µ équivaut à e2 x − 2µ e x − 1 = 0 . En déduire que
Exercice 8. 314 Bac S, 1997
1. Etudier le sens de variation de ϕ et ses limites en −∞ et +∞ .
l'équation f ( x) = µ a une unique solution dans ℝ et déterminer sa valeur en fonction de µ .
2. Montrer que l’équation ϕ( x) = 0 admet une solution unique a sur [−2 ; −1] et que l’on a
2. a. Déterminer les limites de f en −∞ et +∞ .
−1,28 < a < −1,27 .
b. Calculer f ' (x) pour tout nombre réel x et en déduire le sens de variation de f sur ℝ .
3. Etudier le signe de ϕ( x) sur ℝ .
3. a. Déterminer une équation de la tangente T à C en son point d'abscisse 0.
b. En étudiant le sens de variation de la fonction d définie sur ℝ par d( x) = f ( x) − x , préciser la position de
T par rapport à C.
Partie B
x
xe
et C sa courbe représentative dans le plan muni d’un
Soit f la fonction définie sur ℝ par f ( x) = x
e +1
repère orthonormal (O ; i , j ) d’unité graphique 4 cm.
1. Montrer que f '( x) =
ex ϕ( x)
( ex + 1)2
. En déduire le sens de variation de f.
2. Montrer que f ( a) = a + 1 et en déduire un encadrement de f(a).
3. Soit T la tangente à C au point d’abscisse 0. Donner une équation de T et étudier la position de C par
rapport à T.
4. Chercher les limites de f en −∞ et +∞ . Démontrer que la droite D d’équation y = x est asymptote à C
et étudier la position de C par rapport à D.
5. Faire le tableau de variation de f.
6. Tracer sur un même graphique les droites T, D et la courbe C. La figure devra faire apparaître les points
de d’abscisse comprise entre –2 et 4.
c. Tracer T et C (unité graphique 2cm).
4. Soit D la partie représentant sur le graphique l'ensemble des points M de coordonnées (x ; y) telles que
0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ f ( x) . Hachurer le domaine D, calculer en cm2 l'aire de D.
Partie C
On cherche à déterminer les fonctions Φ dérivables sur l'ensemble ℝ des nombres réels, telles que pour
x
∫
tout réel x : Φ( x) − ( x − t)Φ(t)dt = x (H).
0
1. On suppose qu'il existe une telle fonction Φ .
x
∫
2
x
=5
c. 51− x ≤ 3
∫
b. Démontrer que pour tout nombre réel x, Φ '( x) = 1 + Φ( t)dt . Calculer Φ '(0) .
x
c. Vérifier que Φ est une solution de l'équation différentielle (E) de la partie A. Déterminer laquelle, parmi
toutes les solutions explicitées dans la question A. 2.
d. 7 x+1 ≤ 6 x
2. Déterminer l’ensemble de définition des fonctions suivantes et calculer leur dérivée :
a. f définie par f ( x) = xln x
0
x
0
1. Résoudre les équations et inéquations suivantes :
b.
∫
0
Exercice 8. 315 Exponentielle de base quelconque
a. 2 x = 32 x+1
x
a. Justifier que pour tout nombre réel x, Φ( x) = x + x Φ(t)dt − tΦ( t)dt . Calculer Φ(0) .
b. g définie par g( x) = (ln x)x .
Exercice 8. 316 Equa diff+cosh, Centres étrangers, juin 2001
Les objectifs du problème sont de déterminer la solution d'une équation différentielle (partie A), d'étudier cette solution
(partie B) et de la retrouver dans un contexte différent (partie C).
Partie A
On appelle (E) l'équation différentielle y "− y = 0 , où y est une fonction définie et deux fois dérivable sur
l'ensemble ℝ des nombres réels.
1. Déterminer les réels r tels que la fonction h définie par h( x) = erx soit solution de (E).
213
x
2. a. A l'aide d'une intégration par parties, calculer
∫ t(e − e
t
−t
)dt .
0
b. Démontrer que la fonction trouvée à la question 1.c. vérifie bien la relation (H).
Exercice 8. 317 Tangentes communes à ln et exp, 1996
L'objectif est de déterminer les droites tangentes à la fois à la courbe représentative de la fonction
logarithme népérien et à celle de la fonction exponentielle. Le plan est rapporté à un repère orthonormal
(O ; i , j ) d'unité graphique 1 cm.
On note :
Γ et C les courbes d'équations respectives y = ex et y = ln x ;
214
Ta la tangente à la courbe Γ en son point A d'abscisse a, a étant un nombre réel.
Dλ la tangente à C en son point K d'abscisse λ , λ étant un nombre réel strictement positif.
Les deux parties sont, dans une large mesure, indépendantes.
2. n étant un entier naturel non nul, déterminer les valeurs de n pour lesquelles l’équation f ( x) =
deux solutions distinctes.
Partie A
x
Dans cette partie on recherche des tangentes aux courbes C et Γ qui sont parallèles ; puis à quelle
condition une droite tangente à Γ est également tangente à C.
f’
b. Déterminer λ en fonction de a pour que les droites Ta et Dλ soient parallèles.
2. Montrer que les droites Ta et Db sont confondues si et seulement si :
+∞
1
0
−
+
0
1
1. a. Déterminer une équation cartésienne de la droite Ta. Déterminer de même une équation cartésienne
de la droite Dλ .
On notera b la valeur de λ ainsi obtenue, B le point de la courbe C d'abscisse b et Db la tangente
correspondante.
f
1
0
B - Définition et étude de deux suites
1. Soit n un entier supérieur ou égal à 2.Montrer que l’équation f ( x) =
b = e− a et ( a + 1)e− a = a − 1 .
respectivement comprises dans les intervalles [0 ; 1] et [1 ; +∞ [.
Partie B
x −1
(1).
x +1
x −1 x
Pour cela, on considère la fonction f définie pour tout x différent de –1 par f ( x) =
e .
x +1
x −1
.
1. a. Montrer que f ( x) = 1 si et seulement si e− x =
x +1
b. Etudier les variations de f sur [0 ; +∞ [ et la limite de f en +∞ .
Dans cette partie, on se propose de déterminer les solutions de l'équation : e− x =
c. Montrer que l'équation f ( x) = 1 admet dans [0 ; +∞ [ une solution unique µ dont on donnera un
encadrement à 10−1 près.
2. a. Pour tout nombre réel x différent de 1 et –1, calculer le produit f ( x) × f ( − x) .
1
admet
n
1
admet deux solutions un et vn
n
2. Sur la feuille en annexe, construire sur l’axe des abscisses les réels un et wn pour n appartenant à
l’ensemble {2 ; 3 ;4}.
3. Déterminer le sens de variation des suites (un) et (vn).
4. Montrer que la suite (un) est convergente et déterminer sa limite. Procéder de même pour la suite (vn). En
déduire que les suites (un) et (vn) sont adjacentes.
Annexe : courbe de l’exercice 1.
1,2
y
1
b. Déduire des questions précédentes que l'équation (1) admet deux solutions opposées.
c. Déterminer les tangentes communes aux courbes C et Γ.
3. Tracer dans le repère orthonormal (O, i, j ) les courbes C et Γ . On rappelle que ces courbes sont
0,8
symétriques par rapport à la droite d'équation y = x . Tracer également les tangentes communes Tµ et
0,6
T− µ . On prendra pour µ la valeur approchée 1,55.
4. On appelle A le point de contact de Tµ et Γ , B le point de contact de Tµ et C, H le point de contact de
 µ +1 
T− µ et Γ , K le point de contact de T− µ et C. Montrer que ces points ont pour coordonnées A  µ ,
,
 µ −1 
 µ −1


 µ +1 
µ −1 
B
, −µ  , H  −µ ,
, µ  . Démontrer que ABHK est un trapèze isocèle.
 , K
µ +1 
 µ +1


 µ −1 
0,4
0,2
Exercice 8. 318 Exp et suites, La Réunion, juin 2004
x
4 points
0
2
0
0,5
1
1,5
2
On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; +∞ [ par f ( x) = 1 − x2 e1− x .
Sa courbe représentative C et son asymptote ∆ , d’équation y = 1, sont tracées en annexe, à rendre avec la
copie. Son tableau de variations est page suivante.
A -Lecture graphique
1. k est un nombre réel donné. En utilisant la représentation graphique, préciser en fonction de k le nombre
de solutions dans l’intervalle [0 ; +∞ [ de l’équation f(x) = k.
Exercice 8. 319 Exp et suites, N. Calédonie, 1996,
Partie A
On considère la fonction f définie sur ℝ par f ( x) = (1 − 2 x)e2 x .
1. Etudier les limites de f en +∞ et en −∞ .
2. Calculer f '( x) , étudier les variations de f, dresser son tableau de variation.
215
216
2 ,5
3
3. Tracer la courbe représentative C de f dans un repère orthonormal d'unité 2cm.
Exercice 8. 322 Exp par morceaux, Bac E, Rennes, 1976
Partie B
1

 f ( x) = xe x si x < 0

On appelle f la fonction définie sur ℝ par :  f (0) = 0
.

−x
 f ( x) = xe si x > 0

La fonction f est toujours celle définie dans la partie A. On note f (1) = f ' , f (2) = f '' , f (3) , … f ( n) les
dérivées successives de f, n désignant un entier naturel non nul.
1. Calculer f (2) et f (3) .
2. Montrer par récurrence sur l'entier non nul n que f ( n) ( x) = 2n (1 − n − 2 x)e2 x .
1. Etudier les limites de f en −∞ et +∞ .
3. Pour tout entier non nul n, la courbe de f ( n) admet une tangente horizontale en un point Mn .
2. Etudier la continuité de f en 0.
3. Etudier la dérivabilité de f en 0.
a. Calculer les coordonnées xn et yn de Mn .
b. Vérifier que la suite ( xn ) est une suite arithmétique dont on donnera le premier terme et la raison.
Quelle est la limite de ( xn ) ?
c. Vérifier que la suite ( yn ) est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison. Quelle
est la limite de ( yn ) ?
1
5. Montrer que la droite d’équation y = x + 1 est asymptote à la courbe de f (on sera amené à poser x = ) .
t
6. Tracer la courbe de f dans le plan muni d’un repère orthonormal d’unité 3 cm.
Exercice 8. 323 Un problème pas très marrant
Exercice 8. 320 Bac S, 1995, plus classique, tu meurs (Corneille)
−x
Dans ce problème, on étudie les fonctions f et g définies sur ℝ par : f ( x) = xe
et g( x) = f ( x) + [ f ( x) ] .
2
Pour chaque entier naturel n, on définit sur l’intervalle ]0 ; +∞ [ la fonction fn par fn ( x) =
ex − 1
+ n ln x .
x
Partie A : étude du cas particulier n = 0.
Partie A : étude de f
1. Justifier que f est dérivable sur ℝ , calculer sa dérivée f’, étudier le sens de variation de f.
2. Déterminer les limites de f en −∞ et +∞ .
3. Donner le tableau de variation de f.
4. Montrer que l’équation f ( x) = −
4. Etudier les variations de f.
1
admet une solution α unique sur ℝ , donner un encadrement de α à
2
10−2 près.
f0 est donc définie sur ]0 ; +∞ [ par f0 ( x) =
ex − 1
.
x
1. Justifier, pour tout réel u, l’inégalité eu ≥ u + 1 . En déduire que pour tout réel x, e− x + x − 1 ≥ 0 , puis que,
pour tout réel x, 1 + ( x − 1)ex ≥ 0 .
2. Déterminer les limites de f0 en 0 et en +∞ .
ex ( x − 1) + 1
Partie B : Etude de g
3. Montrer que, pour tout réel x appartenant à ]0 ; +∞ [, la dérivée de f0 est donnée par f0' ( x) =
1. Justifier que g est dérivable sur ℝ et que l’on a pour tout x : g '( x) = f '( x)[ 1 + 2f ( x) ] .
En déduire le sens de variation de f0.
2. Déterminer les limites de g en −∞ et +∞ .
4. Représenter la courbe C0 de f0 dans le plan muni d’un repère orthonormal d’unité graphique 2 cm.
3. Donner la tableau de variation de g (on calculera la valeur exacte de g( α ) ).
−x
−x
4. a. Etablir que pour tout réel x, on a : g( x) − x = xe (1 + xe
−x
b. Montrer que pour tout réel x, on a : 1 + xe
−e ).
x
≤ 1+ x ≤ e .
x
c. Préciser la position de la courbe de g par rapport à sa tangente à l’origine.
Exercice 8. 321 Exp et radical
.
Partie B : étude de la famille de fonctions fn pour n ≥ 1 .
On appelle Cn la courbe représentative de fn dans le repère précédent.
1. Déterminer le sens de variation de fn sur l’intervalle ]0 ; +∞ [.
2. Déterminer les limites de fn en 0 et en +∞ . En déduire que Cn possède une asymptote que l’on précisera.
3. Etudier les positions relatives des courbes Cn et Cn+1.
4. Montrer que toutes les courbes Cn passent par un même point B dont on précisera les coordonnées.
On appelle f la fonction définie sur [0 ; +∞ [ par f ( x) =
e− x − 1
si x ≠ 0 , et f (0) = 0 .
x
5. Pour tout entier naturel non nul n, montrer qu’il existe un unique réel an appartenant à ]0 ; 1[ tel
que fn ( an ) = 0 .
6. Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, fn+1( an ) = ln( an ) . En déduire que an ≤ an+1 , puis que la
suite (an) est convergente.
e− t − 1
= −1
t→0
t
2. En déduire la continuité de f en 0.
1. Prouver que lim
7. a. En utilisant la partie A, montrer que pour tout réel x appartenant à ]0 ; 1],
3. Etudier le signe de f(x).
4. Etudier la limite de f en +∞ .
5. Montrer que l’on a pour tout x > 0 : f '( x) =
x2
−x
1− e
b. En déduire que, pour tout entier naturel non nul n, ln( an ) ≥
−x
− 2 xe
2x x
.
6. Etudier les variations de f à l’aide d’une fonction auxiliaire.
c. En déduire la limite de la suite (an).
8. Construire sur le graphique précédent les courbes C1 et C2.
7. Etudier la dérivabilité de f en 0 (on sera amené à utiliser la question 1)
217
218
ex − 1
≤ e−1 .
x
1− e
n
1− e
, puis que an ≥ e
n
.
5. a. Montrer que la suite (un )n∈ℕ est convergente. On note l sa limite.
9 . FONCTION LOGARITHMES EXERCICES
b. Déterminer la valeur exacte de l.
Exercice 9. 325 Logarithme, Polynésie, sept 2003
Exercice 9. 324 Logarithme + suite, Polynésie, nov 2004
10 points
9 points
 f (0) = 1

.
On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; +∞ [ par : 
1 2
 f ( x) = 2 x ( 3 − 2 ln x ) si x > 0
On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O ; i , j ) .
La courbe C donné ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f définie sur ]0 ; +∞ [ par :
ln x
f ( x) =
+1− x .
x
Partie A
1
y
1. a. Calculer lim f ( x) . Que peut-on en déduire pour la fonction f ?
x→0
0,5
α
x
b. Déterminer la limite de f en +∞ .
3
2. a. Étudier la dérivabilité de f en 0.
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
- 0,5
b. Montrer que f est dérivable sur l’intervalle [0 ; +∞ [ et calculer f ’(x) pour x > 0.
C
-1
3. Étudier le sens de variations de f sur [0 ; +∞ [, puis dresser son tableau de variations.
4. Montrer que l’équation f(x) = 0 possède une solution unique α sur l’intervalle [0 ; +∞ [. Déterminer
une valeur approchée décimale de α à 10− 2 près.
- 1,5
Partie B
-2
1. Calculer une équation de la tangente D à la courbe C au point d’abscisse x = 1 .
- 2,5
2. On considère la fonction g : x ֏ f ( x) − 2 x −
-3
1
définie sur l’intervalle ]0 ; +∞ [.
2
a. Calculer g ’(x), puis g ’’(x) où g ’ et g ’’ désignent respectivement les fonctions dérivées première et seconde
de g. Étudier le sens de variations de g ’. En déduire le signe de g ’(x) sur ]0 ; +∞ [.
- 3,5
-4
b. Étudier le sens de variations de g. En déduire la position de la courbe C par rapport à la tangente D.
3. Construire la courbe C et la tangente D (unité graphique : 2 cm).
Partie C
1. a. Montrer que f est dérivable et que, pour tout x strictement positif, f(x) est du signe de
N( x) = −  2 x x − 1 + ln x  .


(
)
b. Calculer N(1) et déterminer le signe de N(x) en distinguant les cas 0 < x < 1 et x > 1 .
c. En déduire le sens de variation de f sur ]0 ; +∞ [ et les coordonnées du point de C d’ordonnée maximale.
2. On note A(α ) l’aire, exprimée en unités d’aire, de la partie du plan grisée sur la figure, où α désigne un
réel de ]0 ; 1[.
a. Exprimer A(α ) en fonction de α (on pourra utiliser une intégration par parties).
1. n est un entier naturel non nul. Exprimer en fonction de n le réel In =
3. Calculer lim An et interpréter le résultat obtenu.
n→+∞
Exercice 9. 326 Tangentes, N. Calédonie, mars 2003
10 points
un
PARTIE I
+1 .
a. Démontrer, pour tout réel x élément de [1 ; 2], la double inégalité : 0 ≤
ln x
x
Sur la figure ci-dessus est tracée dans un repère orthogonal la courbe (C) représentative de la fonction f où f
est une fonction définie et dérivable sur ℝ*+ . Les points A, B, C et D sont les points de la courbe (C)
≤ 1.
d’abscisses respectives 1, e , e et e e ; de plus, A appartient à l’axe des abscisses. La droite (T) est la
tangente à (C) au point D.
b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un appartient à [1 ; 2].
4. En remarquant que, pour tout entier naturel n, un+1 = f (un ) + un , déterminer le sens de variation de la
suite (un ) .
219
x2 ln xdx (on pourra utiliser
2. En déduire en fonction de l’entier n, l’aire An exprimée en cm2 du domaine plan délimité par la courbe C ,
1
la tangente D et les deux droites d’équation x = et x = 1.
n
3. On définit une suite (un )n∈ℕ par son premier terme u0 élément de [1 ; 2] et :
ln un
1
1
n
une intégration par parties).
b. Calculer la limite de A(α ) lorsque α tend vers 0. Donner une interprétation de cette limite.
pour tout entier naturel n, un+1 =
∫
220
2. On cherche à justifier les observations de la question I. 1. concernant les tangentes à la courbe (C) qui
sont horizontales, qui ont un coefficient directeur égal à 1 ou qui passent par le point O origine du repère.
Démontrer que, dans chacun de ces cas, une seule tangente vérifie la condition donnée, préciser les
abscisses des points de contact correspondants (on pourra utiliser les résultats démontrés dans la partie
I. 2. c. et préciser ces points.
3. Étude de la tangente (T) à la courbe (C) au point D (le point D a pour abscisse e e ).
a. Démontrer qu’une équation de la tangente (T) à (C) au point D est y =
(
− x + 4e e
2e3
.
)
b. Montrer que le signe de ϕ ( x ) = 2e3 ln x + x2 − 4 e e x détermine la position de la courbe (C) par
rapport à cette tangente.
c. La fonction ϕ est définie sur ℝ*+ . À partir des variations de ϕ , déterminer la position de la courbe (C)
par
rapport à la tangente (T).
Partie III Calcul d’aires
1. Démontrer que les abscisses des points A, B et C sont les trois premiers termes d’une suite géométrique
dont on précisera la raison. Vérifier que l’abscisse de D est le quatrième terme de cette suite.
2. Soit x0 un nombre réel strictement supérieur à 1 et E le point de la courbe (C) d’abscisse x0. On considère
les droites dA, dB, dC, dD et dE parallèles à l’axe des ordonnées et passant respectivement par A, B, C, D et E.
1. Dans cette question, on ne demande qu’une observation graphique.
Avec la précision permise par ce graphique :
On note U1 l’aire de la partie du plan limite par l’axe des abscisses, la courbe (C) et les droites dA et dC ;
a. Donner une estimation à 5.10−2 près des coefficients directeurs des tangentes à la courbe (C) aux points
A, B, C et D.
U2 l’aire de la partie du plan limitée par l’axe des abscisses, la courbe (C) et les droites dB et dD et
b. Préciser combien la courbe (C) admet de tangentes horizontales, de tangentes passant par l’origine, de
tangentes de coefficient directeur 1. Pour chacune de ces tangentes, donner l’abscisse du point de contact
avec la courbe (C).
c. Choisir le seul tableau pouvant décrire les variations de la fonction dérivée de f . Justifier ce choix.
U3 l’aire de la partie du plan limitée par l’axe des abscisses, la courbe (C) et les droites dC et dE.
a. Calculer U1, puisU2.
b. Déterminer x0 pour que U1, U2 et U3 soient les trois premiers termes d’une suite arithmétique. Quelle
remarque peut-on faire sur l’abscisse du point E ?
Exercice 9. 327 Logarithme, France, sept 2002
11 points
Partie A
1. Montrer que pour tout x > 0, on a : e2 x − 1 > 0 .
1
.
e2 x − 1
a. Déterminer les limites de g en 0 et en −∞ . Interpréter graphiquement les résultats.
2. Soit g la fonction définie sur ]0 ; +∞ [ par : g( x) =
2. On admet que la fonction dérivée de f est définie sur ℝ*+ par g( x) =
1 − ln x
.
x2
a. Étudier les variations de g. Cela corrobore-t-il votre choix dans la question 1. c. ?
b. Déterminer les limites de g en 0, puis en +∞ .
(
c. Calculer g(1), g e e
)
; puis démontrer que l’équation g(x) = 1 n’a qu’une seule solution. Quelle
d. Expliquer pourquoi f est définie sur
Partie B
On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞ [ dont la courbe représentative C dans un repère orthogonal
(O ; i , j ) est donnée sur la feuille annexe avec sa tangente au point d’abscisse e.
(
On admet l’égalité suivante : f ( x) = 2 x a ( ln x ) + b ln x + c
observation de la question 1. b. a-t-on démontrée ?
ℝ*+
b. Calculer g ’(x). Étudier le sens de variation de g puis dresser son tableau de variations.
par f ( x) =
∫
x 1 − ln t
1
t2
dt . Calculer f (x) à l’aide d’une intégration
par parties.
Partie II
ln x
.
x
1. Étudier les variations de f, préciser ses limites en 0 puis en +∞ .
On étudie la fonction f définie sur ℝ*+ par f ( x) =
221
2
) où a, b et c désignent trois réels.
1. Exprimer f ’(x) en fonction de a, b et c.
1
2. À l’aide des informations données sur le graphique, déterminer les valeurs de f '   , f '
 e
(
( e ), f '( e ) .
)
3. En déduire l’égalité : f ( x) = 2 x 2 ( ln x ) − 3 ln x + 2 pour tout x ∈ ]0 ; +∞ [.
2
4. Déterminer la limite de f en 0. On pourra poser t = − lnx et vérifier pour tout x ∈ ]0 ; +∞ [ l’égalité :
(
)
f (t) = 2e− t 2t2 + 3t + 2 .
222
5. Déterminer la limite de f en −∞ .
2. On définit la fonction h sur ]0 ; +∞ [ par l’expression suivante : h = g f .
6. Montrer pour tout x ∈ ]0 ; +∞ [ l’égalité : f '( x) = 2 ( ln x + 1 ) ( 2 ln x − 1 ) .
a. Déterminer les limites en 0 et en +∞ de h.
b. Déterminer le sens de variation de h sur ]0 ; +∞ [.
7. Étudier le signe de f ’(x) et dresser le tableau de variations de f.
7
c. Montrer que h(α ) = g g(α ) . Déterminer une valeur approchée de h(α ) à 10− 4 près.
y
Exercice 9. 328 Logarithme et intégrale, Antilles, sept 2002
12 points
 f (0) = 0

Soit f la fonction définie sur [0 ; 1] par :  f (1) = 0
 f ( x) = ln x × ln 1 − x , x ∈]0 ; 1[.
)
(
) (

6
2e
On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal (unité graphique : 10 cm).
5
On admet que lim f ( x) = 0 et lim f ( x) = 0 , ainsi que le résultat suivant : pour α > 0, lim xα ln x = 0 .
x→0
x →1
x→0
Partie A - Étude de la fonction f
4
1. a. Déterminer la limite quand x tend vers 0 de l’expression
1
e
b. En déduire la limite quand x tend vers 0 de l’expression
3
ln ( 1 − x )
x
.
f ( x)
; que peut-on en déduire pour la courbe C ?
x
 1 1
1

1

2. Montrer que pour tout x ∈  − ;  , f  − x  = f  + x  . Que peut-on en conclure pour C ?
 2 2
2

2

3. Soit ϕ la fonction définie sur ]0 ; 1[ par : ϕ( x) = ( 1 − x ) ln ( 1 − x ) − x ln x .
2
a. Déterminer ϕ '( x) , puis montrer l’égalité ϕ '( x) =
2x − 1
; en déduire les variations de ϕ ' sur ]0 ; 1[.
x(1 − x)
b. Montrer que ϕ ' s’annule en deux valeurs a1 et a2 sur ]0 ; 1[ (on ne cherchera pas à calculer ces valeurs).
1
Donner le signe de ϕ ' sur ]0 ; 1[.
x
0
0
0,5
1
e
1,5
2
e
2
2,5
e
3
3,5
4
1
 . En déduire le signe de ϕ( x) sur ]0 ; 1[.
2
ϕ
4. a. Montrer que f ’(x) a même signe que ϕ( x) sur ]0 ; 1[.
b. Donner le tableau de variations de f .
Partie C
1. Tracer, dans le repère (O ; i , j ) de la feuille annexe, la courbe représentative Γ de la fonction g étudiée
en partie A.
2. a. Montrer que pour tout x > 0 , on a g( x) =
c. Déterminer la limite quand x tend vers 0 de ϕ( x) et la limite quand x tend vers 1 de ϕ( x) . Calculer
e2 x
−1 .
e2 x − 1
b. Calculer, et exprimer en unités d’aire, l’aire de la surface délimitée par l’axe des abscisses, la courbe Γ et
1
les droites d’équation x = et x = 2.
4
3. Soit ϕ la fonction définie sur [0,1 ; 0,3] par : ϕ (x) = f(x) − g(x).
a. Montrer que, pour tout x appartenant [0,1 ; 0,3], on a : ϕ '( x) > 0 .
b. Montrer que l’équation f(x) = g(x) possède une solution unique α sur [0,1 ; 0,3] et déterminer un
encadrement de α d’amplitude 10− 2.
Partie D
c. Montrer que, pour tout x de ]0 ; 1[, les inégalités suivantes sont vraies : 0 < ( ln x ) × ln ( 1 − x ) ≤ ( ln 2 ) .
2
d. Tracer C .
Partie B - Encadrement d’une intégrale
 1
Pour t ∈  0 ;  , on pose : I1 (t) =
 2
∫
1
2
t
x ln xdx , I2 ( t) =
∫
t
x2 ln xdx , I(t) =
∫
1
2
f ( x)dx .
t
1. a. À l’aide d’intégrations par parties, montrer que :
I1 (t) = −
ln 2 1 1 2
t2
ln 2 1 1 3
t3
− − t ln t +
; I2 ( t) = −
− − t ln t + .
8 16 2
4
24 72 3
9
b. Déterminer les limites de I1(t) et de I2(t) quand t tend vers 0.
1
1
 1


2. Soit g et h les fonctions définies sur  0 ;  par : g( x) = −  x + x2  et h( x) = g( x) − x2 .
2
2
 2


1. Montrer que pour tout x > 0, f (x) > 0.
223
1
2
224
e3 / 2
 1
a. Étudier sur  0 ;  les variations de la fonction x ֏ ln ( 1 − x ) − g( x) .
 2
c. Calculer
 1
b. En déduire que, pour tout x de  0 ;  , ln(1− x) ≤ g (x).
 2
que e−1 ≤ x ≤ e 2 et f ( x) ≤ y ≤ 0 .
e−1
f ( x)dx . En déduire l’aire, en unités d’aire, de l’ensemble des points M(x ; y) du plan tels
3
 1
c. Par un procédé analogue,montrer que pour tout x de  0 ;  , ln(1− x) ≥ h(x).
 2
Exercice 9. 330 Logarithme et exponentielle
On considère la fonction définie sur [0 ; + ∞[ par f ( x) = ex − ln x et sa courbe représentative C dans un plan
rapporté à un repère orthonormé (O ; i , j ) (unité graphique : 2 cm).
 1
d. En déduire un encadrement de f (x) sur  0 ;  .
 2
3. a. Montrer que − I1 ( t) −
∫
1. a. Étudier les variations de la fonction g définie sur ℝ par g( x) = xex − 1 .
1
I2 ( t) ≤ I(t) ≤ − I1 (t) − I2 (t) .
2
b. En déduire qu'il existe un réel unique a tel que : aea = 1 . Donner un encadrement de a d'amplitude 10−3.
b. En supposant que I (t) admet une limite note l quand t tend vers 0, donner un encadrement de l.
Exercice 9. 329 Logarithme et calcul d’aire, Antilles, sept 2001
Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O ; i , j ) . On considère la fonction f , définie sur l’intervalle
2
]0 ; +∞ [ par : f (x)=−3−ln x +2(ln x) . On note (C ) sa courbe représentative.
Partie A - Étude de la fonction f et tracé de la courbe (C)
c. Préciser le signe de g(x) selon les valeurs de x.
2. a. Déterminer les limites de f aux bornes de ]0, + ∞[ .
b. Calculer la fonction dérivée f' de f et étudier son signe sur ]0 ; + ∞[ en utilisant la question 1. Dresser le
tableau des variations de f.
c. Montrer que f admet un minimum m égal à a + a−1 . Justifier que : 2,32 ≤ m ≤ 2,34 .
b. Résoudre dans ]0 ; +∞[ l’inéquation f (x) > 0.
3. Donner une équation de la tangente T à C en son point d'abscisse 1. Déterminer le point d'intersection
de T et de l'axe des ordonnées.
2. a. Déterminer les limites de f en 0 et en +∞ .
4. Tracer C et T.
1. a. Résoudre dans ]0 ; +∞[ l’équation f (x) = 0. (On pourra poser lnx = X).
b. Calculer f ’(x).
Exercice 9. 331 Logarithme et 2nd degré
c. Étudier le sens de variation de f et dresser son tableau de variations.
On désigne par a un réel de l’intervalle ]0 ; π [ et on considère la famille de fonctions numériques fa définies
5
(
)
4. On se propose d’étudier la position de la courbe (C ) par rapport à la droite (T ).
par fa ( x) = ln x2 − 2 x cos a + 1) . On appelle Ca la représentation graphique de fa dans un plan muni d’un
repère orthonormé (O ; i , j ) .
 −5
41 
.
Pour cela, on considère la fonction ϕ , définie sur ]0 ; +∞ [ par : ϕ( x) = f ( x) −  4e 4 x −

8 


2. Déterminez les limites de fa en +∞ et −∞ .
3. Déterminer une équation de la tangente (T ) à la courbe (C ) au point d’abscisse e 4 .
5
a. Montrer que ϕ '( x) =
−
4 ln x − 1
− 4e 4 puis calculer ϕ ''( x) .
x
3. Montrez que la droite d’équation x = cos a est axe de symétrie de Ca.
4. a et a’ étant deux réels distincts, montrez que Ca et Ca’ sont sécantes en un unique point que l’on
précisera.
b. Étudier le sens de variation de ϕ ' sur ]0 ; +∞ [. En déduire que, pour tout x appartenant à ]0 ; +∞ [, on a
ϕ '( x) ≤ 0 .
5. Calculez fa′( x) et déduisez-en son sens de variation.
6. Donnez l’allure des courbes Ca .
 5 
c. Calculer ϕ  e 4  . Pour tout x appartenant à ]0 ; +∞[ déterminer le signe de ϕ( x) . En déduire la position




de la courbe (C ) par rapport à la droite (T ).
5. Tracer la courbe (C) et la droite (T). (Unité graphique : 2 cm).
Partie B - Calcul d’une aire
1. Vérifier que la fonction h, définie par h( x) = x ln x − x , est une primitive de la fonction logarithme
népérien sur ]0 ; +∞ [.
2. On pose I1 =
1. Montrez que l’ensemble de définition de fa est ℝ .
∫
e3 / 2
e−1
ln xdx et I2 =
∫
e3 / 2
e−1
(ln x)2 dx .
Exercice 9. 332 Logarithme et valeur absolue
Soit f la fonction définie sur D = ℝ − { 3 } par f ( x) = ( x + 1)ln x − 3 où ln désigne la fonction logarithme
népérien. C est la courbereprésentative de f dans un repère orthonormal O ; i , j (unité 1 cm).
(
)
x +1
+ ln x − 3 .
x−3
b. Pour x appartenant à D, calculer f’’(x) où f’’ désigne la dérivée seconde de f. En déduire les variations de f’.
1. a. Vérifier que si x ∈ D alors f '( x) =
c. Calculer les limites de f’ en −∞ et en 3.
2. a. Montrer que f’ s’annule sur
] −∞ ; 3 [
pour une seule valeur α. Donner un encadrement de α
d’amplitude 0,1. Etudier le signe de f’(x) sur ] −∞ ; 3 [ .
a. Calculer I1.
3
b. En utilisant une intégration par parties, montrer que I2 =
225
5 2
e − 5e−1 .
4
b. Etudier le signe de f’(x) sur ] 3 ; + ∞ [ et dresser le tableau de variations de f.
2. Etudier les limites de f aux bornes de D. Préciser les asymptotes éventuelles à C.
226
3. Calculer les coordonnées des points d’intersection de C et de l’axe des abcisses.
a. Démonstration de cours : démontrer que lim
x→+∞
4. Tracer la courbe C.
ln x
=0.
x
b. Déterminer les limites de f en 0 et +∞ (en +∞ , on pourra poser X = x ).
Exercice 9. 333 Logarithme et équa diff
c. Utiliser la première partie pour déterminer le sens de variation de f.
Première partie
3. Soit ∆ la droite d'équation y = x – 1 et C la représentation graphique de f dans un repère orthonormé du
plan. Montrer que ∆ est asymptote de C et étudier leurs positions relatives. construire C et ∆.
On considère la fonction numérique f définie sur [ 0 ; ∞ [ par :
x+2

si x ≠ 0
 f ( x) = x ln
x


f (0) = 0
Exercice 9. 335 Logarithme et primitives
Partie A
Étude de la fonction f définie sur ℝ − par f(x) =
1. a. Montrer que f est continue en 0.
b. f est-elle dérivable en 0 ?
2
avec ( x > 0) . trouver la limite de f quand x tend vers +∞.
x
4
2. a. Pour x > 0 calculer f '( x) et f ''( x) et vérifier que f ''( x) = −
.
x( x + 2)2
c. On pose h =
b. Etudier le sens de variation de f '( x) et trouver la limite de f '( x) quand x tend vers +∞. En déduire le
signe de f '( x) .
1 + ln x
. On appellera C sa courbe représentative.
x
1. Étudier la limite de f en + ∞. Étudier la limite de f en 0.
Étudier les variations de f ; en dresser le tableau de variations.
2. Déterminer la valeur de x telle que f(x) = 0.
Écrire l'équation de la tangente T à C en ce point.
3. Tracer C et T.
Partie B
ln x
(ln x)2
est x ֏
. En déduire l'ensemble des primitives F de f.
x
2
2. Déterminer la primitive de f qui s'annule pour x = 1. Cette primitive sera appelée F1.
1. Montrer qu'une primitive de x ֏
c. Dresser le tableau de variations de f ( x) .
3. On appelle C la courbe représentative de f ( x) (unités : 4 cm). Tracer C en indiquant la tangente en O et
au point A d’abcisse 2.
4. Soit u la fonction définie sur [ 0 ; + ∞ [ par u( x) =
2x
et H sa représentation graphique dans le même
x+2
Déduire de la partie A le sens de variation de F1 ; déterminer les limites aux bornes de l'ensemble de
définition, dresser le tableau de variations et donner les intersections de la courbe représentative de F1 avec
x´Ox. Représenter graphiquement F1.
repère que C.
3. On appelle F2 la primitive de f qui prend la valeur 0,5 pour x = 1. Donner l'expression de F2.
a. Dresser le tableau de variation de u et vérifier que pour tout x>0 on a
Expliquer la construction de la courbe représentative de F2 à partir de celle de F1. Tracer la courbe
représentative de F2.
f ( x) − u( x) = x.f '( x) .
En déduire la position relative de C et H. Tracer H en indiquant le point B d’abcisse 2.
Exercice 9. 336 Logarithme+ acc finis
b. λ étant un réel strictement positif, montrer que la tangente à C au point d’abcisse λ rencontre l’axe des
ordonnées au point J d’ordonnée u(λ). En déduire à l’aide du tracé de H la construction de la tangente à C
au point d’abcisse λ. Indiquer la construction ainsi de la tangente à C au point A.
Le but de ce problème est d'étudier, dans un premier temps (partie A), la fonction f définie sur [ 0 ; + ∞ [
Deuxième partie On se propose de déterminer l’ensemble (E) des fonctions g, définies et dérivables sur
]0, +∞[ et possédant la propriété suivante P :
g( x) − xg '( x) =
g étant définie et dérivable sur ]0, +∞[ on pose G( x) =
Partie A
2x
x+2
Dans cette partie le plan est rapporté au repère orthonormal (O ; i, j ) , unité graphique : 2 cm. On désigne
par C la représentation graphique de f.
g( x)
.
x
1. Montrer que g possède la propriété P si et seulement si G '( x) =
1
 x+2  x 1
par f ( x) = x ln 
 + + pour x > 0 et f (0) = , puis (partie B) de trouver une approximation de la
2
 x  4 2
solution de l'équation f(x) = x.
I. Étude d'une fonction auxiliaire
1
1
− .
x+2 x
2. En déduire l’ensemble (E).
Soit g la fonction définie sur ]0 ; +∞ [ par : g( x) = ln( x + 2) − ln x −
1. a. Étudier le sens de variation de g.
b. Déterminer lim g( x).
Exercice 9. 334 Logarithme et radical
x→+∞
1. La fonction g est définie sur ]0 ; +∞ [ par g( x) = 2 x x − 3 ln x + 6 .
c. En déduire le signe de g(x) pour tout x de ]0 ; +∞ [.
En utilisant les variations de g, déterminer son signe suivant les valeurs de x.
2. Montrer que, pour tout x de [2 ; 3], on a g( x) <
2. La fonction numérique f est définie sur ]0 ; +∞ [ par
f ( x) =
3 ln x
+ x −1 .
x
227
1
.
2
II. Etude de f
228
2
1
+ .
x+2 4
 x+2 
1. Déterminer la limite, quand x tend vers zéro par valeurs strictement positives, de x ln 
 (on
 x 
1
pourra poser x = ) et démontrer que f est continue en 0.
t
2. La fonction f est-elle dérivable en 0 ? Donner une interprétation graphique du résultat.
3. Étudier le sens de variation de f (on vérifiera que f ′( x) = g( x) ).
 x+2
4. a. Démontrer que lim x ln 
x→+∞
 x
ln(1 + h)

= 1 ).
 = 2 (on pourra utiliser le résultat : lim
h→0
h

b. En déduire lim f ( x).
x →+∞
c. Montrer que la droite ∆ d'équation y =
x 5
+ est asymptote à C au voisinage de +∞ .
4 2
5. Tracer dans le repère (O ; i, j ) la droite ∆ , la courbe C et la droite D d'équation y = x.
Partie B
On s'intéresse à la différence f(x) − g(x) et on se propose d'en étudier le signe. À cet effet, on pose, pour tout
f (x) − g(x)
réel x de l'intervalle ]0 ; +∞ [, ϕ(x) =
.
x
1. Quelle information apporte le fait de connaître le signe de ϕ( x) ?
2. Vérifier que : ϕ(x) = ln x − x +
ϕ '(x) = −
(
x −1
)
1
. Calculer la fonction dérivée ϕ ' de ϕ
x
et vérifier que
2
2x x
.
Quel est le sens de variation de ϕ sur ]0 ; +∞ [ ? (L'étude des limites de ϕ aux bornes de son domaine de
définition n'est pas demandée).
3. En déduire le signe de ϕ . Quelles conclusions en tirez-vous ?
4. Est-ce que les courbes Cf et Cg ont même tangente au point de contact ?
Partie B
Dans cette partie, on désigne par I l'intervalle [2 ; 3].
1. Soit la fonction h définie sur I par h(x) = f(x) − x. Montrer que, pour tout x de I, h´(x) < 0.
5. Montrer qu’il existe deux nombres réels α et β tels que ϕ( x) ≤ 10 −1 pour tout x de l’intervalle
[α ; β ] .
Donner des valeurs approchées de α et β à 10−2 près. Donner alors un encadrement de la
On remarquera que h´(x) = g(x) − 1.
distance verticale entre les courbes Cf et Cg, soit f ( x) − g( x) , sur l’intervalle [ α ; β ] .
2. En déduire le sens de variation de h et montrer que l'équation h(x) = 0 admet une unique solution dans
I ; on note α cette solution.
Partie C : Calcul d'intégrales
3. Montrer que, pour tout x de I, 0 < f´(x) <
1
.
2
4. En déduire que, pour tout x de I, |f(x) − α| ≤
1
|x − α|.
2
On définit la suite (un )n∈ℕ par u0 = 2 et, pour tout n de ℕ , un + 1 = f(un). On admet que, pour tout n de ℕ ,
un appartient à I.
a. Établir les inégalités suivantes :
Pour tout réel a de l'intervalle ]0 ; 1] on pose : I( a) =
∫
1
a
f ( x)dx et J(a) =
∫
1
g( x)dx.
a
1. Calculer l'intégrale I(a) en fonction de a. À cet effet, on pourra remarquer que f(x) peut s'écrire
1
3
f ( x) = x 2 − x 2 .
2. À l'aide d'une intégration par parties, calculer J(a) en fonction de a.
3. a. Calculer : lim(I(a) − J( a)) [on admettra que lim( x2 ln x) = 0 ].
a→0
x→0
b. Donner une interprétation géométrique de cette limite.
1
(1) pour tout n de ℕ , un+1 − α ≤ un − α ,
2
Partie D
On considère l'équation, définie dans ℝ + : g(x) = − 24.
n
1
(2) pour tout n de ℕ , un − α ≤   .
2
Dans cette partie, on se propose de déterminer une valeur approchée de la solution α de cette équation.
b. En déduire que la suite (un) converge. Quelle est sa limite ?
c. Déterminer n0 entier naturel tel que un0 soit une valeur approchée de α à 10− 3 près.
En déduire alors une approximation de α à 10− 3 près.
Exercice 9. 337 Logarithme+irrationnelle+intégrales+acc finis
Soit f, définie sur l'intervalle [0 ; +∞ [ par f ( x) = (1 − x) x ; Cf sa courbe représentative dans un repère
orthonormé.
 g( x) = − x ln x pour x > 0
Soit g définie sur l'intervalle [0 ; +∞ [ par : 
représentée par la courbe C g dans le
 g(0) = 0
même repère.
Partie A
1. Etudier les variations des deux fonctions f et g, déterminer leurs limites en 0 et +∞ .
2. La fonction g est elle-dérivable en 0 ?
1. Justifier que l'équation proposée a dans R+ une solution α et une seule et que 9 < α < 11. Vérifier que α
24
est solution de l'équation : x =
.
ln x
24
.
2. Soit h la fonction définie sur [9 ; 11] par : h( x) =
ln x
a. Démontrer que, pour tout réel x de l'intervalle [9 ; 11], h(x) appartient aussi à l'intervalle [9 ; 11].
b. Démontrer, pour tout réel x de l'intervalle [9 ; 11], la double inégalité : h '( x) ≤
c. En déduire, pour tout réel x de l'intervalle [9 ; 11], l'inégalité : h( x) − α ≤ 0, 56 x − α .
 u0 = 9
pour tout entier n.
3. On considère la suite (un) définie par récurrence : 
 un+1 = h(un )
a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un appartient à l'intervalle [9 ; 11], puis que
l'inégalité : un+1 − α ≤ 0, 56 un − α est vérifiée.
3. Tracer les courbes Cf et Cg .
229
2
< 0,56 .
3(ln 3)2
230
b. En déduire que, pour tout entier naturel n, l'inégalité : un − α ≤ 2(0, 56)n est vérifiée. Démontrer que la
suite (un) converge vers α .
c. Trouver le plus petit entier naturel pour lequel on a l'inégalité : 2(0, 56)n < 0,01 .
Soit n0 cet entier : que représente pour α le terme un0 correspondant ?
À l'aide de votre calculatrice donner une approximation décimale à 10−2 près de un0 .
c. Établir le tableau de variation de f1 et tracer C1 sur le même graphique que C0 en précisant le coefficient
directeur de la tangente T1 à C1 au point A1.
2. Étude de f 1 et tracé de C 1
2
2
a. Prouver que, pour tout x de [0 ; 1], f 1 ( x) =
2
f0 ( x) + f1( x)
.
2
b. En déduire une construction de C 1 à partir de C0 et C1 et tracer C 1 sur le même graphique que C0 et C1
Exercice 9. 338 Famille de fonctions ln + aire
2
Soit k un nombre réel. On considère la fonction fk définie sur [0 ; 1] par
fk ( x) = x(ln x)2 + kx si x > 0 et fk(0) = 0.
On note Ck la courbe représentative de la fonction fk dans le plan rapporté au repère orthonormal (O ; i, j )
(unité graphique : 10 cm).
On note I, J et L les points de coordonnées respectives (1 ; 0), (0 ; 1) et (1 ; 1).
Première partie : Étude des fonctions fk
2
en précisant la tangente T1 à C 1 au point A 1 .
2
2
2
Deuxième partie : Partage du carré OILJ en quatre parties de même aire
Soit α un nombre réel tel que 0 < α ≤ 1 .
1. Calcul d'une intégrale : on pose I(α ) =
∫
1
α
x(ln x)2 dx .
a. Prouver, en effectuant une intégration par parties, que I(α ) = −
A. Étude et représentation de f0
α2
Dans cette question k = 0.
2
(ln α )2 −
b. En effectuant à nouveau une intégration par parties, prouver que : I(α ) = −
1. Signe de la dérivée
a. Calculer la dérivée f0′ de f0 sur ]0 ; 1] et montrer que f0′( x) peut s'écrire sous la forme
f0′( x) = (ln x)(ln x − 2) .
∫
1
α
x ln x dx
α2
2
(ln α )2 +
α2
b. Déterminer les solutions de l'équation f0′( x) = 0 sur ]0 ; 1].
c. Étudier le signe de f0′ sur ]0 ; 1].
a. On pose Sk (α ) =
2. Étude à l'origine
Exprimer Sk (α ) en fonction de α . En déduire la limite Sk de Sk (α ) quand α tend vers 0.
ln u
(ln u)2
, puis de
lorsque u tend vers +∞ .
u
u
b. En déduire que x(ln x)2 tend vers 0 lorsque x tend vers 0, puis que f0 est continue en 0.
f ( x)
c. Déterminer la limite de 0
lorsque x tend vers 0. En déduire la tangente en O à la courbe C0.
x
3. Tracé de la courbe C0
ln α +
1 α2
−
.
4 4
c. Déterminer la limite I de I(α ) lorsque α tend vers 0.
2. Calcul d'aires
a. Déterminer la limite de
2
∫
1
α
fk ( x)dx .
On admettra que cette limite représente l'aire (exprimée en unités d'aire) du domaine plan limité par la
courbe Ck, l'axe (Ox) et la droite d'équation x = 1.
b. En déduire que les courbes C0, C 1 et C1 partagent le carré OILJ en quatre parties de même aire.
2
Exercice 9. 339 Ln et rotation
a. Dresser le tableau des variations de f0.
Dans tout le problème le plan est rapporté à un repère orthonormal (O ; i , j ) . Toutes les courbes
demandées seront représentées sur un même graphique (unité graphique : 2 cm).
b. Tracer la courbe C0.
A. Etude d'une fonction f et de sa courbe représentative (C)
B. Étude de fk
On considère la fonction f , définie sur ]0 ; +∞ [ par : f ( x) = ln
1. Dérivée de fk
(
)
1+ x −1 .
a. Calculer fk′( x) sur ]0 ; 1].
1. Calculer les limites de f en 0 et en +∞ .
b. Soit Ak le point de Ck d'abscisse 1. Montrer que la tangente Tk à Ck au point Ak est la droite (OAk).
3. Soit (C) la courbe représentative de f dans (O ; i , j ) et A le point de (C) d'abscisse 3. Calculer l’ordonnée
5
, P le projeté orthogonal de B sur l'axe (O ; i ) et H le projeté
de A. Soit B le point de (C) d'abscisse
4
orthogonal de B sur l'axe (O ; j ) .
2. Étude à l'origine
a. Établir que fk est continue en 0.
b. Déterminer la tangente à Ck en O.
On ne demande pas d'étudier les variations de fk.
2. Etudier le sens de variation de f sur ]0 ; +∞ [.
Déterminer les valeurs exactes des coordonnées des points B, P et H. Placer les points A, B, P et H dans le
repère (O ; i , j ) et représenter la courbe (C).
C. Étude et représentation de f1 et f 1
2
B. Utilisation d’une rotation
1. Étude de f1 et tracé de C1
a. Prouver que, pour tout x ∈ ]0 ; 1], f1′( x) = (ln x + 1)2 .
b. Déterminer la position relative des courbes C0 et C1.
231
232
Soit r la rotation de centre O et d'angle
π
2
. A tout point M du plan d'affixe z, la rotation r associe le point
M ' d'affixe z '.
1. a. Donner z ' en fonction de z. On note z = x + iy et z’ = x ' + iy’ (x, y, x’ et y’ réels), exprimer x’ et y’ en
fonction de x et y, puis exprimer x et y en fonction de x’ et y’.
b. Déterminer les coordonnées des points A’, B’ et P’ images respectives des points A, B et P par la
rotation r.
2. On appelle g la fonction définie sur ℝ par g( x) = e−2 x + 2e− x et (Γ) sa courbe représentative dans le
repère (O ; i , j ) .
a. Montrer que lorsqu'un point M appartient à (C), son image M’ par r appartient à (Γ) . On admet que
lorsque le point M décrit (C), le point M’ décrit (Γ) .
4. Soit x un réel positif. Déduire de la question 3. que
6. Pour tout entier naturel n, on pose un =
∫
n+1
g ( x)dx . Interpréter graphiquement cette intégrale.
0
2. a. Déterminer, en unités d'aire, l'aire A du domaine plan D limité par les segments [AO], [OH] et [HB]
et l'arc de courbe d'extrémité B et A.
∫ ln (
x
e−2t dt puis que
0
a. On considère la fonction h définie sur [0 ; +∞ [ par h(t) = ln(1 + e−2t ) . Étudier le sens de variation de h.
b. Démontrer que pour tout naturel n : 0 ≤ un ≤ ln(1 + e−2n ) .
n−1
∑ u . Exprimer S
i
n
à l’aide de F et de n. La suite (Sn) est–elle
i =0
convergente ? Dans l’affirmative quelle est sa limite ?
ln 2
3
∫
ln(1 + e−2t )dt .
7. Pour tout entier naturel n on pose Sn =
b. On pose I =
dt ≤ F( x) ≤
n
c. Déterminer la limite de (un) lorsque n tend vers +∞ .
∫
1 + e−2t
5. On admet que la limite de F(x) , lorsque x tend vers +∞ , existe et est un nombre réel noté L. Etablir que
1
1
ln 2 ≤ L ≤ .
2
2
C : Calcul d’intégrales
1. Calculer l'intégrale
e−2 t
x
0
1
1
1 1
ln 2 − ln(1 + e−2 x ) ≤ F( x) ≤ − e−2 x .
2
2
2 2
b. Tracer sur le graphique précédent les points A’, B’, P’ et la courbe (Γ) (l'étude des variations de g n'est
pas demandée).
On rappelle que l'image d'un domaine plan par une rotation est un domaine de même aire.
∫
Exercice 9. 341 Th. des valeurs intermédiaires
1

On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞ [ par f ( x) =  1 −
x


 (ln x − 2) .

1. Déterminer les limites de f en 0 et en +∞ .
)
1 + x − 1 dx . Trouver une relation entre A et I puis en déduire la valeur exacte de
2. Montrer que f est dérivable sur]0 ; +∞ [ et calculer f’(x).
3. Soit u la fonction définie sur ]0 ; +∞ [ par u( x) = ln x + x − 3 .
5/4
l'intégrale I.
a. Etudier les variations de u.
Exercice 9. 340 Etude de ln(chx) et de son intégrale
Le plan est rapporté à un repère orthonormal
(O ; i , j ) . L’unité graphique est 3 cm..
A . Étude de f
On considère la fonction f définie sur [0 ; +∞ [ par f ( x) = ln( e x + e− x ) et on désigne par (C) sa courbe
représentative dans le repère (O ; i , j ) .
b. Montrer que l’équation u(x) = 0 possède une solution unique α dans l’intervalle [2 ; 3]. Montrer que
2,20 < α < 2,21
c. Etudier le signe de u(x) sur ]0 ; +∞ [.
4. a. Etudier les variations de f.
b. Exprimer lnα comme un polynôme en α . Montrer que f (α ) = −
1. a. Déterminer la limite de f en +∞ .
f( α ) d’amplitude 2 × 10
b. Démontrer que, pour tout x de l’intervalle [0 ; +∞ [, on a f ( x) = x + ln(1 + e−2 x ) . En déduire que la courbe
(C) admet comme asymptote la droite D d’équation y = x.
5. a. Etudier le signe de f(x) sur ]0 ; +∞ [.
(α − 1)2
α
. En déduire un encadrement de
−2
b. Tracer la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère orthonormal (O ; i, j ) d’unité 2 cm..
c. Étudier la position de la courbe (C) par rapport à son asymptote D.
2. Étudier les variations de f et dresser son tableau de variation. Construire la courbe (C) et l’asymptote D,
Exercice 9. 342 Bac C, Paris, 1990
B. Intégrales liées à f
f est la fonction définie sur ]0 ; +∞ [ par f ( x) =
Pour tout x de l’intervalle [0 ; +∞ [ on pose F( x) =
∫
x
0
−2 t
ln(1 + e
)dt . On ne cherchera pas à calculer F(x).
1. Soit a un réel positif. En utilisant la partie A , donner une interprétation géométrique de F(a).
2. Étudier le sens de variation de F sur l’intervalle [0 ; +∞ [ .
3. Soit a un réel strictement positif. Démontrez que :
Pour tout t de [0 ; a],
1
1
a
≤
≤ 1 . En déduire que
≤ ln(1 + a) ≤ a .
1+ a 1+ t
1+ a
x ln x
.
x +1
1. Montrer que l’on a, pour tout réel x de ]0 ; +∞ [, f '( x) =
x + 1 + ln x
( x + 1 )2
2. La fonction ϕ est définie sur ]0 ; +∞ [ par ϕ( x) = x + 1 + ln x . Etudier ses variations, en déduire que
l’équation ϕ( x) = 0 admet une solution unique β . Etudier le signe de ϕ .
3. En déduire les variations de f, étudier les limites de f en 0 et +∞ .
4. Montrer que, pour tout entier strictement positif n, l’équation f ( x) = n admet une solution unique que
l’on notera α n . On cherche maintenant à étudier la suite ( α n ) .
233
.
234
5. Montrer que, pour tout entier n > 0, f ( en ) < n . En déduire que α n > en et la limite de ( α n )
Exercice 9. 346 Amérique du Nord 1998
α  n
. En déduire la limite de
6. Prouver que la relation f (α n ) = n peut se mettre sous la forme ln  nn  =
 e  αn
Pour tout entier n supérieur ou égal à 2 on considère la fonction fn définie sur ]0 ; +∞ [ par fn ( x) =
αn
n
e
.
1 + n ln x
x2
.
Partie A
I. Etude des fonctions fn
Exercice 9. 343 Centres étrangers, 2000, extrait
La fonction f est définie sur [0 ; +∞ [ par f (0) = 0 et si x > 0, f ( x) =
ln(1 + x 2 )
. Sa courbe dans le plan
x
rapporté à un repère d’origine O, est donnée ci-dessous :
2
1. Calculer fn′ ( x) et montrer que l’on peut écrire le résultat sous la forme d’un quotient dont le
numérateur est n − 2 − 2n ln x .
2. Résoudre l’équation fn′ ( x) = 0 . Etudier le signe de fn′ ( x) .
3. Déterminer les limites de fn en +∞ et en 0.
4. Etablir le tableau de variation de fn et calculer sa valeur maximale en fonction de n.
y
II. Représentation graphique de quelques fonctions fn.
Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O ; i , j ) d’unité graphique 5 cm. On note Cn la courbe
représentative de fn dans ce repère.
1
1. Tracer C2 et C3.
2. Calculer fn+1( x) − fn ( x) . Cette différence est-elle dépendante de l’entier n.
x
0
-1
0
1
2
3
4
5
1. Montrer que, pour tout réel positif t, 0 ≤ ln(1 + t) ≤ t . En déduire la continuité de f en 0.
f ( x)
= 1 . En déduire la dérivabilité de f en 0.
x→0 x
2. Montrer que lim
1. Déterminer lim f1( x) et lim f1( x) . Que peut-on en déduire pour (C1) ?
ln2 x
x2
, et on appelle (C2) sa courbe
représentative dans même repère que (C1).
1. Déterminer lim f2 ( x) et lim f2 ( x) . Que peut-on en déduire pour (C2) ?
x→+∞
2. Etudier les variations de f2, donner son tableau de variation.
3. Etudier le signe de f1( x) − f2 ( x) , en déduire la position relative de (C1) et (C2).
4. Tracer T, (C1) et (C2).
dx .
3. On note An l’aire en unités d’aire du domaine plan limité par la courbe Cn, l’axe des abscisses et les
droites d’équation x = 1 et x = e. Calculer A2. Déterminer la nature de la suite (An) en précisant
l’interprétation géométrique de sa raison. Exprimer An en fonction de n.
n− 2
 n− 2
1. Vérifier que pour tout n, e 2n > 1 et fn  e 2n


n− 2 

2
n
.
solution sur l’intervalle  1; e


2. On pose pour t ≥ 1, ϕ(t) =

 > 1 . En déduire que l’équation fn ( x) = 1 n’a pas de


ln t
. Etudier les variations de ϕ . En déduire que pour tout t appartenant à
t
1
]1 ; +∞ [, ϕ(t) ≤ , puis que pour tout n ≥ 3, fn ( n) < 1 .
e
 n− 2 
3. Montrer que l’équation fn ( x) = 1 a exactement une solution αn sur  e 2n , n  . Combien l’équation


Exercice 9. 345 Equations
On pose P( X ) = 2 X + 7 X + 2 X − 3 .
3
x2
Dans toute la suite on prendra n ≥ 3.
3. Déterminer une équation de la tangente T à (C1) en son point d’abscisse 1.
x→0
e ln x
1
Partie C : Etude sur l’intervalle ]1 ; +∞ [ de l’équation fn ( x) = 1 .
x →+∞
2. Etudier les variations de f1, donner son tableau de variation.
B. On considère la fonction f2 définie sur ]0 ; +∞ [ par f2 ( x) =
∫
2. En déduire l’aire en unités d’aire du domaine plan limité par les courbes Cn et Cn+1 et les droites
d’équation x = 1 et x = e.
ln x
, et on appelle (C1) sa courbe
x2
représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal d’unité 2 cm sur (Ox), 10 cm sur (Oy).
x →0
Partie B : Calculs d’aires.
1. Calculer à l’aide d’une intégration par parties, l’intégrale I =
Exercice 9. 344 D’après Japon, 1997
A. On considère la fonction f1 définie sur ]0 ; +∞ [ par f1( x) =
3. Expliquer comment il est possible de construire la courbe de C4 à l’aide de C2 et C3. Tracer C4.
2
a. Calculer P(−1), en déduire une factorisation de P.
fn ( x) = 1 a-t-elle de solutions sur ]0 ; +∞ [ ?
b. Résoudre dans ℝ l’équation P(X) = 0.
Calculer fn
c. En déduire la résolution dans ℝ de :
( n)
et montrer que pour tout n ≥ e2 , fn
n < α n < n et donner la limite de la suite (αn).
2 x6 + 7 x 4 + 2 x 2 − 3 = 0
2ln 3 x + 7 ln 2 x + 2ln x − 3 = 0
ln(2 x + 3) + ln( x2 + 2 x + 2) = ln(8 x + 9)
235
236
( n ) >1.
En déduire que pour n ≥ 8 on a
Exercice 9. 347 Intégrales
1 − ln x
On appelle f la fonction définie sur ]0 ; +∞ [ par f ( x) =
.
x
1. Etudier les limites de f en 0 et en +∞ . Quelles sont les conséquences pour la courbe représentative de f ?
2. Etudier les variations de f.
3. Calculer
∫
e
f ( x)dx .
1
4. A l’aide d’une intégration par parties, calculer
5. En déduire le calcul de
∫
e
∫
e ln x
x2
1
dx puis
∫
e ln 2
1
x
x2
2. Montrer que l’on a pour tout x > 0 f ( x) = e
ln x
x
. En déduire que f est continue en 0.
3. Montrer que f est dérivable sur ]0 ; +∞ [ et que f ’(x) est du signe de 1 – lnx. En déduire les variations de f.
Etudier la limite de f en +∞ et dresser le tableau de variation de f.
4. Donner une équation de la tangente T à la courbe C de f en son point d’abscisse 1. Montrer que pour
ln x
tout réel strictement positif x on a
≤ ln x . En déduire la position de C par rapport à T (on sera amené à
x
ln x
remarquer que x = e ).
f ( x)
= 0 . Que peut-on en déduire pour f et C ?
x
6. Donner l’allure de C en faisant figurer tous les résultats précédents.
dx .
5. Montrer que lim
x →0
f 2 ( x)dx .
1
Exercice 9. 351 Ln et exp (2)
Exercice 9. 348 Ln et intégrale
A. Soit f la fonction définie sur ℝ par : f ( x) = ln(1 + e− x ) .
On appelle f la fonction définie sur ]0 ; +∞ [ par f ( x) = ( x + 1)ln x − 1 , et C sa courbe dans le plan muni d’un
repère orthonormal d’unité 2 cm.
On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O ; i , j ) (unités graphiques : 4 cm).
1. Etudier les limites de f en 0 et en +∞ . En déduire l’existence d’une asymptote à C.
2. a. Calculer la dérivée f ’ de f, puis la dérivée f ’’ de f ’, montrer que f ’’(x) =
x −1
x2
.
b. Etudier le signe de f ’’, calculer f ’(1) et en déduire que pour tout x, f ’(x) ≥ 2.
c. Préciser le sens de variation de f.
1. Déterminer la limite de f en −∞ et en +∞ . Etudier le sens de variation de f et dresser son tableau de
variation.
2. Montrer que C admet une asymptote D d’équation : y = –x. Préciser la position de D par rapport à C.
3. Déterminer une équation de la tangente T à C au point d’abscisse 0. Tracer D, T et C.
4. Soit x0 un nombre réel non nul. On note M et N les points de C d’abscisses respectives x0 et –x0 .
a. Vérifier que : f(x0) – f(–x0) = –x0.
3. Montrer que pour tout x ≥ 1, f(x) + 1 ≥ 2(x – 1).
b. Calculer le coefficient directeur de la droite (MN). Que peut-on en conclure ?
4. Montrer que l’équation f(x) = 0 a une unique solution a sur [1 ; 2]. Donner à la calculatrice un
encadrement de a à 10−2 près.
c. Montrer que f ’(x0) + f ’(–x0) = –1. En déduire que les tangentes à C en M et N se coupent sur l’axe des
ordonnées.
5. Tracer C.
d. Illustrer sur la courbe C les résultats précédents en prenant x0 = 1.
( x + 1)2
1
( x + 1)2
6. a. En remarquant que
= x + 2 + , donner une primitive de
.
x
x
x
B. On se propose dans cette partie d’étudier la suite de nombres réels (un ), définie par :
b. En déduire à l’aide d’une intégration par parties le calcul de
∫
e
f ( x)dx .
1
Exercice 9. 349 Bac S, Antilles, 1997
1
 x +1 
On appelle f la fonction définie sur ]0 ; +∞ [ par f ( x) = ln 
.
−
 x  x +1
1. Déterminer la dérivée de f, étudier ses variations.
2. Calculer les limites de f en 0 et en +∞ . Dresser le tableau de variation de f.
 x +1 
3. g est définie sur ]0 ; +∞ [ par g( x) = x ln 
 . Déterminer la dérivée de g et étudier son signe à l’aide
 x 
de la question précédente.
4. Vérifier que g = h k , avec h( x) =
ln( x + 1)
1
, k( x) = . En déduire les limites de g en 0 et en +∞ , et dresser
x
x
le tableau de variation de g.
u = 1+ 1
 1
e
.

 un+1 = un  1 + 1  pour tout entier n de ℕ∗


en+1 
1. a. Montrer par récurrence que, pour tout entier n de ℕ* : un >0.
b. Montrer que la suite (un) est strictement croissante.
c. Montrer par récurrence que, pour tout entier n de ℕ* : ln un = f(1) + f(2 ) + f(3) + … + f(n) (1)
2. a. Etudier les variations des fonctions g et f définies sur [0 ; +∞ [ respectivement par :
1
g(t) = ln(1 + t) − t et h(t) = ln(1 + t) − t + t2 .
2
1
b. En déduire que, pour tout réel t de [0 ; +∞ [, t − t2 ≤ ln(1 + t) ≤ t .
2
c. En déduire que pour tout réel x : e− x −
−2 x
e
2
≤ f ( x) ≤ e
−x
(2)
3. a. Soit a est un réel strictement supérieur à 1. Calculer, pour tout entier n de ℕ* ,
Exercice 9. 350 Un exo de sup
Sn =
1
On appelle f la fonction définie pour x > 0 par f ( x) = x x et f(0) = 0.
1
a
+
1
a2
+
1
a3
+ ... +
1
an
et montrer que la suite (Sn) admet une limite que l’on déterminera..
1. Calculer f(1) et f(2).
b. On pose, pour tout entier n de ℕ* :
237
238
An =
1
e
+
1
e2
+
1
e3
+ ... +
1
en
A l’aide des relations (1) et (2), montrer que : An –
et Bn =
1
2
1
e2
+
1
e4
+
1
e6
+ ... +
1
e2 n
.
Bn ≤ ln un ≤ An.
c. En déduire que la suite (ln un) est majorée.
4. a. Montrer que la suite (un) est convergente. On note l sa limite.
b. On admet que si (an) et (bn) convergent respectivement vers L et L’ et si, pour tout entier n de ℕ* , an ≤ bn
alors L ≤ L’. Montrer que :
2e + 1
2
2( e − 1)
≤
ln l ≤
1
e−1
. En déduire une valeur approchée de l à 0,1 prés .
239
n(n + 1)( n + 2)...( n + p)
.
p +1
Montrer par récurrence sur n (p est supposé fixé) que S(n, p) =
10 . SUITES EXERCICES
Exercice 10. 355 Nombres de Fermat
( 2n ) + 1 . Calculer F , F , F , F .
Exercice 10. 352 Questions de cours au sujet des suites
1. Pour tout entier naturel n, on note Fn = 2
Valider ou infirmer les propositions suivantes :
0
1
2
3
1. Si une suite u est croissante et majorée par 5 , alors elle converge vers 5.
2. Démontrer par récurrence que pour tout n 1, on a F0 × F1 × F2 ... × Fn = Fn+1 − 2 .
2. Si une suite u est monotone et bornée , alors elle est convergente.
3. Montrer que la suite
3. Si une suite u n’est pas convergente , alors elle n’est pas bornée.
1. Montrer par récurrence que pour tout n ≥ 0, on a 3n ≥ n2 (n − 1) .
5. Si deux suites sont adjacentes, alors elles sont bornées.
6. Une suite convergente est bornée.
2. On définit, pour n ≥ 1, la suite (un ) par un =
7. Une suite bornée est convergente.
8. Une suite qui tend vers +∞ ne peut pas être majorée.
alors (un) converge vers 3.
1 × 2 × 3 × ....... × n = n! (et on lit « factorielle » n).
Démontrez par récurrence que, pour tout entier naturel n ≥ 1 , on a : n! ≥ 2n−1 .
Exercice 10. 357 Les lettres de Gaston
2. Démontrez que, pour tout entier naturel n, l’entier 32n − 2n est un multiple de 7 ; n désigne un entier
supérieur à 1.
On définit la suite (un ) par u0 = 2000, un+1 =
3. Montrer par récurrence les propriétés suivantes :
2. On appelle S′n la somme Sn′ = 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ... + n(n + 1) .
a. Montrer par récurrence que pour tout n on a Sn ' =
k=1
k=1
2
4. La question a. est indépendante de ce qui précède
n(n + 1)( n + 2)
.
3
x0 + x1 ... + xn
. Montrer que ( yn ) est croissante et
n+1
que pour tout n on a yn ≤ xn . Que peut-on dire pour une suite ( xn ) décroissante (on ne justifiera pas ses
affirmations).
a. Si ( xn ) est une suite croissante, on définit ( yn ) par yn =
n
. Déduire des résultats précédents la valeur de
3
x + 200 , puis
4
3. Gaston L, garçon de bureau aux éditions Dupuis, se plaint à sa dulcinée : « Voyez-vous, m’oiselle Jeanne,
tous les jours je sais traiter le quart de mon courrier en retard, mais il m’arrive 200 lettres de plus chaque
matin .» « Monsieur Gaston, vous arriverez bien à trouver une solution, vous êtes si intelligent… » Oui,
mais quelle solution, sachant qu’hier soir il y avait 2000 lettres sur le bureau de notre héros ?
1. Rappeler la valeur de Sn = 1 + 2 + 3 + ... + n .
∑k+∑k
3
un + 200 .
4
de un en fonction de n et la limite de (un ) . Au bout de combien de temps a-t-on un < 810 ?
Exercice 10. 354 Raisonnement par récurrence 2
b. On admettra que Sn′ =
.
2. On pose pour tout n vn = un − 800 . Montrer que la suite ( vn ) est géométrique. En déduire l’expression
1
1
1
1
.
+
+ ... +
= 1−
1× 2 2 × 3
n(n + 1)
n+1
n
n
3n
les premiers termes de la suite (un ) .
b. Pour tout entier naturel n, 22n+1 + 32n+1 est un multiple de 5.
n
+ ... +
1. Dans un repère de votre choix, représenter les droites d’équation respectives y = x et y =
a. Pour tout entier naturel n, 2n ≥ n .
c. Pour tout entier n 1,
2
32
k
Exercice 10. 353 Raisonnement par récurrence 1
1. On note
+
3
b. Montrer par récurrence que pour tout entier k 1, k −   ≤ 0 . En déduire que, pour tout k 1,
2
k
1
≤
puis
un
majorant
de
u
.
Que
peut-on
en
conclure
pour
(un ) ?
n
3 k 2k
1
3. On définit pour n ≥ 1 la suite ( vn ) par vn = un + . En utilisant la question 1), montrer que ( vn ) est
n
décroissante. Quelle est la limite de ( vn − un ) ? Que peut-on en conclure pour ( vn ) ?
10. Si (un) et (vn) tendent vers +∞ alors un − vn tend vers 0.
1
1
31
a. Quel est le sens de variation de (un ) ?
9. Si un − vn tend vers 0 alors un et vn ont la même limite.
n2
est croissante et non majorée. Quelle est sa limite ?
Exercice 10. 356 Somme de termes
4. Si deux suites ont la même limite, alors elles sont adjacentes.
11. Si pour tout n ≥ 10, un − 3 ≤
( Fn )
∑k
2
en fonction
k=1
b. On appelle Mn la quantité de lettres qu’il y eu en moyenne sur le bureau de Gaston pendant les n
de n.
n
3. Montrer par récurrence que
∑ k(k + 1)(k + 2) =
k=1
n( n + 1)(n + 2)( n + 3)
4
4. On cherche à généraliser les résultats précédents : p désigne un entier supérieur à 1, et on définit la
somme :
S(n, p) = 1 × 2 × ... × p + 2 × 3 × ... × ( p + 1) + 3 × 4 × ...( p + 2) + ... + n(n + 1)....( n + p − 1) .
241
premiers jours (en comptant comme jour 0 le soir où il y avait 2000 lettres). Exprimer Mn en fonction de
n. Quel est le sens de variation de ( Mn ) . La suite
( Mn )
est-elle convergente ?
Exercice 10. 358 De Mesmaeker
Monsieur De Mesmaeker, grand patron bruxellois, propose à ses nouveaux employés les deux contrats
suivants : dans tous les cas un salaire initial de 1500 € pour le premier mois, augmenté de 5 € chaque mois
(contrat 1), ou augmenté de 0,3% tous les mois (contrat 2).
242
1. Soient un et vn les salaires respectifs pour chaque contrat le nième mois.
c. Déterminer la limite de vn puis celle de un .
Exprimer un et vn en fonction de n.
Exercice 10. 362 Récurrence 5
2. Quel salaire gagnerait-on pour chaque contrat après un an passé dans l’entreprise ?
3. Comparer la totalité des sommes gagnée par quelqu’un qui resterait pendant 40 ans dans l’entreprise.
Exercice 10. 359 Définition de la limite d’une suite
1. Soit une suite de terme général un . Que signifie : la suite (un) a pour limite +∞ ?
2. Soit la suite (un) définie par un =
n2 + 2
pour n ≥ 1.
n
On considère la suite ( un )n∈ℕ définie par u0 = e et, pour tout entier naturel n, un+1 = un
On pose, pour tout entier naturel n, vn = ln un .
1
vn , en déduire que vn est le terme général d'une suite
2
géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.
1. a. Montrer que, pour tout entier naturel n, vn+1 =
b. Donner l'expression de vn en fonction de n. En déduire celle de un en fonction de n.
a. Montrez qu’à partir d’un certain rang n0 , à déterminer, tous les termes de la suite appartiennent à
l’intervalle ]10 ; +∞ [.
b. Soit A un réel aussi grand que l’on veut (on peut supposer A ≥ 10 ) ; montrez qu’à partir d’un certain
rang n0 , à déterminer en fonction de A, tous les termes de la suite appartiennent à l’intervalle ]A ; +∞ [.
2. Pour tout entier naturel n on pose Sn = v0 + v1 + … + vn et Pn = u0 × u1 ×…× un .
a. Montrer que Pn = eSn .
b. Exprimer Sn en fonction de n.
c. En déduire à l’aide du 1. la limite de la suite (un).
c. En déduire l'expression de Pn en fonction de n.
d. Donnez une méthode pratique permettant d’obtenir cette limite sans avoir recours à la définition.
3. Déterminer la limite de la suite ( Sn
Exercice 10. 360 Récurrence 3
 u1 = 1
On considère la suite (un ), n∈ ℕ* définie par 
.
2
 (un+1 ) = 4un
)
; en déduire celle de la suite ( Pn ) .
Exercice 10. 363 Récurrence 6
On considère la suite (un) définie par : u0 = 0 et un+1 =
1
un + 1 pour tout n entier naturel.
2
1. Calculer u2 , u3 , u4 , u5 . Donner les résultats sous la forme 2α .
1. Calculer u1, u2, u3, u4, u5 . Placer les points correspondants sur une droite graduée.
2. On considère la suite ( vn ) définie par vn = ln( un ) − ln 4 . Montrer que ( vn ) est une suite géométrique
dont on donnera la raison et le premier terme.
2. Démontrer que la suite (un) est bornée.
3. Exprimer vn en fonction de n. En déduire un et calculer lim un .
3. Démontrer que la suite (un) est croissante.
4. Que peut-on conjecturer pour la limite de la suite ?
n→∞
Exercice 10. 364 Récurrence 7
4. Pour quelles valeurs de n a-t-on un > 3,96 ?
Exercice 10. 361 Récurrence 4 : Pondichéry, avril 2003
 u0 = a
On considère la suite un définie par 
où a est un réel donné avec 0 < a < 1.
 un+1 = un (2 − un )
1. On suppose que a =
1
;
8
On considère la suite (un) définie par : u0 = 2 et un+1 = 2un + 3
pour tout n entier naturel.
1. Donner les valeurs approchées à 10−3 près de u1, u2, …, u10.
2. Démontrer que, pour tout n de ℕ , 0 ≤ un ≤ 3 .
3. Démontrer que la suite (un) est convergente.
4. Déterminer lim un .
n→+∞
a. Calculer u1 et u2 .
b. Tracer dans un repère orthonormal la courbe représentative P de la fonction f : f ( x) = x(2 − x) ainsi que la
droite d (y = x).
c. Utiliser d et P pour construire sur l’axe des abscisses les points A1 , A2 , A3 d’abscisses respectives
u1 , u2 , u3 .
2. On suppose dans cette question que a est quelconque (0 < a < 1).
Exercice 10. 365 Récurrence 8 : Haddock
Le Capitaine Haddock a décidé de rationaliser sa consommation de Whisky. Il a un stock de 200 bouteilles,
et chaque mois il consomme le quart de son stock, et rachète 10 bouteilles. On appelle un le nombre de
bouteilles en stock au bout de n mois (ainsi u0 = 200)
1. Montrer que, pour tout n 0, un+1 =
3
un + 10 . Calculer u1 et u2.
4
a. Montrer par récurrence que 0 < un < 1 .
2. On pose pour tout entier n : vn = un − 40 . Quelle est la nature de la suite (vn) ?
b. Montrer que un est croissante.
3. Quelle sera, à terme, la consommation mensuelle du Capitaine ? Au bout de combien de mois sera-t-elle
inférieure à 12 bouteilles ?
c. Que peut-on en déduire ?
3. On suppose de nouveau a =
1
et on considére la suite vn = 1 − un .
8
Exercice 10. 366 Récurrence 9, Antilles–Guyane, sept 2003
Partie A - Étude préliminaire d’une fonction f définie sur ℝ par ϕ (x) = (2−x)ex −1
a. Exprimer vn+1 en fonction de vn
1. Déterminer les limites de la fonction ϕ en −∞ et +∞ .
b. En déduire l’expression de vn en fonction de n.
2. Montrer que la fonction ϕ est continue et dérivable sur ℝ et étudier le signe de sa dérivée.
243
244
En déduire les variations de la fonction ϕ et préciser les valeurs de ϕ(−2) , ϕ(0) , ϕ(1) et ϕ(2) .
3. Prouver que la fonction ϕ s’annule uniquement en deux valeurs que l’on nommera α et β . On prendra
α < β . Étudier alors le signe de la fonction ϕ sur l’ensemble des réels et récapituler cette étude dans un
tableau.
4. À l’aide de la calculatrice, fournir un encadrement d’amplitude 10−2 des valeurs α et β .
5. Montrer que eα =
1
.
2 −α
ex − 1
et calcul intégral
ex − x
1. Montrer que ex −x ne s’annule pas sur ℝ . En déduire que f est définie sur ℝ .
2. Déterminer les limites de la fonction f en −∞ et +∞ .
3. Calculer la dérivée f ’ de la fonction f puis, à l’aide des résultats de la partie A, construire le tableau des
variations de f .
1
α −1
Exercice 10. 367 Géométrique 1
La population mondiale est de l'ordre de 5 milliards d'individus.
1. Si on admet un accroissement moyen de la population mondiale de 1,6 % par an, quelle sera la
population mondiale dans vingt ans ?
2. Dans combien d'années la population mondiale aura-t-elle doublé (en prenant le même taux annuel
d'accroissement) ?
Partie B - Étude d’une fonction f définie par f ( x) =
4. Montrer que f (α ) =
4. Donner, à l’aide de la calculatrice, un encadrement d’amplitude 10−4 de u10 et v10.
, le nombre α étant la plus petite des deux valeurs pour lesquelles la fonction
ϕ de la partie A s’annule.
5. Déterminer une primitive de la fonction f sur ℝ . Donner une valeur exacte puis une valeur décimale
approchée à 0,01 près de l’intégrale :
∫
3. P0 désigne la population d'un continent en 1939, Pn la population du même continent n années plus
tard ; i désigne le taux d'accroissement annuel moyen de la population au cours de cette période. Montrer
que Pn = P0 (1 + i)n.
Application numérique : en Europe la population était de 380 millions en 1939 et de 500 millions en 1989.
Dans le même temps la population est passée en Amérique du Sud de 110 millions à 435 millions
d'habitants. Calculer le taux d'accroissement annuel moyen sur cette période dans les deux cas.
Exercice 10. 368 Géométrique 2 : des sous
1. On place un capital C à intérêts composés (les intérêst versés au bout d’un an sont intégrés au capital)
pendant une durée de 2 ans. On souhaite récupérer son capital augmenté de 10 % au bout de ces deux ans.
Quel doit être le taux d’intérêt annuel auquel est placé le capital ?
2. Même question mais la durée de placement est de 4 ans et on veut un capital augmenté de 20 %.
1
f ( x)dx .
3. Proposez une formule générale de calcul.
0
Partie C - Étude de deux suites
Exercice 10. 369 Intégrale 1
 1 
1. Préciser l’ensemble de définition Dg de la fonction g définie sur cet ensemble par g( x) = ln 
 où ln
 2− x 
désigne la fonction logarithme népérien. Prouver que la fonction g est croissante sur son ensemble de
définition et que l’image par g de l’intervalle I = [−2 ; 0] est incluse dans cet intervalle.
L'objectif est d'étudier la suite (un) définie pour tout entier n ≥ 0 par :
 u0 = −2
2. a. Soit la suite (un) définie pour tout entier naturel n par : 
.
 un+1 = g(un )
1. a. Soit f la fonction numérique définie sur [0 ; 1] par :
Montrer que u1 appartient à l’intervalle I = [−2 ; 0]. Prouver par récurrence, à l’aide des variations de la
fonction g, que la suite (un) a tous ses termes dans l’intervalle I et est croissante.
 v0 = 0
.
b. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par : 
 vn+1 = g( vn )
Calculer le terme v1 et montrer que −2 ≤ u1 ≤ v1 ≤ v0 ≤ 0 .
u0 =
1
1
0
1+ x
∫
1
0
xn
1 + x2
dx .
Calculer la dérivée f ' de f. En déduire u0 .
b. Calculer u1.
2. a. Prouver que la suite (un) est décroissante (on ne cherchera pas à calculer un).
En déduire que la suite (un) est convergente.
1 ≤ 1 + x2 ≤ 2 .
En déduire que, pour tout entier n ≥ 1 , on a :
(1)
3. a. Soit m la fonction définie sur [0 ; +∞ [ par : m(x) = x −ln(1+x).
Montrer que m est croissante et calculer m(0). En déduire que, pour tout x positif, on a ln(1+x) ≤ x.
v −u

v −u 
= ln  1 + n n  . En déduire que vn+1 − un+1 ≤ n n .
2 − vn
2 − vn 

Sachant que, pour tout entier n, les termes de la suite (vn) appartiennent à l’intervalle [−2 ; 0], donner un
1
1
encadrement de
et établir que : vn+1 − un+1 ≤ ( vn − un ) .
2 − vn
2
1
2
( v0 − u0 ) .
n
Que peut-on en déduire pour la suite de terme général vn −un et pour les suites (un) et (vn) ?
245
∫
f ( x) = ln( x + 1 + x2 ).
Préciser le sens de variation de la suite (vn).
Prouver alors que, pour tout entier naturel n, vn+1 − un+1 ≤
dx et, pour n ≥ 1, un =
b. Montrer que, pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle [0 ; 1], on a :
Établir par récurrence, à l’aide de la croissance de la fonction g sur l’intervalle [−2 ; 0], que pour tout entier
naturel n strictement positif, on a : −2 ≤ un ≤ vn ≤ vn−1 ≤ 0 .
b. Vérifier que, pour tout entier n, vn+1 − un+1
2
1
( n + 1) 2
≤ un ≤
1
.
n+1
Déterminer la limite de (un).
3. Pour tout entier n ≥ 3 , on pose : In =
∫
1
x n− 2 1 + x2 dx .
0
a. Vérifier que, pour tout entier n ≥ 3 , on a : un + un−2 = In.
Par une intégration par parties portant sur In, montrer que, pour tout entier n ≥ 3 , on a :
nun + (n − 1)un−2 = 2 .
b. En déduire que, pour tout entier n ≥ 3 , on a :
(2) (2n − 1)un ≤ 2 .
246
1
définie par : vn = un + .
n
1. Démontrer que les suites (un) et (vn) sont adjacentes.
c. À l'aide des inégalités (1) et (2), montrer que la suite (nun) est convergente et calculer sa limite.
et la suite ( vn
Exercice 10. 370 Intégrale 2
Première partie
1
pour 1 ≤ x ≤ 2 . On voudrait trouver une
x
valeur approchée de l’aire comprise entre (C), l’axe (Ox) et les droites d’équations x = 1 et x = 2. On
découpe l’intervalle [1 ; 2] en n intervalles de même amplitude.
On considère la courbe (C) de la fonction inverse : x ֏ f ( x) =
)n≥1
2. Soit l leur limite. Donner un entier n0 pour lequel l’encadrement de l par un0 et vn0 est un encadrement
d’amplitude inférieure ou égale à 10–3.
3. En utilisant une calculatrice, donner une valeur approchée de un0 et vn0 .
Est-il possible que l soit égal à
1. Donner les valeurs x0, x1, …, xn des bornes des intervalles.
2. Déterminer les images de ces valeurs par f.
π2
6
?
3. En considérant les aires des n rectangles dont l’un des sommets est sur la courbe (C), déduire, en
fonction de n, un encadrement de l’aire cherchée.
Exercice 10. 374 Suites adjacentes 3
Deuxième partie
 u0 = 0
 v0 = 2


3un + 1 , et 
3vn + 1 pour tout entier naturel n.

 un+1 = 4
 vn+1 = 4
Dans un repère orthonormé (O ; i , j ) , tracer les droites (D) et ( ∆ ) d’équations respectives
1
1
1
On considère la suite (un) définie par : un =
+
+… +
=
n+1 n+ 2
2n
(vn) définie par : vn =
1
1
1
+
+… +
=
n n+1
2 n −1
i = n−1
i=n
∑
1
, pour tout n de ℕ *, et
n+ i
i =1
la suite
∑ n + i , pour tout n de ℕ .
1
*
On considère les suites (un) et (vn) définies par :
3x + 1
et y = x.
4
1. En utilisant ces deux droites, placer sur l’axe des abscisses les réels u1, u2, u3 puis v1, v2 et v3.
y=
i =0
–2
1. Déterminer u1, u2, u3, u4, v1, v2, v3, v4 et en donner des valeurs approchées à 10 près.
2. Représenter les points correspondants sur une droite.
3. Démontrer que la suite (un) est croissante et la suite (vn) est décroissante.
4. Calculer vn – un et démontrer que lim vn − un = 0 .
n→+∞
2. Calculer u1, u2, u3 puis v1, v2 et v3.
3. Démontrer que les suites (un) et (vn) sont convergentes et donner leur limite.
Exercice 10. 375 Suites adjacentes 5 : Bac C, N. Calédonie, 1986
5. Quelle conjecture peut-on faire pour les suites (un) et (vn) ?
6. En utilisant une calculatrice, donner une valeur approchée à 10−3 près de u50 et v50 puis de u150 et v150 .
Exercice 10. 371 Récurrence double
 u0 = 0 ; u1 = 1
On considère la suite (un) définie par : 
.
 un+1 = 7 un + 8un−1
un + 2vn
u + 3 vn
, vn+1 = n
3
4
1. Pour tout entier n 1, on pose wn = un – vn. Montrer que (wn) est une suite géométrique à termes
positifs, déterminer sa limite et exprimer wn en fonction de n.
On définit deux suites (un) et (vn) par : u1 = 12, v1 = 1, un+1 =
2. Démontrer que la suite (un) est décroissante et que la suite (vn) est croissante.
3. Pour tout entier n 1, démontrer que un ≥ vn . En déduire que u1 ≥ un ≥ vn ≥ v1 .
1. Montrer que la suite sn définie par sn = un+1 + un est une suite géométrique dont on précisera la raison. En
déduire sn en fonction de n.
4. Pour tout entier n 1, on pose tn = 3un + 8vn. Démontrer que (tn) est une suite constante.
2. On pose vn = (−1)nun et on considère la suite tn définie par tn = vn+1 − vn. Exprimer tn en fonction de sn.
5. En déduire les expressions de un et vn en fonction de n, puis les limites de (un) et (vn).
3. Exprimer vn puis un en fonction de n (on pourra calculer de deux manières la somme t0 + t1 + ... + tn ).
Exercice 10. 376 Suites adjacentes 6 : étude d’un nombre
4. Déterminer lim
un
n→+∞ 8 n
Définition et étude d’un nombre à l’aide de deux suites adjacentes
.
A. Préambule : quelques propriétés de la factorielle
n est un entier naturel non nul. On note n! (et on lit « factorielle n ») le produit n( n − 1) × ... × 2 × 1 . On
Exercice 10. 372 Suites adjacentes 1
On considère les suites (un) et (vn) définies par : un = 1 − 10 − n et vn = 1 + 10 − n pour tout n de ℕ .
1. Donner les valeurs de u0, v0, u1, v1, u2, v2, u3, v3, u4, v4.
convient de plus que 0! = 1 .
1. Calculer 2!, 3!, 4!, 5!
2. Simplifier
2. Démontrer que les suites (un) et (vn) sont adjacentes.
3. Quelle est leur limite ?
n!
( n + 1)!
puis
.
n
n!
2
1
1− n
− =
.
( n + 1)! n! (n + 1)!
4. Que peut-on dire du nombre dont l’écriture décimale est 0,9999… ?
3. Vérifier que
Exercice 10. 373 Suites adjacentes 2
1 1
1 

4. Justifier que le nombre n!  1 + + + ... +  est un entier.
1! 2!
n! 

On considère la suite ( un )n≥1 définie par : un =
p=n
∑p
p =1
1
2
=
247
1
12
+
1
22
+… +
1
n2
,
248
5. h est la fonction définie sur ℝ par h( x) = 1 +
tout x ∈ ℝ , h '( x) = 1 +
x x2
x n−1
xn
+
+ ... +
+
. Calculer h '( x) et vérifier que pour
1! 2!
( n − 1)! n!
n−1
2
x x
x
+
+ ... +
.
1! 2!
(n − 1)!
Le plan P est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; i , j ) . (Unités graphiques : 2 cm).
Partie A
x
2
−
On considère la fonction f définie sur ℝ par f ( x) = ( 3 + x ) e
B. Etude du nombre e
On considère les deux suites ( un )n≥1 et ( vn
1. Etude des suites ( un )n≥1 et
)n≥1
1 1
1
1
définies par : un = 1 + + + ... +
et vn = un + .
1! 2!
n!
n!
( vn )n≥1
a. Calculer u1 , v1 , u2 , v2 , u3 , v3 .
( vn )n≥1
est décroissante. Est-elle strictement décroissante ? L’est-elle à partir d’un
certain rang ?
d. Montrer que les suites ( un )n≥1 et ( vn
)n≥1
sont adjacentes.
e. On note l leur limite commune. Déterminer un encadrement de l d’amplitude 10 −3 .
p
2. On suppose que l est rationnel, c’est à dire qu’il existe deux entiers naturels p et n vérifiant l = .
n
a. Est-il possible que n = 1 ?
b. Justifier l’encadrement : un <
p
1
< un + .
n
n!
.
1. Déterminer les limites de f en −∞ , puis en +∞ .
2. Étudier les variations de f sur ℝ et dresser son tableau de variations.
3. Construire la courbe ( Γ ) représentative de f dans (O ; i , j ) .
4. À l’aide d’une intégration par parties, calculer I =
b. Montrer que la suite ( un )n≥1 est strictement croissante.
c. Montrer que la suite
10 points
∫
−
0
−3
xe
x
2 dx
et en déduire l’aire, en unités d’aire, du
domaine défini par les couples (x, y) tels que 0 ≤ y ≤ f (x) et x ≤ 0.
5. a. Démontrer que l’équation f (x) = 3 admet deux solutions dans ℝ . Soit α la solution non nulle,
3
montrer que : −2 < α < − .
2
b. Plus généralement, déterminer graphiquement suivant les valeurs du nombre réel m, le nombre de
solutions de l’équation f (x) =m.
Partie B
x
On considère la fonction ϕ définie sur ℝ par ϕ( x) = 3 e 2 − 3 .
1. Démontrer que f(x) = 3 si et seulement si ϕ (x) = x.
2. Soit ϕ ' et ϕ '' les dérivées première et seconde de la fonction ϕ .
c. En déduire que 0 < p (n − 1)! − n! un < 1 .
d. Justifier que le nombre N = p (n − 1)! − n! un est un entier. Qu’en conclut-on ?
a. Calculer, pour tout réel x, ϕ ' ( x ) et ϕ '' ( x ) . Justifier que ϕ ( α ) =
3. Où l’on retrouve l’exponentielle.
b. Étudier le sens de variation de ϕ ' ( x ) , puis celui de ϕ ( x ) .
a. Quel autre nombre déjà rencontré vérifie l’inégalité établie à la question B. 1. e. ?
b. Pour n entier fixé ( n ∈ ℕ* ), on définit la fonction f sur l’intervalle [0 ; 1] par :

x x
x  −x
f ( x) =  1 + +
+ ... +
e .
n! 
1! 2!

2
Montrer que pour tout x ∈[0 ; 1] , f '( x) = −
n
.
c. On se place désormais dans l’intervalle I= [−2 ; α ].
a. ϕ( x) appartient à I.
1
3
≤ ϕ '( x ) ≤ .
2
4
c. En déduire, à l’aide d’une intégration, que pour tout x de l’intervalle I, on a :
c. Etablir le tableau de variation de f sur [0 ; 1].
d. Calculer f(0). Montrer que f (1) =
2
3. Montrer que, pour tout x appartenant I :
b.
xn − x
e .
n!
α +3
un
. En déduire que pour tout n ∈ ℕ* : un < e .
e
4. Pour n entier fixé ( n ≥ 2 ), on définit la fonction g sur l’intervalle [0 ; 1] par :

x x2
x n−1
xn
g( x) =  1 + +
+ ... +
+2
n
−
n!
1!
2!
(
1)!

a. Montrer que pour tout x ∈[0 ; 1] , g '( x) = (n − 2 x)
 −x
 e .

n−1
x
e− x .
n!
b. Etablir le tableau de variation de g sur [0 ; 1].
0≤
1
3
( α − x ) ≤ ϕ ( α ) −ϕ ( x ) ≤ ( α − x ) .
2
4
 u0 = −2
4. On considère la suite (un) définie sur ℕ par : 
.
 un+1 = ϕ ( un )
a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier n, un appartient à l’intervalle I.
b. Justifier que, pour tout entier n, 0 ≤ α − un+1 ≤
3
( α − un
4
)
n
3
puis que 0 ≤ α − un ≤   .
4
c. En déduire que la suite (un) est convergente et donner sa limite.
p
vn
. En déduire que pour tout n ≥ 2 : un < e < vn .
e
Conclure : quelle est le nombre l défini en B. 1. e. ?
3
d. Déterminer le plus petit entier p tel que :   ≤ 10 −2 . Donner une approximation décimale à 10−2 près
4
Exercice 10. 377 Expo+sol équation, N. Calédonie, sept 2002
Exercice 10. 378 Encadrement d’intégrale, Polynésie juin 2004
c. Calculer g(0). Montrer que g(1) =
249
de up , à l’aide d’une calculatrice, puis une valeur approchée de α à 2 × 10 −2 près.
250
On appelle g la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 1] par g (x)= xex−1.
5 points
On considère la suite (In), n ∈ ℕ , définie par : In =
∫
1
0
1. Prouver que g vérifie les conditions (1) et (2).
− t2
e
dt .
1+ n + t
b. Montrer que (In), est une suite positive.
)
II. Un calcul d’indice
2
1
e− t
1
≤
et en déduire que 0 ≤ In ≤
. Que peut-on en
c. Montrer que pour tout t ∈ [0 ; 1] on a
1+ n + t 1+ n
n+1
conclure quant à la convergence de (In) ?
2. On considère f et g deux fonctions définies sur [0 ; 1] par : f ( x) = e− x
x2
+ x − 1 et g( x) = 1 − x +
− e− x .
2
a. Étudier le sens de variation et le signe de f.
Pour une fonction f vérifiant les conditions (1), (2) (3), on définit un indice If égal à l’aire exprimée en unité
d’aire, du domaine plan M délimité par les droites d’équations y = x, x = 1 et la courbe représentative de f .
1. Justifier que I f =
∫
1
0
[ x − f ( x) ] dx .
2. À l’aide d’une intégration par parties, calculer l’indice Ig, associé à g.
2xn
où n est un entier naturel
1+ x
supérieur en égal à 2. On admet que ces fonctions vérifient les conditions (1), (2), (3) et on se propose
d’étudier l’évolution de leur indice In lorsque n tend vers l’infini.
3. On s’intéresse aux fonctions fn, définies sur l’intervalle [0 ; 1] par fn ( x) =
b. En déduire le sens de variation de g sur [0 ; 1].
c. Établir, pour tout x appartenant à [0 ; 1], l’encadrement : 1 − x ≤ e− x ≤ 1 − x +
x2
.
2
2
a. On pose In =
d. En déduire un encadrement de e− t pour tout t appartenant à [0 ; 1].
e. Établir l’encadrement :
(
x x
e − e et en déduire que g vérifie la condition (3).
e
3. Tracer les droites d’équations y = x et x = 1 et la courbe représentative de g dans le repère R.
2. Montrer que g( x) − x =
1. a. Déterminer le sens de variation de cette suite.
2
23
≤ In ≤
.
3( n+ 2 )
30 ( n + 1 )
b. Comparer
f. Donner une valeur de p telle que Ip ≤ 10−2.
∫
1
0
[ x − fn ( x) ] dx
et un =
∫
1
0
fn ( x)dx . Prouver que In =
tn+1
tn
et
sur l’intervalle [0 ; 1] ; en déduire que la suite (un) est décroissante.
1+ t
1+ t
c. Prouver que pour tout réel t appartenant à l’intervalle [0 ; 1], 0 ≤
Exercice 10. 379 Puissances et factorielles, Liban juin 2004
4 points
1. Soit x un nombre réel positif ou nul et k un entier strictement supérieur à x.
a. Montrer par récurrence sur n que, pour tout entier n supérieur ou égal à k,
kn kk
≤
.
n! k !
n
1
− un .
2
tn+1
≤ tn .
1+ t
2
.
n+1
e. Déterminer alors la limite de In quand n tend vers l’infini.
d. En déduire que pour tout entier naturel n ≥ 2, 0 ≤ un ≤
Exercice 10. 381 Accroissements finis, Asie juin 2004
x n  x  kk
b. En déduire que, pour tout entier n supérieur ou égal à k,
≤  ×
.
n!  k 
k!
8 points
xn
=0.
c. Montrer que lim
n→+∞ n!
 1

On appelle f la fonction définie sur l’intervalle I =  − ; + ∞  par f (x) = ln(1+2x).
 2

2. a. Montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2,
nn−1
nn−1
≥ 1 (on pourra écrire
comme un
n!
n!
produit de n−1 facteurs supérieurs ou égaux à 1).
b. En déduire que lim
n→+∞
nn
= +∞ .
n!
I. Étude d’une fonction f
1. Justifier que f est strictement croissante sur l’intervalle I.
2. Déterminer la limite de f (x) quand x tend vers −
1
.
2
3. On considère la fonction g définie sur l’intervalle I par g(x)= f(x)−x.
a. Étudier les variations de g sur l’intervalle I.
Exercice 10. 380 Indice de Gini, Centres étrangers juin 2004
9 points
On s’intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d’une entreprise. Les
fonctions f associées définies sur l’intervalle [0 ; 1] doivent vérifier les conditions suivantes :
b. Justifier que l’équation g(x) = 0 admet deux solutions : 0 et une autre, notée β , appartenant à
l’intervalle [1 ; 2].
c. En déduire le signe de g(x) pour x appartenant à l’intervalle I.
4. Justifier que pour tout réel x appartenant à l’intervalle ]0 ; β [, f(x) appartient aussi à ]0 ; β [.
(1) f(0) = 0 et f(1) = 1 ;
II. Étude d’une suite récurrente
(2) f est croissante sur l’intervalle [0 ; 1] ;
(3) Pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0 ; 1], f(x) ≤ x.
Le plan est rapporté au repère orthonormal R= (O ; i , j ) , unité graphique 10 cm.
I. Étude d’un modèle
On appelle (un), n ≥ 0 la suite définie par un+1 = f(un) et u0 = 1.
1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, un appartient à ]0 ; β [.
2. Démontrer par récurrence que la suite (un) est croissante.
3. Justifier que la suite (un) est convergente.
251
252
a. Montrer, pour tout entier naturel n et pour tout x élément de l’intervalle [0 ; 1], l’encadrement :
1
xn
0 ≤ f n ( x) ≤
. En déduire que 0 ≤ In ≤
0, puis déterminer la limite de la suite (In).
n!
( n + 1 )!
III. Recherche de la limite de la suite (un)
1. Montrer que pour tout réel x ≥ 1, f ( x) ≤
2
.
3
b. Montrer, pour tout entier naturel k non nul, l’égalité : Ik − Ik−1 = −
2. Recherche de la limite de la suite (un) :
a. Démontrer que pour tout entier naturel n, n ≥ 0,
∫
β
u0
f '(t)dt ≤
b. En déduire que pour tout entier naturel n, β − un+1 ≤
2
( β − un ) .
3
n
c. Calculer I0 et déduire de ce qui précède que : In = 1 −
2
( β − un ) , puis à l’aide d’un raisonnement par
3
n
2
récurrence que 0 ≤ β − un ≤   .
3
1 −1
e .
k!
e−1
∑ k! .
k= 0
n
d. En déduire finalement : lim
n→+∞
∑ k! = e .
1
k= 0
Exercice 10. 383 Intégrale et suite, N. Calédonie, mars 2004
c. Quelle est la limite de la suite (un) ?
Partie A : Étude d’une fonction
On considère la fonction f définie sur ℝ par f ( x) = 1 + e− x − 2e−2 x etC sa courbe représentative dans un plan
rapporté à un repère orthogonal (O ; i , j ) , (unités graphiques : 3 cm sur l’axe des abscisses et 8 cm sur l’axe
des ordonnées).
Exercice 10. 382 Intégrale et suite, Amérique du Nord, mai 2004
8 points
Partie I
On donne un entier naturel n strictement positif, et on considère l’équation différentielle :
1. a. Soit Ie polynôme P défini sur ℝ par P(X) = 1+X −2X2. Étudier Ie signe de P(X).
xn − x
e .
(En) y '+ y =
n!
b. En déduire Ie signe de f (x) sur ℝ .
c. Que peut-on en déduire pour la courbe C ?
1. On fait l’hypothèse que deux fonctions g et h, définies et dérivables sur ℝ , vérifient, pour tout x réel :
a. Montrer que g est solution de (En) si et seulement si, pour tout x réel, h '( x) =
2. Déterminer la limite de la fonction f en +∞ . Qu’en déduire pour la courbe C ?
(
g (x)= h(x)e−x .
)
3. Vérifier que f ( x) = e−2 x e2 x + ex − 2 , puis déterminer la limite de f en −∞ .
xn
.
n!
4. a. Soit f ’ la fonction dérivee de la fonction f, calculer f ’(x).
b. En déduire la fonction h associée à une solution g de (En), sachant que h(0) = 0. Quelle est alors la
fonction g ?
2. Soit ϕ une fonction dérivable sur ℝ .
a. Montrer que ϕ est solution de (En) si et seulement si ϕ − g est solution de l’équation : (F) y’ + y = 0.
b. Résoudre (F).
b. Montrer que f ’(x) a Ie même signe que (4−ex ), puis étudier Ie signe de f ’(x).
c. Dresser Ie tableau de variations de f. On montrera que Ie maximum est un nombre rationnel.
5. a. Démontrer que la courbe C et la droite D d’équation y = 1 n’ont qu’un point d’intersection A dont on
déterminera les coordonnées.
b. Étudier la position de la courbe C par rapport a la droite D.
6. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C au point A.
c. Déterminer la solution générale ϕ de l’équation (En).
7. Tracer les droites D et T , puis la courbe C.
d. Déterminer la solution f de l’équation (En) vérifiant f (0) = 0.
Partie II
Partie B : Étude d’une suite
n
Le but de cette partie est démontrer que lim
n→+∞
∑
k= 0
1
= e (on rappelle que par convention 0! = 1).
k!
1. Calculer l’aire, en unités d’aire, de la partie de plan limitée par la courbe C, l’axe des ordonnées et la
droite D.
1. On pose, pour tout x réel, f0 ( x) = e− x , f1 ( x) = xe− x .
2. On considère la suite (un) définie sur ℕ * par : un =
a. Vérifier que f1 est solution de l’équation différentielle : y’ + y = f0.
b. Pour tout entier strictement positif n, on définit la fonction fn comme la solution de l’équation
différentielle y’ + y = fn−1 vérifiant fn(0) = 0.
En utilisant la Partie I, montrer par récurrence que, pour tout x réel et tout entier n ≥ 1 : fn ( x) =
2. Pour tout entier naturel n, on pose In =
∫
1
0
fn ( x)dx (on ne cherchera pas à calculer In).
xn − x
e .
n!
∫
n+ ln 2
n−1+ ln 2
[ f ( x) − 1 ] dx .
a. Démontrer que la suite (un) est à termes positifs.
b. Donner une interprétation géométrique de (un).
3. a. En utilisant Ie sens de variation de f , montrer que, pour tout n ≥ 2 :
si x ∈ [(n −1)+ln2 ; n +ln 2] alors f(n +ln 2)−1 ≤ f(x)−1 ≤ f[(n −1)+ln2]−1.
b. En déduire que, pour tout n, n ≥ 2, on a : f(n +ln 2)−1 ≤ un ≤ f[(n −1)+ln2]−1.
c. Démontrer que la suite (un) est décroissante à partir du rang 2.
d. Montrer que la suite (un) est convergente.
4. Soit la suite (Sn) définie pour n > 0, par Sn = u1 +u2 + u3 +. . .+ un.
a. Écrire Sn à l’aide d’une intégrale.
253
254
b. Interpréter géométriquement Sn.
c. Calculer Sn et déterminer la limite de la suite (Sn).
Annexe
1,1
Exercice 10. 384 Intégrale et suite, Amérique du Sud, nov 2003
1
On considère la fonction f définie sur ℝ par : f ( x) = x − x et on désigne par Γ sa courbe représentative
e +e
dans un repère orthogonal (O ; i , j ) .
y
1
0,9
Partie A
1. Étudier la parité de f . Que peut-on en déduire pour la courbe Γ ?
0,8
2. Démontrer que, pour tout réel x positif ou nul, e− x ≤ e x .
3. a. Déterminer la limite de f en +∞ .
0,7
b. Étudier les variations de f sur [0 ; +∞ [.
4. On considère les fonctions g et h définies sur [0 ; +∞ [ par g( x) =
1
ex
et h( x) =
1
2 ex
0,6
.
0,5
Sur l’annexe sont tracées les courbes représentatives de g et h, notées respectivement C1 et C2.
a. Démontrer que, pour tout réel x positif ou nul, h(x) ≤ f(x) ≤ g(x).
b. Que peut-on en déduire pour les courbes Γ , C1, et C2 ? Tracer Γ sur l’annexe, en précisant sa tangente
au point d’abscisse 0.
Partie B
n+1
∫
Soit (In) la suite définie sur ℕ par : In =
0,4
0,3
0,2
f ( x)dx .
n
1. Justifier l’existence de (In), et donner une interprétation géométrique de (In).
0,1
2. a. Démontrer, que pour tout entier naturel n, f(n +1) ≤ In ≤ f (n).
x
b. En déduire que la suite (In) est décroissante.
0
0
c. Démontrer que la suite (In) est convergente et determiner sa limite.
1
2
3
Partie C
Soit (Jn) la suite définie sur ℕ par : Jn =
n
∫
f ( x)dx .
0
1. En utilisant l’encadrement obtenu dans la question A. 4. a., démontrer que, pour tout entier naturel n :
(
)
1
1 − e− n ≤ Jn ≤ 1 − e− n ≤ 1 ..
2
2. Démontrer que la suite (Jn) est croissante. En déduire qu’elle converge.
3. On note L la limite de la suite (Jn) et on admet le théorème suivant : « Si un, vn et wn sont trois suites
convergentes de limites respectives a, b et c et si, à partir d’un certain rang on a pour tout n, un ≤ vn ≤ wn,
alors a ≤ b ≤ c ».
Donner un encadrement de L.
4. Soit u la fonction définie sur ℝ par u( x) =
1
1 + x2
. On note v la primitive de u sur ℝ telle que v(1) =
On admet que la courbe représentative de v admet en +∞ une asymptote d’équation y =
a. Démontrer que, pour tout réel x, f ( x) =
ex
(e )
x
2
+1
π
2
π
4
.
.
.
b. Démontrer que, pour tout réel x, f est la dérivée de la fonction x ֏ v( e x ) .
c. En déduire la valeur exacte de L.
255
256
4
5
6
Question 9 : Dans un repère orthonormé (O ; i , j , k ) , on considère les points A(1 ; 2 ; 3), B(−1 ; 0 ; −1) et
C(2 ; 1 ; −3). L’isobarycentre G du triangle OBC a pour coordonnées :
11 . GEOMETRIE EXERCICES
 1 1 −4 
a)  ; ;

3 3 3 
Exercice 11. 385 QCM
Question 1 : ABCD est un tétraèdre régulier d’arête a. AB. AD = ...
a) a2
b)
1 2
a
2
a)
Question 2 : Si u ⊥ ( v − w) et si v ⊥ (u − w ) alors
a) w ⊥ (u − v )
b) u ⊥ v et u ⊥ w
d) u ⊥ v mais pas
necessairement u ⊥ w
→
c) v ⊥ w
Question 3 : On considère un cube ABCDIJKL et on munit l’espace du repère
( A ; AB, AD, AI ) . La
distance du point J au plan (BIK) est :
a)
b)
3
3
3
c) 3
3
2
d)
3
2
b) parallèles
c) sécants
d) strictement parallèles
Question 5 : On pose A(1 ; 0 ; −1), B(0 ; 1 ; 1), P (2 ; 0 ; 1), Q(1 ; 1 ; 0) et R(1 ; 0 ; 1). L’intersection de la
droite (AB) avec le plan (PQR) est :
2 1 2
a) le point  ; ; 
3 3 3
1 2 1
c) le point  ; ; 
3 3 3
b) la droite (AB)
Question 6 : On considère un cube ABCDEFGH on munit l’espace du repère
d) n’existe pas
b) x + y + z = 2
c) x + y – z + 2 = 0
(
)
d) x + y – z = 2
Question 7 : On considère un plan P d’équation x + 2y – z – 4 = 0 et la droite (d) définie par le point
A(1 ; −3 ; 0) et le vecteur directeur u = ( −1 ; 0 ; 2) . Le plan P et la droite (d) sont sécants en un point dont
l’abscisse est :
a) 4
b) 0
c) −2
d) 1
Question 8 : On considére trois plans d’équations respectives :
x + 2y – z − 4 = 0 ; −2x + 3y + z –1 = 0 et –5x + 4y + 3z + 2 = 0 .
L’intersection de ces trois plans est :
a) vide
b) un point
c) une droite de vecteur
5 1 
directeur u =  ; ; 1 
7 7 
a
≥0
a+ b
c) a et b de signes
opposés
d)
b
≥0
a+ b
Exercice 11. 386 Fesic 2002, exo 13
Soit (ABC) un triangle équilatéral de côté 3 ; G le centre de gravité de (ABC) ; H le symétrique de A par
rapport à G. On pourra également considérer I le milieu du segment [BC].
a. Le point H est le barycentre du système de points pondérés : {(A, 1) ; (B, –2) ; (C, –2)}.
b. On a : HA. HC = 3 .
d. Le plan (P) est l’ensemble des points M de l’espace vérifiant :
( MA − 2 MB − 2 MC ). HC = −9
Exercice 11. 387 Fesic 2003 exo 16
L’espace est rapporté à un repère orthonormal (O ; i , j , k ) . On considère les points A(0 ; 4 ; −1),
B(−2 ; 4 ; −5), C(1 ; 1 ; −5), D(1 ; 0 ; −4) et E(2 ; 2 ; −1).
a. Une équation du plan (ABC) est 2x + 2y − z − 9 = 0.
b. Le point E est projeté orthogonal de D sur (ABC).
d) une droite de vecteur
5 1 
directeur u =  ; ; 1 
2 2 
d. Le point Ω(−1 ; 2 ; −3) est le centre d’une sphère passant par A, B, C et D.
Exercice 11. 388 QCM espace France, juin 2004
Pour chaque question une seule réponse est exacte. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse inexacte enlève
1/2 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif la note est ramenée à 0.
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal (O ; i , j , k ) , on donne le point S(1 ; −2 ; 0) et le plan P
d’équation x + y − 3 z + 4 = 0 .
1. Une représentation paramétrique de la droite D passant par le point S et perpendiculaire au plan P est :
 x = 1+ t

A :  y = 1 − 2t
 z = −3

 x = 2+ t

B :  y = −1 + t
 z = 1 − 3t

 x = 1+ t
 x = 2+ t


C :  y = −2 − 2t D :  y = −1 + t (t réel).
 z = 3t
 z = −3 − 3 t


2. Les coordonnées du point d’intersection H de la droite D avec le plan P sont :
A : (−4 ; 0 ; 0)
 6 −9 −3 
;
B:  ;

5 5 5 
 7 −2 1 
C:  ;
; 
9 3 3
 8 −25 9 
D: 
;
; 
 11 11 11 
3. La distance du point S au plan P est égale à :
A:
257
b) a et b de même signe
c. Les droites (AB) et (CD) sont orthogonales.
A ; AB, AD, AE . Le plan
CFH a pour équation :
a) x – y + z = 2
 1 −1 2 
d)  ;
; 
3 3 3
Soit (P) le plan passant par A et perpendiculaire à la droite (HC).
c. Pour tout point M de (P), on a : HM.HC = 3 .
Question 4 : Les plans P et P’ d’équations respectives : 3 x − 5y + 2 z − 1 = 0 et 6 x − 10 y + z − 3 = 0 sont des
plans :
a) orthogonaux
c) (−1 ; 0 ; 2)
Question 10 : On peut caractériser la demi-droite [AB) comme étant l’ensemble des barycentres des points
pondérés (A, a) et (B, b) avec a et b réels tels que a + b n’est pas nul et :
1
d) − a2
2
c) − a2
5
2
b)  ; 1 ; 
3
3
11
3
B:
3
11
C:
258
9
11
D:
9
11
4. On considère la sphère de centre S et de rayon 3. L’intersection de la sphère S et du plan P est égale :
10
11
A : au point I(1 ; −5 ; 0)
B : au cercle de centre H et de rayon r = 3
C : au cercle de centre S et de rayon 2
3 10
D : au cercle de centre H et de rayon r =
11
5. Le volume du tétraèdre FIJM est :
Propositions
a.
1
36
b.
1
48
c.
1
24
Réponses
Exercice 11. 389 QCM espace, N. Calédonie, nov 2004
Exercice 11. 390 QCM, Amérique Nord, juin 2004
5 points
3 points
Cet exercice est un Q.C.M. Pour chacune des cinq questions une ou plusieurs réponses sont exactes.
Dans le plan affine, on considère ABC un triangle rectangle en A, I le milieu du segment [AB] et J le centre
1
de gravité de ABC. Pour tout réel m, différent de − , on note Gm le barycentre du système de points
3
pondérés Sm = {(A, 1) ; (B, m) ; (C, 2m)}. Pour tout point M du plan on note VM = 3 MA − MB − 2 MC .
Le candidat doit inscrire V (vrai) ou F (faux) dans la case correspondante.
Aucune justification n’est demandée.
Pour chaque question 3 réponses correctes rapportent 1 point, 2 réponses correctes rapportent 0,5 point.
Pour chacune des six affirmations suivantes, dite si elle est vraie (V) ou fausse (F).
E
Chaque bonne réponse donne 0,5 point, chaque réponse fausse ou illisible enlève 0,25 point, l’absence de réponse ne
rapporte ni n’enlève aucun point. Un éventuel total négatif serait ramené à 0.
H
Affirmation
F
2 


G1 est barycentre de  ( J , 2 ) ;  C ,   .
3 


Pour tout point M , VM = AB + 2 AC .
D
A
B
C
Pour tout m, distinct de −
Soit ABCDEFGH un cube de côté 1. On choisit le repère orthonormal
( A ; AB, AD, AE ) .
On appelle I et J
1 , AGm est colinéaire à AG−1 .
3
IBG−1 / 2 est un triangle rectangle.
les milieux respectifs des segments [EF] et [FG]. L est le barycentre de {(A ; 1), (B ; 3)}. Soit (P) le plan
d’équation 4 x − 4y + 3 z − 3 = 0 .
Pour tout point P de (AG−1), il existe un réel m tel que P = Gm.
Exercice 11. 391 QCM, Asie, juin 2004
1. Les coordonnées de L sont :
Propositions
V ou F
G1 est le milieu du segment [CI].
G
1

a.  ; 0 ; 0 
3

3

b.  ; 0 ; 0 
4

2

c.  ; 0 ; 0 
3

4 points
L’espace E est rapporté au repère orthonormal (O ; i , j , k ) .
On appelle P le plan d’équation 2x−y +5 = 0 et Q le plan d’équation 3x+y −z = 0.
Réponses
1. Montrer que P et Q sont sécants en une droite D dont une représentation paramétrique est :
2. Le plan (P) est le plan :
Propositions
a. (GLE)
b. (LEJ)
c. (GFA)
Réponses
 x =α

 y = 2α + 5 où α est un nombre réel.
 z = 5α + 5

2. Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier précisément vos réponses :
3. Le plan parallèle au plan (P) passant par I coupe la droite (FB) en M de coordonnées :
Propositions
1

a.  1 ; 0 ; 
4

1

b.  1 ; 0 ; 
5

1

c.  1 ; 0 ; 
3

Réponses
• Affirmation 1 : D est parallèle au plan R d’équation : −5x +5y −z = 0.
 x = −3 β

Soit D’ la droite de l’espace de représentation paramétrique :  y = 1 + β où β est un nombre réel.
 z = 2 + 2β

• Affirmation 2 : D et D’ sont coplanaires.
4.
Propositions
a. Les droites (EL) et (FB) sont
sécantes en un point N qui est le
symétrique de M par rapport à B.
b. Les droites (EL) et
(IM) sont parallèles.
c. b. Les droites (EL)
et (IM) sont sécantes.
Exercice 11. 392 Exo de base dans l’espace - 1
L’espace E est rapporté à un repère orthonormé (O ; i , j , k ) . Les points A, B, C et D ont pour coordonnées :
A(−1 ; 0 ; 2), B(3 ; 2 ; − 4), C(1 ; − 4 ; 2), D(5 ; − 2 ; 4)
Réponses
259
260
On considère les points I, J, K définis par : I est le milieu du segment [AB], K est le milieu du segment [CD]
1 et J est tel que BJ = BC .
4
1. Déterminer les coordonnées des points I, J et K.
5 points
2. a. Montrer que I, J et K ne sont pas alignés.
On considère les points A(3 ; 0 ; 10), B(0 ; 0 ; 15) et C(0 ; 20 ; 0).
b. Montrer qu’une équation cartésienne du plan (IJK) est 8 x + 9y + 5 z − 12 = 0 .
1. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).
c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AD) et montrer que (IJK) et (AD) sont sécants
en un point L dont on donnera les coordonnées.
d. Déterminer la valeur du réel k tel que AL = kAD .
Exercice 11. 397 Nouvelle Calédonie, septembre 2003
L’espace est rapporté à un repère orthonormal (O ; i , j , k ) .
b. Montrer que la droite (AB) coupe l’axe des abscisses au point E(9 ; 0 ; 0).
c. Justifier que les points A, B et C ne sont pas alignés.
2. Soit H le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OBC.
Exercice 11. 393 Exo de base dans l’espace - 2
a. Justifier que la droite (BC) est perpendiculaire au plan (OEH). En déduire que (EH) est la hauteur issue
de E dans le triangle EBC.
L’espace E est rapporté à un repère orthonormé (O ; i , j , k ) . Les points A, B et C ont pour coordonnées :
b. Déterminer une équation cartésienne du plan (OEH).
c. Vérifier que le plan (ABC) admet pour équation cartésienne 20x +9y +12z −180 = 0.
A(−1 ; 2 ; 1), B(1 ; − 6 ; − 1), C(2 ; 2 ; 2) .
1 


1. Montrer que A, B et C ne sont pas alignés et que le vecteur n =  1  est normal au plan (ABC).
 −3 


2. Donner une équation cartésienne du plan (ABC).
3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite ( ∆ ) orthogonale au plan (ABC) passant par le
point D(0 ; 1 ; −1).
4. Déterminer les coordonnées du point d’intersection H avec le plan (ABC). Quelle est la distance de D au
plan (ABC) ?.
5. Soit M un point quelconque de (DC) de paramètre t (soit DM = tDC , t réel) ; vérifier que la distance AM
5
est minimale lorsque t = − . En déduire les coordonnées du point Q, projeté orthogonal de A sur (DC).
14
x=0

d. Montrer que le système  4y − 3 z = 0
a une solution unique. Que représente cette solution ?
 20 x + 9 y + 12 z − 180 = 0

e. Calculer la distance OH, en déduire que EH = 15 et l’aire du triangle EBC.
3. En exprimant de deux façons le volume du tétraèdre OEBC, déterminer la distance du point O au plan
(ABC). Pouvait-on prévoir le résultat à partir de l’équation obtenue en 2. c. ?
Exercice 11. 398 Volume tétraèdre
L'espace étant rapporté à un repère orthonormal de sens direct (O, OI, OJ, OK) , on considère le cube de
sommets O, I, R, J, N, K, L, M dont une représentation est jointe sur la feuille annexe.
N
Exercice 11. 394 Exercice de base dans l’espace - 3
M
K
L
P1, P2 et P3 sont trois plans d’équations cartésiennes :
P1 : x − 2 y + z − 5 = 0
P2 : 3 x + 5 y + 7 z + 4 = 0
P3 : y + z + 3 = 0 .
R
J
1. Montrer que P1 et P2 sont perpendiculaires.
O
2. Déterminer une équation paramétrique de l’intersection D de P1 et P2.
3. En déduire que P1, P2 et P3 ont un unique point commun et calculer ses coordonnées.
Exercice 11. 395 Exercice de base dans l’espace - 4
Soit le plan P d’équation 2 x + 3 y + z − 1 = 0 et le point A (1 ; 4 ; 1).
1. a. Préciser les coordonnées des points A et B.
b. Déterminer les coordonnées d’un vecteur u orthogonal à OA et OB .
1. Déterminer la distance du point A au plan P.
2. Calculer le rayon de l’intersection de la sphère de centre A et de rayon 5 avec le plan P.
2. a. Montrer que l'aire du triangle OAB vaut
Exercice 11. 396 Exercice de base dans l’espace - 5
Soit ABCD un losange de centre O avec OB = 2OA.
1. Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que MA + MC − 2 MD
(
)(
2 MB − MC + MD =0 .
)
2. Déterminer l’ensemble des points M tels que : MA + MC − 2 MD = −6OA .
2
261
2
I
2 On note A le milieu de l'arête [IL] et B le point défini par : KB = KN.
3
On appelle P le plan passant par les points O, A et B.
2
2
14
.
6
 1 
b. Le point C  1 ; ;1  appartient-il à P ? Justifier votre réponse.
 3 
3. On considère le tétraèdre OABK.
1
a. Montrer que son volume vaut .
9
b. En déduire la distance du point K au plan P.
262
N.B. : On rappelle que le volume d'un tétraèdre est le tiers du produit de l'aire d'une base par la longueur de
la hauteur correspondante.
3. La sphère S est tangente à P au point C(10 ; 1 ; 6). Le centre Ω de S se trouve à la distance d = 6 de P, du
même côté que O. Donner l’équation cartésienne de S.
Exercice 11. 399 Distance dans l’espace
Exercice 11. 402 Barycentre espace, N. Calédonie, mars 2004
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal on considère le point A(−1 ; 1 ; 3) et la droite D ayant pour
 x = 1 + 2t

représentation paramétrique  y = 2 − t , t ∈ ℝ ; le but de l’exercice est de calculer de deux manières
 z = 2 + 2t

différentes la distance d du point A à la droite D.
E
H
F
G
1. Soit M un point de D, on pose f (t) = AM2 ; calculer f(t) en fonction de t, déterminer le minimum de f et
en déduire d.
B
a. déterminer un vecteur normal de P, donner une équation cartésienne de P, trouver un point M0 de D.
b. Calculer la distance dP de M0 à P ainsi que AM0 . Exprimer d en fonction de dP et AM0 , en déduire d.
Exercice 11. 400 Droites et plans de l’espace
L’espace est rapporté à un repère orthonormé (O ; i , j , k ) . On appelle P le plan d’équation 2 x − y + 5 = 0 et
P’ celui d’équation 3 x + y − z = 0 .
1. Montrer que P et P’ sont sécants suivant une droite D dont une représentation paramétrique est
x=t

 y = 5 + 2t où t est un réel quelconque.
 z = 5 + 5t

2. Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier précisément vos réponses :
* D est parallèle au plan R d’équation −5 x + 5y − z = 0 .
 x = −3u

* Soit D’ la droite de représentation paramétrique  y = 1 + u où u est un réel quelconque. Les droites D et
 z = 2 + 2u

D’ sont coplanaires.
Exercice 11. 401 Droites, plan, sphère, Polynésie, sept 2003
5 points
L’espace est rapporté à un repère (O ; i , j , k ) orthonormé. Soit s un nombre réel.
On donne les points A (8 ; 0 ; 8), B (10 ; 3 ; 10) ainsi que la droite D d’équations paramétriques :
 x = −5 + 3 s

 y = 1 + 2s .
 z = −2s

1. a. Donner un système d’équations paramétriques de la droite ∆ définie par A et B.
D
A
2. Soit P le plan passant par A et perpendiculaire à D :
C
On considère Ie cube ABCDEFGH ci-dessus. O1 et O2 sont Ies centres des carrés ABCD et EFGH, et I est Ie
centre de gravité du triangle EBD. Soit m un nombre réel et Gm le barycentre du système de points
pondérés : {(E ; 1), (B ; 1 − m), (G ; 2m − 1), (D ; 1 − m)}.
Partie A
1. Justifier l’existence du point Gm.
2. Préciser la position du point G1.
3. Vérifier que G0 = A. En déduire que les points A, I et G sont aIignés.
4. Démontrer que AGm = mAO2 . En déduire l’ensemble des points Gm lorsque m parcourt l’ensemble des
nombres réels.
5. a. Vérifier que les points A, Gm , E et O1, sont coplanaires.
b. Déterminer la valeur de m pour laquelle Gm se trouve sur la droite (EI).
Partie B
Dans cette question, l’espace est rapporté au repère orthonormal
( A ; AB, AD, AE ) .
1. Démontrer que la droite (AG) est orthogonale au plan (EBD). En déduire une équation cartésienne du
plan ABD.
2. Déterminer les coordonnées du point Gm.
3. Pour quelles valeurs de m, la distance de Gm au plan (EBD) est-elle égale à
3
?
3
Exercice 11. 403 Barycentre espace, Antilles, juin 2004 (c)
5 points
On considère le tétraèdre ABCD ; on note I le milieu du segment [AB] et J celui de [CD].
1. a. Soit G1 le barycentre du système de points pondérés {(A, 1) ; (B, 1) ; (C, −1) ; (D, 1)}.
Exprimez IG1 I en fonction de CD . Placez I, J etG1 sur une figure.
b. Démontrer que D et ∆ sont non coplanaires.
2. a. Le plan P est parallèle à D et contient ∆ . Montrer que le vecteur n ( 2 ; − 2 ; 1 ) est un vecteur normal à
b. Soit G2 le barycentre du système de points pondérés {(A, 1) ; (B, 1) ; (D, 2)}. Démontrez que G2 est le
milieu du segment [ID]. Placez G2.
P. Déterminer une équation cartésienne de P .
c. Démontrez que IG1DJ est un parallélogramme. En déduire la position de G2 par rapport aux points G1
et J.
b. Montrer que la distance d’un point quelconque M de D à P est indépendante de M.
c. Donner un système d’équations paramétriques de la droite définie par l’intersection de P avec le plan
(xOy).
2. Soit m un réel. On noteGm le barycentre du système de points {(A, 1) ; (B, 1) ; (C,m−2) ; (D,m)}.
a. Précisez l’ensemble E des valeurs de m pour lesquelles le barycentreGm existe.
Dans les questions qui suivent, on suppose que le réel m appartient à l’ensemble E.
263
264
b. Démontrez que Gm appartient au plan (ICD).
c. Démontrez que le vecteur m JGm est constant.
1. Sur la figure ci-dessous construire le centre de gravité G du tétraèdre ABCD. Montrez que la droite (GD)
est orthogonale au plan (ABC). Soit H le projeté orthogonal de D (et donc de G) sur (ABC). Que peut-on
1
dire de H dans le triangle (ABC) ? Montrez que GH = DH .
4
On note I le milieu de [AB].
d. En déduire l’ensemble F des points Gm lorsque m décrit l’ensemble E .
A
2. Que peut-on dire du triangle CID ? Calculez les distances CI, CH, GH, GC. Déduisez-en le cosinus de
puis une valeur approchée en degrés de cet angle à 10−2 près.
l’angle CGD
D
B
D
C
A
C
Exercice 11. 404 Barycentre espace, France, juin 2001
B
Soient trois points de l’espace A, B et C non alignés et k un réel de l’intervalle [−1 ; 1]. On note Gk le
barycentre du système {( A, k2 + 1), ( B, k), (C , − k)} .
1. Représenter les points A, B, C, le milieu I de [BC] et construire les points G1 et G−1.
− k 2. a. Montrer que pour tout réel k de [−1 ; 1], on a l’égalité : AGk = 2
BC .
k +1
b. Etablir le tableau de variation de la fonction f définie sur [−1 ; 1] par f ( x) = −
x
x2 + 1
H
O
.
c. En déduire l’ensemble des points Gk quand k décrit l’intervalle [−1 ; 1].
3. Déterminer l’ensemble E des points M de l’espace tels que
2 MA + MB − MC = 2 MA − MB + MC .
4. Déterminer l’ensemble F des points M de l’espace tels que
2 MA + MB − MC = 2 MA − MB − MC .
5. L’espace est rapporté à un repère orthonormal (O ; i , j , k ) . Les points A, B et C ont pour coordonnées
respectives (0 ; 0 ; 2), (−1 ; 2 ; 1) et (−1 ; 2 ; 5). Le point Gk et les ensembles E et F sont définis comme cidessus.
a. Calculer les coordonnées de G1 et G−1. Montrer que les ensembles E et F sont sécants.
b. Calculer le rayon du cercle Γ , intersection de E et F.
H
C
C
H
O
H
Exercice 11. 405 Molécule de méthane (c)
La molécule de méthane (CH4) a la forme d’un tétraèdre régulier de côté a dont les sommets sont occupés
par des atomes d’hydrogène et le centre est occupé par l’atome de carbone. On considère par la suite que
chaque atome peut être assimilé à un point.
3. A la suite d’une expérience de chimie amusante on a remplacé un des atomes d’hydrogène par la
molécule (COOH) ce qui donne de l’acide acétique. La molécule a alors la forme de deux tétraèdres reliés
par les deux atomes de carbone comme l’indique le schéma joint.
Sachant que l’atome de carbone a pour masse 12, celui d’oxygène 16 et celui d’hydrogène 1 construire le
centre de gravité de la molécule (CH3COOH) sur la figure suivante (les lettres représentent les divers
atomes).
265
266
Exercice 11. 406 Lignes de niveau
Exercice 11. 409 Inversion
ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = a et AC = 2a.
Soit S un point du plan et (C) le cercle de centre S de rayon a ; on considère la transformation f
suivante qui à tout point M du plan associe M‘ tel que :
I désigne le milieu de [AC] et G est le barycentre du système {(A ; 3) ; (B ; −2) ; (C ; 1)}.
1. Construire le point G et préciser la nature du quadrilatère ABIG. Exprimer en fonction de a les distances
GA, GB et GC.
T
2. À tout point M du plan, on associe le nombre réel :
f (M) = 3MA2 − 2MB2 + MC2.
a. Exprimer f (M) en fonction de MG et de a.
M
b. Déterminer et construire l'ensemble ( Γ ) des points M du plan tels que : f (M) = 2a2.
3. À tout point M du plan, on associe maintenant le nombre réel :
h (M) = 3MA2 − 2MB2 − MC2.
a. Démontrer qu'il existe un vecteur U non nul tel que : h (M) = MB.U − 2a2.
M'
b. On désigne par ( ∆ ) l'ensemble des points M du plan tels que : h (M) = −2a2.
Vérifier que les points I et B appartiennent à ( ∆ ), préciser la nature de cet ensemble. Construire ( ∆ ).
S
4. ( ∆ ) et ( Γ ) sont sécants en deux points E et F. Montrer que les triangles GEC et GFC sont équilatéraux.
Exercice 11. 407 EPF 2003, carré qui tourne
On considère la configuration obtenue à partir de deux carrés ayant un sommet commun (en gris) et de la
construction de deux parallélogrammes (en blanc). Montrer que les centres des carrés et des
parallélogrammes sont les sommets d’un carré.
B
* si M est un point du plan extérieur à (C) alors M’ est la projection orthogonale du point de contact T de
la tangente à (C) issue de M sur la droite (SM) ,
Q
P
* si M est à l’intérieur de (C), T est l’intersection entre la perpendiculaire à (SM) passant par M et (C) et M’
est l’intersection entre la tangente à (C) passant par T et (SM).
1. Vérifier que f est une involution : f f = Id ; quelle est la réciproque de f ?
C
A
O
2. On prend S à l’origine du plan et a quelconque. Déterminer l’écriture complexe de f.
3. Déterminer l’image d’une droite par f : deux cas suivant qu’elle passe par S ou pas.
R
S
4. Image d’un cercle par S : deux cas : de centre S ou pas.
D
On pourra se placer dans le repère (O ; OA, OB) et prendre (OA, OD) = α .
Exercice 11. 408 Homothétie
Soit ( γ ) le cercle de centre O et de rayon R. [AA’] un diamètre fixé de ( γ ), P le milieu de [OA’]. Une droite
δ distincte de la droite (AA’) et de la perpendiculaire en P à (AA’) pivote autour de P et coupe ( γ ) en B et
C.
1. Déterminer l’ensemble E1 des milieux M de [BC] lorsque δ varie.
2. a. Soit H le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC. La droite (A’M) coupe (AH) en D.
Déterminer l’ensemble E2 des points D lorsque M décrit E1.
b. Montrer que A’BDC est un parallélogramme. En déduire que D est l’orthocentre du triangle ABC.
3. La droite (AM) coupe (OD) en I. Montrer que 2 IO + ID = 0 . Que représente I pour le triangle ABC ?
Déterminer l’ensemble E3 des points I lorsque M décrit E1.
267
268
7. On considère l’épreuve qui consiste à lancer un dé non truqué. On gagne 20 € si on obtient le 6, on perd
4 € sinon. L’espérance de gain pour ce jeu est ….
12 . PROBABILITES EXERCICES
Note : c’est le bordel avec l’orthographe, le mot binome peut s’écrire de dix manières différentes (et ne parlons pas
des polynomes et consorts). Aussi, et j’engage fortement mes lecteurs à procéder de même, j’ai décidé de supprimer
l’accent circonflexe dans tous les cas… (ainsi que l’Académie Française le recommande d’ailleurs).
Exercice 12. 410 QCM 1 (P. Engel)
1. A et B sont deux évènements indépendants tels que p(A) = 0,2 et p(B) = 0,3 alors p(A ∪ B) =….
b
c
d
0,06
0,44
0,5
0,56
2. A et B sont deux évènements. p(A ∩ B ) = ……
a
b
c
d
p(A) – p( A ∩ B )
p(B) – p( A ∩ B )
p( B ) – p( A ∩ B )
p(A) – p( A ∩ B )
3. Une urne contient 5 boules noires et 3 boules blanches. On tire successivement et sans remises 2 boules
de l’urne. La probabilité de l’événement : « la 2ième boule tirée est noire sachant que la première l’est aussi »
est égale à ….
a
b
c
d
5
4
25
64
5
14
4
7
4. Lors d’une course de chevaux comportant 20 partants, la probabilité de gagner le tiercé dans le désordre
est combien de fois supérieure à la probabilité de gagner le tiercé dans l’ordre ?
a
b
c
d
10 fois
6 fois
5 fois
3 fois
5. Dans un tiroir il y a 3 paires de chaussettes de couleurs différentes, on tire au hasard 2 chaussettes ; la
probabilité qu’elles appartiennent à la même paire est égale à ….
b
c
d
1
3
1
5
1
6
1
2
b
c
d
négative
positive
nulle
8. On choisit au hasard une boule d’une urne contenant 3 boules rouges numérotées 1, 2 et 3, deux boules
vertes numérotées 1 et 2 et une boule bleue numérotée 1. On considère les évènements suivants :
R : «La boule tirée est rouge » ;
A : « la boule tirée est numérotée 1 »
a
a
a
Impossible à
déterminer
B : « la boule tirée est numérotée 2 ».
Laquelle de ces 4 affirmations est vraie ?
a
b
c
d
Il n’y a pas d’évènements
indépendants parmi les 3.
R et A sont
indépendants
A et B sont
indépendants
R et B sont
indépendants
9. En considérant une année de 365 jours, la probabilité pour que dans un groupe de 23 personnes choisies
au hasard, 2 personnes au moins aient la même date anniversaire est……
a
b
c
d
Inférieure à 0,5
Egale à 0,5
Supérieure à 0,5
Proche de 0,003
10. Un élève répond au hasard aux 10 questions de ce QCM. La probabilité qu’il obtienne la moyenne est
environ égale à ….
a
b
c
d
0,003
0,058
0,078
0,0035
Exercice 12. 411 QCM 2
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples constitué de quatre questions, chacune comporte trois réponses, une
seule est exacte. On notera sur la copie uniquement la lettre correspondant à la réponse choisie.
Un lecteur d'une bibliothèque est passionné de romans policiers et de biographies. Cette bibliothèque lui
propose 150 romans policiers et 50 biographies. 40% des écrivains de romans policiers sont français et 70%
des écrivains biographiques sont français. Le lecteur choisit un livre au hasard parmi les 200 ouvrages.
1. La probabilité que le lecteur choisisse un roman policier est :
a. 0,4
b. 0,75
c.
6. Une seule de ces 4 affirmations est fausse laquelle ?
a
Deux évènements
incompatibles ne sont pas
nécessairement
indépendants
b
Si p(A) ≠ 0
alors pA(A)=1
c
d
Dans un jeu de 32
cartes, la probabilité
Que l’on joue au loto ou
d’obtenir les 4 as dans pas, la probabilité de gagner
une main de 5 cartes est le gros lot est identique au
inférieure à un dix
millionième près
millième.
2. Le lecteur ayant choisi un roman policier, la probabilité que l'auteur soit français est :
a. 0,3
b. 0,8
c. 0,4
3. La probabilité que le lecteur choisisse un roman policier français est :
a. 1,15
b. 0,4
c. 0,3
4. La probabilité que le lecteur ait choisi un roman policier sachant que l'écrivain est français est :
a.
269
1
150
4
150
b.
12
19
c. 0,3
270
Exercice 12. 412 Exercice de base 1
Exercice 12. 418 Exercice de base 7
On considère l’ensemble E des entiers de 20 à 40. On choisit l’un de ces nombres au hasard.
A est l’événement : « le nombre est multiple de 3 »
En fin de 1eS, chaque élève choisit une et une seule spécialité en terminale suivant les répartitions ci–
dessous :
B est l’événement : « le nombre est multiple de 2 »
Par spécialité
C est l’événement : « le nombre est multiple de 6 ».
Mathématiques
Sciences Physiques
SVT
40%
25%
35%
Calculer p(A), p(B), p(C), p(A ∩ B), p(A ∪ B), p(A ∩ C) et p(A ∪ C).
Sexe de l’élève selon la spécialité
Exercice 12. 413 Exercice de base 2
Spécialité
On lance deux fois de suite un dé équilibré.
1. Représenter dans un tableau les 36 issues équiprobables .
2. Calculer la probabilité des événements :
A : « on obtient un double » ;
B : « on obtient 2 numéros consécutifs »
Mathématiques
Sciences physiques
SVT
Fille
45%
24%
60%
Garçon
55%
76%
40%
Sexe
On choisit un élève au hasard.
C : « on obtient au moins un 6 » ;
1. Construire l’arbre pondéré de cette expérience aléatoire.
D : « la somme des numéros dépasse 7 ».
2. a. Quelle est la probabilité de chacun des événements suivants ?
Exercice 12. 414 Exercice de base 3
F : « l’élève est une fille », M : « l’élève est en spécialité maths ».
On lance 4 fois de suite une pièce équilibrée.
b. Quelle est la probabilité que ce soit une fille ayant choisi spécialité mathématiques ?
1. Dresser la liste des issues équiprobables.
3. Sachant que cet(te) élève a choisi spécialité mathématiques, quelle est la probabilité que ce
2. Quel est l’événement le plus probable : A ou B ?
soit une fille ?
A : « 2 piles et 2 faces »
On appelle probabilité de F sachant M cette probabilité (conditionnelle) et on la note PM (F) .
B : « 3 piles et 1 face ou 3 faces et 1 pile ».
4. a. Quelle égalité faisant intervenir P(F ∩ M) , P(F) et PM (F) peut-on écrire ?
Exercice 12. 415 Exercice de base 4 : Dans une urne
b. Comparer P(F) et PM (F) et en donner une interprétation.
Mille boules numérotées de 0 à 999 sont placées dans une urne. On tire une boule au hasard et on note X le
numéro sorti.
5. a. Sachant que cet(te) élève a choisi spécialité SVT, quelle est la probabilité que ce soit une fille ?
1. Calculer la probabilité des événements :
b. Comparer PS (F) et P(F) , et en donner une interprétation.
A : « X est divisible par 5 »
Exercice 12. 419 Exercice de base 14 : test
B : « X se termine par 0 »
Un laboratoire a mis au point un éthylotest. Théoriquement , celui-ci devrait être positif lorsqu’une
personne testée a un taux d’alcoolémie excessif (c’est à dire strictement supérieur au seuil toléré). Mais il
n’est pas parfait :
C : « X est multiple de 2 »
D : « X est divisible par 3 ».
2. Déterminer la probabilité des événements A ∩ C, A ∪ C, B ∩ D, B ∪ D, A ∩ D, A ∪ D puis A ∩ B et
C∪D .
* À un taux d’alcoolémie excessif, l’éthylotest est positif 96 fois sur cent.
* À un taux d’alcoolémie acceptable, l’éthylotest est positif 3 fois sur cent.
Exercice 12. 416 Exercice de base 5 : La loterie
On suppose que ces résultats portent sur un échantillon suffisamment important pour qu’ils soient
constants.
Dans une loterie, on vend 100 billets dont 3 sont gagnants.
Dans une région, 95 % des conducteurs d’automobiles ont un taux d’alcoolémie acceptable.
1. On achète un billet. Quelle est la probabilité qu’il soit gagnant ?
On soumet au hasard un automobiliste de cette région à l’éthylotest.
2. On achète un deuxième billet. Quelle est la probabilité de gagner au moins un lot ?
On définit les événements suivants :
Exercice 12. 417 Exercice de base 6
Un joueur lance un dé : si le numéro est un nombre premier, le joueur gagne une somme égale au nombre
considéré (en euros) ; sinon il perd ce même nombre d’euros.
1. Si X est le gain algébrique réalisé, donner la loi de probabilité de X et calculer son espérance
mathématique et son écart-type.
2. Le jeu est-il favorable au joueur ?
T : « L’éthylotest est positif »
S : « Le conducteur a un taux d’alcoolémie excessif »
1. Traduire mathématiquement chacune des trois données numériques de l’énoncé.
2. Quelle est la probabilité qu’un automobiliste ait un taux d’alcoolémie excessif et que l’éthylotest soit
positif.
3. Calculez P(T).
4. Quelle est la probabilité que l’automobiliste ait un taux d’alcoolémie excessif si l’éthylotest est positif ?
271
272
5. Quelle est la probabilité que l’automobiliste ait un taux d’alcoolémie acceptable si l’éthylotest est
négatif?
n
On donnera les résultats en utilisant les coefficients   ou les factorielles.
 p
6. Quelle est la probabilité que l’éthylotest donne un résultat erroné ?
Exercice 12. 424 Archer
Exercice 12. 420 Exercice de base 15 : sondage
Un sondage auprès de 150 personnes a donné les résultats suivants :
Une étude statistique a montré qu'un archer de très bon niveau, tirant dans une cible à onze zones
numérotées 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 et 10, a atteint avec une flèche :
A la question «Consommez vous régulièrement de l'alcool ?», 50 personnes répondent oui.
– la zone 10 avec une fréquence de 0,3 ;
A la question «Êtes-vous fumeur ?», 80 personnes répondent oui.
– la zone 9 avec une fréquence de 0,6 ;
A la question «Êtes-vous un fumeur consommant régulièrement de l'alcool ?», 35 personnes répondent oui.
– la zone 8 avec une fréquence de 0,1.
1. Représenter ces données par un diagramme.
À chaque flèche tirée est associé un nombre de points égal au numéro de la zone atteinte.
2. Combien de personnes sont des fumeurs ne consommant pas régulièrement de l'alcool ?
On admet que, pour cet archer se présentant à une compétition, les probabilités des événements :
3. Combien de personnes consomment régulièrement de l'alcool et ne sont pas fumeurs ?
– " la flèche marque 10 ",
4. Combien de personnes ne sont pas fumeurs et ne consomment pas régulièrement de l'alcool ?
– " la flèche marque 9 ",
5. Combien de personnes sont fumeurs ou consomment régulièrement de l'alcool ?
– " la flèche marque 8 ",
Exercice 12. 421 Exercice de base 16 : Cartes
sont respectivement égales aux fréquences observées et que les tirs sont indépendants les uns des autres.
On tire simultanément 8 cartes d’un jeu de 32, et on appelle ce tirage une main.
On appelle volée deux tirs successifs d'une flèche.
1. Combien y a-t-il de mains différentes possibles ?
1. Cet archer tire une volée. On associe à une volée la variable aléatoire X, somme des points marqués à
chacun des deux tirs de la volée. On appelle volée réussie toute volée telle que X ≥ 19 .
2. Combien de mains ne comportent-elles que des cartes rouges.
3. a. Combien de mains contiennent-elles le roi de pique ?
b. Combien de mains comportent-elles exactement 2 as ?
c. Combien de mais comportent-elles exactement 1 roi et 2 piques ?
d. Combien de mains comportent-elles la dame de carreau et au moins 2 cœurs ?
4. Combien de mains comportent-elles les 4 as ou les 4 rois ?
Exercice 12. 422 Tintin et Milou, N. Calédonie, 1993
On considère le mot MILOU. On forme des « mots », ayant un sens ou non, avec certaines de ses lettres.
Chaque lettre intervient au plus une fois dans un même « mot ».
a. Quelles sont les valeurs prises par X ? Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
b. Vérifier que la probabilité de l'événement " X ≥ 19 " est
9
.
20
Calculer la probabilité de l'événement « 17 ≤ X ≤ 19 »
c. Calculer l'espérance mathématique et l'écart-type de X.
2. Cet archer tire trois volées successives, que l'on suppose indépendantes. On considère la variable
aléatoire Y, nombre de volées réussies parmi les trois tirées. Calculer la probabilité des événements
suivants :
a. « Y = 2 ».
b. « Y ≥ 1 ».
1. Combien de mots de 5 lettres peut-on faire ?
2. Combien de mots peut-on faire en tout ?
3. Cet archer tire n volées successives, que l'on suppose indépendantes.
3. Combien de mots de 5 lettres dans lesquels il n’y a pas deux voyelles consécutives ?
Quelle doit être la valeur minimale n0 de n pour que la probabilité de l'événement : " une volée au moins est
réussie " soit supérieure ou égale à 0,999 ?
4. Combien de mots de 6 lettres peut-on faire en employant les lettres du mot TINTIN, chaque lettre
pouvant figurer autant de fois qu’elle apparaît dans le mot ?
5. Combien de mots de 6 lettres peut-on faire en employant les lettres du mot HADDOCK, chaque lettre
pouvant figurer autant de fois qu’elle apparaît dans le mot ?
Exercice 12. 423 Sondage, Bac E, Rennes 1977
Un enquêteur s’intéresse aux loisirs d’un groupe de 200 personnes. Il apprend que 100 pêchent, 80 lisent, et
30 pratiquent ces deux activités.
1. Représenter ces données sous la forme d’un diagramme de Caroll (autrement dit des patates, NDLR), le
compléter.
Exercice 12. 425 Boules - 1, Antilles C, 1994
Une boîte contient 60 boules blanches et 40 boules noires. On effectue dans cette boîte des tirages
successifs avec remise de chaque boule après tirage. On arrête le tirage après l’obtention d’une boule
blanche.
1. On limite le nombre de tirages à 4. On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de tirages
nécessaire à l’obtention de la première boule blanche. Si on n’a pas tiré de boule blanche après le 4ème tirage
on prend X = 0.
a. Calculer la probabilité p(X = 0).
2. On effectue un sondage en choisissant 20 personnes du groupe.
b. Déterminer la loi de probabilité de X, son espérance mathématique E(X) et sa variance V(X).
a. Combien de sous-groupes différents peut-on faire ?
2. On procède maintenant à n tirages au maximum, n > 1. X est la v.a. définie comme précédemment, si
on n’a pas tiré de boule blanche après les n tirages on prend X = 0.
b. Combien de sous groupes dans lesquels il y a exactement 10 pêcheurs ?
c. Combien de sous groupes dans lesquels les proportions de l’ensemble sont respectées (10 chasseurs, 8
lecteurs et 3 pratiquant les 2) ?
d. Combien de sous groupes dans lesquels il y a exactement 10 chasseurs et 8 lecteurs ?
273
a. Déterminer la loi de probabilité de X. Montrez que E(X) =
f ( x) = 1 + 2 x + 3 x2 + 4 x3 + ... + nx n−1 .
274
3 2
f 
5 5
où f est la fonction définie par :
g( x) = 1 + x + x2 + ... + x n . Montrez par récurrence que
a. Quelle est la probabilité p1 que les deux boules tirées soient rouges ?
1− x
. Calculez g’(x) en utilisant les deux formes, déduisez-en une autre expression de f(x).
1− x
Calculez alors E(X).
b. Quelle est la probabilité p2 que les deux boules tirées soient noires ?
b. On considère la fonction g définie par
g( x) =
n+1
c. Déterminez la limite de E(X) quand n tend vers +∞. Interprétez.
Exercice 12. 426 Boules - 2, Polynésie, 1999
Une urne contient 5 boules noires et 5 boules blanches. On en prélève n successivement et avec remise, n
étant un entier naturel supérieur ou égal à 2. On considère les événements suivants :
A : « On obtient des boules des deux couleurs » ;
1. a. Calculer la probabilité de l’événement : « Toutes les boules tirées sont de même couleur ».
b. Calculer la probabilité de l’événement : « On obtient exactement une boule blanche ».
n
2
n
, p( A) = 1 −
1
2
n−1
, p( B) =
n+1
2
2. Montrer que p( A ∩ B) = p( A) × p( B) si et seulement si 2
3. Soit ( un ) la suite définie par un = 2
n−1
2. On dispose aussi d’une deuxième urne U2 contenant quatre boules rouges et six boules noires. On tire
maintenant deux boules de l’urne U1 et une boule de l’urne U2, on suppose que tous les tirages sont
équiprobables.
On considère les événements suivants :
R : « Les trois boules tirées sont rouges. »
D : « Les trois boules tirées ne sont pas toutes de la même couleur »
B : « On obtient au plus une boule blanche ».
c. En déduire que p( A ∩ B) =
c. Quelle est la probabilité p3 que les deux boules tirées soient de la même couleur ?
d. Quelle est la probabilité p4 que les deux boules tirées soient de couleurs différentes ?
n
n−1
B : « La boule tirée de l’urne U2 est rouge ».
a. Calculer la probabilité de l’événement R.
b. Quelle est la probabilité de tirer trois boules de même couleur ?
.
c. Calculer la probabilité conditionnelle pD(B), probabilité de l’événement B sachant que l’événement D est
réalisé.
= n + 1.
On donnera tous les résultats sous forme de fraction irréductible.
− (n + 1) , n > 1. Calculer u2 , u3 , u4 .
Montrer que un est strictement croissante. En déduire la valeur de l’entier n tel que les événements A et B
soient indépendants.
Exercice 12. 429 Urnes et boules, N. Calédonie, sept. 2002
Un jeu consiste à tirer simultanément trois boules d’une urne contenant six boules blanches et quatre
boules rouges.
On suppose que tous les tirages sont équiprobables.
Exercice 12. 427 Boules - 3
Une urne contient deux boules blanches et quatre boules noires. Ces six boules sont indiscernables au
toucher.
Si les trois boules tirées sont rouges, le joueur gagne 100 € ; si exactement deux boules tirées sont rouges, il
gagne 15 € et si une seule est rouge il gagne 4 €. Dans tous les autre cas, il ne gagne rien.
Soit X la variable alatoire qui prend pour valeurs le gain en euros du joueur lors d’un jeu.
1. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
2. Pour un jeu, la mise est de 10 €. Le jeu est-il favorable au joueur, c’est-à-dire l’espérance mathématique
est-elle strictement supérieure à 10 ?
1. On tire simultanément 4 boules de l'urne. Calculer la probabilité d'obtenir une seule boule blanche.
3. Pour l’organisateur, le jeu ne s’avérant pas suffisamment rentable, celui-ci envisage deux solutions :
2. On effectue 4 tirages successifs d'une boule, sans remise.
- soit augmenter la mise de 1 €, donc passer à 11 €,
a. Calculer la probabilité de tirer dans l'ordre une boule noire, une boule noire, une boule noire et une boule
blanche.
- soit diminuer chaque gain de 1 €, c’est-à-dire ne gagner que 99 €, 14 € ou 3 €.
b. Calculer la probabilité de tirer une seule boule blanche au cours de ces quatre tirages.
Quelle est la solution la plus rentable pour l’organisateur ?
3. On effectue maintenant quatre tirages successifs d'une boule avec remise.
Exercice 12. 430 Cartes
a. Calculer la probabilité de tirer dans l'ordre une boule noire, une boule noire, une boule noire et une boule
blanche.
On dispose d'un jeu de 32 cartes (16 noires, 16 rouges). L'expérience consiste à extraire une carte, noter sa
couleur et la remettre dans le jeu, puis à extraire une nouvelle carte dont on note aussi la couleur.
b. Calculer la probabilité de tirer une seule boule blanche au cours de ces quatre tirages.
Deux cartes noires font gagner deux francs.
c. Calculer la probabilité de n'obtenir aucune boule blanche au cours des quatre tirages.
Deux cartes rouges font perdre deux francs.
d. Calculer la probabilité de tirer au moins une boule blanche au cours de ces quatre tirages.
Deux cartes de couleurs différentes procurent un gain nul.
4. On effectue n tirages successifs, avec remise. On appelle Pn la probabilité d'obtenir, au cours de ces n
tirages, une boule blanche uniquement au dernier tirage.
1. a. Quelle est la probabilité de gagner deux francs, de perdre deux francs, de réaliser un gain nul ?
a. Calculer P1, P2, P3.
b. Conjecturer Pn.
b. On répète cinq fois l'expérience. Déterminer la probabilité de gagner dix francs.
2. Dans un plan muni du repère (O ; i , j ) , on considère les points
A (0 ; 1) ;
B(–2 ; –1) ;
C(2 ; –1).
L'origine O est le barycentre du système de points pondérés : {(A, a) ; (B, b) ; (C, c)}, où a, b, c, sont des
réels de somme non nulle.
Exercice 12. 428 Urnes et boules, Pondichéry, 1998
4 points
1. On dispose d’une urne U1 contenant trois boules rouges et sept boules noires. On extrait simultanément
deux boules de cette urne, on admet que tous les tirages sont équiprobables.
275
X est la variable aléatoire qui ne prend que les valeurs –2, 0, 2 avec les probabilités :
p(X = – 2) = a ; p(X = 0) = b ; p(X = 2) = c.
276
a. A l'aide des coordonnées des points A, B, C, O, écrire deux équations vérifiées par les réels a, b, c.
b. Quelle est la valeur de a + b + c ?
c. Résoudre le système de trois équations ainsi obtenu, d'inconnues a, b, c.
e. On garde les hypothèses et notations du b. Calculer la probabilité pn pour qu’une plante de la n-ième
génération ne soit pas homozygote. A partir de quelle génération a-t-on pn ≤ 0,01 ?
Exercice 12. 432 Jetons
d. Déterminer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X.
On désigne par n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Exercice 12. 431 Génétique
On imagine n sacs de jetons S1, S2, ..., Sn.
L’objet de l’exercice est une application du calcul des probabilités à la génétique. Une première question est
consacrée à une étude de suites qui interviennent dans cette application.
Au départ, le sac S1 contient 2 jetons noirs et 1 jeton blanc, et chacun des autres sacs contient 1 jeton noir
et 1 jeton blanc.
1. Soit α un nombre réel non nul différent de 1. On considère les suites an et bn définies par :
On se propose d'étudier l'évolution des tirages successifs d'un jeton de ces sacs, effectués de la façon
suivante :
a0 = 0 et b0 = 1


1−α

 an+1 = an + 2 bn et bn+1 = α bn
Première étape : on tire au hasard un jeton de S1.
Deuxième étape : on place ce jeton dans S2, et on tire, au hasard, un jeton de S2.
Troisième étape : après avoir placé dans S3 le jeton sorti de S2, on tire, au hasard, un jeton de S3 ...et ainsi de
suite...
a. Exprimer bn en fonction de n et de α pour tout n.
1
b. En déduire la valeur de an+1 − an et montrer que an = (1 − α n ) pour tout entier n
2
2. Etant donné un gène possédant un couple d’allèles A et a, on dit qu’une plante est homozygote
lorsqu’elle contient les deux mêmes allèles sur une paire de chromosomes homologues : elle est alors de
génotype AA ou aa. Une plante est hétérozygote lorsqu’elle est de génotype Aa. Certaines plantes se
reproduisent par autogamie ou autofécondation : tout se passe pour la descendance comme si on
fécondait deux plantes de même génotype, chaque chromosome d’une paire étant sélectionné au hasard.
a. Calculer les probabilités pour qu’une plante de génotype AA, ou Aa, ou aa donne par autogamie une
plante de génotype AA, Aa ou aa . On présentera les résultats sous forme de tableau :
Aa
aa
AA
Génotype du descendant
1. a. Déterminer la probabilité de E1 , notée P(E1), et les probabilités conditionnelles : PE1 ( E2 ) et PE ( E2 ) .
1
Génotype de la plante initiale
AA
Pour tout entier naturel k tel que 1 ≤ k ≤ n , on note Ek l'événement : « Le jeton sorti de Sk est blanc », et
Ek l'événement contraire.
Aa
aa
Ainsi à l’intersection de la colonne Aa et de la ligne aa on fera figurer la probabilité pour qu’une plante de
génotype Aa donne par autogamie une plante de génotype aa (le total de chaque colonne est donc
forcément 1).
b. Partant d’une plante hétérozygote (Aa) (génération 0) on constitue par autogamie des générations
successives. On note
AAn l’événement « la plante de la n-ième génération est de génotype AA »
Aan l’événement « la plante de la n-ième génération est de génotype Aa »
aan l’événement « la plante de la n-ième génération est de génotype aa »
on appelle xn la probabilité de AAn, yn la probabilité de Aan , zn la probabilité de aan, en particulier x0 = 0 ,
y0 = 1 , et z0 = 0 .
En déduire la probabilité de E2, notée P(E2).
b. Pour tout entier naturel k tel que 1 ≤ k ≤ n , la probabilité de Ek est notée pk. Justifier la relation de
1
1
récurrence suivante : pk+1 = pk + .
3
3
1
et, pour tout entier naturel k,
2. Étude d'une suite (un) : on note (uk) la suite définie par u1 =
3
1
1
uk+1 = uk + .
3
3
1
a. On considère la suite (vk) définie par : pour tout élément k de ℕ *, vk = uk − . Démontrer que (vk) est
2
une suite géométrique.
b. En déduire l'expression de uk en fonction de k. Montrer que la suite (uk) est convergente et préciser sa
limite.
3. Dans cette question, on suppose que n = 10.
Déterminer pour quelles valeurs de k on a : 0, 4999 < pk < 0,5 .
Calculer x1 , y1 , et z1.
Exercice 12. 433 Grippe
c. Déterminer les probabilités conditionnelles suivantes :
Le directeur du personnel d’une entreprise constate que, chaque hiver, un nombre important d’employés
s’absentent, malades de la grippe. Le médecin de l’entreprise lui assure qu’une personne non vaccinée
contre la grippe a 40 % de chances d’attraper la maladie alors qu’une personne vaccinée n’a que 5 % de
chances de tomber malade.
un+1=P(AAn+1/AAn),
vn+1=P(AAn+1/Aan),
wn+1=P(Aan+1/Aan),
Utiliser ces probabilités conditionnelles pour montrer que xn+1 = xn +
1
1
yn et yn+1 = yn .
4
2
d. Utiliser les résultats du 1° pour donner les valeurs de xn et yn. Que vaut xn + yn + zn ? en déduire zn .
277
Le directeur décide donc de proposer au personnel une vaccination gratuite.
1. On choisit un employé au hasard et on considère les événements suivants :
V : l’employé s’est fait vacciner.
G : l’employé contractera la grippe durant l’hiver.
278
On note PE(F) la probabilité d’un événement F sachant que E s’est réalisé.
a. Déterminer les probabilités suivantes : PV (G) , PV (G) , PV (G) et PV (G) .
b. Exprimer la probabilité P(G) en fonction de la probabilité P(V).
2. Déterminer le pourcentage minimum de personnes à vacciner pour que moins de 20% des employés
aient la grippe cet hiver.
3. Finalement 80 % du personnel accepte de se faire vacciner.
a. Quelle est la probabilité p1 qu’un employé, pris au hasard, tombe malade cet hiver ?
b. Fred, employé au service informatique, tombe malade de la grippe. Quelle est la probabilité p2 qu’il soit
vacciné ?
catégories : sport, cinéma, musique. Dans chaque catégorie, il y a le même nombre de questions. Les trois
catégories sont donc équiprobables.
Alain, fervent supporter de ce jeu, est conscient qu'il a :
– 5 chances sur 6 de donner la bonne réponse sachant qu'il est interrogé en sport ;
– 2 chances sur 3 de donner la bonne réponse sachant qu'il est interrogé en cinéma ;
– 1 chance sur 9 de donner la bonne réponse sachant qu'il est interrogé en musique.
1. Alain participe à ce jeu et tire au hasard une question. Déterminer la probabilité que :
a. la question soit dans la catégorie sport et qu'il donne la bonne réponse ;
b. sa réponse soit bonne à la question posée.
c. Calculer la probabilité p3 qu’un employé, pris au hasard, ne soit pas vacciné et attrape la grippe cet hiver.
2. Pour participer au jeu, Alain doit payer 10 € de droit d'inscription. Il recevra :
4. L’entreprise comporte 500 personnes. On considère que le fait pour une personne de tomber malade est
indépendant du fait que d’autres personnes le soient.
− 20 € s'il est interrogé en cinéma et que sa réponse est bonne ;
a. On note X la variable aléatoire égale au nombre de personnes malades. Quelle est la loi de probabilité de
X?
b. Quel est le nombre moyen de personnes qui tomberont malades de la grippe cet hiver ? En moyenne
dans quel intervalle ce nombre peut-il varier ?
c. Pour assurer le bon fonctionnement de l’entreprise le chef du personnel envisage l’embauche de 10
intérimaires. Que pensez vous de cette décision, sachant qu’avec plus de 50 personnes malades l’entreprise
ne fonctionne plus.
− 10 € s'il est interrogé en sport et que sa réponse est bonne ;
− 50 € s'il est interrogé en musique et que sa réponse est bonne ;
− 0 € si la réponse qu'il donne est fausse.
Soit X la variable aléatoire égale au gain d'Alain (on appelle gain la différence, en francs, entre ce qu'il reçoit
et les 10 € de droit d'inscription).
a. Déterminer les valeurs prises par X.
b. Déterminer la loi de probabilité de X.
c. Calculer l'espérance mathématique E(X) de X.
Exercice 12. 434 Sondage
Alain a-t-il intérêt à jouer ?
On considère un groupe de 16 personnes parmi lesquelles 4 ont une caractéristique C . Ces 4 personnes
seront dites de type C . On prend simultanément et au hasard 5 personnes dans le groupe.
Exercice 12. 436 Urnes 1
1. a. Calculer la probabilité pa de n’avoir aucune personne du type C
On dispose de deux urnes :
b. Calculer la probabilité pb d’avoir exactement une personne du type C
- une urne U1 dans laquelle se trouvent trois boules blanches et deux boules noires ;
c. Calculer la probabilité pc d’avoir au moins deux personnes du type C.
- une urne U2 dans laquelle il y a deux boules blanches et trois boules noires.
d. On sait que deux des personnes choisies sont du type C. Déterminer alors la probabilité d’avoir quatre
personnes de type C.
Une épreuve consiste à tirer simultanément et au hasard deux boules de chaque urne : on obtient ainsi
quatre boules, les tirages dans chaque urne étant équiprobables.
Les résultats seront donnés sous forme de fraction irréductible puis sous forme décimale à 10 −4 près
1. Montrer que la probabilité de l'événement E : « Parmi les quatre boules tirées, il y a exactement deux
boules blanches » est égale à 0,46.
2. On constate après enquête que dans la population entière 25% des gens sont du type C. On estime que
le nombre de personnes est suffisamment important pour pouvoir utiliser une loi binomiale.
On choisit au hasard n personnes (n > 2) et on appelle X la variable aléatoire donnant le nombre de
personnes ayant le type C.
a. Déterminer la loi de probabilité de X. Calculer p(X=0) et p(X=1) en fonction de n et en déduire la
probabilité pn d’avoir au moins deux personnes de type C.
3
b. Démontrer que pn ≥ 0,9 si et seulement si  
4
3
c. On pose un =  
4
Calculer
n−1
 3+n

 4
n−1
 3+n

 ≤ 0,1 .
 4 

.

un+1
et démontrer que un est décroissante.
un
d. Par essais successifs trouver la plus petite valeur de n telle que pn ≥ 0,9 .
2. On note X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le nombre de boules blanches obtenues.
a. Déterminer la loi de probabilité de X.
b. Le joueur doit verser 2,50 F avant d'effectuer le tirage : il reçoit à l'issue du tirage 1 F par boule blanche
obtenue. Le jeu est-il équitable ?
3. Calculer la probabilité d'avoir tiré une et une seule boule blanche de l'urne U1 sachant qu'on a tiré deux
boules blanches.
4. On ne considère que l'urne U1, de laquelle on tire toujours au hasard et simultanément deux boules. On
nomme succès le tirage de deux boules blanches. On renouvelle dix fois la même épreuve (en remettant
chaque fois les boules tirées dans l'urne). Déterminer la probabilité d'avoir au moins un succès sur les dix
tirages.
Exercice 12. 437 Urnes 2, Amérique du Sud, déc 2002
Une urne A contient une boule rouge et trois boules vertes. Une urne B contient deux boules rouges et
deux boules noires. Les boules sont indiscernables au toucher.
1. On dispose d’un dé à 6 faces, parfaitement équilibré, numéroté de 1 à 6.
Exercice 12. 435 Questionnaire
Dans cet exercice, les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.
On le lance une fois ; si l’on obtient un multiple de 3, on tire au hasard une boule de l’urne A, sinon on tire
au hasard une boule de l’urne B.
Dans un jeu, il s'agit de trouver la bonne réponse à une question posée. Les questions sont classées en trois
a. Calculer la probabilité d’obtenir une boule noire.
279
280
b. Quelle est la couleur qui a la plus grande probabilité de sortir ?
b. Montrer que PC2 (E) = 0, 42 et calculer P(C2 ∩ E).
c. Quelle est la probabilité que la boule tirée provienne de l’urne B sachant qu’elle est rouge?
c. En déduire la probabilité qu’en cinq minutes un seul client achète de l’essence.
2. On réunit toutes les boules dans une seule urne et on tire successivement trois boules que l’on pose
chaque fois devant l’urne.
3. Y désigne la variable aléatoire égale au nombre de clients achetant de l’essence en cinq minutes.
Déterminer la loi de probabilité de Y et calculer son espérance.
1
.
4
b. Certains pensent que l’évènement « la première boule tirée est noire » a une probabilité supérieure à
l’évènement « la troisième boule tirée est noire ». Est-ce vrai ? Justifier.
a. Montrer que la probabilité de l’évènement « la 3e boule tirée est noire » vaut
Exercice 12. 441 Paquets de gaufrettes
Un supermarché commercialise des gaufrettes vendues en paquets pour lesquels :
Dans 5% des cas l’emballage n’est pas intact.
Dans 70% des emballages non intacts il y au moins une gaufrette cassée.
Exercice 12. 438 Raquettes
Lorsque les éléphants sautent en parachute au-dessus de la savane, ils chaussent des raquettes pour ne pas
s’enliser. Il y a deux types de raquettes pour pachydermes : des à petit tamis et des à grand tamis. Certains
éléphants préfèrent mettre quatre raquettes à petit tamis (une à chaque patte) tandis que d’autres
préfèrent porter deux raquettes à grand tamis (aux pattes postérieures). La probabilité qu’une raquette se
détache avant l’arrivée au sol est la même pour les deux types et est notée p.
1. Un éléphant saute avec quatre raquettes : quelle est la probabilité P qu’il ait moins (strictement) de deux
raquettes à l’atterrissage ?
2. Un éléphant saute avec deux raquettes : quelle est la probabilité Q qu’il n’ait aucune raquette à
l’atterrissage ?
3. Sachant qu’un éléphant s’enlise s’il a perdu plus de la moitié de son équipement, comparer, en fonction
de valeurs de p, les probabilités de s’enliser avec chaque type de chausse.
Exercice 12. 439 Code d’entrée
Le code d’entrée d’un immeuble est composé de 5 symboles parmi les chiffres de 0 à 9 et les lettres A et B.
Un même symbole peut être utilisé plusieurs fois.
90% des emballages intacts ne contiennent pas de gaufrette cassée.
1. Un client achète au hasard un paquet de gaufrettes. On note I l’événement « l’emballage est intact » et C
l’événement « au moins une gaufrette est cassée ».
a. Calculer la probabilité de I.
b. On considère les événements suivants : E « l’emballage n’est pas intact et aucune gaufrette n’est cassée »
et F « l’emballage est intact et aucune gaufrette n’est cassée ».
Exprimer E et F en fonction de I, I , et C . Calculer les probabilités de E et de F. En déduire la probabilité de
C , puis celle de C.
c. Le paquet ne contient pas de gaufrette cassée. Calculer la probabilité que l’emballage ait été intact.
2. Lors d’une vente promotionnelle, les paquets sont vendus par lots de 5. Un client achète au hasard un tel
lot. Quelle est la probabilité qu’il n’y ait aucune gaufrette cassée ? Que le lot contienne au moins un
emballage détérioré ?
Exercice 12. 442 Calcul de l’espérance et de la variance de la loi binomiale
3. Combien de codes contiennent un et un seul 0 ?
n
On considére une v.a. X suivant une une loi binomiale B(n, p) où pk = P( X = k) =   p k (1 − p)n− k . On pose
k
f ( x) = ( px + 1 − p)n .
4. Combien de codes contiennent au moins une lettre ?
a. Calculer f '( x) et f "( x) puis f '(1) et f "(1) .
5. Un nouveau syndic est nommé, qui décide que pour des raisons de sécurité, le code doit comporter au
moins un chiffre et au moins une lettre. Combien y a-t-il dorénavant de codes possibles ?
b. Vérifier que f ( x) =
1. Combien y a-t-il de codes possibles ?
2. Combien de codes ne comportent que des chiffres pairs ?
n
∑p x
k
k
. Calculer de nouveau f '( x) et f "( x) puis f '(1) et f "(1) .
k= 0
6. Un SDF veut dormir dans le hall. Il sait par une indiscrétion que le code comporte les chiffres 1258 et la
lettre B. Combien de codes devra-t-il essayer au maximum avant de passer la nuit au chaud ?
c. Déduire des calculs précédents les valeurs de E(X) et Var(X).
Exercice 12. 440 Station-service, National, 1998
Exercice 12. 443 Autour du binome
1. Le nombre de clients se présentant en cinq minutes dans une station service est une variable aléatoire X
dont on donne la loi de probabilité pi = P(X = i) :
Les trois questions sont indépendantes.
i
0
1
2
pi
0,1
0,5
0,4
a. Définir et représenter graphiquement la fonction de répartition de X.
b. Calculer l’espérance mathématique de x et son écart type.
2. Dans cette station service, la probabilité qu’un client achète de l’essence est de 0,7 ; celle qu’il achète du
gazole est 0,3. Le choix de chaque client est indépendant de celui des clients précédents. On considère les
événements :
1. Les adhérents du foyer rural de Vaudouhé l’Etang peuvent pratiquer une ou plusieurs des activités
suivantes : photographie, mycologie ou pêche. 130 pêchent, et parmi eux 55 font de la mycologie, et 46 de
la photo. 155 font de la photo, et parmi eux 60 sont aussi mycologues. Il y a en tout 130 amateurs de
champignons, et 24 pratiquent les 3 activités. Combien le foyer rural comporte-t-il d’adhérents ?
n  n
2. Résoudre l’équation   +   = 3n(n − 1) dans l’ensemble des entiers supérieurs à 3.
2 3
3. On pose f ( x) = ( x + 1)n .
a. Calculer f ’(x).
C1 : En cinq minutes, un seul client se présente ;
b. En utilisant la formule du binôme de Newton, développer f(x).
C2 : En cinq minutes, deux clients se présentent ;
c. Déduire du b. une autre expression de f ’(x).
E : En cinq minutes, un seul client achète de l’essence.
a. Calculer P(C1 ∩
n
d. En déduire que
E).
 n
∑ k  k  = n2
n−1
.
k= 0
281
282
Exercice 12. 444 Examens sanguins
1. Calculer les probabilités p2, p3 et p4.
Lors des recrutements massifs de 1940 l’armée américaine mit sur pied une méthode de détection de
certaines maladies évitant de procéder par unité (on ne testait pas chaque individu).
2. On considère les évènements suivants :
Mettons que dans une population N il y ait une proportion p de personnes atteintes d’une maladie donnée,
détectable par analyse sanguine. On choisit un échantillon de taille n (certaines recrues de 1940) dont on
mélange les prélèvements sanguins.
Un : «On tire une boule blanche et une seule lors des n − 1 premiers tirages ».
Si le résultat est négatif aucune de ces n personnes n’est malade, sinon on analyse individuellement chacun
des prélèvements. Le problème est évidemment d’optimiser le coût des analyses et donc la taille de
l’échantillon n.
Bn : «On tire une boule blanche lors du n-ième tirage »,
a. Calculer la probabilité de l’évènement Bn.
b. Exprimer la probabilité de l’évènement Un en fonction de n.
c. En déduire l’expression de pn en fonction de n et vérifier l’égalité : pn =
n
n −1  2 
  .
4 3
1. Soit Xn la v.a. égale au « nombre d’analyses nécessaires pour un groupe de n personnes ».
3. On pose : Sn = p2 + p3 +···+ pn.
a. Montrer que P( Xn = 1) = (1 − p)n . En déduire P( Xn = n + 1) .
a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on a :
n
n
 2
Sn = 1 −  + 1  ×   .
2
 3
1
1
b. Montrer que le nombre moyen d’analyses par personne est E( Xn ) = 1 + − (1 − p)n .
n
n
2. Si on procède par échantillons de 1, on teste tout le monde ; il faut donc minimiser
déterminer quand un =
1
E( Xn ) et pour cela
n
1
− (1 − p)n est négatif.
n
b. Déterminer la limite de la suite (Sn).
Exercice 12. 447 Hôpital, Liban, juin 2004
4 points
a. On pose vn = n(1 − p)n ; montrer qu’il existe une valeur n0 de n (qui dépend de p) telle que lorsque
n ≤ n0 , vn est croissante et lorsque n ≥ n0 , vn est décroissante.
b. En déduire qu’il existe une valeur n1 de n pour laquelle vn > 1 lorsque n ≤ n1 et vn < 1 lorsque n ≥ n1 .
c. On pose n = x et f ( x) = 1 − x(1 − p)x . Retrouver les résultats précédents en étudiant les variations de f.
Le personnel d’un très grand hôpital est réparti en trois catégories : les médecins, les soignants (non
médecins) et le personnel AT (administratif ou technique).
12% des personnels sont des médecins et 71% sont des soignants.
67% des médecins sont des hommes et 92% des soignants sont des femmes.
On donnera une valeur approchée de tous les résultats à 10−4 près.
d. Déterminer les valeurs de n pour lesquelles un > 0 .
1. On interroge au hasard un membre du personnel de cet hôpital.
3. On se demande quelle est la valeur de n pour laquelle l’économie moyenne est la plus forte. Quelle
méthode proposeriez-vous pour répondre à cette question ?
a. Quelle est la probabilité d’interroger une femme soignante ?
Exercice 12. 445 Evolution d’une population de bactéries
c. On sait que 80% du personnel est féminin. Calculer la probabilité d’interroger une femme AT.
Dans une population de bactéries, à un instant donné, chaque bactérie meurt avec une probabilité p, se
divise en deux avec une probabilité q et meurt avec une probabilité r = 1 − p − q.
Toutes les bactéries se comportent de la même façon et de manière indépendante. On s’intéresse à la
probabilité de disparition des bactéries au cours du temps. On note pn la probabilité que la génération n ne
comporte aucun individu ; dans tous les cas on part d’une seule bactérie initiale.
1. Montrer que p1 = p et que p2 = 2 p − pq + p2 (1 − q) .
2. D’une manière générale, montrer que pn+1 = p + rpn + qpn2 .
3. Montrer que la suite pn est croissante et majorée par1. Montrer que pn converge et déterminer les
valeurs possibles de sa limite.
4. Etudier les cas p =
1
1
1
1
1
1
1
1
1
, q = , r = puis p = , q = , r = et enfin p = , q = , r = .
2
4
4
4
4
2
4
2
4
Exercice 12. 446 Tirages successifs, Liban, juin 2003
4 points
Une urne contient quatre boules noires et deux boules blanches.
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On répète n fois l’épreuve qui consiste à tirer une boule puis
la remettre dans l’urne ; on suppose que toutes les boules ont la même probabilité d’être tirées et que les
tirages sont indépendants.
b. Quelle est la probabilité d’interroger une femme médecin ?
En déduire la probabilité d’interroger une femme sachant que la personne interrogée fait partie du
personnel AT.
2. Tout le personnel de cet hôpital a un temps de trajet domicile-hôpital au plus égal à une heure et on
suppose que la durée exacte du trajet est une variable aléatoire uniformément répartie sur [0 ; 1].
On interroge au hasard un membre du personnel de cet hôpital. Quelle est la probabilité pour que la
personne interrogée ait une durée de trajet comprise entre 15 min et 20 min ?
3. Une entreprise souhaite envoyer un courrier publicitaire à 40 personnes qui travaillent dans cet hôpital.
Elle a la liste du personnel mais ne connaît pas la fonction de chacun. Elle choisit au hasard 40 noms de la
liste (en raison de la taille de la population, on considère qu’il s’agit de 40 tirages successifs indépendants
avec remise).
Quelle est la probabilité que, sur les 40 courriers envoyés, 10 exactement soient reçus par des médecins ?
Exercice 12. 448 Ramassage, Centres étrangers, juin 2004
5 points
Un employé se rend à son travail. S’il est à l’heure il prend le bus de ramassage gratuit mis à disposition par
l’entreprise, s’il est en retard il prend le bus de la ville et il lui en coûte 1,50 €.
Si l’employé est à l’heure un jour donné, la probabilité qu’il soit en retard le lendemain est
retard un jour donné la probabilité qu’il soit en retard le lendemain est
On note pn, la probabilité de tirer exactement une boule blanche lors des n − 1 premiers tirages et une
boule blanche lors du n-ième tirage.
283
284
1
.
20
1
, s’il est en
5
Pour tout entier naturel non nul n, on appelle Rn l’évènement : « l’employé est en retard le jour n ». On note
pn la probabilité de Rn et qn celle de Rn . On suppose que p1 = 0.
1. Détermination d’une relation de récurrence.
c. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à deux. On joue n fois de suite. On a donc placé n points de
manière indépendante dans le carré.
a. Déterminer les probabilités conditionnelles pRn ( Rn+1 ) et pR ( Rn+1 ) .
n
b. Déterminer p(Rn+1 ∩ Rn) en fonction de pn et p(Rn+1 ∩ Rn ) en fonction de qn.
c. Exprimer pn+1 en fonction de pn et de qn.
d. En déduire que pn+1 =
a. Calculer la probabilité p(R) pour que le point soit placé dans la zone R. Calculer l’espérance de X.
b. On joue deux fois de suite. On a donc placé deux points de manière indépendante dans le carré. Calculer
la probabilité d’obtenir un gain total positif ou nul.
1 3
−
pn .
5 20
Calculer la probabilité pn d’obtenir aumoins un point placé dans le disque D. Déterminer la plus petite
valeur de n tel que pn ≥ 0,9.
Exercice 12. 450 Fléchettes, Amérique du Nord, mai 2004
4 points
2. Étude de la suite (pn). Pour tout entier naturel non nul n, on pose vn = pn −
a. Démontrer que (vn) est une suite géométrique de raison −
4
.
23
Un jeu de hasard est formé d’un dispositif lançant de façon aléatoire une fléchette dans une cible ayant la
forme suivante :
3
.
20
B B B B B B B B B J J J V V R
R V V J J J B B B B B B B B B
b. Exprimer vn puis pn en fonction de n.
La fléchette atteint toujours une case et une seule.
c. Justifier que la suite (pn) est convergente et calculer sa limite.
Les trente cases, blanches (B), jaunes (J), vertes (V) ou rouges (R), ont toutes la même probabilité d’être
atteintes.
Exercice 12. 449 Fléchettes, France, sept 2002
Si la fléchette atteint une case rouge, le joueur gagne 8 euros.
4 points
Un carré de côté 20 cm est partagé selon les 10 zones suivantes :
- un disqueD de rayon1 cm,
- 8 secteurs S1, S2, . . . , S8 de même aire délimités par les frontières du disque D et du disque D’ de même
centre et de rayon 9 cm,
- une zone R entre le disque D’ et le bord du carré.
On place un point aléatoirement dans le carré. La probabilité de placer le point dans une zone quelconque
du carré est proportionnelle à l’aire de cette zone.
Si la fléchette atteint une case verte, le joueur gagne 5 euros.
Si la fléchette atteint une case jaune, le joueur ne gagne rien et ne perd rien.
Si la fléchette atteint une case blanche, le joueur perd a euros, la lettre a désigne un nombre réel positif.
1. On note X la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur (compté négativement quand il
perd).
a. Donner la loi de probabilité de X.
b. Calculer a pour que le jeu soit équitable, c’est-à-dire pour que l’espérance E(X) soit nulle.
2. Un joueur est considéré comme gagnant s’il a obtenu un gain strictement positif.
a. Quelle est la probabilité p qu’un joueur gagne ?
b. Un joueur joue 5 parties consécutives indépendantes. Quelle est la probabilité qu’il gagne exactement
2 fois ? exactement 5 fois ?
c. Quel est le nombre moyen de parties gagnantes dans la situation décrite en 2. b. ?
Exercice 12. 451 Lancer de tétraèdres, Polynésie, juin 2003
Partie A
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé (O ; i , j , k ) , on considère les points A, B, C et D de
coordonnées respectives : A(0 ; 0 ; 3), B( 2 2 ; 0 ; −1), C( − 2 ; − 6 ; −1), D( − 2 ;
6 ;−1).
1. Démontrer que ABCD est un tétraèdre régulier, c’est-à-dire un tétraèdre dont toutes les arêtes sont de
même longueur.
1. a. Déterminer la probabilité p(D) pour que le point soit placé dans le disque D.
b. Déterminer la probabilité p(S1) pour que le point soit placé dans le secteur S1.
2. Pour cette question, on utilisera les valeurs approchées suivantes : p(D) = 0,008 et pour tout k
appartenant à {1 ; 2; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8}, p(Sk) = 0,0785.
2. On note R, S, T et U les milieux respectifs des arêtes [AC], [AD], [BD] et [BC] ; démontrer que RSTU
est un parallélogramme de centre O.
3. Ce parallélogramme a-t-il des propriétés supplémentaires ? Expliquer.
À cette situation aléatoire est associé le jeu suivant :
- un point placé dans le disque D fait gagner 10 euros ;
- un point placé dans le secteur Sk fait gagner k euros pour tout k appartenant à {1 ; 2; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8} ;
- un point placé dans la zone R fait perdre 4 euros.
On note X la variable alatoire égale au gain algébrique obtenu.
285
286
c. On note E2 l’évènement : « M appartient à P ». Quelle est la probabilité de l’évènement E2 ?
4. On désigne par B la boule de centreO et de rayon 1,5 (c’est-à-dire l’ensemble des points M de l’espace tels
que OM ≤ 1,5).
On note E3 l’évènement : « M appartient à la boule B ». Déterminer la probabilité de l’évènement E3.
Partie B
On dispose de trois tétraèdres identiques au précédent, parfaitement équilibrés. Chacun d’eux a une face
peinte en bleu, une face peinte en jaune et deux faces peintes en rouge.
On lance les trois tétraèdres simultanément (on remarquera que, lorsqu’on lance un tel tétraèdre, une seule
face est cachée et trois faces sont visibles).
1. Calculer la probabilité pour qu’au moins trois faces rouges soient visibles sur les trois tétraèdres.
2. Calculer la probabilité pour que la couleur bleue ne soit visible sur aucun tétraèdre.
3. Calculer la probabilité de l’évènement E « les six faces rouges sont visibles ».
4. On répète n fois l’expérience qui consiste à lancer les trois tétraèdres. Calculer la probabilité pn pour que
l’évènement E soit réalisé au moins une fois.
Calculer lim pn .
n→+∞
Exercice 12. 452 Avec de la géométrie, Amérique du Sud, nov 2003
4 points
Un sac contient 4 jetons numérotés respectivement −1, 0, 0, 1 et indiscernables au toucher.
On tire un jeton du sac, on note son numéro x et on le remet dans le sac ; on tire un second jeton, on note
son numéro y et on le remet dans le sac ; puis on tire un troisième jeton, on note son numéro z et on le
remet dans le sac.
Tous les jetons ont la même probabilité d’être tirés.
À chaque tirage de trois jetons, on associe, dans l’espace muni d’un repère orthonormal (O ; i , j , k ) le point
M de coordonnées (x, y, z).
Sur le graphique joint en annexe, sont placés les 27 points correspondant aux différentes positions
possibles du point M. Les coordonnées du point A sont (1 ; −1 ; −1) dans le repère (O ; i , j , k ) .
On note C le cube ABCDEFGH.
1
.
64
2. On note E1 l’évènement : « M appartient à l’axe des abscisses ». Démontrer que la probabilité de E1 est
1
égale à .
4
3. Soit P le plan passant par O et orthogonal au vecteur n (1; 1 ; 1).
1. Démontrer que la probabilité que le point M soit en A est égale à
a. Déterminer une équation cartésienne du plan P .
b. Tracer en couleur sur le graphique la section du plan P et du cube C. (On ne demande pas de
justification).
287
Exercice 12. 453 Pièces d’1 euro et loi binomiale, France sept 2003
5 points
Un commerce possède un rayon « journaux » et un rayon « souvenirs ». À la fin d’une journée, on trie les
pièces de monnaie contenues dans les caisses de chaque rayon. On constate que la caisse du rayon
« journaux » contient 3 fois plus de pièces de 1 € que celle du rayon « souvenirs ». Les pièces ont toutes le
côté pile identique, mais le côté face differe et symbolise un des pays utilisant lamonnaie unique.
Ainsi, 40 % des pièces de 1 € dans la caisse du rayon « souvenirs » et 8 % de celles du rayon « journaux »
portent une face symbolisant un pays autre que la France (on dira « face étrangère »).
1. Le propriétaire du magasin, collectionneur de monnaies, recherche les pièces portant une face étrangère.
Pour cela il prélève au hasard et avec remise 20 pièces issues de la caisse « souvenirs ». On note X la variable
aléatoire qui associe à chaque prélèvement le nombre de pièces portant une face « étrangère ».
a. Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale ; déterminer les paramètres de cette loi.
b. Calculer la probabilité qu’exactement 5 pièces parmi les 20 portent une face étrangère.
c. Calculer la probabilité qu’au moins 2 pièces parmi les 20 portent une face étrangère.
2. Les pièces de 1 € issues des deux caisses sont maintenant rassemblées dans un sac.
288
On prélève au hasard une pièce du sac.
Exercice 12. 455 Accidents de scooter, N. Calédonie, novembre 2003
On note S l’évènement « la pièce provient de la caisse souvenirs » et E l’évènement « la pièce porte une face
étrangère ».
On observe sur une longue période le nombre d’accidents de scooters à un carrefour.
a. Déterminer P(S), PS(E) ; en déduire P(S ∩ E).
b. Démontrer que la probabilité que la pièce porte une face étrangère est égale à 0,16.
c. Sachant que cette pièce porte une face étrangère, déterminer la probabilité qu’elle provienne de la caisse
« souvenirs ».
3. Dans la suite, la probabilité qu’une pièce choisie au hasard dans le sac porte une face étrangère est égale à
0,16. Le collectionneur prélève n pièces (n entier supérieur ou égal à 2) du sac au hasard et avec remise.
Calculer n pour que la probabilité qu’il obtienne au moins une pièce portant une face étrangère soit
supérieure ou égale à 0,9.
5 points
Il est alors possible de proposer la modélisation suivante : pour n scooters franchissant le carrefour durant
une année (n est un grand nombre inconnu), on admet que la variable aléatoire Sn qui totalise le nombre
d’accidents de scooters à ce carrefour durant cette année suit une loi binomiale ; on estime que l’espérance
mathématique de Sn notée E(Sn) est égale â 10.
Soit p la probabilité pour un scooter d’être accidenté à ce carrefour pendant l’année considérée.
k
 n   10  
10 
1. Calculer p, puis justifier l’égalité P(Sn = k) =   
  1−

n 
 k  n  
0 ≤ k≤ n.
Exercice 12. 454 Promenades avec un guide, Antilles septembre 2003
5 points
Une association organise des promenades en montagne.Douze guides emmènent chacun, pour la journée,
un groupe de personnes dès le lever du Soleil. L’été il y a plus de demandes que de guides et chaque groupe
doit s’inscrire la veille de la promenade.
Mais l’expérience des dernières années prouve que la probabilité que chacun des groupes inscrits ne se
1
présente pas au départ de la promenade est égale à . On admettra que les groupes inscrits se présentent
8
indépendamment les uns des autres.
Les probabilités demandées seront arrondies au 100ème le plus proche.
1. a. Montrer que la probabilité qu’un jour donné les 12 groupes inscrits soient tous présents est comprise
entre 0,20 et 0,21.
b. On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de jours où les 12 groupes inscrits se sont tous
présentés au départ lors d’unmois de 30 jours. Montrer que X suit une loi binomiale dont on précisera les
paramètres.
Donner la signification des évènements X = 30 puis X = 0 et calculer la probabilité de ces évènements.
Préciser l’espérance mathématique E(X). Quelle signification peut-on donner à ce résultat ?
c. Une somme de 1 Crédit (la monnaie locale) est demandée à chaque groupe pour la journée. Cette somme
est réglée au départ de la promenade.
Dans le cas où un groupe ne se présente pas au départ, l’association ne gagne évidemment pas le Crédit que
ce groupe aurait versé pour la journée.
On nomme S la variable aléatoire égale à la somme, en Crédits, perçue par l’association un jour donné.
Calculer la probabilité de l’évènement [S = 11]. Préciser l’espérance mathématique de S.
2. a. Agacé par le nombre de guides inemployés, le dirigeant de l’association décide de prendre chaque jour
une réservation supplémentaire. Évidemment si les 13 groupes inscrits se présentent, le 13ème groupe sera
dirigé vers une activité de substitution. Toutefois, cette activité de remplacement entraîne une dépense de
2 Crédits à l’association.
Quelle est a probabilité P13 qu’un jour donné il n’y ait pas de désistement, c’est-à-dire que les 13 groupes
inscrits la veille se présentent au départ de la promenade?
Préciser la loi de la variable aléatoire R et calculer son espérance mathématique.
13
∑
k
13 − k
 k  7   1 
k.      
 13   8   8 
déduire que lim P(Sn = 0) = e−10 .
où k est un entier naturel tel que
10 

ln  1 −

n 

où ln désigne la fonction logarithme népérien ; en
10
−
n
n→∞
b. Démontrer que P(Sn = k + 1) = P(Sn = k) ×
c. Démontrer
que
n − k 10
×
, où k est un entier naturel tel que 0 ≤ k ≤ n − 1 .
n − 10 k + 1
lim P(Sn = k) = e−10
si
n→∞
10
pour 0 ≤ k + 1 ≤ n .
( k + 1)!
d.
utilisant
Démontrer
en
−10
lim P(Sn = k) = e
n→∞
pour
0 ≤ k≤ n,
alors
on
a
également
k +1
lim P(Sn = k + 1) = e−10
n→∞
10 k
k!
un
raisonnement
par
récurrence
sur
l’entier
naturel
k
que
10 k
où k est un entier naturel tel que 0 ≤ k ≤ n .
k!
10 k
est
k!
une approximation acceptable de P(Sn = k). Utiliser cette approximation pour calculer à 10−4 près la
probabilité pour qu’au cours de cette année il y ait au moins trois accidents de scooters à ce carrefour.
3. On suppose que le nombre n est suffisamment grand pour que l’on puisse admettre que e−10
Exercice 12. 456 Chaine de Markov, binomiale, N. Calédonie, juin 2003
5 points
Une société de maintenance de photocopieurs désire optimiser ses prestations au niveau des entreprises,
afin de proposer un abonnement adapté à ses services.
On note, pour n entier naturel non nul, In l’évènement « La société intervient durant le n-ième mois qui suit
l’installation d’un photocopieur » et pn = p(In) la probabilité de l’évènement In.
Le bureau d’étude a mis en évidence les résultats suivants pour une entreprise déterminée :
• p(I1) = p1 = 0,75.
• Sachant qu’il y a eu une intervention durant le n-ième mois qui suit l’installation d’un photocopieur, la
probabilité d’intervention le mois suivant est égale à 0,04.
b. Soit R la variable aléatoire égale au coût de l’activité de substitution.

c. Montrer que le gain moyen obtenu pour chaque jour est : 


2. a. Établir l’égalité ln [ P(Sn = 0) ] = −10
n− k

 − 2P13 .


• Sachant qu’iI n’y a pas eu d’intervention durant le n-ième mois qui suit l’installation d’un photocopieur,
la probabilité d’intervention le mois suivant est égale à 0,64.
Calculer ce gain.
On rappelle que A est l’évènement contraire de l’évènement A et que pB(A) est la probabilité
conditionnelle de A sachant que B est réalisé.
d. La décision du dirigeant est-elle rentable pour l’association ?
PARTIE 1
289
k =0
290
1. Préciser pIn ( In+1
)
et pI
n
( In+1 )
puis calculer p ( In+1 ∩ In
)
(
et p In+1 ∩ In
) en fonction de p
n
(n ∈ ℕ *).
2. En déduire pn+1 = −0, 6 pn + 0, 64 .
On note C l’événement « la personne concernée est contre la construction », D l’événement contraire, E
l’événement « la personne concernée est écologiste » et F l’événement « la personne concernée est contre la
construction et n’est pas écologiste ».
3. On considère la suite (qn) définie sur ℕ * par : qn = pn − 0,4.
1. Calculer les probabilités p(C), pC(E), pD(E).
a. Démontrer que (qn) est une suite géométrique.
2. a. Calculer la probabilité qu’une personne soit contre la construction et soit écologiste.
b. En déduire qn puis pn en fonction de n.
b. Calculer la probabilité qu’une personne soit pour la construction et soit écologiste.
c. Donner une valeur approchée de p6 à 10
−3
près par excès.
c. En déduire la probabilité qu’une personne soit écologiste.
PARTIE 2
3. Calculer la probabilité pE(C).
Le même mois, la société de maintenance installe un photocopieur dans 10 entreprises. Six mois plus tard,
elle désire libérer une partie de son personnel afin de proposer un stage de mise à niveau.
4. Montrer que p(F) = 0,195. On choisit au hasard 5 personnes. Quelle est la probabilité qu’au moins une
d’elles soit contre la construction et ne soit pas écologiste ?
On estime que la probabilité d’intervention du service de maintenance durant ce mois auprès de chacune
de ces entreprises est égale à 0,373.
Exercice 12. 459 Loterie
Donner, à 10−3 près par excès, la probabilité qu’il y ait au moins un déplacement du service de maintenance
durant ce mois (on supposera que les interventions dans les différentes entreprises sont des évènements
indépendants).
Un joueur achète 2 € , un billet permettant de participer à un jeu constitué d’un grattage suivi d’une
loterie.
Exercice 12. 457 Assurance, Polynésie, sept 2002
Il gratte une case sur le billet. Il peut alors gagner 15 € avec une probabilité de
Une compagnie d’assurance automobile fait un bilan des frais d’intervention, parmi ses dossiers d’accidents
de la circulation.
85% des dossiers entraînent des frais de réparation matérielle.
Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.
G désigne l’événement : « le joueur gagne au grattage ».
Il participe ensuite à une loterie avec le même billet. A cette loterie, il peut gagner 15 € , ou 30 € , ou bien
ne rien gagner.
20% des dossiers entraînent des frais de dommages corporels.
L1 désigne l’événement : « Le joueur gagne 15 € à la loterie » ;
12% des dossiers entraînant des frais de réparation matérielle entraînent aussi des frais de dommages
corporels.
L2 désigne l’événement : « Le joueur gagne 30 € à la loterie » ;
Soit les évènements suivants :
R : le dossier traité entraîne des frais de réparation matérielle,
D : le dossier traité entraîne des frais de dommages corporels.
1. En utilisant les notations R et D, exprimer les trois pourcentages de l’énoncé en termes de probabilités ;
les résultats seront donnés sous forme décimale.
2. Calculer la probabilité pour qu’un dossier :
a. entraîne des frais de réparationmatérielle et des frais de dommages corporels ;
b. entraîne seulement des frais de réparation matérielle ;
c. entraîne seulement des frais de dommages corporels ;
d. n’entraîne ni frais de réparation matérielle ni frais de dommages corporels ;
e. entraîne des frais de réparation matérielle sachant qu’il entraîne des frais de dommages corporels.
1
ou bien ne rien gagner.
50
P désigne l’événement : « Le joueur ne gagne rien à la loterie ».
Si le joueur n’a rien gagné au grattage, la probabilité qu’il gagne 15 € à la loterie est
qu’il gagne 30 € à la loterie est
1
, et la probabilité
70
1
.
490
1. a. Faire un arbre sur lequel on indiquera les renseignements qui précèdent.
b. Calculer la probabilité pour que le joueur ne gagne rien à la loterie, sachant qu’il n’a rien gagné au
grattage. Compléter l’arbre obtenu avec cette valeur.
c. Au bout de chaque branche, indiquer le gain algébrique total du joueur, après grattage et loterie,
déduction faite du prix du billet.
2. On note X la variable aléatoire qui représente le gain algébrique total du joueur , après grattage et loterie,
déduction faite du prix du billet.
3. On constate que 40% des dossiers traités correspondent à des excès de vitesse et parmi ces derniers 60%
entraînent des frais de dommages corporels.
La probabilité de l’événement « X = 13 » est
2
.
125
a. On choisit un dossier ; quelle est la probabilité pour que ce dossier corresponde à un excès de vitesse et
entraîne des frais de dommages corporels ?
La probabilité de l’événement « X = 28 » est
1
.
250
b. On choisit cinq dossiers de façon indépendante. Quelle est la probabilité pour qu’au moins un dossier
corresponde à un excès de vitesse et entraîne des frais de dommages corporels.
a. Montrer que la probabilité que le joueur gagne 15 € à la loterie, sachant qu’il a gagné 15 € au grattage est
1
égale à
.
10
b. Calculer la probabilité que le joueur ne gagne rien à la loterie , sachant qu’il a gagné 15 € au grattage.
Exercice 12. 458 Sondage écolo, Polynésie,1996
4 points
c. Déterminer la loi de probabilité de X. Calculer l’espérance de X. Ce jeu est-il équitable ?
Un sondage effectué à propos de la construction d’un barrage a donné les résultats suivants :
65% des personnes sont contre la construction,
Exercice 12. 460 Chaîne de Markov, Antilles, sept 2002
parmi les personnes qui sont contre cette construction, 70% sont des écologistes,
5 points
parmi les personnes qui sont pour la construction, 20% sont écologistes.
291
292
1. Soit la suite (un) définie par u1 =
1
1
1
et par la relation de récurrence : un+1 = un + .
6
3
2
2
a. Soit la suite (vn) définie pour n ≥ 1 par vn = un − ; montrer que (vn) est une suite géométrique dont on
5
précisera la raison.
b. En déduire l’expression de vn en fonction de n puis celle de un.
2. On considère deux dés, notés A et B. Le dé A comporte trois faces rouges et trois faces blanches. Le dé B
comporte quatre faces rouges et deux faces blanches.
On choisit un dé au hasard et on le lance : si on obtient rouge, on garde le même dé, si on obtient blanc, on
change de dé. Puis on relance le dé et ainsi de suite.
On désigne par An l’évènement « on utilise le dé A au n-ième lancer », par An l’évènement contraire de An,
par Rn l’évènement « on obtient rouge au n-ième lancer », par Rn l’évènement contraire de Rn, par an et rn
les probabilités respectives de An et Rn.
a. Déterminer a1.
b. supérieure à 300 km.
2. Sachant que l’autocar a parcouru 350 km sans blocage, quelle est la probabilité qu’il n’en subisse pas non
plus au cours des 25 prochains kilomètres ?
3. a. A l’aide d’une intégration par parties calculer I( A) =
(
c. En remarquant que, pour tout n ≥ 1, Rn = ( Rn ∩ An ) ∪ Rn ∩ An
)
)
1
1
, montrer que rn = an + .
6
3
d. Montrer que, pour tout n ≥ 1, An+1 = Rn ∩ An ∪ ( Rn ∩ An ) .
1
1
e. En déduire que, pour tout n ≥ 1, an+1 = an + , puis déterminer l’expression de an en fonction de n.
6
3
f. En déduire l’expression de rn en fonction de n puis la limite de rn quand n tend vers +∞ .
A
0
x
1 − 82
xe dx où A est un nombre positif.
82
b. Calculer la limite M de I(A) lorsque A tend vers +∞. On admettra que M est la distance moyenne
parcourue par un autocar avant le premier blocage.
4. L’entreprise possède N0 autocars. Les distances parcourues par chacun entre le dépôt et le lieu où
survient un blocage sont des variables aléatoires deux à deux indépendantes et de même loi exponentielle
1
de paramètre λ =
. d étant un réel positif, on note Xd la v.a. égale au nombre d’autocars n’ayant subi
82
aucun blocage après avoir parcouru d kilomètres.
a. Montrer que Xd suit une loi binômiale de paramètres N0 et e−λ d .
5 points
Une entreprise A est spécialisée dans la fabrication en série d’un article. Un contrôle de qualité a montré
que chaque article produit par A pouvait présenter deux types de défaut : un défaut de soudure sur 3 % des
pièces et un défaut sur un composant électronique sur 2 % des pièces. Les deux défauts étant indépendants
l’un de l’autre. Un article sera défectueux s’il présente au moins un des deux défauts.
1. Montrer que la probabilité qu’un article soit défectueux est 0,0494.
2. Une grande surface reçoit 800 de ces articles. Soit X la variable aléatoire égale au nombre d’articles
défectueux. Définir la loi de probabilité de X, calculer son espérance mathématique. Interpréter.
3. a. Un petit commerçant commande 25 articles à A. Calculer à 10
deux articles défectueux dans la commande.
Exercice 12. 463 QCM probas continues, La Réunion, juin 2003
5 points
1. Une urne contient 75 boules blanches et 25 boules noires. On tire une boule ; les boules ont toutes la
même probabilité d’être tirées. On effectue n tirages indépendants et avec remise, n supérieur ou égal à 10.
Soit X la v.a. égale au nombre de boules blanches tirées.
a. X suit une loi binômiale de paramètres n et 1/4.
b. P(X = 0) =
Exercice 12. 461 Petit commerce, Antilles, juin 2003
−3
1
22 n
4. La durée de vie en jours de chaque article est donnée par une loi exponentielle de paramètre 0,0007.
Calculer la probabilité, à 10−3 près, qu’un article ait une durée de vie comprise entre 700 et 1000 jours.
Exercice 12. 462 Autocars, Asie, juin 2003
2. Une maladie atteint 1 % d’une population donnée. Un test de dépistage de cette maladie a les
caractéristiques suivantes :
* chez des individus malades 99 % des tests sont positifs et 1 % négatifs ;
* chez des individus sains 98 % des tests sont négatifs, 2 % positifs.
Un individu est choisi au hasard et on lui applique le test. Soit M l’événement « l’individu est malade » et T
l’événement « le test pratiqué est positif ».
a. PM (T) + PM (T) = 1,01 .
c. P(T) = 2,97.10 −2 .
b. PM (T) + PM (T) = P(T) .
d. Sachant que le test est positif il y a deux chances
sur trois pour que l’individu testé ne soit pas
malade.
3. La durée d’attente en secondes à la caisse d’un supermarché est une v.a. Y qui suit une loi exponentielle
de paramètre 0,01.
a. La densité de probabilité de Y est la fonction f
définie sur [0 ; +∞[ par
−0,01t
f (t) = e
5 points
Une entreprise d’autocars dessert une région montagneuse. En chemin, les véhicules peuvent être bloqués
par des événements extérieurs comme des chutes de pierre, des troupeaux sur la route, etc.
Un autocar part de son dépôt. On note D la variable aléatoire qui mesure la distance en kilomètres que
l’autocar va parcourir jusqu’au premier blocage. On admet que D suit une loi exponentielle de paramètre
1
λ=
. On arrondira les résultats au millième.
82
1. Calculer la probabilité que la distance parcourue sans blocage soit :
c. P(X < 5) = 1 − P(X > 5) .
d. E(X) = 0,25n .
.
près la probabilité qu’il y ait plus de
b. Il veut que sur sa commande la probabilité qu’il y ait au moins un article défectueux soit inférieure à
50 %. Quel est le nombre maximal d’articles qu’il peut commander ?
293
∫
b. Donner le nombre moyen d’autocars n’ayant subi aucun blocage après avoir parcouru d kilomètres.
b. Déterminer r1. Pour cela, on pourra s’aider d’un arbre.
(
a. comprise entre 50 et 100 km ;
.
b. Pour tout réel t ≥ 0, P(Y ≤ t) = 1 − e−0,01t .
c. La probabilité d’attendre moins de 3 minutes à
cette caisse est 0,16 à 10−2 près.
d. Il y a plus d’une chance sur deux que l’attente à
cette caisse soit supérieure à une minute.
Exercice 12. 464 Durée de vie d’une machine
La moyenne de durée de vie d’une machine, telle qu’annoncée par le constructeur, est de 5000 heures.
a. Calculer la probabilité qu’il n’y ait pas de défaillance au cours de 2000 premières heures d’utilisation de la
machine.
294
b. Sachant que la machine n’a pas connu de défaillance au cours des 2000 premières heures d’utilisation,
quelle est la probabilité que cette machine ne connaisse aucune défaillance pendant les 6000 premières
heures d’utilisation ?
Exercice 12. 465 Oscilloscopes, Polynésie, juin 2004
Le laboratoire de physique d’un lycée dispose d’un parc d’oscilloscopes identiques. La durée de vie en
années d’un oscilloscope est une variable aléatoire notée X qui suit la « loi de durée de vie sans
vieillissement » (ou encore loi exponentielle de paramètre λ avec λ > 0.
Toutes les probabilités seront données à 10
 f ( x) = m sin x pour x ∈ [ 0 ; π
Soit m un nombre réel et f la fonction définie sur ℝ par : 
 f ( x) = 0 sinon.
près.
1. Sachant que p(X > 10) = 0,286, montrer qu’une valeur approchée à 10
−3
près de λ est 0,125.
2. Représenter f dans un repère orthonormé.
3. Soit X une variable aléatoire dont f est une densité de probabilité.
Définir la fonction de répartition de X puis représenter graphiquement F dans un repère orthonormé.
3π 
π
4. Calculer la probabilité p  ≤ X ≤
.
4 
 4
On prendra 0,125 pour valeur de λ dans la suite de l’exercice.
5. Calculer les probabilités p(X ≤ 0) et p(X ≥ 0).
2. Calculer la probabilité qu’un oscilloscope du modèle étudié ait une durée de vie inférieure à 6 mois.
Exercice 12. 468 Barycentre, urnes, binomiale, Polynésie, nov 2004
3. Sachant qu’un appareil a déjà fonctionné huit années, quelle est la probabilité qu’il ait une durée de vie
supérieure à dix ans ?
6 points
4. On considère que la durée de vie d’un oscilloscope est indépendante de celle des autres appareils. Le
responsable du laboratoire décide de commander 15 oscilloscopes. Quelle est la probabilité qu’au moins un
oscilloscope ait une durée de vie supérieure à 10 ans ?
5. Combien l’établissement devrait-il acheter d’oscilloscopes pour que la probabilité qu’au moins l’un
d’entre eux fonctionne plus de 10 ans soit supérieure à 0,999 ?
On s’intéresse à la durée de vie, exprimée en années, d’un appareil ménager avant la première panne. On
peut modéliser cette situation par une loi de probabilité p de durée de vie sans vieillissement définie sur
[0, +∞[. Ainsi la probabilité d’un intervalle [0, t[, notée p ( [0, t[ ) , est la probabilité que l’appareil tombe en
panne avant l’instant t.
Cette loi est telle que p ( [0, t[ ) =
∫ λe
−λ x
On donne dans le plan trois points A, B et C distincts non alignés.
Une urne U contient six cartons indiscernables au toucher portant les nombres −2, −1, 0, 1, 2 et 3. Une
urne V contient cinq cartons indiscernables au toucher ; quatre cartons portent le nombre 1 et un carton le
nombre −1.
On tire au hasard un carton dans chacune des urnes. Les tirages sont équiprobables. On note a le nombre
lu sur le carton de U et b celui lu sur le carton de V.
1. Jusitifier que les points pondérés (A ; a), (B ; b) et (C ; 4) admettent un barycentre. On note G ce
barycentre.
Exercice 12. 466 Durée de vie, Am. Nord, juin 2003
5 points
t
]
1. Déterminer le réel m tel que f soit une densité de probabilité.
4 points
−3
Exercice 12. 467 Loi uniforme, Antilles, sept 2001
dx , où t est un nombre réel positif représentant le nombre
0
d’années. A partir de la question 5. on prend λ = 0,2 .
Réponses
Questions
a
b
c
1. Pour t positif ou nul, la valeur exacte de p ( [t, + ∞[ ) est :
1 − e− λ t
e− λ t
1 + e−λ t
2. La valeur de t pour laquelle on a p ( [0, t[ ) = p ( [t, + ∞[ )
ln 2
λ
λ
λ
ln 2
2
3. D’après une étude statistique, la probabilité que
l’appareil tombe en panne avant la fin de la première année
est 0,18. La valeur exacte de λ est alors :
 50 
ln 

 41 
 41 
ln 

 50 
ln 82
ln100
4. Sachant que cet appareil n’a connu aucune panne au
cours des deux premières années, la probabilité qu’il ne
connaisse aucune panne l’année suivante est :
p ( [1, + ∞[ )
p ( [3, + ∞[ )
p ( [ 2, 3 [ )
5. La probabilité que l’appareil n’ait pas eu de panne au
cours des trois premières années, arrondie à 10−4 près, est :
0,5523
0,5488
0,4512
est :
6. Dix appareils neufs de ce type ont été mis en service en
même temps. On désigne par X la variable aléatoire égale
au nombre d’appareils qui n’ont pas de panne au cours des
trois premières années. La valeur la plus proche de la
probabilité de l’événement « X = 4 » est :
295
2. a. Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants :
E1 : « G appartient à la droite (BC) » ;
E2 : « G appartient au segment [BC] ».
b. Montrer que la probabilité de l’événement E3 : « G est situé à l’intérieur du triangle ABC et n’appartient à
2
aucun des côtés » est égale à
(on pourra faire appel à des considérations de signe).
5
3. Soit n un entier naturel non nul. On répète n fois dans les mêmes conditions l’épreuve qui consiste à
tirer un carton dans chacune des urnes U et V puis à considérer le barycentre de la question 1. On désigne
par X la varaiable aléatoire prenant pour valeurs le nombre de réalisations de l’événement E3.
a. Déterminer l’entier n pour que l’espérance de la variable aléatoire X soit égale à 4.
b. Déterminer le plus petit entier n pour que la probabilité d’avoir au moins un des barycentres situé à
l’intérieur du triangle ABC soit supérieure ou égale à 0,999.
Exercice 12. 469 Test+binomiale+adequation, Antilles, sept 2004
Pour chacune des trois questions, la totalité des points sera donnée si la réponse est correctement justifiée.
Les trois questions sont indépendantes.
1. La probabilité pour un individu d’une population d’être atteint d’une maladie M est égale à 0,003. Un
test de dépistage, pour cette maladie, a été réalisé ; avec ce test, on peut dire que
• si une personne est atteinte de la maladie M, le test est positif dans 50 % des cas ;
• le test est positif pour 3% des personnes saines.
Quelle est à 0,01 près la probabilité d’avoir la maladie M lorsque le test est positif ?
a. 0,95 b. 0,9
0,5555
0,8022
0,1607
c. 0,15 d. 0,05
2. On considère une planche à clous de ce type :
296
9
Pour chaque expérience, on a calculé d 2 =
∑( f
k
− 0,1 )
2
où fk représente, pour l’expérience, la fréquence
k= 0
observée du chiffre k. On a alors obtenu une série statistique pour laquelle on a calculé le premier et
neuvième décile (d1 et d9), le premier et troisième quartile (Q1 et Q3) et la médiane (Me) :
d1 = 0,000422 ; Q1 = 0,000582 ; Me = 0,000822 ; Q3 = 0,001136 ; d9 = 0,00145.
En effectuant le calcul de d2 sur la série des 1 000 premières décimales de π , on obtient :
a. 0,000456
On lance une boule B du haut de la planche, elle tombe alors dans l’un des quatre récipients notés R1, R2,
R3 et R4. À chaque étape, la bille a une probabilité de 0,3 d’aller vers la gauche et 0,7 d’aller vers la droite
(gauche et droite relatives à l’observateur).
On note p1 la probabilité que la bille tombe dans le bac R1 ou dans le bac R3 et p2 la probabilité que la bille
tombe dans le bac R2 ou dans le bac R4.
Que valent p1 et p2 ?
b. 0,00456
a. Oui
b. Non
c. Il ne peut pas conclure.
Exercice 12. 470 QCM probas diverses, La Réunion, juin 2004
5 points
Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le
numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
a. p1 = p2 = 0,5
b. p1 = 0,216 et p2 = 0,784
c. p1 = 0,468 et p2 = 0,532
d. p1 = 0,468 et p2 = 0,432.
Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève un demi-point ; l’absence de réponse est
comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.
3. Les 1 000 premières décimales de π sont données ici par un ordinateur :
Première partie
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510
Pour réaliser des étiquettes de publipostage, une entreprise utilise deux banques de données :
5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679
B1, contenant 6 000 adresses, dont 120 sont erronées et 5 880 sont exactes,
8214808651 3233066470 9384460959 0582235725 3594085234
B2, contenant 4 000 adresses, dont 200 sont erronées et 3 800 sont exactes.
8111745028 4102701930 5211055596 4462294895 4930301964
1. On prélève au hasard, avec remise, 10 étiquettes parmi les 6 000 réalisées à l’aide de B1. La probabilité
qu’exactement trois de ces étiquettes comportent une adresse erronée est :
4288109756 6593344612 8475648233 7867831652 7120190914
5648566923 4603486534 5432664825 3393607260 2491412737
 120   5880 
 3 + 7 

 

A:
 6000 
 10 


2450700660 6315580574 8815209209 6282925409 1715364367
8925903600 1133053054 8820466525 3841469519 4151160943
3057270365 7595919530 9218611738 1932611793 1051185480
7446297996 2749567355 8857527240 9122793318 3011949129
8336733624 4065664308 6025394946 3952247371 9070217986
3
B:
7
3
3
 10   120   5880 
C: 
×
 ×

120
 3   6000   6000 
7
 10   3   7 
D: 
×
 ×

 3   120   5880 
2. Parmi les 10 000 étiquettes, on en choisit une au hasard. Sachant que l’étiquette comporte une adresse
exacte, la probabilité qu’elle ait été réalisée à l’aide de B1 est :
0943702770 5392171762 9317675238 4674818467 6691051320
0056812714 5263560827 7857753427 9778900917 3637178721
A : 0,98 B :
4684409012 2495343054 6549585371 0507922796 8925892354
2019956112 1290219608 6403441815 9813629774 7713099605
0, 4 × 0, 95
0, 6 × 0, 98 + 0, 6 × 0, 02
0, 6 × 0, 98
0, 6 × 0, 98 + 0, 4 × 0, 95
C : 0, 6 × 0, 98 D :
Deuxième partie
1870721134 9999998372 9780499510 5973173281 6096318599
La durée de vie, exprimée en heures, d’un robot ménager jusqu’à ce que survienne la première panne est
modélisée par une loi de probabilité p de durée de vie sans vieillissement définie sur l’intervalle [ 0 ; + ∞ [
0244594553 4690830264 2522300253 3446850352 6193110017
1010003137 8387528865 8753320830 1420617177 6691473035
(loi exponentielle de paramètre λ = 0,0005).
9825349042 8755460731 1595620633 8235378759 3751957781
Ainsi la probabilité que le robot tombe en panne avant l’instant t est : p ( [ 0 ; t [ ) =
8577805321 7122600661 3001927876 6111959092 1642019894
t
∫
0
∫
0
λ e− λ x dx .
1. La probabilité qu’un robot ait une durée de vie supérieure à 2 500 heures est :
En groupant par valeurs entre 0 et 9 ces décimales, on obtient le tableau suivant :
−
Valeurs
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Occurrences
93
116
102
102
94
97
94
95
101
106
A: e
2 500
2 000
5
B : e4
−
C : 1− e
2 500
2 000
−
D: e
2 000
2 500
2. La durée de vie moyenne d’un robot ménager est donnée par la formule E = lim
t→+∞
Avec un tableur, on a simulé 1 000 expériences de 1 000 tirages aléatoires d’un chiffre compris entre 0 et 9.
297
c. 0,000314
Un statisticien découvrant le tableau et ignorant qu’il s’agit des décimales de π , fait l’hypothèse que la
série est issue de tirages aléatoires indépendants suivant une loi équirépartie. Il prend un risque de 10 % de
rejeter cette hypothèse quand elle est vraie. Accepte-t-il cette hypothèse ?
298
t
λ xe−λ x dx .
a. L’intégrale
∫
t
0
λ xe− λ x dx est égale à :
A: λ
t2 −λ t
e−λ t 1
e
B : − te− λ t −
+
C : λ te−λ t − λ e− λ t − λ
2
λ
λ
D : te−λ t −
b. La durée de vie moyenne des robots, exprimée en heures, est :
A : 3 500 B : 2 000 C : 2531,24 D : 3 000
299
e− λ t
λ