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Chapitre 1
Optique géométrique
Maths Sup - PCSI - Concours 2018
Correction des exercices
Sommaire
Exercices classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 - Expérience d’Eratosthène H . . . . . . . . . . .
2 - Incidence de Brewster H . . . . . . . . . . . . .
3 - Flotteur HH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 - Fibre optique à saut d’indice HHH . . . . . . . .
5 - Modèle de l’optique géométrique H . . . . . . .
6 - Distance objet-image H . . . . . . . . . . . . . .
7 - Image du Soleil par une lentille HH . . . . . . .
8 - Lunette de Galilée HHH . . . . . . . . . . . . .
Exercices d’approfondissements . . . . . . . . . . .
9 - A ne pas « louper » HH . . . . . . . . . . . . . .
10 - Prismes HH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11 - Occulaire de Ramsden HH . . . . . . . . . . . .
12 - Lunette de Galilée (approfondissement) HHH .
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2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
4
4
2
- Concours 2018
Exercices classiques
Exercice 1 - Expérience d’Eratosthène
H
Remarque
En physique, il faut penser à réaliser un schéma présentant la situation (surtout en optique).
On a donc :
Soit :
Or
Enfin
AS “ 50 ˆ 100 ˆ 160
AS “ 800000m
360
CT errestre “
ˆ 800000
7, 2
“ 40000km
où CT errestre est la circonférence de la Terre.
CT errestre
RT errestre “
2⇡
Donc :
RT errestre “ 6, 4 ˆ 103 km
La valeur calculée par Eratosthène est donc très proche de la valeur tabulée 2000 ans plus tard (6378km actuellement).
Exercice 2 - Incidence de Brewster
H
3
- Concours 2018
Rappel de cours
Un tel schéma s’obtient à l’aide de la première loi de Descartes : rayon réfléchi et réfracté appartiennent au plan
d’incidence. La seconde loi assure qu’en considérant des angles algébriques le rayon réfléchi fait un angle ´i avec
la normale (i étant l’angle d’incidence).
D’après la troisième loi de Descartes :
Or :
D’où :
Donc :
Soit :
sinpiB q “ n sinprq
⇡
iB ` ` r “ ⇡
2
⇡
r “ ´r
2
sinprq “ cospib q
tanpiB q “ n
En conclusion :
iB “ Arctanpnq
Exercice 3 - Flotteur
HH
1) Comme nair † neau , on passe d’un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent donc, pour qu’il y ait un
⇡
rayon réfracté, il faut que r § .
2
Or
Donc
neau sinpiq “ nair sinprq
neau sinpilim q § nair
Donc :
ilim § Arcsinp
nair
q “ 48, 8˝
neau
2) Le clou est visible si le flotteur ne le cache pas. Il faut donc :
h • tanp
⇡
´ ilim q ˆ R
2
Donc :
h•
R
tanpilim q
4
- Concours 2018
Exercice 4 - Fibre optique à saut d’indice
HHH
1) Pour éviter le phénomène de réfraction, on applique la dernière loi de Descartes à la limite où le faisceau est
entièrement réfléchi dans la fibre : on veut réflexion totale dans la fibre.
Alors :
Soit :
Or :
D’où :
nf sinpiq “ ne
ne
sinpiq •
nf
⇡
✓ “ ´i
2
n
e
cosp✓q §
nf
à la limite de la réflexion totale.
pour avoir réflexion totale.
la variation de i et ✓ étant opposée.
Donc :
✓ § Arccosp
2) Or on a aussi :
Alors :
Donc :
Soit :
D’où :
ne
q “ ✓lim
nf
sinp↵q “ nf sinp✓q
sinp↵q § nf sinp✓lim q
ne
sinp↵q § nf sinpArccosp qq
n
f
c
ne
sinp↵q § nf 1 ´ sinpArcsinp qq2
nf
c
ne 2
sinp↵q § nf 1 ´ p q
nf
en prenant nair “ 1, 00.
d’après la condition précédente.
Donc la condition sur l’angle incident de l’air vers la fibre est :
b
↵ § Arcsinp n2f ´ n2e q
Exercice 5 - Modèle de l’optique géométrique
On se place dans le cas où le milieu de propagation est linéaire, homogène et isotrope :
H
5
- Concours 2018
— Homogène : les propriétés physiques (densité, indice de réfraction, ...) sont les mêmes en tout point du milieu.
— Isotrope : ces propriétés physiques sont identiques dans toutes les directions de propagation du rayon lumineux.
Le modèle de l’optique géométrique est le suivant :
Rappel de cours
a) On a retour inverse de la lumière (pour de propager de A vers B la lumière parcourra le même chemin que
de B vers A).
b) Il n’y pas d’interaction entre deux faisceaux lumineux : un rayon ne peut en dévier un autre.
c) Les lois de Descartes sont valides :
— Loi relative à la réflexion : le rayon réfléchi appartient au plan d’incidence défini par la normale au dioptre
et le rayon incident et les angles algébriques d’incidence i et de réflexion i1 vérifient : i1 “ ´i
— Loi relative à la réfraction : le rayon réfracté appartient au plan d’incidence et les angles d’incidence i et
de réfraction r vérifient : n1 sinpiq “ n2 sinprq.
Les limites de ce modèle sont la non prise en compte des phénomènes de diffraction et interférences et le stigmatisme
approché.
Rappel de cours
Les conditions permettant un stigmatisme approché sont les conditions de Gauss :
— les rayons sont paraxiaux i.e. proches de l’axe optique.
— les angles d’incidence des rayons sont très faibles.
Exercice 6 - Distance objet-image
H
Soit A le point représentant l’objet sur l’axe optique et A1 le point conjugué de A par la lentille mince.
On pose x “ OA1 et D “ AA1 la distance objet-image. Alors OA “ OA1 ` A1 A “ x ´ D.
Rappel de cours
La relation de conjugaison de Descartes s’écrit (avec les notations canoniques) :
1
1
1
´
“ 1
1
f
OA
OA
La relation de Descartes pour une lentille mince donne :
Donc :
D’où :
Soit :
Le discriminant est :
Or :
1
1
1
´
“ 1
x x´D
f
x´D
x
1
´
“ 1
xpx ´ Dq xpx ´ Dq
f
xpx ´ Dq
´D “
f1
x2 ´ xd ` Df 1 “ 0
“ D2 ´ 4Df 1
°0
Ainsi :
D • 4f 1
car il y a deux solutions distinctes.
6
- Concours 2018
Rappel de cours
La méthode appliquée ci-dessus est la méthode de Silbermann. Elle doit être connue et maîtrisée (tout comme la
méthode de Bessel qui permet de prouver qu’il y a deux solutions donc que ° 0).
Exercice 7 - Image du Soleil par une lentille
HH
Tout réside dans la bonne compréhension de ce qui est demandé et donc d’un bon schéma.
F 1 A1
“ tanp↵q
OF 1
d “ tanp↵qf 1
On a
Donc
1
1
et on note f 1 “ F 1 A1 .
avec d “ F A le diamètre de l’image.
Ainsi :
d „ ↵f 1 “ 1, 7mm
Exercice 8 - Lunette de Galilée
HHH
On note A le point représentant l’objet sur l’axe optique et A1 son conjugué par le système. On note O1 (resp. O2 )
le centre de lentille 1 (resp. 2) et F1 et F11 (resp. F2 et F21 ) les foyers objet et image de la lentille 1 (resp. 2) (cf schéma
lunette de Galilée dans la section exercices d’approfondissement) .
L `L
2
1) On veut A8 ››1››Ñ
A18 i.e. que le conjugué d’un objet à l’infini soit une image à l’infini donc que la lunette soit
afocale.
L1
L2
Et comme A8 ››Ñ
F11 et F2 ››Ñ
A18 alors on en déduit :
F11 “ F2
Donc la distance entre l’objectif et l’oculaire est :
d “ 45cm puisque F11 “ F2
7
- Concours 2018
AB
F1 O 1
AB
u1 „ tanpu1 q “
O 2 F2
F1 O 1
u1
G“
“
u
O 2 F2
2) On a :
u „ tanpuq “
Et :
Donc :
d’après le modèle de l’otique géométrique.
Ainsi :
G “ 10
Exercices d’approfondissements
Exercice 9 - A ne pas « louper »
HH
On garde les mêmes conventions que celles de l’exercice précédent.
1) On va utiliser les relations de conjugaison de Newton (le calcul est possible par celle de Descartes mais plus légèrement
plus compliqué).
Rappel de cours
La formule de conjugaison de Newton s’énonce :
F 1 A1 ˆ F A “ ´f 12
Alors :
Donc pour F 1 A1 ›Ñ ´8 :
Et pour F 1 A1 “ ´25cm :
´f 12
F 1 A1
FA “ 0
F A “ 1cm
FA “
La portion d’espace pouvant être observée à travers la loupe correspond donc à un objet situé dans un espace de
1cm depuis F vers la gauche i.e. pour F A P r0; 1s en cm soit OA P r´4cm; ´5cms.
2) On appelle dm le ponctum proximum (qui vaut 25cm).
On a :
Et :
AB
FO
AB
u „ tanpuq “
dm
u1 „ tanpu1 q “
Donc :
G“
u1
dm
“
“5
u
FO
3) Puisque le Soleil être considéré à l’infini, l’image se formera dans le plan focal image.
Il faut donc placer la feuille dans le plan focal image.
8
- Concours 2018
De plus la taille de l’image I vérifie :
Soit :
Or
I
2f 1
I “ 2f 1 tanpu1 q
16⇡
u1 “ 161 “
“ 4, 7 ˆ 10´3 rad
60 ˆ 180
tanpu1 q “
où u1 “ 161 .
Donc :
I “ 0, 47mm
Exercice 10 - Prismes
HH
1) D’après les lois de Snell-Descartes, on a :
Or il y a émergence si :
Soit :
sinpiq “ n sinprq
n sinpr1 q “ sinpi1 q
n sinpr1 q § 1
avec nair “ 1, 00
1
r1 § Arcsinp q
n
La condition d’émergence porte sur r1 . Il s’agit maintenant de l’exprimer pour r puis i. Quelle relation existe-t-il
entre r et r1 ?
⇡
⇡
On a ⇡ “ A ` p ´ rq ` p ´ r1 q (d’après les relations d’angle dans le prisme) i.e. A “ r ` r1 .
2
2
Rappel de cours
Dans un prisme l’angle au sommet A vérifie :
.
Il s’ensuit :
Or :
r ` r1 “ A
1
r • A ´ Arcsinp q
n
sinpiq “ n sinprq
En conclusion, on a èmergence en sortie de prisme si :
1
i • Arcsinpn sinpA ´ Arcsinp qqq “ 36˝
n
9
- Concours 2018
2) — On a dèjà vu qu’en s’appuyant sur le triangle formè par la partie supèrieure du prisme et le faisceau lumineux
traversant le prisme, on avait :
r ` r1 “ A
— On a aussi deux relations de Descartes que l’on peut exploiter :
sinpiq “ n sinprq
n sinpr1 q “ sinpi1 q
— Enfin en utilisant le triangle à l’intérieur du prisme formé par les pointillés rouges et le faisceau lumineux
traversant le prisme, on a : ⇡ “ p⇡ ´ Dq ` pi ´ rq ` pi1 ´ r1 q. Donc :
D “ i ` i1 ´ pr ` r1 q
En conclusion :
1. sinpiq “ n sinprq
2. n sinpr1 q “ sinpi1 q
3. r ` r1 “ A
4. D “ i ` i1 ´ pr ` r1 q
3) Pour trouver le minimum de déviation, cherchons le minimum de D en variant i. On veut trouver une valeur de i
dD
telle que
“ 0. En différentiant les relations précédentes :
di
dr
di
dr1
2. cospi1 q “ n cospr1 q 1
di
3. dr ` dr1 “ 0
1. cospiq “ n cosprq
4. dD “ di ` di1
Or d’après la relation 4. :
Et d’après 1. et 2. :
D’après 3. :
D’où :
dD
di
dD
di
dD
di
dD
di
dD
di1
“ 1`
di
di
dD
n cospr1 qdr1
cospiq
“ 1`
ˆ
di
cospi1 q
n cosprqdr
dD
cospr1 q cospiq
“ 1´
di
cosprq cospi1 q
“ 0 si et seulement si cospr1 q cospiq “ cosprq cospi1 q
“ 0 si et seulement si p1 ´ sinpr1 q2 qp1 ´ sinpiq2 q “ p1 ´ sinprq2 qp1 ´ sinpi1 q2 q
1
1
“ 0 si et seulement si p1 ´ 2 sinpi1 q2 qp1 ´ sinpiq2 q “ p1 ´ 2 sinpiq2 qp1 ´ sinpi1 q2 q
n
n
1
1
“ 0 si et seulement si 2 sinpi1 q2 ` sinpiq2 “ 2 sinpiq2 ` sinpi1 q2
n
n
dD
1
“ 0 si et seulement si p 2 ´ 1qpsinpi1 q2 ´ sinpiq2 q “ 0
di
n
1
dD
Or 2 ‰ 1 :
“ 0 si et seulement si sinpiq2 “ sinpi1 q2
n
di
Donc, puisque i, i1 P r0;
⇡
s:
2
D est minimal pour i “ i1
10
- Concours 2018
Remarque
On aurait pu trouver ce résultat par un raisonnement qualitatif. En effet, par retour inverse de la lumière,
r l’angle de déviation en considérant le rayon arrivant cette fois
l’angle D est égal en valeur absolue à l’angle D,
r d’après ce qui précède.
par la droite. Si D présente un minimum de déviation en imin alors D “ Dmin “ D
1
Or le minimum Dmin est atteint pour imin “ imin . Donc le minimum de D est atteint pour i “ i1 .
Et alors :
i “ i1 “ im
A
r “ r1 “
2
Dm “ 2im ´ A
Si :
Alors :
Donc :
A
im “ Arcsinpn sinp qq
2
Avec :
Donc :
A
Dm “ 2Arcsinpn sinp qq ´ A “ 46˝
2
Exercice 11 - Occulaire de Ramsden
HH
On utilise dans cette exercice les notations canoniques.
Détermination du foyer objet du système global F :
L `L
2
On veut que le conjugué du foyer par le système global soit un point à l’infini : F ››1››Ñ
A18 . Donc on doit avoir :
L2
18
F ››Ñ F2 ››Ñ A . F est donc le conjugué de F2 par L1 .
Or d’après la relation de Newton :
L1
Soit :
Avec :
Donc :
Soit :
F11 F 2 F1 F “ ´O1 F11
F1 F “
2
´p3aq2
F11 01 ` O1 O2 ` O2 F2
F11 01 ` O1 O2 ` O2 F2 “ ´3a ` 2a ´ 3a “ ´4a
´p3aq2
F1 F “
´3a ` 2a ´ 3a
´9a2
F1 F “
´4a
9a
F1 F “
4
Aussi : O1 F “ O1 F1 ` F1 F “ ´3a `
9a
´3
“
.
4
4
Donc :
Donc la position du foyer objet du système global est définie par :
F1 F “
9a
´3a
soit O1 F “
4
4
Détermination du foyer image du système global F 1 :
L `L
2
De même, on veut que F 1 soit le conjugué par le système global d’un objet situé à l’infini : A8 ››1››Ñ
F 1 . Or :
8 L1
1 L2
1
A ››Ñ F1 ››Ñ F .
On peut cette fois utilisée la relation de Descartes pour varier les calculs :
11
- Concours 2018
1
1
1
´
“
1
1
O2 F
O 2 F1
O2 F21
O2 F21 O2 F11
O2 F 1 “
O2 F21 ` O2 F11
3a ˆ a
1
O2 F “
3a ` a
Donc :
Soit :
Donc :
La position du foyer image du système global est définie par :
O2 F 1 “
3a
4
Pour ne pas se fatiguer, il suffit de faire en sorte que l’image donnée par l’objectif se trouve dans le plan focal objet
du système.
Exercice 12 - Lunette de Galilée (approfondissement)
HHH
1)
Remarque
On a A
8 L1 `L2
L
L
1
2
››››Ñ A18 . Donc nécessairement A8 ››Ñ
F11 “ F2 ››Ñ
A18 : F11 “ F2 .
2) On a :
A1 BA1
f11
A1 BA1
1
1
↵ „ tanp↵ q “
´f21
↵1
G“
↵
↵ „ tanp↵q “
Et :
D’où :
Donc :
G“
f11
° 0 : le grossissement est positif donc la lunette est dite droite.
´f21
f11
“ 20.
f2
— Et de plus O1 O2 “ 60cm. Or O1 O2 “ O1 F11 ` F11 O2 “ f11 ` F2 O2 “ f11 ` f21 .
3) — On a G “
12
- Concours 2018
f11 “ ´Gf21
O1 O2 “ f11 ` f21
O1 O2 “ ´Gf21 ` f21
O1 O2
f21 “
1´G
Donc :
Et :
Alors :
Soit :
Donc :
f21 “
O1 O2
´GO1 O2
“ ´3cm et f11 “
“ 63cm
1´G
1´G
4) Position de l’image de l’objectif par l’oculaire :
D’après la relation de Descartes :
1
1
1
´
“ 1
1
f2
OA
OA
Donc :
OAf21
“ ´3cm
OA ` f21
OA1 “
Taille de l’image de l’objectif par l’oculaire :
On a :
Et :
A1 B 1
AB
OA1
“
OA
“
Donc :
A1 B 1 “
AB OA1
“ 0.3cm
OA
5) Il faut placer l’oeil au plus proche de l’oculaire pour une meilleure optimale.