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CCP Physique 2 MP 2008 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Freulon (ENS Ulm) ; il a été relu par Georges
Rolland (Professeur agrégé) et Emmanuel Loyer (Professeur en CPGE).
Ce sujet est constitué de deux problèmes indépendants ; le premier porte sur
l’optique géométrique, le second sur l’électromagnétisme.
• Le problème A est composé de deux parties largement indépendantes. La première présente différentes méthodes utilisées en travaux pratiques de focométrie : on y aborde l’autocollimation, les méthodes de Descartes, Bessel, Silbermann et Badal. Dans chaque cas, il s’agit d’établir la formule permettant de
calculer la distance focale de la lentille à partir de mesures expérimentales et
d’évaluer l’incertitude sur cette mesure.
Dans la seconde partie, on établit des conditions pour qu’un assemblage de deux
lentilles puisse être achromatique. On commence par utiliser notamment la formule de Cauchy pour établir des propriétés des lentilles à différentes longueurs
d’onde. On cherche ensuite des relations entre les coefficients de la formule de
Cauchy pour concevoir un objectif et un oculaire achromatiques.
• Le problème B est composé de trois parties indépendantes. Dans la première,
on établit quelques résultats de cours sur la loi de Biot et Savart et le théorème
d’Ampère.
Dans la deuxième, on démontre, tout d’abord, une relation simple entre un
potentiel vecteur et le champ magnétique dans un cas particulier ; puis, indépendamment du résultat précédent, on cherche à relier champ magnétique et
potentiel vecteur dans deux situations différentes : un fil et un solénoïde infinis. Pour chaque situation, on examine la concordance des deux expressions du
potentiel vecteur.
La troisième partie porte sur l’induction. Après quelques rappels sur les lois de
Faraday et de Lenz, on étudie le fonctionnement d’une roue de Barlow montée
dans un circuit RC.
Ce sujet, assez long, comporte beaucoup d’applications numériques peu aisées.
De plus, selon le rapport du jury, « la formulation des résultats n’était pas toujours
cohérente avec le nombre de chiffres significatifs attendu ». Peu classiques, les calculs
de potentiel vecteur ont souvent été erronés. Dans la partie traitant de la roue de
Barlow, qui contient une erreur d’énoncé, on se perd facilement dans les orientations.
Néanmoins, ce sujet se prête bien à des révisions globales pour les écrits.
La partie focométrie constitue également un excellent support de révision pour les TP.
Par ailleurs, la partie sur l’induction peut tout aussi bien être utilisée en cours d’année
durant la phase d’apprentissage.
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Indications
Partie A
1.1.2.2 Utiliser la dérivée logarithmique, séparer dO1 A et dO1 A′ puis passer à la
valeur absolue pour chaque terme.
1.1.3.1 Utiliser la formule de Descartes pour relier f1′ à D et p. Faire apparaître un
polynôme du second degré en p et chercher à quelle condition il admet deux
racines réelles distinctes.
1.1.3.2 Calculer p1 − p2 .
1.1.3.3 Procéder comme en 1.1.2.2.
1.1.4.2 Procéder comme en 1.1.2.2.
1.1.4.3 Que donne la méthode de Bessel s’il n’existe qu’une seule position pour (L) ?
1.2.1.1 Remarquer que l’on est dans le cas de la méthode de Silbermann.
1.2.2.1 Exprimer O2 A et O2 A′ en fonction de D et x.
1.2.3.1 Exprimer O2 A et O2 A′ en fonction de D, f0′ et f2′ . Faire un dessin précis et
y reporter toutes les valeurs.
2.2.2.1 Exprimer ν en fonction des focales.
2.2.2.2 Montrer que la tache de taille minimale est autour de F′D et utiliser le théorème de Thalès pour calculer AT .
2.4.4 Exprimer V′ en fonction de V2′ et d′ .
2.5.1 Introduire une image intermédiaire.
Partie B
1.1.2 Donner l’expression générale sous forme intégrale.
→ →
−→ −
2.1.1 Utiliser les coordonnées cartésiennes et calculer rot ( B ∧ −
r ).
−→ −
→
2.1.2 Utiliser les coordonnées cartésiennes pour calculer rot r puis s’aider du for→
−
mulaire pour calculer div A .
→ −→ −
−
→
2.2.3 Écrire B = rot A dans la base des coordonnées cylindriques en s’aidant du
formulaire.
→ →
−
→
2.2.4 Décomposer −
r sur la base des coordonnées cylindriques. Montrer que B ∧ −
r
→
contient une composante selon −
e .
ρ
−
→
2.3.1.3 Utiliser la formule donnant A en magnétostatique, analogue de celle donnant V pour une distribution linéique de charges en électrostatique.
→ −→ −
−
→
2.3.3.4 Écrire B = rot A et intégrer sur la section droite du solénoïde. Remplacer
→
−→ −
l’intégrale contenant rot A par une intégrale de contour.
→ →
−
2.3.3.5 Que donne B ∧ −
r à l’extérieur du solénoïde ?
3.1.2 Chercher le lien entre le signe de i et la variation de I.
3.1.4.1 Établir l’équation différentielle dont I est solution.
→
−
3.1.4.2 Comment B doit-il tourner pour que la spire « voie » un flux constant ?
→
3.2.2.1 Dériver l’équation électrique, éliminer la dérivée de −
ω à l’aide de l’équation
mécanique.
→
−
→ −
→ sont tels que −
→ > 0.
3.2.4.1 L’énoncé comporte une erreur : B et −
ω
B ·ω
0
3.2.4.2 Chercher l’instant où la puissance change de signe.
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Partie A. Optique
1.
Focométrie
1.1.1.1 Pour cette méthode, on a besoin de la lentille dont on souhaite déterminer
la distance focale, d’un miroir, d’un objet (et éventuellement d’un écran que l’on
place à côté de l’objet).
On place l’objet et la lentille sur le banc
(L)
d’optique et on accole le miroir derrière
A
la lentille. On translate l’ensemble lentilleF
miroir et on observe l’image (éventuellement
′
x
x
à l’aide de l’écran) réfléchie vers l’objet par
′
A
ce système. Lorsque l’image est nette et de
la même taille que l’objet, la distance objetlentille est égale à la distance focale.
f′
D’après le rapport, moins de la moitié des candidats a traité cette question.
Comme il s’agit de détailler un protocole expérimental, le jury précise que la
rédaction doit être soignée : des phrases trop imprécises telles que « on bouge
le miroir pour voir l’objet » ou bien « on suit l’image pour qu’elle soit claire »
ne sont pas satisfaisantes.
1.1.1.2 De ce qui précède, on déduit
f1′ = 20,2 cm
Exprimons l’incertitude ; comme f1′ = O1 A′
∆f1′ = ∆O1 A′ = 0,5 cm
1.1.2.1 Utilisons la formule de Descartes pour les lentilles
1
1
1
−
= ′
f1
O1 A′
O1 A
d’où
f1′ =
O1 A′ O1 A
= 20,0 cm
O1 A − O1 A′
1.1.2.2 Pour obtenir les incertitudes, calculons le logarithme de cette expression
ln f1′ = ln O1 A′ + ln O1 A − ln O1 A − O1 A′
que l’on différentie
df1′
dO1 A′
dO1 A dO1 A − dO1 A′
+
−
=
′
′
f1
O1 A
O1 A
O1 A − O1 A′
O1 A dO1 A′
O1 A′ dO1 A
−
=
′
′
O1 A O1 A − O1 A
O1 A O1 A − O1 A′
∆f1′
O A
O A′
1
∆O1 A′ +
1
∆O1 A
d’où
=
′
′
′
f1
O1 A O1 A − O1 A
O1 A O1 A − O1 A′ On obtient finalement
∆f1′ = 0,3 cm
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1.1.3.1 Remarquons que
O1 A′ = O1 A + AA′ = p + D
et utilisons de nouveau la formule de Descartes
1
1
1
− = ′
D+p p
f1
p
A
O1
x′
x
A′
D
En multipliant les deux membres par (D + p) p, on obtient :
−D =
d’où
(D + p) p
f1′
p2 + D p + D f1′ = 0
qui est un polynôme du second degré en p de discriminant ∆ = D2 − 4 D f1′ .
Cette équation admet deux solutions réelles distinctes si et seulement si ∆ > 0,
c’est-à-dire pour
D > 4 f1′ = Dmin
et dans ce cas, les racines sont
p
D − D2 − 4 D f1′
p1 = −
2
et
p2 = −
p
D2 − 4 D f1′
2
D+
(L)
A
F′
x′
F
O
A′
x
(L)
A
x′
F′
F
x
O
A′
d
D
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