1- Expérience no 4 LE PLAN INCLINE I INTRODUCTION Le

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Expérience no 4
LE PLAN INCLINE
I INTRODUCTION
Le dispositif expérimental à votre disposition va vous permettre
de déterminer:
A) La valeur de g, l'accélération de la pesanteur (à
Neuchâtel).
B) L'influence du moment d'inertie d'un solide en rotation sur
la masse inerte qui intervient dans la loi de Newton.
C) Le coefficient de frottement µstatique entre deux matériaux.
D) Le coefficient de frottement µdynamique entre ces mêmes
matériaux.
A) Mesure de g
On utilise le plan incliné avec la boule de billard (Fig.2)
Fig. 2
g intervient dans l'équation du mouvement puisqu'il s'agit à
l'évidence d'un système mécanique soumis à la pesanteur. Si
donc, on mesure les grandeurs appropriées du mouvement de la
boule roulant sur le plan incliné, on peut espérer en déduire la
valeur de g. L'équation de Newton n'est pas immédiatement

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applicable car le mobile est un solide rigide et non un point
matériel. Nous allons utiliser la conservation de l'énergie
mécanique dans un champ conservatif, ici le champ de la
pesanteur (les pertes d'énergie dues aux frottements sont
négligées):
Ecin + Epot = constante (2)
où:
Ecin =
Energie cinétique de translation associée au centre de gravité +
Energie cinétique de rotation.
Epot = Energie potentielle.
En dérivant (2) par rapport au temps:
d
dt Ecin +Epot
(
)
(3)
En se référant à la Fig.2, on peut écrire:
()
0sin
2
1
2
122 =
•−+=+
αθω MgssM
dt
d
EE
dt
d
potcin &(3')
Comme:
r
s
&
=
ω
où r = rayon de roulement (Fig. 2)
l'équation (3') devient:
γ
θ
α
==
+
=cste
r
M
Mg
s
2
sin
&& (4)
où:
M = masse de la boule en kg
θ = (2/5)MR2= moment d'inertie de la boule, homogène, par
rapport à un axe passant par son centre de gravité. R =
rayon de la boule.
Mise sous la forme de l'équation de Newton:
Masse inerte x accélération = somme des forces (5)
L’équation (4) s'écrit:
α
θ
sin
2•=
+Mgs
r
M&&

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Remarque que nous utiliserons plus loin:
masse inerte = M+(θ/r2) (pour ce type de système) (6)
La masse pesante (gravitationnelle) et la masse inerte sont a priori deux concepts
différents. La masse gravitationnelle équivaut à la force avec laquelle un objet attire ou
est attiré par un autre objet. Sur Terre, elle représente la force avec laquelle l'objet est
attiré vers le sol. Nous mesurons cette masse en pesant l'objet, son poids étant égal à
sa masse multipliée par la constante de gravitation g. La masse inerte de l'objet
correspond quant à elle la résistance que l'objet oppose à tout changement dans son
mouvement.
Les conditions initiales du mouvement sont (Fig.2):
en t = 0, s = O et (ds/dt) = vo
L'intégration de (4) donne:
s = (1/2).γ.t2 + vo.t (7)
En divisant (7) par t on obtient l'équation d'une droite affine
(s/t) = (1/2).γ.t + vo(8)
En déterminant expérimentalement la pente de cette droite et
donc γ, on peut obtenir une valeur expérimentale de g.(équ.(4)).
C) La masse inerte d'un solide (avec rotation)
On utilisera le dispositif décrit dans la fig. 3, sans le
frotteur.
Fig. 3

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M = masse du chariot
θ= moments d'inertie des quatre roues du chariot
M* = M + θ/r2 (voir équ. (6))
r = rayon des roues
∆M = masse de la surcharge que l'on peut placer sur le chariot
m = masse du frotteur
Chariot seul:
Le formalisme utilisé pour obtenir (4) reste valable. La seule
différence étant que le moment d'inertie θ ne peut être calculé
facilement en raison de la complexité géométrique des roues.
L'équation horaire (8) est valable également et la mesure
expérimentale de γ permet de déterminer le rapport M*/M le
rapport de la masse inerte à la masse pesante.
D) Le coefficient de frottement statique
En s'aidant de la Fig.3, on établit l'équation différentielle du
mouvement pour le chariot poussant un frotteur sous l'action de
la force de pesanteur:
Soient Mi = M*+∆M+m la masse inerte
et Mp = M+∆M+m la masse pesante
alors:
αµα cossin •−•= mggMsM pi && (9)
Le problème est statique lorsque l'accélération est nulle c'est-
à-dire lorsque:
Mpg·sinα =µmg·cosα (10)
où α est l'angle critique d'inclinaison du plan au-delà duquel
le chariot met en mouvement le frotteur. De (10) on tire:
µstat = (Mp/m).tgα(11)
E) Le coefficient de frottement dynamique
Le dispositif expérimental est schématisé à la Fig. 4
Figure 4

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O: masse oscillante sur palier à air P (frottement très faible)
F: frotteur (bois) de masse m = 1.000 g
R: ressorts de constant total f.
S: support (Al)
La masse totale en oscillation vaut M = 2.4156 kg
L'équation du mouvement (frottement sur le palier P négligé):
x
x
Ef&
&
mg
µ =(12)
Fr = - fx
x
x
fxxM &
&
&& mg
µ −−= (13)
Pour un frottement faible, la solution est un mouvement
harmonique avec amortissement linéaire. (Fig.5)
Pour éviter d'intégrer (13): la
perte d'énergie potentielle en
une demi période est égale au
travail de la force de
frottement:
1
2fxi
2
()
−1
2fxi+1
2
()
=µmg(xi−xi+1)
(14)
D'où:∆x=4
µ
mg
f(15)
Fig.5
On remarque que:
a) La perte d'amplitude ∆x au cours de chaque période est
constante. L'amortissement est donc bien linéaire.
b) Les mesures de ∆x, f et m permettent d'obtenir le coefficient
de frottement dynamique µ.
f se détermine à partir de la période T de l'oscillateur non
amorti:
T
M
ffMT 2
2
4
oùd'/2
π
π == (16)
II EXCERCICES
1) Mesurer la valeur de g au moyen de la boule de billard.
2) Mesurer le rapport M*/M (masse inerte/masse pesante) pour le
chariot sans surcharge.
3) Mesurer les coefficients de frottement statique Bois-Al.
4) Mesurer le coefficient de frottement dynamique Bois-Al.